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PSI Les Ulis Cours CI8 DYNAMIQUE DES SYSTEMES
Sciences Industrielles pour lIngnieur - Page 1 -
Dynamique des systmes de solides
Objectif final :
En prsence dun systme technique industriel compos de solides rigides en mouvementrelatif sous laction defforts extrieurs, vous devrez tre capable de :
Relier les quantits cinmatiques (effets) aux actions mcaniques (causes)o Principe fondamental de la dynamiqueo Thorme de lnergie cintique
Rsoudre des problmes de 3 types:o Systmes cinmatique impose
Rechercher les actions mcaniques
(Exemple : couple de dmarrage dun moteur)o Systmes cinmatique libre et actions mcaniques connues
Rechercher les lois de mouvement(Exemple : dtermination de lacclration limite entranant une pertedadhrence dun vhicule)
o Systmes inconnues mixtes(cinmatique et actions mcaniques)
Plan :
I SYSTEME MATERIEL A MASSE CONSERVATIVE .............................................................. ....................... 2
I.1 SYSTEME MATERIEL.................................................. ........................................................... ................................. 2
I.2
CONSERVATION DE LA MASSE....................................................... ........................................................... ............. 2
II CENTRE DINERTIE .......................................................... ........................................................... ....................... 3
II.1 DEFINITION...................................................................................................................................................... 3II.2 PROPRIETES.......................................................... ........................................................... ................................. 3
III TORSEUR CINETIQUE / DYNAMIQUE DUN SYSTEME MATERIEL ................................................... ... 4
III.1 TORSEUR CINETIQUE........................................................................................................................................ 4
III.2 TORSEUR DYNAMIQUE.................................................... ........................................................... ....................... 4
III.3
RELATION ENTRE LE MOMENT DYNAMIQUE ET LE MOMENT CINETIQUE......................................................... ... 5
IV PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE ...................................................... ................................. 6
IV.1 ENONCE...................................................... ............................................................ .......................................... 6
IV.2
THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE........................................................... .......................................... 6IV.2.1 Thorme de la rsultante dynamique ................................................................................. ....................... 6
IV.2.2 Thorme du moment dynamique ............................................................................................................... 6
IV.3
THEOREME DES ACTIONS RECIPROQUES........................................................................................................... 7
IV.4 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE......................................................................................... ............. 7
V CINETIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES ................................................... .......................................... 7
V.1
SOLIDE AU SENS DE LA CINETIQUE/DYNAMIQUE..................................................... .......................................... 7
V.2 CALCUL PRATIQUE DU MOMENT CINETIQUE POUR UN SOLIDE S ........................................................... ............. 7
V.3 CALCUL PRATIQUE DU MOMENT DYNAMIQUE POUR UN SOLIDE S ..................................................................... 8
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I SYSTEME MATERIEL A MASSE CONSERVATIVE
I.1 Systme matriel
Un systme matriel est constitu dun ensemble de points P chacun de masselmentaire )(Pdm .
dvPPdm )()( = avec )(P : masse volumique en P
dv : lment de volume
==P z y x
dzdydxPPdmm )()()(
La masse est dfinie positive et est additive.
)()()( 22 11 += mmm
Lunit de masse est le kg.
Expression du volume lmentaire :Coordonnes cartsiennes Coordonnes cylindriques Coordonnes sphriques
dzdydxdv ..=
dzddrrdzdrdrdv ...... ==
dzddrrdv ... =
drdrdrdv ...sin..=
dddrrdv ...sin.2=
I.2 Conservation de la masse
Un systme matriel ( ) est masse conservative si toute partie (Si) de quon suit aucours du temps a une masse constante.
Consquence :Soit
r
( , )P t est une fonction vectorielle dfinie sur et drivable par rapport au temps.
Pour tout repre R, on peut crire :
[ ] )()( ),(),( Pdmdt
dPdm
dt
d
RP
tPRP
tP
=
rr
En dynamique et nergtique, les systmes tudis seront masse conservative.
Systme ,
Masse M
Point P
dm(P)=(P)dv
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II CENTRE DINERTIE
II.1 Dfinition
G est le centre dinertie de sil vrifie :
=P PdmGP 0)( ou encore
=P dvPGP 0)( .
II.2 Proprits
Position de G :
Soit O un point quelconque.
= P PdmOPOGm )(
Si prsente un lment de symtrie matrielle(symtrie gomtrique et symtrie de la distribution
massique) alors G appartient cet lment.
Centre dinertie et centre de gravitEn faisant lhypothse dun champ de pesanteurconstant en tout point alors le centre dinertie G estconfondu avec le centre de gravit (pointdapplication de la rsultante des efforts de pesanteur).
Rsultantes cintique/dynamique en mouvement par rapport un repre R ; O fixe dans R
= P PdmOPOGm )(
( )R
dt
d...
( ) ( )RP
R PdmOP
dt
dOGm
dt
d = )(
( ) ( ) = P RR PdmOPdtd
OGdt
dm )(
= P PdmRPVRGVm )()/()/( Or G P
= P PdmRPVRGVm )()/()/( Rsultante cintique de /R
De la mme manire, par drivation de la rsultante cintique :
= P PdmRPRGm )()/()/( Rsultante dynamique de /RCas de plusieurs systmes matriels
=
=
=ni
iii
i
AGAG mm 1
1
=
=
=ni
i
ii
i
RGVmm
RGV1
)/(1
)/(
=
=
=ni
i
ii
i
RGmm
RG1
)/(1)/(
Exemple : cette roue possde unesymtrie matrielle (axe de rvolution
zA,
x
y
z
A
Le centre d'inertie appartient donc
l'axe zA,
x
y
z
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III TORSEUR CINETIQUE / DYNAMIQUE DUN SYSTEMEMATERIEL
III.1 Torseur cintique
Le torseur cintiquedun systme matriel ( ) dans son mouvement par rapport (R)est
{ }
=
=
=
P
P
A
PdmRPVAP
PdmRPVRGVm
C].s[kg.mAencintiqueMoment)()/(/R)A,
]kg.m.scintique[Rsultante)()/()/(
1-2
1-
/R
(r
r
r
Nous montrons ici que /R)(C est bien un torseur. Calculons
=P
PdmRPVBP )()/(/R)B,( rr
avec
=BP BA AP + donc
+=P
PdmRPVAPBA )()/()(/R)B,( rr
+
=PP
PdmRPVBAPdmRPVAP )())/(()())/((/R)B,(r
ABRGVm += )/(/R)A,/R)B, (( rr
formule de changement de point
/R)A,( r
caractrise bien un champ de moment. Donc { }
=
/R)A,
)/(
(/R
r
RGVm
A
C est
bien un torseur.
III.2 Torseur dynamique
De la mme manire, il est possible dintroduire un torseur dynamique du systmematriel ( ) dans son mouvement par rapport (R) :
{ }
=
=
=
P
P
A
PdmRPAP
PdmRPREGm
].s[kg.mAendynamiqueMoment)()//R)A,
][kg.m.sdynamiqueRsultante)()/)/
2-2
2-
/R
((
((rr
rr
D
( ) ABRGm += )/(/R)A,/R)B, (( r
rr
formule de changement de point
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III.3 Relation entre le moment dynamique et le moment cintique
A est un point quelconque, G et P .
Moment cintique en A :
=P
PdmRPVAP )()/(/R)A,( rr
( )R
dt
d...
( )RP
R PdmRPVAP
dt
d
dt
d
=
)()/(/R)A,( rr
( )
=
P RR
PdmRPVAPdt
d
dt
d)()/(/R)A,(
rr
( ) ( )
+
=
P P
RR
R PdmRPV
dt
dAPPdmRPVAP
dt
d
dt
d)()/()()/(/R)A,(
rrr
O un point fixe dans R.
( ) ( )
444444 3444444 21
444 3444 21
r
444444 3444444 21
r
43421
r
43421
r
rrr
r
/R)A,(
)/()/()/(
)()/()()/()()/(-/R)A,(
+
+
=
P
RP
R
O
P
RPV
RP
RAV
RR
PdmRPVdt
dAPPdmRPVOP
dt
dPdmRPVOA
dt
d
dt
d
( ) ( ))/()/(/R)A,(/R)A,( RGVmRAVdt
dR
= rrrr
( ) )/()/(/R)A,/R)A,( ( RGVRAVmdtd
R +=
rrr r
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IV PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
IV.1 Enonc
Il existe au moins un repre, appel repre galilen Rg, tel que pour tout systmematriel ( ), le torseuren un point A quelconque des efforts extrieursappliqus ( )
not{ }
T , soit gal au torseur dynamique en ce mme point A de ( ) dans son
mouvement par rapport Rg notgR/
D .
{ }gR/
= DT
au mme POINT !!!
Remarque :Il s'agit d'un principe, nonc par Isaac Newton en 1687. Il ne faut donc pas s'attendre une dmonstration de ce principe. Sa validit est lie l'exactitude de ce principe encomparaison des expriences.
Le PFD introduit la notion de rfrentiel galilen. Un rfrentiel galilen est unrfrentiel dans lequel le PFD est valide. Les rfrentiels galilens courants sont :
le rfrentiel de Copernic (son centre est le centre d'inertie du systme solaire, etses axes sont trois directions stellaires), utilis pour l'tude des mouvements dessystmes interplantaires, par exemple ;
le rfrentiel li au centre de masse de la Terre, et d'axes ceux du rfrentiel deCopernic, utilis pour l'tude des satellites autour de la Terre, par exemple ;
la Terre, utilis pour l'tude de tous les systmes mcaniques courants.
IV.2 Thormes gnraux de la dynamique
On a { } gR/ = DT
Qui peut scrire au point A
=
/R)A,
)/,(
),
)(
(r
r
r
r
RGm
A
R
AA(M
IV.2.1 Thorme de la rsultante dynamique
On en dduit le thorme de la rsultante dynamique :
)/,()( RGmR =
rr
IV.2.2 Thorme du moment dynamique
On en dduit le thorme du moment dynamique au point A :
/R)A,), ( = rr
A(M
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IV.3 Thorme des actions rciproques
On suppose que 21 = . Le PDF appliqu donne :{ }
gR/ = DT
soit encore g2g121 R/R/ +=+ DDTT (1)
Le PDF appliqu 1 donne 121g111 R/ +== TTDT (2)
Le PDF appliqu 2 donne 212g222 R/ +== TTDT (3)
En rinjectant (2) et (3) dans (1), on obtient le thorme des actions rciproques (outhorme de l'action et de la raction)
2112 = TT
IV.4 Principe Fondamental de la StatiqueSi un systme est l'quilibre, en mouvement de translation rectiligne uniforme ou
de masse ngligeable, { }0gR/ =D , on retrouve le Principe Fondamental de laStatique.
{ } { }0=
T
V CINETIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLESV.1 Solide au sens de la cintique/dynamique
Cest un solide dfini au sens de la cinmatique sur lequel la masse mSest prise enconsidration.
Le torseur cinmatique peut tre utilis et ses proprits :
{ }
=
/R)A
)/(
(/
V
RSV
A
RSr
r
; formule de changement de point, quiprojectivit, CIR.
V.2 Calcul pratique du moment cintique pour un solide S
)(.)/()/()(.)/()/,( PdmAPRSRSAVAPPdmRSPVAPRSASPSP
+==r
44444 344444 214444 34444 21r
)/(.),()/(
)(.)/()(.)/()/,(
RSSAI
SP
RSAVAGm
SP
PdmAPRSAPPdmRAVAPRSA
S
+==
Avec ),( SAI la matrice dinertie du solide S au point A (termes caractrisant la
rpartition des masses en kg.m2 ) (voir fiche sur les oprateurs dinertie)
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Le moment cintique en A dun solide S dans son mouvement par rapport au repre
galilen ),,,( zyxOR est :
GARSAVmRSSAIRSA S += )/(.)/().,()/,(
Au centre de gravit Gde S:
)/().,()/,( RSSGIRSG = En un point A fixe:
)/().,()/,( RSSAIRSA =
Pour calculer le moment cintique en un pointBquelconque, on applique la relationdu changement de point du moment dun torseur classique :
ABRSGVmRSARSBS
+= )/(.)/,()/,(
Pour un ensemble de solides Si, le moment cintique en A est la somme desmoments cintiques enAde chaque solide :
)/,()/,( RSARA ii
= Au mme pointA!!!
V.3 Calcul pratique du moment dynamique pour un solide S
Le moment dynamique en A dun solide S dans son mouvement par rapport au repre
galilen ),,,( zyxOR sobtient par la relation liant les moments dynamique et cintique :
( ) )/()/(/R)A,/R)A,( ( RGVRAVmdt
dR
+= rrr r
Au centre de gravit Gse S:
RRSGdt
dRSG )]/,([)/,( =
En point fixeA:
RRSA
dt
dRSA )]/,([)/,( =
Pour calculer le moment dynamique en un point B quelconque, on applique larelation du changement de point du moment dun torseur :
ABRSGmRSARSB S += )/(.)/,()/,(
Pour un ensemble de solides Si, le moment dynamique en Aest la somme desmoments dynamiques enAde chaque solide :
)/,()/,( RSARA ii
= Au mme pointA!!!