Circonferenza e Circonferenza e cerchiocerchio

Eccovi un midley di presentazioni….. Analizzate in

modo critico (come al solito!) le informazioni contenute.Buon lavoro dalla iprof

IL COMPASSO

Per tracciare una circonferenza si usa il compassoche ha una punta metallica da puntare

dove vogliamo che ci sia il centro della circonferenza, e una punta scrivente che traccerà la circonferenza.

La distanza fra le due punte (apertura del compasso)sarà il raggio della circonferenza.

Definizione di circonferenzaDefinizione di circonferenza

Si definisce Si definisce circonferenza il circonferenza il luogo geometrico luogo geometrico dei punti del dei punti del piano piano equidistanti da equidistanti da un punto detto un punto detto centro della centro della circonferenzacirconferenza

RaggioRaggio Si definisce Si definisce

raggio di una raggio di una circonferenza il circonferenza il segmento che segmento che unisce il centro unisce il centro con un qualsiasi con un qualsiasi punto della punto della circonferenzacirconferenza

Utilizzando un compasso tracciamo una linea curva chiusa che viene

detta circonferenza.

La circonferenza è una linea chiusa costituita dall’insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro. Si chiama raggio la distanza fra un punto qualsiasi della circonferenza e il centro.

indica la circonferenza r indica la misura del raggio.

Il punto O si chiama centro della circonferenza.

• Un punto è esterno alla circonferenza se la sua distanza

dal centro è maggiore del raggio:

A è esterno

• Un punto appartiene alla circonferenza se la sua distanza dal centro coincide con il raggio:

B appartiene

• Un punto è interno alla circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio:

D è interno

A

DB

Definizione di cerchioDefinizione di cerchio

Si definisce Si definisce cerchio la cerchio la porzione di porzione di piano piano racchiusa da racchiusa da una una circonferenzacirconferenza

Una circonferenza divide il piano in due parti:

Il cerchio è la parte di piano limitata da una circonferenza e costituita dai punti interni o

appartenenti alla circonferenza stessa.

• l’altra costituita dai punti appartenenti o interni alla

circonferenza, che si chiama cerchio.

• una costituita dai punti esterni alla circonferenza;

PUNTI ESTERNI

PUNTI INTERNI

PUNTI APPARTENENTI

CERCHIO

La circonferenza di centro O e raggio con misura r delimita un cerchio.

•A•

•O BE

P

r

•

I punti O, A, E e P

Disegna un cerchio di centro O e raggio con misura r e i punti A, B, E, P tali che:

Quali punti appartengono al cerchio?

• : il punto B non appartiene alla circonferenza ma appartiene al cerchio.

• : il punto A appartiene alla circonferenza e appartiene al cerchio;

• : il punto P non appartiene alla circonferenza e non appartiene al cerchio;

\\ Si definisce corda Si definisce corda

qualsiasi segmento qualsiasi segmento che unisce due punti che unisce due punti della circonferenzadella circonferenza

Si definisce diametro Si definisce diametro una corda che passa una corda che passa per il centro della per il centro della circonferenzacirconferenza

È facile vedere che : È facile vedere che :

dd = = 2r2r

Rapporto fra circonferenza e Rapporto fra circonferenza e diametrodiametro

Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematicanumeri che più ricorrono e non solo in matematica

Si tratta di un numero che non può essere espresso Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionalicategoria dei numeri irrazionali

Abbiamo già trovato un numero di questo tipo Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2= √2

Nel nostro caso abbiamo che:Nel nostro caso abbiamo che:

Cd

3,14…

(pi greco)

Per essere più precisi,eseguendo la divisione circonferenza ( C ) : diametro ( d ),

il risultato è sempre 3,1415926535…

La lunghezza del diametro nella lunghezza della circonferenza

ci sta tre volte e un po’.

Per semplificare i calcoli, si considerano soltanto le prime due cifre decimali: 3,14

Il rapporto 3,14 viene indicato con

una lettera dell’alfabeto greco: pi greco

FormuleFormuleC = x

dMa d = 2 x r

allora

Circonferenza uguale a p greco per il diametro

C = x 2r

Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio

Formule

inverse

Cd C

r

• Il diametro è la corda massima.

• Gli estremi di un diametro dividono la circonferenza in due archi congruenti, chiamati semicirconferenze.

• I diametri di una circonferenza sono infiniti e tutti congruenti tra loro.

• Ogni diametro (con misura d) è congruente al doppio del raggio:

d = 2 × r

Area del cerchioArea del cerchio Consideriamo i seguenti poligoni regolariConsideriamo i seguenti poligoni regolari Un poligono a 6 latiUn poligono a 6 lati Un poligono a 10 latiUn poligono a 10 lati Un poligono a 24 latiUn poligono a 24 lati La formula per calcolare l’area di questi La formula per calcolare l’area di questi

poligoni è sempre la stessa:poligoni è sempre la stessa: A = (2P x a) : 2 A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste)dove a è l’apotema (celeste) 2P = n x l 2P = n x l ((n n = numero dei lati = numero dei lati ll lato) lato) Ogni poligono è inscritto in un circonferenza Ogni poligono è inscritto in un circonferenza

ed in rosso è mostrato il raggioed in rosso è mostrato il raggio Asserviamo cosa succede al poligono Asserviamo cosa succede al poligono

all’aumentare del numero dei lati fissando all’aumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza prima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscrittafra poligono e circonferenza circoscritta

Puoi osservare che all’aumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli

Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull’apotema

Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma nell’ultima essa diventa trascurabile

Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coinciderà con la circonferenza e l’apotema con il raggio

ConclusioniConclusioniNella formula

diventa

Formula della lunghezza di una circonferenza

diventa

segue A = (2r x r) : 2

infine

L’area del

cerchio è data

dal prodotto di p

greco per il

raggio al

quadrato

(pi greco)

Per essere più precisi,eseguendo la divisione Area ( A ) : quadrato del raggio ( r2 ),

il risultato è sempre 3,1415926535…

il quadrato del raggio (r2) nell’area del cerchio

ci sta tre volte e un po’.

Per semplificare i calcoli, si considerano soltanto le prime due cifre decimali: 3,14

Il rapporto 3,14 viene indicato con

una lettera dell’alfabeto greco: pi greco

Formula inversaFormula inversa

Arco di circonferenza Prendiamo una

circonferenza e mettiamo su di essa due punti

Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti

I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d

Arco e angolo al centro Se dagli estremi di un arco di

circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro

Tale angolo prende il nome di angolo al centro

Si dice che l’arco AB sottende un angolo e l’angolo a è sotteso da un arco AB

Cosa succede se in una circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco?

Cosa succede all’angolo ? Vediamo che esso aumenta e

questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco

Calcolo della lunghezza dell’arco

Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente valore dell’arco sarà l’intera circonferenza

Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro

Da cui ottengo il modo di calcolarmi l

Sapendo che c = x 2r

C360°

l

=

l =C360°

x

l =x 2r x

360°

Formule Inverse

=c 360°

x

x

l

d=

360°l x

x

r =360°l

x

=c360° xl

d =360°l x

x

xr

=360°l

x

Settore circolare Prendiamo un cerchio e un

suo arco BC Tracciamo i due raggi che

uniscono gli estremi dell’arco con il centro

Otteniamo cosi una porzione di cerchio

Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza. Cosa succede se aumento ?

Calcolo dell’area settore circolare L’area del settore circolare è

proporzionale al valore dell’angolo al centro

Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente settore circolare coinciderà con l’area del cerchio

Questo rapporto e quello precedente saranno uguali

Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi l’area de settore circolare

La cui soluzione mi darà l’area del settore circolare

As

=Ac

As=

Ac x

As = r2

x

Formule Inverse

=Ac

360°x

x

As

r =360°

x

=360°

x

xr2

=360°

x

As A

c

As

As

Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed

una sua corda a La corda divide il cerchio in

due parti Si definisce segmento

circolare ciascuna delle due

parti Si definisce

segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

Caso 1 il segmento non contiene il centro

In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO

L’area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

Asc = As - At

Caso 2 il segmento contiene il centro

In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO

L’area del segmento circolare sarà data dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

Asc = As + At

Se non diversamente specificato il segmento circolare si riferisce all’angolo convesso

Corona circolare

Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2

fra le due circonferenze si trova una porzione di piano

Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare

Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze

Area della corona circolare

L’area della corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore quella del cerchio minore

Acc = r22 – r1

2

Acc = (r22 – r1

2)

F I N E