Cinemática Relativística em Física de...
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Cinemática Relativística em Física de Partículas
Cinemática Relativística
ProfessoresSandro Fonseca de SouzaDilson de Jesus Damião
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Sumário! Motivações! Transformações de Lorentz! Sistemas de referência para processos de
colisão em FAE! Variáveis cinemáticas! Variáveis de Mandelstam! Seção de Choque ! Espaço de Fase para decaimento de dois
corpos2Cinemática Relativística
Bibliografia Sugerida! E. Byckling and K. Kajantie - Particle
Kinematics, March 1971, Finland.! R. Hagedorn - Relativistic Kinematics: A
guide to the Kinematic problems of High Energy Physics
! S. Novaes - Cinemática Relativística, UNESP-SP, Brasil
3Cinemática Relativística
Motivações! Introdução dos princípios básicos, aplicações
práticas e métodos conhecidos dos aspectos da FAE que são baseados puramente na cinemática.
! Cinemática pode ser definida como “a geometria do movimento”
! Cinemática relativística é uma aplicação da relatividade especial para reações com partículas elementares.
4Cinemática Relativística
Motivações
! Do ponto de vista da puramente cinemático, partículas são completamente caracterizados por suas energias e momentum (ex. seus quadrimomentum p);
! As reações de partículas observáveis são por tanto os decaimentos ou colisões;
! Os números quânticos internos são irrelevantes para a cinemática das partículas elementares.
5Cinemática Relativística
๏ Considerando um ponto A no espaço tempo onde:‣S pode ser descrito (x,y,z,t)‣e S’ (em movimento) pode ser
descrito (x’,y',z',t')(1) Considerando que o sistema S’
se move com uma velocidade constante v ao longo do eixo x
Transformações de Lorentz
6Cinemática Relativística
x
0 = �(x� vt)y0 = y
t
0 = �(t� vx)z0 = z
A
SS v
S ) S0 S0 ) S
x = �(x0 + vt)
t = �(t0 + vt)
y = y0
z = z0
c = 1
� =1p
1� v2fator de Lorentz
S’
vx
= |v| = v
p|| = p
x
= pcos#
๏ Considerando o quadi-momemtum ‣ S pode ser descrito
‣ e S’ (em movimento) pode ser:
Transformações de Lorentz
7Cinemática Relativística
A
SS v
c = 1
� =1p
1� v2fator de Lorentz
p ⌘ (E, p) = (E, px
, py
, pz
)
p0 ⌘ (E0, p0) = (E, p0x
, p0y
, p0z
)
‣ As transformações de Lorentz para o quadri-momentum são:
S’
p0
x
= �(px
� vE)
E0 = �(E � vpx
)p0
z = pz
p0y = py
vx
= |v| = v
S ) S0� =1p
1� v2fator de Lorentz
y
x
z
p||
p?
p
p = (px
, p
y
, p
z
) = |p|(sen✓cos�, sen✓sen�, cos✓)
✓
�p? =
qp2
y + p2z
✓
Noções e Convenções
c = ~ = 1
x
⌫ = (x0, x
1, x
2, x
3) = (t, ~x) = (t, x, y, z)
E = �mp = ��m
pµ = (p0, p1, p2, p3) = (E, ~p) = (E, ~pT
, pz
) = (E, px
, py
, pz
)
a.b = a0b0 � ~a.~b
Unidades Naturais
Coordenadas Espaço-TempoVetor contravariante
Momentum e Energia Relativística
Vetor quadrimomentum
Momentum escalar de dois quadrivetores a e b
Relação entre energia e momentum E2 = p2 +m2
m = massa de repouso
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� =pE
� = (1� �2)�1/2 = E/mVelocidade da partícula:
p2 = pµpµ = E2 � |p2| = m2
Exercício 0 : Quando um píon decai um dois fótons, qual a energia do fóton?
Sistemas de coordenadas
Na descrição destas colisões, dois sistemas de referência são usualmente utilizados:
• Sistema de Centro de Massa (CM): é o sistema onde:
~pa + ~pb = 0
Consideremos a colisão de duas partículas de quadrimomentum
(Ea, ~pa) (Eb, ~pb)
• Sistema de Laboratório (LAB): é o sistema no qual são feitas as medidas.• Em experimentos de alvo fixo este sistema coincide com o
sistema do alvo, onde uma das partículas encontra-se em repouso (e.g. b):
• Nos experimentos de anéis de colisão, onde feixes de partículas idênticas colidem em direções opostas, este sistema coincide com o CM.
~pb = 0
9
Sistemas de coordenadas
10
A energia total da colisão como sendo:
ET =ps =
qm2
1 +m22 + 2Elab
1 m2
Exercício 1: Prove a equação acima.
Sistema de Laboratório (LAB)
Exercício 2: Considerando
ET ⇡ps ⇡
q2Elab
1 m2
Elab1 � m1,m2
Prove está aproximação;
Experimento de Rutherford (1908)
Sistemas de coordenadas
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A energia total da colisão como sendo:
Exercício 3: Prove a equação acima.
Sistema de Centro de Massa (CM)
Prove está aproximação;
http://pdg.lbl.gov/2015/reviews/rpp2015-rev-kinematics.pdf
ET =p
s =q
m
21 + m
22 + 2E1E2(1� �1�2cos✓)
� =pE
ET =p
s = 2E1
p1 = �p2
m1 = m2
Exercício 4: Considerando
Sistemas de coordenadas
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A energia total da colisão como sendo:
Exercício 3: Prove a equação acima.
Sistema de Centro de Massa (CM)
Prove está aproximação;
http://pdg.lbl.gov/2015/reviews/rpp2015-rev-kinematics.pdf
ET =p
s =q
m
21 + m
22 + 2E1E2(1� �1�2cos✓)
� =pE
ET =p
s = 2E1
p1 = �p2
m1 = m2
Exercício 4: Considerando
Exercício 5: Um feixe de prótons com momentum de 100 GeV
atinge um alvo fixo de hidrogênio.
(a) Qual é a energia de centro de massa para está interação?
(b) Qual seria a energia do feixe necessária para atingir a
mesma energia do LHC?
(c) Quais os colisores assimétricos usados atualmente e por
que não usar um colisor mais potente?
Sistemas de coordenadas
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Comparando Colisores
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Comparando Colisores
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Exercício 5 a: Encontre
a energia de centro de
massa para o experimento de alvo fixo e um
colisor de partíc
ulas cujo o feixe de prótons tem
uma energia de 3,5 TeV.
Variáveis de Mandelstam
16Cinemática Relativística
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables
Em Física de Altas Energias seção de choque e razão de decaimentos são descritos por variáveis cinemáticas que são invariantes relativistísticos. Nos decaimentos de dois corpos existem de fato quatro invariantes disponíveis desde que a energia e momentum seja conservada de somente dois deles para definir a cinemática do evento.
http://www.physics.buffalo.edu/phy302/topic2/
Variáveis de Mandelstam
17Cinemática Relativística
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables
s = (p1 + p2)2 = (p01 + p0
2)2 = �(p1 + p2)(p0
1 + p02)
t = (p1 + p01)
2 = (p2 + p02)
2 = �(p1 + p01)(p2 + p0
2)
u = (p1 + p02)
2 = (p2 + p01)
2 = �(p1 + p02)(p2 + p0
1)
As variáveis de Mandelstam são invariantes de Lorentz em decaimentos de tipo 2->2
Variáveis de Mandelstam
18Cinemática Relativística
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables
s = (p1 + p2)2 = (p01 + p0
2)2 = �(p1 + p2)(p0
1 + p02)
t = (p1 + p01)
2 = (p2 + p02)
2 = �(p1 + p01)(p2 + p0
2)
u = (p1 + p02)
2 = (p2 + p01)
2 = �(p1 + p02)(p2 + p0
1)
As variáveis de Mandelstam são invariantes de Lorentz em decaimentos de tipo 2->2
Exercício 6 : Em espalhamento elástico do tipo: A+A =A+A, quais são as variáveis de Mandelstam?
Backup slides
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20Cinemática Relativística
Rapidez
Rapidez
21Cinemática Relativística
Rapidez
22Cinemática Relativística
Transformações de Lorentz
23Cinemática Relativística
y
x
z'
#
yy0
x
x
0
z z0
SS0
v
p||
p?
p
p|| = p
x
= pcos#
p? =q
p2y + p2
z
Sistemas de coordenadas
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Transformações de Lorentz
25Cinemática Relativística
y
x
z'
#
yy0
x
x
0
z z0
SS0
v
p||
p?
p
p|| = p
x
= pcos#
p? =q
p2y + p2
z