CIDEAD. 2º BACHILLERATO. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II. Tema...

CIDEAD. 2º BACHILLERATO. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II.Tema 8.- Las máquinas. Los conceptos fundamentales.

Desarrollo del tema.

1. Las máquinas. El concepto y sus clases.

2. El trabajo. Representación gráfica.

3. Las expresiones del trabajo.

4. El concepto de potencia.

5. Potencia lineal y de rotación.

6. Potencia hidráulica y eléctrica.

7. La energía. La energía mecánica.

8. El principio de conservación de la energía. La generalización de Einstein.

9. El rendimiento de una máquina.

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1. Las máquinas. El concepto y sus clases.

Se define como máquina a una serie de elementos rígidos o resistentes (eslabones)que seencuentran provistos de ciertos movimientos y pueden realizar un trabajo útil.

Conviene diferenciar dos términos equivalentes pero diferentes al mismo tiempo; éstos son:a. Mecanismo.- Es un dispositivo que transforma movimientos, por ejemplo el mecanismo e

un reloj.b. Máquina.- Es un dispositivo o artilugio que transforma energías, por ejemplo la máquina

de coser.

Las máquinas se clasifican en :Simples.- Son dispositivos sencillos que transforman una fuerzas en otras. Pueden ser:a. Género palanca, cuando el fulcro o ligadura es un punto o una recta; por ejemplo son lapalanca y las poleasb. Género plano inclinado, cuando el fulcro o apoyo es el plano inclinado; como ejemplo seencuentran el propio plano inclinado, el tornillo, la cuña, etc.Compuestas o complejas.- Son aquellos dispositivos cuyo efecto se debe a la concatenaciónde la acción de diversas máquinas simples, por ejemplo un automóvil.

2. El trabajo. Representación gráfica.

El trabajo ( work ) se define como el producto de la intensidad (fuerza) por extensión(desplazamiento) :

W = Δ s . F

Es un producto escalar por lo que su valor es : W = Δs . F .cos φ = Δs . FT

Siendo φ , el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

Cuando la fuerza es constante, representando el incremento del espacio recorridofrente a la fuerza se obtendrá :

2

Área = W


Cuando la fuerza no es constante, el trabajo hay que tratarlo como diferencial:

δ W = F . d s cos φ

Dado que el valor del trabajo es el área, ésta dependerá del camino recorrido para irdesde un punto A hasta otro punto B, por lo que la diferencial del trabajo no es una diferencialexacta.

Si calculamos el trabajo desarrollado al estirar un muelle elástico con constante k , será :

F = k . x δ W = k x . d x ; para calcular el valor deltrabajo se debe integrar :

W = ∫ k x dx = 12

k x2

La representación será :

Cuando la fuerza es variable en el espacio, se debe de conocer la función de la fuerza enfunción de las magnitudes espaciales F(x,y,z) = 0 .

W = ∫ F(x,y,z) . ds ; debiendo calcular el producto escalar entre los dosvectores y después integrarlo.

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Problema 1.- La fuerza que actúa sobre un móvil puntual viene dada por la expresión:

F = 6 x i + 2 y2 j - 4 z k (N)

Determinar el trabajo que realiza la fuerza al trasladar el móvil desde el origen decoordenadas hasta el punto P (-1,2,3)

-1,2,3

Solución.- W = ∫ F(x,y,z) . ds = ∫ FX . d x + Fy . dy + Fz . d z = -1 2 0,0,0 3

-1 2

W = ∫ 6 x dx + ∫ 2 y2 dy - ∫ 4 z d z = [6 x2

2] + [ 2 y3

3] +

0 0 3 0 0 0

- [ 6 z2

2] = 3 + 5,3 - 27 = - 18,70 J.

0

3. Las expresiones del trabajo.

Se va a establecer las siguientes expresiones para el trabajo en el caso de la rotación, trabajoeléctrico, y trabajo de expansión o compresión de un gas.

a. Trabajo de rotación.- Cuando gira un cuerpo rígido en torno a un eje, por la acción deuna fuerza externa, se origina un momento M

W = ∫ F . ds cos φ = ∫ Mr

. ds cos φ = ∫ Mr

. r . d θ cos φ =

W = ∫ M . dθ cos φ = ∫ M . dθ

Problema 2 .- Un cilindro de 50 cm de radio, gira en torno al eje principal, gracias a laacción de una fuerza tangencial constante de 5 N. Calcular el trabajo realizado cuando harealizado 8 vueltas.

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M


Datos .- R = 50 cm = 0,5 m. ;; F = 5 N ;; θ = 8 . 2 π ;; calcular W

Resolución .- W = ∫ M . dθ = 0,5 5 8 . 2 π = 125,60 J

b. Trabajo eléctrico .- W = ∫ F . ds ; el campo eléctrico es conservativo, por lo tanto,la intensidad del campo es igual al gradiente de potencial cambiado de signo:

E = - gard V = −dVd s

;;; F = Q . E = Q . −dVd s

W = ∫ F . ds = ∫ Q . −dVd s

. ds = Q ( V1 - V2 ) ; I = Qt

Teniendo en cuenta la ley de Ohm : V = I . R W = I2 R t

c. Trabajo de compresión y expansión de un gas.-

Se debe distinguir si el tipo de transformación que se produce:

a. Isostérica , a V = cte W = 0

b. Isobárica , a p = cte W = ∫ F . ds cos φ = ∫ p d V =

p A = F . cos φ W = p ( V2 - V1 )

c. Isotérmica , a T = cte. Se cumplirá que p . V = n R . T ;; p = n T R 1V

W = ∫ p d V = ∫ n T R 1V

d V = n T R ln V2V1

= n R T ln p1p2

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Problema 3.- Dos gramos de nitrógeno, sometidos a una temperatura de 100º C y 1 at. Depresión, se expansiona isotérmicamente hasta que su presión pasa a ser de 0,5 at. Determinar eltrabajo realizado en la expansión del nitrógeno.

Datos .- T = 100 + 273 = 373º K ;; p1 = 1 at. ;; p2 = 0,5 at. ;; M(N2) = 28 g/mol ;; R = 8.13 J/mol º K

Resolución.- W = n R T ln p1p2

= 2

288,13 373 ln

10,5

= 150,14 J.

Problema 4.- Calcular el trabajo que realiza durante una hora una corriente eléctrica de1 A de intensidad cuando circula por un conductor de 250 Ω de resistencia.

Datos .- I = 1 A ;; t = 3600 s ;; R = 250 Ω

Resolución.- W = I2 R t = 12 250 3600 = 9 105 JProblema 5.- Una cierta cantidad de un gas ideal se expansiona isotérmicamente a la

temperatura de 250ºK, triplicándose su volumen y realizando para ello un trabajo de 0,5 kWh.Calcular los moles del gas.

Datos .- T = 250º K ;; V2 = 3 V1 ;; W = 0,5 . 3,6 106 J ;; R = 8,13 J /mol ºK

Resolución .- W = n T R ln V2V1

= n 250 . 8,13 ln 3 = 0,5 3,6 106

n = 806 moles.

Problema 6.- Se arrastra por el suelo, con una velocidad constante, un cajón de 70 Kg depeso . Si el coeficiente de rozamiento es de 0,2 , ¿ cuál será el trabajo desarrollado paratrasladarlo 10 m. sobre el suelo?.

Datos .- m = 70 Kg ;; μ = 0,2 ;;; s = 10 m

Resolución.- F = FR = μ . N = μ m g

F = 0,2 70 9,8 = 137,2 NW = F . s = 137,2 10 = 1372 J.

Problema 7.- Al someterse a la acción de una fuerza constante de F = 3 i + 6 j – 3 k (N) ,un cuerpo, sufre un desplazamiento de r = i – j + 3k (m) . Calcular el valor del trabajo y elángulo que forma la fuerza con el desplazamiento.

Resolución.- Es un problema vectorial .

W = F . r = Fx . X + Fy . Y + Fz .Z = 3 - 6 - 9 = - 12 J

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FFr

N

P = m . g


- 12 = [ F ] . [ r ] cos φ φ = arcos−12

7,34. 3,31 = 119º 35´

Problema 8.- Por un plano inclinado de 3 m. de alto y 6 m. de base, se traslada con unavelocidad constante , un bloque de 150 Kg. Mediante una fuerza paralela al plano y sinrozamiento. Determinar:a. El trabajo que hay que desarrollar para subir el bloque hasta el final del plano.b. El valor de la fuerza que empuja al bloque.c. La ventaja producida al utilizar el plano inclinado.

Datos.- h = 3 m ;; x = 6 m. ;; m = 150 Kg.

Resolución.- tag φ = hx

= 0,5 ;; φ = 26º 33´ 54 ´´ ;; sen φ = 0,447

F = m g sen φ = 150 . 9,8 . 0,447 = 657 NW = F . s = 657 . 6,71 = 4409 J

s = h

sen= 6,71 m

Si no se hubiese utilizado el plano inclinado el esfuerzo sería de F´= m g = 1470 N

4. El concepto de potencia.

Se define como potencia el trabajo desarrollado por un sistema en la unidad de tiempo:

P = Wt

; se mide en W (vatios ) o kW (kilovatios) , aunque también se puede

expresar en CV ( caballos de vapor ) 1 CV = 735 W .

5. Potencia lineal y de rotación.

Cuando un sistema se mueve con un movimiento de traslación, su trabajo será :

W = F . s ;; la potencia será . P = F . st

= F . v

Cuando un sistema se encuentra sometido a un movimiento de rotación alrededero de un ejede giro, su trabajo será :

W = M . θ ;; por lo que la potencia P = M .t

= M . ω

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φ


si en lugar de utilizar la pulsación ω, se utiliza la frecuencia n ( en r.p.m.) la fórmulaquedará:

ω = 2 π f = .n30

;; P = M .n

30

Problema 9.- Un automóvil de 1500 Kg posee una velocidad constante de 100 Km/h poruna carretera que presenta una pendiente del 3%, calcular la potencia que desarrolla el motor.

Datos .- m = 1500 Kg,;; v = 27,7 m/s ;; φ = 1,71º ;;

Resolución.- P = F . v = m. g . sen φ . v = 12 kW = 16,6 C.V.

Problema 10.- El motor de un automóvil de 1000 Kg. Suministra una potencia de 100 CVa 4500 r.p.m. , transmitiéndose esa potencia a las ruedas, que poseen un radio de 0,3 m , con unrendimiento del 90 % . En un momento dado, el coche se encuentra subiendo una pendiente del10 % . Si la fuerza de rozamiento es constante e igual a 420 N , calcular:

a. La velocidad de ascensión del coche.b. El par motor en cada una de las ruedas tractoras.

Datos .- m = 1000 Kg. ;; P = 100 . 735 = 73500 W ;; n = 4500 rpm ;; r = 0,3 m ;; R = 90 %

φ = 5,73º ;; sen φ = 0,1 ;; FR = 420 N

Resolución .- F = m . g . sen φ + FR = 1000 9,8 0,1 + 420 = 1400 N

P u = F . v ;; v = PuF

= 0,9. 73500

1400= 47,25 m/s

b M = r . F = 0,3 . 1400 = 420 N. m

Como es por cada rueda : Mrueda = 420

2= 210 N.m

Problema 11.- Hallar el trabajo desarrollado por una fuerza F = 16 t (N) al actuar sobreun cuerpo de 8 Kg, inicialmente en reposo y durante 4 segundos.

Datos .- F = 16 t ;; m = 8 Kg.

Resolución.- W = ∫ F . ds ;; F = m . a

a = 2 t ;; v = t2 ;; s = t3

3 ;; ds = t2 dt

este problema se realiza mediante diferenciación eintegración.

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W=∫0

4

16 t . t 2.dt=4. 42=1024 J


Problema 12.- Un avión vuela horizontalmente a la velocidad de 1 Mach ( 1 Mach = 340m/s) y a 5000 m de altitud . Si deja caer una bomba, calcular la velocidad con que llega al suelo.

Datos .- v0 = 340 m/s ;; h = 5000 m ;;

Resolución.- caída vertical, mrua .- h = 12

g t2 t = 31,94 s

vy = g . t = 9,8 . 31,94 = 313,05 m/s

Horizontal .- mru ;; vx = 340 m/s

v = vx2vy2 = 462,2 m/s

6. Potencia hidráulica y eléctrica.

En el transporte hidráulico, el caudal permanece constante :

Q = v . S

La potencia , P = F . v = p S . v = Q . p

Problema 13.- En una central hidroeléctrica la presa se encuentra situada a 150 m porencima de las turbinas a las que llega el agua por una tubería o galería que permite un caudal de8 m3/s . Si no existen perdidas por fricción, ¿qué potencia suministra la central?

Datos.- h = 150 m ;; Q = 8 m3/s ;;

Resolución.- P = p . Q ;; p = ρ g h = 1000 9,8 150 = 1,47 106 Pa

P = 8 . 1,47 106 = 11,76 MW.

Teniendo en cuenta que el trabajo eléctrico es igual a W = I2 R t . la potencia tendrá lasiguiente expresión:

P = Wt

= I2 . R = I Δ V

Problema 14.- En una instalación de 220 V, se encuentran conectadas una lavadora conuna intensidad de 10 A y una lámpara de 0,5 A . Calcular la potencia total utilizada y el coste sifunciona durante 2 horas y el precio del Kwh = 0,10 €.

Datos .- V = 220 V ;; I1 = 10 A ;; I2 = 0,5 A ;; t = 2 h. ;; Precio = 0,10 €/kWh

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Resolución.- P T = V (I1 + I2 ) = 2310 W = 2,310 kW

W = P . t = 2,310 . 2 = 4,62 Kwh ;;; Precio = 4,62 . 0,1 = 0,46 €

7. La energía. La energía mecánica.

La energía es la capacidad que posee un sistema material de realizar un trabajo. La energíadebida a los mecanismos de los sistemas y a los campos de fuerzas gravitacionales, reciben elnombre de energías mecánicas. Entre ellas caben destacar :

1. Energía potencial.- Debida a la posición del sistema dentro del campo defuerzas de gravedad . Su valor es Ep = m g h

2. Energía Cinética lineal .- Es debida a la energía que poseen los objetosmateriales como consecuencia de su desplazamiento lineal . Su expresión

será : Ec = 12

m v2

3. Energía cinética rotacional, debida a la rotación de un sistema. Su valor será :

Er = 12

I ω2 , siendo I el momento de inercia I = Σ mi ri2

4. Energía potencial elástica, debida a la acción e un sistema elástico, comopuede ser un muelle cuya fuerza de recuperación es F = - k x

E = 12

k x2

El trabajo producido o que se necesita, en todos los casos, es igual a la variación de energía:

W = Δ E

Problema 15.- Un proyectil que pesa 0,3 Kg , atraviesa una pared de o,4 m deespesor . Cuando llega el proyectil a la pared es de 400 m/s y sale a la velocidad de 150 m/s,determinar:

a. La energía cinética del proyectil al llegar y al salir de la pared.b. El trabajo realizado por el proyectil y la fuerza de penetración dentro de la pared.

Datos.- m = 0,3 Kg. ;; x = 0,4 m ;; v1 = 400 m/s ;; v2 = 150 m/s

Resolución.- E1 = 12

m v 12 = 24000 J E2 = 12

m v 22 = 3375 J

W = E2 - E1 = 3375 – 24000 = -20625 J = - F . 0,4 ;; F = 51562 N

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Problema 16.- El volante de una taladradora posee un momento de inercia de 15 Kg m2,suministrando toda la energía precisa para conseguir 4500 J. Calcular :

a. La velocidad angular que adquirirá la taladradora si inicialmente giraba a 300 r.p.m. b. La potencia que habrá que suministrar para que en 3 segundos el volante adquiera la

velocidad inicial.

Datos .- I = 15 Kg m2 ;; W = 4500 J;; ω1 = 300 rpm = 31,4 rad/s ;; t = 3 s

Resolución .-

W = 12

I ω 22 -

12

I ω 12 = - 4500 ;; ω2 = 19,64 rad/s = 187,6 rpm.

P = Wt

= 4500

3= 1500 W.

Problema 17.- Utilizando un torno, accionado por un motor, se desea elevar una carga de1 Tm,, hasta una altura de 40 m. con una velocidad de 0,3 m/s , alcanzándose la misma al cabode 2 s. de la actuación del motor . Si la masa del torno es de 100 Kg y su radio es de 25 cm,calcular :

a. El trabajo que realiza el torno.b. La potencia que desarrolla el motor.

Datos.- m = 1000 Kg.;; h = 40 m ;; v = 0,3 m/s , t = 2 s ;; M = 100 Kg ;; R = 0,25 m

Resolución.- W = EC + EP + ER

EC = 12

m v2 = 45 J EP = m . g . h = 1000 . 9,8 . 40 = 392000 J

Er = 12

I ω2 ;; I = 12

M R2 = 12,5 Kg m2

ω = vR

= 1,2 rad/s ;; ER = 16 J

W = 45 + 392000 + 16 = 392061 J (la mayor parte del trabajo correspondea la energía potencial).

Para calcular la potencia, se debe de calcular:

t = 2 s ;; a = vt

= 0,32

= 0,15 m/s2

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h1 = 12

a t2 = 0,3 m ;; h2 = 40 – 0,3 = 39,7 m

t2 = h2v

= 132,33 s

P1 = W1W2W3

t1=

45m . g . 0,3162

= 1500 W

P2 = m . g .h2

t2= 2940 W

la potencia media será : Pm = W1W2t1t2

= 2918 W

Problema 18.- Determinar el valor del trabajo que realiza una grúa para elevar unbloque de cemento de 1000 Kg desde el suelo hasta una altura de 10 m, sabiendo que el bloqueparte del reposo y al final su velocidad es de 1 m/s

Datos .- m = 1000 Kg. ;; h = 10 m ;; v = 1 m/s.

Resolución.- W = EC + Ep = 12

m v2 + m . g . h = 98 500 J

Problema 19.- Desde una altura de 120 m se deja caer un objeto de 12 Kg. Calcular susenergías cinética y potencial en el punto más alto y más bajo, así mismo su energía cinética en elpunto medio de su recorrido.

Datos.- h = 120 m ;;; m = 12 Kg.

Resolución .- Inicialmente .- EP = m.g.h = 14 112 J ;; EC = 0

En el suelo.- h = 12

g t2 ;; t = 4,94 s ;; v = g . t = 48,4 m/s

EP = 0 ;; EC = 12

m v2 = 14 112 J ;; el sistema es conservativo.

En el punto intermedio EC = 14112/2 = 7056 J

Problema 20.- El sistema de la figura, está formado por dos bloques que se unenmediante una cuerda inextensible y sin peso, que pasa por la garganta de una polea sin masa.Determinar la velocidad que adquieren si se deja caer el más pasado 4 m.

Datos .- m1 = 20 Kg ;; m2 = 25 Kg ;; h = 4 m.

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Resolución.-

EP = m . g . h = ( 25 – 20 ) . 9,8 . 4 = 196 J

EP = EC = 12

(m 2 + m1 ) v2 = 196

v = 2,95 m/s

8. El principio de conservación de la energía. La generalizaciónde Einstein.

Entre las energías que más se utilizan, además de la mecánica, existen la energía térmica, laenergía eléctrica, la energía hidráulica, la energía solar, la eólica ,etc . Todas estas energíasprovienen del sol y en un sistema aislado ( que no intercambia materia ni energía con el exterior) ,la energía permanece constante, aunque se puedan transformar unas energías en otras. Siconsideramos el universo como el sistema aislado por excelencia, la energía total del universopermanecerá constante.

En el cuadro siguiente se establece una relación entre los diferentes tipos de enrgía:

Si consideramos la teoría de la relatividad, formulada por Einstein, la materia es unaforma más de energía interconvetible mediante la fórmula : E = m c2 , siendo c la velocidad de laluz. Según esto, en un sistema aislado como es el universo, la suma total de la masa y la energíapermanece constante .

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Problema 21.- En lo alto de un plano inclinado de 30º con la horizontal, de longitud 10 m,se coloca un cilindro para que caiga rodando sin deslizar . Si el sistema es conservativo,determinar a la velocidad conque el cilindro llega al suelo.

Datos .- φ = 30º ;; s = 10 m ;; h = 10 sen 30 = 5 m

Resolución.- EP = ECT + ECR ;; EP = m . g . h ;; ECR = 12

I ω2

I = 12

m R2 ;; v = ω . R ;; ECR = 12

12

m . v2 ;; ECT = 12

m v2

m . g . h = 14

m v2 + 12

m v2 ;; v = 4 . g .h3

= 8,08 m.

Problema 22.- Un bloque de 20 Kg se apoya sobre una mesa horizontal , siendo elcoeficiente de rozamiento de 0,35. Este bloque se encuentra unido a otro de 10 Kg, mediante una

cuerda inextensible y sin peso, colgando de la mesa.La cuerda pasa a través de la garganta de una poleacuya masa es despreciable y sin rozamiento. Calcularla velocidad de descenso cuando el segundo bloquehaya bajado 1 m.

Datos .- m1 = 20 Kg ;; μ = 0,35 ;; m2 = 10 Kg.;; h = 1 mResolución.-

E1 = m2 g h - Fr h = m2 g h - μ m1 g h =

E1 = 98 – 68,6 = 29,4 J = 12

m v2 = 12

(m1 + m2 ) v2 ;; v = 1,4 m/s

Problema 23.- Dos bloques de la misma masa e igual a 1 Kg, se sitúan como están en lafigura. Si al bloque A se le comunica una velocidad de 10 m/s , hacia abajo, determinar al cabode 15 segundos :

a. Donde se encuentran los dos bloques.b. El valor de la tensión el cable que los une.c. La diferencia de energía entre la energía mecánica inicialy la final del sistema. El coeficiente de rozamiento es μ = ¾

Datos .- m1 = m2 = 1 Kg ;; va = 10 m/s ;; t = 15 s

Resolución .- mg sen 37 – μ mg cos 37 - T = m a

T - mg = m. a

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10 Kg

20 Kg

movimiento


m g sen 37 - μ mg cos 37 + mg = 2 T

2T = 5,89 - 5,86 + 9,8 T = 4,9 N

a = T−mgm

= - 4,9 m/s2

Entonces el sistema se desplaza con un movimiento rectilíneo uniformementeretardado

V = v0 - a t = 0 ;; t = 10/4,9 = 2 s. Al cabo de los dos segundos el sistema separa

Al cabo de esos dos segundos el sistema permanecerá en reposo.

La posición de los bloques serán :

Bloque A .- s = v0 .t + 12

a t2 = 10 . 2 – 10 = 10 m . El objeto A habrá bajado :

h = 10 . sen 37 = 6 m.

El bloque B .- El bloque B ha subido 10 m.

Al cabo de 15 s , el sistema se encuentra en reposo por lo que :

T = m . g = 9,8 N

La variación de energía será la correspondiente al trabajo de rozamiento:

Δ E = m . g cos 37 μ . 10 = 60 J

Δ E = E1 – E2 = 12vA

2+m . g .hA−m . g .hB=

12

2.102+1 .10 .6−1.10 .10=60 J

9. El rendimiento de una máquina.

Los sistemas reales son disipativos, es decir que parte de la energía utilizada, se disipa enforma de energía térmica, por lo que no existirá transformación completa de unas energías en otras.

El trabajomotor→W M=W U+W R ; ;W R es el trabajo derozamiento oresistente

Rendimiento→η=W u

W m

.100=Pu

Pm

.100

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