CINEMÁTICAMovimiento Rectilíneo

Uniformemente Acelerado(MRUA)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

En ciencias naturales es fundamental la:• Observación de un fenómeno natural, el • Registro de datos,, la• Elaboración de gráficas y, a partir de ellas, la realización de un• Análisis para determinar la ley o • Modelo matemático que rige el comportamiento del fenómeno.• El tema se abordará a partir de un video (el cual se puede

detener), a partir de él, se adquirirán datos de posición y su respectivo tiempo.

• Con ellos se hará una tabulación de posición contra tiempo (x vs. t)• Se hará una gráfica de x vs. t• Se realizará una análisis gráfico con los conocimientos hasta ahora

adquiridos del tema de movimiento rectilíneo uniforme (mru).• Ver video (mrua posición)

Video de m. r. u. a.

• Llenar la siguiente tabla de x vs. t

• Para ello, deje avanzar el video y deténgalo. Ya detenido, controle su avance con la esferita que corre en la parte inferior

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14

x(m)

Tabulación de m. r. u. a.

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14

x(m) 0 4.6 18.4 41.4 73.6 115 165.6 225.4

• Realice la gráfica de x vs. t• Recuerde o revise como se realiza una gráfica

– En que eje van las variables dependientes e independientes

– Elegir una escala adecuada– Usar papel milimétrico– Etc.

Gráfica de posición vs. tiempo

• Toda vez que realice su propia gráfica, siga el hipervínculo (posición vs. tiempo) donde se volverá a correr el video pero con su respectiva gráfica.

• En la siguiente diapositiva se muestra la gráfica, (compárela con la que Usted obtuvo)

Análisis de datos

Note que los intervalos de tiempo consecutivos son iguales:

t = t1 – t0 = t2 – t1 = t3 – t2 = ….. t7 – t6 = 2 s

y los respectivos desplazamientos:

x = x1 – x0 = m – 0 m = 4.6 m

x = x2 – x1 = 18.4 m - m = 13.8 m

x = x3 – x2 = m – 18.4 m m = 23 m

x = x4 – x3 = 73.6 m – 41.4 m = 32.2 m

x = x5 – x4 = 115.0 m – m = 41.4 m

x = x6 – x5 = m – 115.0 m = 50.6 m

x = x7 – x6 = m – 165.6 m = 59.8 m

se puede observar que los cambios de posición en

intervalos de tiempo de 2 s no son iguales, es decir el movimiento es rectilíneo no uniforme (recorre distancias diferentes en iguales

intervalos de tiempo).

Análisis de datos

.En consecuencia las velocidades medias evaluadas

en intervalos de tiempo distintos no serán constantes:

• Entre t1 y t0

• Entre t2 y t0

• Entre t3 y t0

.

sm

ssmm

ttxx

v 3.20206.4

01

011

sm

ssmm

ttxx

v 6.404

04.18

02

022

sm

ssmm

tt

xxv 9.6

0604.41

03

033

Análisis de datos

• Entre t4 y t0

• Entre t5 y t0

• Entre t6 y t0

sm

ssmm

ttxx

v 2.908

06.73

04

044

sm

ssmm

ttxx

v 5.11010

00.115

05

055

sm

ssmm

ttxx

v 8.13012

06.165

06

066

Análisis de datos

Las velocidades medias representan la pendiente de la recta secante a la curva en los intervalos de tiempo considerados y sus respectivas posiciones.

La información que proporciona la velocidad media solo es útil cuando el movimiento es rectilíneo uniforme.

Como no es nuestro caso, se requiere generar un nuevo concepto:

Velocidad instantáneaEl proceso para generarla es el siguiente.1. En su gráfica elija un punto donde desee conocer la

velocidad instantánea (por ejemplo a los 6 s)

2. Calcule la pendiente de la recta secante que une a ese punto que seleccionó y el último punto registrado en su gráfica (llámele vm6)

Velocidad instantánea

3. Tome un instante de tiempo anterior al último registrado, trace la recta secante entre ese punto y el seleccionado y calcule la pendiente de esa nueva recta secante (llámele vm5) .

4. Siga con el mismo procedimiento de tomar intervalos de tiempo cada vez menores y de calcular las pendientes de las rectas secantes.

5. Compare como son los intervalos de tiempo y las pendientes de las rectas secantes.

6. Siga con el mismo desarrollo de tomar intervalos de tiempo cada vez mas pequeños hasta que estos tiendan a cero (sin hacerse cero) y saque sus propias conclusiones.

El procedimiento anterior se muestra en las siguientes gráficas

Velocidad instantánea

Velocidad instantánea

Comparando podemos observar que satisfacen

a mediada que el intervalo de tiempo tiende a cero.

Pero los valores de la velocidad media no disminuyen arbitrariamente, se van acercado a un valor limite.

Este valor limite es la velocidad instantánea evaluada en el punto que tomamos como referencia.

6543 mmmm vvvv

116106968676 ttttt

20

60

100

140

180

l l l l ll

0 2 4 6 8 10 12 14

t (s)

*

*

*

*

*

*

**

punto elegido como referencia

Recta secante

vm6

vm = pendientes delas rectas secantes

x (m)

Velocidad instantáneaGráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente

20

60

100

140

180

l l l l ll

0 2 4 6 8 10 12 14

t (s)

*

*

*

*

*

*

**

punto elegido como referencia

Rectas secantes

vm6

vm5

vm = pendientes delas rectas secantes

x (m)

Velocidad instantáneaGráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente

20

60

100

140

180

l l l l ll

0 2 4 6 8 10 12 14

t (s)

*

*

*

*

*

*

**

punto elegido como referencia

Rectas secantes

vm6

vm5

vm = pendientes delas rectas secantes

x (m)

Velocidad instantáneaGráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente

vm4

20

60

100

140

180

l l l l ll

0 2 4 6 8 10 12 14

t (s)

*

*

*

*

*

*

**

punto elegido como referencia

Rectas secantes

vm6

vm5

vm = pendientes delas rectas secantes

x (m)

Velocidad instantáneaGráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente

vm4

vm3

20

60

100

140

180

l l l l ll

0 2 4 6 8 10 12 14

t (s)

*

*

*

*

*

*

**

punto elegido como referencia

Rectas secantes

vm6

vm5

vm = pendientes delas rectas secantes

x (m)

Velocidad instantáneaGráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente

vm4

vm3

vm2

Interpretación gráfica de la velocidad

instantánea

. x (m)

20

60

100

140

180

l l l l l l 0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

*

*

*

*

* * *

Punto elegido como referencia

Recta tangente

*

• En resumen se tiene un proceso para calcular las velocidades instantáneas a partir de una gráfica de

x vs. t • Su valor, es el de la tangente (mejor conocida

como pendiente) a la curva en el instante de tiempo en que deseamos conocerla.

• En el contexto matemático, se define la velocidad instantánea como:

dt

dx

tt

xx

t

xvvtáneataninsvelocidad

ttt

0

0

000limlimlim

Velocidad instantánea

Velocidad instantánea

Como ejemplo adicional calcule las velocidades instantáneas en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6, 8,10, 12 y 14 s (para ello, trace rectas tangentes a cada uno de esos instantes de tiempo)

Sugerencia: Para calcular la pendiente de la recta tangente requiere de dos puntos (t, x). El primer punto es el punto elegido (donde la recta toca a la curva y lo puede leer en la tabulación de x vs. t).

El segundo punto, haga que la recta tangente corte el eje horizontal, ahí, los datos para posición son (x = 0 m) y el tiempo léalo en ese mismo lugar.

Aplique la fórmula para cálculo de pendientes

Cálculo gráfico de la velocidad

instantánea

. x (m)

20

60

100

140

180

l l l l l l 0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

*

*

*

*

* * *

Punto donde queremos la velocidad instantánea

Recta tangente

*Primer punto

Segundo punto

Velocidad instantánea

En función de sus cálculos, complete la siguiente tabla de v vs. t

Ir a hipervínculo rectas tangentes , subir pantalla dejando la proyección en el pizarrón.

Los alumnos pasan al pizarrón trazan las tangentes auxiliándose de una regla, toman datos y realizar los cálculos para llenar la tabla.

Nota al profesor: en la siguiente diapositiva se presenta la tabla

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 14

v (m/s)

Velocidad instantánea

• Usted debió aproximarse a los siguientes valores

• Como podrá observar la velocidad cambia de instante a instante. La pregunta que surge es

¿Cómo cambia la velocidad?

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 14

v (m/s) 0 4.6 9.2 13.8 18.4 23 27.6 32.2

Para describir como cambia la velocidad v (t) se define el concepto de aceleración media:

El cual nos indica cuan rápido es el cambio de velocidad

en el intervalo de tiempo

Sus unidades son

0

0

tt

vv

t

vamedianaceleració

0vvv

0ttt

2s

m

Aceleración Media

De la misma forma que con el desplazamiento y la velocidad, se tiene que la aceleración también puede ser positiva o negativa, depende de:

si vf > v0 a > 0 acelerando

si vf < v0 a < 0 frenando

si vf < v0 a < 0 acelerando

si vf > v0 a > 0 frenando

0v fv

0fv 00 v

Aceleración Media

En algunas situaciones el valor de la aceleración media puede ser diferente sobre intervalos de tiempo distintos. Por ese motivo, es

útildefinir la aceleración instantánea:

la aceleración también puede escribirse como

Es decir, en un movimiento en línea recta, la aceleración es igual a la segunda derivada de la posición de la partícula con respecto al tiempo.

dtdv

tt

vv

tv

aatáneataninsnaceleracióttt

0

0

000limlimlim

2

2

dtxd

dtdv

a

Aceleración Media

Aceleración Media

Regresemos al ejemplo anterior:

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 14

v (m/s) 0 4.6 9.2 13.8 18.4 23 27.6 32.2

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14

x(m) 0 4.6 18.4 41.4 73.6 115 165.6 225.4

Analizar como cambia la velocidad calculando Δv (los cálculos se presentan en la siguiente diapositiva)

Consideremos los cambios de velocidad v = vf – v0

• Entre t2 y t1

• Entre t3 y t2

• Entre t4 y t3

s

m

s

m

s

mvvv 6.46.42.912

sm

sm

sm

vvv 6.42.98.1323

sm

sm

sm

vvv 6.48.134.1834

Aceleración Media

• Entre t5 y t4

• Entre t6 y t5

• Entre t7 y t6

sm

sm

sm

vvv 6.44.180.2345

sm

sm

sm

vvv 6.40.236.2756

sm

sm

sm

vvv 6.46.272.3267

Aceleración Media

Aceleración Media

Y las correspondientes aceleraciones medias

• Entre t2 y t1

• Entre t3 y t2

• Entre t4 y t32

34

34 3.2 smtt

vv

tv

a

2

23

23 3.2 smtt

vv

tv

a

2

12

12 3.2 smtt

vv

t

va

Aceleración Media

Si evaluamos la aceleración media en los demás intervalos de tiempo la encontraremos igual a

Este tipo de movimiento se conoce como: Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) o

con Aceleración Constante

23.2 sma

Gráficas del MRUA

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 14

v (m/s) 0 4.6 9.2 13.8 18.4 23 27.6 32.2

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14

x(m) 0 4.6 18.4 41.4 73.6 115 165.6 225.4

Los alumnos realizan gráfica v vs. t y se retroalimentan con la diapositiva siguiente

Gráfica de v vs t

En una gráfica de velocidad contra tiempo el valor de la pendiente de la recta es la aceleración.

Gráfica de v vs t

La ecuación de la posición x = x(t) que describe el movimiento con aceleración constante, puede ser obtenida al considerar que para

este movimiento en particular la velocidad media (promedio) en

cualquier intervalo de tiempo coincide con la media aritmética de la

velocidad inicial, v0 y de la velocidad final v, es decir :

Velocidad media velocidad media aritmética

igualando

Despejando

20vv

v

0

0

tt

xx

t

xvm

mvv

0

00

2 tt

xxvv

00

0 2tt

vvxx

Ecuaciones de M R U A

Ecuaciones de M R U ATeniendo en cuenta que v = v0 + at , se puede sustituir en

Desarrollando queda:

Lo que nos indica la grafica x vs t es una sección de parábola(En cursos de matemáticas sería de la forma y = a + bx + cx2)

00

0 2tt

vvxx

0000

0 2tt

vttavxx

20000 2

1ttattvxx

Ecuaciones de M R U ALas ecuaciones

Describen completamente al movimiento uniformemente acelerado o movimiento con aceleración constante.

atvv 0 20000 2

1ttattvxx

Sin embargo es posible obtener a partir de éstas un par de ecuaciones mas:

• Una de ellas relaciona el cambio de la posición con el cambio de velocidad y la aceleración. En ausencia del tiempo:

• En la otra nos relaciona el cambio de la posición con velocidad y el tiempo, pero en ausencia de la aceleración:

020

2 2 xxavv

tvvxx 00 2

1

Ecuaciones de M R U A

Resumen de Ecuaciones de M R U A

Modelo matemático Información adicional

x = x0 + v0t + ½ at2 No contiene la velocidad final

x = x0 + ½(v + v0)t No contiene la aceleración

x = x0 + vt - ½ at2 No contiene la velocidad inicial

v = v0 + at No contiene la posición

v2 – v02 = 2a(x-x0) No contiene el tiempo

x = x0 + vt - ½ at2 No contiene la velocidad inicial

Simulación de problemas de libro de texto

• Resnick sec. 2-6 problema 35• Resnick sec. 2-6 problema 36• Resnick sec. 2-6 problema 38• Resnick sec. 2-6 problema 45• Resnick sec. 2-6 problema 47

Tarea de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

Fecha de entrega:Asesorías:Talleres extracurriculares:Ligas de interés:

Tarea de M R U A