Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi i h Ch HÀM S L NG...

Chuyên �� PH��NG TRÌNH L��NG GIÁC Luy�n thi ��i h�c 2014

Giáo viên: LÊ BÁ B�O T� Toán THPT Phong �i�n

1

Ch ��: HÀM S L��NG GIÁC I- LÝ THUY�T: 0. Gi�i thi u t�ng quan v� các hàm s� l��ng giác:

∀ ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤��

( ) ( )

( ) ( )

π π

π π

∀ ∈ + = + =

∀ ∈ + = + =

��

��

� � � � � � � �

� � � � � � � �

* Các giá tr� ��c bi t: π π

π π π

ππ π π π

ππ π

= ⇔ = = − ⇔ = − + = ⇔ = +

= ⇔ = + = ⇔ = = − ⇔ = +

= ⇔ = = ⇔ = +

� � ��

� ��

� ��

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � �π

π

π π ππ π π

= − ⇔ = − +

= ⇔ = + = ⇔ = + = − ⇔ = − +

��

��

� � �

� � � � � � � � �

---------------------------------------------------------

1. Hàm s� y = sin x: * TX�: =� � * T�p giá tr�: ∀ ∈ − ≤ ≤� � � �� . * Hàm s� y = sin x là hàm s� l�. * Tu�n hoàn v�i chu k�: � π= . �� th�: 2. Hàm s� y = cos x:

* TX�: =� � * T�p giá tr�: ∀ ∈ − ≤ ≤� � � �� . * Hàm s� y = cos x là hàm s� chn. * Tu�n hoàn v�i chu k�: � π= . �� th�:

y

x-ππ

π

2

-π

2O

1

y

x

1

-1

O

-π

2

π

2 π-π

O α

cotang

tangsin

cos



2

3. Hàm s� y = tan x:

* TX�: π

π� �

= + ∈� ��

� � �

� � � � � * T�p giá tr�: ∀ ∈ ∈� � �� .

* Hàm s� y = tan x là hàm s� l�. * Tu�n hoàn v�i chu k�: � π= . �� th�: 3. Hàm s� y = cot x:

* TX�: { }π= ∈� � �� * T�p giá tr�: ∀ ∈ ∈� �� .

* Hàm s� y = cot x là hàm s� l�. * Tu�n hoàn v�i chu k�: � π= . �� th�: D�ng toán 1: T�P XÁC ��NH C�A HÀM S L��NG GIÁC *Nh�c l�i: M�t s� d�ng tìm T�p xác ��nh hàm s� th��ng gp:

≥�= �

�

≥�� = �

�

∈�= �

�

�

� � ��

�� !�

� � ��"#��$�%��

�� !�

� ��

�� !�

�

� � � � �

� �

� ��

� �

� � � � � �

� �

+∈�

� = ��

≠�= �

�

��

�"#��$�%�� !�

� � ��

� � �� !�

��

� � ��

��

� � � �

y

xO

y

xO



3

( ) ( ) ( )= ≠ ⇔ ≠ +��

� � � � � � � � �

��

( ) ( ) ( )= ≠ ⇔ ≠��

Bài t�p 1: (M�c �� c� b�n) Tìm TX� ca các hàm s� sau:

��

��

� � � � � �

� ��

� �

π� = − = − − �

�

+= =

− −

H��ng dn: � ��

� ��

��

��

��

� � � � � � � �

��

�

��

�

π π π π π π ππ

π ππ

ππ

� � �− ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + = +� � �

� � �

≠� � �⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ =� � �

≠ � ��

≠�⇔ ≠ ⇔ ≠ + =�

≠�

�� &'(� � �

)�� &'(� ��

�� &'(�

{ }

��

� ��

��

�

��

��

�

� � � � � �

ππ

π π

� �+� �

� �

+�+ ≥ ∀ ∈≥ ��

−� �− ≥ ∀ ∈�� ≠�

≠ ⇔ ≠ =

��

�*�� +�

�

,-��.��/0�� &'(�

Bài t�p 2: (M�c �� trung bình) Tìm TX� ca các hàm s� sau:

2 2

3 3 2a) b) c)

sin cos 2sin 1 cos cos3= = =

− − −y y y

x x x x x

H��ng dn:

2

3 3

sin

2 \

21 5

2sin 1 sin \ 2 , 252

2

3 2cos3 cos

3 2

π π π π ππ

ππ

π ππ π

ππ

π

π

= = −−

� �≠ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + = +� �

� �

�≠ +��

≠ ⇔ ≠ ⇔ = + +� � �� ≠ +

��

≠≠ +�

≠ ⇔ ⇔�≠ − +�

��

��

�� &'(� � �

�)�� &'(� � ��

�

��

yx x x

x x k x k D R k

x k

x x D R k k

x k

x kx x k

x xx x k

. \4

4

ππ

π

��

=� � �≠ � ��

�&'(� ��D R kx k

D�ng toán 2: TÌM GIÁ TR� NH� NH�T- GIÁ TR� L�N NH�T C�A HSLG Ph�ng pháp:

B��c 1: S� d�ng các k n�ng bi�n ��i �� có các B�T và k�t lu�n GTLN- GTNN. B��c 2: Ch� rõ GTLN- GTNN xãy ra trong tr��ng h�p nào?



4

Bài t�p 1: (M�c �� c� b�n) Tìm GTLN- GTNN ca các hàm s� sau:

��

��

� � � �

� � � �

= − = −

= + = −

H��ng dn: � � ��

� ��

� � �

�

�

�

� � � � �π

π

∀ ∈ − ≤ ≤

⇔ ≥ − ≥ −

⇔ − ≤ − ≤

� − ≤ ≤

= − = ⇔ = − ⇔ = − +1

��

��

��

��

&'(�2�3 �.4��.56��

70�� 2��

��

� � ��

� � ��

� � ��

�

� � � � �

� � �

�

�

�

�

π= − − = − ⇔ = ⇔ =

∀ ∈ ≤ ≤

⇔ ≤ ≤

⇔ − ≤ − ≤ −

� − ≤ ≤ −

= −

1

1

�.4��.56��

)��

��

��

��

&'(�2�3 �.4�

� ��

� � ��

� � ��

� ��

� ��

� ��

� � � � �

� � � � �

� � �

�

�

π π

π

− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = +

= − − = − ⇔ = ⇔ =

∀ ∈ ≤ ≤

⇔ ≤ ≤

⇔ ≤ + ≤

⇔ ≤

1

�.56��

70�� 2�� .4��.56��

��

��

��

��

� �

� �

� ��

� ��

�

�

� � � � � �

� � � � �

π

π π

+ ≤

� ≤ ≤

= + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

= + = ⇔ = ⇔ = +

1

1

��

��

&'(�2�3 �.4��.56��

70�� 2�� .4��.56��

� � ��

� ��

� ��

��

� ��

� � �

�

�

�

� � � � � �

� � �

π

∀ ∈ ≤ ≤

⇔ ≤ ≤

⇔ − ≤ − ≤ −

� − ≤ ≤ −

= − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

= − − = − ⇔

1

1

*��

��

��

��

&'(�2�3 �.4��.56��

70�� 2�� .4��.56��

� � �π π

= ⇔ = ⇔ = + ��



5

Bài t�p 2: (M�c �� trung bình) Tìm GTLN- GTNN ca các hàm s� sau:

2 4 4a) 2sin cos2 b) sin cos 4 c) cos cos3

π� = − = + + = + − �

� y x x y x x y x x

H��ng dn: 2

2

4 2 2

2sin

2sin 1 2

1 1sin 4 1 sin 2 4 5 sin 2

2 2

23 6

π π

= −

= − ⇔ = −

= + + ⇔ = − + = −

� � = + − = − � �

� �

�

��

"�� 70��89��:�� 5�)0��'9��;-�

)�� 70��89��:�� 5�)0��'9��;-�

��

y x x

y x x y x

y x x y x x

y x x x 3 3 36 6

π π� = − � − ≤ ≤ �

� � ��

�70��89��:�� 5�)0��'9��;-�

x y

Bài t�p 3: (M�c �� khá) Tìm GTLN- GTNN ca các hàm s� sau:

( )

2 2

a) 3 sin cos 2 b) 2sin 2 sin 2 4cos 2

2 cosc) 3sin 5cos 8sin cos 2 d)

sin cos 2

= − + = −

+= + − − =

+ +

y x x y x x x

xy x x x x y

x x

H��ng dn:

Chú ý: �i�u ki�n �� ph��ng trình sin cos= � <)y t t có nghi�m là: 2 2 2+ ≥a b c

a) 3 sin cos 2 3 sin cos 2 (*)= − + ⇔ − = −y x x x x y Mi�n giá tr� ca hàm s� trên là ∀ ∈y R sao cho ph��ng trình sau:

3 sin cos 2− = −x x y có nghi�m ∈x R

( )2 23 1 2 4 0 0 4

4 3 sin cos 2

2sin 1 2 2

6 6 2 3

0 3 sin cos 2

π π π ππ π

⇔ + ≥ − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤

= − =

� ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = + �

�

= − = −

1

1

&'(�2�3 �.4��.56��

��

70�� 2�� .4��.56��

��

y y y y

y x x

x x k x k

y x x

sin 1 2 26 6 2 3

π π π ππ π

� ⇔ − = − ⇔ − = − + ⇔ = − + �

� �� x x k x k

H��ng khác:

H��ng 2: 3 1

3 sin cos 2 2 sin cos 2 2sin 22 2 6

π� � = − + = − + = − + � �

� � y x x x x x

�70��89��:�� 5�)0��'9��;-� H��ng 3:

( ) ( )( )

( )

22 2

2

3 sin cos 3 1 sin cos 4

2 4 2 2 2 0 4

− ≤ + + =

� − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤

" =�>�"�>�� 9�� x x x x

y y y

�70��89��:�� 5�)0��'9��;-�



6

( ) 2

2

1 cos 42sin 2 sin 2 4cos 2 2sin 2 8sin 2 cos 2 2 4sin 4

2

4sin 4 cos 4 1

1 13sin 5 8sin 2 3

−� = − ⇔ = − = − �

�

⇔ = − − +

− +� � = + − − ⇔ = � �

� �

)��

�70��89��:�� 5�)0��'9��;-� ��

�� <�

xy x x x y x x x x

y x x

x xy x x x x y

( ) ( )

4sin 2 2

2 cossin cos 2 2 cos sin 1 cos 2 2

sin cos 2

− −

+= ⇔ + + = + ⇔ + − = −

+ +

�70��89��:�� 5�)0��'9��;-� ��

*��

x

xy y x x x y x y x y

x x

V�i �i�u ki�n có nghi�m ( ) ( )2 22 1 2 2+ − ≥ −y y y

�70��89��:�� 5�)0��'9��;-� BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p 1: Tìm giá tr� l�n nh�t và giá tr� nh� nh�t ca các hàm s�:

22 2 2

2 2 2

1 4cos1) 2 4cos 2) 3 8sin .cos 3) 4) 2sin cos2

3

5) 3 2 sin 6) cos cos 7) cos 2cos2 8) 5 2sin .cos3

xy x y x x y y x x

y x y x x y x x y x xπ

+= + = − = = −

� = − = + − = + = − �

� Bài t�p 2: Tìm giá tr� l�n nh�t và giá tr� nh� nh�t ca các hàm s�:

( )2 2 2

2 2 2 2

4 4

1) sin 4sin 2 2) sin cos 0

3) 3sin 5cos 8sin cos 2 4) 2sin 4cos 8sin cos 1

5) sin cos

y x x y a x b x a b

y x x x x y x x x x

y x x

= − − = + + >

= + − − = − + −

= +6 6 6) sin cosy x x= +

BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p: Tìm t�p xác ��nh ca các hàm s�:

11) sin3 2) cos 3) sin 4) cos

3 1

7 cot sin 25) 6) cot 2 7) 8)

2cos 4 cos 1 cos 1

9) cos 1

π

−= = = =

+

+� = = − = = �

− +�

= +

x xy x y y x y

x

x xy y x y y

x x x

y x2 2

3 2 10) 11) 12) tan cot

sin cos cos cos3= = = +

− −y y y x x

x x x x

D�ng toán 3: XÁC ��NH TÍNH CH"N L# C�A CÁC HÀM S L��NG GIÁC Ph�ng pháp:

B��c 1: Tìm t�p xác ��nh D ca hàm s� ( )y f x= , lúc �ó: + N�u D là t�p ��i x ng (t�c là ∀ ∈ � − ∈� � � � ), ta th�c hi�n b��c 2. + N�u D không là t�p ��i x�ng (∃ ∈ � − ∉� �� ), ta k�t lu�n hàm s�

( )y f x= không chn c�ng không l�. B��c 2: Xác ��nh −� � � . Lúc �ó:

− = =�

�− = − =�

� � � � � ��?02��@� � ��/0� 02�� A�

� � � � � �?02��@� � ��/0� 02�/B

� � � �

� � � �

L�u ý: V� m�t hình h�c: 1. �� th� hàm s� ch$n nh�n tr�c tung Oy làm tr�c ��i x ng.

2. �� th� hàm s� l% nh�n g�c to� �� O làm tâm ��i x ng.



7

Nh�n xét: V�i các hàm s� l� ng giác c� b!n, ta có: a. Hàm s� = �� /0� 02��@�� A�� . b. Hàm s� = = =�� /0��%�� 02��@�/C� � � � � � .

Bài t�p 1: Xác ��nh tính chn, l� ca các hàm s�: 3

43 sina) 1 cos3 b) 1 cos sin 2 c) sin 3 d)

2 cos2

π −� = + = + − = = �

�

x xy x x y x x y x x y

x

H��ng dn: a) TX�: =D R . Ta có: ∀ ∈ � − ∈� � � �

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1− = + − − = − ≠

− ≠ − �

��

70� � �?02��@�.D�� /0� 02�� E�� A�� E��/B��;-��1

y x x x x x y x

y x y x

b) 3

1 sin 2 1 cos cos 22

π� = + − = − �

� ��y x x x x

TX�: =D R . Ta có: ∀ ∈ � − ∈� � � � ( ) ( ) ( ) ( )1 cos cos 2 cos2− = − − − − = �F� �� ?02��@�.D�� /0� 02�� A��;-��1 y x x x x x y x

c) TX�: =D R . Ta có: ∀ ∈ � − ∈� � � �

( ) ( ) ( ) ( )4 4sin 3 sin 3− = − − − = − �F �?02��@�.D�� /0� 02�/B��;-��1 y x x x x x y x

d) TX�: \4 2

π π� �= +� �

� �D R k . Ta có: ∀ ∈ � − ∈� � � �

( )( ) ( )

( )( )

3 3 3sin sin sin− − − − + −− = = − = − �

−F �?02��@�.D�� /0� 02�/B��;-��+

��

x x x x x xy x y x

x x x

BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p: Xác ��nh tính chn, l� ca các hàm s�:

33

2000

sin cos21) cos3 3) sin 3 4) 5)

cos21 cos

6) sin 2 7) 1 cos 8) 9) sin cos2 1 cos

10)

−= = = =

+= − = − = = +

−

=

x x xy x x y x x y y

x x

xy x x y x y y x x

x

xy

2 2010sin 2010 11) 12) sin 2

sin tan cos

+= =

+

xy y x x

x x x

D�ng toán 4: XÁC ��NH TÍNH TU&N HOÀN C�A CÁC HÀM S L��NG GIÁC Ph�ng pháp:

1. Ch�ng minh hàm s� ( )y f x= tu�n hoàn

Xét hàm s� ( )y f x= , t�p xác ��nh D, ta d� �oán có s� th�c d�ng 0T sao cho:

( )

∀ ∈ − ∈ + ∈��

+ =��

� �

�

� �� 70��

� ��

� � � � � � � �

� � �

2. Ch�ng minh �� là chu k� ca hàm s� ( ngh"a là �� d��ng nh� nh�t tho! mãn h� (1) và

(2)). Th�c hi�n b�ng ph�n ch ng. B��c 1: Gi! s� có s� T sao cho < < �� tho! mãn các tính ch�t (1) và (2):

( )∀ ∈ + = ⇔ � < < �� GH�� I��7J��K�� 8��

B��c 2: Mâu thu#n này ch�ng t� �� là s� d��ng nh� nh�t tho! mãn (2).

K�t lu�n: V�y �� là chu k� ca hàm s� ( )y f x= .

3. Xét tính tu�n hoàn các các hàm s� l� ng giác, ta s� d�ng m$t s� k�t qu!:



8

a. Hàm s� π= =�� L�� 0��7J�� M�� . b. Hàm s� π= =�� L�� 0��7J�� M�� . M� r�ng: (cm)

c. Hàm s� ( ) ( )π

= + = + >

�� L�� 0��7J�� M��

.

d. Hàm s� ( ) ( )π

= + = + >�� L�� 0��7J�� M��

.

��nh lý: Cho c�p hàm s� � �� tu�n hoàn trên t�p M có các chu k� l�n l� t là �70� �

∈�7J��

��

. Khi �ó, các hàm s�: = + =� � � � � �� c�ng tu�n hoàn trên

M. H� qu: Hàm s� = +� � � � � �� tu�n hoàn v�i chu k� T là b$i chung nh� nh�t ca � 0� � � .

Bài t�p 1: Ch�ng minh r%ng m&i hàm s� sau là m$t hàm s� tu�n hoàn và hãy tìm chu k� ca nó:

2

1) 2sin 2) cos 5 3) tan 4) cos2 4 3 4

5) cos 6) sin cos 7) sin cos 8) 4sin2 4

9)

y x y x y x y x

xy y x x y x x y x

y

π π π

π

� � � = + = − − + = + = � � �

� � �

� = + = + = = �

�

=1

sin x

SAI L&M ' �ÂU?

Xét bài toán: Tìm chu k� ca hàm s�: ( )( ) sin ; ( 0)= + ≠f x ax b a

( Tr�c nghi�m Nghuy�n V�n Nho �HSP2006 và nhi�u sách khác) M�t h(c sinh gi�i nh� sau: B��c 1: G�i T là chu k� ca hàm s� �ã cho. B��c 2: Lúc �ó: ( ) ( )( ) ( ) sin sin+ = ⇔ � + + � = +� �f x T f x a x T b ax b

( ) ( )sin sin⇔ + + = +ax b aT ax b (*)

B��c 3: Do hàm s� sin=y x tu�n hoàn v�i chu k� 2T π=

T' (*) 2aT π⇔ =2

Ta

π⇔ =

V�y chu k� ca hàm s� �ã cholà 2

Ta

π= . (ycbt)

Bài gi!i ca h�c sinh trên �ã �úng ch�a? N�u ch�a thì sai ( b��c nào? *L�u ý: Nhìn t�ng th� thì bài gi!i có v� �úng nh�ng b!n ch�t thì...sai. Sai vì ch�a hi�u rõ th� nào là chu k� c a m�t hàm s�. Nh�c: T �� c g�i là chu k� ca hàm s� ( )y f x= khi ch) khi: + ( ) ( )f x T f x+ = (*) + T là s� d��ng nh� nh�t tho! (*)



9

Nh� v�y ��i v�i bài gi!i trên, ch) �úng khi 0>a . V�y trong tr�*ng h p t�ng quát thì sao? Ta gi!i nh� sau: TH1: 0>a gi!i nh� trên. TH2: 0<a . Th�c hi�n phép bi�n ��i: ( ) ( )sin sin+ = − − −ax b ax b . Lúc này ta ��a

bài toán v� TH1. Bài t�p: Tìm chu k� ca các hàm s� sau:

a) ( )cos 2 4= −y x b) ( )cot 3 1= − +y x c) 2

tan 13

� = − �

�

xy c)

( )sin 4 2= − +y x

Bài toán: Cho hàm s� ( ) sin sinf x a ux b vx= + , trong �ó , , ,� � �a b u v là các s� th�c khác 0.

a) Ch�ng minh r%ng: N�u hàm s� ( )y f x= tu�n hoàn thì u

v là s� h+u t).

b) Ng� c l,i n�u u

v là s� h+u t) thì hàm s� ( )y f x= tu�n hoàn.

Ch�ng minh: a) Gi! s� hàm s� ( )y f x= tu�n hoàn v�i chu kì T. Ta có: ( ): ( )�x f x T f x∀ + = .

Cho 0x = , ta có: ( ) (0) sin� �� f T f a uT b vT b= ⇔ + = .

Cho x T= − , ta có: ( ) (0) sin� �� f T f a uT b vT b− = ⇔ − + = .

T' (1) và (2) suy ra : 1 2 2 2

sin 0

π π

π π

= =� �⇔ � = ⇔ = ∈� �

= =� �

��vT vT k vT k v kQ

uT uT m uT m u m (�.p.c.m)

b) Gi! s� = ∈v m

Qu n

v�i , �m n là các s� nguyên khác 0. Ch�n 2 2m n

Tu v

π π= = .

Khi �ó: ( )2 2

sinπ π� �

+ = + + + � ��

� ��m n

f x T a u x b v xu v

( ) ( ) ( ) ( )sin 2 cos 2 sin cos ( )π π= + + + = + =�� a ux m b vx n a ux b vx f x

V�y hàm s� ( )y f x= tu�n hoàn (�.p.c.m)

��nh lý: Cho c�p hàm s� � �� tu�n hoàn trên t�p M có các chu k� l�n l� t là

∈�70� �7J��

� ��

. Khi �ó, các hàm s�: = + =� � � � � �� c�ng tu�n hoàn

trên M. H� qu: Hàm s� = +� � � � � �� tu�n hoàn v�i chu k� T là b$i chung nh� nh�t ca � 0� � � .

Ví d) minh h(a 1: Xác ��nh chu kì ca các hàm s� sau:

2

2

11) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2

6 3 2

1 14) sin sin 2 sin 3 5) 2 tan 3tan 6) cos 2cos

2 3 2 3

y x y x y x x

x xy x x x y y x x

π π� � = + = + = + � �

� �

= + + = − = +

Gii: 4) Ta có:

Hàm s� siny x= tu�n hoàn chu kì 2π .

Hàm s� sin 2y x= tu�n hoàn chu kì π .



10

Suy ra, hàm s� 1

sin sin 22

y x x= + tu�n hoàn v�i chu kì 2T π= .

Hàm s� sin 3y x= tu�n hoàn chu kì 2

3

π.

V�y hàm s� 1 1

sin sin 2 sin 32 3

y x x x= + + tu�n hoàn v�i chu kì 2π

Ví d) minh h(a 2: Cho hàm s� ( ) ��f x x= . Ch�ng minh r%ng hàm s� trên không tu�n hoàn phi. Gii: Gi! s� hàm s� �ã cho là tu�n hoàn ph!i. Khi �ó có t�n t,i s� d��ng T sao cho:

0 : �� x x T x∀ ≥ + =

Cho 0x = , ta có: 1 2�� T T k π= ⇔ = (1)

Cho x T= , ta có: 2 1 2 2�� T T T m π= = ⇔ =

L�p t) s� (1)(2) , ta �� c: 2 = ∈

kQ

m. Mâu thu#n. V�y hàm s� �ó không tu�n hoàn ph!i.

Ví d) minh h(a 3:

Tìm t�t c! các s� nguyên n khác 0 �� hàm s�:5

( ) cos .sinx

y f x nxn

= = tu�n hoàn v�i chu kì

3π . Gii: Gi! s� hàm s� �ã cho là tu�n hoàn v�i chu kì 3π . Lúc �ó, ta có:

5( 3 ) 5: ( 3 ) ( ) cos ( ).sin cos .sin�

x xx f x f x n x nx

n n

ππ π

+∀ + = ⇔ + =

Thay 0x = ta �� c: 15 15

sin 0 15k knn n

π ππ= ⇔ = ⇔ = . T�c là n là ��c ca 15, do

�ó: { }1; 3; 5; 15� � �n ∈ ± ± ± ±

�!o l,i: { }1; 3; 5; 15� � �n∀ ∈ ± ± ± ± thì: 5( 3 ) 5

( ) cos ( ).sin cos .sinx x

f x n x nxn n

ππ

+= + =

Th�t v�y, vì 3n và 15

n là các s� nguyên l� nên :

cos ( ) cos( ) cos .

5( 3 ) 5 15 5sin sin sin

n x nx n nx

x x x

n n n n

π π

π π

+ = + = −

+ � = + = − �

�

Do �ó các giá tr� n c�n tìm là { }1; 3; 5; 15� � �n ∈ ± ± ± ± (y.c.b.t)

BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p: Xác ��nh chu k� ca các hàm s�:

2

2

11) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2

6 3 2

1 14) sin sin 2 sin 3 5) 2 tan 3tan 6) cos 2cos

2 3 2 3

y x y x y x x

x xy x x x y y x x

π π� � = + = + = + � �

� �

= + + = − = +



11

CHUYÊN �*: PH��NG TRÌNH L��NG GIÁC -----------------------------------------------------

Ch �� 1: PH��NG TRÌNH L��NG GIÁC C� B�N I- LÝ THUY�T: 1)Ph��ng trình sin x a= (1)

Thu�t toán: TH1: 1a > Ph��ng trình (1) vô nghi�m vì sin 1, x x R≤ ∀ ∈

TH2: 1a ≤ Ph��ng trình (1) có các ngi�m:

2 , x k k Zα π= + ∈ 2 , x k k Zπ α π= − + ∈

(trong �ó: sin aα = ) Hoc:

2) Ph��ng trình cos x a= (2)

Thu�t toán: TH1: 1a > Ph��ng trình (2) vô nghi�m vì cos 1, x x R≤ ∀ ∈

TH2: 1a ≤ Ph��ng trình (2) có các ngi�m:

2 , x k k Zα π= + ∈ 2 , x k k Zα π= − + ∈

(trong �ó: cos aα = ) Hoc:

3) Ph��ng trình tan x a= (3)

Thu�t toán: �i�u ki�n ca ph��ng trình (3) là: , 2

x k k Zπ

π≠ + ∈

Ph��ng trình (3) có các nghi�m là: , x k k Zα π= + ∈ (trong �ó: tan aα = )

Hoc: arctan , x a k k Zπ= + ∈

4) Ph��ng trình cot x a= (4) Thu�t toán: �i�u ki�n ca ph��ng trình (4) là: , x k k Zπ≠ ∈

Ph��ng trình (4) có các nghi�m là: , x k k Zα π= + ∈ (trong �ó: cot aα = )

Hoc: arccot , x a k k Zπ= + ∈ II- M+T S K, N-NG C&N L�U Ý: I- X. lý d/u “ −” :

a) Gi!i ph��ng trình: 3

cos 2 cos 2 cos cos3 2 3 6 6

x xπ π π π

π� � �

− = − ⇔ − = − = − � � ��

arcsin 2 , x a k k Zπ= + ∈ arcsin 2 , x a k k Zπ π= − + ∈

arccos 2 , x a k k Zπ= + ∈ arccos 2 , x a k k Zπ= − + ∈



12

b) Gi!i ph��ng trình: 3

sin 2 sin 2 sin sin3 2 3 3 6

x xπ π π π� � �

− = − ⇔ − = − = − � � ��

c) Gi!i ph��ng trình: tan 2 3 tan 2 tan tan3 3 3 3

π π π π� � � − = − ⇔ − = − = − � � �

� � � x x

Nh�n xét: T,i sao l,i s� d�ng k n�ng này? + Gi!m b�t t� duy “ nh�” máy móc các giá tr� ��c bi�t. + Nh� v�y, x� lý d�u “ −” ��i v�i cos thì dùng công th�c bù, sin, tan, cot thì dùng công th�c ��i. II- K0 thu�t l/y nghi m trên m�t kho�ng, m�t �o�n:

VD: Tìm các nghi�m [ ]0;2π∈x ca ph��ng trình: cos2 0x = .

Gi!i: 2 0 , 4 2

cos x x k k Zπ π

= ⇔ = + ∈ .

Do [ ]1 7

0;2 0 2 0 2 0,1,2,32 24 2

kx x k k

k Z

π ππ π π

�− ≤ ≤�

∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ � =�� ∈�

V�y: 0 : , 1: , 2 : 2. , 3 : 3.4 4 2 4 2 4 2

π π π π π π π= = = = + = = + = = +k x k x k x k x

III- K, THU�T GI�I PH��NG TRÌNH CH1A �I*U KI!N: Nh�c: M$t s� hàm s� có �i�u ki�n:

ππ π= ≠ + ∈ = ≠ ∈

= ≠ = ∈ ≥

�� .�� .��

� �� .�� ,N��.��

� ��

� � � � � � � � � � � �

� ��

�

��c bi�t, ��i v�i ph��ng trình l� ng giác do ��c thù là có vô s� nghi�m d,ng π

α= +� ��

� ∈� � � nên v�n �� i chi�u nghi�m t�ng ��i ph c t�p và khó kh�n. Kh-c ph�c nh� c �i�m này, chúng ta bàn lu�n cách x� lý v�n �� này thông qua các VD sau:

VD1: Gi!i ph��ng trình: ��

��

=−

�

� (1)

B��c 1: �i�u ki�n: � ��

ππ− ≠ ⇔ ≠ +� � � (*)

B��c 2: �� ⇔ = ⇔�

Cách 1: ��

��

��

ππ

π

ππ

�= +�

= = ⇔ �� = − +��

� �

�

� �

. Th�y (2) không tho! (*). V�y

ph��ng trình có nghi�m �

� �π

π= − + .

THU�T TOÁN GI�I PH��NG TRÌNH: � � �� = B��c 1: Tìm �i�u ki�n

� ca ph��ng trình.

B��c 2: Gi!i ph��ng trình (1) có các giá tr�: � ��

� � � . B��c 3: ��i chi�u �i�u ki�n

� và k�t lu�n nghi�m ca ph��ng trình � � � � = .



13

Nh�n xét: �ôi khi g�p ph��ng trình �� O��O� �= −� thì công th�c nghi�m nh� trên thì thu�n l i h�n. Cách 2: �� ⇔ =� .

Do

�� /4��

��

=� + = �� = ⇔� �

= − ⇔= ��

��

��

Cách 3: V� ��ng tròn l��ng giác và ��i chi�u �i�u ki�n:

�� L�u ý: V�i h� nghi�m x kn

πα= + có 2n ng�n cung nghi�m ��

��

π π⇔ = ⇔ = +� � �

+ Bi�u di.n các cung d,ng: �

� �π π

= + . Kí hi�u �

+ Bi�u di.n các cung (�i�u ki�n): �

� �π

π≠ + . Kí hi�u: ×

T' hình v� th�y, các cung trùng nhau t,i � �� . Suy ra t,i �� là các ng�n cung

nghi�m: �

��

ππ= + . Ho�c:

ππ= − + ∈� �

��

Cách 4: �i�u ki�n: �

� �π

π≠ + . Nghi�m ca pt �� = , là �

� �π π

= + , ∈� � .

Ta xét: � �

� � � �π π π

π+ ≠ + ⇔ ≠ .

K�t lu�n: V�y ph��ng trình có nghi�m là: π π ∈�

= + �≠�

�7J��

� ��

� �

VD2: Gi!i ph��ng trình: ( ) ( )� �� − − =� � (1)

�i�u ki�n: ( )�� − ≠�

( )

( )

�

�

��

��

� − =�⇔� − =�

�

�

Gi!i (2): ( )− = ⇔ − = ⇔ = + ∈� � � � ��

Gi!i (3): ( )� �� − = =�

� � � � �

� � � � �

��

��

� � � �

� � � �

� �− = + = +⇔ ⇔� �

− = − + = +� �

��i chi�u �i�u ki�n: Thay các nghi�m vào ph��ng trình ( )�� − =�

( )� � � � � �� /0�� 2�9�� + − = ≠ � = +� ��

( ) ( )� � � � � � �� E��/0�� 2��P��9�� + − = + = � = +� ��

A4A3

A2A1

O

y

x



14

III- LUY!N T�P: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

��

��

− = = −

+ = − =

� � � � �

� � � �

H��ng dn:

( )

��"Q��

�� F�

��

��;��

��

� ��;��

�

&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/

ππ

π

π π

=

⇔ − = ⇔ −

�= ⇔ = +�

��

= +⇔ �� = ⇔��

= − +� ��

� �

� � � � �

� � �

� �

�

� �

� �0�� O � �;�� 70� �;��

� �

��"Q��

� � � � ��

� � �

&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0��

ππ π π π

π π ππ

π π ππ

π

� � = + = + = − + � �

� �

=

�= − + ⇔ = − +�

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ �� = + ⇔ = +��

= − +

� � � � � �

� �

� � � �

� � � �

� � � �

� �

( )

��70�

� ��"Q��

� � ��

� �

&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70� � �

��"Q��

��

� ��

π π π

π ππ π

π ππ π

π ππ π

π π ππ

= +

=

�= + ⇔ = +�

⇔ + + = ⇔ = ⇔ �� = − + ⇔ = − +��

= + = − +

� �= + +� �

� �

⇔−

� �

� �

� � � �

� � �

� � � �

� � � �

� � � �

�

�� T��.��

� ��

&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

π

π

� − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = �

−�

=

� � � � ��

� �



15

Bài t�p 2: Gi!i các ph��ng trình sau:

�� N�� N��

π� − + = = = �

� � � � � �

H��ng dn: � �

��

�&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

� U V�W��@��7J��%��9 5R��;S� � �� 70� �� S�� E��L��3%��.X� �.��

��"Q��

��

π π π π ππ

π π

π

� ⇔ − = − ⇔ − = + ⇔ = + �

�

= +

= =

� �= � �

� �

⇔

� � � � �

� �

� �

� � �

�� T��.��

�� T��.��

�

&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70� � �

��

��

��

ππ

ππ

π ππ π

π π

π

�= ⇔ = +�

= ⇔ = ⇔ = ⇔ �� = − ⇔ = − +��

= + = − +

=

≠ ⇔ ≠ +

≠ ⇔ ≠

� � �

� � � ��

� � �

� � � �

� �

� � �

� �

"Q��

��

�@�� 8��.�� 2��P��9 5R��;S� �/0��

π

π π ππ

ππ

π

�� +��

� �= + +� �

� �

⇔ = ⇔ = + ⇔ =

=

�

� � � �

� � � � � � �

� �


� � �� − = + = + =� � � � � � � � �

H��ng dn:

( )

��"Q��

��

��

�

�&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� O � �70�

��

π π

ππ

ππ

π π π ππ π

=

�= ⇔ = +�

��⇔ = ⇔ − = ⇔ = +��

= ⇔ �� = +��

= + = + = +

� �

� � �

� � � � � � �

�

� �

� � � � � �

U V�W� ��@��7J��%��9 5R��;S� � �� 70� �� S�� E��L��3%��.X� �.�� = =� �



16

( ) ( )

��"Q��

� � � ��

� �

� � � ��

&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

π π

π π

=

− +⇔ − = ⇔ − =

⇔ − − = + ⇔ = ⇔ = +

= +

� �

� ��

� � � � �

� �

Chú ý: K2t qu� � � ��

+ = −� � � � � �

��

+ = −� � �

( )

( )

��"Q��

� ��

��

�� F� �

��

&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� O � �70��

π π

π

π

π ππ

=

− −⇔ + = − ⇔ + =

�= ⇔ = +�

�⇔ = ⇔ − ⇔ =��

�� = ⇔�� =��

= + =

� �

� ��

� � �

� � � � � � � �

� ��

� � � � �

π= �

Bài t�p 4: �"S2��%�� 2��P��9 5R��;S� �� Y�� K��.D�� Z�;��

�� O

π� � �− = ∈ ��

� ��

H��ng dn:

( )

"Q��

�� [� ��

��

N�&J��

��

��+� �O � ��-�� O��O�

� �&'(�� 2��L��S2�/0�� O � �70�

"5R��\�7J��

ππ

π

ππ

π π π ππ

π π π

=

�= ⇔ = +�⇔ − = ⇔

�= ⇔ =�

= +

�− ≤ ≤��

∈ ⇔ ≤ ≤ ≤ + ≤ ⇔ � =�� ∈�

= = =

� �

� � ��

� � �

� �

��

� �

� � �

�� 2��]��/4�

Bài t�p 5: Tìm m �� ph��ng trình sau có nghi�m: �� − + = −� � � � . H��ng dn:

( )

"Q��

��[� � � �� N�

=

⇔ − = −

� �

� �



17

( )�

"?��&J�� 9 5R��;S� ��N��;^�� 0� �� 7E�� 2��

"?��&J�� 9 5R��;S� ��N��;^�� 0� ��

� � � �

�_�9 5R��;S� �� 2�� Z��

�

`8

= = −

−≠ =

−

− ≥ ⇔ ≥�− �≤ ⇔ − ≥ ⇔

�− − ≤ − ⇔ ≤ −�

� �

� ��

� �

��

[ )�

��/�'��&'(��%��%��;X�2��L��S2�/0� O O�

� �∈ −∞ − ∪ +∞ ��

�

BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình:

��

��

��

− = + = − =

− = + = =

−

� � � � � �

� � � � � � �

� �� = = − − =� � � � � � � �

Bài t�p 2: Gi!i các ph��ng trình: ��

��

+ + = + + = − =

− + = + + = + +

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

Bài t�p 3: Gi!i các ph��ng trình: (Dùng k0 n3ng h� b�c)

� �

� � � �

��

�

��

+ = + + + =

+ = − + = +

� � � � � �

� � � � � � �

Bài t�p 4: Gi!i ph��ng trình:

a) ( )�� π =� b) ( )��

π� �− =� �

� ��

Bài t�p 5: �"S2��%�� 2��P��2a��9 5R��;S� �� Y�� K��.D�� Z�;��

[ ] ( )� � �� O� �O ��)�� O� �� O��

� �

ππ

� � �− = ∈ − = ∈ − � � �

� � � � � �

Bài t�p 6: "S2�� 2�*5R�� T�� b��P��%��9 5R��;S� � �

( ) ( ) ( ) �� )��

π π π π�

+ − − = − + = ��

Bài t�p 7: a) Tìm m �� ph��ng trình sau có nghi�m: �� − + =� � � � .

b) V�i giá tr� nào ca a thì ph��ng trình sau có nghi�m duy nh�t thu$c ;2

ππ

� ��

( ) ( )� �� + = +� � � � �



18

Ch �� 2: PH��NG TRÌNH L��NG GIÁC TH�4NG G5P I- LÝ THUY�T: D�ng 1: Ph��ng trình b�c hai theo m�t hàm l��ng giác:

( )2 sin sin 0 0a x b x c a+ + = ≠ (5)

Thu�t toán: ��t sin=t x ; 1, t x R≤ ∀ ∈

Pt (5) tr( thành: 2 0at bt c+ + = . Gi!i theo � suy ra � . Hoàn toàn t��ng t�, ��i v�i các d,ng:

( )

2

2

2

cos cos 0

tan tan 0

cot cot 0 0

+ + =

+ + =

+ + = ≠

a x b x c

a x b x c

a x b x c a

VÍ D6 MINH H7A: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

� � �

��

�

��

��

� � � � � �

+ − = + =

+ − = + =

H��ng dn:

( )

��"Q��

�� N�

�c��

�� '��

�N�� /4��

�

� � �"��

�

`8��/�'��&'(�9 5R��;S�

� �

� � � �

� � �

�

� �

�

� �

� �

� �

ππ

ππ

=

⇔ − + − = ⇔ − + + =

= � − ≤ ≤

�= −�

− + + = ⇔ �� =��

�= − +�

= − = − ⇔ �� = +��

{ }

� ��%�� 2�/0�� 70� ��

� �

��"Q��

�� F�

��

�� T��.��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��

� � � �

� � �

� ��

��

��

π ππ π

π

π π

= − + = +

=

� ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + �

�

⇔ = ⇔ = +

��2�/0�� π π= +



19

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

�

��"Q��

��

��

� ��

�� N

� �

� � � � � �

� � � � � �

� ��

� �

=

⇔ − − = ⇔ − − =

� � � �⇔ + − − − =� � � �

+ +� � ⇔ + − − + = � �

� �

+ − = −⇔

( )

�

�� NN�

U%��9 5R��;S� ��N��70��NN��/0��%��9 5R��;S� �)'�� b�� =� �� 70� �� .Y��K��\��K��$�(8�

��"Q��

��

��

� �

� �

� �

� � ��

�

π

��− + + = −��

=

= ⇔ =⇔ − = ⇔ + − = ⇔

=��

��7E�� 2�

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0�� π

��

−�

=


( )

2

2

2

4 21) 4 tan 5 0 2) sin 3 cos 3

cos sin 3 cos2

3) 2 tan 5 tan cot 4 0sin

� ��

� ��

+ − = + + =+

+ + + + =

x x xx x x

x x xx

H��ng dn:

��"Q��

� � � �� N�

��

��

�c�� [ 5R��;S� ��N��

�

��N�&J�� T��.��

��

��N�&J��

� � �

� � � �

�

� � ��

� � � ��

ππ

π

� �= +� �

� �

� ⇔ − + − = ⇔ − − = �

�

=��= − − = ⇔� = −�

= = ⇔ = ⇔ =

� � �� 7E�� 2�

� �� `8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

��

�c��

�� '��[ 5R��;S� ��

�� '��

� ��

� �

� �

� � � �

��

π

= − = − ⇔ = −

=

+ ≠

= + � ≤

=�+ = ⇔ − + = ⇔ �

=�



20

� ��N�&J��

�

��N�&J��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70� � �

� �

� � � �

� �

� � � � � �

� � � � � �

ππ

π

ππ

π ππ

π π ππ π π

�= − +��

= + = ⇔ + = ⇔ � �� = +

��

� = + = ⇔ + = ⇔ = + �

�

= − + = + = +

( ) ( )

( ) ( )

��"Q��

��

�� N�

�

�c�� [ 5R��;S� ��N��

� ��N�&J��

��

� � �

� � � �

� � � �

��

��

� ��

π� �= � �

� �

⇔ + + + + + =

⇔ + + + + =

�= −�= + = + + = ⇔

�= −�

= − = − ⇔ = − 7E�� 2�

��N�&J��

��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

� � � ��

� �

ππ

ππ

= − = − ⇔ = − ⇔ = − +

= − +

BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p1: Gi!i các ph��ng trình sau:

��

� �� − + = − − = − − =


�

��

�

��

��

� � � � � � �

� ��

��

− + − = − + = − = +

− + = + − = − + =

+ = ��

�� + = + =


( ) ( )

2 2

2

2 2

4 2 1 1 51) cos 9 cos 1 2)cos cos 2 tan

cos cos 2 cos 2

3) 3 tan cot 2( 3 1) tan cot 4 2 3 0

� ��

+ + − = + + + = � ��

+ + − − − − =

x x x x xx x x

x x x x



21

D�ng 2: Ph��ng trình �8ng c/p b�c hai theo sinx và cosx : 2 2 sin sin cos cos a x b x x c x d+ + = (6)

Thu�t toán:

TH1: Ki�m tra , 2

x k k Zπ

π= + ∈ có là nghi�m ca pt (6)?

TH2: Chia 2 v� ca pt (6) cho 2cos x . Ta ��a pt v� d,ng b�c hai theo tanx L�u ý: T� duy ph�ng pháp còn áp d�ng cho ph�ng trình ��ng c�p b�c 3 hoc b�c cao

hn.

Ph��ng trình �8ng c/p b�c 3 : 3 3 2cos in . +d 0+ + = �� ,….v..v.. VÍ D6 MINH H7A: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

2 2 2 21) 2sin 5sin .cos cos 2 2) 2sin 5sin .cos cos 2− − = − − − =x x x x x x x x

H��ng dn:

2

1)

0 . 22

2

�"Q��

"?��Qd�� [ 5R��;S� ��;^�� 0� �� E�� T��

��&'(� �� E��/0�� 2��P��9 5R��;S�

ππ

ππ

=

= ⇔ = + = −

= +

D R

x x k x

x k

( )

2

2 2 2

0 . ,2

2 tan 5tan 1 2 1 tan 4 tan 5tan 1 0

tan 14

1 1tan arctan

4 4

"?��Qd�� U ��78��P�� .56��

��

��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�

ππ

ππ

π

≠ ⇔ ≠ +

− − = − + ⇔ − + =

�= ⇔ = +�

�⇔� � = ⇔ = + ��

x x k x

x x x x x

x x k

x x k

1arctan .

4 4�� 2�/0�� 70�

ππ π

� = + = + �

� x k x k

2

2

2)

0 . 22

2

0 . ,2

2 t

�"Q��

"?��Qd�� [ 5R��;S� ��;^�� 0� �� T��

��&'(� �/0�� 2��P��9 5R��;S�

"?��Qd�� U ��78��P�� .56��

��

ππ

ππ

ππ

=

= ⇔ = + =

= +

≠ ⇔ ≠ +

D R

x x k x

x k

x x k x

( )2 2 3 3an 5tan 1 2 1 tan 5tan 3 tan arctan .

5 5

3arctan .

5`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

π

π

� − − = + ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − + �

�

� = − + �

�

x x x x x x k

x k


3 31) 4cos cos sin 0 2) sin 2sin4

π� − − = − = �

� x x x x x



22

H��ng dn: D. dàng nh�n ra ph��ng trình (1) có d,ng ph��ng trình �8ng c/p b�c 3.

3

1)

0 . 02

2

0 . ,2

�"Q��

"?��Qd�� [ 5R��;S� ��;^�� 0� �� E�� T��

��&'(� �� E��/0�� 2��P��9 5R��;S�

"?��Qd�� U ��78��P�� .56��

ππ

ππ

ππ

=

= ⇔ = + =

= +

≠ ⇔ ≠ +

D R

x x k x

x k

x x k x

( ) ( )

( )( )

2 2 3 2

2

2

4 1 tan tan 1 tan 0 tan tan tan 3 0

tan 1tan 1 tan 2 tan 3 0 4

tan 2 tan 3 0

.4

��

��

��7E�� 2�

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

ππ

ππ

− + − + = ⇔ + + − =

�= ⇔ = +�⇔ − + + = ⇔

�+ + =��

= +

x x x x x x

x x kx x x

x x

x k

3 3

2)

. 2 sin cos4 4 4

�"Q��

�c�� [ 5R��;S� �� π π π

=

� = − ⇔ = + = + ⇔ = + �

�

D R

t x x t t t t t t

Cách 1: ( )3 2 2sin cos sin 1 sin cos 0 sin cos cos 0�� = + ⇔ − + = ⇔ + =t t t t t t t t t

( )3

cos 0cos sin cos 1 0 2 4

sin cos 1 0 sin 2 2��7E�� 2�

π ππ π

�= ⇔ = + � = +�⇔ + = ⇔

�+ = � = −�

t t k x kt t t

t t t

3.

4`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

ππ= +x k

Cách 2: 3 3sin cos sin cos 0�� N�= + ⇔ + − =t t t t t t Xem ph��ng trình (*) là ph��ng trình �/ng c�p b�c 3 theo sin cos��t t .

3

3

sin cos 0

cos 0 .2

sin 00

1

3

2 4

cos 0

��

"?��Qd��

�� E�� T��[ 5R��;S� ��;^�� 0� ��

�� T��

��&'(� �/0�� 2��P��9 5R��;S�

"?��Qd��

ππ

π ππ π

+ − =

= ⇔ = +

=�− = ⇔ �

=�

= + � = +

≠ ⇔ ≠

t t t

t t k

tx t

t

t k x k

t t

( ) ( )

3

2 2 3 2

. ,2

tan 1 tan 1 tan tan 0 tan tan 1 0

3.

4

�U ��78��P�� .56��

�� 7E�� 2�

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

ππ

ππ

+

+ + + − = ⇔ + + =

= +

k t

t t t t t t

x k

Bài t�p 3: Gi!i ph��ng trình sau: ( )5 5 3 32 cos sin cos sin+ = +x x x x (1)

H��ng dn:



23

Cách 1:

"?�� Nh�n th�y

� �π

π= + không th�a (3).

"?�� V�i

� �π

π≠ + , chia hai v� ca (3) cho 5cos x ta �� c:

( ) tan tan tan ( tan )� � � � �⇔ + = + + +x x x x 5 3 2tan tan tan 1 0⇔ − − + =x x x

2 2(tan 1) (tan 1)(tan tan 1) 0 tan 14 4 2π π π

π⇔ − + + + = ⇔ = ± ⇔ = ± + ⇔ +x x x x x x k k .

Cách 2: ( ) cos ( cos ) sin ( sin )

coscos cos sin cos

tan

� �

� �

� � �

� � � �

�

π π

π π

ππ

⇔ − = −

�= +

= ��⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = +�� =� � = +

�

x x x x

x kxx x x x x k

xx k

.

V�y (3) có h� nghi�m là ,4 2

�π π

= + ∈x k k � .

Chú ý: ( ) ( )5 5 3 3 5 5 3 3 2 22 cos sin cos sin 2 cos sin (cos sin )(cos sin )+ = + ⇔ + = + +x x x x x x x x x x

5 5 3 2 2 3cos sin cos sin cos sin 0⇔ + − − =x x x x x x (�/ng c�p). BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

11) 2sin sin .cos 3cos 0 2) sin sin2 2cos

2

3) cos 2sin .cos 5sin 2 4) 2cos 3 3sin2 4sin 4

5) 3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0 6) 4sin 3 3s

+ − = + − =

+ + = − − = −

+ + − = +

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x2in2 2cos 4− =x x


2

3 2 2 3 3 2

3 3

1) sin3 cos3 2cos 0 2) sin cos 4sin cos

3) 2sin sin cos 2sin cos cos 0 4) cos sin 3sin cos 0

5) cos sin sin cos

+ + = − =

− + − = + − =

− = −

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x

( ) ( )

3

4 2 2 4 3 3

2 3

6) sin sin2 sin3 6cos

7) 3cos 4cos sin sin 0 8) cos sin sin cos

9) sin 1 tan 3sin cos sin 3 10) 6sin 2cos 5cos sin2

+ =

− + = + = −

+ = − + − =

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

Bài t�p 3: Tìm m �� các ph��ngtrình sau có nghi�m�� 0sin2cos2sin 2

=+++ mxxxm � � �

)�� 0coscos)2(2sin)2( 22=−+−− xxmxm �

D�ng 3: Ph��ng trình b�c nh/t ��i v�i sinx và cosx : sin cos a x b x c+ = (7)

Thu�t toán: �K ph��ng trình (7) có nghi m: 2 2 2 + ≥a b c

Chia 2 v� ca ph��ng trình (7) cho: 2 2a b+

Lúc �ó (7)tt: 2 2 2 2 2 2

sin cos+ =+ + +

a b cx x

a b a b a b



24

��t: 2 2

2 2

cos

(*)

sin

α

α

�=�

+�� =� +�

a

a b

b

a b

. ��a ph��ng trình v� d,ng c� b!n.

Chú ý:

Phép bi�n ��i nhanh g�n sau: ( )2 2 sin cos sin α+ = + +a x b x a b x v�i α th�a (*)

II- M+T S K, THU�T GI�I PH��NG TRÌNH: Bàn v� k0 thu�t gi�i ph��ng trình: sin cos a x b x c+ = (1) Ph��ng pháp:

(1)2 2 2 2 2 2

sin cos⇔ + =+ + +

a b cx x

a b a b a b (*). ��t

2 2

2 2

cos

sin

α

α

�=�

+�� =� +�

a

a b

b

a b

(I)

Lúc �ó (*) tt: ( )2 2 2 2

cos .sin sin .cos sinα α α+ = ⇔ + =+ +

c cx x x

a b a b

Gi!i ph��ng trình c� b!n ��n gi!n, trong toàn b$ n$i dung thu�t toán, v�n �� là: Có xác

��nh ��c α trong h� (I) hay không? Và k thu�t là gì? Ta làm rõ k n�ng này thông qua 3 ví d� sau: Ví d) 1: sin 3cos 2+ =x x (*)

(*)

��

� � �� c��

��

� �

α

α

�=��

⇔ + = �� =��

. T' (1) ch�n: �

πα = , th�y tho! (2).

V�y ch�n �

πα = . Ph��ng trình tt:

��

� � � � � �

π π π� ⇔ + = ⇔ + = �

�

Ví d) 2: sin 3cos 2− =x x (*)

(*)

��

� � �� c��

��

� �

α

α

�=��

⇔ − = �� = −��

.

T' (1) ch�n: �

πα = , th�y không tho! (2), mu�n tho! (2) thì ch�n:

�

πα = −

(vì cos ��i: ( )�� α α− = − )………

Ví d) 3: sin 3cos 2− + =x x (*)

(*)

��

� � �� c��

��

� �

α

α

�= −��

⇔ − + = �� =��

. T' (2) ch�n: �

πα = , th�y không

tho! (1), mu�n tho! (2) thì ch�n:

� �

π πα π= − = (vì sin bù: ( )�� π α α− = − )….



25

VÍ D6 MINH H7A: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

1) sin 2cos 2 2) sin 4cos 0 3) sin cos 1x x x x x x− = − = − = − H��ng dn:

( )

1)

1

1 2 2 5(1)

25 5 5 sin5

2arcsin 2

52sin

5 2arcsin 2

5

�"Q��

��

�� N� ��c�� e�

[ 5R��;S� ��N�

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0��

��

D R

x x

x k

x

x k

α

α

α π

α

π α π

=

�=��

⇔ − = �� = −��

� � = + +� �

� �⇔ − = ⇔� �

= − + +� ��

( )

( )

( )

2 2arcsin 2 arcsin 2

5 5

2)

(2) 4 tan 4 arctan 4

arctan 4 .

3)

(2) 2 sin4

�� 70� � 7J�� T��e��

�"Q��

��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��

�"Q��

x k x k

D R

x x x x k

x k

D R

x

α π π α π α

π

π

π

� � = + + = − + + � �

� �

=

⇔ = ⇔ = ⇔ = +

= +

=

� ⇔ −

�

22

1 sin 34 2 2

23

2 2 .2

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�

x k

xx k

x k x k

ππ

ππ

ππ π

=�� = − ⇔ − = − ⇔� � � = +�

�

= = +

sin cos, '��3d��V��/0�78��;%��9 5R��;S� ��*4��9 5R��;S� �)'�� b��.@��7J�� 70� �

� 5�� V�� E��-��K��2%(�2��f

x x


1) sin 3cos 2cos2 2) sin 3cos 3cos2 sin2x x x x x x x− = − − = −

H��ng dn:

( ) ( )

1)

1 3(1) 2 sin 2

2 2 3

sin 2 sin sin 23 3 2

2 2 23 2 6sin sin 2

53 22 2

3 2

�"Q��

��

��

��

D R

x x x x x

x x x x

x x k x k

x x

x x k x

π

π π ππ π

π π ππ π

π π

π π ππ π

=

� ⇔ − = − ⇔ − = − �

�

� � � �⇔ − = − ⇔ − = − − � � � ��

�− = − + = −�� ⇔ − = − ⇔ ⇔ � � � � � � � �− = − − + = ��

2

18 3k

π

�� +��



26

5 22 .

6 18 32)

1 3 3 1(1)

2 2 2 2

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�

�"Q��

��

x k x k

D R

x x x x

π π ππ= − = +

=

⇔ − = −

sin sin sin 2 sin 2 sin sin 23 3 3 3 3 3

x x x x x xπ π π π π π� �

⇔ − = − ⇔ − = − � ��

��

2 2 2 23 3

9 32 2 2

3 3

2 22 .

9 3`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�

x x kx k

x x k x k

x k x k

π ππ π π

π ππ π π π

π ππ π

�− = − + �� = +��⇔ ⇔

�� − = − − + = − −� ��

= + = − −

�

�ách khác:

( )3 3

(1) sin sin2 3 cos cos2 0 2sin cos 2 3cos cos 02 2 2 2

cos 0 23 3 22cos sin 3cos 0

3 3 3 2 22 2 2sin 3cos 0 tan 3

2 2 2 9 3

x x x xx x x x

xx k

x x x

x x xx k

π π

π π

⇔ + − + = ⇔ − =

�= ⇔ = +��

⇔ − = ⇔ � �� − = ⇔ = ⇔ = +

��Nh�n xét: * Trong b��c gi!i các ph��ng trình trên, chúng tôi l�u ý v�i các em h�c sinh ( tính ch�t c#n th�n, r�t nhi�u h�c sinh vi�t v$i vàng:

1 3 3 1sin sin 2

2 2 2 2 3 3x x x x x x

π π� � − = − ⇔ − = − � �

� � ��

N�u thay ��i �� bài thành:

Gi!i ph��ng trình sau: sin 3cos sin2 3cos2x x x x+ + = thì h�c sinh s� lúng túng!!! * 1ng d)ng �i�u ki n có nghi m ca ph��ng trình sin cos a x b x c+ = �9 tìm GTLN- GTNN ca HSLG (�ã �� c�p : ch �� HÀM S L��NG GIÁC ) BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

��

��

��

� � � � � �

� � � � � � � �

� � �

π

+ = − − = + = −

� − = + = − − = − �

�

+ − = + �� − =

Bài t�p 2: 1) "S2�g"h,�70�g",,��P��các 02��@��

�� )��

� � � � ��

� � � � � �

+ + − + += = =

+ + − + − + +

2) Ch�ng minh r%ng: ��

��

� �

� �

+ +− ≤ ≤

+ +



27

D�ng 4: Ph��ng trình ��i x�ng theo sinx và cosx : (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c± + + =

Thu�t toán: ��t sin cos= ±t x x ; 2, t x R≤ ∀ ∈ . Lúc �ó: 2 1 2sin cos= ±t x x .

Bi�u di.n sin cosx x theo t , ta �� c m$t ph��ng trình b�c hai theo t . VÍ D6 MINH H7A: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

1) 6(sin cos ) sin cos 6 2) 3(sin cos ) 2sin2 3 0x x x x x x x− − = + + + =

H��ng dn:

22

1)

12 sin 2. 1 2

4 2

D R

tt x x x t t x x x x

π

=

−� = − = − � ≤ = − ⇔ = �

�

�"Q��

�c�� "��

22 11

6 12 13 0132

222 4 41: 2 sin 1 sin 3

54 4 2 22 2

4 4

ttt t t

t

x kx k

t x xx k

x k

π πππ

π ππ

π π ππ

= −�−− = ⇔ − − = ⇔ �

=�

�=− = − + �� = − − = − ⇔ − = − ⇔ ⇔� � � � = +� � � − = + ��

�� '��[ 5R��;S� ��

��/4��

N�&J��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��

22

32 2 .

22)

12 sin 2. 1 2

4 2

x k x k

D R


ππ π

π

= = +

=

−� = + = + � ≤ = + ⇔ = �

�

��%�� 2�/0�� 70�

�"Q��

�c�� "��

( )2 2

12 1 3 0 2 3 1 0 1

2

�� '��

[ 5R��;S� �� '��

t

t t t tt

= −��+ − + = ⇔ + + = ⇔� = −�

222 4 41: 2 sin 1 sin 2

54 4 222

4 4

N�&J�� x k

x kt x x

x kx k

π πππ

ππ π

π ππ ππ

�+ = − + �� = − +� � �= − + = − ⇔ + = − ⇔ ⇔� � � �� = ++ = + ��

1

arcsin 24 2 21 1 1

: 2 sin sin2 4 2 4 2 2 3 1

arcsin 24 2 2

12 , 2 , arcsin 2

2 4 2 2

N�&J��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0��

� �

x k

t x x

x k

x k x k x k

ππ

π π

ππ

π ππ π π π

� � = − + − +� �

� � � �= − + = − ⇔ + = − ⇔ � � �� = − − +� �

� �

� = − + = + = − + − + �

�

3 1arcsin 2 .

4 2 2�70�x k

ππ

� = + − + �

� Bài t�p 2: Gi!i các ph��ng trình sau:

3 3 31) 1 sin cos sin2 2) sin cos cot tan

2x x x x x x x+ + = + = −



28

H��ng dn:

( )( )2

2

2 2

1)

(1) 1 1 3

12 sin 2. 1 2

4 2

1

13

1 11 1 3

2

D R

x x x x x x


t

t

t tt

π

=

⇔ + + − =

−� = + = + � ≤ = + ⇔ = �

�

= −��

=�

� − −+ − = ��

�"Q��

�� N�

�c�� "��

�� '��[ 5R��;S� ��N��

��/4��

�� 3 2

1

3 3 5 0 1 62

1 6

222 4 41: 2 sin 1 sin 2

54 4 222

4 4

t

t t t t

t

x kx k

t x x

x kx k

π πππ

ππ π

π ππ ππ

= −��

⇔ + − − = ⇔ = − − � ��

= − +�

�+ = − + �� = − +� � �= − + = − ⇔ + = − ⇔ ⇔� � � �� = ++ = + ��

�� '��

��/4��

��/4��

N�&J��

`8��/�'��&'(�9 5R�� 2 2 .2

x k x kπ

π π π= − + = +��;S� ��%�� 2�/0�� 70�

( ) ( )

2) \2

(2)

0 tan 10 4

0

�"Q��

��

��

��

�� N�

D R k

x x x xx x x x

x x x x

x x x x kx x x x x x

x x x x

π

ππ

� �= � �

� �

−⇔ + = − ⇔ + =

�+ = ⇔ = − ⇔ = − +�⇔ + � − − � = ⇔� � �

+ − =�

22

22

12 sin 2. 1 2

4 2

1 210 2 1 0

2 1 2

1 2 : 2 sin 1 24

�c�� "��

�� '��[ 5R��;S� ��N��

��/4��

N�&J��


ttt t t

t

t x

π

π

−� = − = − � ≤ = − ⇔ = �

�

� = −−+ = ⇔ − + + = ⇔ �

= +��

� = − + = − �

�

1 2arcsin 2

4 21 2sin

4 2 3 1 2arcsin 2

4 2

1 2 3 1 2, arcsin 2 arcsin 2 .

4 4 42 2

��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0��

� �70�

x k

x

x k

x k x k x k

ππ

π

ππ

π π ππ π π

� � −= − + +� �

− � � � ⇔ + = ⇔ � �

� � −� = − + ��

� � − −= − + = − + + = − + � �

� �



29

BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

( ) ( )

( )( )3 3

1) 2 2 (sin cos ) 2sin cos 2 2 1 2) sin2 12 sin cos 12 0

3) sin cos 1 4) 1 sin 1 cos 2

5) sin cos 4sin2 1

x x x x x x x

x x x x

x x x

+ + − = + − − + =

+ = + + =

− + = 6) sin cos sin2 0x x x+ + =

Bài t�p 2: U �9 5R��;S� �� 6 0 �� + + + =

��g�K��9 5R��;S� �� = � � )��"S2�2�._�9 5R��;S� �� 2 �Bài t�p 3: Gi!i các ph��ng trình sau:

( )( )

3 3

32

3

21) sin cos 2) sin sin2 1

2 4

2 2 23) sin cos 1 sin cos 4) 1 sin cos sin cos

3 2

1 cos5) tan 6

1 sin

x x x x

x x x x x x x x

xx

x

π� + = + = �

�

+ = + − + =

+=

+) 1 tan 2 2sin

1 1 10 3 17) cos sin 8) sin sin 1 sin2

cos sin 3 2 2

x x

x x x x xx x

π

+ =

� + + + = + + = − �

�

( ) ( )3 3

3

9) sin2 2sin 1 10) 2sin cot 2sin2 14

11) cos sin cos 2 12) 2 tan sin 3 cot cos 5 0

13) 2cos cos2 sin 0 14) cos2 5 2 2 co

x x x x x

x x x x x x x

x x x x

π� + − = + = + �

�

+ = − + − + =

+ + = + = −( )( )3

2 2 3 4 2 3 43

s sin cos

1 cos15) tan 16) sin sin sin sin cos cos cos cos

1 sin

x x x

xx x x x x x x x x

x

−

−= + + + = + + +

−



30

T;NG H�P M+T S PH��NG PHÁP: GI�I PH��NG TRÌNH L��NG GIÁC

Ph��ng pháp 1: H< B�C NÂNG CUNG 2

3

1 1

3

�

�� UE�� i�� 4�)'��>'��

��

UE�� i�� 4�)'��>'��)��

+ −= =

+ −= =

� ��

� � � ��

BÀI T�P MINH H7A: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1) sin sin 2 sin 3 sin 4 2 2) sin sin 2 sin 3 2

33) sin sin 2 sin 3 4) sin sin 2 sin 3

2

� ��

� ��

x x x x x x x

x x x x x x

+ + + = + + =

+ + = + =

H��ng dn:

( ) ( )

( )

( )

1)

1 1 1 1(1) 2

2 2 2 20 0

2 2 0 2 0

010 5

�"Q��

��

��

��

��

��

D R

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x k

x

x x x

π π

π

=

− − − −⇔ + + + =

⇔ + + + = ⇔ + + + =

⇔ + = ⇔ + =

= ⇔ = +

⇔ =

= − = − ⇔

( ) ( )

24 2

3 22

, .10 5 4 2 2

2)

1 1 1(2) 1 2 0

2 2 2

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�

�"Q��

��

��

x k x k

x x k x k

x k x k x k

D R

x xx x x x

π ππ π

ππ π π

π π π π ππ

��

��− + ⇔ = +��

�� = − + ⇔ = − +��

= + = + = − +

=

− −⇔ + + − = ⇔ + + =

⇔ ( )

( )

0 0

06 3

24 2

3 22

,6 3 4 2 2

� ��

��

��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�

x x x x x x

x x k

x x k x k

x x x

x x k x k

x k x k x k

π π

π ππ π

ππ

π π π

π π π π ππ

+ = ⇔ + =

�= ⇔ = +�

��⇔ = − + ⇔ = +��

= − = − ⇔ �� = − + ⇔ = − +��

= + = + = − + .

Nh�n xét: Vi�c s! d�ng công th c h� b�c không nên máy móc mà thông th��ng nên quan

sát h� s� t� do �" quá trình bi�n ��i nhanh g�n hn!



31

( )

3)

1 1 1 3(3) 0

2 2 2 22 0 1 0

08 4

22

1 322

23

�"Q��

��

��

��

��

��

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%��

D R

x x xx x x

x x x x x

x x k

x k

x

x k

π π

ππ

ππ

=

− − −⇔ + + = ⇔ + + =

⇔ + = ⇔ + =

�= ⇔ = +�

��⇔ = +��

= − ⇔ �� = − +��

( )

( )

( )

2 2, 2 2 .

8 4 3 34)

1 1 1(4) 1 3 3

2 2 2

0 0

06 3

2

��2�/0�� 70�

�"Q��

��

��

��

��

x k x k x k

D R

x xx x x x

x x x x x x

x x k

x x k x

x x x

π π π ππ π

π π

ππ π

π

= + = + = − +

=

− −⇔ + = − ⇔ − + = −

⇔ + = ⇔ + =

= ⇔ = +

⇔ = − + ⇔ =

= − = − ⇔4 2

3 22

, .6 3 4 2 2

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�

k

x x k x k

x k x k x k

π

ππ π π

π π π π ππ

��

��+��

�� = − + ⇔ = − +��

= + = + = − +


( ) ( )3 4 4 6 6 231) .sin 3 sin . 4 sin cos 4 sin cos sin 4 1

8�� x x x x x x x x x+ = + − + − =

H��ng dn: 1) "Q��D R= Cách 1: Dùng công th�c h� b�c

( )

3 3sin 3

8

3 1 24 23 cos sin 3 sin cos3 sin 452 2

24 2

��

� �

x x x xx x

x k

x x x x x

x k

π π

π π

+ −⇔ + =

�= +�

⇔ + = ⇔ = ⇔ �� = +��

5.

24 2 24 2`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�x k x k

π π π π= + = +

Cách 2: Áp d�ng công th�c nhân ba.



32

( ) ( )

( )

3

3 2

3cos 4 4 3

83 3

3cos 3 3cos cos8 8

3 3 3 3 1 24 2cos 2 sin 4 sin 452 8 4 8 2

24 2

� � �

�

��

��

��

x x x x x x

x x x x x x x x

x k

x x x x

x k

π π

π π

⇔ − + − =

⇔ − = ⇔ − =

�= +�

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ �� = +��

5.

24 2 24 2`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�x k x k

π π π π= + = +

Cách 3: Dùng k� thu�t phân tích m�t cách khéo léo!

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2 2

3. sin 3 sin . sin

81 1 3

sin 4 sin 2 sin sin 4 sin 22 2 81 1 3 1 1 3

sin 4 sin sin 2 sin sin 4 sin 22 2 8 2 2 8

1 1 3 1 1 1 24 2sin 4 sin 4 sin 4 sin 452 4 8 4 8 2

24

��

��

��

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x k

x x x x

x

π π

π

⇔ + =

⇔ + + − =

⇔ + + − = ⇔ + =

= +

⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔

= +2

kπ

��

5.

24 2 24 2`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�x k x k

π π π π= + = +

2) "Q��D R= Cách 1: * Áp d)ng các k2t qu�:

4 4 2 6 6 21 3* sin cos 1 sin 2 sin cos 1 sin 2

2 4� ��N�x x x x x x+ = − + = −

2 2 2 2 21 34 1 sin 2 4 1 sin 2 sin 4 1 sin 2 sin 4 1

2 4�� j�x x x x x

� � ⇔ − − − − = ⇔ − = � �

� �

H��ng 1: ( )1 4 1 2 4 4 3 0 � ��j� ��

xx x x

−⇔ − − = ⇔ − − =

4 14 13

4 242

��

�� /4��

x

x x kx

π π= −�

�⇔ � = − ⇔ = +� =�

.4 2

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��x kπ π

= +

H��ng 2: ( )2 2 21 sin 2 sin 4 0 2 sin 4 0�j� ��x x x x⇔ − + = ⇔ + =

2 02 0

sin 4 0 4 2

��

xx x k

x

π π=�⇔ ⇔ = ⇔ = +�

=�

.4 2

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��x kπ π

= +




33

( ) ( )4 2 4 2 2(2) 4sin 1 sin 4cos 1 cos sin 4 1x x x x x⇔ − + − − =

( )4 2 4 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

4sin cos 4cos sin sin 4 1 4cos sin cos sin sin 4 1

4cos sin sin 4 1 sin 2 sin 4 1

x x x x x x x x x x

x x x x x

⇔ + − = ⇔ + − =

⇔ − = ⇔ − =

Ti�p t�c theo 2 h��ng gi�i nh� cách 1.

BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p: Gi!i các ph��ng trình sau:

( )

4 4

6 6 2

6 6

8 8

8 8 2

11)sin cos sin 2

213

2)cos sin 1 sin 287

3)sin cos1617

4)sin cos3217

5)sin cos cos 216

x x x

x x x

x x

x x

x x x

+ = −

− = −

+ =

+ =

+ =

��

( )

2 2

3 3

4 4 4

2 2 2 2

6

2 2

217)sin 4 cos 6 sin 10

2

38)sin 2 cos 6 sin 6 cos 2

81

9)sin sin sin4 4 2

10)sin 3 cos 6 sin 5 cos 4

11) 32cos 1 cos 6

2 112)cos cos sin 1

3 3 2

x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x

x x x

π

π π

π π

� − = + �

�

+ =

� � + + + − = � �

� �

+ = +

= +

� � + + + = + � �

� �

�

Ph��ng pháp 2: 1NG D6NG BI!T S ∆ �= GI�I PH��NG TRÌNH Phép gi!i ph��ng trình r�t �a d,ng, phong phú và có th� nói �ây là m$t l"nh v�c

cu�n hút trong toán s� c�p. Trong bài vi�t này, chúng tôi xin gi�i thi�u m$t ph��ng pháp �� gi!i ph��ng trình, ph��ng pháp “1ng d)ng bi t s� ∆ ��9 gi�i ph��ng trình ” và t�t nhiên, các bài t�p d��i �ây còn có r�t nhi�u cách gi!i nh�ng chúng tôi mu�n nh�n m,nh ��n m$t ph��ng pháp r�t thú v� và ��c s-c này. ***Ý t�:ng: Xét ph��ng trình 2 0ax bx c+ + = có acb 42

−=∆ , trong �ó a, b, c∈R. V�y ��i v�i các ph��ng trình d,ng b�c 2 v�i các h� s� ph� thu�c vào bi�n , ta có th� dùng ∆ �� gi!i quy�t m$t cách t��ng t� hay không? Câu tr! l*i là �� c! BÀI T�P MINH H7A: Bài t�p 1: Gi!i ph��ng trình: 7 2 4�� x x x x− = + − (1) H��ng dn: "Q��D R= Cách 1: (1) ⇔ �4 2 1 7 2 4�� x x x x x− + = + − ( )2 2 1 7 4 0�� x x x x⇔ + − + − = (*)

Ta xem ph��ng trình (*) là ph��ng trình b�c 2 theo ��x , có:

( ) ( ) ( )2 2/ 1 2 7 4 2 3�� x x x∆ = − − − = − .

Lúc �ó: (*)

��

�

�

−=−+−

=

=−−−

=

⇔

2sin22

)3sin2()1sin2(cos

12

)3sin2()1sin2(cos

xxx

x

xxx

Cách 2: (1) ⇔ �4 2 1 7 2 4�� x x x x x+ − = + − ( )2 4 7 2 3 0�� x x x x⇔ + − − + = (*)

Ta xem ph��ng trình (*) là ph��ng trình b�c 2 theo ��x , có:

( ) ( ) ( )2

4 7 8 2 3 4 5

�� x x x∆ = − − + = − .



34

Lúc �ó: (*)

��

�

�

−=−−−

=

=−+−

=

⇔

xxx

x

xxx

cos234

)5cos4()cos47(sin

2

1

4

)5cos4()cos47(sin

Ph#n còn l�i, ��c gi� t� hoàn thành.

Nh�n xét: H��ng gi�i quy�t v�n �� trên ch� kh� thi khi ch� khi chúng ta có bi t th�c có d�ng chính ph��ng!!! II-BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p : Gi!i các ph��ng trình sau:

2sin cot 2sin 2 1 3sin 2 5sin 3 3

sin 2 3sin 1 0 sin 2 5sin 4 2

�� )��

�� *��

x x x x x x x

x x x x x x x x

+ = + + + − =

− + − − = − = − +

Ph��ng pháp 3: M+T S K, THU�T �5T >N PH6 M�t s� d�u hi�u s! d�ng:

�� t � sin cosa x b x t+ = � � � � �� 2 2t a b≤ + �

�� t � 2 2 2tan cot tan cot 2x x t x x t+ = � + = − � �� 2t ≥ �

� D� th�y: 1 2

tan cot tantan sin 2

x x xx x

+ = + = �

�� t � 2 2 2tan cot tan cot 2x x t x x t− = � + = + O� � � � � �

D� th�y: 1

tan cot tan 2cot 2tan

x x x xx

− = − = − �

�� t �1

sint

x= ��ho�c��

1

cost

x= � �� 1t ≥ �

�� t �1

coscos

x tx

+ = � ho�c �1

sinsin

x tx

+ = � �� 2t ≥ �

Chú ý: Th�*ng ��t #n ph� là bi�u th�c mà h� s� ca x là nh� nh�t. Ngoài m�t s� d�ng �ã có thu�t toán rõ ràng, thì trong các tr��ng h�p khác t�ng ng s$

có các k thu�t �t %n ph� �c s�c! Chúng ta quan sát các bài t�p sau:

BÀI T�P MINH H7A: Bài t�p 1: Gi!i ph��ng trình: tan 2sin 2 3x x+ = (1)

H��ng dn: \2

"Q��D R kπ

π� �

= +� ��

Cách 1: K� thu�t ��t �n ph�

��t 2

2tan sin 2

1

tt x x

t= � =

+.

Lúc �ó, ph��ng trình (1) tt: ( )( )3 2 22

43 3 5 3 0 1 2 3 0

1

tt t t t t t t

t+ = ⇔ − + − = ⇔ − − + =

+

2

11: tan 1

42 3 0�� T��.��

�7E�� 2

tt x x k

t t

ππ

=�⇔ � = = ⇔ = +�

− + =�

.4

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��x kπ

π= +

L�U Ý: Công th�c “v�n n3ng”!!!



35

* N�u ph��ng trình có các s� h,ng tan , cot , sin 2 ,� � ��x x x x thì m$t trong nh+ng

h��ng gi!i quy�t là: ��t 2 2 2

2 2 2tan sin 2 ; 2 tan 2

1 1 1� �� 70� �

t t tt x x x x

t t t= � = = =

+ + − ��

��a ph��ng trình �ã cho v� d,ng �,i s�!

* Trong m�t s� tr��ng h�p �c bi�t ta nên xét tr��ng h�p 02

��x x kπ

π= ⇔ = + có

là nghi�m c&a ph�ng trình không? �" tránh sót nghi�m!!!


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

2sin(1) 1 tan 2 1 sin 2 0 2 sin 0

sin tan 11 4sin 2 sin 0

12 sin 0

2sin . 0 1 sin 2 0

s

��

��

��

�� j�

��

"��j� �<��

��

x xx x x x

x

x x x x k

x x x xx

x xx

x x x x x

x x

ππ

−⇔ − + − = ⇔ + − =

�= ⇔ = ⇔ = +��

⇔ − + − = ⇔ �� + − =��

⇔ − = ⇔ + − =

⇔ + −( )2 0 0

in 0sin sin 0

�� 7E�� 2

��

x xx

x x x

= =� �= ⇔ ⇔� �

= =� �

.4

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��x kπ

π= +

Bài t�p t��ng t?: Gi!i ph��ng trình: 2 3tan 3sin 2cosx x x+ = + Bài t�p 2: Gi!i các ph��ng trình sau:

1) 2cos sin 3 cos36

x x xπ�

+ = − ��

2) 5

cos3 2sin6

x xπ�

= − + ��

H��ng dn: 1)"Q��D R=

( ) ( )3 3 3 3

.6 6

2cos sin 3 cos3 2cos sin 3 cos 36 6 2 2

2cos cos3 sin3 sin 3 cos3 2cos 0

3sin 4sin 4cos 3cos 2cos 0 4cos 4sin cos 3si

�c��

hV��.��

t x x t

t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t t t

π π

π π π π

= + � = −

� � � � = − − − ⇔ = − − − � � � �

� � � �

⇔ = − − ⇔ + + =

⇔ − + − + = ⇔ − − +

( )

3

n 0

cos 0 4sin 3sin 02

2

cos 02

��j�

�H(�/0�*4��9 5R��;S� �.k��b9�)'��

"?��Qd�� 9 5R��;S� ��j�� E�� T�

�� E��/0�� 2��P��9 5R��;S�

"?��Qd��

t

t t k t t

t k

t t k

ππ

ππ

ππ

=

= ⇔ = + − + =

� = +

≠ ⇔ ≠ +

( ) ( )

3

3 2 2 3 2

cos

4 4 tan 1 tan 3tan 1 tan 0 tan tan 3tan 3 0

��78��j�� .56��9 5R��;S� �

��

t

t t t t t t t− − + + + = ⇔ − − + + =



36

( )( )2

5tan 1

4 12

tan 1 tan 3 0 tan 33 6

tan 33 2

t t k x k

t t t t k x k

t t k x k

π ππ π

π ππ π

π ππ π

�= − ⇔ = − + � = − +�

��⇔ + − + = ⇔ = ⇔ = + � = +�� = − ⇔ = − + � = − +��

5, .

12 6 2`8��/�'��&'(�9 5R��;S� ��%�� 2�/0�� 70�x k x k x k

π π ππ π π= − + = + = − +

2)"Q��D R=

( )3 3 2

2

5cos3 2sin

6

5 5.

6 65 5

cos3 2sin cos 3 2sin sin 3 2sin6 2

3sin 4sin 2sin 5sin 4sin 0 sin 5 4sin 0

5sin 0

65

sin4

�c��

hV��.��

�7E��

x x

t x x t

t t t t t t

t t t t t t t

t t k x k

t

π

π π

π π

ππ π

� = − + �

�

= + � = −

� � − = − ⇔ − = − ⇔ = − � �

� �

⇔ − = − ⇔ − = ⇔ − =

= ⇔ = � = − +

⇔

= � ��2

��

5.

6`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��x k

ππ= − +

II-BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

3 1 31) sin 2 5sin cos3 2) sin sin

3 6 10 2 2 10 2

23) sin(3 ) sin 2 sin 4) cos9 2cos 6

4 4 3

x xx x x

x x x x x

π π π π

π π π

� � � � − = − + − = + � � � �

� � � �

� �− = + + + �

�

6 3

2 0

5) 32cos sin 6 1 6) 8cos cos34 3

3 3 37) sin 3sin 8) sin

2 10 10 2 2 4

x x x x

x x x

π π

π π π

+ = �

�

� � + − = + = � �

� �

� � � + = − + � �

� � � 2sin

4 2

xπ� = −� �

� Bài t�p 2: Gi!i các ph��ng trình sau:

1) ( ) 6cottan2cottan 22=+++ xxxx 2)

� � + − + = � �

� �

� � ��

� ��

3) � �

+ + − − = � ��

� ��

� ��

4) 01)cot(tan4cot3cos

3 2

2=−+++ xxx

x 5) + + + =

� � ��

� ��



37

Ph��ng pháp 4: K, THU�T �ÁNH GIÁ_ B�T �@NG TH1C Nh�c l�i m�t s� k�t qu� th��ng dùng:

( )

( )

2 2 00

0

. ,

, 2 .

, , ,

��

�� k�� i��3D(�;�� l��*b�

�� >�"�U�� ( �&J�� E��H2��/�E��

��k�� i��3D(�;��

�� >�"�>�� 9�� &J�� /�E�

AA B

B

A B AB A B

a b a b ab

a b

a b c d

=�+ = ⇔ �

=�

≤ ⇔

+ ≥

⇔ =

( ) ( )( )2 2 2 2 2��

��k�� i��3D(�;��

ab cd a c b d

a b

c d

+ ≤ + +

⇔ =

L�U Ý: M�t s� B�T l��ng giác cAn chú ý:

��nn

nn

sin sin 1 sin 1; cos 1, ,

cos cos 1

x xx x x R x R

x x

� ≤ ≤�≤ ≤ ∀ ∈ � ∀ ∈�

≤ ≤��

��

Suy ra: ( )n 2

n n

n 2

sin sin sin cos 1 2

cos cos

x xx x n

x x

� ≤�⇔ + ≤ ∀ ≥�

≤��

Nh�n xét:

2 2n 2 2n+1

sin 0sin 0

* sin sin sin 1 * sin sin sin 1

sin 1

xx

x x x x xx

x

=�=��

= ⇔ = = ⇔ �� =�� = −�

��

BÀI T�P MINH H7A: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau: 1) 2 24cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0x x x x+ − + + = 2) 3 3 4sin cos 2 sinx x x+ = − H��ng dn:

1) \2

"Q��D R kπ

π� �

= +� ��

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

(1) 4cos 4 3 cos 3 3tan 2 3 tan 1 0

2cos 3 3 tan 1 0

23 6

2cos 3 0 cos2 22

61 63 tan 1 0 tan

36

x x x x

x x

x k

x x

x kx k

x x

x k

ππ

ππππ

ππ

⇔ − + + + + =

⇔ − + + =

��= +��

��− = ⇔ =�� ⇔ ⇔ � = − += − +� �� + = ⇔ = −� ��

= − +��

2 .6

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��x kπ

π= − +

2) "Q��D R=



38

Ta có: 3 3 2 2

4

sin cos sin cos 1

2 sin 1

x x x xx D

x

� + ≤ + =�∀ ∈�

− ≥��

Lúc �ó (2)

( )

( )

23 2

3 2 2

4 4

sin 1 sin 0sin sin

cos cos cos 1 cos 0 sin 1 22

2 sin 1 sin 1

x xx x

x x x x x x k

x x

ππ

� − =� =��

⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = +� ��

− = =� �

2 .2

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��x kπ

π= +

Bài t�p 2: Gi!i các ph��ng trình sau: 1) 13 14cos sin 1x x+ = 2) ( )sin cos 2 2 sin 2x x x+ = −

H��ng dn: 1) "Q��D R= (1) ⇔ + = +

�� . Vì ≤ � ≤

�� và ≤ � ≤��

Suy ra: + ≤�� . �/ng th�c xãy ra khi:

��

��

��

��

ππ π

π

�� = − = = = = +� �� ⇔ ⇔ ∨ ⇔ ⇔ =� � � � �= ± == − =� � � �� =�

� � � � � � � � �

� ��

.2

`8��/�'��&'(�9 5R��;S� �� 2�/0��m

xπ

=

2) "Q��D R= π�

= + = − ≤ ��

��

��

( ) 2)12(23sin22 =−≥−= xVP

V�y

π π π� � � �� − = − = − = ��

⇔ ⇔ ⇔� � � � � �� − = =− = � ��

��

��

� � �

� ��

ππ

ππ

24

24

)3( kxkx +=⇔=−⇔ ( k ∈ Z)

Th� vào (4) ta có : π π

π�

= + = = ≠ ��

� � ��

� �

V�y ph��ng trình vô nghi�m. Ph��ng pháp: S d�ng tính ch!t hàm s�. Bài t�p 3:

1) (�H S� ph�m 2) Gi!i ph��ng trình: 2

1 cos2

xx− = .

2) (�H Bách Khoa) V�i n là s� t� nhiên b�t kì l�n h�n 2, tìm x thu$c kho!ng 0;2

'� ��

tho! mãn ph��ng trình:2

2sin cos 2n

n nx x

−

+ = . H��ng dn: 1) "Q��D R=



39

��t 2

( )= cos2

xf x x + . D. th�y ( ) ( )f x f x= − , x R∀ ∈ , do �ó f(x) là hàm s� chn vì v�y

tr��c h�t ta ch) xét v�i 0x ≥ . Ta có: / / / /( ) sin , ( ) cos 1 0 0 ( )f x x x f x x x f x= + = − + ≥ ∀ ≥ � là hàm ��ng bi�n, do �ó

/ /( ) (0) 0 0 ( )f x f x f x≥ = ∀ ≥ � ��ng bi�n v�i 0x ≥ . M�t khác ta th�y (0) 0f = , do �ó 0x = là nghi�m duy nh�t ca ph��ng trình.

2) ��t / 1 1( ) sin cos ( ) cos sin sin cosn n n nf x x x f x n x x n x x

− −= + � = −

( )2 2sin cos sin cosn nn x x x x

− −= −

L�p b!ng bi�n thiên ca f(x) trên kho!ng 0;2

π� ��

, ta có 2

2min ( ) 24

n

f x fπ

−�

= = ��

V�y 4

xπ

= là nghi�m duy nh�t ca ph��ng trình �ã cho.

II-BÀI T�P T LUY!N: Bài t�p 1: Gi!i các ph��ng trình sau:

2 2 2

1)cos cos 2 2

2)cos cos 2 1

3)sin sin 3 1

14)sin sin 3 sin sin 3

4

x x

x x

x x

x x x x

+ =

= −

= −

+ =

�

2000 2000

2 2000

5)cos 2 3 sin 2 3 sin cos 4 0

6)sin cos 1

7)cos 1

8)8cos 2008sin 2008

x x x x

x x

x x

x x

− − − + =

+ =

= +

+ =

�


1) cos3x+ 22 cos 3x− =2(1+sin22x) 2) 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x

3) cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 , x ( )0;π∈ 4) 8cos4xcos22x+ 1 cos3x− +1=0

5)sin

cosx

xπ = 6) 1-2

2

x =cosx

7) ( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x 8) ( )1

1 cos 1 cos cos 2 sin 42

x x x x− + + =

Chuyên �� L��NG GIÁC Luy�n thi ��i h�c 2012

Giáo viên: LÊ BÁ B�O T� Toán THPT Phong �i�n 40

TUY=N T�P �* THI “TOÁN H7C TU;I TR#”: L��NG GIÁC

�� 01: (THTT 2010) Gi!i ph��ng trình:

( )2 2 2 1cos cos sin 1

3 3 2x x x

π π� � + + + = + � �

� �

H��ng dn:

Bi�n ��i ph��ng trình ta �� c ( )

2 41 cos 2 1 cos 2

13 3 sin 12 2 2

x x

x

π π� � + + + + � �

� � ⇔ + = +

( ) 2

2 4cos 2 cos 2 sin 1

3 3

2cos 2 cos sin 1 1 cos2 sin 2sin sin3

x x x

x x x x x x

π π

ππ

� �� ⇔ + + + = + � ��

� � � �

⇔ + = + ⇔ − = ⇔ =

�áp s�: 5

; 2 ; 2 .6 6

x k x k x kπ π

π π π= = + = +


( )2 2

2

sin cos 2sin 2sin sin 3

1 cot 2 4 4

x x xx x

x

π π+ − � �� = − − − � ��

+ � � � �

H��ng dn: Bi�n ��i PT ��a v� d,ng:

( ) ( )2cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin cos 2 sin 1 04 4

x x x x x x xπ π� �

+ = − ⇔ − − = � ��

�áp s�: 3

; 2 .8 2 2

kx x k

π π ππ= + = +


2 2 1tan cot 3

sin 2x x

x+ + =

H��ng dn: �i�u ki�n: sin 2 0x ≠

Bi�n ��i PT v� d,ng: ( )2

2 1 1 1tan cot 2 3 5 0

sin 2 sin cos sin 2x x

x x x x

� ⇔ + − + = ⇔ + − = �

�

2

4 15 0

sin 2 sin 2x x⇔ + − =

�áp s�: 1 4 1 4

; arcsin ; arcsin .4 2 5 2 2 5

x k x k x kπ π

π π π� �

= + = − + = − − + � ��

�� 04: (THTT 2010) Gi!i ph��ng trình: 2cos cos 2 cos3 5 7cos 2x x x x+ =

H��ng dn:

PT ( ) ( )2

cos 2 1 2cos 2 5 0 cos 2 1x x x⇔ − + = ⇔ =

�áp s�: .x kπ=



�� 05: (THTT 2010) Gi!i ph��ng trình: 2 3cos cos sin 0x x x+ + =

H��ng dn: Bi�n ��i PT v� d,ng

( ) ( ) ( )( )

( )( )

21 cos cos sin .sin 0 1 cos cos sin 1 cos 1 cos 0

1 cos cos sin sin cos 0

x x x x x x x x x

x x x x x

⇔ + + = ⇔ + + + − =

⇔ + + − =

�áp s�: 1 2 1 2

2 ; arccos 2 ; arccos 2 .4 42 2

x k x k x kπ π

π π π π− −

= + = − + = + +


4 1 3 74cos cos 2 cos 4 cos

2 4 2

xx x x− − + =

H��ng dn:

Bi�n ��i PT v� d,ng cos 2 1

3cos 2 cos 2 3

4 cos 14

xx

x x

=��

+ = ⇔ �=��

�áp s�: 8 .x k π= �� 07: (THTT 2010) Tìm giá tr� nh� nh�t ca hàm s�:

( )2

cos

sin 2cos sin

xy

x x x=

−, v�i 0

3x

π< ≤

H��ng dn:

Vi�t hàm s� d��i d,ng ( )

2

2

1 tan

tan 2 tan

xy

x x

+=

−.

��t ( )tan 0 3t x t= < ≤ . Kh!o sát hàm s� ( )2

2 3

1( ) 0 3

2

tf t t

t t

+= < ≤

−

Ta �� c k�t qu!: min 2y = khi 1t = hay .4

xπ

=


tan tan sin 3 sin sin 26 3

x x x x xπ π� �

− + = + � ��

H��ng dn:

�i�u ki�n: cos cos 06 3

x xπ π� �

− + ≠ � ��

Ta có ( )tan tan 1 sin 2 2cos 1 06 3

x x x xπ π� �

− + = − ⇔ + = � ��

�áp s�: 2

; 2 .2 3

kx x k

π ππ= = − +


( )( )( )1

1 cos 1 cos 2 1 cos32

x x x+ + + =

H��ng dn:



Bi�n ��i PT v� d,ng: 2

3 1cos .cos .cos

2 2 16

x xx

� = �

�

�áp s�: 2 2

; 2 ; 2 .4 2 3 3

kx x k x k

π π π ππ π= + = − + = +

�� 10: (THTT 2010) Gi!i ph��ng trình: 4 43sin 1 sin cosx x x+ = −


( )( )

( )

4 4 2 2 2 2

2 2

3sin 1 sin cos 3sin 1 sin cos sin cos

3sin 1 sin cos 3sin 1 cos 2 0

x x x x x x x x

x x x x x

+ = − ⇔ + = − +

⇔ + = − ⇔ + + =

22sin 3sin 2 0x x⇔ − − = .

�áp s�: 7

2 ; 2 .6 6

x k x kπ π

π π= − + = +


( )8 8 14 14cos sin 64 cos sinx x x x+ = +

H��ng dn: Ph��ng trình vô nghi�m. Áp d�ng B�T Cauchy �� 12: (THTT 2003) Tìm các nghi�m ca ph��ng trình:

22 1 2 1 2 1sin sin 2cos 0

3 3

x x x

x x x

+ + ++ − = th�a mãn

1

10x ≥

H��ng dn:

��t 2 1

3

xt

x

+= . Ta có

1 2;4

10 3x t

� �∀ ≥ � ∈ ��

. �" ý: 2 1 1

3 2 13 3 2

xt xt x x

x t

+= ⇔ = + ⇔ =

−

Lúc �ó ph��ng trình tr( thành: 2sin 3 sin 2cos 0t t t+ − =

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

3 2

3 2

2

2

2

3sin 4sin sin 2 1 sin 0

4sin 2sin 4sin 2 0

sin 4sin 2 4sin 2 0

1sin

4sin 2 sin 1 0 2

sin 1

t t t t

t t t

t t t

tt t

t

⇔ − + − − =

⇔ − + + − =

⇔ − + − − + =

�=�⇔ − + − = ⇔

�=��

V�i 2sin 1 cos 02

t t t kπ

π= ⇔ = ⇔ = + .

Do 2

42 2;4 03 2

3 2 3 4

kt k t x

k Z

ππ π

π

�< + ≤��

∈ � � = � = � =� � −� � � ∈�

T��ng t� v�i 1 2

sin2 5 4

t xπ

= � =−

.

Hoc có th" bi�n ��i:



( )

2 2

2 2 2

sin 3 sin 2cos 0 2sin 2 cos 2cos 0

4sin cos 2cos 0 cos 4sin 2 0

t t t t t t

t t t t t

+ − = ⇔ − =

⇔ − = ⇔ − =

�áp s�: 2 2

; 3 4 5 4

x xπ π

= =− −

�� 13: (THTT 2004) a) Ch�ng minh r%ng tam giác ABC có các góc th�a mãn tính ch�t sau thì tam giác ABC

là tam giác ��u:

( )3

sin sin sin cos cos cos sin sin sin2 2 2 2 2 2 2

A B C A B CA B C

� � + + + + = + + � �

� �

b) Tìm �i�u ki�n �� hai ph��ng trình sau t��ng ��ng: sin sin 2

1sin 3

x x

x

+= − và cos sin 2 0x m x+ =

H��ng dn:

a) V�i m�i tam giác ABC: sin sin cos cos2 2 2 2

A B A B≥ ⇔ ≤

b) sin sin 2

1 cos 0sin 3

x xx

x

+= − ⇔ = . �áp s�:

1

2m ≤

�� 14: (THTT 2004) a) Ch�ng minh r%ng tam giác ABC có các góc th�a mãn tính ch�t sau thì tam giác ABC


sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sin 4sin sin sin2 2 2

A B B C C AA B C A B C

− − −+ + = + + +

b) Gi!i h� ph��ng trình: ( )

( )

3tan 6sin 2sin2

tan 2sin 6sin2

yx y x

yx y x

�+ = −��

�� − = +��

H��ng dn:

a) ( ) ( ) ( )4sin sin sin sin sin sin2 2 2

A B B C C AC B B A A C

− − −= − + − + −

b) N�u tan 02

y= thì h� có nghi�m ( ); 2l kπ π .

N�u tan 32

y= thì h� có nghi�m

22 ; 2

3l k

πα π π�

+ + ��

trong �ó ;02

πα

� ∈ − ��

và

1 4 3cos , sin

7 7α α

−= = .

N�u tan 32

y= − thì h� có nghi�m

22 ; 2

3l k

πα π π

−� − + + ��

trong �ó ;02

πα

� ∈ − ��

và

1 4 3cos , sin

7 7α α

−= = .




1cos3 sin 2 cos4 sin 2 sin3 1 cos

2x x x x x x− = + +

H��ng dn: �áp s�: 2 .x kπ π= +

�� 16: (THTT 2004) Tìm giá tr� l�n nh�t ca bi�u th�c: 2 2 2sin sin 2sinQ A B C= + + , trong �ó A, B, C là 3 góc ca tam giác ABC b�t kì. H��ng dn:

�áp s�: 25

8

�� 17: (THTT 2010)

a) Gi!i ph��ng trình: 4cos .cos 2 .cos3 cos6x x x x= . b) Ch�ng minh r%ng tam giác ABC có các góc th�a mãn tính ch�t sau thì tam giác ABC


2sin 3sin 4sin 5cos 3cos cos2 2 2

A B CA B C+ + = + +

H��ng dn: a) Bi�n ��i ph��ng trình

( ) ( )

( )

( )

( )

2

2

2

2 2cos .cos3 cos 2 cos6 2 cos 2 cos 4 cos 2 cos6

2 cos 2 cos 4 cos 2 cos6 2cos 2 2cos 2 cos 4 cos6 0

2cos 2 cos 2 cos6 cos6 0

2cos 2 cos 2 0 cos 2 2cos 2 1 0

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

⇔ = ⇔ + =

⇔ + = ⇔ + − =

⇔ + + − =

⇔ + = ⇔ + =

�áp s�: ; ; .4 2 3 3

x k x k x kπ π π π

π π= + = + = − +

b) S� d�ng sin sin 2cos2

CA B+ ≤

�� 18: (THTT 2005) Gi!i ph��ng trình: 3 3sin .sin 3 cos .cos3 1

8tan tan6 3

x x x x

x xπ π

+=

� � − + � �

� �

H��ng dn: X� lý:

H��ng 1: sin sin cos cos 2

6 3 2tan tan 1 6 3 cos cos cos cos 2

6 3 2

x x x

x x x D

x x x

π π π

π π

π π π

� � � − + − − � � �

� � � � � − + = = = − ∀ ∈ � �

� � � � � − + − + � � ��

H��ng 2:

tan tan tan tan tan cot 1 6 3 6 2 6 6 6

x x x x x x x Dπ π π π π π π� � � � � �

− + = − + − = − − − = − ∀ ∈ � � � � � ��



Cách 1: S� d�ng 3 34sin 3sin sin 3 ; 4cos 3cos cos3x x x x x x= − = + Cách 2:Bi�n ��i:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

3 3

2 2

2 2

2 2

3

1sin .sin 3 cos .cos3

81

sin .sin 3 sin cos .cos3 cos8

1 1 1cos 2 cos 4 sin cos 2 cos 4 cos

2 2 81 1 1

cos 2 cos 4 cos sin2 2 8

1 1cos2 cos 2 cos 4 cos 2 1 cos 4

4 41 1

2cos 2 cos 24 2

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

+ = −

⇔ + = −

⇔ − + + = −

⇔ + − = −

⇔ + = − ⇔ + = −

⇔ = − ⇔ = −

��i chi�u �i�u ki�n

�áp s�: .6

x kπ

π= − +

�� 19: (THTT 2005) Gi!i ph��ng trình: 1

cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 32

x x x x x x− =

H��ng dn: Cách 1: S� d�ng 3 34sin 3sin sin 3 ; 4cos 3cos cos3x x x x x x= − = + Cách 2:Bi�n ��i:

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

1cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3

22 cos .cos3 cos 2 2 sin .sin 3 .sin 2 1

cos 2 cos 4 cos 2 cos 2 cos 4 .sin 2 1

cos 2 cos 2 cos 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 4 1 0

1 cos 2 cos 2 cos 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 4 0

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

− =

⇔ − =

⇔ + − − =

⇔ + − + − =

⇔ − − + − + =

⇔

( ) ( )

( )( )

2

2

sin 2 cos 2 cos 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 4 0

cos4 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 0

cos 2 sin 2 cos 4 sin 2 0

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

− + − + =

⇔ + − + =

⇔ + − =

�áp s�: ; ; .8 2 12 3 4

x k x k x kπ π π π π

π= − + = + = − +

�� 20: (THTT 2005)

a) Cho tam giác ABC th�a mãn: 2 3

tan tan2 2 3

cos cos 1

A B

A B

�+ =�

�� + =�

. Ch�ng minh tam giác ABC

��u.



b) Xét tam giác ABC. Tìm giá tr� nh� nh�t ca bi�u th�c: 2 2 25cot 16cot 27cotF A B C= + +

H��ng dn:

a) ��t ( )tan ; tan 0; 02 2

A Bx y x y= = > > .

b)Ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 2 cot 12 4 cot 9 18 cot

3cot 12cot 4cot 9cot 18cot 2cot 12

F A B C

F A B B C C A

= + + + + +

� = + + + + + ≥

�áp s�: min

1 112 khi cot 1, cot , cot .

2 3F A B C= = = =

�� 21: (THTT 2005) Tìm giá tr� l�n nh�t ca bi�u th�c: sin 1 6cos2 2

x xy

� = + �

�

H��ng dn: Kh!o sát hàm s�.

�áp án: [ ]0;4

5 5max

3π= v�i 0 0 0

52 4 0; ; sin

2 3x k

πα π α α

� � = + ∈ = � �

� �

�� 21: (THTT 2006)

a) Gi!i ph��ng trình: 2cos 4

cot tansin 2

xx x

x= +

b) Tìm các góc A, B, C ca tam giác ABC sao cho bi�u th�c: 2 2 2sin sin sinQ A B C= + − �,t giá tr� nh� nh�t.

H��ng dn:

a) �áp s�: ; .3 3

x k x kπ π

π π= + = − +

b) 0 030 , 120 .A B C= = =


( )2 2 2 1cos cos sin 1

3 3 2x x x

π π� � + + + = + � �

� �

H��ng dn: Bi�n ��i ph��ng trình ta �� c 21 cos2 sin 2sin sinx x x x− = ⇔ =

�áp s�: 5

; 2 ; 2 .6 6

x k x k x kπ π

π π π= = + = +

�� 23: (THTT 2006) a) Ch�ng minh r%ng trong m�i tam giác ABC ta luôn có:

tan 3 tan 3 tan 3 4 tan tan tan 33 3 3 3 3 3

A B C A B C� � � � − − − = + + − � � � �

� � � �

b) Gi!i ph��ng trình: 2 2

2 2

sin sin 22

sin 2 sin

x x

x x+ =

H��ng dn:



b) Ta có: 2 2 2 2

2 2 2 2

sin sin 2 sin sin 2: 2 . 2sin 2 sin sin 2 sin

x x x xx D

x x x x∀ ∈ + ≥ =

�/ng th�c xãy ra2 2 2

22 2 2

sin sin 2 1 4cos 1cos

sin 2 sin 4cos 1 4

x x xx

x x x⇔ = ⇔ = ⇔ =

H��ng khác: 22

1: 4cos 2

4cosx D x

x∀ ∈ + = . ��t 2cos 0t x= ≥

�áp s�: 2

2 ; 2 .3 3

x k x kπ π

π π= ± + = ± +


( )2 21 8 12cos cos sin 2 3cos sin

3 3 2 3x x x x x

ππ

� + + = + + + + �

�

H��ng dn:

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

21 1sin 3 sin 2 3sin

3 31 1

cos 2 3 sin 2 3sin3 31

1 cos 2 3 1 sin sin 232

3 1 sin sin 23

2 9 1 sin 6sin

1 sin 2 1 sin 1 sin 9 1 sin 0

1 sin

x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

x

⇔ + − = − + −

⇔ + = − + −

⇔ + + = − +

⇔ + = − +

⇔ + = − +

⇔ − + − + − − =

⇔ −

��

��

��

��

��

��

( )

( )( )2 2

2 1 sin 9 0

sin 1 21 sin 2sin 6 7 0 2

2sin 6 7 6 7

x x

x x kx x x

x x

ππ

+ + − =� ��

�= ⇔ = +�⇔ − + − = ⇔

�+ = + <��

��

��

�� 7E�� 2�*�

�áp s�: 2 .2

x kπ

π= +

�� 25: (THTT 2006) Tính các góc ca tam giác ABC bi�t 2 3 , 2 .A B a b= =

H��ng dn: �áp s�: 0 0 045 ; 30 ; 105 .A B C= = =


( )2 2 3 3tan tan .sin 1 cos 0x x x x− − − =

H��ng dn: ��a v� ph��ng trình tích.

�áp s�: 2 1

2 ; ; 2 ; 2 cos4 4 4 2

x k x k x k x kπ π π

π π α π α π α� −

= = + = + + = − + = ��

�� 25: (THTT 2007)



a) Ch�ng minh r%ng tam giác ABC ��u n�u:

sin

sin

sin

sin

24sin 1 4sin

2

24sin 1 4sin

2

A

B

B

C

A B

B C

�+ = +��

�� + = +��

b) Gi!i ph��ng trình: ( )23 4sin 2 2cos2 1 2sinx x x− = +

H��ng dn: a) Hàm s� 2 4x

y x= + ��ng bi�n trên R có ( ) 1 0y x x= ⇔ = .

Ta có: sin

sin

24sin 1 4sin sin sin

2

A

BA B A B+ = + � =

b) Bi�n ��i:

( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )( )

2

2

2

2

2

3 4sin 2 2cos2 1 2sin

3 4 1 cos 2 2cos 2 1 2sin

4cos 2 1 2cos 2 1 2sin

2cos 2 1 2cos 2 1 2cos 2 1 2sin

2 1 2sin 1 2cos 2 1 2cos 2 1 2sin

1 4sin 2cos 2 1 2cos 2 1 2sin

1 2sin 1 2sin 2cos 2 1 2co

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

− = +

⇔ − − = +

⇔ − = +

⇔ − + = +

� �⇔ − − + = +� �

⇔ − + = +

⇔ − + + = ( )

( ) ( )( )

( )( )

s 2 1 2sin

1 2sin 1 2sin 2cos 2 1 2cos 2 0

1sin

2sin 1 4sin cos 2 2sin 1 0 24sin cos 2 2sin 1 0 (*)

x x

x x x x

xx x x x

x x x

+

⇔ + − + − =� ��

�=�⇔ − − − + = ⇔

�− − + =�

��i v�i ph��ng trình (*): ( )24sin cos 2 2sin 1 0 4sin 1 2sin 2sin 1 0x x x x x x− − + = ⇔ − − − + =

( )3 38sin 6sin 1 0 2 3sin 4sin 1 0 2sin 3 1 0

1sin 3

2

x x x x x

x

⇔ − + = ⇔ − − + = ⇔ − + =

⇔ =

�áp s�: 7 2 5 2

2 ; 2 ; ; .6 6 18 3 18 3

x k x k x k x kπ π π π π π

π π= − + = + = + = +

�� 26: (THTT 2007) Gi!i ph��ng trình: 2cos cos 2 cos3 5 7cos 2x x x x+ =

H��ng dn: Bi�n ��i ph��ng trình: ( )2cos cos 2 cos3 2cos 2 5 1 cos 2 0x x x x x⇔ − + − =



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

2

2

cos 2 2cos cos3 2 5 1 cos 2 0

cos 2 cos 2 cos 4 2 5 1 cos 2 0

cos 2 2cos 2 cos 2 3 5 1 cos 2 0

cos 2 2cos 2 3 cos 2 1 5 1 cos 2 0

cos 2 1 2cos 2 5 0 cos 2 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

⇔ − + − =

⇔ + − + − =

⇔ + − + − =

⇔ − − + − =

⇔ − + = ⇔ =

�áp s�: .x kπ= �� 27: (THTT 2007) Gi!i ph��ng trình:

3 3sin cos cos 2 .tan .tan4 4


− = + − � ��

H��ng dn:

Nh�n xét: sin .sin cos cos 2

4 4 2tan .tan 14 4 cos cos 2cos .cos

24 4

x x x

x x

xx x

π π ππ π

ππ π

� � + − − � �

� � � � + − = = = − � �

� � � � ++ − � ��

Lúc �ó ph��ng trình

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

3 3sin cos cos 2

sin cos 1 sin cos sin cos sin cos 0

sin cos 1 sin cos sin cos 0

sin cos

1 sin cos sin cos 0 sin cos� [ 5R��;S� �.@��3i�� 70�

x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

⇔ − = −

⇔ − + − − + =

⇔ − + − + =� ��

=�⇔ �

+ − + =�

Ta ��c k�t qu�:

�áp s�: 2 ; 22

x k x kπ

π π= + =


sin 3 sin 2 .sin4 4

x x xπ π� �

− = + � ��

H��ng dn:



Bi�n ��i PT v� d,ng:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3 3

3 3

2 sin 3 2 sin 2 .sin4 4

sin 3 cos3 sin 2 sin cos

3sin 4sin 4cos 3cos sin 2 sin cos

3 sin cos 4 sin cos sin 2 sin cos

3 sin cos 4 sin cos 1 sin .cos sin 2 sin cos

sin cos

x x x

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x

x

π π� � − = + � �

� �

⇔ − = +

⇔ − − − = +

⇔ + − + = +

⇔ + − + − = +

⇔ +( ) ( )

( )[ ]

3 4 1 sin .cos sin 2 0

sin cos 1 4sin .cos sin 2 0

sin cos 0

1 4sin .cos sin 2 0 sin 2 1

x x x x

x x x x x

x x

x x x x

− − − =� ��

⇔ + − + − =

+ =�⇔ �

− + − = ⇔ =�


�áp s�: .4 2

x kπ π

= +


( )( )( )1

1 cos 1 cos 2 1 cos32

x x x+ + + =

H��ng dn:

Bi�n ��i PT v� d,ng: 2

3 1cos .cos .cos (2)

3 1 2 2 4cos .cos .cos3 12 2 16

cos .cos .cos (3)2 2 4

x xx

x xx

x xx

�=��

= ⇔ � �� = −

��

Gi!i (2):

( ) ( )2 23 1 1 1 1cos .cos cos cos cos 2 cos cos 2cos 1 cos

2 2 4 2 4 2

x xx x x x x x x

� = ⇔ + = ⇔ + − = �

�

Hoàn toàn t�ng t� cho ph�ng trình (3), ta ��c k�t qu�:

�áp s�: 2 2

; 2 ; 2 .4 2 3 3

kx x k x k

π π π ππ π= + = − + = +

�� 30: (THTT 2008) Gi!i ph��ng trình: 5 3 22sin 2sin .cos cos 2 sin 0x x x x x+ + − =

H��ng dn: Bi�n ��i PT v� d,ng:

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

3 2 2

3 3 2

2 2

2

2sin sin cos cos 2 sin 0

2sin cos 2 sin 0 2sin 1 2sin sin 0

sin 12sin sin 1 sin 1 0 sin 1 2sin 1 0 1

sin2

x x x x x

x x x x x x

x

x x x x xx

⇔ + + − =

⇔ + − = ⇔ + − − =

=��⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔� =�




�áp s�: ; 2 .4 2

x k x kπ π

π π= ± + = +

�� 31: (THTT 2008) a) Gi!i ph��ng trình: 1 tan .tan 2 cos3x x x− = .

b) Cho tam giác ABC th�a mãn: ( )5

cos2 3 cos2 cos2 02

A B C+ + + = . Tính �$ l�n ba

góc ca tam giác �ó. H��ng dn: a) Bi�n ��i PT v� d,ng:

( )

sin .sin 21 tan .tan 2 cos3 1 cos3

cos cos 2cos cos 2 sin .sin 2 cos3

cos3 cos3cos cos 2 cos cos2

cos3 0cos3 1 cos cos 2 0

cos cos 2 1

x xx x x x

x x

x x x x xx x

x x x x

xx x x

x x

− = ⇔ − =

−⇔ = ⇔ =

=�⇔ − = ⇔ �

=�

b) �áp s�: 0 030 , 75 .A B C= = =


tan tan sin 3 sin sin 26 3


− + = + � ��

H��ng dn:

H��ng 1: sin sin cos cos 2

6 3 2tan tan 1

6 3 cos cos cos cos 26 3 2

x x x

x x x D

x x x

π π π

π π

π π π

� � � − + − − � � �

� � � � � − + = = = − ∀ ∈ � �

� � � � � − + − + � � ��

H��ng 2:

tan tan tan tan tan cot 1 6 3 6 2 6 6 6

x x x x x x x Dπ π π π π π π� � � � � �

− + = − + − = − − − = − ∀ ∈ � � � � � ��

Lúc �ó ph��ng trình tr( thành:

( )sin 3 sin sin 2 sin sin 2 sin 3 0 sin sin 3 sin 2 0x x x x x x x x x− = + ⇔ + + = ⇔ + + =

��i chi�u �i�u ki�n ta có k�t qu�:

�áp s�: 2

; ; 2 .2 3

x k x k x kπ π

π π= = = − +


4 1 3 74cos cos 2 cos 4 cos

2 4 2

xx x x− − + =




( )

( )

( )

4

22

2

2

1 3 74cos cos 2 cos 4 cos

2 4 21 3 7

2cos cos 2 cos 4 cos2 4 2

1 3 71 cos 2 cos 2 cos 4 cos

2 4 21 3 7

1 2cos 2 cos 2 cos 2 cos 4 cos2 4 2

1 cos 4 1 3 71 2cos 2 cos 2 cos 4 cos

2 2 4 2

c3

cos 2 cos 24

xx x x

xx x x

xx x x

xx x x x

x xx x x

xx

− − + =

⇔ − − + =

⇔ + − − + =

⇔ + + − − + =

+� ⇔ + + − − + = �

�

⇔ + = ⇔

os 2 1

3 8cos 1

4 3

x x k

x mx

π

π

= ⇔ =��

= ⇔ =��

Xét 8

3 8 8 3 83

mk k m k

ππ = ⇔ = �� . Do 3 là s� nguyên t� nên ( )8 8 k k t t Z� = ∈�

V�y nghi�m ca ph��ng trình �ã cho là: ( )8 .x t t Zπ= ∈

�áp s�: ( )8 .x t t Zπ= ∈

�� 34: (THTT 2010) Gi!i ph��ng trình: 5 cos 2

2cos3 2 tan

xx

x

+=

+

H��ng dn: Bi�n ��i ph��ng trình

( )

( ) ( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

5 cos sin 2 3cos 2sin

cos 6cos 5 sin 4sin

cos 3 sin 2

cos sin 1 cos sin 5 0

x x x x

x x x x

x x

x x x x

⇔ + − = +

⇔ − + = +

⇔ − = +

⇔ + − − − =

�áp s�: �� 35: (THTT 2010)

a) Gi!i ph��ng trình: 2 22cos 2 cos 2 .sin 3 3sin 2 3x x x x+ + = .

b) Tìm GTLN- GTNN ca hàm s�: sin 2cos

2( )cos 2sin

2

xx

f xx

x

+

=

+

trên 0;2

π� ��

H��ng dn: a) Bi�n ��i PT v� d,ng:



( )

( )

2 2

2 2

2cos 2 cos 2 .sin 3 3 1 sin 2 0

2cos 2 cos 2 .sin 3 3cos 2 0 cos 2 sin 3 cos 2 0

cos 2 0

sin 3 cos 2 sin 3 sin 22

x x x x

x x x x x x x

x

x x x xπ

+ − − =

⇔ + − = ⇔ − =

=��⇔ � � = ⇔ = − ��

�� 36: (THTT 2011) Gi!i ph��ng trình: 2

42

1 tan16cos 4. 2sin 4

4 1 tan

xx x

x

π −� + = − �

+�

H��ng dn:

Bi�n ��i ph��ng trình 416cos 4cos 2 2sin 44

x x xπ�

⇔ + = − ��

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

24 2cos 4cos 2 1 sin 24

4 1 cos 2 4cos 2 1 sin 22

4 1 sin 2 4cos 2 1 sin 2 4 1 sin 2 1 cos 2 0

sin 2 1

cos 2 1

x x x

x x x

x x x x x

x

x

π

π

� �� ⇔ + = − ��

� � �

� �� ⇔ + + = − ��

� � �

⇔ − = − ⇔ − − =

=�⇔ �

=�

��i chi�u �i�u ki�n ta có k�t lu�n:

�áp s�: , .4

�x k x kπ

π π= + =


sin 3 cos3 2 2 cos 1 04

x x xπ�

+ − + + = ��


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

3 3

3 3

3sin 4sin 4cos 3cos 2 cos sin 1 0

5 cos sin 1 4 cos sin 0

5 cos sin 1 4 cos sin 1 sin cos 0

cos sin 5 4 1 sin cos 1 0 cos sin 1 4sin cos 1 0

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

⇔ − + − − − + =

⇔ − − + + − =

⇔ − − + + − + =

⇔ − − + + + = ⇔ − − + + =� ��

�ây là ph�ng trình ph�n x ng sin x và cos x .


( )( )2 sin 12 1 cos cot 1

cos sin

xx x

x x

−+ + =

+




( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

2

2

2

sin 12 1 cos cot 1

cos sin1 sin 1

2 1 cossin cos sin

1 sin 1 2 sin 12 1 cos

1 cos cos sin 1 cos cos sin2 cos sin sin 1 1 cos

xx x

x x

xx

x x x

x xx

x x x x x x

x x x x

−+ + =

+

−⇔ + =

+

− −⇔ + = ⇔ =

− + − +

⇔ + = − −

�ây là ph�ng trình ��i x ng sin x và cos x . �� 39: (THTT 2011) Gi!i ph��ng trình:

12011tan cot 2 1005 3

sin 2x x

x

� + = + �

�

H��ng dn:

( )1

(1) 2010 tan tan cot 2 1005 3sin 2

2 12010 tan 2 1005 3 2010 tan 2010 3

sin 2 sin 2

tan 33

x x xx

x xx x

x x kπ

π

� ⇔ + + = + �

�

� ⇔ + = + ⇔ = �

�

⇔ = ⇔ = +

�� 40: (THTT 2011) Tìm [ )2;x ∈ +∞ th�a mãn ph��ng trình :

( )2 2 1 2 1sin 2 sin 1

1 1 4

x x

x x

π+ +� + − = �

− −�

H��ng dn: �i�u ki�n: 1x ≠ .

��t ( )

/2

2 1 30

1 1

xt t x D

x x

+ −= � = < ∀ ∈

− −. �" ý:

2 1 1 2 1

1 2

x tt tx t x x

x t

+ += ⇔ − = + ⇔ =

− −

L�p b!ng bi�n thiên ta có: [ ) ( ]2; 2;5x t∀ ∈ +∞ � ∈ .

Lúc �ó, ph��ng trình tr( thành: ( )sin 2 2 sin 1 sin cos 2sin cos 1 (1)4

t t t t t tπ�

+ − = ⇔ − + = ��

��t sin cos 2 sin 24

u t t t uπ�

= − = − � ≤ ��

và 2

2 11 2sin cos sin cos

2

uu t t t t

−= − � =

Ph��ng trình (1) tr( thành: ( ) ( )2 2 01 1 0 1 0

1

uu u u u u u

u

=�+ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ �

=�

* V�i 0 2 sin 04 4 4

u t t k t kπ π π

π π�

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = + ��

.

Do ( ]2 1 5 1

2 52;5 14 44

kkt k

k Z k Z

ππ

π π

��− < ≤ −< + ≤� �

∈ � ⇔ � =� �� ∈ ∈� �

.

V�i 5 4 5

14 5 8

k t xπ π

π

+= � = � =

−



T�ng t�: V�i 1:u = Ta �� c các nghi�m là 1

2x

π

π

+=

−.

�áp s�: 4 5 1

; .5 8 2

�x xπ π

π π

+ += =

− −


( )4 42

1 cot 2 .cot1 6 sin cos

cos

x xx x

x

++ = +


( )

( )

( )

4 42

4 42

4 4 22

sin sin 2 cos cos 2(1) 1 6 sin cos

sin sin 2 coscos

1 6 sin cossin sin 2 cos

1 2 11 6 sin cos 1 6 1 sin 2

sin sin 2 cos sin 2 2

x x x xx x

x x x

xx x

x x x

x x xx x x x

+⇔ + = +

⇔ + = +

� ⇔ + = + ⇔ + = − �

�


2 2 2

1 1 15cos 4

2cot 1 2 tan 1 8 sin 2

x

x x x+ =

+ + +


( ) ( )( )( )

( )( )

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

22 2

4 4

2 2 2 2

sin cos 15cos 4(1)

2cos sin 2sin cos 8 sin 2

sin cos 15cos 4

cos 1 sin 1 8 sin 2

sin sin 1 cos cos 1 15cos 4

8 sin 2cos 1 sin 1

1 sin cos 15cos 4

81 sin cos sin cos

x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x x x x

xx x

x x x

x x x x

⇔ + =+ + +

⇔ + =+ + +

+ + +⇔ =

++ +

+ +⇔ =

+ + +

( )

2

22

2 2 2 2 2

2 2

sin 2

11 4 2 sin 21 1 sin 2 15cos 4 15cos 4222 sin cos 8 sin 2 8 sin 2 8 sin 2

8 2sin 2 15 1 2sin 2

x

xxx x

x x x x x

x x

+

� −+ − �

� ⇔ = ⇔ =

+ + + +

⇔ − = −

�� 43: (THTT 2011) Gi!i ph��ng trình: cos sin 2

1 0cos3

x x

x

++ =

H��ng dn:



�i�u ki�n: 3

cos 0

3cos3 0 4cos 3cos 0 cos

2

3cos

2

x

x x x x

x

�� ≠��

≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠��

≠ −��

Bi�n ��i ph��ng trình ( )cos sin 2 cos3 0 cos cos3 sin 2 0x x x x x x⇔ + + = ⇔ + + =

( )

( )( )2

2

2cos 2 cos 2sin cos 0 2cos cos 2 sin 0

cos 02cos 2sin sin 1 0

2sin sin 1 0

� /4�

��N�

x x x x x x x

xx x x

x x

⇔ + = ⇔ + =

=�⇔ − + + = ⇔ �

− + + =��

Ph��ng trình (*)( )

( )

sin 1

1sin

2

�� /4�

� /4�

x

x

=��⇔� = −��

K�t lu�n: Ph��ng trình �ã cho vô nghi�m �� 44: (THTT 2011) Gi!i ph��ng trình:

22cos 3tan cot

sin 2

xx x

x+ =


Bi�n ��i ph��ng trình2 22cos 3 2cos 3

tan cot cot tansin 2 sin 2

x xx x x x

x x⇔ + = ⇔ = −

( )

2 2 2 2

22

3

2cos 3 cos sin 2cos 3 cos sin

sin 2 sin cos sin 2 sin cos

2cos 3 2cos 2 1 cos6cos 3 cos 2 cos 2

sin 2 sin 2 2

1 4cos 3cos 2 cos 2

x x x x x x

x x x x x x

x x xx x x

x x

x x x

−⇔ = − ⇔ =

+⇔ = ⇔ = ⇔ =

⇔ + − =


a) cos

4tan 2012x

x

π� + �

� = b) cos 2tan 2012 xx =

H��ng dn: �i�u ki�n: cos 0x ≠ D)ng ý là r/t rõ ràng: ��a v� logarith và s! d�ng tính �n �i�u

a) cos

4tan 2012 tan 0x

x x

π� + �

� = � > L�u ý: sin 0

tan 0cos 0

xx

x

>�> ⇔ �

>� ho�c

sin 0

cos 0

x

x

<��

<�

Ta có: ( )cos

42012

2tan 2012 log tan cos cos sin

4 2

x

x x x x x

ππ

� + �

� � = ⇔ = + = − �

�

2012 2012

2 2 log sin log cos cos sin

2 2x x x x⇔ − = −



2012 2012

2 2log sin sin log cos cos

2 2x x x x⇔ + = + (*)

��t ( ) ( )2012

2log

2f t t t f t= + � ��ng bi�n trên D.

Ph��ng trình (*) có d,ng: ( ) ( )sin cos sin cos tan 14

f x f x x x x x kπ

π= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + .

b) Hoàn toàn t��ng t�: cos

4tan 2012 tan 0x

x x

π� + �

� = � > L�u ý: sin 0

tan 0cos 0

xx

x

>�> ⇔ �

>� ho�c

sin 0

cos 0

x

x

<��

<�

Ta có: cos 2 2 2

2012tan 2012 log tan cos 2 cos sinxx x x x x= ⇔ = = −

2 22012 2012 log sin log cos cos sin x x x x⇔ − = −

2 22012 2012

2 22012 2012

2 2 2 22012 2012

log sin sin log cos cos

2log sin 2sin 2log cos 2cos

log sin 2sin log cos 2cos (*)

x x x x

x x x x

x x x x

⇔ + = +

⇔ + = +

⇔ + = +

��t ( ) ( )2012log 2f t t t f t= + � ��ng bi�n trên D.

Ph��ng trình (*) có d,ng:

( ) ( )2 2 2 2 2 4sin cos sin cos tan 1

4

x k

f x f x x x x

x k

ππ

ππ

�= +�

= ⇔ = ⇔ = ⇔ �� = − +��

.


( )

2

2

2sin 3 2 sin sin 2 11

sin cos

x x x

x x

+ − += −

+

H��ng dn: �i�u ki�n: tan 0x ≠

Bi�n ��i ph��ng trình 22sin 3 2 sin sin 2 1

11 sin 2

x x x

x

+ − +⇔ = −

+

( )

( )

2

2

2sin 3 2 sin sin 2 1 1 sin 2

2sin

2sin 3 2 sin 2 0 2

sin 2 � /4�

x x x x

xx x

x

⇔ + − + = − +

�= −�

⇔ + + = ⇔ �� = −�

Ta có: ( )

( )

22 4sin

522

4

� /4��*�.��

�� T��2D�

x k

x

x k

ππ

ππ

�= − +�

= − ⇔ �� = +��




2 2

3 4sin 2 2sin 43 6sin 2cos

sin3

x x

x x

x

π

π

� − + + �

� = −

� − �

�

H��ng dn:

�i�u ki�n: sin 03

xπ�

− ≠ ��

Bi�n ��i ph��ng trình ( )2 3 2sin 2 2 3 cos 2 2sin 4

1 2cos 2sin 3 cos

x x xx

x x

− − += −

−

( )( )

( ) ( ) ( )

3 2sin 2 1 2cos 21 2cos 2

sin 3 cos

1 2cos 2 3 2sin 2 sin 3 cos 0

x xx

x x

x x x x

− −⇔ = −

−

� �⇔ − − − − =� �

�áp s�: 5

; ; 2 .6 6 6

� �x k x k x kπ π π

π π π= + = − + = +


( )2 2

2

sin cos 2sin 2sin sin 3

1 cot 2 4 4

x x xx x

x

π π+ − � �� = − − − � ��

+ � � � �

H��ng dn: �i�u ki�n: sin 0x ≠

Bi�n ��i ph��ng trình v� d,ng ( ) 2sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin4

x x x x xπ�

⇔ + = − ��

( ) ( )

( )( )

sin 2 cos 2 sin sin 2 cos 2

sin 2 cos 2 sin 1 0

x x x x x

x x x

⇔ + = +

⇔ + − =

�áp s�: 3

; 2 .8 2 2

�x k x mπ π π

π= + = +

�� 44: (THTT 2010) Gi!i ph��ng trình: 28cos8 .cos 2 1 cos3 1 0x x x+ − + =

H��ng dn: �i�u ki�n: sin 0x ≠

�* THI �<I H7C QUC GIA:



T" 2002 ��n 2011 A- GI�I PH��NG TRÌNH: 1) (�HB-02) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − G�i ý: TX�: D R= Dùng công th�c h, b�c:

( )

1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12(1) cos6 cos8 cos10 cos12

2 2 2 2cos 0

2cos7 .cos 2cos11 .cos 2cos cos11 cos7 0cos11 cos7

− + − +⇔ − = − ⇔ + = +

=�⇔ = ⇔ − = ⇔ �

=�

x x x xx x x x

xx x x x x x x

x x

2) (D? b� 02) 4 4sin cos 1 1

cot25sin2 2 8sin2

x xx

x x

+= −

G�i ý: TX�: \2

D R kπ� �

= � ��

Dùng k�t qu! 4 4 21sin cos 1 sin 2

2x x x+ = −

( )

2

2

2 2

11 sin 2 cos2 12(1) 8 4sin 2 20cos2 55sin2 2sin2 8sin2

4 1 cos 2 20cos2 13 0 4cos 2 20cos2 9 0

−⇔ = − ⇔ − = −

⇔ − + − = ⇔ − + − =

x xx x

x x x

x x x x

3) (D? b� 02) 2

44

(2 sin )sin3tan 1

cos

x xx

x

−+ = hay

24

4

(2 sin 2 )sin3tan 1

cos

x xx

x

−+ =

G�i ý: TX�: \2

D R kπ

π� �

= +� ��

S� d�ng công th�c nhân ba: 3sin3 3sin 4sinx x x= − 4 2

4 4 24 4

4 4 2 3

4 2 2 2 3

sin (2 sin )sin3(1) 1 sin cos (2 sin )sin3

cos cos

sin cos (2 sin )(3sin 4sin )

sin (1 sin ) (2 sin )(3sin 4sin )

x x xx x x x

x x

x x x x x

x x x x x

−⇔ + = ⇔ + = −

⇔ + = − −

⇔ + − = − −

4) (D? b� 02) 2tan cos cos sin (1 tan tan )2

xx x x x x+ − = +

G�i ý: TX�: \ ; 22

D R k kπ

π π π� �

= + +� ��

2

2

2(1) . .

2

22 . . .2 2

2

��

��

��

��

⇔ + − = +

⇔ + − = +

xx

x x x x xxx

xx x x

x x x xxx



2 22 (1 )2

��

��

−⇔ + − = + ⇔ + − = +

xx

x xx x x x x x x x

x x

2

2 2

. (1 )

00

1

��

��

�� /4��

��

+ −⇔ + − =

=�⇔ + − = ⇔ − = ⇔ �

=�

x x x xx x x

x

xx x x x x x

x

5) (D? b� 02) 2

1sin

8cosx

x=

G�i ý: TX�: \2

D R kπ

π� �

= +� ��

22

0

0 0 20 2(1) 1 1 228 . 1

8 4 22

2

��

��

��

��

x

x xx x

x xx xx

x

≥��

≥ ≥ �� ≥�� =�⇔ ⇔ ⇔ ⇔� � � ��= ==�� = −��

* V�i 2 82

32

8

��x k

x

x k

ππ

ππ

�= +�

= ⇔ �� = +��

��i chi�u �i�u ki�n 0��x ≥ ta nh�n �� c các nghi�m là: 3

2 ; 28 8

�x m x mπ π

π π= + = +

T��ng t�, v�i tr�*ng h p 2

22

�� x = − .

6) (�HA-03) 2cos2 1cot 1 sin sin2

1 tan 2

xx x x

x− = + −

+

G�i ý: TX�: \ ;2 4

D R k kπ π

π� �

= − +� ��

( )( )

( )

2

2

2

cos2 .cos 1(1) cot 1 sin sin2

sin cos 2cos sin cos sin .coscos sin 1

sin sin2sin sin cos 2

cos sin 1 cos sin 1 cos sin .cos sin sin2 1 sin .cos sin2

sin 2 sin 2cos sin

sin

⇔ − = + −+

− +−⇔ = + −

+

− −⇔ = − + − ⇔ = − −

−⇔

x xx x x

x x

x x x x xx xx x

x x x

x x x xx x x x x x x x

x x

x x

x( )

( ) ( )

21 sin 2 cos sin cos sin sin

cos sin cos sin sin 1 0

= − ⇔ − = −

⇔ − � − − � =� �

x x x x x x

x x x x x

7) (D? b� 03) 3 tan (tan 2sin ) 6cos 0x x x x− + + =



G�i ý: TX�: \2

ππ

� �= +� �

� �D R k

( ) ( )( )

( )( )2

2

sin 1 2cossin 2sin cos(1) 3 6cos tan . 0 3 1 2cos tan 0

cos cos1 2cos 0

1 2cos 3 tan 03 tan 0

++⇔ + − = ⇔ + − =

+ =�⇔ + − = ⇔ �

− =�

x xx x xx x x x

x x

xx x

x

8) (D? b� 03) 2cos2 cos (2tan 1) 2x x x+ − =

G�i ý: TX�: \2

D R kπ

π� �

= +� ��

( )( ) ( )( )( )

2 2

2 3 2

2

1 2(1) cos2 cos 2 1 1 2 cos2 cos 3 2

cos cos

22cos 1 3cos 2 2cos 3cos 3cos 2 0

cos

cos 1 2cos 5cos 2 0 cos 1 cos 2 2cos 1 0

cos 1 2

21 3cos2

23

x x x xx x

x x x x xx

x x x x x x

x x k

x k

x

x k

π π

ππ

ππ

� �� ⇔ + − − = ⇔ + − = � ��

� � � �

⇔ − + − = ⇔ − − + =

⇔ + − + = ⇔ + − − =

= − ⇔ = +

�= +

⇔= ⇔

= − +

��

��

9) (�H B-03) 2

cot tan 4sin2sin2

x x xx

− + =

G�i ý: TX�: \2

D R kπ� �

= � ��

( )

( )

2

2

2

2 cos 2(1) 4 2 4 2

2 cos 2

cos 2 2cos 2 24 2 4 2

.cos 2 2 2

2cos 2 4 2 2 cos 2 2 1 cos 2 1 0

cos 2 12cos 2 cos 2 1 0

x xx x x x

x x x x

x x xx x

x x x x x

x x x x

x

x x

� ⇔ − + = ⇔ − + = �

�

−⇔ + = ⇔ + =

⇔ + = ⇔ + − − =

=

⇔ − + + = ⇔

��

��

��

��

��

��/4��

1cos 2

2x

�� = −�

10) (D? b� 03) 6 23cos4 8cos 2cos 3 0x x x− + + = G�i ý: TX�: D R=



( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

(1) 3 1 cos4 2cos 1 4cos 0 6cos 2 2cos 1 2cos 1 2cos 0

6cos 2 2cos 1 2cos cos2 0 2cos2 3cos2 2cos 1 2cos 0

cos2 0 cos2 0

3cos2 2cos 1 2cos 0 3 2cos 1 2cos 1 2cos 0

⇔ + + − = ⇔ + − + =

� �⇔ − + = ⇔ − + =� �

= =� �⇔ ⇔� �

− + = − − + =� ��

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x x

11) (D? b� 03) ( ) 22 3 cos 2sin

2 41

2cos 1

xx

x

π� − − − �

� =

−

G�i ý: �K: 2

32cos 1 0

23

x k

x

x k

ππ

ππ

�≠ +��

− ≠ ⇔ �� ≠ − +��

(1) (2 3)cos 1 cos 2cos 1 3cos sin 02

tan 33

π

ππ

� �� ⇔ − − − − = − ⇔ − + = ��

� � �

⇔ = ⇔ = +

x x x x x

x x k

��i chi�u �i�u ki�n ta có nghi�m ca ph��ng trình là: 4

23

x kπ

π= +

12) (�HD-03) 2 2 2sin tan cos 02 4 2

π� − − = �

�

x xx

G�i ý: TX�: \2

D R kπ

π� �

= +� ��

( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

22

2

1 1 sin(1) 1 cos tan 1 cos 0 1 sin . 1 cos 0

2 2 2 cos

1 cos 1 cos 1 cos1 sin . 1 cos 0 1 cos 1 0

1 sin 1 sin 1 sin

1 cos 0cos 1 cos

1 cos1 0 1 cos 1 sin

1 sin

π� �� ⇔ − − − + = ⇔ − − + = ��

� � �

� �− + −⇔ − − + = ⇔ + − =� �

− + −� �

+ =�= − =��

⇔ ⇔ ⇔− �� − = − = −�� −�

xx x x x x

x

x x xx x x

x x x

xx x

xx x

x

1

tan 1

−��

=� x

13) (D? b� 03) 2cos (cos 1)

2(1 sin )sin cos

x xx

x x

−= +

+

G�i ý: TX�: \ 24

D R kπ

π� �

= − +� ��



( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 ( 1) 1 ( 1)(1) 2(1 ) 0 (1 ) 2 0

1 0 1

1 ( 1) 2 1 2

1

1 0

��

��

��

��

��

�� [

− + − � − − �⇔ − + = ⇔ + − =� �

+ +� �

+ = = −� �⇔ ⇔� �

− − = + − + + − = +� �

= −⇔

+ − + =

x x x x xx x

x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x

x x x x 5R��;S� �.@��3i��

��

14) (D? b� 03) 2cos4

cot tansin2

xx x

x= +

G�i ý: TX�: \2

D R kπ� �

= � ��

( )

2 4 2 4(1)

2 2

2 4 2 4 2 4

. 2 . 2 2

2 4 2 1

12 1 0

⇔ − = ⇔ − =

−⇔ = ⇔ = ⇔ =

⇔ = ⇔ − =

=

⇔ − − = ⇔

��

��

��

��

��

��

��

x x x xx x

x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x

x x

2 0

1

2

≠�� = −�

�h4��*��

�� " T��.��

x

x

15) (�HB-04) 25sin 2 3(1 sin )tanx x x− = −

G�i ý: TX�: \2

D R kπ

π� �

= +� ��

( )( )

2 2

2

22

sin sin(1) 5sin 2 3(1 sin ) 5sin 2 3(1 sin )

cos (1 sin )(1 sin )

sin5sin 2 3 5sin 2 1 sin 3sin

(1 sin )

⇔ − = − ⇔ − = −− +

⇔ − = ⇔ − + =+

x xx x x x

x x x

xx x x x

x

16) (�HD-04) (2cos 1)(2sin cos ) sin2 sinx x x x x− + = − G�i ý: TX�: D R=

[ ]

(1) (2cos 1)(2sin cos ) 2sin .cos sin

(2cos 1)(2sin cos ) sin (2cos 1)

(2cos 1) (2sin cos ) sin 0

2cos 1 0(2cos 1)(sin cos ) 0

sin cos 0

⇔ − + = −

⇔ − + = −

⇔ − + − =

− =�⇔ − + = ⇔ �

+ =�

x x x x x x

x x x x x

x x x x

xx x x

x x

17) (�HA-05) 2 2cos 3 cos2 cos 0x x x− = G�i ý: TX�: D R=



( )

1 1 2(1) . 2 0 . 2 1 0

2 21

1 0 2 02

��

��

+ +⇔ − = ⇔ − =

⇔ + − = ⇔ + − =

x xx x x

x x x x

12 1 2 0 2 3 0 3

2

��

�� /4��

=��⇔ − + − = ⇔ + − = ⇔� = −�

x

x x x xx

18) (�HB-05) 1 sin cos sin2 cos2 0x x x x+ + + + = G�i ý: TX�: D R=

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

2

(1) 1 sin2 sin cos cos2 0

sin cos sin cos cos sin cos sin 0

sin cos sin cos 1 cos sin 0

sin cos 0sin cos 2cos 1 0

2cos 1 0

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x xx x x

x

⇔ + + + + =

⇔ + + + + + − =

⇔ + � + + + − � =� �

+ =�⇔ + + = ⇔ �

+ =�

19) (�HD-05) 4 4 33 0

4 4 2x x x x

π π� � + + − − − = � �

� � ��

G�i ý: TX�: D R=

( )

1 3(1) 1 3 0

2 4 4 2

1 11 0

2 2 2

1 1 1 1 1 11 0 1 1 2 0

2 2 2 2 2 2

x x x

x x x

x x x x x x

π π

π

� � � ⇔ − + − − − = � � �

� � �

� �� ⇔ − + − + = � ��

� � � �

� ⇔ − − + = ⇔ − − − + = �

�

��

��

��

20) (D? b� 05) 32 2cos 3cos sin 04

x x xπ�

− − − = ��


( ) ( )

3

3

(1) 2 3 04

3 0

x x x

x x x x

π� �� ⇔ − − − = ��

� � �

⇔ + − − =

��

�� [ 5R��;S� �.k��b9�)'��

⇔ + + + − − =� � ��

=��

⇔ �− =��

�

��

��

�

� �

≠��

+ + + − − − − =��

��

� ��

�

� � � � � �

⇔ = �� =��

ππ⇔ = +

� � hay

ππ= +

��



21) (D? b� 05) 2 2 34sin 3cos2 1 2cos

2 4

xx x

π� − = + − �

�


( )3

(1) 2 1 cos 3cos2 1 1 cos 22

3cos2 2cos sin2 sin2 3cos2 2cos

1 3sin2 cos2 cos sin 2 cos sin 2 sin

2 2 6 6 2

π

π π π

� �� ⇔ − − = + + − ��

� � �

⇔ − = − ⇔ − =

� � � ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = − � � �

� � �

x x x

x x x x x x

x x x x x x x

22) (D? b� 04) sin4 sin7 cos3 cos6x x x x= G�i ý: TX�: D R=

( ) ( )1 1

(1) cos11 cos3 cos9 cos32 2

cos11 cos3 cos9 cos3 cos11 cos9

x x x x

x x x x x x

⇔ − = −

⇔ − = − ⇔ =

23) (D? b� 04) 1 sin 1 cos 1x x− + − = G�i ý: TX�: D R=

( ) ( )(1) 1 sin 2 1 sin . 1 cos 1 cos 1⇔ − + − − + − =x x x x

( )( ) ( )2 1 sin 1 cos sin cos 1 (*)⇔ − − = + −x x x x

��t sin cos 2 2t x x t= + � − ≤ ≤

Lúc �ó:( )

2

22

1 21

2 1 1 12 4 1 12

�N��

� ≤ ≤�−

− − = − ⇔ � � −− − = − ��

� �

tt

t t tt t

22 2

1 21 2 1

3 2 5 04 4 2( 1) 2 1 5

3

1: 1 2 14

��/4��

�� π

� ≤ ≤�� ≤ ≤� � =�⇔ ⇔� � �+ − = ⇔− − − = − +� �� = −� ��

� = + = ⇔ + = �

�

t

t t

t tt t t tt

t x x x

24) (D? b� 05) 22

cos2 1tan 3tan

2 cos

xx x

x

π −� + − = �

�

G�i ý: TX�: \2

D R kπ� �

= � ��

22 2 2

2

2 2 3

2sin(1) cot 3tan cot 3tan 2tan

cos1

cot tan tan tan 1 tan 1tan 4

ππ

−⇔ − − = ⇔ − − = −

⇔ − = ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − +

xx x x x x

x

x x x x x x kx

25) (D? b� 05) 2 2 3sin cos2 cos (tan 1) 2sin 0x x x x x+ − + =



G�i ý: TX�: \2

D R kπ

π� �

= +� ��

( )

( )

( )

2 22 2 3

2

2 2 2 2

2

(1) 1 2 . 2 0

0 1 0

1 02 1 0 1

2

−⇔ − + + =

⇔ + − = ⇔ + − − =

� = − ≠�⇔ + − = ⇔� =��

��

��

��

�� /4��*��

��

x xx x x x

x

x x x x x x

x x

x xx

26) (D? b� 05) 3 sin

tan 22 1 cos

xx

x

π� − + = �

+�

G�i ý: �K: 1 cos 0

sin 0sin 0

xx x k

xπ

+ ≠�⇔ ≠ ⇔ ≠�

≠�

( ) ( )

( )

2

sin cos sin(1) cot 2 2

1 cos sin 1 cos

cos 1 cos sin 2sin 1 cos

11 cos 2sin 1 cos 2sin 1 sin

2

x x xx

x x x

x x x x x

x x x x x

⇔ + = ⇔ + =+ +

⇔ + + = +

⇔ + = + ⇔ = ⇔ =

27) (D? b� 05) sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x+ + − − = G�i ý: TX�: D R=

( )2(1) 2sin .cos 2cos 1 3sin cos 2 0⇔ + − + − − =x x x x x

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2

2 22

2sin .cos 2cos 3sin cos 3 0

2cos 2sin 1 cos 3sin 3 0 (*)

2sin 1 8 3sin 3 4sin 20sin 25 2sin 5

1 2sin 2sin 5cos 1

4(*)1 2sin 2sin 5

cos 1 sin4

⇔ + + − − =

⇔ + − + − =

∆ = − − − = − + = −

� − + −= = −�

�⇔− − −�

= = −��

x x x x x

x x x x

x x x x x

x xx

x xx x

28) (�HA-06) ( )6 62 cos sin sin cos

02 2sin

x x x x

x

+ −=

−

G�i ý: �K: 2

42 2sin 03

24

x k

x

x k

ππ

ππ

�≠ +��

− ≠ ⇔ �� ≠ +��



( )6 6 2 2

2 2

2

(1) 2( ) 0 2 1 3sin 0

3 1 3 12 1 sin 2 sin 2 0 2 sin 2 sin 2 0

4 2 2 2

sin 2 13sin 2 sin 2 4 0 4

sin 23

sin 2 1 .4

x x x x x x x x

x x x x

x

x xx

x x kπ

π

⇔ + − = ⇔ − − =

� ⇔ − − = ⇔ − − = �

�

=��⇔ + − = ⇔� = −�

= ⇔ = +

��

��/4��

"��

�@�� 8��7J��.��5

24

x kπ

π= +�� 2��P��9 5R��;S� �/0��

29) (D? b� 06) 3 3 2 3 2cos3 cos sin3 sin

8x x x x

+− =

G�i ý: Dùng công th�c nhân ba

( ) ( )

( ) ( )2 2

3cos cos3 3sin sin3 2 3 2(1) cos3 sin3

4 4 8

2 3 2cos3 3cos cos3 sin3 3sin sin3

2

2 3 2cos 3 sin 3 3 cos cos3 sin sin3

2

2 3 2 3 2 2 81 3cos2 3cos2 cos22 2 2

8

ππ

ππ

+ − +⇔ − =

+⇔ + − − =

+⇔ + + − =

�= +�+

⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ �� = − +��

x x x xx x

x x x x x x

x x x x x x

x k

x x x

x k

30) (D? b� 06) 2sin 2 4sin 1 06

x xπ�

− + + = ��


3 1(1) 2 sin2 cos cos2 sin 4sin 1 0 2 sin2 cos2 4sin 1 0

6 6 2 2

π π � � ⇔ − + + = ⇔ − + + = � �

� � x x x x x x

( )

( )2

3sin2 cos2 4sin 1 0 2 3sin cos 1 cos2 4sin 0

2 3sin cos 2sin 4sin 0 2sin 3cos sin 2 0

sin 0 sin 0

3cos sin 2 0 3cos sin 2

⇔ − + + = ⇔ + − + =

⇔ + + = ⇔ + + =

= =� �⇔ ⇔� �

+ + = + = −� �

x x x x x x x

x x x x x x x

x x

x x x x

31) (�HD-06) cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = G�i ý: TX�: D R=

( ) ( )

( )

2(1) cos3 cos 1 cos2 0 2sin 2 sin 2sin 0

sin 02sin sin 2 sin 0

sin 2 sin

⇔ − − − = ⇔ − =

=�⇔ − = ⇔ �

=�

x x x x x x

xx x x

x x



32) (D? b� 06) 3 3 2cos sin 2sin 1x x x+ + = G�i ý: TX�: D R=

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3 3 2(1) 1 2 1

1

1

1 0

0

1 0

��

��

��

��

��

�� [ 5R��

⇔ + = − ⇔ + − =

⇔ + − = −

⇔ + − = + −

⇔ + � − − − � =� �

+ =⇔

− + − =

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x �;S� �9 K��3i��

��

33) (D? b� 06) 3 24sin 4sin 3sin2 6cos 0x x x x+ + + = G�i ý: TX�: D R=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

2

2

(1) 4sin sin 1 6cos sin 1 0 sin 1 4sin 6cos 0

sin 1sin 1 4 1 cos 6cos 0

4cos 6cos 4 0

⇔ + + + = ⇔ + + =

= −�� ⇔ + − + = ⇔ �� − + + =�

x x x x x x x

xx x x

x x

34) (�HB-06) cot sin 1 tan .tan 42

� + + = �

�

xx x x

G�i ý: �K:

sin 0

cos 0 sin2 02

cos 02

π

�� ≠�

≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠�� ≠�

x

x x x k

x

( )2

sincos sin 2(1) sin sin . 4sin cos cos

2

sin .2sin sin . 1 coscos 2sin 4 cot sin 4sin cos cos

sin sin coscot sin 4 cot sin tan sin 4 cot tan 4

cos2 1

4 sin2sin2 2

⇔ + + =

−⇔ + + = ⇔ + + =

−⇔ + + = ⇔ + + − = ⇔ + =

⇔ = ⇔ =

x

x xx x

xx x

xx x xx

x x xx x x

x x xx x x x x x x x

x

xx

Ho�c: Bi�n ��i cos .cos +sin .sinsinsin 2 22sin (1 tan .tan ) sin 1 . sin

2 cos cos cos .cos2 2

� � � � �

+ = + = � ��

x xx x xx x

x x x xx xx

x

cos cos sin2 2sin sincoscos .cos cos .cos

2 2

� − �

� = = =

x xxx

x xx x x

x x



35) (D? b� 06) ( ) ( )2 2 22sin 1 tan 2 3 2cos 1 0x x x− + − =

G�i ý: TX�: \2

D R kπ

π� �

= +� ��

( )( )2 2

2

0(1) .tan 2 3 0 tan 2 3 0

tan 2 3

�� /4��

xx x x x x

x

� =⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ �

=��

36) (D? b� 06) cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0x x x x+ + − = G�i ý: TX�: D R=

( )

[ ] ( )

2 2(1) cos sin (1 2cos )(sin cos ) 0

(cos sin )(cos sin ) (1 2cos )(sin cos ) 0

(cos sin ) (cos sin ) (1 2cos ) 0 (cos sin ) sin cos 1 0

cos sin

sin cos 1

⇔ − + + − =

⇔ − + + + − =

⇔ − + − + = ⇔ − − − =

=�⇔ �

− =�

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x

x x

37) (�HD-07) 2

sin cos 3cos 22 2

x xx

� + + = �

�

G�i ý: TX�: D R= 2 2(1) sin 2sin .cos cos 3cos 2 1 sin 3cos 2

2 2 2 2

1 3 1 1sin 3cos 1 sin cos sin

2 2 2 3 2

π

⇔ + + + = ⇔ + + =

� ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = �

�

x x x xx x x

x x x x x

38) (�HB-07) 22sin 2 sin7 1 sinx x x+ − = G�i ý: TX�: D R=

( )

( )

2(1) sin7 sin 1 2sin 2 0

2cos 4 sin3 cos 4 0 cos 4 2sin3 1 0

cos 4 0

2sin3 1 0

x x x

x x x x x

x

x

⇔ − − − =

⇔ − = ⇔ − =

=�⇔ �

− =�

39) (�HA-07) 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2x x x x x+ + + = +

G�i ý: TX�: D R= ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2

(1) 1 2 0

0

1 0

0

1 0

��

��

��

��

�� [ 5R��;S� �.@��3i��

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x

⇔ + + + − + =

⇔ + + + − + =

⇔ + � + − + � =� �

+ =�⇔ �

+ − + =�

40) (D? b� 07) 1 1

sin2 sin 2cot22sin sin2

x x xx x

+ − − = .



G�i ý: �K: sin 0

sin2 0sin2 0 2

xx x k

x

π≠�⇔ ≠ ⇔ ≠�

≠�

(1) ⇔ − cos22x − cosxcos2x = 2cos2x vì sin2x ≠ 0

⇔ =�

�+ + =�� 7E�� 2��

��

��

�

� �

⇔ cos2x = 0 ⇔ π π π

π= + ⇔ = + �

� � � �

41) (D? b� 07) 2

3cos2

42cos

42

5sin

xxx=�

�

�−−�

�

�−

ππ

G�i ý: TX�: D R= 5 3

(1) sin sin 2 cos2 4 2 2 4 2

5 3 3 5 3 3sin sin 2 cos sin sin 2 cos 0

2 4 4 2 2 2 4 2 4 2

3 3 32sin cos 2 cos 0 2cos cos 2 cos

2 2 4 2 2 4

π π π

π π π π

π π π

� �� ⇔ − − − − = � ��

� � � �

� � � � ⇔ − − − = ⇔ − + − − = � � � �

� � � �

� � � ⇔ − + − = ⇔ − + − � � �

� � �

x x x

x x x x x x

x x xx x

30

2

3cos 0

23cos 2cos 2 0

2 42cos 2 0

4

π

π

=

�=�� ⇔ − + + = ⇔ �� + + = ��

x

x

xx

x

42) (D? b� 07) 1cos12

sin22 =�

�

�− xx

π


(1) 112

sin12

2sin2 =��

��

�−�

�

�−⇔

ππx

π π�

⇔ − − = ��

� ��

�

12

cos6

sin212

sin4

sin12

2sinπππππ

=+=�

�

�−⇔ x

12

5sin

12cos

122sin

πππ==�

�

�−⇔ x

( )π π π π

π π⇔ − = + − = + ∈� � ��

� � � ��

( )π π

π π⇔ = + = + ∈��

� � � � �

43) (D? b� 07) ( )+ + = +��




44) (D? b� 07) sin 2 cos 2

tan cotcos sin

x xx x

x x+ = −

G�i ý: TX�: \2

D R kπ� �

= � ��

2 2sin 2 sin cos 2 cos cos sin(1)

cos sin sin cos2

cos cos2cos 2 cos 2

cos sin cos sin3

2 22 ;

3 3

�@�� 8��7J��.��.56�� 2��P��9 5R��;S� �/0�

��

π

π

π ππ

+ −⇔ =

=��⇔ = ⇔ = ⇔� =�

= + = − +

x x x x x x

x x x x

x kx x

x x kx x x x x

x k x k2π

45) (D? b� 07) ( )( )1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = +

G�i ý: TX�: \2

D R kπ

π� �

= +� ��

( )

( ) ( )( )

( )( )

2cos sin cos sin(1) sin cos

cos cos

sin cos cos sin sin cos 1 0

sin cos 0sin cos cos 1 0

cos 1 0

− +⇔ + =

⇔ + � − + − � =� �

+ =�⇔ + − = ⇔ �

− =�

��" T��.��

��" T��.��

x x x xx x

x x

x x x x x x

x xx x x

x

46) (�HA-08) 1 1 7

4sin3sin 4sin2

xx

x

π

π

� + = − �

� � − ��

G�i ý: TX�: \2

D R kπ� �

= � ��

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

��

��

��

� � ��

� ��

� ��

� ��

��

��

� � � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � �

� � � �

� �

�

⇔ + + + = +

⇔ + + = +

⇔ + + = +

⇔ + = +

⇔ + + − =

+ =⇔

+��&E�� 2�*��

��

�� = + = <�



( )

( ) ( )( )

1 14sin 2

sin cos 4

1 1 1 1 14sin 4. sin cos

sin cos 4 sin cos 2

sin cos2 2 sin cos 0 sin cos 1 2 2 sin .cos 0

sin .costan 1

sin cos 02

1 2 2 sin .cos 0 sin 22

ππ

π

� ⇔ + = − − �

�

� ⇔ + = − + ⇔ + = − + �

�

+⇔ + + = ⇔ + + =

= −�+ =� �⇔ ⇔� �+ = = −� ��

xx x

x x xx x x x

x xx x x x x x

x x

xx x

x x x

47) (�HB-08) 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = − G�i ý: TX�: D R=

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

3 2 3 2

2 2 2 2

2 2

(1) sin 3sin cos 3cos sin cos 0

sin sin 3cos cos 3cos sin 0 sin 3cos sin cos 0

sin 3cos 0 tan 3

cos2 0sin cos 0

⇔ + − + =

⇔ + − + = ⇔ + − =

� �+ = = −⇔ ⇔� �

=− =� ��

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x

xx x

48) (�HD-08) ( )2sin 1 cos2 sin2 1 2cosx x x x+ + = +

G�i ý: TX�: D R= ( ) ( ) ( )

( )( )

2(1) 2sin .2cos 2sin cos 1 2cos 0 2sin cos 2cos 1 1 2cos 0

12cos 1 0 cos

2cos 1 2sin cos 1 0 22sin cos 1 0

sin2 1

⇔ + − + = ⇔ + − + =

�+ = = −� �⇔ + − = ⇔ ⇔� �− =� =�

x x x x x x x x x

x xx x x

x xx

49) (D? b� 08) 2tan cot 4cos 2= +x x x

G�i ý: TX�: \2

D R kπ� �

= � ��

2 22 2

2

sin cos sin cos(1) 4cos 2 4cos 2

cos sin cos sin2cos 2 1

4cos 2 2cos 2 2cos 2 0sin 2 sin 2

−⇔ − = ⇔ =

− � ⇔ = ⇔ + = �

�

x x x xx x

x x x x

xx x x

x x

cos 2 0cos 2 0

12sin 2 cos 2 12cos 2 0

sin 2

��" T��.��

��" T��.��

=�=��⇔ ⇔ �� = −+ = �

�

xx

x xxx

50) (D? b� 08)2

sin 2 sin4 4 2

x xπ π� �

− = − + � ��




( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 2

2

(1) 2 sin 2 2 sin 1 sin 2 cos 2 sin cos 14 4

cos sin cos 2 1 sin 2 0 cos sin cos sin cos sin 0

cos sin cos sin cos sin cos sin 0

cos sin 1 cos sin cos sin 0

π π� � ⇔ − = − + ⇔ − = − + � �

� �

⇔ − − − − = ⇔ − − − − − =

⇔ − − − + − − =

⇔ − � − + − − � =� �

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

( )( )tan 1

cos sin 0cos sin 1 2cos 0 1

1 2cos 0 cos2

=�− =� �⇔ − − = ⇔ ⇔� �− = =�

�

xx x

x x xx x

51) (D? b� 08) 1

2sin sin 23 6 2

π π� � + − − = � �

� � x x

G�i ý: TX�: D R= 1

(1) 2sin sin 2 2sin sin 2 sin3 6 2 3 6 6

2sin 2sin .cos 2sin 2sin .sin3 6 3 2 6

2 2sin .sin 2si

3

π π π π π

π π π π π

π

� � � � ⇔ + = − + ⇔ + = − + � � � �

� � � �

� �� ⇔ + = − ⇔ + = − − � � � ��

� � � � � �

� = − = �

�

x x x x

x x x x x x

x x n .sin 2sin .sin3 3

π ππ� ��

− + = + � ��

x x x x

H��ng khác:

( )

12sin sin 2

3 6 2

12 sin .cos cos .sin sin 2 .cos cos 2 .sin

3 3 6 6 2

3 1 1sin 3 cos sin 2 cos 2

2 2 2

2sin 2 3 cos 3 sin 2 cos 2 1

2 3 cos 2 3 cos .sin 2sin 1 cos 2 0

2 3 cos

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

x

π π

π π π π

� � + − − = � �

� �

� � � �⇔ + − − =� � � ��

� ⇔ + − − = �

�

⇔ + − − =

⇔ − + − + =

⇔ ( )

( ) ( )

( )( )

21 sin 2sin 2sin 0

2 3 cos 1 sin 2sin 1 sin 0

sin 1 222 1 sin 3 cos sin 0

3 cos sin 0 tan 33

x x x

x x x x

x x k

x x x

x x x x k

ππ

ππ

− + − =

⇔ − + − =

�= ⇔ = +�

⇔ − + = ⇔ �� + = ⇔ = − ⇔ = − +��

52) (D? b� 08) 23sin cos2 sin 2 4sin cos2

+ + =x

x x x x




( )

2

(1) 3sin cos 2 sin 2 2sin 1 cos

3sin cos 2 sin 2 2sin sin 2

3sin cos 2 2sin cos 2 sin 0

sin 1 2sin sin 1 0 1

sin2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x

x xx

⇔ + + = +

⇔ + + = +

⇔ + = ⇔ + =

=��⇔ − + + = ⇔� = −�

53) (D? b� 08) ( )4 44 sin cos cos 4 sin 2 0x x x x+ + + =


( ) ( )2 2 2 2

2

1(1) 4 1 sin 2 1 2sin 2 sin 2 0 4 2sin 2 1 2sin 2 sin 2 0

2

sin 2 14sin 2 sin 2 5 0 5

sin 24��h4��

� ⇔ − + − + = ⇔ − + − + = �

�

= −��⇔ − + + = ⇔� =�

x x x x x x

x

x xx

54) (�HA-2009) ( )

( )( )

1 2sin cos3

1 2sin 1 sin

x x

x x

−=

+ −

G�i ý: �K:

26

1 2sin 0 52

1 sin 0 6

x k

xx k

x

x k

ππ

ππ

π

�≠ +�

�+ ≠� �

⇔ ≠ +� �− ≠� �

≠��

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

2 2

(1) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin

cos 2sin cos 3 1 sin 2sin 2sin cos sin 2 3 sin 1 2sin

cos sin 2 3 sin cos 2 3 sin cos sin 2 3 cos 2

3 1 1 3sin cos sin 2 cos 2 sin sin 2

2 2 2 2 6 3

π π

⇔ − = + −

⇔ − = − + − ⇔ − = + −

⇔ − = + ⇔ − = − −

� � ⇔ − = − − ⇔ − = − + �

� �

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

sin sin 26 3

π π

�

� � ⇔ − = − − � �

� � x x

55) (�HB-2009) ( )3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = +




( )

( )

( )

3

3

2

(1) sin cos sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin )

sin 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4

sin 1 2sin cos sin 2 3 cos3 2cos 4

sin cos 2 cos sin 2 3 cos3 2cos 4 sin 3 3 cos3 2cos 4

1 3sin 3 cos3 cos 4 sin 3

2 2 3

π

⇔ + + = +

⇔ − + + =

⇔ − + + =

⇔ + + = ⇔ + =

�⇔ + = ⇔ +

�

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x cos 4 sin 3 sin 43 2

π π � � = ⇔ + = − � � �

� � x x x

56) (�HD-2009) 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0− − =x x x x G�i ý: TX�: D R=

( )(1) 3 cos5 sin 5 sin sin 0 3 cos5 sin 5 2sin3 1

cos5 sin 5 sin sin 5 sin2 2 3

π

⇔ − + − = ⇔ − =

� ⇔ − = ⇔ − = �

�

x x x x x x x

x x x x x

57) (�H A- 2010)( )1 sin cos2 sin

14cos

1 tan 2

x x x

xx

π� + + + �

� =

+

G�i ý: TX�: \ ;2 4

D R k mπ π

π π� �

= + − +� ��

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

(1) 1 2 2 14

1 2 1 2

1 2 1 0 2 0

tan 10

2 0

��

��

��

��

��

��

π� ⇔ + + + = + �

�

+⇔ + + + = ⇔ + + + = +

⇔ + � + + − � = ⇔ + + =� �

= −+ =�⇔ ⇔�

+ =�

x x x x x

x xx x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x

xx x

x x

tan 1

12 1 0

1

2

��" T��

�� h4��

�� " T��

�� = −

� �⇔ =� �

− + + =� �= −�

�

x

xx x

x

58) (�H B- 2010) ( )sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x+ + − =


( ) ( )

( ) ( )

( )

[ ]( )

22 2

(1) 2 2 2 0

2 2 2 2 0

2 2 2 0

2 2 2 0

2 04 22 2 0

2 1 1 2

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x kx x x

x x

π π

⇔ + + − =

⇔ − + + =

⇔ − + + =

⇔ + + =

�= ⇔ = +�

⇔ + + = ⇔ �+ = − + < −��

��

��

��

��

��

�� 7E�� 2�*�



59) ( �H D-2010) sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = G�i ý: TX�: D R=

( )

( ) ( )

( )( )

2(1) 2 2sin 1 3 1 0

2 1 2 1 4 2 0

2 1 02 1 2 0

2 0

x x x x x

x x x x x

xx x x

x x

⇔ − + − + − =

⇔ − + − + − =

− =�⇔ − + + = ⇔ �

+ + =�

��

��

��

�� &E�� 2��

60) (D? b� B1 2010) ( )cos2 2cos sin cos cos2 sin2x x x x x x+ + = −

G�i ý: TX�: D R= ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

2

2 2

(1) cos2 1 cos 2cos sin 2cos sin 0

cos2 1 cos 2cos sin 1 cos2 sin 0

cos2 1 cos sin 2 cos sin 0

cos sin 1 cos sin 2 cos sin 0

cos sin cos sin 1 cos sin 2 0

cos sin tan 1

c

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

⇔ − + + + =

⇔ − + + + + =

⇔ − + + + =

⇔ − − + + + =

⇔ + � − − + + � =� �

= − ⇔ = −⇔

( )( ) ( ) ( )2

os sin 1 cos sin 2 0 cos sin cos sin 1 0x x x x x x x x

��

− − + + = ⇔ − − + − + =��

61) (D? b� B2 2010) ( )2 1cos 2 cos 2 sin cos2 1

4 4 4x x x x

π π� � + − + + = � �

� � v�i

π π� �∈ −� ��

��

�


( )

( )

( ) ( )

2

2

1 1(1) cos4 cos sin cos2 1

2 2 4

1 1 cos2 1cos4 cos2 1

2 2 4

1 1 cos2 12cos 2 1 cos2 1

2 2 4

x x x

xx x

xx x

π� �⇔ + + + =� ��

−� ⇔ + + = �

�

−� ⇔ − + + = �

�

62) ( �H A-2011) 2

1 sin2 cos22sin sin2

1 cot

x xx x

x

+ +=

+

G�i ý: �K: sin 0x x kπ≠ ⇔ ≠



( )

( )

( )

( )

2 2

2

(1) 1 sin2 cos2 sin 2 2sin cos

1 sin2 cos2 2 2cos ( do sin 0 )

sin2 1 cos2 2 2cos 0

2sin cos 1 cos2 2 2cos 0

2sin cos 2cos 2 2cos 0 cos sin cos 2 0

cos 02

sin cos 2 2sin4

x x x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x x x x

x x k

x x x

ππ

π

⇔ + + =

⇔ + + = ≠

⇔ + + − =

⇔ + + − =

⇔ + − = ⇔ + − =

= ⇔ = +

⇔�

+ = ⇔ +�

2 sin 1 24 4

x x kπ π

π

��

� � = ⇔ + = ⇔ = + � ��

63) ( �H B-2011) sin2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x+ = + + G�i ý: TX�: D R=

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

sin2 cos sin cos cos2 sin cos

(1) sin 1 cos2 sin cos cos2 sin cos

cos2 sin 1 cos sin 1 0 sin 1 cos2 cos 0

sin 1 22

2cos2 cos cos

3 3

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x k

x x x x k

ππ

π ππ

+ = + +

⇔ + + = + +

⇔ − + − = ⇔ − + =

�= ⇔ = +�

⇔ �� = − = − ⇔ = +��

64) ( �H D-2011) sin2 2cos sin 1

0tan 3

x x x

x

+ − −=

+

G�i ý: TX�: cos 0 2tan 3

3

x kx

xx m

ππ

ππ

�≠ +�≠��

⇔� �≠ −�� ≠ − +

��

( ) ( )

( )( )

(1) 2 1 0 2 1 1 0

1 01 2 1 0 1

2

x x x x x x

x x

x xx

⇔ + − − = ⇔ + − + =

= − ≠��⇔ + − = ⇔� =�

��

�� /4��*�.��

��

Ta xét: '2

1 32

'23

x k

x

x k

ππ

ππ

�= +�

= ⇔ �� = − +��

��

��i chi�u �i�u ki�n, ta có nghi�m c&a ph�ng trình là: 23

x kπ

π= +

B- TÌM NGHI!M THU+C KHO�NG: 1) (�HA-02) Tìm nghi�m thu$c kho!ng ( )0;2π ca:



cos3 sin35 sin cos2 3

1 2sin2

x xx x

x

+� + = + �

+� .

2) (�HD-02) Tìm x thu$c �o,n [ ]0;14 nghi�m �úng :

cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − = .

Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi i h Ch HÀM S L NG...

Documents

Transcript of Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi i h Ch HÀM S L NG...