Cinématique Des Solides - TD1

Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tous droits de lauteur des uvres rservs. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultation individuelle et prive sont interdites.

Sciences Industrielles

TD 1 - Enonc Cinmatique du solide

TD1 : Bras manipulateur

1. PRESENTATION DU BRAS MANIPULATEUR Le bras manipulateur prsent est constitu dun bti 0 et de trois solides 1, 2, 3. La reprsentation schmatique est donne ci-contre.

C

D

A

B

x0x1

x2y1

y3

y1

z0

0

1 2

3

Cette reprsentation est appele schma cinmatique du bras manipulateur. Ce schma est enrichi du :

Reprage : chaque solide a t affect un repre orthonorm direct. Paramtrage : chaque repre dfini lors du reprage doit tre positionn par rapport un (ou

plusieurs) autre (s). Les paramtres mis en vidence seront appels mobilits du systme mcanique. Ici, pour pouvoir animer le systme, il est ncessaire de disposer de trois moteurs. Cest pourquoi, m=3 ( )t(et )t(),t( ) dfini le nombre de paramtres juste ncessaires pour dfinir toute la cinmatique. Les positions, les vitesses et les acclrations dfinissant la cinmatique, seront donc exprimes en fonction )t(,)t(),t( et leur drives premire ou seconde par rapport au temps.

2. MODELISATION CINEMATIQUE DU BRAS MANIPULATEUR Une reprsentation structurelle de ce systme sous forme de Graphe de structure (ou de liaisons) est trs utile lors dune analyse mcanique dun mcanisme.

2.1. Graphe des structures (ou de liaisons)

0 1 32L01 L23L12

),,( 0000 zyxRrrr ),,( 1111 zyxR

rrr ),,( 2222 zyxRrrr ),,( 3333 zyxR

rrr



TD 1 - Enonc Cinmatique du solide

Les ronds de couleur reprsentent les sommets du graphe et modlisent les solides (indformables). Chaque solide est affect d'un repre orthonorm direct.

Les traits noirs sont appels : arcs du graphe et modlisent les liaisons entre les diffrents solides composant le mcanisme. Ces arcs sont modliss par des liaisons qui dfinissent la cinmatique entre les deux solides relis. L01 : Liaison pivot daxe )z,A( 01

r L12 : Liaison pivot daxe )y,B( 12

r L23 : Liaison pivot daxe )x,C( 23

r Le double indice indique que : 10 zz

rr= , 21 yy

rr= et 32 xx

rr= . Cette notation est trs utile lors des

calculs de drives vectorielles des vecteurs unitaires. 2.2. Gomtrie juste ncessaire pour tudier la cinmatique du bras manipulateur En reprenant le graphe de structure :

0 1 32L01 L23L12

),,( 0000 zyxRrrr ),,( 1111 zyxR

rrr ),,( 2222 zyxRrrr ),,( 3333 zyxR

rrr

Liaison pivot d'axe A,z01

Liaison pivot d'axe B,y12

Liaison pivot d'axe C,x23

D

Les points A, B, C et D sont indiqus sur le graphe de structure. Le point D est un point dfini sur le solide 3. Les point A, B, C sont des points lis aux caractristiques des liaisons identifies dans le mcanisme. On appelle aussi ces points (A, B, C) les points idaux associs aux liaisons. Il est donc ncessaire de les positionner relativement les uns par rapport aux autres.

Quatre points nous donnent au minimum trois vecteurs : 3231 y.LCD ; x.dBC ; x.hABrrr

===

3. QUESTIONS Voir TD1 outils utiles en mcanique 3.1. Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S1 par rapport S0 3.2. Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S2 par rapport S1 3.3. Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S3 par rapport S2

3.4. Dterminer la vitesse

0R/1RBV


1R/2RCV


2R/3RDV 3.7. Dterminer le torseur cinmatique du mouvement de R2/R0 en C


0R/3RDV en donnant le torseur cinmatique du mouvement de R3/R0

PTla


TD 1 - Corrig Cinmatique du solide

TD1 : Bras manipulateur Elments de correction

1. PRESENTATION DES MOBILITES Liaison pivot daxe )z(A, 10

r Dans un mouvement en rotation autour de laxe )z(A, 10

r du repre )z,y,x(R 1111

rrr par rapport au repre )z,y,x(R 0000rrr , tel que

langle )t( est dfini par )x,x( 10rr , le vecteur

rotation

= 100R/1R z& .

Liaison pivot daxe )y(B, 12

r Dans un mouvement en rotation autour de laxe )y(B, 12

r du repre )z,y,x(R 2222


langle )t( est dfini par )x,x( 231 rr , le vecteur rotation

= 121R/2R y& .

Liaison pivot daxe )x(C, 23

Dans un mouvement en rotation autour de laxe )x(C, 23

du repre )z,y,x(R 3333


langle )t( est dfini par )y,y( 312

, le vecteur

rotation

= 232R/3R x& .

2. REPONSE A LA QUESTION 2-1

{ }( ) 101011

0101

0/1

01

0/1

,0

0

0

0

0

,,,0

0

0

0

0

0

.

RAzyxAA

z

AV

/RR

RRA

/RR

RRV

=

=

=

=

=

&rrr

&

&

3

x0

y0

z0

x1

y1

z1

A

x1

z01

x23

y12

z2

B

y3

z3

x23

y12

z2

Cagou c

.e 1 Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. s droits de lauteur des uvres rservs. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que onsultation individuelle et prive sont interdites.

REPONSE A LA QUESTION 2-2

{ }( )

=

=

=

=

=

=

1212

121/R2R

1R/2RA

1/R2R

1R/2R

R ,B000

0

0

,y, ,B000

0

0

B0

y.

BV

V &r

&

&





{ } ( ) 2323232R/3R

2R/3RA

2R/3R

2R/3R

R ,B000

00

,,x ,B000

00

B0

x.

BV

V

=

=

=

=

=

&&&


{ }

0.h0

R 0

0

R

00h

R

000

V et

BBA+V=VR ,A0

00

00

A0

z.

111

0/R1RB

i0/R1R0/R1RA0/R1RB

0R/1R

10

010/R1R

0R/1RV

=

+=

=

=

==

&

&

&

&

{ }

y..hVo d' R ,B0

.h0

00

BV

A0

z.

120/R1RB

10/R1RB

0R/1R010/R1R

0R/1RV =

==

==

==

&&

&

&

En passant par la drive du vecteur position, on a trouv :

=

= 12

0R

0R/1RB y.hdtABd

V &

(voir TD1 outils mathmatiques utiles en mcanique). Comparer la quantit de lignes crire.


{ }

=

+=

=

=

=

&

&

&

.d00

R

0

0

R

00d

R

000

V et

CCB+V=VR ,B0

00

0

0

BV

222

1R/2RC

1R/2R1R/2RB1R/2RC

0R/1R

121/R2RB

1/R2R

1R/2RV




{ }

z..dVo d' R ,C.d

00

0

0

CV

B0

y.21/R2RC

21/R2RC

1/R2R121/R2R

1R/2RV =

==

==

=

=

&

&

&

&


=

= 2

1R

1R/2RC z.ddtBCdV &


{ }

=

+=

=

=

=

&

&

&

.L00

R

00

R

0L

0

R

000

Vet

DDC+V=VR ,C0

00

00

CV

333

2R/3RD

2R/3R2R/3RC2R/3RD

2R/3R

232R/3RC

2R/3R

2R/3RV

{ }

z..LVo d' R ,D.L

00

00

DV

CV

32/R3RD

32R/3RD

2R/3R

2R/3RC

2R/3R

2R/3RV =

=

=

=

&

&

&


=

= 3

2R

2R/3RD z.LdtCDdV &


{ } { }1

0R/1R

2

1R/2R

R ,B0.h0

00

etR ,C.d

00

0

0V V

=

= &

&&

& transporter au point C

0cos..d.h

0

R 0

0

R

sin.d0cos.d

R

0.h0

RVCB+V=V

1111

0R/1RC0R/1R0R/1RB0R/1RC +=

+=

&&

&

&




{ } { }1

0R/1R

12

1R/2R

R ,B0.h0

00

etR ,Ccos..d

0sin..d

0

0

R ,C.d00

0

0V V

=

=

= &

&&

&

&

&

&

{ } { }111

0R/1R1R/2R

R ,Ccos..dcos..d.h

sin..d

0

R ,C0cos..d.h

0 0

0

R ,Ccos..d0sin..d

0

0V V

+

=

+

+

=+

&

&&

&

&

&&&

&&

&

&


++=

=

1012112

0R

0R/2RC z.sin..y.cos.x.cos.dy.hdtACdV &&&&


Torseur cinmatique du mouvement de S3 par rapport S2 dans la base du repre R1

{ }

R ,Dcos.cos..Lsin..L

sincos..L

sin.0

cos.

R ,D.L00

00

DV 132R/3RD

2R/3R

2R/3RV

=

=

==

&

&

&

&

&

&

&

Il reste transporter au point D, les torseurs suivants :

{ } { }1

0R/1R

2

1R/2R

R ,B0.h0

00

etR ,C.d

00

0

0V V

=

= &

&&

&

Transport du torseur { }0R/1RV en D projet dans R1.

0sinsin..Lcos..d.h

cos.L.

R 0

0

R

cos.sin.Lsin.dcos.L

sinsin.Lcos.d

R

0.h0

RV

DB+V=V

1111

0R/1RD

0R/1R0R/1RB0R/1RD

=

+=

&&&

&

&

&

{ }11

0R/1R

R ,D0sinsin..Lcos..d.h

cos.L. 0

0

R ,B0.h0

00

V

=

= &&&

&

&

&

&

Transport du torseur { }1R/2RV en D projet dans R1 { }

12

1R/2R

R ,Ccos.d0sin.d

0

0

R ,C.d00

0

0V

=

=

&

&

&

&

&




=

+

=

cos..dsinsin..L0

sin..dcos.sin..L

R

0

0

R

cos.sin.Lcos.L

sinsin.L

R

cos..d0sin..d

RV

DC+V=V

1111

1R/2RD

1R/2R1R/2RC1R/2RD

&&

&&

&

&

&

{ }12

1R/2R

R ,Dcos..dsinsin..L0

sin..dcos.sin..L

0

0

R ,C.d00

0

0V

=

=

&&

&&

&

&

&

On obtient : { } { } { }

111

0R/1R1R/2R2R/3R

R ,D0sinsin..Lcos..d.h

cos.L. 0

0

R ,Dcos..dsinsin..L0

sin..dcos.sin..L

0

0

R ,Dcos.cos..Lsin..L

sincos..L

sin.0

cos.

V V V

+

+

=++

&&&

&

&&&

&&

&

&

&

&

&

&

{ }1

0R/3R

R ,Dsinsin..Lcos.cos..Lsinsin..Lcos..d.hsin..L

cos.L.cos.sin..Lsincos..L

sin.

cos.V

+++

=

&&

&&&&

&&&

&&

&

&


( ) ( )( ) ( )

+++++++=

= 10121

0R

0R/2RD z.cosLsin..dysincos.L.cos.sin.Lcos..dhxsinLcos..ddtADdV &&&&&&&&&

PRESENTATION DU BRAS MANIPULATEURMODELISATION CINEMATIQUE DU BRAS MANIPULATEURGraphe des structures (ou de liaisons)Gomtrie juste ncessaire pour tudier la cinmatique du bras manipulateur

QUESTIONSDonner le torseur cinmatique dans le mouvement de S1 par rapport S0Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S2 par rapport S1Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S3 par rapport S2Dterminer la vitesseDterminer la vitesseDterminer la vitesseDterminer le torseur cinmatique du mouvement de R2/R0 en CDterminer la vitesse en donnant le torseur cinmatique du mouvement de R3/R0

SI-TD03C-MMC-AC.pdfPRESENTATION DES MOBILITESREPONSE A LA QUESTION 2-1REPONSE A LA QUESTION 2-2REPONSE A LA QUESTION 2-3REPONSE A LA QUESTION 2-4REPONSE A LA QUESTION 2-5REPONSE A LA QUESTION 2-6REPONSE A LA QUESTION 2-7REPONSE A LA QUESTION 2-8

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