CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG

5/13/2018 CHUYÊN ĐÊ ̀ HÌNH GIA ̉I TÍCH TRONG KHÔNG - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/chuyen-de-hinh-giai-tich-trong-khong 1/40

L eâN goïc Sôn_ SP T oaùn K 07 _ Ñ H T aây N guyeân

1

CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG

KHÔNG GIAN

Phương tr ình mặt phẳng

Bài 1 Lập phương tr ình tham số của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2,3,2) và cặp VTCP là

(2,1,2); (3,2, 1)

a b

Bài 2: Lập phương tr ình tham số của mặt phẳng (P) đi qua M(1,1,1) và

1) Song song vớ i các trục 0x và 0y.

2) Song song vớ i các trục 0x,0z.

3) Song song vớ i các trục 0y, 0z.

Bài 3: Lập phương tr ình tham số của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1,-1,1) và B(2,1,1) và :

1) Cùng phương vớ i trục 0x.

2) Cùng phương vớ i trục 0y.

3) Cùng phương vớ i trục 0z.

Bài 4: Xác định toạ độ của véc tơ

n vuông góc với hai véc tơ (6, 1, 3); (3,2,1)

a b .

Bài 5: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là (2, 7,2); (3, 2, 4)

a b

Bài 6: Lập phương tr ình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :

1) (P) đi qua điểm A(-1,3,-2) và nhận (2, 3, 4);

n làm VTPT.

2) (P) đi qua điểm M(-1,3,-2) và song song vớ i (Q): x+2y+z+4=0.

Bài7: Lập phương tr ình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2,6,-3) và song song vớ i các

mặt phẳng toạ độ.

Bài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,

(Q) : y-z-1=0 .Viết phương tr ình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc vớ i hai mặt

phẳng (P),(Q).




2

Chuyển dạng phương tr ình mặt phẳng

Bài1: Tìm một cặp VTCP của các mặt phẳng sau:

1) (P) : x-2y-1=0

2)

1 2

1 2 1 2

1 2

1( ) : 2 ( ; )

1 3

x t t P y t t t t R

z t t

3) (P) : x+4y+7z+16=0

Bài 2: Tìm một cặp VTPT của các mặt phẳng sau:

1)

1 2

1 2 1 2

1 2

1

( ) : 2 ( ; )

1 3

x t t

P y t t t t R

z t t

2) (P): x-2y-1=0.

3) (P) :x+4y+7z+16=0.

Bài 3: Chuyển dạng phương tr ình tổng quát của (P) sang dạng tham, số trong các trườ ng

hợ p sau:

1) (P): x+2y+3z-12=0.

2) (P): 3x+2y+z-6=0.

3) (P): x+2y-4=0.

4) (P): 2y+3z-6=0.

Bài 4: Chuyển dạng phương tr ình tham số của (P) sang dạng tổng quát trong các trườ ng

hợ p sau:

1)

1 2

1 1 2

2

1

( ) : 2 ( ; )

2

x t t

P y t t t R

z t




3

2)

1 2

1 2 1 2

1 2

1

( ) : 2 ( ; )

1 3

x t t

P y t t t t R

z t t

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) phương tr ình tham số:

1

2 1 2

1

1

( ) : 2 ( ; )

3

x t

P y t t t R

z t

1) Lập phương tr ình tổng quát của (P).

2) Lập phương tr ình tổng quát của (Q) đi qua điểm A(1,2,3) và song song vớ i (P).

Bài 6: Lập phương tr ình tham số và phương tr ình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các

trườ ng hợ p sau:

1) Đi qua hai điểm A(0,-1,4) và có cặp VTCP là 3, 2,1

a và 3, 0,1

b

2) Đi qua hai điểm B(4,-1,1) và C(3,1,-1) và cùng phương vớ i trục vớ i 0x.

Bài 7: Cho tứ diện ABCD có A(5,1,3) B(1,6,2) C(5,0,4) D(4,0,6) .

1) Viết phương tr ình tham số và phương tr ình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD)

(ABD) (BCD).

2) Viết phương tr ình tham số và phương tr ình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB

và song song vpí cạnh CD.

Bài 8: Viết phương trình tham số và tổng quát của (P)

1) Đi qua ba điểm A(1,0,0), B(0,2,0) , C(0,03) .

2) Đi qua A(1,2,3) ,B(2,2,3) và vuông góc vớ i mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0

3) Chứa 0x và đi qua A(4,-1,2) ,

4) Chứa 0y và đi qua B(1,4,-3)

Bài 9: Cho hai điểm A(3,2,3) B(3,4,1) trong không gian 0xyz

1) Viết phương tr ình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.

2) Viết phương tr ình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc vớ i mặt phẳng

y0z




4

3) Viết phương tr ình mặt phẳng (R) qua A và song song vớ i mặt phẳng (P).

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối ciủa các cặp mặt phẳng sau:

1) (P1): y-z+4=0, và

1

2 1 2 1 2

1 2

3 2

: 1 4 , ,

5 4

x t

P y t t t t R

z t t

2) (P1): 9x+10y-7z+9=0

1 2

2 1 2 1 2

1 2

1 2 3

: 7 2 , ,

3 4

x t t

P y t t t t R

z t t

3) (P1): x+y-z-4=0và

1 2

2 1 2 1 2

1 2

1

: 2 2 , ,

1

x t t

P y t t t t R

z t t

Chùm mặt phẳng

Bài 1: Lập phương tr ình mặt phẳng qua M(2,1,3) và chứa (d) , biết :

1)

2 3 5 0:

2 1 0

x y z d

x y z

2)

: 2 2

1 2

x t

d y t

z t

Bài 2:Lập phương tr ình mặt phẳng đi qua điểm M(2,1,-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt

phẳng (P1) và (P2) có phương tr ình :

(P1): x-y+z-4=0 và (P2) 3x-y+z-1=0

Bài 3: Lập phương tr ình mặt phẳng chứa đườ ng thẳng

3 2 3 0:

2 0

x y z d

x z và song

song vớ i mặt phẳng (Q) có phương tr ình :




5

(Q): 11x-2y-15z-6 =0.

Bài 4: Lập phương tr ình mặt phẳng qua giao tuyến của (P1): y+2z-4=0 và (P2) : x+y-z-3=0

và song song vớ i mặt phẳng (Q): x+y+z-2=0.


3 2 3 0:2 0

x y z d x z

và vuông

góc với (Q) có phương tr ình ;

1) (ĐHNNI-95): (Q): x-2y+z+5=0.

2)

1 2

1 2 1 2

1 2

4 3

: 4 2 , ,

5

x t t

Q y t t t t R

z t t

Bài 6: Lập phương tr ình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P1): 3x-y+z-

2=0 và (P2): x+4y-5=0 và vuông góc vớ i mặt phẳng : 2x-z+7=0.

Bài 7: Lập phương tr ình chứa mặt phẳng đườ ng thẳng :

3 2 3 0:

2 0

x y z d

x z và song

song với đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

1)

3 2 7 0

: 3 2 3 0

x y z

d x y z

2)

2 3 5:

2 4 5

x y z d

Bài 8:Lập phương tr ình chứa mặt phẳng đườ ng thẳng :

2 0:

3 2 3 0

x y d

x y z và vuông

góc đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

1)

3 2 7 0:

3 2 3 0

x y z d

x y z

2)

2 3 5:

2 4 5

x y z d




6

Bài 9: Lập phương tr ình chứa mặt phẳng đườ ng thẳng và vớ i mặt phẳng (Q) một góc 60 độ

biết:

3 2 3 0:

2 0

x y z d

x z và (Q):3x+4y-6=0


3 2 0:

5 1 0

x z d

y z và có khoảng

cách đến điểm A(1,-1,0) bằng 1.

Bài 11: Cho đườ ng thẳng (d) và hai mặt phẳng

2 0:

1 0

x z d

y z

và (P1): 5x+5y-3z-2=0 và (P2):2x-y+z-6 =0. Lập phương tr ình mặt

phẳng (P) chứa đườ ng thẳng (d) sao cho: 1

P P và 2

P P là hai đườ ng trực giao.

Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đườ ng thẳng (d1) và (d2) có phương tr ình :

1

8 23 0: ,

4 1 0

x z d

y z ,

2

2 3 0:

2 2 0

x z d

y z .

1) Viết phương tr ình các mặt phẳng 1P , 2

P song song vớ i nhau và lần lượ t chứa 1d

2d

2) Tính khoảng cách giữa 1d , 2

d

3) Lập phương tr ình đườ ng thẳng (D) song song vớ i trục Oz và cắt cả 2 đườ ng

thẳng 1d , 2

d




7

Khoảng cách từ một điểm tớ i mặt phẳng

Bài1:Tính khoảng cách từ điểm M(2,2,1) đến mặt phẳng (P) trong các trườ ng hợ p sau:

1) (P): 2x+y-3z+3=0

2) 1t

1 2

1 2 2

1 2

4 3: 4 2 ,

5

x t t P y t t t R

z t t

Bài2:Trong không gian vớ i hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5,1,3);

B(1,6,2); C(5,0,4); D(4,0,6)

1) Lập phương tr ình tổng quát mặt phẳng (ABC)

2) Tính chiều dài đườ ng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ

diện

3) Viết phương tr ình mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (A,BC,D)

Bà3:Trong không gian vớ i hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1,1,1);

B(-2,0,2); C(0,1,-3; ) D(4,-1,0)

1) (ĐH Luật 1996) Tính chiều dài đườ ng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện

2) Viết phương tr ình mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (A,BC,D)




8

ĐƯỜ NG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Phương tr ình đườ ng thẳng

Bài 1:Lập phương trình đườ ng thẳng (d) trong các trườ ng hợ p sau :

1) (d) đi qua điểm M(1,0,1) và nhận (3,2, 3)

a làm VTCP

2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) và B(2,-1,3)

Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương tr ình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng

(P) : x-3y+2z-6 =0 và các mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Viết phương tr ình chính tắc của đườ ng thẳng đi qua điểm M(2,3,-5) và song song vớ i

đườ ng thẳng (d) có phương tr ình

3 2 7 0:

3 2 3 0

x y z d

x y z

Bài 4: Cho đườ ng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phương tr ình là :

3 4 1 0:

2 3 7 0

x y z d

x y z và (P): x+y+z+1=0

Tìm phương tr ình chính tắc của đườ ng thẳng (t) đi qua A(1,1,1) song song vớ i mặt phẳng

(P) và vuông góc với đườ ng thẳng (D)

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). Viết phương tr ình

tham số của đườ ng thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc vớ i mặt phẳng

chứa tam giác đó




9

Chuyển dạng phương tr ình đườ ng thẳng

Bài 1: Tìm véc tơ chỉ phương của các đườ ng thẳng sau

1)

1 2 1( ) :

3 4 3

x y z d

2)

4 10 0:

2 4 6 0

x y z d

x y z

Bài 2: Cho đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

4 10 0:

2 4 6 0

x y z d

x y z . Hãy viết phương

trình tham số của đườ ng thẳng đó

Bài3: Cho đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

4 10 0: 2 4 6 0

x y z d x y z . Hãy viết phương

trình chính tắc của đườ ng thẳng đó

Bài4 :Cho đườ ng thẳng (d) có phương tr ình : , t R

: 2 2

1 2

x t

d y t

z t

. Hãy viết phương

trình tổng quát của đườ ng thẳng đó

Bài5: Lập phương tr ình tham số, chính tắc và tổng quát của đườ ng thẳng (d) đi qua điểm

A(2,1,3) và vuông góc vớ i mặt phẳng (P) trong các trườ ng hợ p sau:

1) (P): x+2y+3z-4=0

2) 1t

1 2

1 2 2

1 2

4 3

: 4 2 ,

5

x t t

P y t t t R

z t t

.

3) 1t

1

2 2

2

1

: 2 ,

3

x t

P y t t R

z t

Bài 6:Lập phương tr ình tham số, chính tắc và tổng quát của đườ ng thẳng (d) đi qua điểm

A(1,2,3) và song song với đườ ng thẳng (D) cho bở i :




10

1) t

2 2

: 3

3

x t

D y t R

z t

.

2)

1 0:

4 1 0

x y D

x z

Bài 7: Lập phương tr ình tham số, chính tắc và tổng quát của đườ ng thẳng (d) đi qua điểm

A(1,2,3) và vuông góc với 2 đườ ng thẳng :

1

2 2 0:

2 3 0

x y d

x z ,

2

4 10 0:

2 4 6 0

x y z d

x y z

Bài8: Trong không gian Oxyz, lập phương tr ình tham số, chính tắc và tổng quát của đườ ng

thẳng (d) đi qua điểm A(3,2,1), song song vớ i mặt phẳng (P) và vuông góc với đườ ng thẳng

Biết mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 và

1 0( ) :

4 1 0

x y

y z

Vị trí tương đối của đườ ng thẳng và mặt phẳng

Bài1: Xét vị trí tương đối của đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:

1) , t R

1

: 3

2

x t

d y t

z t

(P): x-y+z+3=0

2) , t R

12 4

: 9

1

x t

d y t

z t

(P): y+4z+17=0

3)

2 3 6 10 0:

5 0

x y z d

x y z (P): y+4z+17=0




11

4)

3 0:

1 0

x y z d

y (P): x+y-2=0

Bài 2: Hãy tính số đo góc tạo bởi đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bở i :

1) (t

12 4

: 9 3 )

1

x t

d y t R

z t

.và 1( t

1

2 2

2

1

: 2 , )

3

x t

P y t t R

z t

.

2)

2 3 6 10 0:

5 0

x y z d

x y z

1( t

1 2

2 2

1

2

: 1 2 , )

x t t

P y t t R

z t

3) , t R

1 2

: 2

2 2

x t

d y t

z t

(P): x-2y+2z+3=0.

Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đườ ng thẳng (d) có phương tr ình (P)

:2x+y+z=0 và

1 2:

2 1 3

x y z d .

1) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .

2) Lập phương tr ình đườ ng thẳng (d1) qua A vuông góc vớ i (d) và nằm trong mặt phẳng (P)

.

Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đườ ng thẳng (dm)

có phương tr ình : (P) :2x-y+2=0 ,

(2 1) (1 ) 1 0:

(2 1) 4 2 0m

m x m y m d

mx m z m xác định m để

(dm)//(P)




12

Vị trí tương đối của hai đườ ng thẳng

Bài 1: Sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tương đối của hai đườ ng thẳng (d1) và (d2) có

phương tr ình cho bở i:

1) t

1

3 2: 2 3

6 4

x t d y t R

z t

,

2

4 19 0:

15 0

x y d

x z

2) t

1

1 2

: 2

3 3

x t

d y t R

z t

,

2

2

: 3 2

3 1

x u

d y u

z u

3)

1

2 1 0:

1 0

x y d

x y z ,

2

3 3 0:

2 1 0

x y z d

x y

Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :

1

5 2

: 1

5

x t

d y t

z t

, 1t,t

1

2 1

1

3 2

: 3

1

x t

d y t R

z t

1) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng (d1),(d2) song song vớ i nhau .

2) Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và thuộc mặt phẳng

chứa (d1),(d2) .

Bài 3: Cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bở i :

1

7 5 9

: 3 1 4

x y z

d ,

2

4 18

: 3 1 4

x y z

d

1) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng (d1),(d2) song song vớ i nhau .

2) Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và thuộc mặt phẳng

chứa (d1),(d2).





13

t R

1

3 2

: 2

6 4

x t

d y t

z t

,

2

4 19 0:

15 0

x y d

x z

1) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng (d1),(d2) cắt nhau .

2) Viết phương tr ình đườ ng phân giác của (d1),(d2)

Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :

1

1 2 4:

2 1 3

x y z d t

2

1

:

2 3

x t

d y t R

z t

1) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng (d1),(d2) cắt nhau.

2) Viết phương tr ình đườ ng phân giác của (d1),(d2)


1

1

:

1

x t

d y t

z

, 1t,t

1

2 1

1

2

: 1

x t

d y t R

z t

1) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng (d1),(d2) chéo nhau.

2) Viết phương tr ình mặt phẳng(P) song song ,cách đều (d1),(d2) .


1

x 8z 23 0d :

y-4z 10 0

,

2

2 3 0:

2 2 0

x z d

y z


2) Viết phương tr ình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d1),(d2) .

Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :

1

1 2 3:

1 2 3

x y z d

2

2 0:

2 3 5 0

x y z d

x y z


2) Viết phương tr ình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d1),(d2) .




14

Hai đườ ng thẳng đồng phẳng và bài tập liên quan

Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phương tr ình mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2) ,biết:

1

1 1 3:

3 2 2

x y z d

2

1 3:

1 1 2

x y z d

Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1,-1,1) và hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình

cho bở i :

1

3x-y-z 3 0d :

2x-y 1 0

t

2: 1 2

3

x t

d y t R

z t

CMR (d1),(d2) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng.

Bài 3: Cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :

1

2x y 0d :

x-y 1 0

1

z

2

3 3 0:

2 1 0

x y z d

x y

1) CMR hai đườ ng thẳng đó cắt nhau.

2) Viết phương tr ình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2).

3) Viết phương tr ình đườ ng phân giác của(d1),(d2)

Bài 4: Cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :

1

2 1 1:

1 2 1

x y z d

t

2

1 2

: 2

1 3

x t

d y t R

z t

1) CMR hai đườ ng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.


3) Viết phương tr ình đườ ng phân giác của(d1),(d2)

Bài5: cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :




15

1

3 1 2:

1 4 3

x y z d ,

2

4 2 0:

3 0

x y d

x z

1) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng (d1),(d2) song song vớ i nhau.


3) Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) trong (P) song song cách đều (d1),(d2) .

Hai đườ ng thẳng chéo nhau và bài tập liên quan

Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :

1

7 3

: 4 2

4 3

x t

d y t

z t 1t,t

1

2 1

1

1

: 9 2

12

x t

d y t R

z t


2) Viết phương tr ình đườ ng thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) .

Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương

trình cho bở i : (d1): x=-y+1=z-1, (d2): - x+1=y-1=z

Tìm toạ độ điểm A1 thuộc (d1) và toạ độ điểm A2 thuộc (d2) để đườ ng thẳng A1A2 vuông

góc vớ i (d1) và vuông góc vớ i (d2) .

Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :

1

1

:

1

x t

d y t

z

, 1t,t

1

2 1

1

2

: 1

x t

d y t R

z t

1) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng (d1),(d2) chéo nhau.Viết phương tr ình mặt phẳng (P),(Q)

song song vớ i nhau và lần lượ t chứa (d1),(d2)

2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) .

Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :




16

t R

1

1 3

: 3 2

2 1

x t

d y t

z

2

3 2 8 0:

5 2 12 0

x y d

x z

1) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng (d1),(d2) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)


Bài 5: (PVBC 99) Cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) ,biết:

1

1 1 2:

2 3 1

x y z d

2

2 2:

2 5 2

x y z d



Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) ,biết:

1

x y 0d :

x-y 0

4z t

2

1 3

:

2

x t

d y t R

z t


2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

Bài 7: cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) ,biết:

1

7 3 9:

1 2 1

x y z d

2

3 1 1:

7 2 3

x y z d



Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :

1

1 1

2 2

: 1

1

x t

d y t

z

, 1 2t ,t

2 2

2

1

: 1

3

x

d y t R

z t


2) Viết phương tr ình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song vớ i (d2) .





17

Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình cho bở i :

1

x y 2z 0d :

x-y 0

1z t

2

2 2

: 5

2

x t

d y t R

z t



3) Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thờ i (d1),(d2) .

Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2,2,4), A(-2,2,0) ,B(-5,2,0) ,C(-

2,1,1). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và SB.

ĐIỂM, ĐƯỜ NG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Đườ ng thẳng đi qua một điểm cắt cả hai đườ ng thẳng cho trướ c.

Bài1: Viết phương tr ình đườ ng thẳng đi qua A(1,2,3) và cắt cả hai đườ ng thẳng

1)

1

x 8z 3 0

d : y-4z 10 0

2

2

2 3 0

: 2 2 0

x z

d y z

2)

1

1 2 3:

1 2 3

x y z d

2

2 0:

2 3 5 0

x y z d

x y z

Bài 2: Viết phương tr ình đườ ng thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đườ ng thẳng:

t

1

1 2

: 2

3 3

x t

d y t R

z t

,

2

2

: 3 2

3 1

x u

d y u

z u

Bài 3: Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) song song với đườ ng thẳng () và cắt cả hai

đườ ng thẳng:




18

2 0:

1 0

x y z

x y z t

1

2

: 1

2

x t

d y t R

z t

2

2 2 0:

3 0

x z d

y

Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phương tr ình đườ ng thẳng đi qua A(1,-1,0) và cắt cả hai đườ ng

thẳng:

1

1 1:

1 1 2

x y z d

2

1:

1 2 1

x y z d

Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phương tr ình đườ ng thẳng đi qua A(1,-1,0) và cắt cả hai đườ ng

thẳng:

1

3x-2y-8 0d :

5x 2z-12 0

t

2

1 3

: 3 2

2

x t

d y t R

z t

Bài 6: Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) vuông góc vớ i (P) :x+y+z-2=0 và cắt cả hai

đườ ng thẳng (d1) và (d2):

t

1

2

: 1

2

x t

d y t R

z t

2

2 2 0:

3 0

x z d

y

Bài 7: Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ và cắt cả 2 đườ ng thẳng (d1) và

(d2):

Đườ ng thẳng đi qua một điểm vuông góc vớ i cả hai đườ ng thẳng cho trướ c.

Bài 1: Viết phương tr ình đườ ng thẳng đi qua A(1,2,3) và cắt cả hai đườ ng thẳng (d1) ,(d2):

1) 1

x 8z 3 0d :

y-4z 10 0

2

2

2 3 0:

2 2 0

x z d

y z

2)

1

3 2 8 0:

5 2 12 0

x y d

x z t

2

1 3

: 3 2

2

x t

d y t R

z t




19

Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) đi qua A(1,1,-2) song song vớ i

mặt phẳng (P) và vuông góc với đườ ng thẳng (d):

01 1 2

: ( ) : - - - 12 1 3

x y z d P x y z

Đườ ng thẳng đi qua một điểm vuông góc vớ i một đườ ng và cắt một đườ ng thẳng

khác

Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phương trình đườ ng thẳng đi qua A(0,1,1) và vuông góc

với đườ ng thẳng (d1) và cắt (d2) ,biết :

1

1 2:

3 1 1

x y z d

2

2 0:

1 0

x y z d

x

Bài 2: Viết phương tr ình đườ ng thẳng đi qua A(1,1,1) và vuông góc với đườ ng thẳng (d1)

và cắt (d2) ,biết :

1

x y z-3 0d :

y z-1 0

2

2 2 9 0:

1 0

x y z d

y z

Bài 3: Viết phương tr ình đườ ng thẳng cắt cả ba đườ ng thẳng (d1) (d2) , (d3) và vuông góc

với vectơ 1,2, 3

u , biết:

1

x-y 0d :

z 1 0

1

2

1 0:

0

x y d

z

3

1 0:

1

x y d

z

Bài 4: Tìm tất cả các đườ ng thẳng cắt (d1), (d2) dướ i cùng một góc , biết:

:1

- 0mx y

d z a

2

0

:

mx y

d z a

Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phương tr ình đườ ng thẳng đi qua A(3,-2,-4) song song vớ i mặt

phẳng (P) :3x-2y-3z-7=0 và cắt đườ ng thẳng (d) biết:

2 4 1:

3 2 2

x y z d




20

Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2,1,3) qua (P) cho bở i:

1) (P): 2x+y-z-3=0.

2) 1 2t ,t

1 2

1 2

1 2

1: 2 2

1

x t t P y t t R

z t t

Bài 2: (ĐHKTCN-97): Cho điểm A(1,2,3) và mặt phẳng (P) có phương tr ình :2x-y+2z-3=0

1) Lập phương tr ình mặt phẳng qua A và song song vớ i (P).

2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

(P). Xác định toạ độ của H

Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm A(1,1,2),B(-2,1,-1) ,C(2,-2,-1) .Xác định toạ độ

hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC).

Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2,3,5) và mặt phẳng (P) có phương tr ình :2x+3y+z-

17=0

1) Lập phương tr ình đườ ng thẳng (d) qua A và vuông gócvớ i (P).

2) CMR đườ ng thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao điểm M của chúng.

3) Xác định toạ độ điểm A1 đối xứng vớ i A qua (P).

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) và đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

(P): 2x+5y+z+17=0 và

3 4 27 0:

6 3 7 0

x y z d

x y z

1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P).

2) Lập phương tr ình đườ ng thẳng (d1) đối xứng vớ i (d) qua (P)

Bài 6: Cho mặt phẳng (P) và đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

(P): 2x+y+z+4=0 và

2 3 0:

3 2 7 0

x y d

x z

1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P).

2) Lập phương tr ình đườ ng thẳng (d1) đối xứng vớ i (d) qua (P)




21

Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) (a,b,c dương ) >Dựng hình

hộp chữ nhật nhận O,A,B,C làm 4 đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp

đó

1) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)

2) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều kiện đối vớ i

a,b,c để hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy)

Hình chiếu vuông góc của đườ ng thẳng lên mặt phẳng

Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian vớ i hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho

đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương tr ình :

(P):x+y+z-3=0 và

3 0:

2 3 0

x z d

y z Lập phương tr ình hình chiếu vuông góc của

đườ ng thẳng (d) lên (Q).

Bài 2: Lập phương tr ình hình chiếu vuông góc của giao tuyến (d) của hai mặt phẳng 3x-

y+z-2=0 và x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0.

Bài3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian vớ i hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz cho đườ ng thẳng (d)

và mặt phẳng (P) có phương tr ình :

4 1:

4 3 2

x y z d và (P): x-y+3z+8=0.

Hãy viết phương tr ình chính tắc hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) .

Bài4: Trong không gian 0xyz cho đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phương tr ình :

3x-2y z-3 0

d :x-2z 0

1 2t ,t

1 2

1 2

1 2

4 3: 4 2

5

x t t Q y t t R

z t t

Lập phương tr ình hình chiếu vuông góc của đườ ng thẳng (d) lên (Q) .

Bài5: Cho đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phương tr ình :




22

2 - 1 0

:2 - - 3 0

x y z d

x y z

(Q): x-y+z+10=0

Hãy viết phương tr ình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P) .

Bài6: (ĐH Cần Thơ 1998) Trong không gian vớ i hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đườ ng

thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương tr ình :

1 2 1:

1 2 3

x y z d và (P): x+y+z+1=0.

Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P) .

Bài7: (HVQY-95): Trong không gian vớ i hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đườ ng thẳng (d) và

mặt phẳng (P) có phương tr ình :

1 2 1:

1 2 3

x y z d và (P): x+y+z+1=0.

1) Hãy viết phương tr ình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (Oxy) .

2) CMR khi m thay đổi đườ ng thẳng (d1) luôn tiếp xúc vớ i một đườ ng tròn cố định trong

mặt phẳng 0xy.

Bài8: (ĐHQG-98): Trong không gian vớ i hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho mặt phẳng (P) và

hai đườ ng thẳng (d1) và (d2) có phương tr ình :

(P):x+y-z+1=0; 1

2y-z 0d :

x 2y 0

1

2

3 12 0:

2 0

y z d

x z

1) Hãy viết phương tr ình hình chiếu vuông góc (1), (2) của (d1), (d2) lên (P) .Tìm toạ độ

giao điểm I của (d1), (d2).

2) Víêt phương tr ình mặt phẳng 1P chứa (d1) và vuông góc vớ i (P).




23

Hình chiếu vuông góc của điểm lên đườ ng thẳng

Bài 1: cho điểm A(1,2,3) và đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

2 2 9 0:

1 0

x y z d

y z

.Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó t ìm toạ độ điểm A1 đối xứng

vớ i A qua (d) .

Bài2: cho điểm A(1,2,-1) và đườ ng thẳng (d) có phương tr ình : t

2 1

: 2

3 3

x t

d y t R

z t

Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó t ìm toạ độ điểm A1 đối xứng vớ i

A qua (d) .

Bài3: cho điểm A(2,1,-3) và đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

1 2 3:

1 2 1

x y z d .Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó

tìm toạ độ điểm A1 đối xứng vớ i A qua (d) .

Bài 4: (ĐHhuế /A,B phân ban 98): Trong không gian 0xyz cho điểm A(2,-1,1) và đườ ng

thẳng (d) có phương tr ình :

4 0:

2 2 0

y z d

x y z

1) Viết phương tr ình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc (d) .

2) Xác định toạ độ điểm B đối xứng vớ i A qua (d) .

Bài 5: (Đề 60-Va): Lập phương tr ình đườ ng thẳng qua A(3,2,1) và vuông góc với đườ ng

thẳng

(d)

3

:2 4 1

x y z và cắt với đườ ng thẳng đó .

Bài 6: (ĐHTM-2000): Lập phương tr ình đườ ng thẳng qua A(2,-1,0) và vuông góc vớ i

đườ ng thẳng

5 2 0:

2 1 0

x y z d

x y z

và cắt với đườ ng thẳng đó .




24

Bài7: (HV BCVT-2000): Cho 2 đườ ng thẳng () và (d) có phương tr ình :

3 1 1:

7 2 3

x y z

7 3 9:

1 2 1

x y z d

Lập phương tr ình đườ ng thẳng (d1) đối xứng vớ i (d) qua ()

Bài 8: (ĐHHH-1999): Trong không gian cho 2 đườ ng thẳng (d1),(d2) :

2(d t R

1

2 1 0: ) : 1 2

1 04 5

x t x y

d y t x y z

z t

1) (d1) , (d2) có cắt nhau hay không

2) Gọi B,C lần lượt là các điểm đối xứng của A(1,0,0) qua (d1),(d2) . Tính diện tích tam

giác ABC

Bài 9: (ĐHTM-1999): Trong không gian cho đườ ng thẳng (d1) và mặt phẳng (P) :

(P

1

2 2 3 0: ) : 2 3 0

2 2 17 0

x y z d x y z

x y z

1) Tìm điểm đối xứng của điểm A(3,-1,2) qua đườ ng thẳng (d)

2) Viết phương tr ình hình chiếu vuông góc của đườ ng thẳng (d) trên mặt phẳng (P)

Bài10: Trong không gian 0xyz cho bốn đườ ng thẳng (d1), (d2), (d3), (d4) có phương tr ình :

1

0:

mx y d

z h ,

2

0:

mx y d

z h ,

3

0:

mx y d

z h ,

4

0:

mx y d

z h

CMR các điểm đối xứng A1, , A2, , A3,

A4 của A bất kì trong không gian qua (d1), (d2), (d3), (d4) là đồng phẳng . Lập phương tr ình

mặt phẳng chứa chúng .




25

Điểm và mặt phẳng

Bài 1: cho hai điểm A(1,0,2) ;B(2,-1,3) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc

(P) sao cho AM+BM nhỏ nhất.

Bài 2: cho hai điểm A(1,1,0) ;B(0,-1,1) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc

(P) sao cho AM+BM nhỏ nhất.

Bài 3: (ĐHhuế /A hệ chưa phân ban 97):Trong không gian vớ i hệ toạ độ 0xyz cho mặt

phẳng (P): 2x-y+z+1=0 và hai điểm A(3,1,0), B(-9,4,9) .Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng

(P) sao cho MA MB là lớ n nhất .

Bài 4: (ĐHQG-2000):Cho mặt phẳng

(P):x+y+z-1=0 và hai điểm A(1,-3,0) ,B(5,-1,-2)

1) Chứng tỏ rằng đườ ng thẳng đi qua A,B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm

đó .

2) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB đạt giá trị lớ n nhất.

Bài 5: (ĐHMĐC-97):

cho ba điểm A(1,4,5) B(0,3,1) ,C(2,-1,0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gọi G là trọng

tâm ABC .CMR điều k ịên cần và đủ để M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình

phương khoảng cách đến các điểm A,B,C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc

của điểm G trên mặt phẳng (P) .Xác định toạ độ của điểm M đó.

Bài 6: Cho mặt phẳng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.

1) CMR (P) luôn đi qua một điểm cố định M, Tìm toạ độ của M.

2) Giả sử (P) cắt 0x,0y,0z theo thứ tự tại A,B,C .

Tính 0A,0B,0C để tứ diện 0ABC đạt giá trị nhỏ nhất . Tính 0A,0B,0C để 0A+0B+0C là nhỏ nhất .




26

Điểm và đườ ng thẳng

Bài 1: Tìm trên đườ ng thẳng (d) điểm M(xM,yM,zM) sao cho 2 2 2

M M M x y z nhỏ nhất

,biết:

1) t

2

: 1 2

3

x t

d y t R

z t

2)

3 1 4:

2 3 5

x y z d

3)

3 4 1 0:

2 3 7 0

x y z d

x y z

Bài 2: Cho đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

3 0:

5 0

x y z d

x y .Tìm điểm M thuộc

(d) sao cho AM+BM nhỏ nhất khi :

1) A(1,2,-1), B(8,1,-2) .

2) A(1,2,-1),B(0,1,2).

Bài 3: (ĐHBK -98):Cho đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P)có phương tr ình :

t

1 2

: 2

3

x t

d y t R

z t

,(P):2x-y-2z+1=0

1) Tìm toạ độ các điểm thuộc đườ ng thẳng(d) sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt

phẳng (P) bằng 1.

2) Gọi K là điểm đối xứng của điểm

I(2,-1,3) qua đườ ng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.

Bài 4: (ĐHHồng Đức -2000): Cho đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương tr ình :

t

1

: 1

2

x t

d y t R

z t

và (P): x+2y+z-1=0.




27

1) Tìm toạ độ các điểm thuộc đườ ng thẳng(d) sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt

phẳng (P) bằng 6 .

2) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2,0,-1) qua đườ ng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.

Bài 5: (ĐHĐà nẵng -2000): Cho điểm

A(-4,4,0),B(2,0,4),C(1,2,-1),D(7,-2,3).

1) CMR A,B,C,D đồng phẳng .

2) Tính khoảng cách từ Cđến đườ ng thẳng (AB)

Góc trong không gian

Bài 1: Xác định số đo góc giữa 2 đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình :

1) 2

4x y-19 0& (d ):

x-z 15 0

1

3 2

: 2 3

6 4

x t

d y t

z t

2)

1

2 1

: 2

3 3

x t

d y t

z t

,

2

2

: 3 2

1 3

x u

d y u

z u

3)

1

2 1 0:

1 0

x y d

x y z

2

3 3 0:

2 1 0

x y z d

x y

Bài 2: (ĐHHH-2000): Cho ba đườ ng thẳng (d1),(d2), (d3) có phương tr ình :

t

1

1

: 2 4

2 3

x t

d y t R

z t

,

2

4 3 0:

2 1 0

x y z d

x y z

3

1 5:

3 1 1

x y z d

1) Xác định cosin góc giữa (d1),(d2).

2) Lập phương tr ình đườ ng thẳng (d) song song vớ i (d3) đồng thờ i cắt cả (d1),(d2).

Bài 3:Xác định số đo góc giữa đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương tr ình cho bở i :




28

1)

4 19 0:

15 0

x y d

x z và (P):x+y-7z-58=0.

2)

2 1 0:

1 0

x y d

x y z &

1 2

1 2

1 2

1

: 2

1 3

x t t

P y t t

z t t

Bài 4:(CĐSP TP.HCM-99): Cho đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương tr ình :

3 4 3:

1 2 1

x y z d và (P):2x+y+z-1=0

1) Xác định số đo góc giữa đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) .

2) Tìm toạ độ giao điểm A của đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P).

3) Lập phương tr ình tổng quát của đườ ng thẳng (d1) đi qua A vuông góc vớ i (d) và nằmtrong mặt phẳng (P).

Bài 5: (ĐHAN-CS-98): Cho đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương tr ình :

1 3 1:

1 2 2

x y z d và (P): x+z+2=0

1) Xác định số đo góc giữa đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) .

2) Lập phương tr ình đườ ng thẳng (d1) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).

Tam giác trong không gian

Bài 1: Cho ABC bíêt A(1,2,5), B(1,4,3), C(5,2,1) và mặt phẳng (P):x-y-z-3=0.

1) Lập phương tr ình đườ ng trung tuyến ,đường caơ và đườ ng phân giác trong k ẻ từ đỉnh A.

2) Gọi G là trọng tâm ABC .CMR điều k ịên cần và đủ để điểm M nằm trên mặt phẳng (P)

có tổng các bình phương khoảng cách đến các điểm A,B,C nhỏ nhất là điểm M phải làhình chỉếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P) .Xác định toạ độ của điểm M đó.

Bài 2: Cho mặt cầu

2 2 2: 2 4 6 0S x y z x y z .




29

1) Gọi A,B,C lần lượt là giao điểm (khác gốc toạ độ ) của mặt cầu (S) vớ i 0x,0y,0z .Các

đỉnh toạ độ của A,B,C và lập phương tr ình mặt phẳng (ABC).

2) Lập phương tr ình các đườ ng trung tuyến , đường cao và đườ ng phân giác trong k ẻ từ

đỉnh A của ABC.

3)

Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đườ ng tròn ngoại tiếp

ABC. Bài 3: Cho mặt cầu

2 2 2: 2 4 4 0S x y z x z và các điểm A(3,1,0), B(2,2,4) ,C(-1,2,1).

1) Lập phương tr ình mặt phẳng (ABC).

2) Lập phương tr ình các đườ ng trung tuyến ,đường cao và đườ ng phân giác trong k ẻ từ

đỉnh A của ABC.

3) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đườ ng tròn ngoại tiếp ABC.

MẶT CẦU

Phương tr ình mặt cầu

Bài 1: Trong các phương trình sau đây ,phương tr ình nào là phương tr ình của mặt cầu ,khi

đó chỉ rõ toạ độ tâm và bán kính của nó ,biết:

1)

2 2 2: 2 4 6 2 0S x y z x y z

2) 2 2 2: 2 4 2 9 0S x y z x y z

3) 2 2 2: 3 3 3 6 3 9 3 0S x y z x y z

4) 2 2 2: 4 2 5 7 0S x y z x y z

5) 2 2 2: 2 2 0S x y z x y

Bài 2: Cho họ mặt cong (Sm) có phương tr ình :

2 2 2 2: 4 2 6 4 0m

S x y z mx my z m m

1) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .

2) CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên một đườ ng thẳng cố định.




30


2 2 2 2 2: 4 2 8 5 0m

S x y z mx m y m


2) Tìm qu ĩ tích tâm của họ (Sm) khi m thay đổi.

3) Tìm điểm cố định M mà (Sm) luôn đi qua.


2 2 2: 2 sin 2 cos 3 0m

S x y z x m y m


2) CMR tâm của (Sm) luôn chạy trên một đườ ng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi

m thay đổi.

3) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đườ ng thẳng y=m(-1<m<1 ,m#0) ,cắt (C)

tại T, S , đườ ng thẳng qua A , T cắt đườ ng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P

khi m thay đổi .

Bài 5: Lập phương tr ình mặt cầu (S) ,biết :

1) Tâm I(2,1,-1), bán kính R=4.

2) Đi qua điểm A(2,1,-3) và tâm I(3,-2,-1).

3) Đi qua điểm A(1,3,0) ,B(1,1,0) và tâm I thuộc 0x.

4) Hai đầu đườ ng kính là A(-1,2,3), B(3,2,-7)

Bài 6: Cho 3 đườ ng thẳng (d1),(d2), (d3) có phương tr ình :

1

2 2 1:

3 4 1

x y z d

2

7 3 9:

1 2 1

x y z d

3

1 3 2:

3 2 1

x y z d

1) Lập phương tr ình đườ ng thẳng (d) cắt cả hai đườ ng thẳng (d1),(d2) và song song vớ i

đườ ng thẳng (d3).

2) Giả sử 1

d d A , 2

d d B .Lập phương tr ình mặt cầu đườ ng kính AB.




31

Bài 7: Cho 2 đườ ng thẳng (d1),(d2) có phương tr ình :

t

1

2

: 1

2

x t

d y t R

z t

,

2

2 2 0:

3 0

x z d

y

1) CMR (d1) và (d2) chéo nhau.

2) Viết phương tr ình đườ ng vuông góc chung của (d1) và (d2).

3) Lập phương tr ình mật cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).

4) Viết phương tr ình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d1) và (d2).

Mặt cầu tiếp xúc vớ i mặt phẳng

Bài 1: Viết phương tr ình mặt cầu (S) biết :

1) Tâm I(1,2,-2) và tiếp xúc vớ i mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.

2) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1,4,-7) và tiếp xúc vớ i mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.

3) Bán kính R=9 và tiếp xúc vớ i

(P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1,1,-3).

Bài 2: Viết phương tr ình mặt cầu có tâm I trên đườ ng thẳng (d) và tiếp xúc vớ i hai mặt

phẳng ( 1P )và 2P , biết :

1) (ĐHL-95):

2 1 1:

3 2 2

x y z d

1P :x+2y-2z-2=0. và 2

P :x+2y-2z+4=0.

2)

4 2 7 0:

5 4 14 0

x y z d

x y z ,

1P :2x+2y-z-12=0. và 2

P :-2x+2y-z+8=0.

3) t

1 2

: 3

2

x t

d y t R

z t

,




32

1P :3x4y+2z-10=0 2

P :2x-3y+4z-10=0

Bài 3: (ĐHLN-97):Cho đườ ng thẳng (d) và hai mặt phẳng 1P , 2

P ,biết :

1 1

: 2 3 2

x y z

d , 1P :x+y-2z+5=0. và 2P :2x-y+z+2=0

1) Gọi A là giao điểm của (d) vớ i 1P và 2

P .Tính độ dài đoạn AB.

2) Viết phương tr ình mặt cầu cod tâm I trên đườ ng thẳng (d) và tiếp xúc vớ i hai mặt phẳng

1P và 2

P .

Mặt cầu cắt mặt phẳng

Bài 1: Lập phương tr ình mặt cầu có tâm tạo giao điểm I của mặt phẳng (P) và đườ ng thẳng(d) sao cho mặt phẳng (Q) cắt khối cầu theo thíêt diện là hình tròn có diện tích 12ẽ ,biết :

1) t

1

: 3

2

x t

d y t R

z t

,(P):x-y-z+3=0

2)

3 0:

1 0

x y z d

y , (P):x+y-2=0.

Bài 2: Lập phương tr ình mặt cầu có tâm thuộc đườ ng thẳng (d) và cắt mặt phăng (P) theo

thiết diện là đườ ng tròn lớ n có bán kính bằng 18.biết:

t

12 4

: 9 3

1

x t

d y t R

z t

và (P):y+4z+17=0.

Bài 3: Trong không gian 0xyz , cho hai điểm A(0,0,-3),B(2,0,-1) ,và mặt phẳng

(P):3x-8y+7z-1=0 .

1) (HVNH-2000): Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác đều .

2) Lập phương tr ình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng

(P):x-y-z-2=0.




33

Mặt cầu tiếp xúc vớ i đườ ng thẳng

Bài 1: Viết phương tr ình mặt cầu (S) biết :

1) Tâm I(1,2,-1) và tiếp xúc với đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

t

1:

1

x t d y t R

z

2) Tâm I(3,-1,2) và tiếp xúc với đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

2 2 3 0:

2 2 3 17 0

x y z d

x y z

Bài 2: Trong không gian 0xyz, cho hai đườ ng thẳng (d1),(d2) ,biết :

t

1

1 2

: 1

2 3

x t

d y t R

z t

,

2

3 4 0:

2 1 0

x y d

x y z

Lập phương tr ình mặt cầu (S) tiếp xúc vớ i (d1) tại điểm H(3,1,3) và có tâm thuộc đườ ng

thẳng (d2).


1

2 1 0:

1 0

x y d

x y z ,

2

3 3 0:

2 1 0

x y z d

x y

1) CMR hai đườ ng thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng .

2) Viết phương tr ình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đườ ng thẳng (d1) và (d2).

3) Lập phương tr ình mặt cầu tiếp xúc vớ i (d1),(d2) và có tâm thuộc đườ ng thẳng (d) có

phương tr ình : t

1 2

: 2

3 3

x t

d y t R

z t





34

(t R)

1

3 2

: 2 3

6 4

x t

d y t

z t

,

2

4 19 0:

15 0

x y d

x z

1) CMR hai đườ ng thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng .



phương tr ình :

7 5 9:

3 1 4

x y z d


1

2 1:

2 3 4

x y z d ,

2

7 2:

6 9 12

x y z d

1) CMR hai đườ ng thẳng đó song song vớ i nhau.



phương tr ình :

t

1

:

1

x t

d y t R

z


1

7 5 9:

3 1 4

x y z d ,

2

4 18:

3 1 4

x y z d

1) CMR hai đườ ng thẳng đó song song vớ i nhau.



phương tr ình :

t

3 2

: 3

1

x t

d y t R

z t





35

(t R)

1

1 2

: 2

3 3

x t

d y t

z t

,

2

2

: 3 2

1 3

x u

d y u

z u

1) CMR hai đườ ng thẳng đó chéo nhau.

2) Viết phương tr ình đườ ng vuông góc chung của(d1) và (d2).

3) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).

4) Lập phương tr ình mặt cầu tiếp xúc vớ i (d1),(d2) và có tâm thuộc mặt phẳng

(P) : xy+z-2=0


1

3 0:

1 0

x y z d

x z ,

2

2 2 9 0:

1 0

x y z d

y z

1) CMR hai đườ ng thẳng đó chéo nhau.

2) Viết phương tr ình đườ ng vuông góc chung của(d1) và (d2).

3) Lập phương tr ình mặt cầu tiếp xúc vớ i (d1),(d2) và có tâm thuộc mặt phẳng

(P):2x-y+3z-6=0.

Mặt cầu cắt đườ ng thẳng

Bài 1: (ĐHQG-96): Cho điểm I(2,3,-1) và đườ ng thẳng (d) có phương tr ình :

5 4 3 20 0:

3 4 8 0

x y z d

x y z

1) Xác định VTCP

a của (d) suy ra phương tr ình mặt phẳng (P) qua I và vuông góc vớ i

(d):

2) Tính khoảng cách từ I đến (d) từ đó suy ra phương tr ình mặt cầu (S) có tâm sao cho (S)

cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B thoả mãn AB=40.

Bài 2: Cho đườ ng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương tr ình : t

1 2

: 2

3

x t

d y t R

z t

,

(P):2x-y-2z+1=0.




36

1) (ĐHBK -98):Tìm toạ độ các điểm thuộc đườ ng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi

điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.

2) (ĐHBK -98):Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2,-1,3) qua đườ ng thẳng (d) .Xác định

toạ độ K.

3) Lập phương tr ình mặt cầu tâm I cắt đườ ng thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho

AB=12.

4) Lập phương tr ình mặt cầu tâm I tiếp xúc vớ i mặt phẳng (P).

5) Lập phương tr ình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đườ ng tròn có

diện tích bằng 216

Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian vớ i hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm

A(1,0,1), B(2,1,2),C(1,-1,1),D(4,5,-5).

1) Viết phương tr ình tham số của đườ ng thẳng đi qua D và vuông góc vớ i mặt phẳng

(ABC).

2) Viết phương tr ình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài 2: Cho bốn điểm 0(0,0,0),A(6,3,0), B(-2,9,1), S(0,5,8)

1) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.

2) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc vớ i cạnh

0A. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó vớ i 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.


4) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M

trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau.

Bài 3: Trong không gian vớ i hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm A(4,4,4), B(3,3,1),

C(1,5,5), D(1,1,1).

1) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện

ABCD.

2) (HVKTQS-98): Viết phương tr ình tham số đườ ng thẳng vuông góc chung của AC và

BD.




37


4) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Bài 4: cho bốn điểm A(-1,3,2), B(4,0,-3), C(5,-1,4), D(0,6,1).

1) (HVNHTPHCM-99):Viết phương tr ình tham số của đườ ng thẳng BC .Hạ AH vuông góc

BC .Tìm toạ độ của điểm H.

2) (HVNHTPHCM-99):Viết phương tr ình tổng quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (BCD).


Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5,5,6), A(1,3,0),

B(-1,1,4), C(1,-1,4), D(3,1,0).

1)

Lập phương tr ình các mặt của hình chóp.2) Lập phương tr ình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp .

3) Tính thể tích hình chóp SABCD

Bài 6: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1,2,2), B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2).

1) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau .

2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện.

Mặt cầu nội tiếp khối đa diện

Bài 1: Lập phương tr ình mặt cầu nội tiếp hình chóp SABCD ,biết:

1)

4( , 0, 0)

3S ,A(0,-4,0), B(0,-4,0),C(3,0,0).

2) S≡0,A(a,0,0),B(0,b,0), C(0,0,c), vớ i a,b,c>0.

Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đỉnh 1 9

( , , 4)2 2S đáy ABCD là h ình vuông có A(-4,5,0)

,đươngf chéo BD có phương tr ình :

7 8 0:

0

x y d

z

1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chóp .

2) Lập phương tr ình nặt cầu ngoại tiếp hình chóp.




38

3) Lập phương tr ình mặt cầu nội tíêp hình chóp.

Bài 3: Cho ba điểm A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).

1) Viết phương tr ình tổng quát các mặt phẳng (0AB), (0BC), (0CA), (ABC).

2) Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện 0ABC .

3) Tìm toạ độ điểm J đối xứng vớ i I qua mặt phẳng (ABC).

Bài 4: (HVKTMM-99):Cho bốn điểm A(1,2,2), B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2).

1) CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện .


4) Viết phương tr ình mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

Vị trí tương đối của điểm và mặt cầu

Bài 1: Cho mặt cầu 2 2 2: 4 3 0S x y z x y z .xét vị trí tưpng đối của điểm A

đối vớ i mặt cầu (S) trong các trườ ng hợ p sau:

1) điểm A(1,3,2).

2) điểm A(3,1,-4).

3) điểm A(-3,5,1).

Bài 2: Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu 2 2 2: 2 4 2 3 0S x y z x y z .Sao

cho khoảng cách MA đạt giá trị lớ n nhất ,nhỏ nhất,biết:

1) điểm A(1,-2,0).

2) điểm A(1,1,-2).

Vị trí tương đối của đườ ng thẳng và mặt cầu

Bài 1: Cho mặt cầu 2 2 2: 2 2 2 6 0S x y z x y z .Tìm toạ độ điểm M thuộc

(S) sao cho khoảng cách từ M đến (d) đạt giá trị lớ n nhất, nhỏ nhất,biết:

1) t

2

: 1

1

x t

d y t R

z t




39

2)

2 3 0:

2 1 0

x y z d

y z

Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Bài 1: (ĐHDL-97):Trong không gian vớ i hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S) và

mặt phẳng (P) có phương tr ình :

2 2 2: 2 2 0S x y z x ,(P):x+z-1=0.

1) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S).

2) Tính bán kính và toạ độ tâm của đườ ng tròn giao của (S) và (P).

Bài 2: (ĐHSPV-99): Cho điểm I(1,2,-2) và mặt phẳng 2x+2y+z+5=0 .

1) Lập phương tr ình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đườ ng tròn có chu vi

bằng 8ẽ .

2) CMR mặt cầu (S) tiếp xúc vớ i mặt phẳng 2x-2=y+3=z.

3) Lập phương tr ình mặt phẳng chứa đườ ng thẳng (d) và tiếp xúc vớ i (S).

Bài 3: (ĐHBK -A-2000): Cho hình chóp SABCD vớ i S(3,2,-1), A(5,3,-1), B(2,3,-4),

C(1,2,0).

1) CMR SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân.

2) Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đườ ng thẳng AB. M là điểm bất kì thuộc

mặt cầu tâm D, bán kính 18R .(điểm M không phụ thuộc mặt phẳng (ABC) ). Xét

tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đoạn tjẳmg MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó

có đặc điểm gì ?

Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đườ ng tròn (C) có phương tr ình :

2 2 2 14:

0

x y z C

z

.Lập hương tr ình mặt cầu chứa (C) và tiệp xúc vớ i mặt phẳng: 2x+2y-z-6=0.

Bài 5: (CĐHQ-96): Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương tr ình :

2 2 2: ( 3) ( 2) ( 1) 9S x y z ,(P):x+2y+2z+11=0. Tìm điểm M sao cho M thuộc

(S) sao cho khoảng cách từ M tớ i mặt phẳng (P) nhỏ nhất .




40

Vị trí tương đối của hai mặt cầu

Bài1:Cho hai mặt cầu: 2 2 2

1: 2 2 7 0S x y z x y , 2 2 2

2: 2 0S x y z x

1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau.

2) Viết phương tr ình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua điểm M(2,0,1).

Bài2: Cho hai mặt cầu: 2 2 2

1: 9S x y z , 2 2 2

2: 2 2 2 6 0S x y z x y z

1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau.

2) Viết phương tr ình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua điểm M(-2,1,-1).

CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG

Documents

Transcript of CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG