Cinemática dos Corpos Rígidos · Cinemática dos Corpos Rígidos Neste capítulo serão...

Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017

Cinemática dos Corpos Rígidos Neste capítulo serão considerados apenas movimentos planos dos corpos ou conjuntos de corpos

rígidos. Os movimentos classificam-se em: translação, rotação e movimento plano geral.

Translação O movimento de translação de um corpo rígido assemelha-se ao movimento da partícula. A cada

instante, todos os pontos do corpo (todas as partículas que o constituem) têm os vectores de

deslocamento, velocidade e aceleração exactamente iguais. A recta que une dois pontos

arbitrários A e B (duas partículas A e B que pertencem ao conjunto de partículas que constituem

esse corpo) do corpo rígido mantem-se paralela em cada instante durante o movimento e por isso

as trajectórias de todos os pontos mantêm-se também paralelas. A trajectória percorrida pelo

corpo pode ser recta ou curva, ou seja, a translação denomina-se rectilínea (figura abaixo à

esquerda: as trajectórias são rectas) ou curvilínea (figura abaixo à direita: as trajectórias são

curvas).

Qualquer ponto do corpo pode caracterizar o movimento de translação de maneira inequívoca e

igual. Seja /B A B Ar r r o vector que liga dois pontos arbitrários A e B do corpo rígido. Sendo este

vector constante ao logo do tempo, todas as derivadas segundo o tempo são nulas e por isso:

/B A B A A Br r r v v

/B A B A A Br r r a a


O vector do deslocamento que é o vector que liga a posição inicial de um ponto com a sua posição

final num dado instante de tempo, pode escrever-se como:

A A Au r r

Neste caso Ar designou o vector de posição do ponto A na sua nova posição, ou seja, A’. Das

relações acima vê-se que:

/ /B A B A B A B A A A B Br r r r r r r r r r

ou seja, os vectores de deslocamento são iguais

A Bu u

As deduções apresentadas comprovam as definições ditas acima.

Rotação Durante o movimento de rotação, cada partícula A que constitui o corpo faz o movimento

circular, ou seja, a trajectória da partícula A é uma circunferência com o raio definido pela

distância desta partícula ao centro de rotação C. Neste caso usam-se tal como na cinemática da

partícula, grandezas angulares, ou seja: o ângulo percorrido rad , a velocidade angular

rad/s e a aceleração angular 2rad/s . Se a distância entre A e C for r o

caminho percorrido coincide com o arco s r , a intensidade da velocidade linear é

v r r e a direcção do vector correspondente é tangente à trajectória no sentido de

progressão do movimento. A intensidade da aceleração tangencial é ta r r r e a

direcção do vector correspondente é tangente à trajectória no sentido de progressão do

movimento quando acelera e no sentido oposto quando desacelera. Existe ainda a componente

normal da aceleração cuja intensidade é, 2

2

n

va r

r e a direcção do vector correspondente é

normal à trajectória (perpendicular à tangente) com o sentido direccionado para o centro da

rotação, independente do sentido do vector ta .

Para distinguir claramente as duas velocidades, usa-se às vezes o adjectivo “linear”, ou seja, a

velocidade v com a unidade [m/s] pode ser chamada, velocidade linear. Neste contexto a palavra

linear não tem nada a ver com alguma função linear, apenas representa o “recto”, tal como por

exemplo o termo, “mola linear”. O recto neste sentido não limita o movimento para o rectilíneo.

A

C

r

v

A

C

2r

ta

acelerado desacelerado

A

C

2r ta

r


Movimento plano geral O movimento plano geral pode a cada instante separar-se em translação e rotação. Esta

separação pode aplicar-se ao movimento finito ou infinitesimal e aplica-se aos deslocamentos,

velocidades e acelerações. Para definir esta separação utiliza-se a definição do movimento

relativo, ou seja:

/A B A Bu u u

/A B A Bv v v

/A B A Ba a a

Estas equações podem ser utilizadas apenas estritamente no seu sentido vectorial. As equações

são fáceis de decorar, imaginando que a equação aplica-se aos índices e que “/” representa a

substração, depois os índices dizem: A=B+A-B. O significado físico diz que o deslocamento (a

velocidade, a aceleração) do ponto A pode ser obtida usando o deslocamento (a velocidade, a

aceleração) do ponto B mais o deslocamento (a velocidade, a aceleração) relativo de A

relativamente ao B. No movimento plano geral quando os dois pontos pertencem ao mesmo

corpo (ou representam o mesmo movimento plano geral) o movimento relativo é representado

pela rotação, o que facilita a utilização das equações acima. Ou seja, o termo do movimento

relativo representa a rotação do ponto A em torno do ponto B, ou seja, o movimento em que o

ponto A está a circular e o ponto B permanece fixo e representa o centro de rotação. O ponto B

pode ser designado o ponto de referência, e o ponto A, cujas componentes as equações acima

determinam, pode ser chamado o ponto “de interesse”. Como já deduzido para os deslocamentos

no capítulo PTV, aos pontos de referência diferentes está associada a componente de translação

diferente, mas a componente de rotação será sempre igual. Visto a velocidade ser tangente à

trajectória, o CIR determinado para a definição dos deslocamentos elementares servirá também

para a definição de velocidades, porque as velocidades induzem em tempo infinitesimal os

deslocamentos infinitesimais nas mesmas direcções e sentidos. Por isso o CIR pode-se definir

como o ponto de velocidade nula e esta definição vai designar o mesmo CIR que foi utilizado no

capítulo PTV.

Nas figuras abaixo representam-se vários casos de separações dos movimentos.

A figura acima representa o movimento da barra encostada às duas superfícies. A sua posição

inicial é azul, e a final é verde. Escolhendo o CIR como o ponto de referência, o movimento pode

ser representado apenas como uma rotação em torno do CIR. Nota-se que o CIR muda a sua

posição a cada instante, e por isso o movimento finito tem que ser construído como a soma dos


movimentos infinitesimais. No entanto arbitrando qualquer outro ponto como de referência, o

movimento separa-se novamente em translação e rotação. A seta que corresponde ao

deslocamento de translação é diferente para pontos de referência diferentes, mas a contribuição

da rotação permanece igual. O movimento representado não precisa de ser infinitesimal, mas

pode ser finito.

O mesmo verifica-se para as esferas, rodas ou discos em movimento de rolamento sem

escorregamento.

O movimento representado na figura acima pode-se separar em translação e rotação, o ponto de

referência que se costuma usar mais frequentemente é o ponto A.

Translação Rotação


Dois pontos de velocidades conhecidas Da teoria apresentada no capítulo PTV, torna-se óbvio que

sabendo as velocidades de dois pontos que pertencem ao mesmo

corpo, é possível determinar a posição do CIR tal como se visualiza

na figura ao lado. No entanto verifica-se que neste caso as

intensidades de velocidades são dependentes, porque tem que

verificar:

A Bv v

ACIR BCIR

Ou seja, no plano é possível saber por exemplo a velocidade do ponto A e depois apenas a

direcção da velocidade do ponto B.

Usando o conceito das projecções, pode ainda concluir-se que

, ,, , A y B yA x B x

y y x x

v vv v

B A A B

Quando os vectores de velocidades são paralelos, o corpo sofre uma translação e os vectores têm

que ter a mesma intensidade, porque o CIR correspondente está no infinito, na direcção

perpendicular às direcções das velocidades (figura abaixo, à esquerda). Apenas quando se verifica

que os pontos A e B estão colocados na mesma recta perpendicular aos vectores de velocidades,

as intensidades de velocidades podem ser diferentes (figura abaixo, à direita) e a velocidade

angular verifica:

A Bv v

ACIR BCIR

ou A Bv v

AB

Na equação acima as velocidades entram com

a sua intensidade. A subtracção (ou a soma) faz

se de acordo com a actuação real que também

define o sentido de velocidade angular.

É ainda possível considerar alguma projecção arbitrária, por

exemplo pelo ângulo , tal como na figura à direita. Assim, pode

concluir-se:

, ,cos cos

cos

A p B pA Bv vv v

dAB

Ou no caso das velocidades não paralelas, assumindo

que o ângulo é delimitado por A, CIR e B

,cos

cos

A B pA Bv vv v

dCIRA CIRB


Ou seja, para determinar a velocidade angular é suficiente conhecer 2 componentes paralelas de

velocidades de 2 pontos do mesmo corpo. Depois a diferença escalar destas componentes (ou a

soma no caso da actuação oposta) divide-se pela distância das rectas que identificam as direcções

destas componentes e passam pelos pontos considerados.

Para completar, pode dizer-se que sabendo a velocidade no ponto A e a

velocidade angular, o CIR pode ser facilmente encontrado na recta

perpendicular à velocidade, à distância d ACIR que satisfaz

AvACIR

Dois pontos de acelerações conhecidas

Ao contrário dos deslocamentos infinitesimais e das velocidades, as

acelerações em 2 pontos do mesmo corpo podem ter sentidos e

intensidades quase arbitrárias. Existe apenas uma condição que será

definida em seguida.

Para resolver a aceleração angular e a velocidade angular, torna-se

mais vantajoso usar o referencial especificado na figura ao lado.

Usando a propagação de acelerações e arbitrando no sentido anti-

horário:

2, ,

/

, ,

B x A x

B A B A

B y A y

a a ABa a a

a a AB

ou seja

, ,B y A ya a

AB

e , ,2 A x B xa a

AB

Por outras palavras, basta projectar as acelerações na direcção

perpendicular à recta que une os dois pontos e retirar a aceleração

angular como o ângulo infinitesimal. Realça-se, no entanto, que isso

não significa que estas componentes projectadas são as

componentes tangenciais, ou seja, as trajectórias destes dois pontos

não são na direcção perpendicular à recta que une os dois pontos.

Para a determinação da velocidade angular, a projecção faz-se na

recta que une os dois pontos. Visto que a equação define o quadrado

da velocidade angular, a subtracção tem que ser positiva, o que em

termos geométricos significa que as componentes não podem

“alargar” a recta que une esses dois pontos. Ou seja, imaginando

que as projecções representam os “deslocamentos” dos pontos, o

“comprimento” novo não pode ser maior. Este conceito é o mais

simples e não é possível fazer a generalização como no caso das

velocidades.


Problemas que envolvam apenas as velocidades Barras As barras ou os conjuntos de barras em princípio formam as estruturas reticuladas. Como

justificado acima, os problemas que envolvam apenas as velocidades resolvem-se da maneira

explicada no capítulo PTV. A diferença baseia-se em dois pontos: (i) a estrutura do enunciado será

já um mecanismo, ou seja, não se vai introduzir nenhuma libertação como no capítulo PTV; (ii) o

objectivo do cálculo será o campo de velocidades, e por isso 1 valor será dado e com a sua

implementação os restantes valores serão calculados. Isso é válido para mecanismos com 1 GDL,

porque, em analogia, o campo de deslocamentos infinitesimais de um mecanismo com 1 GDL é

definido via 1 parâmetro. Se a estrutura analisada fosse um mecanismo com mais GDL, mais dados

tem que ser definidos para se poder resolver o problema em causa.

Para descobrir o campo de velocidades, pode traçar-se o campo de deslocamentos infinitesimais

e substituir os deslocamentos pelas velocidades lineares e os ângulos de rotação pelas

velocidades angulares.

Problema

Sabendo que a barra AB tem a velocidade

angular 3rad/sAB no sentido anti-horário,

determine as velocidades angulares das barras

BD e DE.

Resolução:

1. Separação em corpos e a determinação dos CIRs

Corpo I: barra AB

Corpo II: barra BD

Corpo III: barra DE

Os apoios fixos correspondem aos CIRs absolutos

o que define 1CIR e

3CIR

Rótulas internas correspondem aos CIRs relativos

o que define 12CIR e

23CIR

O primeiro teorema permite traçar 2 rectas

(vermelhas tracejadas) que determinam a posição

do 2CIR . O

2CIR está posicionado na intersecção

destas rectas. Visto as rectas serem paralelas, o

2CIR está posicionado no infinito na direcção das

rectas.

2. O campo de velocidades

Basta estabelecer as relações entre as velocidades angulares em

semelhança com os deslocamentos virtuais, onde o objectivo

era estabelecer as relações entre os ângulos de rotação.

150

1CIR

3CIR

12CIR

23CIR

2CIR 2CIR

2,CIR

150

DE

Bv

Dv

150


O campo de velocidades pode ser representado na figura ou em projecção. No entanto este

problema é tão simples que a visualização de campo de velocidades poderá ser feita directamente

na figura. Pode deduzir-se que:

150 300B AB D DEv v

11,5rad/s

2DE AB (horário)

0BD (corpo em translação)

Nota-se que o cálculo é feito na forma escalar e sem sinais. O sentido das velocidades

determina-se de acordo com o esboço. É importante realçar que o cálculo se refere apenas a um

dado instante de tempo, em que as barras se encontram na posição mostrada. Avançando o

movimento, a posição das barras (que teria de ser determinada pelas regras do movimento finito

e não infinitesimal) será diferente e certamente o CIR da barra BD não vai continuar no infinito, e

por isso a barra terá alguma velocidade angular. A determinação desta velocidade já não seria tão

fácil como no cálculo anterior. Nota-se, no entanto, que os CIRs das outras barras, AB e DE

permanecerão inalterados. Neste contexto faz sentido distinguir os CIRs absolutos fixos e móveis.

O CIR absoluto fixo é habitualmente aquele que foi determinado na posição de apoio fixo, não

muda a sua posição ao longo do movimento finito e por isso além de ter as propriedades do CIR,

coincide também com o centro do movimento de rotação do corpo a que pertence. O CIR

absoluto móvel é habitualmente determinado na intersecção de algumas rectas e por isso muda a

sua posição a cada instante.

No problema anterior determinaram-se as velocidades angulares das barras. Se forem solicitadas

algumas velocidades lineares, estas determinavam-se do mesmo modo como os deslocamentos na

parte de PTV. No problema anterior isso foi aplicado no cálculo das velocidades Bv e

Dv .

Rodas (Discos, Esferas) Os principais movimentos das rodas são o movimento de rotação e o movimento de rolamento.

Quando o rolamento ocorre sem o escorregamento, isso significa que as superfícies cujos pontos

entram em contacto avançam de tal modo que o comprimento percorrido, s, é igual. Isso significa

que não há movimento relativo entre esses pontos e por isso a velocidade do ponto de contacto

tem que ser igual. Se a roda rolar sobre uma superfície em repouso, a velocidade do ponto de

contacto é nula e para os efeitos de análise de movimento, este ponto coincidirá com o CIR

(absoluto). Se a roda rolar sobre uma superfície em movimento, ou sobre outra roda em

movimento, a velocidade do ponto de contacto é diferente de zero e para os efeitos de análise de

movimento, este ponto coincidirá com o CIR relativo.

É necessário distinguir o ponto de contacto, do ponto comum. O ponto comum, por exemplo uma

rótula interna, habitualmente pertence a dois corpos e por isso verifica as regras do movimento de

cada um dos corpos e os seus vectores de deslocamento, velocidade e aceleração são únicos. O

ponto de contacto em princípio representa 2 pontos distintos, e cada um pertence a um corpo


diferente. Quando não há escorregamento no lugar de contacto, as componentes tangenciais do

deslocamento infinitesimal, da velocidade e da aceleração são iguais. No caso do deslocamento

infinitesimal e da velocidade, não existem outras componentes do que as tangenciais, e por isso

pode-se dizer que o deslocamento infinitesimal e a velocidade no ponto de contacto são iguais.

Para as acelerações isso já não é verdade, a componente normal de aceleração dos dois pontos

que entram em contacto, em geral, será sempre diferente. Este facto é bastante importante e será

ainda referido na parte das acelerações.

Problema

O braço AB gira com uma velocidade angular de AB no sentido

horário. As rodas A e B, de raios Ar e

Br rolam sem escorregar

sobre si. Determine a velocidade angular da roda A para a qual:

a) a velocidade angular da roda B é de B no sentido anti-

horário;

b) o movimento da roda B é uma translação curvilínea.

Resolução

O mecanismo da figura é composto por 3 corpos, duas rodas e

uma barra. A roda A está apoiada, e por isso faz o movimento de

rotação em torno do apoio, que coincide com o seu CIR

absoluto. Este ponto coincide também com o ponto em torno do

qual roda a barra, é por isso também o CIR da barra. O centro da

roda B, onde há ligação entre a roda B e a barra, é o ponto

comum a dois corpos, ou seja, o CIR relativo, e por isso a

velocidade neste ponto pode ser relacionada quer à roda B, quer

à barra AB. Finalmente o ponto de contacto é o CIR relativo das

duas rodas.

O esboço dos movimentos foi afastado da figura das rodas para não se confundir. Neste caso não

foi projectado para alguma recta particular, porque sabendo os raios das rodas, não é vantajoso

visualizar o esboço em projecção com comprimentos projectados. Por isso, também as

velocidades se visualizam nos seus valores reais e não projectados.

A posição deformada da roda A está representada pela recta vermelha. Esta recta de facto

corresponde à posição deformada do raio da roda assumindo um movimento infinitesimal iniciado

quando este raio estava alinhado com a barra. Igualmente a roda B, representada pela recta

verde, corresponde à posição deformada do raio da roda B. A barra está representada pela recta

azul. O esboço verifica as mesmas velocidades no ponto B, entre a roda B e a barra AB (rectas

verde e azul), e no ponto C, entre a roda A e a roda B (rectas vermelha e verde). Prolongando a

recta verde, encontra-se o ponto da velocidade nula da roda B. Ou seja, o CIR da roda B foi

encontrado da maneira explicada anteriormente e refere-se a dois pontos de velocidades

conhecidas. Os declives das rectas representam as velocidades angulares. Para se relacionar a

velocidade angular B mais facilmente, foi introduzida uma recta paralela à base do esboço.

,B ABCIR

,B ACIR

AB ACIR CIRAB

Bv

CvA

B

B


Nota-se que a velocidade angular B introduzida, roda no sentido anti-horário, tal como exige a

alínea a). Por esta razão é possível relacionar os valores apenas da forma escalar. Do esboço lê-se

directamente:

A A C B B Br v v r

AB A B Br r v

ou seja

AB A B B B

A

A

r r r

r

Este resultado corresponde à alínea a).

b) Uma translação curvilínea significa que a roda B não sofre de rotação, ou seja 0B e por isso

AB A B

A

A

r r

r

Problema

O braço ABC gira em torno do ponto C com velocidade angular de

40rad/s no sentido anti-horário. Dois discos de atrito A e B estão

pinados em seus centros ao braço ABC do modo mostrado na figura.

Sabendo que os discos rolam sem escorregar nas superfícies de

contacto, determine a velocidade angular:

a) do disco A;

b) do disco B.

Resolução

Seja D o ponto de contacto entre os

dois discos, E o ponto de contacto do

disco B com a cavidade, e F a outra

extremidade do disco A. Na figura ao

lado visualiza-se a forma deformada

do conjunto. A resolução começa por

representar a barra cuja velocidade

angular é dada. Faz-se a sua rotação

em torno do C no sentido anti-horário

(recta azul). O Ponto C corresponde

ao CIR da barra. Esta deformada

define as velocidades dos centros dos

dois discos.

Visto que o ponto E tem a velocidade nula, coincide com o CIR do disco B cuja velocidade angular é

40 1824rad/s

30

ABCBB

B B

CBv

r r

(horário)

mm48

mm30

ABC

Bv

Av BABCA BCD

EF

Dv

BCIRbarraCIR

ACIR

A

A


A velocidade angular do disco B permite determinar a velocidade do ponto do contacto D com o

disco A. Visto que a velocidade do centro do disco A é definida pela rotação da barra, o disco A

possui dois pontos de velocidades conhecidas. Tal como explicado anteriormente, o CIR do disco A

está posicionado na intersecção da recta vermelha com a horizontal. O declive corresponde à

velocidade angular. Para facilitar o cálculo, é possível imaginar as rectas vermelhas tracejadas e

calcular

24 60 40 24200rad/s

12

B ABCD AA

A A

DE ACv v

r r

(anti-horário)

Problemas que envolvam as velocidades e as acelerações Em primeiro lugar é necessário realçar, que em geral é sempre necessário resolver o campo de

velocidades antes de começar a lidar com o campo de acelerações, porque as velocidades definem

as componentes normais de aceleração. Apenas se o movimento de todos os corpos se iniciasse

do repouso, o campo de velocidades seria nulo e consequentemente poder-se-ia começar com as

acelerações.

Barras Depois de determinar os CIRs das barras na parte de velocidades, é possível separar os CIRs em

fixos e móveis. Os CIRs fixos definem os centros de rotação. As barras com CIRs fixos que não são

posicionados no infinito (por exemplo na forma do apoio fixo) fazem o movimento de rotação

(cada partícula que constitui a barra faz movimento circular) e por isso as componentes normal e

tangencial das suas acelerações são bem definidas (conhecem-se numericamente, ou é possível

exprimi-las usando grandezas incógnitas). Quando o CIR fixo está posicionado no infinito, como

por exemplo quando a barra tem o apoio externo na forma de encastramento deslizante, a

aceleração angular da barra é nula, a barra está em translação e todas as partículas que

constituem a barra têm a mesma aceleração linear.

Quando existe um apoio móvel externo, ou as condições de movimento implicam a translação de

uma das extremidades da barra, o cálculo pode ser ajudado pelo facto de que neste lugar é

conhecida a direcção da aceleração total.


Rodas (Discos, Esferas) Movimento de rotação

Durante o movimento de rotação o centro da rotação está fixo. As trajectórias de todos os pontos

são conhecidas e formadas pelas circunferências. O ponto fixo não tem a velocidade nem a

aceleração e corresponde ao CIR fixo. As acelerações e as velocidades determinam-se tal como

explicado anteriormente.

Rolamento sem o escorregamento sobre uma superfície recta

Durante o rolamento sem o escorregamento sobre uma superfície recta, o centro da roda é o

único ponto da roda que se move sobre uma trajectória recta. Esta trajectória é paralela à

superfície. Por isso o vector da velocidade é também paralelo à superfície e o vector da aceleração

tem apenas a componente tangencial, também paralela à superfície. Neste caso costuma-se

interpretar o movimento da roda como o movimento do centro da roda, ou seja, quando se diz

que a roda move-se com uma certa velocidade (aceleração), assume-se que o centro da roda se

move com esta velocidade (aceleração). Naturalmente outros pontos têm velocidades

(acelerações) diferentes e dependentes da posição da roda num dado instante do tempo.

O ponto de contacto com a superfície (somente nesse instante) tem que verificar as condições de

contacto sem o escorregamento, ou seja as condições de movimento relativo nulo, ou seja os

pontos de contacto da roda e da superfície têm que ter as componentes de velocidades iguais e as

componentes de aceleração tangenciais iguais. Mas como os pontos pertencem aos diferentes

corpos, podem ter acelerações normais diferentes. Realça-se que se pode designar a componente

da aceleração como tangencial ou normal, apenas quando a trajectória é conhecida.

Superfície horizontal em repouso

O ponto de contacto A tem a velocidade nula e por isso corresponde ao CIR. As velocidades

determinam-se definindo primeiro a velocidade angular e depois usa-se o mesmo procedimento

como na determinação dos deslocamentos infinitesimais.

B

Cr

v

A

a

B

C

Bv

A CIR

Bv AB

B

C

v

A CIR

v

r


Realça-se que o vector de velocidade Bv é perpendicular à recta AB e por isso não é

perpendicular à superfície da roda, porque a superfície da roda não representa a trajectória do

ponto B . (A superfície da roda corresponde à trajectória dos pontos de superfície apenas durante

o movimento de rotação em que o centro da roda coincide com o centro de rotação).

Usando o conceito das projecções, é possível determinar a velocidade do ponto B directamente

em componentes, horizontal e vertical. Para a componente horizontal basta imaginar a velocidade

do ponto posicionado na recta horizontal que passa pelo ponto B , que é o mais próximo do A .

Por outras palavras, todos os pontos posicionados na recta horizontal que passa pelo ponto B

têm a mesma componente horizontal de velocidade. Para a componente vertical basta imaginar a

velocidade do ponto na recta vertical que passa pelo ponto B , que é o mais próximo do A . Por

outras palavras todos os pontos posicionados na recta vertical que passa pelo ponto B têm a

mesma componente vertical da velocidade.

ou seja

1 cos

sinB

rv

r

e

22 2 2 2 21 cos sin

2 1 cos

Bv r r

r AB

Sublinha-se que o conceito de projecção podia ser

generalizado, ou seja, todos os pontos

posicionados sobre uma recta têm a componente

de velocidade na direcção desta recta igual. Este

valor equivale à multiplicação de com a

distância desta recta ao CIR. Este conceito já foi

utilizado no capítulo PTV.

Ainda é possível usar o cálculo vectorial

1 cos 1 cos

0 0 sin sin

sin 1 cos 0 0 0

B

i j k r v

v AB r v

r r

B

C

Bv

A CIR

, 1 cosB xv r

B

C

Bv

A CIR

, sinB yv r


Nota-se que foi introduzido como negativo, porque a atribuição do vector usa a regra de mão

direita. O cálculo poderia ser efectuado directamente usando a simplificação que reduz o

resultado para 2D e em que a primeira multiplicação com a velocidade angular (cujo sinal foi

introduzido de acordo com a regra de mão direita) usa a segunda componente do vector AB

com o sinal inverso e a segunda multiplicação a primeira componente.

1 cossin 1 cos 1 cos

1 cos sin sinsinB

rr r vv AB

r r vr

O cálculo anterior na realidade corresponde à propagação de velocidades com o ponto de

referência A

/ /B A B A B Av v v v

Mas para a propagação de velocidades o mais vantajoso ponto de referência é o centro da roda

C, assim:

/

cossin 1 cos,0

sin0 cos 0 sinB C B C

rv r v vv v v v CB

rr v

Aceleração do ponto do contacto

Sabe-se que o ponto do contacto A tem a componente tangencial de aceleração nula. Usando a

propagação de acelerações:

/ 2,

0

0A C A C

A n

a ra a a

a r

Neste caso simples usaram-se directamente as componentes de aceleração normal e tangencial

nas posições das componentes, vertical e horizontal.

Na primeira figura visualizam-se as acelerações conhecidas, ou seja, sabe-se a aceleração do

centro e a aceleração tangencial do ponto de contacto. Pode haver aceleração normal no ponto

A , mas o seu valor ,A na ainda é desconhecido. O movimento separa-se em translação com C e a

rotação em torno do C . A translação visualiza-se na segunda figura, todos os pontos inclusive A

e C têm a mesma aceleração do C , ou seja a . A rotação visualiza-se na terceira figura. O ponto

C está fixo e o ponto A faz o movimento de rotação. Como o movimento é de rotação, sabe-se a

trajectória e podem-se usar as componentes da aceleração na forma tangencial e normal tal como

definidos para o movimento circular. Para isso é necessário saber a velocidade angular , que

teve que ser determinada na parte de velocidades. Falta ainda a aceleração angular , e por isso

introduz-se como um valor desconhecido e arbitra-se o seu sentido. Verifica-se que as

C a

A

,A na

C a

A

a

,C fixo

r A

2r


componentes no ponto A são representadas na equação acima. A equação é vectorial e tem duas

incógnitas, resolvendo vem: /a r e 2

,A na r .

Verifica-se que poderia ser utilizado o conceito explicado anteriormente: sabendo as

componentes de aceleração em 2 pontos distintos que pertencem ao mesmo corpo (fazem o

mesmo movimento), na direcção perpendicular à recta que une estes dois pontos, pode se

determinar a aceleração angular como o ângulo infinitesimal, do modo semelhante como se

costuma determinar a velocidade angular.

Aceleração do ponto B

Determinação gráfica via propagação de acelerações: A separação em translação com C e a

rotação em torno do C , costuma ser a separação mais vantajosa, porque o movimento de

rotação depois coincide com o movimento de rotação em torno do centro da roda, em que as

componentes de aceleração são bem conhecidas.

2 2

/ 2 2

cos sin 1 cos sin

0 sin cos sin cosB C B C

a r r a ra a a

r r a r

O cálculo vectorial segue o mesmo raciocínio

2 2

/

2 2

2 2

sin sin

0 0 cos cos

cos sin 1 cos sin

0 sin cos sin cos

B C B C

a a r ra a a CB CB

r r

a r r a r

r r a r

Superfície horizontal em movimento Admite-se que uma roda role sem escorregar sobre uma

superfície que também está em movimento. A roda move-

se com a velocidade v para a direita e acelera pelo a .

A superfície move-se na mesma direcção com a velocidade / 2v e desacelera pelo / 2a .

Pretende-se determinar a velocidade e a aceleração no ponto B da roda.

Velocidades

O ponto de contacto A não tem a velocidade nula, por isso é necessário determinar o CIR usando

o procedimento definido para 2 pontos de velocidades conhecidas. As velocidades determinam-se

B

Cr

v

A

a

/ 2v / 2a

B

C a

A

aB

,C fixo

r

A

2r

C a

A

B

?Ba


definindo primeiro a velocidade angular e depois usa-se o mesmo procedimento como na

determinação dos deslocamentos infinitesimais.

A posição do CIR foi determinada usando a semelhança dos triângulos. Realça-se novamente que

o vector de velocidade Bv é perpendicular à recta CIRB e por isso não é perpendicular à

superfície da roda porque esta não representa a trajectória do ponto B .


em componentes, horizontal e vertical. Para a componente horizontal basta imaginar a velocidade

do ponto posicionado na recta horizontal que passa pelo ponto B , que é o mais próximo do CIR .

Para a componente vertical basta imaginar a velocidade do ponto na recta vertical que passa pelo

ponto B , que é o mais próximo do CIR . Ou seja

2 cos

sinB

rv

r

e

22 2 2 2 22 cos sin 5 4cosBv r r r CIRB

Ainda é possível usar o cálculo vectorial, que neste caso corresponde a propagação de velocidades

com o ponto de referência igual ao CIR (já com a simplificação implementada):

sin 2 cos

2 cos sinB

r rv CIR B

r r

usando

sin

2 cos

rCIR B

r

É ainda possível usar a propagação de velocidade com o ponto de referência coincidente com o

centro da roda:

/

2 sin 2 cos

0 0 cos sinB C B C

v r r rv v v CB

r r

Também pode ser utilizado outro ponto de referência, por exemplo o ponto A :

/

sin/ 2 2 cos

1 cos0 0 sinB A B A

rv r rv v v AB

r r

B

Cv

A

2

v

r

/ 2v

CIR

r

B

C

Bv

A

Bv CIRB

CIR



Sabe-se que o ponto do contacto A tem a componente tangencial de aceleração definida. Usando

a propagação de acelerações:

/ 2,

/ 2

0A C A C

A n

a a ra a a

a r

Na primeira figura visualizam-se as acelerações conhecidas, ou seja, sabe-se a aceleração do

centro e a aceleração tangencial do ponto de contacto. Pode haver aceleração normal no ponto

A , mas o seu valor ,A na ainda é desconhecido. O movimento separa-se em translação com C e a

rotação em torno do C . A translação visualiza-se na segunda figura, todos os pontos, inclusive A

e C têm a mesma aceleração do C , ou seja a . A rotação visualiza-se na terceira figura. O ponto

C está fixo e o ponto A faz movimento de rotação. Como o movimento é de rotação, sabe-se a

trajectória e podem usar-se as componentes da aceleração na forma tangencial e normal, tal

como definidos para o movimento circular. Para isso tem que saber-se a velocidade angular ,

que teve que ser determinada na parte de velocidades. Falta ainda a aceleração angular , e por

isso introduz-se como valor desconhecido e arbitra-se o seu sentido. Verifica-se que as

componentes no ponto A são representadas na equação acima.

A equação é vectorial e tem duas incógnitas, resolvendo vem:

1,5 /a r e 2

,A na r . Ou seja, a aceleração angular

determinou-se usando duas componentes de aceleração

conhecidas, que actuam na direcção perpendicular à recta que une

os pontos A e C , tal como se visualiza na figura ao lado. A

componente normal é igual como no caso anterior e pode-se assim

concluir que tem a validade geral.


Determinação gráfica via propagação de acelerações usando o centro da roda C:

C a

A

a

,C fixo

r A

2r

B

C a

A

aB

,C fixo

r

A

2r

C a

A

B

?Ba

C a

A

,A na

/ 2a

C a

A

2r

/ 2a


2

22

/ 2 22

52,5 cos sincos sincos sin 4

30 sin cos

sin cos1,5 sin cos4

B C B C

va

a r rr r ra a a

r r vr ra

r

Foi utilizado que 2v r e 1,5 /a r .

O cálculo vectorial em princípio segue o mesmo raciocínio

2

2 2

/ 2

2

2

cossin sin sin

sin0 0 cos cos 0 cos

2,5 cocos sin

0 sin cos

B C B C

ra a r r a ra a a CB CB

rr r r

aa r r

r r

2

2

22

5s sincos sin4

3

sin cos1,5 sin cos4

v

r rr

vr ra

r

Superfície inclinada em movimento Admite-se que uma roda role sem escorregar sobre uma

superfície inclinada que também está em movimento. A

roda move-se com a velocidade v para baixo e acelera

pelo / 2a . A superfície move-se na direcção oposta com

a velocidade / 2v e desacelera pelo a . Determine a

velocidade e a aceleração no ponto B da roda.

Resolução

Velocidades

O ponto de contacto A não tem a velocidade nula e por isso é necessário determinar o CIR

usando o procedimento definido para 2 pontos de velocidades conhecidas. As velocidades

determinam-se definindo primeiro a velocidade angular e depois usa-se o mesmo procedimento

como na determinação dos deslocamentos infinitesimais.


em componentes; neste caso será mais vantajoso determinar as componentes na direcção

paralela e perpendicular à superfície. Para a componente paralela à superfície basta imaginar a

recta paralela que passa pelo ponto B e retirar a sua distância do CIR . Para a componente

B

C r

v

A

a

/ 2v

/ 2a

3

2

v

r CIR

B

Cv

A

/ 2v

Bv CIRBB

v

A

/ 2vCIR

referencial

usado


perpendicular à superfície basta imaginar a recta perpendicular à superfície que passa pelo ponto

B e retirar a sua distância do CIR . Ou seja

2 / 3 cos

sinB

rv

r

e

2

2 2 2 2 22 13 4cos sin cos

3 9 3Bv r r r CIR B

Ainda é possível usar o cálculo vectorial:

sin 2 / 3 cos

2 / 3 cos sinB

r rv CIR B

r r

É ainda possível usar a propagação de velocidades, por exemplo, com o ponto de referência

coincidente com o centro da roda:

/

sin cos 2 / 3 cos

0 0 cos 0 sin sinB C B C

v v r v r rv v v CB

r r r

Na relação anterior foi substituído 2 / 3v r . Pode ser utilizado qualquer outro ponto de

referência, por exemplo o ponto A :

/

sin/ 2 / 2 2 / 3 cos

1 cos0 0 sinB A B A

rv v rv v v AB

r r


Sabe-se que o ponto do contacto A tem a componente tangencial de aceleração definida. Usando

a propagação de acelerações:

/ 2,

/ 2

0A C A C

A n

a a ra a a

a r

No entanto, podia determinar-se a aceleração angular diretamente, usando os conceitos já

explicados, / 2a r , e sobre a componente normal também já se sabe que o seu valor tem

a validade geral, 2

,A na r .

A

,C fixo

r

2r

C

Aa

/ 2a

C

A

a

/ 2a ,A na

C

A

/ 2a

/ 2a

C

A

a

/ 2a2r



Determinação gráfica via propagação de acelerações: a separação em translação com C e a

rotação em torno do C . Agora torna-se mais vantajoso usar as componentes, horizontal e

vertical.

/ 2 2

2

1cos 1 cos

1 cos2 2

1 9sinsin sin

2 2 4

B C B C

aa

r ra a a

r ar ra v

r

Foi utilizado que 2

3v r e 2a r .

O cálculo vectorial em princípio segue o mesmo raciocínio

2 2

/

2 2

1 1cos cos

0 02 2

1 1sin sin

2 2

1cos 1

0 1 cos2 2

1 0 sinsin

2

B C B C

a a

a a a CB CBr r

a a

aa

r r

r r ra

2

cos

9sin

2 4

av

r

Pode concluir-se que em todos os casos a componente de aceleração perpendicular à superfície

no ponto de contacto foi de 2r .

Para determinação dos valores angulares e , foi utilizado um conceito explicado no

capítulo PTV.

B

A

,C fixo

r2r

B

C

A

/ 2a

/ 2aB

C

A

/ 2a

?Ba


Barras com velocidades e acelerações dadas Vários problemas que consideram as estruturas reticuladas começam por definir a velocidade

angular e a aceleração angular de uma das barras. Os valores angulares são os mais fáceis de

implementar porque a sua definição é completamente arbitrária e não pode entrar em

contradição. Mas poder-se-ia definir uma velocidade de 1 ponto e uma aceleração de 1 ponto

(diferente ou igual). Estes valores já não são arbitrários e têm que obedecer às leis de

cinemática.

Considera-se uma barra com apoio fixo e outra com encastramento deslizante. Recorda-se que

estes apoios retiram 2GDL e por isso definem plenamente a posição do CIR da respectiva barra

(não dão apenas uma indicação da posição do CIR, como por exemplo o apoio móvel). Por isso

estas barras podem ser consideradas como um mecanismo único ou como uma parte de

mecanismo. De qualquer maneira a discussão que se mostra em seguida é valida para ambos os

casos.

Velocidade

(1) Único movimento que a barra ao lado pode fazer é

rotação em torno do apoio. A velocidade tem que ser

paralela à recta que une o ponto em que a velocidade actua

e o CIR (sentido foi arbitrado, podia ser oposto).


translação na direcção da libertação no apoio, por isso o

vector de velocidade tem que actuar na mesma direcção,

porque é a direcção de trajectória de cada ponto da barra

(sentido foi arbitrado, podia ser oposto).

Aceleração


rotação em torno do apoio. O CIR é fixo e por isso

representa o centro de rotação. O vector da aceleração

(vermelho) tem que estar desviado para o centro de

rotação, porque depois de o decompor na sua componente

tangencial (azul) e normal (verde), o sentido da

componente normal tem que ser direccionado para o

centro. A intensidade depende da velocidade e no limite

pode ser nula.


translação na direcção da libertação no apoio, por isso o

vector de aceleração tem que actuar na mesma direcção. A

aceleração angular é nula.

,C A

BB

,C

A

a a

A C A C

B B

a a

,CIR A

BB

,CIR

A

v v

A CIR A CIR

B Bv v

ta

na

ta

na ta

AB

v

AB

0

0


O conceito das projecções (revisão do conceito explicado no capítulo anterior) O conceito das projecções simplifica todos os cálculos desta parte da matéria. Em vez de fazer

cálculos vectoriais, permite fazer um cálculo baseado em esboços na forma escalar, em que a

maior parte dos sinais é deduzida dos esboços.

O conceito pode ser explicado directamente através das figuras ou do cálculo vectorial

Assumindo O como o centro de rotação, foi definido que y

A

x

dv OA

d

, onde

x

y

dOA

d

, ou seja, ,A x yv d e

,A y xv d

Isso significa que para definir a componente

horizontal de velocidade, traça-se uma recta

horizontal pelo ponto onde a velocidade actua e

detecta-se a distância desta recta ao ponto em

torno do que se efectua a rotação, e o sentido

determina-se no esboço. Da figura vê-se que:

, sin siny

A x A y

dv v OA OA d

OA

Analogamente, para a componente de velocidade

vertical traça-se uma recta vertical pelo ponto

onde a velocidade actua e detecta-se a distância

desta recta ao ponto em torno do que se efectua a

rotação, e o sentido determina-se no esboço. Da

figura vê-se que:

, cos cos xA y A x

dv v OA OA d

OA

Em resumo, todos os pontos posicionados numa recta têm a componente de velocidade na

direcção desta recta igual.

Para completar, recorda-se como se projectam as

componentes normais de aceleração. Aqui usa-se

directamente a componente do vector OA na direcção da

componente

2 2 2

, cos cos xnA x nA x

da a OA OA d

OA

2 2 2

, sin siny

nA y nA y

da a OA OA d

OA

O produto interno confirma que os vectores das acelerações são ortogonais:

2

2 2

20

T

yx

nA tA x y x y

xy

dda a d d d d

dd

A

O x

y

ydxd

Av

,A yv

,A xv

A

O x

y

yd

Av

,A xv

B CD

,B xv

Bv

,C xv

Cv

Dv

,D xv

A

O x

y

yd

xd

nAa

,nA xa,nA ya


Problema

Sabendo que a barra AB tem a velocidade

angular 3rad/sAB no sentido anti-horário,

e aceleração angular 22rad/sAB no sentido

horário, determine as acelerações angulares

das barras BD e DE.

Resolução:

1. O campo de velocidades já foi determinado num problema

anterior. Para as acelerações é importante resumir as

velocidades angulares (sentidos são agora indiferentes)

1,5rad/sDE , 0BD

2. Para as acelerações, é importante definir primeiro os

corpos com movimentos bem definidos, que são

habitualmente os corpos com apoios externos que indicam o

tipo de movimento. As barras AB e DE têm um apoio fixo, ou

seja CIR fixo, ou seja, o centro de rotação, e é possível

determinar as componentes normais e tangenciais de

aceleração nas rótulas que ligam estas barras à barra BD.

Em seguida procede-se com a propagação de acelerações,

por exemplo:

/D B D Ba a a , onde /D Ba equivale às componentes de

rotação do ponto D em torno do ponto B, como se visualiza

ao lado.

No total há 2 incógnitas, BD e

DE . Para estas incógnitas é

possível escrever uma equação vectorial que corresponde a

duas equações escalares.

A equação pode ser representada assim:

É mais vantajoso usar directamente as projecções

Substituindo os valores numéricos e comparando as componentes verticais

150

DE

Bv

Dv

150

BD

,B fixo

BD BD2 0BD BD

AB

DEAB AB

DE DE

2

DE DE

2

AB AB

AB AB

DE DE

2

DE DE2

AB AB BD BD

AB AB

DE DE

2

DE DE2

AB AB240BD

320BD


29300 9 150 320 675 1350 320 6,33rad/s

4BD BD BD

e horizontais 2300 2 150 240 6,06rad/sDE BD DE

Concluiu-se que 0BD apesar de 0BD . Isso porque a translação da barra BD só se verifica

naquele mesmo instante.

A propagação de acelerações também pode ser interpretada da maneira seguinte: a estrutura

separa-se no ponto D e chega-se aos valores de aceleração dos dois lados. Em seguida comparam-

se as componentes horizontais e verticais, porque a aceleração do ponto D é única.

Usando novamente o conceito das projecções para a componente inclinada, obtêm-se as

equações acima. Ainda existe a possibilidade de efectuar cálculos vectoriais, mas neste caso

simples não se justifica.

Problema

Na posição mostrada, a barra AB tem uma

velocidade angular de 4rad/s no sentido

horário e a aceleração angular nula. Determine

as velocidades angulares e as acelerações

angulares das barras BD e DE.

Resolução

1. Velocidades

A resolução pode ser auxiliada pelos CIRs.

Da semelhança dos triângulos:

500

400 400

h

x

e

800

400 400

h

x

Resolvendo: 615,38mmh , 92,31mmx

As velocidades angulares resolvem-se das projecções, para a vertical ou para a horizontal.

AB AB

DE DE

2

DE DE

2

AB AB

AB AB2

AB AB

BD BD


Assim:

800 500AB BD DEh

ou analogamente:

400 400AB BD x e 400 400DE BD x

Resolvendo:

5,2rad/sBD , 6,4rad/sDE

2. Acelerações

Tal como no problema anterior a estrutura separa-se no ponto D.

Ou seja:

Em componentes

I

III

II

1CIR

3CIR

2CIR

x

h

I

III

II

1CIR

3CIR

2CIR

x

h

, ,B x D xv v

AB

BD

DE

,B yv

ABBD

DE,D yv

2

AB AB2

AB AB

BD

2

BD BD

BD BD2

DE DE

DE

DE DE

2

AB AB2

BD BD

BD BD

DE DE

2

DE DE

2 400AB

2

BD BD

BD BD

500DE

2 500DE2 800AB 400DE

2 400DE


Comparando as componentes horizontais 2 2 216 400 5,2 800 500 6,4 400 2,304rad/sDE DE (anti-horário)

e verticais 2 216 800 800 2,304 400 6,4 500 10,752rad/sBD BD (anti-horário)

Resolução usando o cálculo vectorial (para o referencial 0xy na posição habitual, onde a posição

da origem é indiferente)

400

800AB

,

800

0BD

, 400

500ED

Recorda-se que as acelerações angulares foram arbitradas nos sentidos positivos e por isso para o

cálculo vectorial simplificado basta trocar as componentes do respectivo vector e mudar o sinal da

componente que está depois na primeira posição.

2800 400

0400 800

B ABa

, 2500 400

400 500D DE DEa

2 2

/

400 0 800

800 800 0D B D B AB BD BDa a a

ou seja

2 2 2400 0 800 500 400

800 800 0 400 500AB BD BD DE DE


Casos em que a aceleração angular de um corpo é nula A aceleração angular é nula quando o corpo efectua translação rectilínea ou curvilínea. A indicação

deste movimento não se pode definir analisando apenas um dado instante, mas o movimento

completo. Ou seja, quando o CIR de algum corpo que pertence ao conjunto de corpos estiver

posicionado no infinito num dado instante, isso não assegura a aceleração angular nula, porque o

CIR daquele corpo tem que estar no infinito ao longo do movimento.

O CIR posicionado no infinito na mesma direcção verifica-se por exemplo no caso da barra com

encastramento deslizante. Neste caso a translação é rectilínea.

Quando ao longo do movimento o CIR estiver posicionado no infinito, mas mudar a sua direcção,

a translação é curvilínea. Isso verifica-se por exemplo no caso do corpo ligado a duas barras

rotuladas de mesmo comprimento, tal como se comprova na figura abaixo.

De qualquer maneira não é indispensável decorar os casos mencionados, porque o cálculo das

acelerações, usando as regras explicadas anteriormente, permite rapidamente obter a mesma

conclusão.

,CIR A

BB

,CIR

A

v v

,C A

BB

,C

A

a a

2h

1h

2h

1h 2L

2h

3h

1 3

2 0

1 3

hinstantedado

,CIR

L

h2 0

I

II

III

I

II

III

1 3

2 0 h

L

h

,CIR

outro instante2h

1h

2h

1h 2L

2h

3h

1 3

2 0


Propagação de acelerações nas estruturas reticuladas com encastramento deslizante.

O procedimento de determinação das acelerações nas estruturas reticuladas com rotulas

internas, usa diretamente o facto que as componentes da aceleração linear na rótula são iguais,

considerando a rótula como a parte integrante do primeiro ou do segundo corpo que liga. Isso é

óbvio, tratando se do mesmo ponto. No caso do encastramento deslizante, a situação não é tão

óbvia. Na realidade a componente da aceleração na direcção perpendicular ao movimento tem

que ser igual, porque nesta direcção a aceleração relativa tem que ser nula (não se pode “abrir” o

encastramento deslizante). Mas na direcção do movimento os valores são diferentes. Parece que

está se assim introduzir mais uma incógnita, mas isso não é verdade, porque a aceleração angular

do segundo corpo tem que ser igual como do primeiro. Trata-se por isso apenas da troca de

incógnitas, quando comparado com o caso da rótula interna.

Problema

Sabendo a velocidade 1 e a aceleração

1 angulares da barra AB (actuantes no sentido horário),

determine a velocidade e a aceleração angulares da barra BC e a velocidade e a aceleração linear

do apoio B.

Resolução:

1. velocidades

12 1

2

d

d anti-horário, 1 2

, 1 1

2 1

C x

d dv h h

d d

2 1 horário, , 1C xv h

(compare os resultados obtidos com o conceito das projecções)

1CIR

2CIR

12

1CIR

2CIR

12

1d 2d

h

1d 2d

h

A

B

C

A

B

C


2. acelerações

resolvendo o sistema

212 1 1

2 2

d h

d d anti-horário , 1 2B da d

2 1, 1 1 1

2

1C x

da h d

d

2

, 1 1 1 2C xa h d d

2

CaCa

2 2d

2

2 2d

1 1d

2

1 h

1h2

1 1d

1 1d

2

1 h

1h2

1 1d

,B da

1h

2

1 1d

outro lado

do encastramento

deslizante

1CaCa

1 2d

2

1 2d

Cinemática dos Corpos Rígidos · Cinemática dos Corpos Rígidos Neste capítulo serão...

Documents

Transcript of Cinemática dos Corpos Rígidos · Cinemática dos Corpos Rígidos Neste capítulo serão...