1

1

CHUYÊN ĐỀ ÁP DỤNG TỈ LỆ THỨC,

TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.

I.CƠ SỞ XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ :

1. Lý do chọn chuyên đề:

Toán học là môn khoa học quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật,

học tốt môn toán sẽ học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.Thông qua việc giải

toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, chủ động, sáng tạo của học sinh, rèn kỹ

năng, ý chí vượt qua mọi khó khăn để vươn lên trong cuộc sống. Đứng trước một

bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, và chuyên sâu và

có những phương pháp đặc trưng thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm cho mình con

đường giải bài toán nhanh nhất.Việc ôn luyện theo từng chuyên đề giúp học sinh

hiểu sâu hơn,phân tích, đánh giá đầy đủ hơn về từng nội dung kiến thức. Từ đó

nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát, từ phương pháp giải

khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể, thấy được sự liên quan giữa các

bài toán với nhau.

Trong qua trình giảng dạy môn toán 7, tôi thấy phần kiến thức về : tỷ lệ thức,

tính chất dãy tỷ số bằng nhau là rất cơ bản trong chương trình đại số 7: Được vận

dụng nhiều trong chương trình phổ thông: Trong chương II khi học về đại lượng tỷ

lệ thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau là

một phương tiện quan trọng giúp ta giải các dạng bài toán, trong phân môn hình

học để học được định lý Ta Lét, tam giác đồng dạng ( toán lớp 8) thì không thể

không vận dụng tỷ lệ thức, mặt khác khi học tỷ lệ thức các em còn được rèn kỹ

năng tư duy, kỹ năng khai thác bài toán. Đặc biệt là vận dụng nhiều những bài toán

có nội dung thực tế, có những bài toán tưởng chừng phức tạp như bài toán cổ:

“ Chia Dê”. Nhưng khi áp dụng tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau mà nó trở

thành đơn giản ( sẽ đưa ra phần sau của chuyên đề)…Đó là lý do tôi chọn chuyên

đề này.

2

2

2. Nội dung của chuyên đề: chuên đề tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau

nằm trong chương trình toán 7 học kỳ I phần đại số.

II. NỘI DUNG :

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

a. Tỷ lệ thức

* Định nghĩa: Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số

* Tính chất của tỷ lệ thức: a cb d

=

Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a cb d

= suy ra a.d = b.c

Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỷ lệ thức:

a cb d

= , a bc d

= , d cb a

= , d bc a

=

Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức a cb d

= suy ra các tỷ lệ thức: a bc d

= , d cb a

= , d bc a

=

b. Tính chất của dãy tỷ lệ thức bằng nhau:

Tính chất 1:

Từ tỷ lệ thức a cb d

= suy ra các tỷ lệ thức sau: a a c a cb b d b d

+ -= =

+ - , (b ≠ ± d)

Tính chất 2: a c ib d j

= = suy ra các tỷ lệ thức sau:

a c c i a c ib b d j b d j

+ + - += =

+ + - +, (b, d, j ≠ 0)

Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta có: 3 5 7a b c

= =

Kiến thức bổ sung:

* Một số tính chất cơ bản:

* ..

a a mb b m

= Với m ¹ 0.

* . .

a c a cb d b n d n

= Û = Với n ¹ 0.

* n n

a c a cb d b d

æ ö æ ö= Þ =ç ÷ ç ÷è ø è ø

Với n Î N.

3

3

B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN:

Trong khuôn khổ chuyên đề, tôi xin đưa ra một số dạng cơ bản:

- Dạng chứng minh đẳng thức

- Dạng Toán tìm các biến trong tỷ lệ thức

- Dạng Toán về tính giá trị biểu thức

- Dạng Toán áp dụng và chứng minh bất đẳng thức

- Dạng Toán đố

DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

+) Thường thì ở dạng bài tập này, bài sẽ cho sẵn một số điều kiện nào đó

và yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức.

+) Để làm xuất hiện tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta có thể biến

đổi từ tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Với tính chất các phép toán và

tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chúng ta có thể

biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần có.

+) Có nhiều con đường để đi đến một cái đích, hãy lựa chọn phương pháp

phù hợp, hợp lí nhất trong khi chứng minh.

+) Lưu ý: Trong quá trình biến đổi chứng minh nên luôn nhìn về biểu

thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vô ích.

2. CÁC BÀI TẬP:

BÀI TẬP 1: Cho 1a cb d

= ¹ Với a, b, c, d ¹ 0.

Chứng minh rằng: a c

a b c d=

- -

Lời giải:

Cách 1.

Có: a c a bb d c d

= Þ = Þ a b a b a a bc d c d c c d

- -= = Û =

- -

Hay a c

a b c d=

- - (Đpcm).

4

4

Cách 2. Có: . .a c

a d b c ac ad ac bcb d

= Û = Þ - = -

( ) ( )a c d c a b- = -

a c

a b c d=

- - (Đpcm).

Cách 3.Có: ;a c

m a mb c mdb d

= = Þ = =

Khi đó: ( )1 1

a mb mb ma b mb b b m m

= = =- - - -

( )1 1

c md md mc d md d d m m

= = =- - - -

Do đó: a c

a b c d=

- - (Đpcm).

Cách 4.

Có: a c

a b c d=

- - ( ) ( )a c d c a bÛ - = -

ac ad ac bc- = -

. .a d b c=

a cb d

= là đẳng thức đúng nên a c

a b c d=

- - là dẳng thức thức đúng.

Cách 5. Có: 1 1a c b d b db d a c a c

= Þ = Þ - = - Û

a b c da d- -

=

Suy ra: a c

a b c d=

- -(Đpcm)

Cách 6. Có: a c

ad bcb d

= Þ =

Do đó: ( ) ( )

a ad ad bc bc ca b d a b ad bd bc bd b c d c d

= = = = =- - - - - -

5

5

Vậy: a c

a b c d=

- - (Đpcm).

Cách 7.Có: a c b db d a c

= Þ =

Khi đó: 1a b a b d c d

a a a c c- -

= - = - =

Suy ra: a c

a b c d=

- - (Đpcm).

BÀI TẬP 2: Cho a cb d

= . Chứng minh rằng: 5 3 5 35 3 5 3

a b a bc d c d

+ -=

+ -

Học sinh quan sát kĩ đầu bài sẽ phát hiện ra ngay cách làm; Có thể sử dụng

tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, nhưng phải biến đổi một chút:

Lời giải: có:

5 3 5 3 5 35 3 5 3 5 3

a c a b a b a b a bb d c d c d c d c d

+ -= Û = Þ = = =

+ -

Vậy: 5 3 5 35 3 5 3

a b a bc d c d

+ -=

+ - (Đpcm).

BÀI TẬP 3: Cho a cb d

= . Chứng minh: 2 2

2 2

a b abc d cd

+=

+.

Bài này có khó hơn một chút. Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện

được a2 và b2; Nhưng bù lại thì các em biết tạo ra abcd

từ tỉ lệ thức bài cho.

Trước hết Em hãy so sánh: . ; .a a b bc c d d

và abcd

?

Lời giải:

Có: 2 2 2 2

2 2 2 2

a c a b a b ab a bb d c d c d cd c d

+= Û = Þ = = =

+

Vậy: 2 2

2 2

a b abc d cd

+=

+ (Đpcm).

Với cách tư duy trên, dễ dàng nghĩ ngay ra con đường đi cho bài tập sau:

BÀI TẬP 4: Cho 1a cb d

= ¹ ± và c ¹ 0. Chứng minh rằng:

6

6

a) ( )( )

2

2

a b abcdc d

-=

- b)

3 3 3

3 3

a b a bc d c d

+ -æ ö =ç ÷+ -è ø

Đã có bài tập ở ví dụ 3 thì học sinh không mấy khó khăn khi làm xuất hiện

điều phải chứng minh.

Lời giải:

a) Có: a cb d

= Þ a b a bc d c d

-= =

-

Suy ra: . .a b a b a bc d c d c d

- -=

- -

Hay: ( )( )

2

2

a babcd c d

-=

- (Đpcm).

b) Có: a cb d

= Þ a b a bc d c d

+= =

+

Suy ra: 3 3 3

a b a bc c c d

+æ ö æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷ ç ÷+è ø è ø è ø

Do đó: 33 3 3 3

3 3 3 3

a b a b a bc d c d c d

- +æ ö= = = ç ÷- +è ø

Vậy: 3 3 3

3 3

a b a bc d c d

+ -æ ö =ç ÷+ -è ø (Đpcm).

BÀI TẬP 5: Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chứng minh rằng: x-y4 =

y-z5 .

Trước hết hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau .

Từ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) đưa về dãy tỉ số bằng nhau như thế nào?

Lời giải:

Có: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z)

Suy ra: 2(x-y)

30 = 5(y+z)

30 = 3(x+z)

30 Û x+y15 =

y+z6 =

x+z10

+) y+z6 =

x+z10 =

(x+z)-(y+z)10-6 =

x-y4 (1)

+) x+y15 =

x+z10 =

(x+y)-(x+z)15-10 =

y-z5 (2)

7

7

Từ (1) và (2) ta có x-y4 =

y-z5 (Đpcm).

BÀI TẬP 6: Cho 2 2

2 2

a bc d

++

= abcd với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ d.

Chứng minh rằng: ab =

cd hoặc

ab =

dc .

Đầu bài khó thật, nhưng các em sẽ phát hiện ra ngay đây là bài toán ngược

của ví dụ 3. Vậy thì phải biến đổi như thế nào? Lúc này GV đưa ra gợi ý:biến

đổi điều đã cho về hằng đẳng thức không?

Lời giải:

2 2

2 2

a bc d

++

= abcd =

2ab2cd =

a2+b2-2abc2+d2-2cd =

a2+b2+2abc2+d2+2cd

( )( )

( )( )

2 2

2 2

a b a b

c d c d

+ -=

+ - Û (

a+bc+d )2 = (

a-bc-d )2

Suy ra: a+bc+d =

a-bc-d hoặc

a+bc+d = -

a-bc-d .

+) Nếu a+bc+d =

a-bc-d thì

a+bc+d =

a-bc-d =

(a+b)+(a-b)(c+d)+(c-d) =

(a+b)-(a-b)(c+d)-(c-d)

ac =

bd Û

ab =

cd (1)

+) Nếu a+bc+d = -

a-bc-d thì

a+bc+d = -

a-bc-d =

(a+b)+(b-a)(c+d)+(c-d) =

(a+b)-(b-a)(c+d)-(c-d)

bc =

ad Û

ab =

dc (2)

Từ (1) và (2) ta có: ab =

cd hoặc

ab =

dc .

Với dạng bài tập này, các em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo ra

dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, có thể kết hợp với mối quan hệ khác mà bài cho để đi

đến điều phải chứng minh. Lưu ý học sinh khi sử dụng tính chất của dãy tỉ số

bằng nhau phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu. Có nhiều cách để chứng

minh một tỉ lệ thức nhưng cần lựa chọn cách nào phù hợp với khả năng và mức

độ nhận thức của người học sao cho đơn giản mà lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình

bày. Mặt khác, trong quá trình chứng minh phải luôn hướng về điều phải chứng

8

8

minh nhằm tránh “lạc đường”, dài dòng không cần thiết, có khi lại không tới

được đích cần đến.

Còn bây giờ là lúc các em đã tự tin làm bài tập tương tự.

* Bài tập tương tự:

Bài 1. Cho b2 = ac. Chứng minh: 2 2

2 2

a b ab c c

+=

+

Bài 2. Cho ab =

cd với a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

a) 2 3 2 32 3 2 3

a b c da b c d

- -=

+ + b) ( )

( )

2

2

a babcd c d

-=

-

c) 2 2

2 2 2 2

7 3 7 311 8 11 8

a ab c cda b c d

+ +=

- - d)

2 2 2 2

2 2 2 2

3 10 17 3 107 5 7 5a b ab c d cd

a b ab c d cd+ - + -

=+ + + +

DẠNG 2: TÌM CÁC BIẾN TRONG TỶ LỆ THỨC

1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

+) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng.

Bài thường cho 2 dữ kiện, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những mối quan

hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng có thể phải biến đổi rồi

mới sử dụng được.

+) Có thể sử dụng phương pháp ở dạng 1.

+) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc

tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lưu ý

các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm.

2. BÀI TẬP :

BÀI TẬP 1: Tìm x, y khác 0 biết:

a) xy =

34 và 2x + 5y = 10

b) 2x3y = -

13 và 2x + 3y = 7

c) 21.x = 19.y và x – y = 4

d) x3 =

y7 và x.y = 84

9

9

Bài này tương đối dễ, chỉ cần áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là

tìm được ngay đáp số của bài; Nhưng trước tiên phải biến đổi tỉ lệ thức của bài

một chút cho phù hợp với mối quan hệ còn lại.

Lời giải:

a) Có xy =

34 Û

x3 =

y4 =

2x6 =

5y20

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2x6 =

5y20 =

2x+5y6+20 =

1026 =

513

Do đó: +) x3 =

513 suy ra x =

3.513 =

1513

+) y4 =

513 suy ra y =

4.513 =

2013

Vậy: x = 1513 và y =

2013

b) Có 2x3y = -

13 Û

2x-1 =

3y3

Do đó: 2x-1 =

3y3 =

2x+3y-1+3 =

72

Hay: +) 2x-1 =

72 suy ra: 2x =

-1.72 Û x = -

74

+) 3y3 =

72 suy ra: y =

72

Vậy: x = - 74 và y =

72

c) 21.x = 19. y Û x

19 = y21

Do đó: x

19 = y21 =

x-y19-21 =

4-2 = -2

Hay: +) x19 = -2 Û x = -2.19 = -38

+) y21 = -2 Û y = -2.21 = -42

Vậy: x = - 38 và y = - 42

10

10

d) x3 =

y7 Þ x

2

9 = y

2

49 =

xy21 =

8421 = 4

Hay: +) x2

9 = 4 Û x2 = 36 Û x = ± 6

+) y2

49 = 4 Û y2 = 196 Û y = ± 14

Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14

* Cũng có em làm cách khác:

Có x3 =

y7 Û

xy =

37

mà xy = 84 ( x và y cùng dấu)

nên xy . xy =

37 . 84 Û x2 = 36 Û x = ± 6

và xy: xy = 84:

37 Û y2 = 196 Û y = ±14

BÀI TẬP 2: Tìm các số x, y, z biết: x-12 =

y+34 =

z-56 và 5z – 3x – 4y = 50

Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 5z, 3x, 4y bằng

cách nào đây? Vì x còn vướng -1, y vướng 3 và z vướng -5. Ta thực hiện như

sau:

Lời giải: Có: x-12 =

y+34 =

z-56 & 5z – 3x – 4y = 50

Û 3(x-1)

6 = 4(y+3)

16 = 5(z-5)

30 & 5z – 3x – 4y = 50

Û 3x-3

6 = 4y+12

16 = 5z-25

30 = (5z-25)-(3x-3)-(4y+12)

30-6-16 = 50-34

8 = 2

Hay: +) x-12 = 2 Û x – 1 = 4 Û x = 5

+) y+3

4 = 2 Û y + 3 = 8 Û y = 5

+) z-56 = 2 Û z – 5 = 12 Û z = 17

Vậy: x = y = 5 ; z = 17

11

11

BÀI TẬP 3: Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35

Đã có dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng nhau?

Lời giải:

Có: 2a = 3b = 4c Û 2a12 =

3b12 =

4c12 =

a6 =

b4 =

c3

Khi đó: a6 =

b4 =

c3 =

a–b+c6–4+3 =

355 = 7

Hay: +) a6 = 7 Û a = 7.6 = 42

+) b4 = 7 Û b = 7.4 = 28

+) c3 = 7 Û c = 7.3 = 21

Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21

BÀI TẬP 4: Tìm a, b biết rằng:

a) a5 =

b4 và a2 – b2 = 36

b) a3 =

b4 và ab = 48

Muốn sử dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phải qua bước

biến đổi đã: Phải làm xuất hiện được a2, b2 ở câu a và tích ab ở câu b. Làm được

điều đó thì coi như bài toán đã gần được hoàn thành.

Lời giải: a) Có: a5 =

b4 (a, b cùng dấu)

Suy ra: a2

25 = b

2

16 = a2–b2

25–16 =

369 = 4

Hay: a2

25 = 4 Û a2 = 100 Û a = ± 10

b2

16 = 4 Û b2 = 64 Û b = ± 8

Vậy: a = 10 và b = 8 hoặc a = - 10 và b = - 8.

b) Có: a3 =

b4 Suy ra: a

2

9 = b

2

16 =

ab3.4 =

4812 = 4

12

12

Hay: a2

9 = 4 Û a2 = 36 Û a = ± 6

b2

16 = 4 Û b2 = 64 Û b = ± 8

Vậy: a = 6 và b = 8 hoặc a = - 6 và b = - 8.

= 90 4545- = 1

BÀI TẬP 5: Tìm x, y biết:

a) x2 =

y4 & x4 y4 = 16

b) y2–x2

3 = x

2+y2

5 & x10 y10 = 1024

Bài này khó đây, số mũ to, có 2 số chưa biết mà chỉ có 1 mối quan hệ.

Làm bằng cách nào, làm như thế nào?

? Đưa về bài toán đã biết cách làm có được không?

Lời giải:

a)

Từ x2 =

y4 suy ra: x

2

4 = y

2

16 =

xy8 và x, y cùng dấu (1)

Với x4 y4 = 16 Û xy = ± 2 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: x2

4 = y

2

16 =

xy8 =

28 =

14

Hay: +) x2

4 =

14 Û x2 = 1 Û x = ± 1

+) y2

16 =

14 Û y2 = 4 Û y = ± 2

Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2

b) Có sử dụng được cách làm như ở câu a không? Tại sao lại không thử xem?

Chú ý đến dấu của x, y vì rất dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm.

Có: y2–x2

3 = x

2+y2

5 =

(x2+y2)+(y2–x2)5+3 =

(x2+y2)–(y2–x2)5–3

13

13

Û 2y2

8 = 2x2

2 Û y

2

4 = x2 Ûx = ±

y2

Khi đó: x10y10 = (± y2)10.y10 = 1024 Û y20 = 210.1024

Û y20 = 220Ûy = ± 2

Do đó: x = ± 1

Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = –1 và y = –2

hoặc x = 1 và y = –2 hoặc x = –1 và y = 2

Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn thận

thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nhưng rất cần đến

khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đưa bài toán

về dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1.

Bài tập tương tự:

Bài 1. Tìm các số a, b, c, d biết:

a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 và a – b + c – d

b) 2a = 3b ; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30

c) 3a = 4b & b – a = 5

Bài 2: Tìm a, b, c, d biết:

a) a3 =

b5 =

c7 =

d9 & a + b + c + d = 12.

b) a3 =

b4 =

c5 & a – 2b + 3c = 35.

Bài 3: Tìm x, y, z biết:

a) 2 3x y

= và xy = 54

b) 5 3x y

= ; x2 – y2 = 4 với x, y > 0

c) 2 3x y

= ; 5 7y z

= và x + y + z = 92

d) 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95

DẠNG 3: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

14

14

+) Đây là loại bài tập khó, đòi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức

và kĩ năng cũng như biết tổng hợp tri thức phương pháp đã học. Khả năng quan

sát và dự đoán được sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với sự suy luận logic,

sáng tạo...

+) Làm dạng bài tập này, học sinh rất cần đến sự xúc tác của giáo viên

mỗi khi các em gặp bế tắc. Những lúc đó thì giáo viên chỉ cần gợi mở hướng đi

cho học sinh bằng những câu hỏi mở...

2. BÀI TẬP:

BÀI TẬP 1: Cho x, y, z thoả mãn: 2 5 7x y z

= = với x, y, z khác 0.

Tính: P = 2

x y zx y z

- ++ -

Bài này tương đối khó khi thoạt nhìn, vì học sinh chẳng biết làm thế nào

để tính được P đây? Cứ bình tĩnh quan sát đặc điểm của biểu thức P để tìm mối

liên hệ giữa P và dãy tỉ số bằng nhau đã cho thì các em không chỉ tìm được một

cách làm.

* Đặt 2 5 7x y z

= = = k (k khác 0) thì x = 2k , y = 5k , z = 7k

Khi đó: P = 2 5 7 4 42 10 7 5 5

k k k kk k k k

- += =

+ -

Vậy: P = 45

* Hoặc cách khác:

Ta có: 2 5 7 2 5 7 4x y z x y z x y z- + - +

= = = =- +

suy ra x – y + z = 2x

Lại có: 2 2 22 10 7 2 10 7 5x y z x y z x y z+ - + -

= = = =+ -

suy ra x + 2y – z = 52x

Do đó: P = 2 4 45 5 52

x xx x

= =

Vậy: P = 45

BÀI TẬP 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau ab c+

; bc a+

; ca b+

.

15

15

Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.

Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án:

ab c+

= bc a+

= ca b+

= ( ) ( ) ( )

a b cb c c a a b

+ ++ + + + +

= 12

Và kết luận: Giá trị của mỗi tỉ số đã cho là 12

.

Nhưng chỉ có thế thì lời giải bài toán chưa được hoàn thiện. Mà phải trình bày

được như sau:

Có: ab c+

= bc a+

= ca b+

= ( ) ( ) ( ) 2( )

a b c a b cb c c a a b a b c

+ + + +=

+ + + + + + + (*)

+) Nếu a + b +c ≠ 0 thì ab c+

= bc a+

= ca b+

= ( ) ( ) ( )

a b cb c c a a b

+ ++ + + + +

= 12

+) Nếu a + b +c = 0 thì b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c.

Khi đó: ab c+

= 1aa

= --

; 1b b

c a b= = -

+ - ; 1

c ca b c

= = -+ -

Hoặc: ab c+

= bc a+

= ca b+

= 1cc

= --

Vậy: +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì ab c+

= bc a+

= ca b+

= 12

+) Nếu a + b +c = 0 thì ab c+

= bc a+

= ca b+

= 1-

BÀI TẬP 3: Cho biểu thức: P = x y y z z t t xz t t x x y y z+ + + +

+ + ++ + + +

Tìm giá trị của biểu thức P biết: x y z ty z t z t x t x y x y z

= = =+ + + + + + + +

(*)

Chỉ cần nhìn đầu bài thôi đã thấy sợ rồi. Làm thế nào để tính được giá trị

của biểu thức P? Có thể thấy dãy tỉ số bằng nhau (*) khá quen thuộc, nhưng P

thì không.

Liệu có thể sử dụng các cách đã làm không? Sử lí (*) như thế nào đây?

Lời giải:

Có: 1 1 1 1x y z t

y z t z t x t x y x y z+ = + = + = +

+ + + + + + + +

Hay: x y z t x y z t x y z t x y z ty z t z t x t x y x y z+ + + + + + + + + + + +

= = =+ + + + + + + +

16

16

+) Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z

Û x = y = z = t khi đó: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4

+) Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t)

Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4

Vậy: +) P = 4 khi x + y + z + t ≠ 0

+) P = – 4 khi x + y + z + t = 0

Dạng bài tập này gây tương đối nhiều khó khăn cho học sinh bởi sự suy

luận logic và tính phức tạp của nó. Nhưng với vai trò gợi mở của giáo viên thì

học sinh có được cảm giác của người khám phá ra điều thú vị, cảm xúc của

người chiến thắng. Điều đó chính là động lực kích thích các em, gây hứng khởi

cho các em tiếp tục chinh phục những bài tiếp theo.

Bài tập tương tự:

Bài 1. Cho A = 2 32 3

x y zx y z

+ -- +

. Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3.

Bài 2. Cho các số A, B, C tỉ lệ với a, b, c.

Tính giá trị biểu thức : Q = Ax By Cax by c

+ ++ +

Bài 3. Cho 4 tỉ số bằng nhau:

a b cd

+ + ; b c da

+ + ; c d ab

+ + ; d a bc

+ +

Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên.

DẠNG 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1. CÁC TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Nếu b > 0; d > 0 thì từ a c a a c cb d b b d d

+< Þ < <

+

Tính chất 2: Cho a; b; c là các số dương:

a. Nếu 1ab

< thì a a cb b c

+<

+

b. Nếu 1ab

> thì a a cb b c

+>

+

2. BÀI TOÁN

17

17

BÀI TOÁN 1: Cho 2 số hữu tỷ ab

và cd

với b> 0; d >0.

CM: a cad bc

b d< Û <

Giải:

+ Có db cdbd db

0; 0

a cad bcb d

b d

ü< ï Þ < Þ <ýï> > þ

+ Có: ad bc0; 0 bd db

ad bc a cb d b d

< üÞ < Þ <ý> > þ

BÀI TOÁN 2:

Giải:

+ (1)0; 0

a cad bcb d

b d

ü< ï Þ <ýï> > þ

thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:

( ) ( ) ( )2

ad ab bc ab

a a ca b d c b d

b b d

Þ + < ++

+ < + Þ <+

+ Thêm vào hai vế của (1) dc ta có:

( )

( ) ( )

( )

1

3

ad dc bc dc

d a c c b d

a c cb d d

Þ + < +

Þ + < +

+Þ <

+

+ Từ (2) và (3) ta có:

Từ a c a a c cb d b b d d

+< Þ < <

+(đpcm)

BÀI TOÁN 3: Cho a; b; c; d > 0.

CMR: 1 2a b c d

a b c b c d c d a d a b< + + + <

+ + + + + + + +

Giải:

+ Từ 1a

a b c<

+ + theo tính chất (3) ta có:

( )1a d a

a b c d a b c+

>+ + + + +

(do d>0)

18

18

Mặt khác: ( )2a a

a b c a b c d>

+ + + + +

+ Từ (1) và (2) ta có: ( )3a a a d

a b c d a b c a b c d+

< <+ + + + + + + +

Tương tự ta có:

( )4b b b a

a b c d b c d a b c d+

< <+ + + + + + + +

( )5c c c b

a b c d c d a c d a b+

< <+ + + + + + + +

( )6d+a+b+c

d d d cd a b a b c d

+< <

+ + + + +

Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:

1 2a b c d

a b c b c d c d a d a b< + + + <

+ + + + + + + +(đpcm)

BÀI TOÁN 4: Cho a cb d

< và ; 0b d > CMR: 2 2

a ab cd cb b d d

+< <

+

Giải:

Ta có a cb d

< và ; 0b d > nên 2 2

. .

. d.da b c d ab cdb b b d

< Þ <

Theo tính chất (2) ta có: 2 2 2 2 2 2

ab ab cd cd a ab cd cb b d d b b d d

+ +< < Þ < <

+ +(đpcm)

DẠNG 5: TOÁN ĐỐ

1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

+) Loại bài tập này đầu bài được cho dưới dạng lời văn, sẽ khó khăn khi

các em chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính toán.

+) Khi thể hiện đầu bài bằng bểu thức đại số được rồi thì việc tìm ra đáp

án cho bài toán là đơn giản vì các em đã làm thành thạo từ các dạng trước,

nhưng đa số học sinh quên không trả lời cho bài toán theo ngôn ngữ lời văn

của đầu bài. Phải luôn nhớ rằng: Bài hỏi gì thì ta kết luận đấy!

+) Lưu ý: Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu chưa biết thì học sinh phải

đặt điều kiện và đơn vị cho kí hiệu đó - dựa vào đại lượng cần đặt kí hiệu. Và

kết quả tìm được của kí hiệu đó phải được đối chiếu với điều kiện ban đầu

1

1

xem có thoả mãn hay không. Nếu không thoả mãn thì ta loại đi, nếu có thoả

mãn thì ta trả lời cho bài toán

2. BÀI TẬP :

BÀI TẬP 1: Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ

số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.

Đọc đầu bài thì các em thấy ngắn, đơn giản, nhưng khi bắt tay vào tìm

lời giải cho bài toán thì các em mới thấy sự phức tạp và khó khăn. Vì để tìm

được đáp án cho bài toán này thì phải sử dụng linh hoạt kiến thức một cách

hợp lí, lập luận logic từ những dữ kiện đầu bài cho và mối quan hệ giữa các

yếu tố đó để tìm ra đáp án cho bài toán.

Lời giải:

* Gọi 3 chữ số của số cần tìm là: a, b, c (đ/k: a, b, c ÎN; 0 £ a, b, c £ 9 và a, b,

c không đồng thời bằng 0)

Ta có 1 £ a+b+c£ 27.

Vì số cần tìm M18 = 2.9 mà (2;9)=1

Nên a+b+c có thể bằng 9; 18; 27 (1).

Ta có: 1a =

2b =

3c =

1 2 3a b c+ +

+ + ® a =

6a b c+ +

Vì aÎN* nên a + b + c M 6 (2).

Từ (1) và (2) suy ra: a + b + c = 18

Khi đó: 1a =

2b =

3c =

1 2 3a b c+ +

+ += 18

6 = 3

+) 1a = 3 ® a = 3.1 = 3

+) 2b = 3 ® b = 3.2 = 6

+) 3c = 3 ® c = 3.3 = 9

Mà số cần tìm M18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số 6 .

Vậy: số cần tìm là : 396 hoặc 936 .

2

2

BÀI TẬP 2:

Một cửa hàng có 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi 12

tấm

vải thứ nhất, 23

tấm vải thứ hai và 34

tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm

bằng nhau. Hãy tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu .

Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu. Chỉ cần học sinh biểu diễn được số vải còn lại

ở mỗi tấm sau khi bán thì bài toán trở nên đơn giản và rất dễ dàng.

Lời giải:

Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a, b, c (m)(a ,b, c > 0)

Số mét vải còn lại ở tấm thứ nhất: 12

a (m)

Số mét vải còn lại ở tấm thứ hai: 23

b (m)

Số mét vải còn lại ở tấm thứ ba: 34

c (m)

Theo đề bài, ta có: a + b + c = 126 và 12

a = 13

b = 14

c .

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có

2a =

3b =

4c =

2 3 4a b c+ +

+ +=126

9=14

+) 2a =14 ® a = 14.3 = 28

+)3b =14 ® b = 14.3 = 42

+)4c =14 ® c = 14.4 = 56

Vậy: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m.

BÀI TẬP 3:

Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ

nhất sang tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước

khi chuyển thì mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?

Bài này khá phức tạp ở chỗ: số lượng sách trong mỗi tủ trước và sau khi

chuyển.

3

3

Lời giải:

* Gọi số quyển sách của tủ 1, tủ 2, tủ 3 lúc đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c *NÎ

và a, b, c < 2250). Thì sau khi chuyển ,ta có:

Tủ 1: a –100 (quyển)

Tủ 2: b (quyển)

Tủ 3: c + 100 (quyển)

Theo đề bài ta có : 10016

a - =15b = 100

14c + và a + b + c = 2250.

®100

16a - =

15b = 100

14c + = 100 100

16 15 14a b c- + + +

+ += 2250

45=50

+) 10016

a - =50 ® a –100 = 50.16 Û a = 800 + 100 = 900 (t/m)

+) 15b =50 ® b = 50.15 = 750 (t/m)

+) 10014

c + =50 ® c + 100 = 50.14 Û c = 700 – 100 = 600 (t/m)

Vậy: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách

Tủ 2 có : 750 quyển sách

Tủ 3 có : 600 quyển sách.

BÀI TẬP 4:

Cho tam giác ABC có Â và B tỉ lệ với 3 và 15, C = 4 A . Tính các góc của

tam giác ABC.

Đây là bài toán có nội dung hình học nhưng lại được giải bằng phương

pháp đại số, thật đơn giản khi nhớ được dữ kiện cho dưới dạng ẩn là tổng các

góc trong một tam giác bằng 1800

Lời giải: * Theo bài ta có ˆ

3A =

ˆ

15B và

ˆ

4C =

ˆ

1A

Hay : ˆ

3A =

ˆ

15B =

ˆ

12C mà Â + B + C = 0180 (Tổng 3 góc trong một tam giác)

Nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4

4

ˆ

3A =

ˆ

15B =

ˆ

12C =

ˆ ˆˆ

3 15 12A B C+ ++ +

=0180

30= 06

+) ˆ

3A = 06 ® Â = 06 .3 = 018

+) ˆ

15B = 06 ® B = 06 .15 = 090

+) ˆ

12C = 06 ® C = 06 .12 = 072

Vậy các góc của tam giác ABC là : Â = 018 , B = 090 , C = 072 .

BÀI TẬP 5:

Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m2, có hai cạnh tỉ lệ với 4

và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

Quá dễ khi bài toán này được viết dưới dạng biểu thức. Nhưng để lập được

biểu thức thể hiện mối quan hệ theo đầu bài thì lại là cả một quá trình không

đơn giản chút nào.

Với lượng kiến thức và vốn hiểu biết còn hạn chế của học sinh mới bước

vào lớp 7 thì giáo viên cần tỉ mỉ dẫn dắt các em từng bước nhỏ để làm xuất

hiện kiến thức quen thuộc mà các em đã biết.

(?) Bài toán yêu cầu tìm những yếu tố nào?

* Chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

(?) Em hãy gọi những yếu tố chưa biết ấy bằng kí hiệu?

* Gọi chiều dài khu vườn là x và chiều rộng khu vườn là y.

(?) Đơn vị và điều kiện của x, y là gì ?

* x (m) & y (m) (x > y > 0)

(?) Theo đề bài: Hãy biểu diễn diện tích của vườn theo x, y và hai cạnh tỉ lệ với

4 & 3 được viết như thế nào ?

* x.y=300 ; 4x =

3y

5

5

Rất nhiều học sinh không để ý đến sự tương ứng giữa x & y với 4 & 3 nên có

tỉ lệ thức: 3x =

4y . Giáo viên cần lưu ý đến điều đó!

(?) Tìm x,y.

Đến đây đã trở thành bài toán quen thuộc đối với các em, dễ dàng tìm ra kết

quả: x = 20(m) (t/m)

y = 15(m) (t/m)

Vậy: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó là 20m và 15m.

BÀI TẬP 6: Một ô tô đi từ A®B mỗi giờ đi đươc 60,9 km. Hai giờ sau, một ô

tô thứ hai cũng đi từ A®B với vận tốc 40,6 km. Hỏi ô tô thứ nhất đi từ A ®B

mất mấy giờ. Biết rằng xe ô tô thứ hai đến muộn hơn ô tô thứ nhất là 7 giờ.

Với bài toán này, học sinh phải nhớ được mối quan hệ giữa ba đại lượng

trong chuyển động: Quãng đường = Vận tốc.Thời gian

Nhưng nhớ được công thức rồi mà đầu bài cho rắc rối quá. Giáo viên

giúp học sinh nhận ra mối quan hệ về thời gian đi từ A®B của hai xe ô tô.

Lời giải:

* Gọi thời gian ô tô thứ 1 đi từ A®B là : x (h) (Đ/k x>0)

ô tô thứ 2 xuất phát sau 2h nhưng lại tới B muộn hơn 7h nên thời gian ô tô thứ

2 đi từ A®B là : x – 2 + 7 = x + 5 (h)

Vì cùng là quãng đường đi từ A®B nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5)

Û 40,6

x = 560,9x +

® 40,6

x = 560,9x + = 5

60,9 40,6x x+ -

-= 5

20,3= 50

203

Û 40,6

x = 50203

® x = 50203

.40,6 = 50203

. 40610

= 10 (t/m)

Vậy ô tô thứ nhất đi từ A ®B mất 10 giờ.

6

6

BÀI TẬP 7: Một bài toán cổ có tên “chia dê” đã làm đau đầu không ít người

muốn tìm ra đáp số, nhưng với tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì bài toán trở nên

đơn giản.

Một người dân Arập sinh được 3 người con trai, lúc lâm chung người cha

nói rằng : “sau khi ta mất đi, còn lại 17 con dê, cha dành 12

cho con cả, 13

cho

con thứ và 19

cho con út. Các con chia thế nào mà các con đê đều là dê sống,

không được bán dê để chia tiền, cũng không được giết thịt để chia thịt.”

Sau khi người cha qua đời, các con tìm hết cách cũng không làm theo

được lời trăn trối của cha.

Em hãy giúp các người con của ông cụ.

Dễ thôi, chỉ cần giải quyết một vấn đề: Làm thế nào để chia được 17 con

dê cho 3 anh em họ mà số con dê chia được phải còn nguyên vẹn, trong khi

12

của 17, 13

của 17 và 19

của 17 đều không phải là số tự nhiên?

Với tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta giải quyết như sau:

Lời giải: Gọi số con dê mà 3 anh em họ được chia lần lượt là: a, b, c (con)

(a, b, c Î N* và a, b, c < 17)

Khi đó, theo bài ra ta có: 1 1 12 3 9

a b c= = và a + b + c = 17

Suy ra: 1718

1 1 1 1 1 1 172 3 9 2 3 9 18

a b c a b c+ += = = = =

+ +

+) 118 18. 9

1 22

aa= Þ = = (t/m)

+) 118 18. 6

1 33

bb= Þ = = (t/m)

+) 118 18. 2

1 99

cc= Þ = = (t/m)

7

7

Như vậy: Số con dê được chia đúng như lời trăn trối của ông cụ: Con cả

được 12

số dê là 9 con; Con thứ được 13

số dê là 6 con và con út được 19

số dê là

2 con.

Ngày đó, 3 anh em nhà nọ không chia được số dê theo lời cha, nhưng có

một cụ già láng giềng biết chuyện đã cười và cho họ mượn 1 con dê.

Tất cả có 18 con, anh cả được 12

.18 = 9 con, anh hai được 13

.18 = 6 con,

em út được 19

.18 = 2 con, còn thừa 1 con đem trả lại cụ già đã cho mượn.

Đây là dạng bài tập khó đối với học sinh, không chỉ học sinh trung bình

mà cả đối với học sinh khá-giỏi, khó ở công đoạn chuyển bài toán lời văn về

dạng biểu thức. Giáo viên cần dẫn dắt các em thật tỉ mỉ từng bước, từ phân

tích đầu bài để tìm ra yếu tố bài cho, yếu tố chưa biết, yếu tố cần tìm và mối

quan hệ giữa chúng, kể cả những mối quan hệ đã biết dưới dạng ẩn(Ví dụ

như: quãng đường = vận tốc.thời gian hoặc tổng các góc trong một tam giác

bằng 1800...), rồi đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện và đơn vị ra sao... Đặc

biệt là khi kết luận cho bài phải chính xác theo yêu cầu.

Bài tập tương tự

Bài 1: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích

300m2. Trong đó: Lớp 7A nhận 15% diện tích, 7B nhận 15

diện tích còn lại. Sau

khi 2 lớp 7A và 7B nhận thì phần còn lại được chia cho 3 lớp 7C, 7D, 7E theo tỉ

lệ 12

; 14

; 516

. Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.

Bài 2: Số học sinh 3 khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8. Tính số học sinh mỗi khối,

biết rằng số học sinh khối 8 ít hơn số học sinh khối 6 là 50 học sinh.

III. TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1. Kiến thức cơ bản và nâng cao toán 7. NXB HN

2. Cơ bản và nâng cao toán 7. NXB GD

3. Những bài toán cơ bản và nâng cao chọn lọc 7. NXB ĐHSP

4. Nâng cao và phát triển toán 7. NXB GD

8

8

5. Toán nâng cao đại số 7. NXB GD

6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề NXB GD

7. Ôn kiến thức-luyện kĩ năng đại số 7. NXB GD

8. Một số sách báo tham khảo khácnhư: Internet.

Mặc dù đã cố gắng khi phân chia kiến thức và trình bày chuyên đề này

nhưng trong quá trình thực hiện không tránh khỏi sai xót, nhầm lẫn hoặc chưa

khoa học nên Tôi rất mong nhận được những lời động viên, ý kiến đóng góp quí

báu từ chuyên môn phòng giáo dục, BGH cùng các đồng chí GV trong tổ để

chuyên đề này có thể hoàn thiện hơn nữa về cả nội dung và hình thức, cũng như

mang lại hiệu quả hơn khi thực hiện chuyên đề này !

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Người viết

Đinh Thị Hậu