NỘI DUNG:I. LÝ THUYẾT MẪUII. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNGIII. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂIV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ CỦA TỔNG THỂV. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ

CHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

I. LÝ THUYẾT MẪU1. Tổng thể và mẫu Tổng thể: ký hiệu X là đặc tính cần nghiên cứu.

Tập hợp M gồm tất cả những phần tử mang đặc tính X của một vấn đề quan tâm nghiên cứu gọi là tổng thể. Ta gọi N là số phần tử của tổng thể.

Ví dụ- Số cử tri trong một cuộc bầu cử.- Thu nhập của các hộ gia đình ở một địa phương- Điểm trung bình các tất cả sinh viên trong một trường đại học.- Trọng lượng một loại cá dưới hồ.- ...

Thông thường, N rất lớn nên ta không thể lấy hết những phần tử của M để thực hiện thí nghiệm vì những lý do sau: N quá lớn. Thời gian và kinh phí không cho phép. Có thể làm hư hại hết các phần tử của

M.

I. LÝ THUYẾT MẪU1. Tổng thể và mẫu

Vì vậy người ta thường lấy một số phần tử của M để nghiên cứu, các phần tử này gọi là mẫu lấy từ M. Số phần tử của mẫu gọi là cỡ mẫu, ký hiệu là n.

Ví dụ Thăm dò 2000 cử tri. Khảo sát 300 gia đình. Cân trọng lượng 500 con cá. …

I. LÝ THUYẾT MẪU1. Tổng thể và mẫu

Ký hiệu Xi là giá trị quan sát X trên phần tử thứ i của mẫu. Khi đó ta có một bộ n biến ngẫu nhiên (X1, ..., Xn) gọi là mẫu lý thuyết lấy từ M.

Tính chất mẫu: Các Xi có cùng phân phối như X. Các Xi độc lập với nhau.

Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số liệu (x1, .., xn) gọi là mẫu thực nghiệm lấy từ X.

I. LÝ THUYẾT MẪU2. Mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể

I. LÝ THUYẾT MẪU3. Phương pháp chọn mẫu

Theo xác suất(Probability sampling)

Ngẫu nhiên đơn giản(simple random sampling)

Hệ thống(systematic sampling)

Phân tầng (theo tỷ lệ, không theo tỷ lệ)(stratified sampling)

Theo nhóm (một bước, hai bước…)(cluster sampling)

Phi xác suất(Non-probability sampling) Thuận tiện

(convenience sampling) Phán đoán

(judgment sampling) Phát triển mầm

(snowball sampling) Định mức/Hạn ngạch

(quota sampling)

Bảng thống kê đơn giản

hoặc: x1 x2 x3 ... xn-1 xn

Ví dụ. Đo chiều cao của 10 sinh viên trong lớp (cm)Kết quả: 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155

Thứ tự (i) 1 2 3 ... n-1 n

Giá trị của X x1 x2 x3 ... xn-1 xn

Thứ tự 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Chiều cao(cm)

160 155 147 155 168 181 150 163 168 155

I. LÝ THUYẾT MẪUTrình bày số liệu mẫu thực nghiệm

Bảng tần số

Với n1 + n2 + ... + nk = n Ví dụ. Khảo sát điểm của 50 bài thi môn toán.

X x1 x2 x3 ... xk-1 xk

ni n1 n2 n3 ... nk-1 nk

điểm của bài thi 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0

Số bài 14 12 8 6 4 4 2

I. LÝ THUYẾT MẪUTrình bày số liệu mẫu thực nghiệm

Bảng tần số chia khoảng

Với n1 + n2 + ... + nk = n

Chú ý: khi tính các tham số thống kê các khoảng giá

trị của X được lấy bằng giá trị trung tâm của

khoảng: xi = (ai + bi)/2, thu được bảng sau:

X (a1,b1] (a2,b2] ... (ak,bk]

ni n1 n2 ... nk

X x1 x2 x3 ... xk-1 xk

ni n1 n2 n3 ... nk-1 nk

I. LÝ THUYẾT MẪUTrình bày số liệu mẫu thực nghiệm

Trung bình Phương sai – Độ lệch chuẩn Trung vị Mode

I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫu

Xét mẫu cỡ n: (X1, ..., Xn)

Trung bình mẫu:

1

1 n

ii

X Xn

I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫu

Phương sai mẫu:

Với

1

22 1 n

iiS X X

n

22 2( )S X X

22

1

1i

n

i

XXn

I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫu

Phương sai mẫu hiệu chỉnh

Độ lệch chuẩn:

2

1

21

1

n

iiS X X

n

2S S

I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫu

Xét mẫu cỡ n: (X1, ..., Xn)

được biểu diễn theo bảng tần số

Trung bình mẫu:

1

1 k

i ii

X n Xn

X X1 X2 X3 ... Xk-1 Xk

ni n1 n2 n3 ... nk-1 nk

I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫu

Phương sai mẫu:

Với

1

22 1 k

ii

iS n X Xn

22 2( )S X X

2

1

2 1i

k

ii

n XXn

I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫu

Phương sai mẫu hiệu chỉnh

Độ lệch chuẩn:

2

1

21

1

n

ii iS n X X

n

2S S

I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫu

Ví dụ 1. Khảo sát chiều cao của 15 sv trong một lớp học:160,165,155,162,167,145,158,170,165,155158,160,170,175,169Tính các tham số mẫu.

Ví dụ 2. Thời gian tự học của 100 sinh viên cho bởi bảng sau

Tính các tham số mẫu

Thời gian tự học 1 2 3 4 5

Số sinh viên 10 20 40 20 10

I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫu

II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 1. Ước lượng điểm

Bài toán ước lượng điểm: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là f(x,); là tham số

chưa biết của hàm mật độ, ta cần đi tìm . Xét

mẫu ngẫu nhiên cỡ n: (X1, X2, ..., Xn) được lấy từ

X. Một thống kê gọi là một ước lượng điểm của . Bài toán đi tìm gọi là bài toán ước lượng điểm. Và giá trị là một ước lượng điểm cụ thể cho .

1ˆ ,..., nh X X

ˆˆ

Ví dụ:- Xét X là bnn có phân phối chuẩn X ~ N(μ, 2).- Thì hai tham số cần tìm ở đây là - Hai ước lượng cho a và 2 là:

1 22,,

^

1

1

n

ii

X Xn

22 2

1

1ˆ ( )

n

ii

Xs Xn

II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 1. Ước lượng điểm

Giả sử là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên X. Dựa vào mẫu (X1, X2, ..., Xn) cần tìm hai đại lượng 1(X1,..., Xn) và 2(X1,..., Xn) sao cho

Với đủ lớn cho trước, thường =95% hoặc

99%. Xác suất gọi là Độ tin cậy (ĐTC) của ước lượng. Khoảng [1, 2] gọi là khoảng tin cậy của ước lượng.

1 2P (*)

II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 2. Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)

Ý nghĩa của (*):

Có 100% số lần lấy cỡ mẫu n thì [1, 2].

Có (1-)100% số lần lấy cỡ mẫu n thì [1, 2].

II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 2. Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)

Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Với cho trước, cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình với ĐTC (1 – ).

Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn). Đặt

Khi đó Z ~ N(0,1).

X n

Z

III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNHTH biết trước phương sai

III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH biết trước phương sai

Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) :

với

: phân vị của phân phối chuẩn, tra bảng phụ lục 3

ε gọi là sai số, độ chính xác, bán kính ước lượng.

12

z

n x

12

z

Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình với ĐTC (1 – ).

Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn).

Đặt

Khi đó Z ~ N(0,1). Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) :

với

X nZ

S

III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNHTH chưa biết phương sai, n ≥ 30

12

s

zn

x

III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNHTH chưa biết phương sai, n < 30

Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình với ĐTC (1 – ).

Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn).

Đặt

Khi đó Z ~ (phân phối student, tra bảng phụ lục 4) Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) :

với

X nT

S

21;1 n

st

n x

21;1 nt

III. ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG

Ví dụ

Biết lương của công nhân trong nhà máy là bnn X ~ N((, 2) (triệu đồng/năm). Khảo sát 96 công nhân

a. Biết = 8, lập khoảng ước lượng cho với ĐTC 96%

b. không biết, tìm khoảng ước lượng cho với ĐTC 99%.

c. Để có sai số ε 0,8 triệu đồng thì cỡ mẫu ta chọn bé nhất là bao nhiêu.

Lương 18-24 24-30 30-36 36-42 42-48 48-54

Số công nhân 8 20 26 24 12 6

Giả sử p là tỷ lệ phần tử của tổng thể (có đặc điểm đang xem xét tỷ lệ). Cần tìm khoảng ước lượng cho p với ĐTC (1 - ).

Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn). Đặt

Z có phân phối chuẩn hóa, Z ~ N(0,1). Khoảng ước lượng của tỷ lệ p với ĐTC (1 – ) :

với

)(

(1 )

p nf

Zp p

IV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ

12

(1 )

f fz

n p f

IV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ

Ví dụ. Biết lương của công nhân trong nhà máy là bnn X ~ N((, 2) (triệu đồng/năm). Khảo sát 96 công nhân

Công nhân gọi là thu nhập thấp nếu lương dưới 24 triệu đồng/năm.

a. Tìm KTC 95% cho tỷ lệ công nhân có thu nhập thấp.

b. Để có sai số bằng 0,04 và ĐTC là 95% thì cỡ mẫu cần lấy là bao nhiêu?

Lương 18-24 24-30 30-36 36-42 42-48 48-54Số công nhân 8 20 26 24 12 6

V. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAITH đã biết trung bình Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Giả sử đã biết μ, cần tìm

khoảng ước lượng cho phương sai 2 với ĐTC (1 – ). Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn).

Đặt

Khi đó có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục 5 Khoảng ước lượng của 2 với ĐTC (1 – ) :

với

2

2 12

n

ii

X

2 2

2 2

2 21 11 22 2

;1 ;

;

n n

i ii i

n n

x x

2 2 21 2;

2

V. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAITH chưa biết trung bình Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Cần tìm khoảng ước lượng

cho phương sai 2 với ĐTC (1 – ). Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn).

Đặt

Khi đó có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục 5 Khoảng ước lượng của 2 với ĐTC (1 – ) :

với

22

2

1

n S

2 2

2 22 21 22 2

1;1 1;

1 1;

n n

n s n s

2 2 21 2;

2

V. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI

Ví dụ. Biết lương của một loại sản phẩm là bnn X ~ N((, 2) (gram). Khảo sát 25 sản phẩm, có số liệu:

a. Cho biết trọng lượng trung bình μ = 200g. Hãy ước lượng phương sai trọng lượng của sản phẩm với độ tin cậy 90%.

b. Trung bình μ chưa biết, hãy ước lượng phương sai trọng lượng của sản phẩm với độ tin cậy 95%

Trọng lượng 195 200 205Số sản phẩm 5 18 2