1

Chuyên đề ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC

Nguyễn Bá Đang (Tư vấn Chương trình phát triển giáo dục trung học-Bộ GD-ĐT)

I- ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Đặt vấn đề Để chứng minh hai hay nhiều đường thẳng song song ta thường dùng các cách sau: 1- Dùng định nghĩa

Nhắc lại các tiên đề Euclid. - Qua hai điểm chỉ vẽ được một đường thẳng; - Một đường thẳng có thể kéo dài mãi mãi; - Vẽ đường tròn biết tâm và bán kính; - Mọi góc vuông đều bằng nhau; - Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo nên những góc cùng phía có

tổng nhỏ hơn 1800, thì hai đường này kéo dài sẽ cắt nhau. 2- Sử dụng các dấu hiệu về hai đường thẳng song song; 3- Tính chất đường trung bình trong tam giác; 4- Định lí Thalets. Định lí Thalets tổng quát Nêu cả phần thuận và đảo

Các ví dụ minh họa Bài toán. Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy điểm E, đường thẳng BE cắt AC tại M và đường thẳng CE cắt AB tại N. Chứng minh MN//BC. Giải. Qua E dựng đường thẳng PQ//BC EP EQ

NP PE EQ MQNB BC BC MC

MN//BC. Nhận xét: Kết quả này như một định lí để sử dụng chứng minh cho các bài toán khác. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC không cân, đường trung tuyến AD, phân giác AE. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt AE, AD lần lượt tại F và G. Chứng minh rằng DF luôn đi qua trung điểm của GE. Giải 1. (Lời giải trong МATMATИKA BШKOЛE)

QPN M

E

DB C

A

B'

C'

A'

c

b

a

C

B

A

2

GE//AC AG CEGD ED

CF AE AKC cân FC FK DF//AB MA MC

2BKDF 2AG AK AK

GD DF BK

1 1 1 2CE DC DE DC BD BE DE BEDE DE DE DE DE DE

2( ) 22 2AB AK KB AKDF BK BK

AG CE

GD DE

Vậy GE song song BC DF luôn đi qua trung điểm của GE. Cách 2 AE là phân giác góc A , CK AE ACK là tam giác cân FC FK Theo giả thiết DB DC DM song song với AB MA MC Sử dụng Bài toán trên / /GE AC Và DF đi qua trung điểm EG Ví dụ 2. Cho tam giác vuông ABC ( 090A ), đường cao AH cắt đường phân giác BD và đường phân giác CE tại M và N. Gọi I, J là trung điểm của MD và NE. Chứng minh rằng IJ song song với cạnh BC. Giải 2. Kéo dài AI, AJ cắt cạnh BC tại Q và P . Xét tam giác AEN: 1

2AEC AEN B C

AH BC , 090A HAC B

12

ANE NAE ACN B C

tam giác AEN cân, JE JN AJ EN tam giác CAN: ACJ JCP , CJ AP CA CP JA JP Hoàn toàn tương tự IA IQ IJ là đường trung bình của tam giác APQ IJ song song với BC.

NM

JED

HCB

A

P Q

I

F

G

MK

EDCB

A

3

Ví dụ 3. Cho tam giác cân ABC ( 0, 60AB AC A ). Trên cạnh AC lấy điểm D

sao cho DBC A , đường trung trực BD cắt đường thẳng qua A và song song với BC tại E. Chứng minh rằng tứ giác EACB là hình bình hành. Giải 3. Gọi J là trung điểm CD, I là trung điểm BD IJ song song với BC IJ song song với AE Đường thẳng EI cắt cạnh AC tại G, theo giả thiết DBC A tam giác BCD cân BD BC tam giác GBD cân GB GD BGD A . tam giác ABC và tam giác GBD bằng nhau (g.c.g) BA BG tam giác ABG cân, mặt khác BJ CD JA JG IE IG tứ giác EDGB là hình bình hành DG song song với BE AC song song với BE tứ giác EACB là hình bình hành. Ví dụ 4: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, EA và I, J là trung điểm MP, NQ.

Chứng minh rằng IJ song song với ED và 4

EDIJ .

Giải 4. Gọi K là trung điểm CE KQ là đường trung bình của tam giác EAC

KQ song song AC và 12

QK AC ;

M, N là trung điểm AB và BC

MN song song AC, 12

MN AC

MN song song QK và MN QK MNKQ là hình bình hành M, J, K thẳng hàng và MJ JK Xét MKP có I, J là trung điểm MP và MK

CB

A

J

D

G

I

E

K

NM

C

B

A

J

D

PQ

I

E

4

IJ song song với PK và 12

IJ PK (1)

Xét CDE, PK là đường trung bình PK song với DE và 12

PK DE (2)

Từ (1) và (2) IJ song song với ED và 4

EDIJ .

Ví dụ 5: Cho đa giác ABCDEFGH có tất cả các góc bằng nhau, và độ dài các cạnh là số hữu tỉ. Chứng minh rằng các cạnh đối diện của đa giác song song và bằng nhau. Giải 5. Theo giả thiết các góc của đa giác bằng nhau

số đo của mỗi góc 0

0(8 2)180 1358

;

Kéo dài cạnh AH và BC cắt nhau tại P 0 0 0180 135 45PAB PBA 090APB tam giác PAB là tam giác cân; Tương tự các tam giác BJC, CND, DRE, EQF, FSG, GMH, HIA là các tam giác vuông cân MPNQ và IJRS là hình chữ nhật các cạnh đối diện song song với nhau Tam giác AIH là tam giác vuông cân theo định lí Pitago

2 2 2IA IH HA 2

AHIA ;

Tương tự 2

BCBJ , 2

DERE , 2

FGSF ;

2 2AH BCIJ IA AB BJ AB ,

2 2FG DESR SF FE ER EF ;

IJRS là hình chữ nhật IJ SR 2 2

AH BCAB 2 2

FG DEEF

1 ( )2

AH BC FG DE EF AB , các cạnh độ dài là các số hữu tỉ

,AH BC FG DE EF AB là các số hữu tỉ 1 ( )2

AH BC FG DE là

số vô tỉ, nhưng vế trái là số vô tỉ 0, 0AH BC FG DE EF AB EF AB Tương tự có , ,BC FG CD GH DE HA .

RS

JI

Q

P

NM

G

H

F E

D

C

BA

5

Ví dụ 6. Trong một ngũ giác, mỗi một đường chéo đều cắt ngũ giác ra được một tam giác có diện tích bằng 1 đơn vị. Chứng minh rằng mỗi đường chéo song song với một cạnh, và tính diện tích ngũ giác đó. Giải 6: Đường chéo BD cắt ngũ giác thành tứ giác ABDE và BCD, đường chéo CE cắt ngũ giác thành tứ giác ABCE và DEC 1BDC CDES S khoảng cách từ E và B đến CD bằng nhau BE // CD. Tương tự ta chứng minh được mỗi đường chéo song song với một cạnh. AE// BD, CE//AB ABIE là hình bình hành

BIC

IDC

S BIS DI

và BIE

DIE

S BIS DI

1

BIC BIE

BIC DIE

S SS S

,

mặt khác BCI EIDS S

11

BIC

BIC BIC

SS S

2 1 0BIC BICS S 5 12BICS

5 532ABCDE ABE BIE DCE BIC BICS S S S S S

Ví dụ 7. Cho ba đường thẳng a, b, c song song với nhau. Dựng tam giác đều đi qua một điểm nằm trên một ba đường thẳng trên. Giải 7. Bài toán này đã có từ lâu, cách giải dùng phép biến hình. Giả sử ABC là tam giác đều nằm trên ba đường thẳng song song a, b, c Kẻ CH b , dựng tam giác đều HCE 030bHE cCE E cách đều b và c E nằm trên đường thẳng song song với a Đường thằng này cắt BC tại F FB FC AF BC 030FAC FAC CEF tứ giác AFCE nội tiếp AE EC Cách dựng: - Dựng tam giác đều HCE

- Dựng đường thẳng vuông góc với CE cắt đường thẳng a tại A CA là cạnh tam giác đều

- Dựng đường trung trực AC cắt đường thẳng b giao điểm này là đỉnh B. Nhận xét: Bài toán nay dựng hình đòi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức cả định nghĩa và tính chất của đường thẳng song song.

c

b

a

F

M

I

H

E

C

B

A

I

E

D C

B

A

6

Ví dụ 8. Cho đường tròn tâm O và điểm A, B, C là hai điểm thay đổi trên đường tròn. Gọi M là hình chiếu của B trên AC và N là hình chiếu của C trên AB. Chứng minh rằng MN luôn song song với đường thẳng cố định. Giải 8. ,BM AC CN AB

tứ giác BNMC nội tiếp ANM ACB A là điểm cố định tieeps tuyến với đường tròn (O) không đổi. Ax là tiếp tuyến xAB ACB xAB ANM MN song song với xA. MN song song với đường thẳng cố định. Ví dụ 9. Cho ngũ giác ABCDE, thỏa mãn BAC CAD DAE và

ABC ACD ADE . Đường thẳng BD cắt AC tại M, CE cắt AD tại N, hai đường này cắt nhau tại O. Chứng minh rằng MN song song với CD, từ đó suy ra AO đi qua trung điểm CD. Giải 9. Từ BAC CAD DAE và

ABC ACD ADE các tam giác ABC, ACD, ADE đồng dạng (g.g)

AB AC ADAC AD AE

AB ACAD AE

và BAD CAE ABD đồng ACE AC, AD là hai phân giác tướng ứng của hai tam giác AB ACAM AN

AB AM ACAC AN AD

AM ANAC AD

MN//CD AO đi qua trung điểm CD.

Nhận xét tính chất đặc trưng của hai tam giác đồng dạng là các góc đường cao, trung tuyến, phân giác, bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp… tương ứng tỉ lệ với nhau. Bài tập tự luyện. Bài 1. Chứng minh rằng hai đường chéo cùng xuất phát từ một đỉnh của một ngũ giác đều chia góc đó làm ba góc bằng nhau, từ đó suy ra mỗi đường chéo song song với một cạnh. Bài 2. Cho hai đường tròn ( 1O ) và ( 2O ) cắt nhau tại A, B. Tiếp tuyến chung CD

x

ON

M

CB

A

I

ONM

E

D

B

C

A

7

( 1( )C O và 2( )D O , CA cắt DB tại M, DA cắt CB tại N. Chứng minh rằng MN song song với CD. Bài 3. Cho tam giác ABC và H là trực tâm tam giác. AD là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M và N sao cho tứ giác ADCM và ADBN là hình bình hành, BH cắt AC tại E, AN cắt MH tại I. Chứng minh rằng IE song song với AD. Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ). Đường tròn tâm ( I ) luôn đi qua B và C cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Đường tròn tâm ( J ) ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O ) tại K. Chứng minh //KI OJ . Bài 5. Cho bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau. Dựng hình vuông có các đỉnh nằm trên các đường thẳng đó.

II- ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Đặt vấn đề.

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc có nhiều cách chứng minh, người ta thường sử dụng:

- Định nghĩa; - Các dấu hiệu nhận biết; - Ba đường cao đồng quy; - / / ,a b a c b c ; - Định lý Thalets - Góc chắn nửa đường tròn; - Tứ giác nội tiếp; - … Bài tập cũng đa dạng, mỗi bài có cách giải khác nhau. Các ví dụ sau chỉ mang tính minh họa.

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của A trên BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CD. Chứng minh AM vuông góc với MN. Giải 1. Gọi I là trung điểm AH MI là đường trung bình của HAB MI//AB MI AD I là trực tâm ADM DI AM , NC ND IM DN IMND là hình bình hành DI//MN MN AM

I

H

N

M

D C

BA

8

Ví dụ 2 . Cho hình bình hành ABCD, dựng ra ngoài hình vuông ABMN và BCEF. Chứng minh rằng MF = BD và BD MF. Giải 2. 0360MBF FBC CBA ABM 0180MBF CBA Mặt khác 0180BAD CBA MBF BAD MBF = BAD (c.g.c) BD = MF và

BFM ADB 090FBH CBD , CBD ADB

090FBH ADB 090FBH BFM BD MF. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC 0 040 , 60A B . Điểm D trên cạnh AC và E trên

cạnh AB thỏa mãn 040 ,DBC 070ECB , đường thẳng BD và CE cắt nhau tại F. Chứng minh rằng AF vuông góc với cạnh BC. Giải 3. Kéo dài BC lấy điểm K sao cho FB FK 040FBK FKB Kẻ AF BC cắt BD tại F HB HK Theo giả thiết 060ABC tam giác ABK là tam giác đều, đường thẳng BF cắt AK tại I 040DBC 040FKB 080KFI 020FKI 0 0 0 0180 80 20 80KIF tam giác KFI là tam giác cân KF KI Xét ABC và BKI có: AB BK 060ABC BKI , 040BAC KBI hai tam giác bằng nhau BC KI BK BC tam giác BCF là tam

giác cân 0 0

0180 40 702

BCF BFC C, F, E thẳng hàng.

Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD, dựng ra phía ngoài các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi M, N, P, Q là các tâm hình vuông với cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ và bằng NQ.

H

N

M

F

D

BC

A

E

B

A

CH

E

F

I

K

D

9

Giải 4. Trước hết chứng minh bài toán: Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân MAB và NAC (đỉnh M, N), gọi I là trung điểm BC. Chứng minh

,MI NI MI NI Kéo dài BM một đoạn MP MB PA AB tương tự NQ NC QA AC MI là đường trung bình của PBC

MI//PC, 12

MI PC .

Tương tự NI//QB và 12

NI QP

090PAC A QAB , AP AB , AQ AC

APC = APQ PC QB , APC APQ .

Xét hai tam giác APE và HEB có: APC APQ , PEA BEH 090BHE PAE ,MI NI MI NI Trở lại bài toán: Gọi I là trung điểm AC theo bài toán trên MI NI , MI NI ,QI PI QI PI

090MIP MIQ QIN MIP và NIQ bằng nhau (c.g.c) MP NQ cũng tương tự như bài toán trên MP NQ Nhận xét Bài toán này vào loại “khó”, phải vẽ thêm nhiều đường, song bản chất vẫn quy về tính chất của tam giác vuông cân và đường trung bình tam giác. Ví dụ 5. Cho tam giác cân ABC ( AB AC ), D là trung điểm BC. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, I là trung điểm DH. Chứng minh AI vuông góc với DH. Giải 5. Từ B kẻ BF AC BE//DH, DB DC HE HC , BEC và ADC là hai tam giác vuông Có C chung hai tam giác đồng dạng hai tam giác EBH và HAI đồng dạng EBH HAI , mặt khác EBH DHB (so le) HAI DHB , 090DHB BHE 090BHE HAI AI BH.

IH

DCB

A

E

P

C

H

I

N

M

B

A

Q

E

P

C

I

N

M

D

BA

Q

10

Nhận xét: Bài toán đã sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng các cạnh tương ứng bằng tỉ số đồng dạng và các góc tương ứng tạo bởi các đường tương ứng bằng nhau. Ví dụ 6. Cho tam giác ABC, đường cao AH, I là điểm bất kì trên AH, đường thẳng CI cắt AB ở P, đường thẳng BI cắt AC ở Q. Chứng minh AH là phân giác của góc PHQ (Định lí Blanchet) Giải 6. Qua I kẻ đường thẳng MN song song với BC, HP, HQ cắt đường thẳng MN tại E và F.

MN//BC IE CHIM CB

và IF BHIN BC

Chia hai đẳng thức IE IN CH BC CHIM IF CB BH BH

Mặt khác IN HCIM HB

1IEIF

IE IF

HEF là tam giác cân AHI AHQ

AH là phân giác của góc PHQ .

Ví dụ 7. Cho tam giác ABC thỏa mãn 2AB AC và 2A B . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. Giải 7: Trên cạnh AC kéo dài lấy điểm D sao cho AD AB 3DC AC và 2BAC BDA BDC B

ABC đồng dạng với BDC AC BCBC DC

2 .BC AC DC

2 23BC AC , theo giả thiết 2AB AC 2 24AB AC 2 2 2AB AC BC 2 2 2AB BC AC theo định lí đảo Pythagore ABC vuông tại C. Nhận xét: Đề ra đơn giản, giả thiết cho mối quan hệ giữa hai cạnh và góc tam giác vậy phải kẻ thêm hình để đưa về hai tam giác đồng dạng, sau đó sử dụng định lí đảo định lí Pithagore. Ví dụ 8. Cho hình thang ABCD (AD//BC, 090A B . M là trung điểm AB. Gọi H là hình chiếu của A trên MD, K là hình chiếu của B trên MC, đường thẳng AH cắt BK tại N. Chứng minh rằng MN vuông góc với CD.

D

CB

A

FE

PQ

NMI

HCB

A

11

Giải 8. Theo giả thiết AH MD , BK MC tứ giác MHNK là tứ giác nội tiếp MHK MNK Tam giác AMD là tam giác vuông 2 .MA MH MD , tương tự ta có: 2 .MB MK MC , do MA MB . .MH MD MK MC tứ giác HDCK là tứ giác nội tiếp MHK DCK tứ giác NECK nội tiếp 090NEC Ví dụ 9. Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD, gọi M và N là hình chiếu của D trên AC và AB. Giao điểm BM và CN là P. Chứng minh rằng AP vuông góc với BC. Giải 9. Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC, đường thẳng BM, CN cắt d tại E và F, và H là giao điểm của AP và BC. Theo định lí Thales HC AFHB AE

, .AM AE AE CMAMCM BC BC

.AN AF AF BNANBN BC BC

, ,DM AC DN AB , BAD CAD

AMD = AND AN AM . .AE CM AF BN CM AFBN AE

HC CMHB BN

(*)

Kẻ AK BC DMC và AKC là hai tam giác vuông có góc C chung hai

tam giác đồng dạng CD CMCA CK

, tương tự BD BNAB BK

.

AD là phân giác CD BDCA AB

CM BNCK BK

CM CKBN BK

kết hợp (*)

K trùng với H AP BC .

EF

B

A

D

N

C

PM

H

E

C

D

B

N

K

H

M

A

12

Ví dụ 10. Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài các tam giác BCD, CAM, ABN thoả mãn điều kiện 0 0 045 ; 30 ; 15CBD CAM BCD ACM ABN BAN . Chứng minh tam giác DMN là tam giác vuông cân. Giải 10. Theo giả thiết 015ABN BAN

0150ANB . Dựng tam giác đều BNI 090ANI ANB BNI ANI vuông cân 045NIA 030BAI NAI NAB , 045ABI NBI NBA các tam giác BAI, ACM, BCD đồng dạng DBI ABC ;

BI BD AMAB BC CA

(1)

DBI đồng dạng CBA

DB DI BIBC CA AB

(2). Từ (1), (2) AM = DI

DIB CAB DIN MAN ANM = IDN MN = DN ANM IND 090DNM DNI INM MNA INM INA . Bài tập tự luyện Bài 1. Cho tam giác ABC, BM, CN là các trung tuyến . Chứng minh rằng BM vuông góc với CN khi và chỉ khi 2 2 25AC AB BC Bài 2. Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại I, đồng thời thỏa mãn IA IB và IC ID . Gọi O là điểm cách đều A, I, D. Chứng minh rằng OI vuông góc với BC. Bài 3. Cho tam giác ABC, 030BAC . Đường phân giác trong và ngoài góc B cắt cạnh AC tại 1 2,B B , đường phân giác trong và ngoài góc C cắt cạnh AB tại

1 2,C C . Đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 2BB B cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

1 2CC C tại điểm P ở trong tam giác ABC, gọi O là trung điểm 1 2B B . Chứng minh rằng OP vuông góc với BP. Bài 4. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Dựng đường tròn đường kính AB, D là điểm trên đường tròn đó, đường thẳng DH cắt đường tròn đường kính AC tại E, gọi M, N là trung điểm của BC và DE. Chứng minh AMN là tam giác vuông. Bài 5. Cho tứ giác ABCD, AB và CD cắt nhau tại D, và AD, BC cắt nhau tại E. Chứng minh rằng tứ giác ABCD nọi tiếp khi và chỉ khi các phân giác góc AED và CFD vuông góc với nhau.

C

I

N

D

B

AM

13

Bài 6. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB và I trên cạnh BC thỏa mãn 2BI IC . Chứng minh rằng nếu ADC BAI thì tam giác ABC là tam giác

vuông. Bài 7. Cho tam giác ABC (AC >AB), BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại H, gọi và M là trung điểm BC. Đường thẳng DE cắt BC tại P. Chứng minh rằng PH vuông góc với AM. Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), và điểm D thuộc cung BC không chứa điểm A, đường thẳng thay đổi luôn đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH, ACH lần lượt tại M và N ( ,M H N H ). Xác định vị trí của đường thẳng để diện tích tam giác AMN lớn nhất. Bài 9. Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD (D BC), gọi M, N là hình chiếu của D trên AB, AC, đường thẳng BN, CM cắt nhau tại E. Chứng minh AE vuông góc với BC. Cám ơn! (Mọi thông tin cần liên hệ theo: dangnba@gmail.com)