Chuong3 hephuongtrinh

Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 1

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng

---------------------------------------------------------------

Đại số tuyến tính

Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh


Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.1 – Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

3.2 – Hệ Cramer

3.3 – Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất


Yeâu caàu.

1/ Giải hệ phương trình tổng quát bằng phương pháp khử Gauss.

3/ Giải hệ thuần nhất bằng phương pháp Gauss.

4/ Biện luận theo m số nghiệm của hệ.

2/ Giải hệ Cramer bằng cách tính định thức hoặc phương pháp Gauss.

5/ Làm tất cả các câu hỏi trắc nghiệm về hệ phương trình (30 câu).

Thời gian tự học: tối thiểu 4 tiết. Khoảng 10% tổng số giờ tự học.


3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Rất nhiều bài toán kỹ thuật được mô tả bởi hệ phương trình đạo

hàm riêng. Việc giải hệ này thường phức tạp.

Để giải hệ pt đạo hàm riêng, có một phương pháp thường dùng là

đưa về hệ phương trình tuyến tính.

Có rất nhiều nghiên cứu về cách giải hệ phương trình tuyến tính.

Có thể chia ra làm hai loại: phương pháp trực tiếp (direct method),

và phương pháp lặp (iterative method).

Ở đây ta nghiên cứu phương pháp khử Gauss (pp trực tiếp).



a11, a12, …, amn được gọi là hệ số của hệ phương trình.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn m m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:

Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính.

b1, b2, …, bm được gọi là hệ số tự do của hệ phương trình.


11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

1

2

n

x

xX

x

1

2

m

b

bb

b

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

|

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA b

a a a b


3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hệ tương thích

Hệ không tương thích

Một hệ phương trình tuyến tính có thể:

1. vô nghiệm,

2. có duy nhất một nghiệm

3. Có vô số nghiệm

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng cùng chung một tập nghiệm.

Để giải hệ phương trình ta dùng các phép biến đổi hệ về hệ tương đương, mà hệ này giải đơn giản hơn.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Có 3 phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình .

Một phép biến đổi được gọi là tương đương nếu biến một hệ phương trình về một hệ tương đương.

Định nghĩa phép biến đổi tương đương

3. Đổi chổ hai phương trình.

1. Nhân hai vế của phương trình với một số khác không.

2. Cộng vào một phương trình một phương trình khác đã được nhân với một số tùy ý.

Chú ý: Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng các phép biến đổi trên là các phép biến đổi tương đương.



1 2

1 3

2h hh h

0

3 3 3

3 3

x y

y z

y z

2 3h h

0

3 3 3

4 0

x y

y z

z

Phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1; y = -1; z = 0

Giải hệ phương trình:

0

2 3 3

2 3

x y

x y z

x y z

Ví dụ


3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ---------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

1 1 0

2 1 3

1 2 1

Ma trận hệ số:

Ma trận mở rộng:

1 1 0 0

2 1 3 3

1 2 1 3


3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ---------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

1 2

1 3

2h hh h

2 3h h

1 1 0 0

2 1 3 3

1 2 1 3

1 1 0 0

0 3 3 3

0 3 1 3

1 1 0 0

0 3 3 3

0 0 4 0



Ẩn cơ sở là ẩn tương ứng với cột chứa phần tử cơ sở.

Ẩn tự do là ẩn tương ứng với cột không có phần tử cơ sở.

Định nghĩa ẩn cơ sở và ẩn tự do.

1 1 1 2 1

2 2 3 5 6

3 3 4 1 1

BĐSC HÀNG

1 1 1 2 1

0 0 1 1 4

0 0 0 6 8

x1, x3, x4: là các ẩn cơ sở

x2: ẩn tự do


3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ------------------------------------------------------------------------------------

--------------

2. Dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng về ma trận dạng bậc thang. Kiểm tra hệ có nghiệm hay không

3. Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang

4. Giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm ẩn xn, sau đó xn-1,… ., x1.

Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để giải hệ

1. Lập ra ma trận mở rộng ( | )A A b


Giải hệ phương trình.Ví dụ

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 1

2 3 3 3 3

3 2 5 7 5

x x x x

x x x x

x x x x

1 1 1 2 1

| 2 3 3 3 3

3 2 5 7 5

A b

1 1 1 2 1

0 1 1 1 1

0 1 2 1 2

1 1 1 2 1

0 1 1 1 1

0 0 3 0 3

3 1x

2 3 4 41x x x x 1 2 3 41 2 3x x x x

Hệ có vô số nghiệm 3 , , 1,



Nếu , thì hệ AX = b có nghiệm. ( | ) ( )r A b r A

Nếu , thì hệ AX = b vô nghiệm. ( | ) ( )r A b r A

Nếu = số ẩn, thì hệ AX = b có nghiệm duy nhất.

( | ) ( )r A b r A

Nếu < s số ẩn, thì hệ AX = b có vô số nghiệm. ( | ) ( )r A b r A

Định lý Kronecker Capelli


Tìm tất cả giá trị của m để hệ có vô số nghiệmVí dụ

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1

2 3 3 5

3 7 8

x x x

x x x

x mx x

1 1 2 1 1 1 2 1

| 2 3 3 5 0 1 1 3

3 7 8 0 3 1 5

A b

m m

1 2 1 1 1 2 1 1

0 1 1 3 0 1 1 3

0 1 3 5 0 0 4 2m m

Không tồn tại giá trị của m.


Tìm tất cả giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhấtVí dụ

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2

2 3 2 3

3 2 5 2

x x x x

x mx x x

x x mx x

A là ma trận cỡ 3x4, suy ra số ẩn. ( ) 3r A

Không tồn tại giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất

Chú ý: Nếu số phương trình ít hơn số ẩn, thì hệ không thể có

nghiệm duy nhất.


3.2. Hệ Cramer. ---------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

Định lý

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất 1 2, ,..., nx x x

trong đó , với là ma trận thu được từ A, thaydet( )

det( )i

iA

xA

iA

cột thứ i bởi cột tự do b.

Chứng minh. 1 1

det( ) AX A b P bA

Hệ phương trình tuyến tính AX = b gọi là hệ Cramer, nếu A là

Định nghĩa hệ Cramer.

ma trận vuông và . det( ) 0A


Kiểm tra hệ sau là hệ Cramer và giải hệVí dụ

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

2 3 3

3 2

12

4

85

x x x

x x x

x x x

1 2 1

2 3 3

3 2 5

A

1

12

4

8

2 1

3 3

2 5

A

2

12

4

8

1 1

2 3

3 5

A

3

121 2

2

2 8

3 4

3

A

1 2det( ) 12;det( ) 228;det( ) 204A A A

3det( ) 36A

Nghiệm của hệ 31 2, , 19,17,3AA A

A A A


3.3. Hệ thuần nhất. ---------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả các hệ số tự do b1, b2, …, bm đều bằng 0.

Định nghĩa hệ thuần nhất.

Hệ tuyến tính thuần nhất luôn luôn có một nghiệm bằng không x1 = x2 = … = xn = 0.

Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường.

Hệ thuần nhất chỉ có nghiệm duy nhất bằng không khi và chỉ khi r (A) = n = số ẩn .


3.3. Hệ thuần nhất. ---------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

Hệ thuần nhất AX = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n.

Hệ thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác 0) khi và chỉ khi det(A) = 0.


Giải hệ phương trình Ví dụ

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 0

2 3 3 3 0

3 5 5 4 0

x x x x

x x x x

x x x x

1 1 1 2 0

| 2 3 3 3 0

3 5 5 4 0

A b

1 1 1 2 0

0 1 1 1 0

0 2 2 2 0

1 1 1 2 0

0 1 1 1 0

0 0 0 0 0

3 4,x x

2 3 4x x x 1 2 3 42 3x x x x

Hệ có vô số nghiệm 3 , , ,


Tìm m để hệ phương trình có nghiệm khác 0.Ví dụ

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

0

0

0

0

mx x x x

x mx x x

x x mx x

x x x mx

Cách 1. Hệ có nghiệm khác không ( ) 4r A

Cách 2. Hệ có nghiệm khác không det( ) 0A

3

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1( 3) ( 3)( 1) 0

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

m

m mm m m

m m

m m


Tìm m để hệ phương trình có nghiệm khác 0.Ví dụ

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 0

2 4 0

3 5 4 0

x x x x

x x mx x

x mx x x

A là ma trận cỡ 3x4, suy ra số ẩn. ( ) 3r A

Hệ có nghiệm vô số nghiệm với mọi m.

Chú ý: Nếu số phương trình ít hơn số ẩn, thì hệ thuần nhất

luôn có nghiệm khác không.

Hệ có nghiệm khác 0 với mọi giá trị của m.

Đại số tuyến tính. Chương 1 @copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy tính 25

Ví dụ: Xác định dòng điện I1, I2, và I3 trong

mạng lưới điện dưới đây:


• Áp dụng định luật Kirchhoff cho nút A, ta có: I1 = I2 + I3

nút B: I2 + I3 = I1 • Áp dụng định luật Kirchhoff cho vòng 1 và vòng 2: 7I1 +3I3 -30 = 0 11I2 -3I3 -50 = 0

1 1 1 0

7 0 3 30

0 11 3 50

Ta có hệ: 1 2 3

1 3

2 3

0

7 3 30

11 3 50

I I I

I I

I I


Ma trận của hệ thống là:

Dùng bđsc đối với hàng, đưa về ma trận bậc thang:

1 1 1 0

0 7 10 30

0 0 131 20

1 1 1 0

7 0 3 30

0 11 3 50

Cuối cùng ta có giá trị của dòng điện: 1 2 3

570 590 20, ,

131 131 131I I I


Bài toán ứng dụng: Mạng lưới giao thông: • Biểu đồ dưới đây biểu diễn cho lưu lượng phương tiện qua

các đường phố.Những con số là trung bình lưu lượng phương tiện vào và ra khỏi mạng lưới giao thông trong thời gian cao điểm.


• Áp dụng định luật Kirchhoff ta có hệ phương trình tuyến tính sau đây:


• Ma trận của hệ thống là :


• Ví dụ:

Nếu w = 300 và t = 1300 (xe trong một giờ), thì

• Dựa vào cách giải quyết trên ta có thể tính 1 cách tương đối lưu lượng phương tiện xe cộ đi vào các tuyến đường để từ đó kiểm soát lượng phương tiện lưu thông hợp lý Tránh gây ùn tắc kẹt xe.


3.3. Hệ thuần nhất. ---------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình.

Bài tập 1

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 0

2 4 3 0

3 6 4 0

x x x x

x x x x

x x x x

2 , , ,


Giải các hệ phương trình với các ma trận mở rộng như bên dưới

1 5 2 6

. 0 4 7 2 ,

0 0 5 0

a

1 1 1 3

. 0 1 2 4 ,

0 0 0 5

b

1 1 1 0

. 0 1 2 5 ,

0 0 0 0

c

1 1 1 0

. 0 3 1 0 .

0 0 0 0

d

Bài tập 2

17 1) , ,0

2 2a

b) Vô nghiệm

) 5 ,5 2 ,c t t t ) 4 , ,3d t t t


Bài tập 3

5 2 1

4 6

3 3 9

x y z

x y z

x y z

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer

18, 5,4


3

3 5 9 2

2 3 3

y z

x y z

x y z

Bài tập 4

Giải hệ phương trình

43,11,8


24 2 3 , 7 2 2 , , ,4

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình

Bài tập 5

2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 6 6 4 5

3 7 8 5 8 9

3 9 12 9 6 15

x x x x

x x x x x

x x x x x


Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trân mở rộng

Bài tập 6

1 1 1 1

2 3 4 1

3 4 2 1

17 11 1, ,

5 5 5


Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng

Bài tập 7

1 1 2 0

2 1 5 0

3 4 5 0

3 , ,t t t



Bài tập 8

1 1 1 1 2

2 1 3 0 1

3 4 2 2 5

2 3 1 1 3

1 1 42 , , ,

3 3 3t t t



1 1 2 0 1

2 3 1 2 4

3 4 5 1 3

1 2 3 1 0

Bài tập 9

11 5 1, , ,1

4 4 4


Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

Bài tập 10

2

1 1 1

1 1 ,

1 1

m

m m

m m

2m


1 1 1 1

2 3 1 4

3 4 1m m

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

Bài tập 11

2m


Bài tập 12Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

duy nhất

1 1 1 1 1

2 1 3 1 2,

3 4 2 0 6

2 1 0 1m m

Với mọi giá trị của m.


Bài tập 13Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

duy nhất

2

2 3 1 4 0

3 2 1 5 7

1 1 1m m

Không tồn tại giá trị của m.

Chuong3 hephuongtrinh

Education

Transcript of Chuong3 hephuongtrinh