Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
-
Upload
hoang-thanh-nguyen -
Category
Documents
-
view
240 -
download
0
Transcript of Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 1/85
Chƣơng 5 –
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
ThS. LÊ HOÀNG TUẤN
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 2/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
,,W V
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Xét là các KGVT trên F
,, mn W V là các KGVT trên F có số chiều là n, m
Lúc này, ánh xạ W V f :đgl ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa đồng thời 2 điều kiện
F cV
cf c f
f f f ;,,
)()(
)()()(
F cV f cf c f ;,),()()(
Ký hiệu }|:{),( axtt là f W V f W V L
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 3/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
f
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Lưu ý
không là axtt
)()(:,
)()()(:,
cf c f V F c
f f f V
NHẬN DIỆN NHANH ),( mn R R L f
Cho mn R R f : , lúc này, nếu có )( R M A mn
sao cho XA X f )( n R X
thì f là axtt
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 4/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
23: R R f
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Ví dụ
)95,372(),,( z y x z y x z y x
xét
3
),,( R X z y x
ta có
93
17
52
)()( z y x X f
X
A
KL: f là axtt
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 5/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),( W V L f
TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Xét , khi đó
a/ W V f )(
b/ V f f ),()( ( chọn 1c )
c/ ảnh của 1 tổ hợp tuyến tính (thtt) qua ánh xạ f sẽ bằng thtt của
các ảnh tương ứng
V F ccc k k ,,,;,,, 2121
)()()()( 22112211 k k k k f c f c f cccc f
tổ hợp tuyến tính tổ hợp các ảnh ảnh
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 6/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),( 32 R R L f
TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Ví dụ có
)1,3,2()(
)4,3,0()(
)5,2,1()(
3
2
1
f
f
f
tính )825( 321 f
Ta có
)(8)(2)(5)825( 321321 f f f f
)8,24,16()8,6,0()25,10,5(
)41,20,11(
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 7/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
nV
XÂY DỰNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH KHI BIẾT ẢNH CỦA 1 CƠ SỞ
Xét KGVT có 1 cơ sở },,,{ 21 na
, và KGVT W trên F
Chọn trước n ,,, 21 tùy ý W , khi đó
Tồn tại duy nhất axtt
W V f : thỏa
nn f
f f
)(
)()(
22
11
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 8/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
nV
XÂY DỰNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH KHI BIẾT ẢNH CỦA 1 CƠ SỞ
Ánh xạ f được xác định như sau
tìm tọa độ
n
a
c
c
c
2
1
][
)( 2211 nnccc
)()()()( 2211 nnc f c f c f f
)()()( 2211 nn f c f c f c
nnccc 2211
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 9/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
3 R
XÂY DỰNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH KHI BIẾT ẢNH CỦA 1 CƠ SỞ
Ví dụ có cơ sở )}1,0,0(),1,1,0(),1,1,1({ 321 a
, và trong4 R chọn trước
)7,9,0,1(
)0,5,1,2(
)2,0,1,3(
3
2
1
),(! 43 R R L f thỏa
332211 )(;)(;)( f f f
xác định f , nghĩa là3
),,( Rwvu
???),,()( wvu f f
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 10/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),( W V L f
TÍCH CỦA 2 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Cho , và ),( U W L g , khi đó
),()( 0 U V L f g h
V W
U
f
g
)( 0 f g h
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 11/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),( W V L f
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Cho , và
W K
V H ( KGVT con )
Khi đó a/
V W
H )( H f
f
}|)({)( H f H f
W H f )( ta luôn có
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 12/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
V
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
b/
W
K
f
)(1 K f
})(|{)(1 K f V K f
V K f )(1 ta luôn có
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 13/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
W V f )(
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
c/ kết luận ảnh và ảnh ngược các KGVT con (qua axtt)
cũng là KG con
ÁP DỤNG CỤ THỂ CHO TRƢỜNG HỢP ĐẶC BIỆT H = V Xét ),( W V L f
a/ chọn )( V V H thì
Ký hiệu )Im()( f V f
= không gian (toàn bộ) ảnh của axtt f
( Image of f )
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 14/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
a
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
b/ chọn là 1 cơ sở của V thì )(a f là 1 tập sinh của f(V)
chưa chắc đltt
c/ khinV V ( hữu hạn chiều ) có cơ sở },,,{ 21 na
thì )()Im()( a f f V f
)}(,),(),({ 21 n f f f
Tiếp theo, ta mô tả các vector )Im( f
Sau đó tìm được 1 cơ sở của Im(f) từ tậpsinh )}(,),(),({ 21 n f f f của nó
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 15/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
32: R R f
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Ví dụ
)74,23,5(),( y x x y y x y x
Kiểm chứng ),( 32 R R L f ( dễ dàng )
Tìm Im(f) và 1 cơ sở cho Im(f)
Trước tiên, ta chọn cơ sở )}1,0(),0,1({ 210 a của 2
R
)}(),({)( 21 f f a f
mà
)7,3,1()1,0()(
)4,2,5()0,1()(
2
1
f f
f f
)}7,3,1(),4,2,5({)( 21 a f
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 16/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)()Im( a f f
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Ta có )7,3,1(),4,2,5(
Chọn )Im( f 221121 :, cc Rcc
hệ 2211 cc có nghiệm
Đặt )Im(),,( f wvu
),,()7,3,1()4,2,5( 21 wvucc có nghiệm
( ẩn là ), 21 cc
w
v
u
74
32
15
có nghiệm
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 17/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
vw
wuv
wu
w
v
u
2
22
10
190
81
74
32
15)1(2)2()2()2(2)3()3(
)3()1()1(
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Ta có
vw
wvu
vwu
2
17392
167
10
00
01)3()3(
)3(19)2()2()3(8)1()1(
)3()2(
wvu
vw
vwu
17392
2
167
00
10
01 Hệ này có nghiệm
017392 wvu
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 18/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
}017392|),,({)()Im( 3 wvu RwvuV f f
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Vậy
Tiếp theo, ta tìm 1 cơ sở cho không gian Im(f)
)}7,3,1(),4,2,5({)Im( 21 f
tọa độ không tỷ lệ
},{ 21 là tập sinh đltt của Im(f)
},{ 21 là một cơ sở của Im(f)
, và ta có 2)Im(dim f R
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 19/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),( W V L f
ÁP DỤNG CHO TRƢỜNG HỢP ĐẶC BIỆT K = {O}
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Xét
Chọn
}{ W K )( W
Khi đó V K f )(1
V W
f
W
)(1 K f
Đặt })({)()( 11W f K f f Ker
})(|{ W f V
kernel & đgl không gian hạt nhân của f
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 20/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
})(|{)( W f V f Ker
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Vậy
= không gian nghiệm của pt W f )(
Ta tìm 1 cơ sở cho Ker(f)
tìm cơ sở cho không gian nghiệm của pt W f )(
Ví dụ 44: R R f
,22,523,742(),,,( t z y xt y xt z y xt z y x
)33 t z y x
Kiểm chứng ),( 44 R R L f ( dễ dàng )
Tìm Ker(f) và 1 cơ sở cho Ker(f)
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 21/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
})(|{})({)(41 f R f f Ker
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Ta có
)}0,0,0,0(),,,(|),,,({ 4 t z y x f Rt z y x
033
022
05230742
),,,(4
t z y x
t z y x
t y xt z y x
Rt z y x
( không gian nghiệm của 1 hệ pttt thuần nhất)
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 22/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
0
0
0
0
1313
2112
5023
7421
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Ta chuyển sang giải hệ
0
0
0
0
201550
12930
161240
7421
)1(3)4()4(
)1(2)3()3()1(3)2()2(
0
0
00
0000
0000
43101201
0
0
00
4310
4310
43107421
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 23/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Rba
ab x
ba x
b x
a x
,;
34
2
2
1
4
3
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Nghiệm
},|),,34,2({)( Rbabaabba f Ker
},|)1,0,4,1()0,1,3,2({ Rbaba
1 2
a f Ker )( , với
)}1,0,4,1(),0,1,3,2({ 21 a
tọa độ không tỷ lệ
a là cơ sở của Ker(f) , và 2)(dim f Ker R
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 24/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
},,,{ 43210
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Tìm 1 cơ sở cho không gian Im(f)
Trước hết, ta chọn cơ sở chính tắc
thì )}({)Im( 0 f f
Ta có )}(),(),(),({)}({ 43210 f f f f f , với
)1,2,5,7()1,0,0,0()(
)3,1,0,4()0,1,0,0()(
)1,1,2,2()0,0,1,0()(
)3,2,3,1()0,0,0,1()(
44
33
22
11
f f
f f
f f
f f
},,,{)Im( 4321 f
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 25/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1257
3104
1122
3231
4
3
2
1
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Lập ma trận
)1(7)4()4()1(2)2()2()2(2)3()3(
2012160
53405340
3231
0
0
0000
00005340
3231
2
1
)2(4)4()4(
)2()3()3(
Vậy Im(f) có 1 cơ sở là )}5,3,4,0(),3,2,3,1({ 21
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 26/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
2)Im(dim f R
ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Và lúc này
Từ đó, ta có thể mô tả không gian Im(f)
},{)Im(),,,( 21 f t z y x
hệ 2211 cc có nghiệm thực
),,,()5,3,4,0()3,2,3,1( 21 t z y xcc có nghiệm
t
z
y
x
53
32
43
01
có nghiệm đk của x,y,z,t ???
Vậy
......}..........|),,,({)Im( 4 Rt z y x f
( các đk của x,y,z,t)
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 27/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),( W V L f
LƢU Ý
Xét , với nV F dim
thì khi đó n f f Ker F F )Im(dim)(dim
ĐẶC TRƯNG CỦA AXTT ĐƠN ÁNH Xét ),( W V L f
Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương
a/ f đơn ánh
b/ }{)( f Ker ( nghĩa là pt )( X f
có nghiệm duy nhất ) X
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 28/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
V đltt g
ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT ĐƠN ÁNH
c/ , thì W đltt g f )(
( nghĩa là f bảo toàn tính đltt )
d/ cơ sở V a , thì W đltt a f )(
( nghĩa là f bảo toàn tính đltt của 1 cơ sở nào đó )
Ví dụ 4
1 ][: R x R f
)94,83,57,2()( babaabbabxa
Kiểm tra f đơn ánh
Ta sử dụng tính chất d/ a/
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 29/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
},1{ xa
ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT ĐƠN ÁNH
Xét cơ sở của ][1 x R
)}9,8,7,1(),4,3,5,2({)}(),1({)( 21 x f f a f
không tỷ lệ
đltt a f )(
KL: f đơn ánh
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 30/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)(: f W V V
ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT TOÀN ÁNH
Xét ),( W V L f
Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương
a/ f toàn ánh
b/
( f bảo toàn tính sinh )
c/ cơ sở V a , thì W a f )(
( ảnh của 1 cơ sở nào đó sinh ra không gian sau )
Ví dụ ][][: 23 xQ xQ f
)('3)( x x Hỏi f có là axtt toàn ánh ???
Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 31/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
},,,1{ 32 x x xa
ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT TOÀN ÁNH
Xét cơ sở của ][3 xQ
)}(),(),(),1({)( 32 x f x f x f f a f
}9,6,3,{2 x x
][)( 2 xQa f
])[)9()6()3()(( 2
2
4321 xQ xc xcccdo
KL: f là toàn ánh
h Á Ế Í
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 32/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)(a f
ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT SONG ÁNH
Xét ),( W V L f
Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương
a/ f song ánh
b/ cơ sở V a , thì là cơ sở của W
( f bảo toàn cơ sở )
)(a f c/ cơ sở V a thì là cơ sở của W
( ảnh của 1 cơ sở nào đó là cơ sở của KG sau)
Lưu ý nếu ),( W V L f là song ánh thì ánh xạngược
),(1
V W L f
( f -1
cũng là axtt )
Ch 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 33/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
][: 1
2 x R R f
ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT SONG ÁNH
Ví dụ
xuvvuvu )2()32(),( CM: f song ánh
Xét )}1,0(),0,1({21
a là 1 cơ sở của 2 R
}32)(,2)({)( 21 x f x f a f
][)( 1 x Ra f
có 2 vector
2 chiều
Tiếp theo, ta giải thích f(a) đltt
Xét hệ thức 0)()( 2211 f c f c
Chƣơ 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 34/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
0)32()2( 21 xc xc
ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT SONG ÁNH
0)2()32( 1221 xcccc
02
032
12
21
cc
cc
021 cc
đltt a f )( )(a f là 1 cơ sở của ][1 x R
KL: f là song ánh
Viết ánh xạ ngược 1 f
Xét ][)( 1 x Rbxa
Giải pt bxavu f
),( ( u, v là ẩn số )
Chƣơ 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 35/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
bxa xuvvu )2()32(
ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT SONG ÁNH
buv
avu
2
32
bav
bau
2
32
KL:2
1
1 ][: R x R f
)2,32(),()( babavubxa
MỆNH ĐỀ
Xét ),( mn W V L f )dim;(dim mW nV m F n F
Nếu f là đơn ánh thì mn
Chƣơ 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 36/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
mn
ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT SONG ÁNH
Suy ra, nếu thì f không là đơn ánh
Nếu f là toàn ánh thì mn
( suy ra, nếu n < m thì f không toàn ánh )
Nếu f song ánh thì n=m
( suy ra, nếu n ≠ m thì f không song ánh )
Giả sử n = m; khi đó
f đơn ánh f toàn ánh f song ánh
Chƣơ 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 37/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),( mn W V L f
MA TRẬN BIỂU DỄN AXTT
Xét , trong đó
có cơ sở nV },,,{ 21 na
có cơ sởm
W },,,{21 m
Xác định ảnh )}(,),(),({)( 21 n f f f a f
Lấy tọa độ của )(,),(),( 21 n f f f theo cơ sở
Đặt
)]([)]([)]([][ 21, na f f f f
và gọi là ma trận biểu diễn axtt theo cặp cơsở vàa
Chƣơ 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 38/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
mn W V
MA TRẬN BIỂU DỄN AXTT
Lưu ý nếu , và a thì aa f f ][][ ,
Ví dụ
23: R R f
)754,2(),,( z x y z y x z y x
có cơ sở 3 R },,{ 321 a
có cơ sở 2 R }','{ 21 Hỏi ???][ , a f
Ta có
)}7,1()(),4,1()(),5,2()({)( 321 f f f a f
7
1
)]([;4
1
)]([;5
2
)]([ 321 f f f
Chƣơ 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 39/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)]([)]([)]([][ 321, f f f f a
MA TRẬN BIỂU DỄN AXTT
)(745
11232 Q
TỌA ĐỘ CỦA ẢNH THEO CƠ SỞ
nV thì aa f f ][][)]([ ,
gọi là tọa độ củaảnh
)( f ( theo cơ sở β )
( tính theo tọa độ của biến theo cơ sở a )
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 40/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
2 R
TỌA ĐỘ CỦA ẢNH THEO CƠ SỞ
Ví dụ có cơ sở )}1,2(),2,3({ 21 a3 R có cơ sở
)}3,5,2(),1,0,3(),2,1,1({ 321
Cho ),( 32 R R L f có
43
01
72
][ , a f Tìm biểu thức của f
Gợi ý xét2),( Rvu Tìm ??),()( vu f f
Trước hết, tìm
2
1
][ c
c
a aa f f ][][)]([ ,
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 41/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),(
),(,
pm
mn
U W Lh
W V L g f
MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TỔNG & ÁNH XẠ TÍCH
Cho , trong đó
p
m
n
U
W
V có cơ sở
............
............
a
Lúc này, ta có
a/ )(][].[ ,, F c f c f c aa
b/ ,,, ][][)][( aaa g f g f c/ ,,, ][][][ aa f h f h
nV
mW
pU
f
h
f h
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 42/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),( mn W V L f
MỆNH ĐỀ
Xét , và vàa
lần lượt là cơ sở của
mn W vàV
Khi đó
a/ f song ánh ,][ a f khả nghịch 0)]det([ , a f
b/ nếu f song ánh thì ),(1
nm V W L f , và
1
,,
1 )]([][ aa f f
( tìm ra biểu thức của f -1 )
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 43/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
nV
SỰ THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN AXTT THEO CƠ SỞ
),( mn W V L f Xét , trong đó
có 2 cơ sở 'avàa
mW có 2 cơ sở ' và
)'( aa P S là ma trận chuyển cơ sở từ
'aa)'( P T '
Khi đó
S f T f aa ,
1
',' ][][
Ví dụ 23: R R f
)92,853(),,( wuvwvuwvu
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 44/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
3 R
SỰ THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN AXTT THEO CƠ SỞ
có cơ sở 0 a , và
)}2,2,1(),7,5,2(),0,1,3({' 321 a
2 R có cơ sở 0
' , và )}5,3(),7,2({'21
hỏi ???][ ',' a f
Ta có
270251
123
)'( aa P S
57
32)'( P T
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 45/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
921
853][ , a f
SỰ THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN AXTT THEO CƠ SỞ
( có dễ dàng )
S f T f aa ,
1
',' ][][
270
251
123
921
853
27
35
11
1
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 46/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
),( V V L f
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Nếu thì f gọi là 1 toán tử tuyến tính (tttt) trên V
Ký hiệu }|:{),()( axtt là f V V f V V LV L
V V :
toán tử zero
V V Id V :
toán tử đồng nhất
Xét )(V L f
f f Id Id f
f f
V V
0
00ta có
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 47/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)(V L f
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Xét
Đặt
f f f f
f f f
f f
Id f
k
V
000
0
2
1
0
( k lần
)
Ta có )(V L f k
Nếu f song ánh thì ta định nghĩa thêm các lũy thừa nguyên âm
1 f ánh xạ ngược của f
1;)(1
k f f k k
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 48/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
22: R R f
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Ví dụ
),(),( y y x y x
Chứng tỏ )( 2 R L f ( dễ dàng )
Ta có 0;),(),( k yky x y x f k
Mặt khác, f song ánh vì
10
11
][][ 000 , f f khả nghịch
Ánh xạ ngược 21 ),(;),(),( R y x y y x y x f
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 49/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
}{)( f Ker
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Các mệnh đề sau đây là tương đương
a/ f song ánh
b/ f đơn ánh
c/ f toàn ánh
d/
e/ n f F )Im(dim
f/ cơ sở )(: a f V a n cũng là 1 cơ sở của nV
g/ cơ sở )(: a f V a n cũng là 1 cơ sở của nV
h/ cơ sở aaan f f V a ][][: , khả nghịch
i/ cơ sở aaan f f V a ][][: , khả nghịch
j/ cơ sở ,][:, an f V a khả nghịch
k/ cơ sở ][:, an f V a khả nghịch
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 50/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)( nV L f
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Xét , vànV có 2 cơ sở là 'avàa
Thì lúc này,
a/ )(][][)]([ naaa V f f
b/ )(;][][][][][ F c f ccf và g f g f aaaaa
c/ aaa f g f g ][][][ 0
d/ 0;][][ k f f k
aa
k (*)
e/ nếu f song ánh thì (*) đúng Z k
f/ nếu đặt )'( aa P S thì
S f S f aa ][][1
'
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 51/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)(V L f
TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG, KHÔNG GIAN RIÊNG
Xét , và F c
Đặt })(|{ c f V E c
)}()(|{ V cId f V
}))((|{ V cId f V
)( V c cId f Ker E , lúc này V E c
TH1: nếu }{c E tầm thường
TH2: nếu }{c E gọi c là 1 trị riêng của f , và
c E gọi là không gian riêng (ứng với c) của f
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 52/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
}{\ c E
TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG, KHÔNG GIAN RIÊNG
Lúc này, mỗi gọi là vector riêng
(ứng với trị riêng c) của f
Lưu ý
0}{
0
)( ckhi
ckhi E
E f
c
c
, nghĩa là cc E E f )(
XÉT CHO MA TRẬN VUÔNG
Xét ma trận )( F M A n , và F c
Đặt }|{ cX AX F X E
n
c
, mà X cI cX n )(
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 53/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
})(|{ X cI A F X E nn
c
TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG, KHÔNG GIAN RIÊNG
c E không gian nghiệm của hệ pttt thuầnnhất
X cI A n )(
Lúc này,n
c F E
TH1: nếu }{c E tầm thường
TH2: nếu }{c E gọi c là 1 trị riêng của A , và
c E gọi là không gian riêng (ứng với c) của A
}{\ c E Lúc này, mỗi gọi là vector riêng
(ứng với trị riêng c) của A
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 54/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)(
121
101
365
3 Q A
TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG, KHÔNG GIAN RIÊNG
Ví dụ
Xét Qc 3 , ta có })3(|{ 3
3
3 X I AQ X E
Tiếp theo, ta giải X I A )3( 3
0
0
0
421
131
368giải
0 z y x
)}0,0,0({3 E
3 c không là trị riêng của A
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 55/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)}0,0,0({2 E
Xét Qc 2 , ta có })2(|{ 33
2 X I AQ X E
TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG, KHÔNG GIAN RIÊNG
Tiếp theo, ta giải X I A )2( 3
0
00
121
121363 giải vô số nghiệ
m (2ẩn tự do)
b x
a xab x
3
2
1 2
2 c là trị riêng của A (trên Q) , và
2 E là không gian riêng (ứng với trị riêng 2) của A , và
mỗi }{\2 E là vector riêng (ứng với trị riêng 2) của A
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 56/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)( nV L f
ĐA THỨC ĐẶC TRƢNG CỦA TOÁN TỬ TT VÀ MA TRẬN VUÔNG
Xét , và a là 1 cơ sở tùy ý của Vn
Viết ma trận a f ][ , và lập ma trận )][( an f xI
Đặt )][det()( an f f xI x p gọi là đa thức đặc trưng của f
01
1
1 a xa xa x n
n
n
)( F A n Xét
Lập matrận
)( A xI n
Đặt )det()( A xI x p n A gọi là đa thức đặc trưng của A
01
1
1 a xa xa xn
n
n
hệ số của bậc cao nhất luôn =1
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 57/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
22: R R f
ĐA THỨC ĐẶC TRƢNG CỦA TOÁN TỬ TT VÀ MA TRẬN VUÔNG
Ví dụ a/
)83,52(),( vuvuvu
Chọn )}1,0(),0,1{(0 a
83
52][ a f
83
52
83
52
10
01][2
x
x x f xI a
31683
52)( 2
x x
x
x x p f
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 58/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)(52
172 C A
Ví dụ (tt)
ĐA THỨC ĐẶC TRƢNG CỦA TOÁN TỬ TT VÀ MA TRẬN VUÔNG
b/ tìm p A(x)
Ta có
52
17
52
17
10
012
x
x x A xI
3312
52
17)( 2
x x
x
x x p A
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 59/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)( nV L f
LIÊN HỆ GiỮA TRỊ RIÊNG VÀ ĐA THỨC ĐẶC TRƢNG
Xét , và )( F A n
a/ nếu c là 1 trị riêng (trên F) của f (hoặc A)
c là 1 nghiệm (trên F) của pf (x) (hoặc p A(x))
b/ suy ra, muốn tìm tất cả các trị riêng (trên F) của toán tử f
hoặc ma trận vuông A, thì ta tìm tất cả các nghiệm trênF của đa thức đặc trưng tương ứng
Ví dụ a/ )( 4V L f có 86)( 24 x x x p f
Giả sử R F )2)(2)(2)(2()( x x x x x p f
f có 4 trị riêng thực 2,2,2,2 4321 cccc
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 60/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)()()( 444 C RQ A
LIÊN HỆ GiỮA TRỊ RIÊNG VÀ ĐA THỨC ĐẶC TRƢNG
Ví dụ (tt) b/ có
)2)(2()4()( 224 x x x x p A ( trường Q )
)2)(2)(2( 2 x x x ( trường R )
)2)(2)(2)(2( i xi x x x ( trường C )
, nghĩa là
nếu F=Q : thì A không có trị riêng trên Q
nếu F=R : thì A có 2 trị riêng trên R ( là )2
nếu F=C : thì A có 4 trị riêng trên C ( là )2,2 i
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 61/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)()( 01
1
1 x pa xa xa x x p A
n
n
n
f
ĐỊNH LÝ HAMILTON - CAYLEY
)( nV L f Xét , và )( F A n
Giả sử
Lúc này, đa thức đặc trưng của f (hoặc A) sẽ triệt tiêu chính toán tử
f (hoặc chính ma trận A), nghĩa là
0
01
1
1)( f a f a f a f f p n
n
n
f
nV Id
toán tử zero
n
n
n
n
A Aa Aa Aa A A p
0
01
1
1)(
n I
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 62/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
)0()0( 0 A f pa p
MỆNH ĐỀ
)( nV L f Xét , và )( F A n
)()( 01
1
1 x pa xa xa x x p A
n
n
n
f Giả sử
Để ý , khi đó
a/ f song ánh 0)0( 0 a p f
b/ A khả nghịch 0)0( 0 a p A
c/ giả sử f song ánh (hoặc A khả nghịch), nghĩalà
00 a
Ta tìm f -1 và A-1 như sau
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 63/85
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 64/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
nV
TOÁN TỬ VÀ MA TRẬN CHÉO HÓA ĐƢỢC
Xét )( nV L f , lúc này ta nói f chéo hóa được trên
nếu tồn tại cơsở
},,,{ 21 na của nV
sao cho
n
a
c
c
c
f
2
1
][
ma trận đường chéo
nghĩa là
nnn c f
c f
c f
)(
)(
)(
222
111
, trong đó
0
0)]([
1
1
c
f a
an
c
f 0
0
)]([;
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 65/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
C ƣơ g 5 Ạ U
)( F n
TOÁN TỬ VÀ MA TRẬN CHÉO HÓA ĐƢỢC
Xét )( F A n , lúc này ta nói A chéo hóa được trên F
nếu tồn tại ma trận P khảnghịch
thỏa
n
c
cc
AP P
2
1
1
ma trận chéo
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 66/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
g Ạ
k jr E
c xc xc x x p
jcV
r
k
r r
f
jn
k
,,2,1;dim
)()()()( 21
21
ĐK CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ 1 TOÁN TỬ (MT VUÔNG) CHÉO HÓA ĐƢỢC
Xét )( nV L f , và )( F A n
f chéo hóa được trên Vn
k jr E
c xc xc x x p
jc F
r
k
r r
A
j
k
,,2,1;dim
)()()()( 21
21
A chéo hóa được trên F
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 67/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
g Ạ
)( x p f
ĐK CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ 1 TOÁN TỬ (MT VUÔNG) CHÉO HÓA ĐƢỢC
jcV
r
k
r r
f
r E k jc xc xc x x p
jn
k
dim:},,2,1{)()()()(
21
21
f không chéo hóa được trên Vn
không tách được trên Vn , hay
)( x p A
jc F
r
k
r r
A
r E k j
c xc xc x x p
j
k
dim:},,2,1{
)()()()( 21
21
A không chéo hóa được trên F
không tách được trên F, hay
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 68/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
g Ạ
)][det()( f xI x p n f
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
Xét )( nV L f
Tìm , với β là 1 cơ sở tùy ý của Vn
Nếu pf
(x) không tách được trên F : thì f không chéo hóa được
trên Vn
Nếu pf (x) tách được trên Vn thành
k r
k
r r
f c xc xc x x p )()()()( 21
21
, với F ccc k ,,, 21
Thì ta tìm cơ sở a j cho không gian riêng
)( n j V jc Id c f Ker E )1( k j
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 69/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
g Ạ
},,2,1{ k j
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
Nếu jc F r E
j dimsao cho
thì f không chéo hóa được trên Vn
Nếu },,2,1{,dim k jr E jc F j thì f chéo hóa được trên Vn
Đặt k aaaa 21 thì a là cơ sở của Vn
Lúc này,
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 70/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
g Ạ
1r
k
k
a
c
c
c
c
f
1
1
][
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
lần
k r lần
ma trận chéo
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 71/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
g Ạ
)1( k j
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
Xét )( F A n
)det()( A xI x p n A Tìm
Nếu p A(x) không tách được trên F : thì A không chéo hóa được
trên F
Nếu p A(x) tách được trên F thành
k r
k
r r
Ac xc xc x x p )()()()( 21
21
, với F ccc k ,,, 21
Thì ta tìm cơ sở a j cho không gian riêng
})(|{
X I c A F X E n j
n
c j
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 72/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
g Ạ
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
},,2,1{ k j Nếu jc F r E
j dimsao cho
thì A không chéo hóa được trên F
Nếu },,2,1{,dim k jr E jc F j thì A chéo hóa được trên F
Đặt k aaaa 21 thì a là cơ sở của Fn
Đặt )( 0 a P P
dễ tìm cơ sở chính tắc của Fn
( không cầntìm P-1 nếukhông cóyêu cầu )
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 73/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
g Ạ
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
1r
k
k
c
c
c
c
AP P
1
1
1
lần
k r lần
ma trận chéo
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 74/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
33: R R f
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
Ví dụ
)4,23,58(),,( wvuwuvwvuwvu
114
132
518
][ 0 f nên )][det()( 03 f xI x p f
114
132
518
)(
x
x
x
x p f
114
132
404)3()1()1(
x
x
x x
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 75/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
314
132
004)'1()'3()'3(
x
x
x
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
31
13)4(
x
x x
)2()4( 2 x x
)2()4()( 2 x x x p f tách được trên R
2,4
1,2
22
11
r c
r c
Tiếp theo, ta tìm cơ sở 2a cho )4( 3
2 4 Rc Id f Ker E E
Ta có ),,(4),,(),,)(4( 3 wvuwvu f wvu Id f R
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 76/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
)54,2,54(),,)(4( 3 wvuwuvwvuwvu Id f R
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
giải ),,)(4( 3 wvu Id f R
054
02
054
wvu
wuv
wvu
00
514112
)1(2
1
)1(
)1(2)2()2(
0
0
330
2/12/11
0
0
110
101)2(
2
1)1()1(
)2(3
1)2(
nghiệm
wv
wu
w tùy ý
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 77/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
}|),,({4 Rwwww X E
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
}|)1,1,1({ Rww X
)}1,1,1({
4 E có cơ sở )}1,1,1({2 a
21dim 24 r E R
KL: f không chéo hóa được trên R
Ví dụ 2
cho
121
101
365
A hỏi A có chéo hóa được không?
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 78/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
121
11365
||)( 3
x
x x
A xI x p A
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
Ta có
121
220
365)3()2()2(
x
x x
x
)'2()'3()'3(
3)2(
11
95)2(
121
020
965
x x
x x
x
x
x
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 79/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
3)2()( x x p A
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
tách được trên R
Tiếp theo, ta tìm cơ sở a cho
})2(|{ 3
3
2 X I A R X E E c
Ta có
0
0
0
121
121
363
)2( 3 X I A
)0121(
nghiệm
vwu
wv
2
, thực tùy ý
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 80/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
},|),,2({2 Rwvwvvw X E
THUẬT TOÁN CHÉO HÓA
},|)1,0,1()0,1,2({ Rwvwv X
1 2
)}1,0,1(),0,1,2({ 212 E
tọa độ không tỷ lệ
2 E có cơ sở },{ 21 a
32dim 2 r E F
KL: A không chéo hóa được trên R
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 81/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
)())(()( 21 n f c xc xc x x p
MỆNH ĐỀ
Xét )( nV L f ( hay )( F A n )
Nếu pf (x) (hay p A(x)) tách được trên F, và chỉ có nghiệm đơn
, hay
)())(()( 21 n A c xc xc x x p
n jicc ji 1;
thì f (hay A) chéo hóa được trên Vn (trên F)
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 82/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
a f f ][
MA TRẬN BIỂU DIỄN TOÁN TỬ
Xét )( nV L f
Chọn cơ sở a cố định (tùy ý) của Vn
Ta có sự tương ứng song ánh giữa )( nV L với
)( F n
, nghĩa là
Cho )( nV L f
thì có )(][ F f A na
Ngược lại, cho )( F A n thì có )( nV L f
mà A f a ][
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 83/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
a f ][
MA TRẬN BIỂU DIỄN TOÁN TỬ
f chéo hóa được trên Vn chéo hóa được trên F
TOÁN TỬ HÓA MA TRẬN VUÔNG
Xét )( F A n
Lập toán tử nn
A F F f :t XA X
chuyển vị của A
Ta có )( n
A F L f , và A f A 0
][
f A gọi là toán tử hóa của A
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 84/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
)(
520
643
512
3 Q A
TOÁN TỬ HÓA MA TRẬN VUÔNG
Ví dụ
Lập 33: R R f A
565
241
032
),,(),,( wvu XAwvu X t
)52,643,52( wvwvuwvu
thì )( 3 R L f A A f A 0
][ , và
Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính
http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 85/85
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn
)()( x p x p A f A
MỆNH ĐỀ
Xét A và f A như trên , khi đó
a/
b/ A
c
f
c E E A
c/ f A chéo hóa được trên Fn A chéo hóa được trên F