CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ –...

DAÏNG 1. PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN Phương trình mũ cơ bản có dạng: xa m= , trong ñó a 0, a 1> ≠ và m là số ñã cho.

● Nếu m 0≤ , thì phương trình xa m= vô nghiệm.

● Nếu m 0> , thì phương trình xa m= có nghiệm duy nhất ax log m.=

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) x 1 x x 15 6.5 3.5 52+ −+ − =

2) x 1 x 2 x 3 x x 1 x 23 3 3 9.5 5 5+ + + + ++ + = + +

3) x x 13 .2 72+ =

4) 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = +

5) 2x 1 x 1 x x 15.3 7.3 1 6.3 9− − +− + − +


1) ( )3log x x 2 1+ =

2) ( ) ( )22 2log x 3 log 6x 10 1 0− − − + =

3) ( ) ( )log x 15 log 2x 5 2+ + − =

4) ( )x 12log 2 5 x+ − =

Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau:

1) x 1 x 23 2.3 25+ −− = 2) ( ) ( )2 2

x 1log log x 1 x 4 2

x 4

− + − + =+

3) x 1 x 2 x x 23.2 2.5 5 2+ − −+ = + 4) 2 xxlog 16 log 7 2− =

5) x 3x 1

4 7 160

7 4 49

− − =

6) ( ) ( )28 8

42log 2x log x 2x 1

3+ − + =

7) 2log x 1 log x log x 24 6 2.3+ +− = 8) x 1 x 2 x 2 x 11 1

2.5 .4 .5 45 4

+ + + +− − =

9) ( ) ( )5 33log x 2 log x 2 log x 2− = − 10) x 5 x 73 2 5 2 32− −− =

11) ( ) ( )x x 2 x 1 x 1 x 13 10 6 4.10 5 10 6+ + − −− + = −

CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT

DAÏNG 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ

Phương pháp ñưa về cùng cơ số

Sử dụng công thức:

● a aα β α β= ⇔ = .

● ( )

a a

b 0 clog b log c

b c

>= ⇔ =

hoÆc > 0


1) 2x 1 x 1 x5 7 175 35 0+ ++ − − = 3) x 3 2 x 3 42 x 1 2 x 1x .2 2 .2 2x− + − ++ −+ = +

2) x x 2 x 1 x 11 13.4 .9 6.4 .9

3 2+ + ++ = − 4) ( )22 2 x 1x x 1 x4 2 2 1++ −+ = +


1) x x x

16 64

log 2.log 2 log 2=

2) 25x 5

5log log x 1

x+ =

3) 2 3 4 20log x log x log x log x+ + =

4) ( )( )

( )2 2

x 3

1log 3x 1 2 log x 1

log 2+

− + = + +

5)5)5)5) ( )229 33

1 x 1log x 5x 6 log log x 3

2 2

−− + = + −

6) ( ) ( )2 22 2 2log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3+ + + + + = +

Bài 3. Giải phương trình sau: ( ) ( ) ( )8

4 22

1 1log x 3 log x 1 log 4x

2 4+ + − =


1) 2 3x

3x x x 319 27 . 81

3

−+ =

6) ( ) ( )2

5 5log 6 4x x 2log x 4− − = +

2) x x 1 x 2 x 13.13 13 2 5.2+ + ++ − = 7) ( ) 512log x 1 log x log x

2− = −

3) ( ) ( )4 2 2 4log log x log log x 2+ = 8) ( )29 3 32log x log x.log 2x 1 1= + −

4) ( )25 5

x 1log x 2x 3 log

x 3

−+ − =+

9) ( ) ( )224 4 4log x 1 log x 1 log x 2− − − = −

5) ( ) ( )2 34 82

log x 1 2 log 4 x log 4 x+ + = − + +

DAÏNG 3. ÑÖA VEÀ DAÏNG TÍCH A.B = 0

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + =

HD: ( ) ( )2 2 2x x x x 2x x x 2x2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0+ − −− − + = ⇔ − − =

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến ñổi ñể ñặt ñược ẩn phụ do ñó ta phải phân

tích thành ( ) ( )2 22 1 . 2 4x x x− − − . ðây là phương trình tích ñã biết cách giải.


1) x x x8.3 3.2 24 6+ = +

2) 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + =

3) x x x 112.3 3.15 5 20++ − =

Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( )2

9 3 32 log x log x.log 2x 1 1= + − .

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến ñổi phương trình thành tích

( )3 3 3log 2log 2 1 1 .log 0x x x − + − =

. ðây là phương trình tích ñã biết cách giải.

Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến ñổi ñể ñặt ẩn phụ

ñược thì ta biến ñổi thành tích.

Bài 2. Giải phương trình: 2 7 2 7log x 2.log x 2 log x.log x+ = + .

DAÏNG 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ Sử dụng công thức về hàm số mũ và lôgarit ñể biến ñổi bài toán, sau ñó ñặt ẩn số phụ, quy phương trình ñã cho về các phương trình ñại số (phương trình chứa hoặc không chứa căn thức). Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải ti ếp các phương trình mũ hoặc lôgarit cơ bản A - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 1.

PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

● Phương trình kx (k 1)x (k 2)x xk k 1 k 2 1 0a a a ... a 0α α α α α− −

− −+ + + + + = , khi ñó ta ñặt x ,a 0t t= > .

● Phương trình x x1 2 3a b 0α α α+ + = , với a.b 1= . Khi ñó ñặt x x 1

t a , t 0 bt

= > ⇒ = , ta ñược

phương trình: 21 3 2t t 0α α α+ + = .

● Phương trình 2x x 2x1 2 3a (ab) b 0α α α+ + = . Chia hai vế cho 2xa hoặc 2xb ta ñược

2x x

1 2 3

a a0

b bα α α + + =

, ñặt x

at , t 0

b = >

.


1) 2 2x x 2 x 1 x 24 5.2 6 0+ − − + −− − =

2) 3 2cos x 1 cosx4 7.4 2 0+ +− − =

3) ( ) ( ) ( )x x x

26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1+ + + − − =


1) ( ) ( )x x

2 3 2 3 14− + + = 3) 3x x3x x 1

8 12 6 2 1

2 2 − − − − =

2) 3 x 1 5 3x5.2 3.2 7 0− −− + = 4) x x x27 12 2.8+ =

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

● Nếu ñặt ( )at log x, x 0= > thì k ka x

1log x t ; log a , 0 x 1.

t= = < ≠ .

● Nếu ñặt blog xt a= thì blog at x= . Vì b blog c log aa c= .


1) ( ) ( )x 1 x2 2log 4 4 .log 4 1 3+ + + = 4) x 3 3x

1log 3 log x log 3 log x

2+ = + +

2) ( ) ( )4 2 2 4log log x log log x 2+ = 5) ( )2 x 1log x 1 log 16++ =

3) ( ) 2x 25log 125x .log x 1= 6) ( )3 9x

3

42 log x log 3 1

1 log x− − =

−


1) ( )x xlog 6.5 25.20 x log 25+ = + 3) 82

4 16

log 4xlog x

log 2x log 8x=

2) 2 22 xlog x.log (4x ) 12= 4) ( )2 3

log x log x 2= +

B - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 2.


Phương pháp: Ý tưởng là sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một

phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ só vẫn còn chứa ẩn x. Khi ñó thường ta ñược

một phương trình bậc 2 theo ẩn phụ có biệt số ∆ là một số chính phương.

Ví dụ : Giải phương trình: ( )x x9 2 x 2 3 2x 5 0+ − + − = .

HD: ðặt ( )xt 3 *= , khi ñó ta có: ( )2t 2 x 2 t 2x 5 0 t 1, t 5 2x+ − + − = ⇒ = − = − .

Thay vào (*) ta tìm ñược x.

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.

Bài 1. Giải phương trình: ( )2 2x 2 x 29 x 3 3 2x 2 0+ − − + =

Bài 2. Giải phương trình: 2x 3x 1 x 34 2 2 16 0+ ++ + − =


Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )23 3log x 1 x 5 log x 1 2x 6 0+ + − + − + =

HD: ðặt ( )3t log x 1= + , ta có: ( )2t x 5 t 2x 6 0 t 2, t 3 x+ − − + = ⇒ = = − . Suy ra

x 8, x 2.= =

Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2lg x 1 x 5 lg x 1 5x 0+ + − + − =


1) ( )22 2lg x lgxlog 4x 2log x 0− + =

2) 4 3 2lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0+ − − − =

C - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 3.


Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệ ñơn giản.

Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2x 1 1 x (x 1)4 2 2 1+ − ++ = +

Bài 2. Giải phương trình: 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = +


Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức logarit trong phương trình và khéo léo biến ñổi phương

trình thành phương trình tích.

Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 2 2log x x 1 log xlog x x 2 0− + − − =

Bài 2. Giải phương trình: 22 2 3 2 3log x log x log x log xlog x 0− + − =

Bài 3. Giải phương trình: ( ) ( )2 2log x log x22 2 x 2 2 1 x+ + − = +

D - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4. ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.


Ví dụ : Giải phương trình: x

x 1 x x 1 1 x

8 2 18

2 1 2 2 2 2 2− − −+ =+ + + +

HD: Viết phương trình dưới dạng x 1 1 x x 1 1 x

8 1 18

2 1 2 2 2 2 2− − − −+ =+ + + +

, ñặt

x 1 1 xu 2 1, v 2 1; u, v 0− −= + = + > .

Nhận xét: . .u v u v= + Từ ñó ta có hệ: 8 1 18

.u v u vu v u v

+ =+

= +

Bài 1. Giải phương trình: 2x x2 2 6 6− + =


Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 2log x x 1 3log x x 1 2− − + + − =

Bài 2. Giải phương trình: 3 2 lgx 1 lgx 1− = − −

Bài 3. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 23 log x 4x 5 2 5 log x 4x 5 6+ − + + − − + =

E - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 5.


Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một hệ phương trình với một ẩn phụ và

một ẩn x. Ta thực hiện các bước:

+ ðặt ñiều kiện có nghĩa cho phương trình.

+ Biến ñổi phương trình về dạng: f(x; φ (x)) = 0.

+ ðặt y = φ (x) ñưa về hệ: ( )

( ; ) 0

y x

f x y

φ= =

.

Chú ý: ðối với phương trình logarít có một dạng rất ñặc biệt, ñó là phương trình dạng . ( )ax b

ss c log dx e xα β+ = + + + . Với ;d ac e bcα β= + = + .

Cách giải:

- ðiều kiện có nghĩa của phương trình: 0 1

0

s

dx e

< ≠ + ≠

- ðặt ( )say b log dx e+ = + khi ñó phương trình ñã cho trở thành:

( ) ( ) (1)

( ) (2)

ax b ax b ax b

ay b ay bs

s c ay b x s acy x bc s acy d ac x e

ay b log dx e s dx e s dx e

α β α β+ + +

+ +

= + + + = + + + = + − +⇔ ⇔ + = + = + = +

- Lấy (1) trừ cho (2) ta ñược: ax b ay bs acx s acy+ ++ = + (3).

- Xét hàm số ( ) at bf x s act+= + là hàm số dơn ñiệu trên R. Từ (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y,

khi ñó (2) ax bs dx e+⇔ = + (4) dùng phương pháp hàm số ñể xác ñịnh nghiệm phương trình (4).

Ví dụ: Giải phương trình: ( )x 177 6log 6x 5 1− = − +

HD: ðặt ( )7y 1 log 6x 5− = − . Khi ñó chuyển thành hệ

( )( )

x 1 x 1x 1 y 1

y 17

7 6 y 1 1 7 6y 5 7 6x 7 6y

y 1 log 6x 5 7 6x 5

− −− −

−

= − + = − ⇔ ⇒ + = + − = − = −

.

Xét hàm số ( ) t 1f t 7 6t−= + suy ra x y= , Khi ñó x 17 6x 5 0− − + = .

Xét hàm số ( ) x 1g x 7 6x 5−= − + . Nhẩm nghiệm ta ñược 2 nghiệm: x 1, x 2.= =


1) 22 2log x log x 1 1+ + = 3) 2

2 2 23log x 1 4log x 13log x 5+ = + −

2) 2lgx 1 lg x 4lgx 5+ = + + 4) 22 2 23log x 1 4log x 13log x 5+ = − + −


1) 2lgx 1 lg x 4lgx 5+ = + + 3) ( )x66 3log 5x 1 2x 1= − + +

2) 3 32 3log x 2 3 3log x 2+ = − 4) 3 3x 1 3 2x 1+ = −


1) x x9 10.3 9 0− + = 16) ( ) ( )cosx cosx 57 4 3 7 4 3

2+ + − =

2) 2 2x x4 6.2 8 0− + = 17) ( ) ( )x x

x2 3 2 3 2+ + − =

3) 2 2 2x x x15.25 34.15 15.9 0− + = 18) ( ) ( )x x

4 15 4 15 8− + + =

4) ( ) ( )x x

2 3 2 3 4+ + − = 19) ( ) ( )x xx7 3 5 7 3 5 14.2+ + − =

5) x 1 x 25 5.0,2 26− −+ = 20) x 3log 3x .log x 1 0+ =

6) x x x25 12.2 6,25.0,16 0− − = 21) 82

4 16

log 4xlog x

log 2x log 8x=

7) 1 3

3x x64 2 12 0

+− + = 22) ( )x 2 51 2log 5 log x 2++ = +

8) x x 1 x x4 4 3.2+ +− = 23) ( ) ( )3log log x log log x 2 0+ − =

9) x x9 8.3 7 0− + = 24) ( ) ( )x x 13log 3 1 .log 3 3 6+− − =

10) 2x 1 x 11.4 21 13.4

2− −+ = 25) ( )x

2log 9 2 3 x− = −

11) 1 1 1x x x6.9 13.6 6.4 0− + = 26) 3 x

5log x log 3

2+ =

12) 3 3 3x x x25 9 15 0− + = 27) 82 3log xlog x2x 2x 5 0−+ − =

13) 2 2sin x cos x9 9 10+ = 28) 2 2log x log 55 2.x 15+ =

14) 2 2sin x cos x2 5.2 7+ = 29) ( )2

25 5log 5x 1 log 77 x 0− − =

15) 2cos2x cos x4 4 3+ = 30) log x log525 5 4.x= +

F - Một số bài toán (ñặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải ñưa về phương trình – hệ

phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.

●Dạng 1. Khác cơ số

Ví dụ: Giải phương trình: 7 3log x log ( x 2)= + .

ðặt t7t log x x 7= ⇒ = .

Phương trình trở thành ( )t t

t t t3

7 1t log 7 2 3 7 2 1 2.

3 3

= + ⇔ = + ⇔ = +

●Dạng 2. Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp

Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( )4

2 2

6 5log x 2x 2 2log x 2x 3− − = − − .

ðặt 2t x 2x 3= − − , ta có ( )6 5log t 1 log t+ = .

Ví dụ 2: Giải phương trình: ( )6log x2 6log x 3 log x+ = .

ðặt 6t log x= , phương trình tương ñương t

t t t t 36 3 2 3 1

2 + = ⇔ + =

.

●Dạng 3. ( )blog x ca x+ = . (ðiều kiện: b a c= + )

Ví dụ 1. Giải phương trình: ( )7log x 34 x+ = .

ðặt ( ) t7t log x 3 7 x 3= + ⇒ = +

Phương trình trở thành: t t

t t 4 14 7 3 3. 1

7 7 = − ⇔ + =

.

Ví dụ 2. Giải phương trình: ( )3log x 52 x 4.+ = +

ðặt t x 4= + . Phương trình trở thành: ( )3log t 12 t+ = .

DAÏNG 5. PHÖÔNG PHAÙP LOÂGARIT HOÙA

Sử dụng công thức lấy logarit hai vế của phương trình với cơ số thích hợp. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

● Dạng 1: f (x)

a

0 a 1, b 0a b

f (x) log b.

< ≠ >= ⇔ =

● Dạng 2: f (x) g(x) f (x) g(x)a a aa b log a log b f (x) g(x).log b. = ⇔ = ⇔ =


1) ( )44 3 log x 1log x 2x 2 −− = 2) 2 3lg x lg x 3 2

x1 1

1 1 1 1x x

+ + =−

+ − + +


1) 4x 1 3x 2

2 1

5 7

+ + =

2) lg x 2x 1000x=


● Dạng 1: a b

0 a 1log f (x) b

f (x) a

< ≠= ⇔ =

.

● Dạng 2: a a

0 a 1log f (x) log g(x)

f (x) g(x) 0

< ≠= ⇔ = >


1) ( )2xlog x 4x 4 3+ − = 3) ( )xlog x 6 3+ =

2) ( ){ }4 3 2 2

1log 2log 1 log 1 3log x

2 + + =


1) 3

2x 3log

x2 1−

= 3) 2 3

2 2log (x 1) 2log (x x 1)− = + +

2) ( ) ( )22 1

2

log x 1 log x 1− = − 4) xx lg(1 2 ) xlg5 lg6+ + = +


1) x 1 2x 14.9 3 2− += 2) x x3 22 3=

3) 2x 2x x2 .3 1,5− = 4)

2x x5 .3 1=

5) 2x 1

x x 15 .2 50−

+ = 6) x

x x 23 .8 6+ =

7) 3x

x x 23 .2 6+ = .

DAÏNG 6. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ

● Nhẩm nghiệm và sử dụng tính ñơn ñiệu ñể chứng minh nghiệm duy nhất

(thường là sử dụng công cụ ñạo hàm)

● Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình

f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do ñó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao

cho f(x0) = C thì ñó là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C)

Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong

khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).

( do ñó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñó là nghiệm duy nhất của phương

trình f(x) = g(x))

Tính chất 3 : ðịnh lí Rôn: Nếu hàm số ( )y f x= lồi hoặc lõm trên khoảng ( )a;b thì

phương trình ( )f x 0= có không qua hai nghiệm thuộc khoảng ( )a;b .

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2log xx 2.3 3+ =

HD: 2 2log x log xx 2.3 3 2.3 3 x+ = ⇔ = − , vế trái là hàm ñồng biến, vế phải là hàm

nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x 1= .

Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x x6 2 5 3+ = + .

HD: Phương trình tương ñương x x x x6 5 3 2− = − , giả sử phương trình có nghiệm α.

Khi ñó: 6 5 3 2α α α α− = − . Xét hàm số ( ) ( )f t t 1 tα α= + − , với t 0> . Ta nhận thấy

( ) ( )f 5 f 2= nên theo ñịnh lý lagrange tồn tại ( )c 2;5∈ sao cho:

( ) ( ) 1 1f ' c 0 c 1 c 0 0, 1α αα α α− − = ⇔ + − = ⇔ = =

, thử lại ta thấy x 0, x 1= = là

nghiệm của phương trình.

Ví dụ 3: Giải phương trình: ( )2 2x x x 12 2 x 1− −− + = − .

HD: Viết lại phương trình dưới dạng 2x 1 x x 22 x 1 2 x x− −+ − = + − , xét hàm số

( ) tf t 2 t= + là hàm ñồng biến trên R (???). Vậy phương trình ñược viết dưới dạng:

( ) ( )2 2f x 1 f x x x 1 x x x 1− = − ⇔ − = − ⇔ = .

Ví dụ 4: Giải phương trình: x x3 2 3x 2+ = + .

HD: Dễ dàng ta tìm ñược nghiệm: x 0= và x 1= . Ta cần chứng minh không còn

nghiệm nào khác.

Xét hàm số ( ) ( )x x x 2 x 2f x 3 2 3x 2 f '' x 3 ln 3 2 ln 2 0 = + − − ⇒ = + > ⇒ ðồ thị của

hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. (ðịnh lí Rôn)

Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình

x

2

y

2

y2007

y 1

x2007

x 1

e

e

= − − = − −

có ñúng hai nghiệm thỏa mãn

x 0, y 0.> >

HD: Dùng tính chất 2 ñể chỉ ra x y= khi ñó xét hàm số ( ) x

2

xf x 2007

x 1e= + −

−.

● Nếu x 1< − thì ( ) 1f x 2007 0e−< − < suy ra hệ phương trình vô nghiệm.

● Nếu x 1> dùng ñịnh lý Rôn và chỉ ra với 0x 2= thì ( )f 2 0< ñể suy ra ñiều phải

chứng minh.

Ví dụ 6: Cho a b 0≥ > . Chứng minh rằng: b a

a ba b

1 12 2

2 2 + ≤ +

HD: Bất ñẳng thức

a ba b

a ba b

1 1ln 2 ln 2

1 1 2 2b ln 2 a ln 2

2 2 a b

+ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤

.

Xét hàm số ( )x

x

1ln 2

2f x

x

+ = với x 0> ,

Suy ra ( )f ’ x 0< với mọi x 0> nên hàm số nghịch biến vậy với a b 0≥ > ta có

( )f(a) f b≤ .


1) x x x3 4 5+ = 7) x x4 3 1− =

2) ( )2 3log 1 x log x+ = 8) ( )6log x2 6log x 3 log x+ =

3) 2 2 2log 9 log x log 32x x .3 x= − 9) ( )x 2 x 23.25 3x 10 5 3 x 0− −+ − + − =

4) ( )2 x x 3 2x .3 3 12 7x x 8x 19x 12+ − = − + − +

5) ( ) ( ) ( ) ( )2 34 x 2 log x 3 log x 2 15 x 1− − + − = +

6) x x x x 3 2x x x

1 1 15 4 3 2 2x 5x 7x 17

2 3 6+ + + = + + − + − +


1) x

x 22 1 3= + 4) ( )x x25 2 3 x 5 2x 7 0− − + − =

2) 3 x 22 x 8x 14− = − + − 5) x 3 x8 x.2 2 x 0−− + − =

3) 2log x 3 x= − 6) ( )22 2log x x 1 log x 6 2x+ − = −


1) x x x4 9 25+ =

2) ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0+ + + + + − =

3) ( )x x9 2 x 2 .3 2x 5 0+ − + − =

4) ( ) ( )2x log x x 6 4 log x 2+ − − = + +

5) ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16+ + + + + =

DAÏNG 7. MOÄT VAØI BAØI KHOÂNG MAÃU MÖÏC

Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )x x x x4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + − + − + =

HD: phương trình ( ) ( )x x x x4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + − + − + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2x x x 2 x 2 x

2x x 2 x

x x

x

2 1 2 2 1 sin 2 y 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0

2 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0

2 1 sin 2 y 1 0

cos 2 y 1 0

⇔ − + − + − + + − + + − =

⇔ − + + − + + − =

− + + − =⇔ + − =

Bài 2. Giải phương trình: ( ) ysinx 1+sinx4 2 cos xy 2 0− + = .

HD: phương trình ( ) ysinx 1+sinx4 2 cos xy 2 0− + =

( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0 ⇔ − + − =

Ta có ( ) 2sinx2 cos xy 0 − ≥ và ( )

( )y

y 2

2

2 1 2 cos xy 0

cos xy 1

≥ ⇒ − ≥ ≤

Do ñó ( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0 − + − ≥

Vậy phương trình ( )( )

( ) ( )( ) ( )

sinx sinx

y y2 2

2 cos xy 0 2 cos xy 1

2 cos xy 0 2 cos xy 0 2

− = = ⇔ ⇔ − = − =

( )( ) ( )

y

22

y 02 12 y 0.

cos x.0 1cos xy 1

== ⇔ ⇔ ⇔ = ==

Thay vào (1) ta ñược x kπ= .

Bài 3. Giải phương trình: ( )2x 1 3 2x

23

82 2

log 4x 4x 4+ −+ =

− +.

HD: Ta có ( )224x 4x 4 2x 1 3 3− + = − + ≥ nên ( )23log 4x 4x 4 1− + ≥

Suy ra ( )23

88

log 4x 4x 4≤

− + (1)

Mặt khác 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x2 2 2 2 .2 2 2 8+ − + − + + −+ ≥ = = (2)

Bài 4. Giải phương trình: ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = − .

HD: ðiều kiện x 0.> Phương trình ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = −

( )2

3

1 log x 1 1 x 1

x ⇔ + + = − − +

Ta có

● 3

1 1 1x 2 x 1 3 log x 1 1

x x x + ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥

● ( )21 x 1 1− − + ≤

Vậy phương trình

( )

3

2

1log x 1 1

x x 1

1 x 1 1

+ + = ⇔ ⇔ =

− − + =

.

Nhận xét: Bài toán tương ñương là giải phương trình 2

221

3 x xx x

x−+ + = .

Bài 5. Giải phương trình: ( )2 3

1log x 2 4 log 8

x 1

− + = + − .

HD: ðiều kiện x 2> .

● ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2− + ≥ ⇒ − + ≥

● Với x 2> ta có 1 1

x 1 1 1 8 9 x 1 x 1

− ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤− −

3

1 log 8 2

x 1

⇒ + ≤ −

Bài 6. Giải phương trình: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − = + − + − .

HD: ðiều kiện 2 x 2− ≤ ≤ .

Phương trình ( )( ) ( )x 2 4 x.2 x 1 2 2 x 0 *⇔ − − + − =

Ta có 3

x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4≤ ⇒ ≤ < = . Do ñó ( ) 2* x 1 2 2 x 0⇔ − + − = .

Bài 7. Giải phương trình: 2 3 4 2 22 25x 6x x x log x (x x) log x 5 5 6 x x+ − − = − + + + − .

HD: ðiều kiện 2

x 0 0 x 3

6 x x 0

>⇔ < ≤ + − ≥

.

Phương trình ( )( ) ( )22 x log x 5 6 x 1 x 0 *x⇔ − + − + − =

Do ( )2 2 2 2x 3 x log x 3log 3 log 32 5 x log x 5 0≤ ⇒ ≤ < = ⇒ − <

Khi ñó ( ) ( )2* 6 x 1 x 0x⇔ + − + − = .

Bài 8. Giải phương trình: 2 2sin x cos x x x3 3 2 2 2−+ = + + .

HD: Phương trình 2 2

x -x2 2sin x 1 sin x 2 2 3 3 2 2 2−⇔ + = + +

( )( )

2

2

2 2

2

x -x2sin x 2 22 2

sin x

sin x sin x 2x -x

2 2sin x

3 3 4 2 2 2

3

3 1 3 3 2 2

3

+⇔ − = + −

− − ⇔ = −

Ta có 22 sin x0 sin x 1 1 3 3≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ . Do ñó VT 0 VP≤ ≤ .

Bài 9. Giải phương trình: 3 22log cot x log cos x= .

HD: ðặt 3 22log cot x log cos x t= = , ta có

2 tt 2 t

t2 t 2 t 2

t

cos x 4cos x 2 cos x 4

4cot x 3 cot x 3 sin x

3cos x 0,cot x 0 cos x 0,cot x 0

cos x 0,cot x 0

= = = = ⇔ = ⇔ = > > > > > >

2 t2 t

tt

t

cos x 4cos x 4 1

cos x4 4 1 t 1 2

3cos x 0,cot x 0cos x 0,cot x 0

cos x 0,cot x 0

= = = ⇔ + = ⇔ = − ⇔

> >> > > >

π

x k2π3

⇔ = + .

Tổng quát: Dạng ( ) ( ).log .loga bf x g xα β= ta ñặt ( ) ( ).log .loga bt f x g xα β= =

Bài 10. Giải phương trình: ( )2 3 22 23x 2x log x 1 log x.− = + −

HD: ðiều kiện x 0> .

ðặt ( ) ( ) ( )2 3 22 2f x 3x 2x , g x log x 1 log x= − = + −

● Ta có ( ) ( ) ( )2 3 2f x 3x 2x f ' x 6x 6x ; f ' x 0 x 0, x 1= − ⇒ = − = ⇔ = = . Lập bảng

biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên ( )1,+∞ . Suy ra trên

( )0,+∞ , ( ) ( )maxf x f 1 1= = hay ( )f x 1, x 0.≤ ∀ >

● Ta có ( ) ( )2

22 2 2 2

x 1 1g x log x 1 log x log log x

x x

+ = + − = = +

. Với x 0> , ta có

( ) 2 2

1 1x 2 côsi log x log 2 1.

x x + ≥ => + ≥ =

Suy ra ( )g x 1, x 0.≥ ∀ >

Vậy phương trình ( )2 3

22 2

3x 2x 1

log x 1 log x 1

− =⇔ + − =

Bài 11. Giải phương trình: ( )2 2x 1 x x2 2 x 1 .− −− = −

HD: phương trình ( ) ( )2x 1 x x 2 2 x 1 2 x x− −⇔ + − = + − .

ðặt 2u x 1; v x x.= − = − Khi ñó phương trình có dạng u v2 u 2 v+ = + .

Xét hàm số ( ) tf t 2 t= + , hàm này ñồng biến và liên tục trên ℝ .

Vậy phương trình ( ) ( ) 2 f u f v u v x 1 x x x 1⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = .

Bài 12. Giải phương trình: x x x2009 2011 2.2010+ = .

HD: Gọi 0x là một nghiệm của phương trình ñã cho. Ta ñược

( )0 0 0 0 0 0 0x x x x x x x2009 2011 2.2010 2009 2010 2010 2011 *+ = ⇔ − = −

Xét hàm số ( ) ( ) 00xxF t t t 1= − + . Khi ñó (*) ( ) ( ) F 2009 F 2010⇔ = .

Vì F(t) liên tục trên [ ]2009,2010 và có ñạo hàm trong khoảng ( )2009,2010, do ñó

theo ñịnh lí Lagrange tồn tại ( )c 2009,2010∈ sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) 00x 1 0x 1

00

x 0F 2010 F 2009F' c x . c c 1 0

x 12010 2009−− =− = ⇔ − + = ⇔ =−

Thử lại 0 0x 0, x 1= = thấy ñúng. Vậy nghiệm của phương trình là 0 0x 0, x 1= = .

Nhận xét: Bài toán tương tự

1) cosx cosx cosx cosx3 2 cosx 3 2 3cosx 2cosx− = ⇔ − = − .

2) 3 3log x log x4 2 2x+ = . ðặt u3u log x x 3= ⇒ = . Phương trình u u u 4 2 2.3⇔ + = .

Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng ñịnh lí Lagrange: Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên ñoạn

[ ];a b và có ñạo hàm trên khoảng ( );a b thì tồn tại một ñiểm ( );c a b∈ sao cho

( ) ( ) ( )' f b f af c

b a

−=

−.

Bài 13. Giải phương trình: 2

23 2

x x 1log x 3x 2

2x 2x 3

+ + = − +− +

.

HD: ðặt ( )2 2u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0= + + = − + > > . Suy ra 2v u x 3x 2.− = − +

Phương trình ñã cho trở thành 3 3 3

ulog v u log u log v v u

v= − ⇔ − = −

3 3 log u u log v v⇔ + = + .

Xét hàm số ( ) 3f t log t t= + . Ta có ' 1f (t) 1 0, t 0

t.ln3= + > ∀ > nên hàm số ñồng biến

khi t 0> . Do ñó phương trình ( ) ( ) f u f v⇔ = suy ra u v= hay v u 0− = tức là

2x 3x 2 0 x 1, x 2− + = ⇔ = = . Vậy phương trình có nghiệm x 1, x 2= = .

Lưu ý: Với phương trình dạng ( )log , 0, 0, 1a

uv u u v a

v= − > > > ta thường biến ñổi

log log log loga a a au v v u u u v v− = − ⇔ + = + . Vì hàm số ( ) logaf t t t= + ñồng biến khi 0t > .

Suy ra u v= .

Bài 14. Giải phương trình: cosx sinx2 2 3+ = .

HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng: ( )1 1t tα α+ − ≤ với [ ]0, 0,1t α> ∈

Từ phương trình suy ra: [ ]sinx, cos x 0,1∈ . Suy ra π

x k2π; k2π2

∈ +

Theo Becnuli: ( )cosx2 1 2 cos x 1+ − ≤

( )sinx2 1 2 sinx 1+ − ≤

Suy ra ( )cosx sinx2 2 sinx cos x 2+ ≤ + +

Suy ra ( ) ( )cosx sinx2 2 min sinx cos x 2 min s inx cos x 2 + ≤ + + = + +

Mà: ( )min sinx cos x 1+ = với π

x k2π; k2π2

∈ + .

Do ñó cosx sinx2 2 3+ ≤ . Dấu '' ''= xảy ra khi và chi khi sinx 1

cosx 0

= =

hoặc sinx 0

cosx 1

= =

Ta có thể dùng các phương pháp biến ñổi như ñối với giải phương trình và sử dụng các công thức sau HAØM SOÁ MUÕ ● 0 a 1< <

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x

a a f x g x

a a f x g x

> ⇔ <

≥ ⇔ ≤ (nghịch biến)

● a 1>

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x

a a f x g x

a a f x g x

> ⇔ >

≥ ⇔ ≥ (ñồng biến)

HAØM SOÁ LOGARIT

● ( )alog f x có nghĩa ( )0 a 1

f x 0

< ≠⇔ >

● ( ) ( ) b

alog f x b f x a= ⇔ =

● ( ) ( ) ( ) ( )a a

f x g xlog f x log g x

0 a 1

== ⇔ < ≠

● 0 a 1< <

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

a a

a a

log f x log g x 0 f x g x


> ⇔ < <

≥ ⇔ < ≤ (nghịch biến)

● a 1>

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

a a

a a



> ⇔ < >

≥ ⇔ < ≥ (ñồng biến)

Tổng quát ta có:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

a a

a 0

log f x log g x f x 0; g x 0

a 1 f x g x 0

>> ⇔ > >

− − >

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

a a

a 0

log f x log g x f x 0; g x 0

a 1 f x g x 0

>≥ ⇔ > >

− − ≥

CHUYEÂN ÑEÀ 2. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT

1. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ

Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 2

x x 1x 2x 1

33

− −− ≥

Lời giải: - ðiều kiện: x 0≤ hoÆc x 2≥ . - Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi

2 x x 1x 2x 23 3 x 2x x x 1− −− ≥ ⇔ − ≥ − − (1)

+ NÕu x 0≤ th× x 1 1 x− = − , khi ®ã bpt ( ) 21 x 2x 2x 1⇔ − ≥ − (®óng v× x ≤ 0)

+ NÕu x 2≥ th× x 1 x 1− = − , khi ®ã bpt ( ) 21 x 2x 1⇔ − ≥

2 x 1 2 x 2x 1 0

x 1 2

≤ −⇔ − − ≥ ⇔

≥ +

- KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta ®−îc x 1 2≥ + .

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( )2xlog 5x 8x 3 2− + >

Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

2 2 2

2

2 2

2

0 x 10 x 1 0 x 1 1 3

x 15x 8x 3 x 4x 8x 3 0 2 2 x235x 8x 3 0 3 x x 1x x 1

55x 1x 1x 15x 8x 3 x

1 34x 8x 3 0x x

2 2

< < < < < < < < − + < − + < < − + > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < ∨ >< ∨ > > >> − + > − + > < ∨ >

3

53

x2

< >

Lưu ý: Víi bÊt phương trình d¹ng ( )( )log f x g x a> , ta xÐt hai tr−êng hîp cña c¬ sè

( )0 1f x< < và ( )1 .f x<

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: ( )23 3log x log x3 x 6+ ≤

Lời giải: - ðiều kiện: x 0>

- Ta sö dông phÐp biÕn ®æi ( ) ( )23

3 3 3log xlog x log x log x3 3 x= = . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng

víi 3 3 3log x log x log xx x 6 x 3+ ≤ ⇔ ≤ .

- LÊy l«garit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®−îc: ( )3log x3 3 3 3log x log 3 log x.log x 1 ≤ ⇔ ≤

( )2

3 3

1 log x 1 1 log x 1 x 3.

3⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

- VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 1

x 33

≤ ≤ .

Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 1 2

3

1 2xlog log 0

1 x

+ > +

Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

2

2

1 2x 1 2x xlog 0 1 0 x 1 x 01 x 1 x 1 x x 0

1 2x 1 2x 1 x 1log 1 2 0

1 x 1 x 1 x

+ + > > > < − ∨ > + + +⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > + + − > − < < < + + +

- VËy x 0> lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh.

BAØI TAÄP Giải các bất phương trình sau:

1) 2

0,7 6

x xlog log 0

x 4

+ < +

2) ( )23x xlog 3 x 1

−− >

3) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 255 55 25

log x 5 3log x 5 6log x 5 4log x 50 2 0− + − + − − − + ≤

2. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ

Ví dụ 1. Giải bất phương trình: x x 2

x x

2.3 21

3 2

+− ≤−

Lời giải: - ðiều kiện x 0≠ .

- Chia cả tử và mẫu cho x2 , ta ñược:

x

x x 2

xx x

32. 4

2.3 2 21 1

3 2 31

2

+ − − ≤ ⇔ ≤

− −

- §Æt ( )x

3t , 0 t 1

2 = < ≠

. Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 2t 4

1 0t 1

− − ≤−

x

32

t 3 3 0 1 t 3 1 3 0 x log 3

t 1 2

− ⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ −

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 3

2

0 x log 3< ≤ .

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( ) ( )3

4 2 22 1 2 12

2 2

x 32log x log 9log 4log x

8 x

− + <

Lời giải: - ðiều kiện x 0> . - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

( ) ( )

( ) ( )( ) [ ] [ ] ( )

1 1

34 2 22 2 22 2

24 3 2 22 2 2 2 2 2

24 22 2 2 2

x 32 log x log 9 log 4 log x

8 x

log x log x log 8 9 log 32 log x 4 log x

log x 3log x 3 9 5 2log x 4 log x

− −

⇔ − + <

⇔ − − + − <

⇔ − − + − <

- §Æt ( )2t log x= , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

4 2 2

2

2

t 13t 36 0 4 t 9

1 13 log x 23 t 2 x

8 42 log x 32 t 3

4 x 8

− + < ⇔ < <

− < < −− < < − < < ⇔ ⇔ ⇔ < << < < <

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( )1 1, 4,8

8 4 ∪

.

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 25 4.5 5− − − − + −− < Lời giải:

- §Æt x 5 3 2X 5 0, Y 5 0x− −= > = > .Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 2X

4X 5YY

− < (1)

- Do Y 0> nªn

( ) ( )( )2 2 2 2

x 5 1 3 x 2

1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y 0 X Y X 5Y 0

X 5Y 0 X 5Y 5 5

x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2

− + −

⇔ − < ⇔ − − < ⇔ + − <

⇔ − < ⇔ < ⇔ <

⇔ − < + − ⇔ − < −

- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau

( ) x 2 0I 2 x 6

x 6 0

− ≥⇔ ≤ < − <

( ) ( ) ( )2 2

x 6 0 x 6 x 6II 6 x 18

x 21x 54 0 3 x 189 x 2 x 6

− ≥ ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ < − + < < <− > −

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 2 x 18≤ < .

BAØI TAÄP Giải các bất phương trình sau:

1) ( ) ( )x xx1

5 1 5 1 24

+ + − =

2) ( )2 2 22 1 4

2

log x log x 3 5 log x 3+ − > −

3) 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0+ + +− − > .

3. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ Ví dụ 1. Giải bất phương trình: ( )5 4log 3 x log x+ >

Lời giải: - ðiều kiện x 0> .

- §Æt t4t log x x 4= ⇔ = , bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh ( )t

5log 3 2 t+ >

t

t tt

3 23 2 5 1

5 5 ⇔ + > ⇔ + >

- Hµm sè ( )t

t

3 2t

5 5f

= +

nghÞch biÕn trªn ℝ vµ ( )1 1.f =

- BÊt ph−¬ng tr×nh trë ( ) ( )t 1 t 1f f> ⇔ < , ta ®−îc 4log x 1 0 x 4.< ⇔ < <

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 0 x 4< < .

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: 2

23 2

x x 1log x 3x 2

2x 2x 3

+ + > − +− +

Lời giải: - §Æt ( )2 2u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0= + + = − + > > . Suy ra 2v u x 3x 2− = − + .

- BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi

( )3 3 3 3 3

ulog v u log u log v v u log u u log v v 1

v= − ⇔ − = − ⇔ + > +

- XÐt hµm sè ( ) ( )'3

1t log t t, ta co: t 1 0, t 0

t ln3f f= + = + > ∀ > nªn hàm số ñång biÕn khi

t 0.> Tõ (1) ta cã ( ) ( )f u f v u v> ⇔ >

2 2

2

x x 1 2x 2x 3

x 3x 2 0

1 x 2.

⇔ + + > − +

⇔ − + <⇔ < <

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 1 x 2< < . Lưu ý: 1. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log loga bu v< , ta th−êng gi¶i nh− sau:

§Æt logat u= (hoÆc logbt v= ) ®−a vÒ bÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ sö dông chiÒu biÕn thiªn cña

hµm sè.

2. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log log loga a a

uv u u u v v

v< − ⇔ + < + . Ta xÐt hµm sè

( ) logaf t t t= + ®ång biÕn khi 0t > , suy ra ( ) ( ) .f u f v u v< ⇔ <

BAØI TAÄP Giải các bất phương trình sau: 1) ( )3 x

6 64log x x log x+ ≥

2) x x x2.2 3.3 6 1.+ > − 3) x x x x16 3 4 9 .− < +

4. PHÖÔNG PHAÙP VEÕ ÑOÀ THÒ

Ví dụ . Giải bất phương trình: x

5 xlog

5 x 02 3x 1

+− <

− +

Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ

( )x

5 xlog 0

I 5 x2 3x 1 0

+ >−

− + <

vµ ( )x

5 xlog 0

II 5 x2 3x 1 0

+ <−

− + >

- Gi¶i hÖ (I)

+ 5 x 5 x 2x

log 0 1 0 0 x 55 x 5 x 5 x

+ +> ⇔ > ⇔ > ⇔ < <− − −

+ x2 3x 1< − , ta vÏ ®å thÞ cña hai hµm sè xy 2= vµ y 3x 1= − trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é.

Khi ®ã ta ®−îc nghiÖm lµ 1 x 3.< < - Do ®ã hÖ (I) cã nghiÖm 1 x 3.< <

- Gi¶i hÖ (II)

+

5 x 55 x 55 x 5 x

log 0 0 1 5 x 02xx 0 x 55 x 5 x 0

5 x

− < < − < <+ + < ⇔ < < ⇔ ⇔ ⇔ − < < < ∨ >− − < −

.

+ x2 3x 1> − x 1⇔ < hoÆc x 3> . - Do ®ã hÖ (II) cã nghiÖm 5 x 0.− < < - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( 5,0) (1,3)− ∪ .

BAØI TAÄP

Giải bất phương trình sau: 1 x

x

2 2x 10

2 1

− − + ≤−

.

5. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC

Ví dụ 1. Giải bất phương trình: ( )2 3

1log x 2 4 log 8

x 1

− + ≤ + −

Lời giải: - §iÒu kiÖn x 2.≥ - Ta cã nhËn xÐt sau:

+ ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2.− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥

+ 1

x 2 x 1 1 x 1 1 1 x 1

≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤−

3

1 1 8 9 log 8 2 VP 2

1 1x x

⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − −

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi VT 2 x 2 0

x 2VP 2 x 2

= − = ⇔ ⇔ = = = .

- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( )xx 9log log 3 9 1 − <

Lời giải: - §Ó ( )x

9log 3 9− cã nghÜa, ta cÇn cã x x 23 9 3 3 x 2.> ⇔ > ⇔ >

- Víi ®iÒu kiÖn trªn bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi

( )( )

9 x x

9

x 23x 9 1

log 3x 9 0 3 9 9

log 3x 9 x

>− > − > ⇔ − < − <

- §Æt ( )x3 t, t 0= > , ta cã hÖ x32

t 10 t 0 3 10 x log 10

t t 9 0

>⇔ > ⇔ > ⇔ > − + >

.

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: ( )2 3 4 2 22 25x 6x x x log x x x log x 5 5 6 x x+ − − > − + + + −

Lời giải:

- ðiều kiện: 2

x 0 0 x 3

6 x x 0

>⇔ < ≤ + − ≥

- BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ( )( ) ( )22x log x 5 6 x x 1 x 0 *− + − + − >

- Do 2 2 2x 3 x log x 3log 3 log 32 5≤ ⇒ ≤ < = . VËy khi 0 x 3< ≤ th× 2xlog x 5 0,− < do ®ã

( ) 22

0 x 3 0 x 3 5* x 3

2x 3x 5 0 26 x x 1 x 0

< ≤ < ≤⇔ ⇔ ⇔ < ≤ − − >+ − + − <

- VËy nghiÖm 5

x 3.2

< ≤

Ví dụ 4. Giải bất phương trình: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − > + − + −

Lời giải: - ðiều kiện: 2 x 2− ≤ ≤ (1)

- BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi ( )( )x 24 x.2 x 1 2 2 x 0− − + − > (2)

- Tõ (1) ta cã 3

x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4.≤ ⇒ ≤ < = . Do ®ã (2) t−¬ng ®−¬ng víi

2

2

2 x 2 2 2 x 1 x

x 1 2 2 x 0

− ≤ ≤ ⇔ − > −− + − >

(3)

- (3) t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau

+ ( )22 x 0

I : 1 x 21 x 0

− ≥⇔ < ≤

− <

+ ( ) ( ) ( )2 22

x 11 x 0 x 1II : 1 x 17

5x 2x 7 04 2 x 1 x 1 x5

≤− ≥ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − − <− > − − < <

- VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x 1; 2 . ∈ −

Ví dụ 5. Giải bất phương trình: ( ) ( )2 2

1 1

log x 1 log 3 2x>

+ −

Lời giải:

- ðiều kiện: 1 x 0 3

0 x 1 1 1 x 23

0 3 2x 1 1 x x 0;12

− < ≠ < + ≠ − < < ⇔ ⇔ < − ≠ ≠ < ≠

● ( )2log x 1 0 x 1 1 x 0.+ > ⇔ + > ⇔ >

● ( )2log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.− > ⇔ − > ⇔ <

- Ta cã b¶ng xÐt dÊu

- Tõ ®ã ta cã c¸c tr−êng hîp sau + TH1: Víi 1 x 0 − < < th× VT 0, VP 0< > suy ra bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

+ TH2: Víi 0 x 1< < th× VT 0, VP 0.> > Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi

( ) ( )2 2log x 1 log 3 2x 3 2x x 1 0 x 1.+ < − ⇔ − > + ⇔ < <

log2(3-2x)

x -1 0 1

- + +

+ + -

2

3

log2(x+1)

+ TH3: Víi 3

1 x2

< < th× VT 0, VP 0,> < bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi 3

1 x2

< < .

- VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ { }30 x \ 1

2 < <

.

Lưu ý: Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng 1 1

log loga bu v> , ta th−êng gi¶i nh− sau:

+ LËp b¶ng xÐt dÊu cña loga u vµ logb v trong tËp x¸c ®Þnh cña bÊt ph−¬ng tr×nh.

+ Trong tËp x¸c ®Þnh ®ã nÕu loga u vµ logb v cïng dÊu th× bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng

víi log log .a bu v<

Ví dụ 6. Trong c¸c nghiÖm ( )x; y cña bÊt ph−¬ng tr×nh ( )2 2x 2ylog 2x y 1

++ ≥ , chØ ra c¸c

nghiÖm cã tæng ( )2x y+ lín nhÊt.

Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau

( )2 2

2 2

0 x 2y 1

I : 2x y x 2y

2x y 0

< + <

+ ≤ + + >

vµ ( )2 2

2 2

x 2y 1II :

2x y x 2y

+ >

+ ≥ +

- Râ rµng nÕu ( )x; y lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh th× tæng ( )2x y+ lín nhÊt chØ x¶y ra khi

nã lµ nghiÖm cña hÖ ( )II

( )( )

2 2

22

x 2y 1

II 1 9x 1 2y

82 2

+ >⇔ − + − ≤

- Ta cã ( ) 1 1 92x y 2 x 1 2y

42 2 2

+ = − + − +

.

- Áp dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho hai bé sè 1

x 1; 2y2 2

− −

vµ 1

2;2

, ta ®−îc

( ) ( )2 2

21 1 1 1 9 9 812 x 1 2y x 1 2y 4 .

2 8 2 162 2 2 2 2

− + − ≤ − + − + ≤ =

( )9 1 1 9 9 2 x 1 2y 0 2x y

4 4 22 2 2

⇔ − ≤ − + − ≤ ⇔ < + ≤

- Dấu '' ''= xảy ra khi và chỉ khi

92x y

2 x 29 1

2x y 2y 1x 12 y2 2212

2

+ ==

+ = ⇔ ⇔− − = =

- Víi 1

x 2, y2

= = tho¨ m·n bÊt ph−¬ng tr×nh 2 2x 2y 1.+ >

- VËy trong c¸c nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh th× nghiÖm 1

2; 2

lµ nghiÖm cã tæng ( )2x y+

lín nhÊt b»ng 9

.2

BAØI TAÄP Giải bất phương trình sau: 1) ( )( )x

x 3log log 9 72 1− ≤

2) ( )( )

3a

a

log 35 x3

log 5 x

−>

− với 0 a 1< ≠ .

3) ( )21133

1 1

log x 1log 2x 3x 1>

+− +.

4) Trong c¸c nghiÖm ( )x; y cña bÊt ph−¬ng tr×nh ( )2 2x ylog x y 1

++ ≥ . T×m nghiÖm cã tæng

( )x 2y+ lín nhÊt.

BAØI TAÄP LUYEÄN TAÄP Giải các bất phương trình sau:

1) ( ) ( )x 1 x 3

x 3 x 110 3 10 3+ −+ −− < + (Học viện GTVT năm 1998)

2) ( )2

1133

1 1

log x 1log 2x 3x 1>

+− + (ðH Quốc gia TPHCM 1999)

3) ( ) ( )2 24 21 log 2x 3x 2 log 2x 3x 2+ + + > + + (ðH Thuỷ lợi 1999)

4) 2 3 2 3log x log x 1 log x.log x+ < + (ðH NT 1998)

5) 3

2x 3log 1

1 x

− < − (ðH SP Vinh 1998)

6) x

1log x 2

4 − ≥

(ðH Huế 1998)

7) 3x 2log x5 1

−< (ðH ngân hàng TPHCM 1998)

8) ( )23 1 1

3 3

1log x 5x 6 log x 2 log x 3

2− + + − > − (ðH Bách khoa Hà Nội)

9) ( )

( )

22

2

log x 9x 82

log 3 x

− +<

− (ðH Tổng hợp TPHCM 1964)

10) 1

log x x 24

− ≥

(ðH Huế 1998)

11) ( )x x2log 7.10 5.25 2x 1− > + (ðH Thủy sản 1999)

12) ( )( )

3loga 35 x3

log a 5 x

−>

− (ðH Y DƯỢC TPHCM)

13) 1 x x 1 x8 2 4 2 5+ ++ − + >

14) x 1 x x 115.2 1 2 1 2+ ++ ≥ − +

15)

2 11

x x1 13. 12

3 3

+ + >

16) x x x2.14 3.49 4 0+ − ≥

17) ( ) ( )x 1

x 1x 15 2 5 2

−−++ ≥ −

18) ( )x x x2 5 24 5 7 5 7+ − − ≥ +

19) ( ) ( )x 3 x 1x 1 x 310 3 10 3

− +− ++ < −

20) ( ) ( )( ) ( )x x

2 3 7 4 3 2 3 4. 2 3+ + + − > +

21) ( ) ( )2x 1 2x 1

2. 3 11 2 3 11 4 3− −

+ + − ≤

22) 22 x 2 x x3 5x 2x 3x 3x.5 . 3 5x 2x 9 .5− −+ − + > + − +

23) 2 x 2 2 x3x 5x 2 2x 3 .2x. 3x 5x 2 4x .3− − + + > − − + + 24) 2 3

3

log log x 3 1− <

25) ( )( )xx 9log log 3 9 1− ≤

26) ( ) ( )x x 25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1−+ − < + +

27) ( ) xx

2 3 2log 3 2 2.log 2 3 0

++ + − >

28) 22x xlog 64 log 16 3+ ≥

29) ( )2

22

2x 3

1 1 1log x 6 2 log

2 12 64+− < +

30) ( ) ( )233

1 1

log x 1log 2x 3x 1>

+− +

31) ( ) ( )3x 5 6x 2log 4 log 16 0− − − −− ≥

32) ( )2lg x 3x 2

2lg x lg 2

− +>

+

33) ( ) ( )2 3

2 32

log x 1 log x 10

x 3x 4

+ − +>

− −

34) ( ) ( )2 2x

2 22 x 7x 12 1 14x 2x 24 . log

x x + − + − ≤ − − +

35) ( )

( )

22

2

log x 9x 82

log 3 x

− +<

−

36) 2 7 2 7log x 2 log x 2 log x.log x+ ≤ +

37) ( ) ( )2 2x 1 x2 22 cos x.log x 6 2cos x 2 .log x 6+ + + ≥ + +

38) 1 1

x x6 6

1log 3.4 2.9 log 5

x

− − + + =

39) ( )2 2 22 1 4

2

log x log x 3 5 log x 3+ − > −

40)

2 2

1 14 x

log 3 log 1x 2

>− −

41) ( )2 22 2log x 3 x 1 2log x 0+ − − + ≤

42) ( ) ( )25 5 1

5

12log x 1 log .log x 1

2x 1 1

− ≥ − − −

43) ( ) ( )2 24 2log 2x 3x 2 1 log 2x 3x 2+ + + > + +

44)

( )2log x 12

3 1

2 3

xlog log 2 3

211

3

− + + ≥

45) ( ) ( )2 22 3log x 5x 5 1 log x 5x 7 2− + + + − + ≤

46) 2x

4x 2 1log

x 2 2

− ≥ −

47) ( ) ( )x x 25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1−+ − < + +

48) ( )2

x 3log 5x 18x 16 2− + >

49) ( ) ( )2 24 2log 2x 3x 2 1 log 2x 3x 2+ + + > + +

50) 1 3 x 3 x 1 3 x8 2 4 2 5+ − − + −+ − + > .

51) 2 2

3

2 2x x 1 x x 1

x 1 2x 1log log

2x 1 x 1− − + −

+ + > + +

52) ( )2 3log 1 x log x+ >

53) ( )2 x 1 2 x 2 2 x x 13 x 2 2 3x 2 2− − − −+ + > + +

54) ( ) ( )( )x 1 2 1 x 2 2 x2 5x 11 2 x 24 x 1 x 9 2+ − −+ + − < − − −

55) 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0+ + +− − ≥ 56) ( ) ( )2 3 5 7log log x log log x≤ 57) ( ) ( )2 2

9 3log 3x 4x 2 1 log 3x 4x 2+ + + > + +

58) 1 122 2 2

log x log xlog x3 x 2 6x+ > .

---------- HẾT ----------

1. PHÖÔNG PHAÙP BIEÁN ÑOÅI TÖÔNG ÑÖÔNG - §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa - Sö dông c¸c phÐp thÕ ®Ó nhËn ®−îc tõ hÖ mét ph−¬ng tr×nh theo Èn x hoÆc y (®«i khi lµ theo

c¶ hai Èn x vµ y)

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: ( )1 4

4

2 2

1log y x log 1

y

x y 25

− − = + =

Lời giải:

- ðiều kiện: y 0

y x

> >

- Víi ®iÒu kiÖn trªn hÖ t−¬ng ®−¬ng víi ( )4 4

2 2

log y x log y 1

x y 25

− − + = + =

( ) ( )4 4

22 2 2 22

4x x 3y3log y log y x .4 y y x .4 x 3

x y 25 x y 25 4x 4xx 25 y

3 3

== = − = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + = + = + = =

+ Víi x 3= suy ra y 4= (tmñk) + Víi x 3= − suy ra y 4= − (kh«ng tmñk)

- VËy hÖ cã nghiÖm ( ) ( )x; y 3; 4= .

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: x y

x y

2 .3 12

3 .2 18

=

=

Lời giải:

- L«garit c¬ sè 2 c¶ hai vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ ta ñược 2 2

2 2

x y.log 3 2 log 3

x.log 3 y 1 2.log 3

+ = + + = +

®©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn

- Ta cã 2 22

2

1 log 3D 1 log 3 0

log 3 1= = − ≠

2 2 2x 2

2

2 log 3 log 3D 2 2log 3

1 2 log 3 1

+= = −

+

2 2y 2

2 2

1 2 log 3D 1 log 3

log 3 1 2log 3

+= = −

+

CHUYEÂN ÑEÀ 3. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT

- Suy ra hÖ cã nghiÖm

x

y

Dx 2

DD

y 1D

= = = =

.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: ( )3 2

2 2 2

2log y log x 1

log y log x 1 .log 3

= + = −

Lời giải: - ðiều kiện: x 0, y 0.> >

- HÖ ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 3 2

22

2

2log y log x 1

log ylog x 1

log 3

= + = −

3 2 2

3 2 3

2log y log x 1 log x 3 x 9

log y log x 1 log 2 y 8y

= + = = ⇔ ⇔ ⇔ = − = =

- VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( ) ( )x; y 9; 8= .

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: 2 4 4

3 9 9

4 16 16

log x log y log z 2

log y log x log z 2

log z log x log y 2

+ + = + + = + + =

Lời giải: - ðiều kiện: x 0, y 0, z 0> > > . - Khi ñó hệ phương trình ñã cho tương ñương

( )( )( )

( )( )( )

2 2 424

4 4 4

2 2 2 49 9 9 9

2 2 2 416 16 16 16

log x yz 2 x yz 2log x log y log z 2

log y log x log z 2 log xy z 2 xy z 3

log z log x log y 2 log xyz 2 xyz 4

= = + + = + + = ⇔ = ⇔ = + + = = =

- Từ ñó suy ra ( )4 4 4 4 4xyz 2 .3 .4 24= = vì xyz 0> nên xyz 24= . Từ ñó suy ra

2 27 32x ; y ; z .

3 8 3= = =

Ví dụ 5. Tìm k ñể hệ bất phương trình có nghiệm: ( )

3

322 2

x 1 3x k 0 (1)

1 1log x log x 1 1 (2)

2 3

− − − <

+ − ≤

Lời giải:

- Tõ bÊt ph−¬ng tr×nh (2) trong hÖ suy ra ( )3x 1 0 x 1.− > ⇔ >

( ) ( ) ( )2 2 22 log x log x 1 1 log ( 1) 1 x x 1 2 1 x 2x x⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ < ≤

- Víi 1 x 2< ≤ th× ( ) ( )31 x 1 3x k⇔ − − < .

- XÐt hµm sè ( ) ( )3x x 1 3xf = − − víi 1 x 2< ≤ .

( ) ( )2' x 3x 6x, ' x 0 x 0 x 2f f= − = ⇔ = ∨ =

Ta cã b¶ng biÕn thiªn

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra k 5≥ − .

BAØI TAÄP Giải các hệ phương trình sau:

1) ( )2 39 3

x 1 2 y 1

3log 9x log y 3

− + − =

− =

2) ( ) ( )

x y

y x

2 3

4 32

log x y 1 log x y

+ = − = − +

3) ( )2 3

9 3

x 1 2 y 1

3log 9x log y 3

− + − =

− =

4) ( )( ) ( )

x 2yx y

2 2

13

3

log x y log x y 4

−− =

− + − =

5) ( ) y

3

3 4 xx 1 1 3

xy log x 1

−+ − = + =

6)

3x 2

x x 1

x

2 5y 4y

4 2y

2 2

+

= − + = +

7) 8 8log y log x

4 4

x y 4

log x log y 1

+ = − =

8) y x x 1

x 2y 10

− = +

+ =

9) 4 2

x 4 y 3 0

log x log y 0

− + =

− =

10) ( )2 2

2

4 2

log x y 5

2 log x log y 4

+ =

+ =

11) x y2 .4 64

x y 3

=

+ = 12) ( )

x y

5

3 .2 1152

log x y 2

− = + =

13) x y 12

x y 12

x y

y x

+

+

=

=

2. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ - §Æt ®iÒu kiÖn cho çc biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa - Lùa chän Èn phô ®Ó biÕn ®æi hÖ ban ®Çu vÒ çc hÖ ®¹i sè ®· biÕt çch gi¶i.

- Ta thường ñặt các biến: (x)

(y)

u a

v b

f

g

=

=. ðể ñưa hệ với các biến x, y thành hệ với các biến u, v

thường gặp (ðối xứng loại 1, loại 2, ñẳng cấp..)

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: ( ) ( )2 2

5 3

9x 4y 5

log 3x 2y log 3x 2y 1

− = + − − =

Lời giải:

-3

x -∞ 0 1 2 +∞

y’ + - - 0 + 0

y

-5 - ∞

+∞

- ðiều kiện: 3x 2y

3x 2y

> − >

- HÖ trªn t−¬ng ®−¬ng víi ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )5 3

3x 2y 3x 2y 5 1

log 3x 2y log 3. 3x 2y 2

+ − =

+ = − .

- §Æt ( ) ( )5 3t log 3x 2y log 3. 3x 2y = + = − , suy ra t

t 1

3x 2y 5

3x 2y 3−

+ =

− =

- Thay vµo ph−¬ng tr×nh (1) trong hÖ ta ®−îc ( )tt t 15 .3 5 15 15 t 1− = ⇔ = ⇔ = .

- Do ®ã ta cã hÖ 3x 2y 5 x 1

3x 2y 1 y 1

+ = = ⇔ − = =

(tmñk)

Lưu ý: Víi hÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng ( ) ( )

[ ] [ ]2 2

a a

x x k

log (x) (x) log (x) (x)

f g

f g f g

− =

+ = −, th«ng th−êng ta gi¶i

theo h−íng: §Æt ( ) ( ) ( ) ( )at log x x log x xaf g f g = + = − , suy ra ( ) ( ) tx x af g+ = vµ

( ) ( ) tx x a .f g− = Thay vµo ph−¬ng tr×nh ®Çu trong hÖ ta t×m ®−îc t.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: ( ) ( )

logx log y

log7 log5

5 7

7x 5y

=

=

Lời giải: - ðiều kiện: x 0, y 0> >

- LÊy logarit theo c¬ sè 10 c¶ hai vÕ ta ®−îc ( ) ( )log x.log5 log y.log 7

log7 log x log7 log5 log y log5

= + = +

- §Æt u logx, v logy= = . Khi ®ã hÖ cã d¹ng 2 2

u.log5 v.log7 0

u.log7 v.log5 log 5 log 7

− = − = −

- Ta có 2 2log5 log 7D log 7 log 5

log7 log5

−= = −

−

( )2 2u 2 2

0 log7D log 5 log 7 .log 7

log 5 log 7 log5

−= = −

− −

( )2 2v 2 2

log5 0D log 5 log 7 .log5

log7 log 5 log 7= = −

−

- DÔ thÊy D 0≠ nªn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

u

v

Du log7

DD

v log5D

= = − = = −

, suy ra

1x

71

y5

= =

.

- VËy hÖ cã mét nghiÖm

1x

71

y5

= =

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: ( ) 33log 2log xy

2 2

4 2 xy (1)

x y 3x 3y 12 (2)

= +

+ − − =

Lời giải: - ðiều kiện: x.y 0>

- NhËn xÐt b blog c log aa c= , ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng víi ( ) 33

log xy log xy22 2 2= +

- §Æt ( )3log xyt 2 t 0= > ta cã ( )2 2 t 1 loai

t 2 t t t 2 0 t 2

= −= + ⇔ − − = ⇔

=

- Víi t 2= th× 3log xy 1= hay xy 3= .

- BiÕn ®æi phương trình (2) thµnh ( ) ( ) ( )( )

2 x y 6x y 3 x y 18 0

x y 3

+ =+ − + − = ⇔

+ = −

- Nh− vËy, ta cã hai hÖ x y 6

x.y 3

+ = =

vµ x y 3

x.y 3

+ = − =

- VËy hÖ cã hai nghiÖm ( )3 6; 3 6− + vµ ( )3 6; 3 6+ − .


1) 2 42

2 4

5log x 3log y 8

10 log x log y 9

− = − = −

2) ( )27 27 27

33

3

log xy 3log x.log y

3log xxlog

y 4log y

= =

3) 2 2 2

3 3 3

x log 3 log y y log x

x log 12 log x y log y

+ = + + = +

4) 8 8log y log x

4 4

x y 4

log x log y 1

+ = − =

5) x y2 2 8

x y 4

+ =

+ = 6)

2 3

2 3

log x 3 5 log y 5

3 log x 1 log y 1

+ − =

− − = −

7) y 1 x

x y

3 2 5

4 6.3 2 0

+ − =

− + = 8)

x y

2y

log y log x 2

x 3x y 20 log x

+ =

− − = +

9)

2 2

2

2x 2 2x y y

2y 2 2x y

4 2 4 1

2 3.2 16

− +

+ +

− + =

− =

10) 2cot x siny

sin y 2cot x

9 3

9 81 2

+ =

− =

11) y xlog xy log y

2x 2y 3

=

+ = 12)

2

x 2lg y 3

x 3lg y 1

+ =

− =

3. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

x y

32 2

x y (1)

xlog log 4y 10 (2)

2

e e − = −

+ =

Lời giải: - ðiều kiện: x, y 0>

- Ph−¬ng tr×nh ( ) ( )x y1 x y 3e e⇔ − = −

- XÐt hµm sè ( ) tt e tf = − liªn tôc víi mäi t 0> . MÆt kh¸c ( ) t' t e 1 0 f = − > víi mäi t 0> ,

do ®ã hàm số ( )t f ®ång biÕn khi t 0> .

- Ph−¬ng tr×nh (3) viÕt d−íi d¹ng ( ) ( )x y x y.f f= ⇔ =

- ThÕ x y= vµo ph−¬ng tr×nh (2) ®−îc 32 2

xlog log 4x 10

2+ =

( )2 2 2 log x 1 2 2 3log x 10 log x 1⇔ − + + = ⇔ =

- VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ( ) ( )x; y 2; 2 .=

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: ( ) ( )2 2

ln 1 x ln 1 y x y (1)

2x 5xy y 0 (2)

+ − + = − − + =

Lời giải: - ðiều kiện: x 1, y 1> − > −

- Phương trình (1) cña hÖ ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng: ( ) ( ) ( )ln 1 x x ln 1 y y 3+ − = + −

- XÐt hµm sè ( ) ( )t ln 1 t tf = + − , víi t ( 1; )∈ − +∞ . Ta cã ( ) 1 t' t 1

1 t 1 tf

−= − =+ +

. Ta thÊy

( )' t 0 t 0.f = ⇔ = Hµm sè ( )tf ®ång biÕn trong ( )1; 0− vµ nghÞch biÕn trong ( )0;+∞ .

- Ta cã ( ) ( ) ( )3 x yf f⇔ = . Lóc ®ã x y= hoÆc xy 0.<

+ NÕu xy 0.< th× vÕ tr¸i cña (2) lu«n d−¬ng. Ph−¬ng tr×nh kh«ng tho¶ m·n. + NÕu x y= , thay vµo phương trình (2), ta ®−îc nghiÖm cña hÖ lµ x y 0.= =

Lưu ý: Khi gÆp hÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng ( ) ( )( )x y

x,y 0

f f

g

= =

. Ta cã thÓ t×m lêi gi¶i theo mét trong hai

h−íng sau Hướng 1: Phương trình ( ) ( ) ( )1 x y 0f f⇔ − = vµ t×m c¸ch ®−a vÒ phương trình tÝch.

Hướng 2: XÐt hµm sè ( )y tf= . ta th−êng gÆp tr−êng hîp hàm số liªn tôc trong tËp x¸c ®Þnh

cña nã. + NÕu hµm sè ( )y tf= ®¬n ®iÖu, th× tõ (1), suy ra x y= .

+ NÕu hµm sè ( )y tf= cã mét cùc trÞ t¹i t a= th× nã thay ®æi chiÒu biÕn thiªn mét lÇn khi

qua a. Tõ (1) suy ra x y= hoÆc x, y n»m vÒ hai phÝa cña a. Ví dụ 3. Chøng minh r»ng víi mäi a > 0, hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt

( ) ( )x y ln 1 x ln 1 y (1)

y x a (2)

e e − = + − +

− =

Lời giải: - ðiều kiện: x 1, y 1> − > − - Rót y tõ ph−¬ng tr×nh (2) thay vµo ph−¬ng tr×nh (1), ta ®−îc ph−¬ng tr×nh

( ) ( ) ( )x a xx ln 1 x ln 1 a x 0f e e+= − + + − + + =

( ) ( ) ( )x a a

' x . 1 01 x 1 a x

f e e= − + >+ + +

, khi a 0> vµ x 1.> −

- VËy ( )xf lµ hµm sè liªn tôc, ®ång biÕn trong ( )1; − + ∞ . MÆt kh¸c ( )x 1lim xf→−

= −∞ ;

( )xlim xf→+∞

= +∞ nªn ph−¬ng tr×nh ( )x 0f = cã mét nghiÖm trong ( )1; − + ∞ . VËy hÖ

ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt víi mäi a 0.> Lưu ý: Häc sinh dÔ m¾c sai lÇm khi thÊy hàm số ®ång biÕn ®· kÕt luËn ph−¬ng tr×nh ( )x 0f =

cã nghiÖm duy nhÊt. Ta chØ cã thÓ kÕt luËn ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi hµm sè ®¬n ®iÖu, liªn tôc vµ trong tËp gi¸ trÞ cã c¶ gi¸ trÞ ©m vµ d−¬ng.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: ( )( )

2 3

2 3

log x 3 log 3y

log y 3 log 3x

+ =

+ =

Lời giải: - ðiều kiện: x; y 0>

- HÖ trªn t−¬ng ®−¬ng víi ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2 3 3

2 3

log x 3 log y 3 log 3y log 3x 1

log x 3 log 3y 2

+ − + = −

+ =

- Ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng víi ( ) ( ) ( )2 3 2 3log x 3 log 3x log y 3 log 3y 3+ + = + +

- XÐt hµm sè ( ) ( )2 3t log t 3 log 3tf = + + liªn tôc víi mäi t 0> .

MÆt kh¸c ( ) ( )1 1

' t 0, t 02 t 3 t.ln3

f = + > ∀ >+

do ®ã ( )tf ®ång biÕn víi mäi t 0.>

Ph−¬ng tr×nh (3) viÕt d−íi d¹ng ( ) ( )x y x y.f f= ⇔ = Khi ®ã hÖ t−¬ng ®−¬ng víi

( ) ( )2 3

x y

log x 3 log 3x 4

= + =

- Gi¶i (4): §Æt ( )2 3u log x 3 log 3x= + =

Suy ra u u 1u

u 1 u uu

x 3 4 x 3x 3 2

x 3 3 9 3.43x 3

−

−

+ = =+ = ⇔ ⇔ = + ==

Ph−¬ng tr×nh u u

u u 3 13 9 3.4 9. 3

4 4 + = ⇔ + =

.

NhËn thÊy hµm sè ( )u u

3 1u 9.

4 4f

= +

lµ hµm liªn tôc, nghÞch biÕn víi mäi u∈ℝ vµ

( )1 3.f = Víi u 1> th× ( )u 3f < . Víi u 1< th× ( )u 3.f >

- VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt u 1= , suy ra x 1= vµ y 1=

- VËy hÖ cã mét nghiÖm ( ) ( )x; y 1; 1 .=

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:

( )( )( )

23

23

23

x 2x 6.log 6 y x

y 2y 6.log 6 z y

z 2z 6.log 6 x z

− + − = − + − =

− + − =

Lời giải: - ðiều kiện: x, y, z 6<

- HÖ ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

( )

( )

( )

3 2

3 2

3 2

xlog 6 y (1)

x 2x 6y

log 6 z (2)y 2y 6

zlog 6 x (3)

z 2z 6

− =

− + − =

− + − = − +

- NhËn xÐt ( )2

xx

x 2x 6f =

− + lµ hµm ®ång biÕn (v× ( )

( )2 2

6 x' x 0

x 2x 6 x 2x 6f

−= >− + − +

víi x 6< ) cßn ( ) ( )3x log 6 xg = − lµ hµm nghÞch biÕn víi x 6.<

- NÕu ( )x, y, z lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh ta chøng minh x y z= = . Kh«ng mÊt tæng

qu¸t gi¶ sö ( )x max x, y, z= th× cã hai tr−êng hîp:

+ x y z≥ ≥ (1) suy ra ( ) ( ) ( )x y zf f f≥ ≥ nªn ( ) ( ) ( )3 3 3log 6 y log 6 z log 6 x .− ≥ − ≥ −

MÆt kh¸c ( )xg lµ hµm gi¶m nªn x z y.≥ ≥ (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã x y z.= =

+ x z y.≥ ≥ T−¬ng tù ta l¹i cã x y z.= =

- Ph−¬ng tr×nh ( ) ( )x xf g= cã nghiÖm duy nhÊt x 3= . VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt

( ) ( )x, y, z 3, 3, 3 .=

Lưu ý: NÕu hÖ ph−¬ng tr×nh ba Èn x, y, z kh«ng thay ®æi khi ho¸n vÞ vßng quanh ®èi víi x, y, z th× kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t cã thÓ gi¶ thiÕt ( )max , , x x y z= .

Ví dụ 5. Hãy xác ñịnh số nghiệm của hệ phương trình ẩn ( )x, y sau ( )( )

3 3

3 2

x y 29 1

log x.log y 1 2

+ = =

Lời giải: - DÔ thÊy, nÕu ( )x, y lµ nghiÖm cña hÖ trªn th× ( )x 1, y 1 * .> >

- §Æt ( )( )3log x t, t 0 do * .= > Khi ®ã, tx 3= vµ tõ ph−¬ng tr×nh (2) cã 1

ty 2= . V× thÕ, tõ

ph−¬ng tr×nh (1) ta cã ph−¬ng tr×nh Èn t sau: 1

t t9 8 29+ = (3). - DÔ thÊy sè nghiÖm cña hÖ b»ng sè nghiÖm d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh (3).

- XÐt hµm sè ( )1

t tt 9 8 29f = + − trªn ( )0; .+∞ Ta cã ( )1

tt

2

8 .ln8' t 9 .ln9

tf = − . Trªn ( )0; ,+∞

hàm số 1

ty 8 .ln8= vµ 2

1y

t= lµ c¸c hµm nghÞch biÕn vµ chØ nhËn gi¸ trÞ d−¬ng. V× thÕ, trªn

kho¶ng ®ã,

1

t

2

8 .ln8y

t= − lµ hµm ®ång biÕn trªn ( )0; .+∞ Suy ra ( )' tf lµ hµm ®ång biÕn trªn

( )0; .+∞ H¬n n÷a, do ( ) ( )( )2561' . ' 1 18 ln 9 ln 2 ln 27 ln16 0

2f f = − − <

nªn tån t¹i ( )0t 0;1∈

sao cho ( )0' t 0.f = Do ®ã, ta cã b¶ng biÕn thiªn sau cña hµm ( )tf trªn kho¶ng ( )0;+∞

- Tõ ®ã, víi l−u ý r»ng ( )1 12 0f = − ≤ , suy ra phương trình (3) cã ®óng 2 nghiÖm d−¬ng. V×

vËy, hÖ cã tÊt c¶ 2 nghiÖm.

f(1)

t 0 t0 1 +∞

f ’(t) - 0 +

f(t)

+∞

f(t0)

+∞


1) ( )2x y 1 2x y 2x y 1

2 2

1 4 .5 1 2

x y 2

− − + − + + = +

+ =

2) ( )( )

2 3

2 3

log sin x 3 log 3cos y

log cos y 3 log 3sin x

+ =

+ =

3) ( ) ( )( ) ( )

2 22 3

2 22 3

log 1 3 1 x log 1 y 2

log 1 3 1 y log 1 x 2

+ − = − + + − = − +

4) x

y

2 2x 3 y

2 2y 3 x

+ = +

+ = +

5) x y

2 2

3 3 y x

x xy y 12

− = −

+ + =

4. PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC Ngoµi çch gi¶i nãi trªn, còng gièng nh− ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ l«garit ta cã thÓ ®¸nh gi¸ hai vÕ, sö dông çc bÊt ®¼ng thøc, dïng ®å thÞ ®Ó gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh, ph−¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ..

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )

( )2 2x y log y log x 1 xy 1

xy 3y 2 0 2

− = − +

− + =

Lời giải: - ðiều kiện: x 0, y 0> > - XÐt ph−¬ng tr×nh thø nhÊt trong hÖ + NÕu x y> th× 2 2log y log x< suy ra VP 0, VT 0.< > Do ®ã hÖ v« nghiÖm.

+ NÕu x y< th× 2 2log y log x> suy ra VP 0, VT 0.> < Do ®ã hÖ v« nghiÖm. + VËy x y= lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) - Khi ®ã hÖ t−¬ng ®−¬ng víi

2

x yx yx y x y 1

x 1xy 3y 2 0 x y 2x 3x 2 0

x 2

=== = = ⇔ ⇔ ⇔= − + = = =− + = =

- VËy hÖ cã hai nghiÖm: ( ) ( )1;1 , 2;2 .

Ví dụ 2. Tìm m ñể hệ sau có nghiệm ( ) ( )

( )2 2x y

log x y 1 1

x 2y m 2

+ + ≥

+ =

Lời giải: - Tr−íc hÕt ta biÓu diÔn trªn mÆt ph¼ng täa ®é çc ®iÓm M(x, y) tho¶ m·n (1). Ta thÊy (1)

t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau:

( )2 2

2 2

2 22 2

x y 1x y 1

I : 1 1 1x y x y x y

2 2 2

+ > + > ⇔ + ≥ + − + − ≤

( ) 2 2 2 2

2 2 2

x y 0 x y 0

II : 0 x y 1 0 x y 1

x y x y 1 1 1x y

2 2 2

+ > + >

< + < ⇔ < + < + ≤ + − + − ≥

- Tõ ®ã suy ra chóng ®−îc biÓu diÔn b»ng miÒn g¹ch trong h×nh bªn (trong ®ã lÊy

biªn cña ®−êng trßn t©m O1 b¸n kÝnh 2

2

vµ kh«ng lÊy biªn cña ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh 1). §iÓm A lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng x y 0+ = víi ®−êng trßn

2 2x y 1+ = vµ chó ý r»ng A lµ giao ®iÓm phÝa d−íi nªn suy ra to¹ ®é cña nã lµ

2 2

x , y .2 2

= = − §−êng th¼ng x 2y m+ =

®i qua ®iÓm A khi 2

m2

= − . Áp dông ®iÒu kiÖn ®Ó ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi ®−êng trßn ta

ph¶i cã 2

5 3m

2 2 = − +

. Do tiÕp tuyÕn phÝa trªn, nªn ta lÊy 3 10

m2

+= . Tõ ®ã suy ra ®Ó

®−êng th¼ng x 2y m+ = c¾t miÒn g¹ch ta ph¶i cã 2 3 10

m2 2

+− < ≤ .

Ví dụ 3. Tìm m ñể hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )

( )x y

2 2

2 2 y x m 1 1

x y m 2

− = − + + =

Lời giải: ● ðiều kiện cần

- NÕu hÖ cã nghiÖm ( )0 0x ; y th× ( )0 0x ; y− còng lµ nghiÖm. Cho nªn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

th× 0 0x x= − hay 0x 0.=

- Khi ®ã hÖ t−¬ng ®−¬ng víi ( )( )

y

2

1 2 y 3

y m 4

− = =

- Tõ ph−¬ng tr×nh (4) suy ra y 0≥ . Do ®ã y y 01 2 0 2 1 2 y 0− ≥ ⇒ ≤ = ⇒ ≤ .

- Víi y 0= th× m 0= . §ã chÝnh lµ ®iÒu kiÖn cÇn.

● ðiều kiện ñủ

- Gi¶ sö m 0= , khi dã hÖ cã d¹ng: ( )( )

x yx y

22

2 x 2 y 52 2 y x

x y 0 6x y 0

+ = +− = − ⇔ + =+ =

- Gi¶i (5) xÐt hµm sè ( ) tt 2 tf = + ®ång biÕn vµ liªn tôc trªn ℝ . Do ®ã ph−¬ng tr×nh (5) viÕt

lµ ( ) ( )x y x yf f= ⇔ = .

- Khi ®ã hÖ cã d¹ng 2

x y x y 0

x y 0

=⇔ = = + =

lµ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ.

- VËy víi m 0= th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.

x+2y=2

2−

x+y=0

x+2y=2

103+

x

y


1) ( )( )x y

2 2

2 2

log y log x xy 1

x y 1

e e − = − +

+ = 2)

( )( )2 2

3 3

x y log y log x xy 2

x y 16

− = − +

+ =

3) x y2 2 1

x y 2

+ ≤

+ ≥ − 4)

( )

24x 8x 12 log 7 2y 1

2

4 7

y 3 3 y 2 y 1 1

− + − − =

− − − + ≥

BAØI TAÄP LUYEÄN TAÄP Giải các hệ phương trình sau:

1) ( )( )

x

y

log 6x 4y 2

log 6y 4x 2

+ =

+ = 2)

( )( )

4

4

4 y x

4 x y

x y .3 1

8 x y 6 0

−

−

+ =

+ − =

3) ( )3

2 x

x log y 3

2y y 12 .3 81y

+ = − + =

4) ( )( )

3 2x

3 2y

log x 2x 3x 5y 3

log y 2y 3y 5x 3

+ − − =

+ − − =

5) ( )

ylog 5

2 y

y.x x

log y.log y 3x 2

x =

− =

6) ( )

( )

22

2

18yx 1 2

x y

2 4 3 2 y x

3 72 x y

2 2

++

+

− = −

+ + =

7) ( )

( )

23x 2x 3 log 5 y 4

2

3 5

4 y y 2 y 4 8

− − − − + =

− − + + ≤

8) ( )2 3

9 3

x 1 2 y 1

3.log 9x log y 3

− + − =

− =

9) y

2x y

2log x

log xy log x

y 4y 3

=

= + 10)

( )( )

2 x

4 y

log 2 y 0

log 2x 2 0

−

−

− >

− >.

---------- HẾT ----------

CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ –...

Documents

Transcript of CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ –...