CIĄGI
description
Transcript of CIĄGI
• Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich
• Ciągiem skończonym k-wyrazowym nazywamy funkcję, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych liczb naturalnych 1,2,3,…, k. Jeżeli wartości tej funkcji są liczbami, to taki ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.
W każdym z ciągów kolejne elementy powstają według
pewnej ustalonej reguły, np.:
itd…
Ciągi monotoniczne to ciągi, które są albo
rosnące, albo malejące, albo stałe.
Ciąg (an ) nazywamy rosnącym wtedy i
tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest większy od wyrazu go
poprzedzającego, czyli gdy każdej dodatniej liczb naturalnej n spełniona jest nie równość:
an 1 an
Ciąg (an ) nazywamy malejącym wtedy i tylko
wtedy, gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, czyli gdy dla każdej dodatniej liczby naturalnej n spełniona jest nierówność:
a n 1 a n
Ciąg (an ) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy jego wyraz oprócz pierwszego jest równy wyrazowi, który go poprzedza, czyli dla każdej dodatniej liczby naturalnej n spełniona jest równość:
a n 1 a n
W celu zbadania monotoniczności ciągu (an ) wyznaczamy różnicę: an+1 –an i
badamy jej znak.
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, otrzymujemy przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby r. Oznacza to, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:
a n 1 a n rLiczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Ciąg arytmetyczny o różnicy r:• 1) jest rosnący, gdy r > 0• 2) jest malejący, gdy r < 0• 3) jest stały, gdy r = 0
Jeżeli (an ) ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:
r a n 1 a nKażdy wyraz nieskończonego wyrazu ciągu arytmetycznego (oprócz wyrazu pierwszego) jest średnią arytmetyczną jego dwóch sąsiednich wyrazów (poprzedniego i następnego).
Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla każdej dodatniej liczby
naturalnej n zachodzi :
a n a 1 n 1 r
Niech dany będzie ciąg (an) o wyrazach:
,...,,,...,,, 21321 nnn aaaaaa
Symbolem Sn oznaczamy n-tą sumę częściową ciągu (an), czyli sumę wszystkich wyrazów tego ciągu od wyrazu pierwszego do n-tego włącznie.
Zatem:
wyrazówndodajemy
aaaaS
aaaaS
aaaS
aaS
aS
nn
__
_____________________
...
...
,
,
,
,
.321
43214
3213
212
11
Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, to suma n początkowych jego wyrazów wyraża się wzorem:
2
)( 1 naaS nn
Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o wyrazie początkowym a1 i różnicy r, to suma n początkowych
jego wyrazów wyraża się wzorem:
2
])1(2[ 1 nrna Sn =
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez pomnożenie wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego przez tę samą liczbę q. Oznacza to, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi:
a n 1 a n qLiczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Ciąg geometryczny o wyrazie początkowym a1 i ilorazie q jest:
1) naprzemienny, gdy:
2) stały, gdy:
3) rosnący, gdy:
4) malejący, gdy:
a 1 0 i q 0
q 1 lub a 1 0
a 1 0 i q 1 lub a 1 0 i 0 q 1
a 1 0 i 0 q 1 lub a 1 0 i q 1
Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q i wyrazach różnych od zera, to dla każdej dodatniej
liczby naturalnej n zachodzi:
n
n
a
aq 1
Zatem aby stwierdzić, czy dany ciąg o wyrazach różnych od zera jest geometryczny,
należy sprawdzić, czy iloraz jego kolejnych wyrazów jest stały.
Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to dla każdej dodatniej liczby
naturalnej n zachodzi:
11
nn qaa
Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, to suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem:
1,1
11,
1
1
qgdyq
qa
qgdyanS nn