Ciepło i pierwsza zasada...

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 162

W Y K Ł A D XIII

Ciepło i pierwsza zasada termodynamiki. Ciepło jest energią, która jest przekazywana z jednego układu do drugiego w wyniku róŜnicy

temperatur obu układów. Wczesne teorie ciepła zakładały, Ŝe jest ono przenoszone przez

niewidzialny płyn z jednego ciała do drugiego i nie moŜe być nigdy stworzone lub

unicestwione.

Teoria ta przetrwała aŜ do dziewiętnastego wieku, kiedy to pokazano, Ŝe tarcie między

ciałami moŜe tworzyć nieograniczoną ilość ciepła. Współczesna teoria ciepła powstała w

latach czterdziestych dziewiętnastego wieku, kiedy to James Joule pokazał, Ŝe znikaniu czy

powstawaniu określonej ilości ciepła zawsze towarzyszy zniknięcie lub pojawienie się takiej

samej ilości energii mechanicznej.

14-1 Pojemność cieplna i ciepło właściwe.

Kiedy energia cieplna wpływa do substancji, to temperatura jej zwykle wzrasta∗. Ilość

ciepła Q niezbędna, aby podnieść temperaturę substancji o określoną wartość jest

proporcjonalna do zmiany tej temperatury i do masy ciała:

TmcTCQ ' ∆∆ == 14-1

gdzie 'C jest pojemnością cieplną, zdefiniowaną jako ilość ciepła niezbędna do podniesienia

temperatury substancji o jeden stopień, a c jest ciepłem właściwym - pojemnością cieplną

jednostki masy:

m

Cc

'

= 14-2

Historyczną jednostką ciepła jest kaloria , zdefiniowana pierwotnie jako ilość ciepła

potrzebna do podniesienia temperatury jednego grama wody o jeden stopień Celsjusza.

PoniewaŜ obecnie wiadomo, Ŝe ciepło jest inną formą energii ( czy sposobem przekazywania

energii ), to nie jest potrzebna jakaś inna jednostka do określania ciepła. W układzie SI kaloria

jest przeliczana na dŜule:

1 cal = 4,184 J 14-3


Z pierwotnej definicji kalorii wynika, Ŝe ciepło właściwe wody wynosi :

Kkg/kJ184,4Kkg/kcal1

Ckg/kcal1Cg/cal1c 00woda

⋅=⋅==⋅=⋅=

14-4

Pojemność cieplna jednego mola substancji nazywa się ciepłem molowym C

n

CC

'

=

gdzie n jest ilością moli. PoniewaŜ mcC' = , to ciepło molowe i ciepło właściwe związane

są zaleŜnością:

cn

mc

n

CC

'

µ=== 14-5

gdzie n/m=µ jest masą molową. Ciepło właściwe aluminium wynosi 0,900 kJ/kgK,

miedzi 0,386 kJ/kgK, lodu (-10 0C ), a alkoholu etylowego 2,4 kJ/kgK. Widzimy, Ŝe ciepło

właściwe wody jest znacznie większe od ciepła właściwego innych substancji. Dlatego woda

jest bardzo dobrym zbiornikiem ciepła i dobrym materiałem chłodzącym na przykład w

chłodnicach samochodowych. DuŜe zasobniki wody takie jak jeziora, czy morza mają

tendencję do osłabiania zmian temperatury w swoim pobliŜu, poniewaŜ mogą absorbować lub

uwalniać duŜe ilości ciepła, same ulegając tylko niewielkim zmianą temperatury.

14-2 Zmiana fazy i ciepło związane ze zmianą fazy.

Kiedy ciepło jest dostarczane do lodu w temperaturze 00C, to temperatura lodu nie zmienia

się. Zamiast tego lód się topi. Jest to przykład zmiany fazy (przemiany fazowej). Typowymi

zmianami fazy jest krzepnięcie, topnienie, parowanie, skraplanie i sublimacja ( przejście

bezpośrednio od stanu stałego w stan gazowy, proces odwrotny to resublimacja). Istnieją

równieŜ inne rodzaje przemian fazowych, takie jak zmiana ciała stałego z jednej formy

krystalicznej w inną. Węgiel pod wpływem wysokiego ciśnienia moŜe na przykład moŜe stać

się diamentem.

Fakt, Ŝe temperatura pozostaje stała podczas zmiany fazy moŜna wyjaśnić na gruncie teorii

molekularnej. Cząsteczki w cieczy są blisko siebie i wzajemnie się przyciągają. Cząsteczki

∗ Wyjątek stanowią przemiany związane ze zmianą fazy, na przykład gdy woda zamarza lub wyparowuje.


gazu znajdują się w duŜej odległości od siebie. Taka zmiana cieczy w gaz wymaga

doprowadzenia określonej energii, aby przezwycięŜyć przyciągania między cząsteczkami

cieczy. Energia dostarczona do cieczy, aby ta wyparowała podwyŜsza energię potencjalną

cząsteczek, a nie ich energię kinetyczną. PoniewaŜ temperatura jest miarą energii kinetycznej,

to temperatura pozostaje stała podczas zmiany fazy.

Dla czystej substancji zmiana fazy przy danym ciśnieniu występuje w ściśle określonej

temperaturze. Na przykład, czysta woda przy ciśnieniu 1 atm zamienia się w ciało stałe w

temperaturze 00C (normalny punkt zamarzania wody), a w gaz w temperaturze 1000C

(normalny punkt wrzenia wody).

Ilość ciepła potrzebna do stopienia masy msubstancji bez zmiany jej temperatury jest

proporcjonalna do masy tej substancji:

tt mLQ = 14-6

gdzie tL nazywa się ciepłem topnienia danej substancji. Ciepło topnienia wody przy

ciśnieniu 1 atm. wynosi 333,5kJ/kg.

Kiedy następuje zmiana fazy z cieczy w gaz, to wymaga to dostarczenia ciepła:

pt mLQ = 14-7

gdzie pL jest ciepłem parowania. Dla wody przy ciśnieniu 1 atm ciepło parowania wynosi

2,26MJ.

14-3 Doświadczenie Joule’a i pierwsza zasada termodynamiki.

MoŜemy zwiększyć temperaturę układu poprzez

dostarczenie ciepła, ale moŜemy równieŜ zwiększyć

temperaturę poprzez wykonanie pracy nad układem.

Rysunek 14-1 przedstawia schemat urządzenia

Joule’a uŜytego do znanego eksperymentu,

mierzącego ilość pracy niezbędnej do podniesienia

temperatury jednego grama wody o jeden stopień

Celsjusza. Naczynie jest izolowane przez

nieprzewodzące ciepła ścianki tak, aby zapobiec

przepływowi ciepła. Urządzenie Joule’a przekształca

energię potencjalną opadających cięŜarków w pracę wykonywaną nad wodą zawartą w

Rysunek14-1


naczyniu. Joule’a stwierdził, Ŝe trzeba wykonać pracę 4,184J, aby podnieść temperaturę

1g wody o 10C. Z zasady zachowania energii wynika, Ŝe praca ta poszła na zwiększenie

energii wewnętrznej układu.

ZałóŜmy, Ŝe przeprowadzamy eksperyment Joule’a, ale izolujące ścianki naczynia

zastępujemy ściankami przewodzącymi ciepło. OkaŜe się, Ŝe praca, jaka jest potrzebna do

zmiany temperatury układu o określoną wartość zaleŜy od tego, ile ciepła jest dostarczone lub

odprowadzone z układu. Jednak, jeŜeli zsumujemy pracę wykonaną nad układem i całkowite

ciepło dostarczone lub odprowadzone z układu, to okaŜe się, Ŝe suma ta jest zawsze taka sama

dla danej zmiany temperatury. Oznacza to, Ŝe suma ciepła i pracy wykonanej nad układem

jest równa zmianie energii wewnętrznej układu. Jest to pierwsza zasada termodynamiki,

która jest po prostu zasadą zachowania energii.

Przyjmuje się zwykle, Ŝe zapisujemy W , kiedy praca jest wykonana przez układ nad

otoczeniem.∗ Wtedy W− jest pracą wykonaną nad układem. Na przykład, jeŜeli gaz

rozpręŜa się przesuwając tłok, wykonuje pracę

nad otoczeniem i praca W jest dodatnia.

CiepłoQ uwaŜa się za dodatnie, jeŜeli jest

dostarczane do układu i ujemne kiedy ciepło

jest odprowadzane z układu ( Rysunek 14-2 ).

Stosując tę konwencję i oznaczając energię

wewnętrzną przez U pierwszą zasadę termodynamiki moŜna zapisać w postaci:

WUQ += ∆ 14-8

Ciepło dostarczone do układu jest równe zmianie energii wewnętrznej

układu plus pracy wykonanej przez układ.

Pierwsza zasada termodynamiki

Równanie 14-8 jest takie samo jak twierdzenie o pracy i energii: ukzew EW ∆= (Równanie 7-

9 ) w wykładzie 6, poza dodaniem wyraŜenia na ciepło Q , zmianą konwencji określenia

znaku pracy i nazwaniu energii układu U .

Energia wewnętrzna U jest funkcj ą stanu układu, tak samo jak p ,V i T . Rozpatrzmy

gaz w stanie początkowym ( )11 V,p . Temperatura 1T będzie określona równaniem stanu. Na

przykład, dla gazu doskonałego nR/VpT 111 = . Energia wewnętrzna U takŜe zaleŜy tylko

Ciepło dostarczone Praca wychodząca

dodatnie dodatnie

Rysunek 14-2


od stanu gazu, który jest określony przez dowolne dwie zmienne, na przykład p iV . JeŜeli

spręŜymy gaz lub pozwolimy mu się rozpręŜyć, doprowadzimy lub usuniemy ciepło z niego,

wykonamy pracę nad nim lub pozwolimy aby gaz wykonał pracę, to gaz będzie przechodził

przez szereg stanów, to znaczy będą zmieniały się funkcje stanu p ,V , T i U . Jednak jeŜeli

gaz wróci do stanu początkowego ( )11 V,p , to temperatura T i energia wewnętrzna U teŜ

muszą osiągnąć swoje początkowe wartości.

Z drugiej strony, wypadkowe ciepło dostarczone do układuQ i praca W wykonana przez

gaz nie są funkcjami stanu. Nie istnieje Ŝadna funkcja Q lub W związana z dowolnym

określonym stanem gazu. MoŜemy przeprowadzić gaz przez szereg stanów zaczynając i

kończąc w stanie ( )11 V,p w ten sposób, Ŝe gaz wykona pracę dodatnią i pobierze taką samą

ilość ciepła. MoŜemy równieŜ gaz przeprowadzić przez szereg innych stanów w ten sposób,

Ŝe zostanie wykonana praca nad gazem, a ciepło zostanie odprowadzone z gazu. Dlatego

poprawne będzie jeŜeli powiemy, Ŝe układ posiada duŜą ilość energii wewnętrznej, ale nie

poprawnie jeŜeli powiemy, Ŝe układ posiada duŜą ilość ciepła, czy pracy. Ciepło nie jest

czymś co jest utrzymywane w układzie. Jest raczej miarą energii jaka przepływa z jednego

układu do drugiego z powodu powstałej róŜnicy temperatur.

Dla bardzo małych ilości dostarczonego ciepła, wykonanej pracy lub zmiany energii

wewnętrznej przyjmuje się często zapis pierwszej zasady termodynamiki w postaci:

dWdUdQ += 14-9

W równaniu tym dU jest róŜniczką zupełną funkcji energii wewnętrznej. Jednak ani dQ, ani

dWnie są róŜniczkami Ŝadnej funkcji. dQ oznacza jedynie, Ŝe mała ilość ciepła została

dostarczona do układu, a dW określa małą ilość pracy wykonanej przez układ.

14-4 Energia wewnętrzna gazu doskonałego.

Energia kinetyczna ruchu postępowego K cząsteczek gazu doskonałego jest związana z

temperaturą T równaniem 13-22:

∗ Wybiera się tak dlatego, poniewaŜ wtedy praca wykonana przez rozpręŜający się gaz jest dodatnia i praca wykonana przez silnik cieplny

teŜ jest wtedy dodatnia (Patrz następny wykład )


nRT2

3K =

gdzie n jest ilością moli gazu, a R jest uniwersalną stałą gazową. JeŜeli energia wewnętrzna

gazu jest po prostu energią ruchu postępowego, wtedy KU = i

nRT2

3U = 14-10

Wtedy energia wewnętrzna gazu będzie zaleŜeć tylko od temperatury gazu, a nie będzie

zaleŜeć od objętości i ciśnienia. JeŜeli cząsteczki posiadają dodatkowo inne rodzaje

energii, na przykład energię kinetyczną ruchu obrotowego, to energia wewnętrzna układu

będzie większa niŜ ta dana równaniem 14-10. Ale zgodnie z zasadą ekwipartycji energii,

średnia energia przypadająca na jeden stopień swobody będzie równa kT2

1 na

cząsteczkę lub RT2

1na mol, tak więc znowu energia wewnętrzna będzie zaleŜeć tylko

od temperatury, a nie od objętości czy ciśnienia.

MoŜemy wyobrazić sobie, Ŝe energia wewnętrzna gazu rzeczywistego mogłaby zawierać

inne rodzaje energii, które zaleŜą od objętości i ciśnienia gazu. Przypuśćmy na przykład, Ŝe w

pobliŜu cząsteczek gazu występują siły przyciągania działające na te cząsteczki. Wtedy

potrzebna jest praca, aby zwiększyć odległość między cząsteczkami. W związku z tym

średnia odległość między cząsteczkami wzrasta i wzrasta energia potencjalna związana z

przyciągającymi się cząsteczkami. W

związku z tym energia wewnętrzna będzie

wtedy zaleŜeć zarówno od objętości gazu

jak i jego temperatury.

Joule uŜywając aparatury przedstawionej

na rysunku 14-3 przeprowadził ciekawe

doświadczenie ustalające, czy energia wewnętrzna gazu zaleŜy od jego objętości. Początkowo

zbiornik po lewej stronie zawierał gaz, a w zbiorniku prawym istniała próŜnia. Pojemniki były

połączone, ale zawór był zamknięty. Cały układ był izolowany cieplnie od otoczenia – ciepło

nie mogło dostać się ani wydostać z układu i Ŝadna praca nie była wykonana. Kiedy zawór

został otwarty, gaz rozpręŜył się do naczynia próŜniowego. Proces ten nazywa się

swobodnym rozpręŜaniem. W końcu gaz osiągnął stan równowagi cieplnej. PoniewaŜ Ŝadna

Rysunek 14-3

Gaz PróŜnia


praca nie została wykonana i Ŝadna ilość ciepła nie została dostarczona ani odprowadzona, to

końcowa energia wewnętrzna gazu powinna być równa początkowej energii wewnętrznej.

JeŜeli cząsteczki gazu działają na siebie siłami przyciągającymi, to energia potencjalna

związana z tymi siłami wzrośnie, jeŜeli zwiększy się objętość. PoniewaŜ energia jest

zachowana, to energia kinetyczna ruchu postępowego musi zmaleć i w rezultacie temperatura

gazu zmaleje.

Kiedy Joule przeprowadził swój eksperyment stwierdził, Ŝe temperatura końcowa jest

równa temperaturze końcowej. Następnie doświadczenia potwierdzały ten wynik, gdy gazy

miały małą gęstość. Wynika z tego, Ŝe dla gazów posiadających małą gęstość, to znaczy

zbliŜonych do gazu doskonałego, energia wewnętrzna zaleŜy tylko od temperatury. Jednak,

kiedy doświadczenie jest przeprowadzane dla duŜej ilości gazu znajdującego się początkowo

w lewym pojemniku, tzn. posiadającego początkowo duŜą gęstość, to temperatura po

rozpręŜeniu się gazu jest nieco niŜsza niŜ przed rozpręŜeniem. To pokazuje, Ŝe istnieje małe

przyciąganie między cząsteczkami w gazie rzeczywistym.

14-5 Praca i wykres pV dla gazu.

W wielu typach silników praca wykonana jest przez rozpręŜający się gaz nad ruchomym

tłokiem. Na przykład, w silniku parowym woda jest grzana w kotle w celu wytworzenia pary.

Następnie para ta podczas rozpręŜania wykonuje pracę i porusza tłokiem. W silniku

samochodowym mieszanina par benzyny i powietrza jest zapalana, powodując, Ŝe mieszanka

ta eksploduje. W rezultacie wysoka temperatura i ciśnienie powodują, Ŝe gaz rozpręŜa się

gwałtownie poruszając tłok i wykonując pracę.

Procesy (przemiany) kwazistatyczne.

Rysunek 14-4 przedstawia gaz doskonały

znajdujący się w pojemniku, w którym porusza

się bez tarcia ściśle dopasowany tłok. Kiedy tłok

się porusza, objętość gazu zmienia się. Musi się

zmieniać temperatura albo ciśnienie, albo oba te

parametry na raz, poniewaŜ są one związane

równaniem stanu nRTpV = . JeŜeli nagle pchniemy tłok w celu spręŜenia gazu, to ciśnienie

początkowo będzie większe w pobliŜu tłoka niŜ dalej od niego. Po pewnym czasie gaz

Rysunek 14-4

Tłok o powierzchni A

Gaz pow


osiągnie stan równowagi i ustali się nowe ciśnienie i nowa temperatura. Dopóki stan

równowagi w gazie nie zostanie przywrócony, dopóty nie jesteśmy w stanie określić

makroskopowych zmiennych takich jak T , p lub U dla całego układu gazu. Jednak, jeŜeli

będziemy przesuwać tłok bardzo wolno - krótkimi etapami i pozwolimy aby gaz za kaŜdym

razem osiągnął stan równowagi po kaŜdym etapie, to moŜemy spręŜyć lub rozpręŜyć gaz w

ten sposób, Ŝe nigdy nie znajdzie się daleko od stanu równowagi. W przemianie tego rodzaju,

zwanej procesem kwazistatycznym, gaz przechodzi przez serię stanów równowagowych. W

praktyce, moŜliwe jest całkiem dobre przybliŜenie jakiejś przemiany procesem

kwazistatycznym.

Niech gaz początkowo posiada wysokie ciśnienie i niech rozpręŜa się kwazistatycznie. Siła

wywierana przez gaz na tłok jest równa pA, gdzie Ajest polem powierzchni tłoka, a p jest

ciśnieniem gazu. JeŜeli tłok przesunie się o mały odcinek dx, to praca wykonana przez gaz

nad tłokiem jest równa:

pdVpAdxFdxdW === 14-11

gdzie AdxdV = jest równe przyrostowi objętości gazu. Aby obliczyć pracę wykonaną przez

gaz podczas jego rozpręŜania od objętości 1V do 2V , musimy wiedzieć jak zmienia się

ciśnienie podczas rozpręŜania.

Wykres pV.

Stany termodynamiczne gazu moŜna przedstawić na wykresie p w funkcji V . KaŜdy punkt

na wykresiepV przedstawia określony stan gazu. Rysunek 14-4 ilustruje wykres pV , na

którym narysowana jest pozioma linia reprezentująca ciąg

stanów mających to samo ciśnienie p . Linia ta opisuje

rozpręŜanie gazu przy stałym ciśnieniu. Przemianę taką

nazywamy rozpręŜaniem izobarycznym. Przy zmianie

objętości o V∆ zostaje wykonana praca Vp∆ , która na

wykresie jest równa zacienionemu polu powierzchni. W

przypadku ogólnym, praca wykonana przez gaz jest równa

polu powierzchni pod krzywą na wykresie pV :

Rysunek 14-4


∫ == pdVW Pole pod krzywą na wykresie p w funkcji V . 14-12

Praca wykonana przez gaz.

Rysunek 14-5 przedstawia trzy róŜne drogi na wykresie pV dla gazu, który początkowo

znajdował się w stanie ( )11 V,p i przeszedł do stanu końcowego ( )22 V,p . Zakładamy, Ŝe

gaz jest doskonały i temperatura początkowa i końcowa jest taka sama, czyli moŜemy

zapisać: nRTVpVp 2211 == . PoniewaŜ energia wewnętrzna zaleŜy tylko od temperatury,

to początkowa i końcowa energia wewnętrzna musi być taka sama.

Na rysunku 14-5a gaz jest podgrzewany przy stałym ciśnieniu, aŜ do momentu gdy

objętość osiągnie wartość 2V , potem jest schładzany w stałej objętości do momentu

osiągnięcia ciśnienia 2p . Praca wykonana wzdłuŜ drogi A jest równa ( )121 VVp − dla

odcinka poziomego i zero dla części o stałej objętości.

Na rysunku 14-5b gaz jest początkowo chłodzony w stałej objętości aŜ osiągnie ciśnienie

2p , po czym jest podgrzewany przy stałym ciśnieniu aŜ osiągnie objętość 2V . Praca

wykonana wzdłuŜ drogi B jest równa ( )122 VVp − i jest znacznie mniejsza niŜ wzdłuŜ drogi

A, co widać porównując zacienione pola.

Na rysunku 14-5c droga C przedstawia rozpręŜanie izotermiczne, tzn. takie kiedy cały

czas temperatura pozostaje stała. Policzmy pracę wykonaną wzdłuŜ drogi C korzystając z

V/nRTp = :

dVV

nRTpdVdW ==

Rysunek 14-5 Droga A

Droga B

Droga C


Stąd praca wykonana podczas zmiany objętości od 1V do 2V jest równa :

∫ ∫==2

1

2

1

V

V

V

V

dVV

nRTpdVW

PoniewaŜ w przemianie izotermicznej temperatura jest stała, to moŜemy wyłączyć ją przed

znak całki. W rezultacie otrzymamy:

∫ ==2

1

V

V 1

2izoter V

VlnnRT

V

dVnRTW 14-13

Widzimy, Ŝe w kaŜdej z tych trzech przemian praca wykonana przez gaz jest inna

PoniewaŜ 12 UU = , to ilość ciepła dostarczona musi być róŜna dla kaŜdej z tych przemian.

Dyskusja ta ilustruje fakt, Ŝe zarówno wykonana praca jak i dostarczone ciepło zaleŜą od tego

po jakiej drodze układ przechodzi z jednego stanu do drugiego, natomiast energia wewnętrzna

nie zaleŜy od sposobu przejścia ze stanu początkowego do stanu końcowego.

14-6 Pojemność cieplna gazów.

Określenie pojemności cieplnej substancji dostarcza nam informacji o jej energii

wewnętrznej, która z kolei zaleŜy od budowy cząsteczkowej tej substancji. Dla wszystkich

substancji rozszerzających się pod wpływem dostarczanego ciepła, pojemność cieplna przy

stałym ciśnieniu P'C jest większa od pojemności cieplnej przy stałej objętości V'C . Kiedy

ciepło jest dostarczane przy stałym ciśnieniu, to substancja rozszerza się wykonując pracę,

dlatego potrzeba dostarczyć więcej ciepła dla podwyŜszenia temperatury o zadaną wartość niŜ

wtedy, gdy substancja jest podgrzewana przy stałej objętości. Rozszerzalność jest praktycznie

zaniedbywalna dla ciał stałych i cieczy i w rezultacie VP 'C'C ≈ . Jednak dla gazów

dostarczanie ciepła przy stałym ciśnieniu łatwo powoduje przyrost ich objętości i

wykonywana jest konkretna praca, tym samym VP 'C'C − nie moŜe być zaniedbane.

JeŜeli ciepło jest dostarczane do gazu przy stałej objętości, to gaz nie wykonuje pracy, w

rezultacie całe dostarczone ciepło idzie na zwiększenie energii wewnętrznej gazu. Oznaczając

VQ ciepło dostarczone do układu w stałej objętości otrzymujemy:


T'CQ VV ∆=

PoniewaŜ 0W = , to z pierwszej zasady termodynamiki otrzymamy:

UWUQV ∆∆ =+=

i w rezultacie:

T'CU V ∆∆ =

Zakładając, Ŝe T∆ dąŜy do zera otrzymamy:

dT'CdU V= 14-15

i

dT

dU'C V = 14-16

Pojemność cieplna w stałej objętości jest równa szybkości zmian energii wewnętrznej wraz ze

zmianą temperatury. PoniewaŜ U i T są funkcjami stanu, to równania 14-15 i 14-16 odnoszą

się do dowolnej przemiany.

Obliczmy teraz róŜnicę VP 'C'C − dla gazu doskonałego. Z definicji P'C wynika, Ŝe

ciepło dostarczone przy stałym ciśnieniu jest równe:

T'CQ PP ∆=

Z pierwszej zasady termodynamiki otrzymamy:

VpUWUQP ∆∆∆ +=+=

i

VpUT'C P ∆∆∆ +=

Dla nieskończenie małych zmian:

pdVdUdT'C P +=

Podstawiając 14-15 za dU otrzymamy:

pdVdT'CdT'C VP += 14-17

Ciśnienie, objętość i temperatura dla gazu doskonałego są powiązane z sobą poprzez

nRTpV =

ZróŜniczkujmy powyŜsze równanie stanu przy załoŜeniu, Ŝe 0dp = dla stałego ciśnienia.

nRdTpdVVdppdV ==+


Podstawiając powyŜsze do równania 14-17 otrzymamy:

Ciepło i pierwsza zasada...

Documents

Transcript of Ciepło i pierwsza zasada...