1

BÀI GIẢNGXÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ths. Nguyễn Đình Inh

Chương 1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

§1. Giải tích tổ hợp§2. Phép thử và biến cố§3. Xác suất§4. các công thức xác suất

1.1. Quy tắc cộngMột công việc có thể thực hiện theo k phương ánPA 1 có n1 cách thực hiệnPA 2 có n2 cách thực hiện …,PA k có nk cách thực hiện.Khi đó công việc có n1+n2+…+nk cách thực hiện.

Vd1. Một người có 3 đôi dép, 4 đôi giầy. Khi đó người này có 3+4=7 cách chọn 1 đôi để đi.

§1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP Một công việc phải thực hiện qua k giai đoạn(gđ). Gđ 1 có n1 cách thực hiện, gđ 2 có n2 cáchthực hiện … gđ k có nk cách thực hiện. Khi đócông việc có n1.n2.….nk cách thực hiện.

Vd2. Một người có 4 quần, 5 áo sơ- mi và 3 cà-vạt thì có bao nhiêu cách để người này chọn 1 bộgồm 1 quần, 1 áo sơ-mi và 1 cà-vạt?

Vd3. Từ A đến B có 2 con đường, từ B đến C có3 con đường, có 4 con đường đi trực tiếp từ A đếnC (không qua B). Hỏi có bao nhiêu con đường đitừ A đến C?

1.2. Quy tắc nhân

2

Một hoán vị của tập hợp A là một dãy tất cả cácphần tử của A sắp xếp theo một thứ tự nào đó.

Vd5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được baonhiêu số có 5 chữ số khác nhau?Vd6. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một bàn(dài) sao cho 2 người A, B luôn ngồi cạnh nhau?Vd7. Có 3 bộ sách: bộ I có 5 tập; bộ II có 2 tập vàbộ III có 4 tập. Có bao nhiêu cách xếp sao cho cáctập của từng bộ đặt liền nhau?

1.3. Hoán vị

Vd4. Tập A = a, b, c có các hoán vị là abc, acb,bac, bca, cab, cba.Số hoán vị của tập n phần tử: Pn=n!

Vd9. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêusố có 3 chữ số khác nhau.

1.4. Chỉnh hợpCho tập A có n phần tử, một chỉnh hợp chập k củan phần tử của A (k≤n) là một nhóm có phân biệtthứ tự k phần tử khác nhau của A.Vd8. Tập A=a,b,c có các chỉnh hợp chập 2 là:ab, ba, ac, ca, bc, cb.Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là

푨풏풌 =풏!

(풏 − 풌)!

Vd10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được baonhiêu số có 3 chữ số khác nhau?

1.5. Chỉnh hợp lặpCho tập A có n phần tử, một chỉnh hợp lặp chập kcủa n phần tử của A là một nhóm có phân biệt thứtự k ptử không nhất thiết khác nhau của A.Vd11. Tập A = a, b, c có các chỉnh hợp lặp chập2 là: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là

푩풏풌 = 풏풌

Vd12. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được baonhiêu số có 3 chữ số không nhất thiết khác nhauVd13. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được baonhiêu số có 3 chữ số không nhất thiết khác nhau

Vd15. Một lớp có 100 sv, có bao nhiêu cách chọn 3 sv để:a) Lập một nhóm học tậpb) Lập 1 ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 tq?Vd16. Có bao nhiêu cách chọn 4 nam và 3 nữ từ 8 nam, 7 nữ

1.6. Tổ hợpCho tập A có n phần tử, một tổ hợp chập k của nphần tử của A (k≤n) là một nhóm không phân biệtthứ tự k phần tử khác nhau của A.Vd14. Tập A = a, b, c có các tổ hợp chập 2 là:ab, ac, bc.Số tổ hợp chập k của n phần tử:

푪풏풌 =풏!

풌!. (풏 − 풌)!

3

Bài tập

Bài 2. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một bàn tròn 5 chỗ ngồi theo quy ước bàn tròn? Bài 3. Có bao nhiêu cách a) Xếp 3 người vào 5 ghế, mỗi ghế chứa tối đa 1 người.b) Chọn 3 ghế trong 5 ghế.Bài 4. Có bao nhiêu cách xếp 3 người vào 5 phòng, không hạn chế số người trong 1 phòng?Bài 5. từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên:a) Có 4 chữ số b) Có 4 chữ số khác nhauc) Chẵn, có 4 chữ số d) Chẵn, có 4 chữ số khác nhauBài 6. Tìm n biết a) 퐴 = 120 b) 퐶 = 10Bài 7. Gieo 1 con xúc xắc n lần có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra.

Bài 1. Hãy cho biết m đường thẳng đôi một song song cắt n đường thẳng đôi một song song khác tạo thành bao nhiêu hình bình hành.

§2. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ2.1. Khái niệm biến cố và phép thử• Phép thử ngẫu nhiên (phép thử): thí nghiệm để quan

sát một hiện tượng nào đó. Vd: gieo 1 đồng xu xemxuất hiện mặt sấp hay ngửa; chọn ngẫu nhiên 1 sp từ 1lô hàng để kiểm tra xem có đạt tiêu chuẩn không, ..

• Hiện tượng ngẫu nhiên quan sát trong phép thử gọi làbiến cố ngẫu nhiên (biến cố). Ký hiệu A, B, C, ...Vd: Gieo một con xúc xắc, Ai = ‘‘xuất hiện i chấm, i=1,..6’’, A = ‘‘xuất hiện mặt chẵn’’ là các biến cố.

• Biến cố sơ cấp là biến cố không thể chia nhỏ đượcthành các biến cố khác.

• Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp gọi là không gianmẫu của phép thử, ký hiệu là .

Vd1: Gieo một đồng xu để quan sát mặt sấp hay ngửa xuấthiện có = S, N, S, N là các biến cố sơ cấp.Vd2: Gieo một con xúc xắc để quan sát số chấm xuất hiệncó = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Gọi A: “xuất hiện mặt chẵn” thìA = 2, 4, 6, các kết quả 2, 4, 6 gọi là các kết quả thuậnlợi cho A.Vd3: Gieo hai đồng xu, gọi B: “có ít nhất một đồng xuxuất hiện mặt sấp” thì = ?, B=?.Vd4: Gieo 4 đồng xu, gọi B: “có ít nhất một đồng xu xuấthiện mặt sấp” thì có bao nhiêu biến cố sơ cấp?, B có baonhiêu kết quả thuận lợi?Vd5: Gieo một con xúc xắc hai lần, gọi C: “cả hai lần đềuxuất hiện mặt không nhỏ hơn 5” thì C = ?, = ?

2.2. Các loại biến cố• Biến cố chắc chắn : là biến cố nhất định xảy ra, ký

hiệu: • Biến cố không thể: là biến cố không bao giờ xảy

ra, ký hiệu: .• Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra cũng

có thể không xảy. Ví dụ: Gieo một con xúc xắc.Bc xuất hiện 7 chấm là biến cố không thể cóBc xuất hiện từ 1 đến 6 chấm là biến cố chắc chắnBc xuất hiện mặt 5 chấm là biến cố ngẫu nhiên

4

2.3. Các phép toán trên biến cốa) Tổng (hợp) các biến cố:Tổng của hai bc A và B, ký hiệu A + B hay AB, là bcxảy ra khi và chỉ khi ít nhất 1 trong 2 bc A, B xảy ra.Vd1: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi A =“Người thứ nhất bắn trúng”; B =“ Người thứ hai bắntrúng”; C =“ Mục tiêu trúng đạn” thì C = A + B.Vd2. Gieo một con xúc xắc, gọi A: “xuất hiện mặt nhỏhơn 4”, B: “xuất hiện mặt chẵn”. Ta có A=1, 2, 3,B=2, 4, 6 và A+B=1, 2, 3, 4, 6.Mở rộng: Tổng của n bc A1, A2, …, An, ký hiệu A1 + A2+ … + An , là bc xảy ra khi có ít nhất một trong n biếncố thành phần xảy ra.

b) Tích (giao) các biến cố:Tích của hai bc A và B, ký hiệu A.B hay A B, là bcxảy ra khi và chỉ khi cả hai bc A và B cùng xảy ra.Vd1: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi A = “người thứ nhất bắn trệch”; B =“ người thứ hai bắntrệch”; C = “mục tiêu không trúng đạn” thì C = A.BVd2: Gieo 1 con xúc xắc, gọi A:“xh mặt nhỏ hơn 4”,B:“xh mặt chẵn”. Có A=1, 2, 3, B=2, 4, 6 vàAB=2.Mở rộng: Tích của n bc A1, A2, …, An, ký hiệu A1A2… An, là bc xảy ra khi và chỉ khi đồng thời n bc thànhphần cùng xảy ra.

2. 4. Quan hệ giữa các biến cốa. Quan hệ xung khắcHai bc A và B được gọi là xung khắc nếu chúngkhông thể cùng xảy ra, tức là A.B= Φ. Nhóm n bcA1, A2, …, An được gọi là xung khắc từng đôinếu bất kỳ hai bc nào trong nhóm cũng xung khắc.Vd1: Gieo một con xúc xắc, gọiA=“xuất hiện mặt lẻ”B=“xuất hiện mặt 2 chấm”C=“xuất hiện mặt 4 chấm”.Khi đó A, B, C xung khắc từng đôi.

Vd1: Gieo 1 đồng xu 2 lần, gọi A ‘‘có ít nhất 1 lầnmặt sấp’’, B ‘‘không lần nào sấp’’ thì 퐵 = 퐴.Vd2: Gieo một con xúc xắc, gọi A ‘‘xuất hiện mặtchia hết cho 3’’ thì 퐴 = 1,2,4,5Chú ý:• Hai bc đối lập thì xk, hai bcxk thì chưa chắc đối

lập, vd gieo 1 con xúc xắc, A = 1,2,3, B=5,6• Luật Demorgan:

b. Quan hệ đối lậpHai bc A và B gọi là đối lập nhau nếu A.B = Φ và퐴 + 퐵 = 훺 (tức B là phần bù của A trong 훺), khiđó ta nói bc B là bc đối của bc A, ký hiệu 퐵 = 퐴.

1 1

1 1

... ...

... ...n n

n n

A A A A

A A A A

5

2. 5. Nhóm đầy đủ các biến cốCác biến cố A1,…,An được gọi nhóm đầy đủ nếuchúng xung khác từng đôi và có tổng là biến cốchắc chắn.Vd: gieo 1 con xúc xắc, gọi Ai: xuất hiện mặt ichấm, thì A1,…,A6 là một nhóm đầy đủ, gọiA=A1+A2, B=A3, C=A4+A5+A6 thì A, B, C cũnglà một nhóm đầy đủ

Hệ 퐴, 퐴 với A là biến cố bất kỳ là một hệ đầy đủ.

• Hiển nhiên 퐴 = 퐴Bài 1: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi Ai: ‘‘người thứ i bắn trúng” i = 1, 2,3; biểu diễn các bc:a)Cả 3 người cùng bắn trúngb)Có đúng 1 người bắn trúngc)Có đúng 2 người bắn trúngd) Mục tiêu trúng đạne) Không có ai bắn trúngf)Có ít nhất 1 người bắn trệchBài 2: Gieo 1 con xúc xắc n lần thì không gian mẫu có bao nhiêu biến cố sơ cấp?Bài 3: Một nhóm sinh viên gồm 5 nữ và 3 nam.Chọn ngẫu nhiên 4 người.Gọi Ai là bc “có i nam được chọn”, hệ A0, A1, A2, A3 có đầy đủ hay không?

Xác suất là số đo khả năng xảy ra của 1 bc. K/h PP(∅)=0, P(Ω)=1, 0≤P(A)≤1.

§3. XÁC SUẤT

3.1.Định nghĩa xác suất cổ điểnGiả sử một phép thử có n kết quả đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có m kết quả thuận lợi cho biếncố A. Khi đó xác suất của biến cố A là:

푃 퐴 =푚푛 =

푠ố푡ℎ푢ậ푛푙ợ푖푠ố푐ó푡ℎể    (1)

Vd1. Gieo một con xúc xắc cân đối, gọi A:“xh mặt chẵn” thì P(A)=3/6; B:“xh mặt chia hết cho 3” thì P(B)=2/6.

Vd2. Gieo hai đồng xu cân đối, gọi A:“có ít nhất một sấp” thì P(A)=?; B:“đồng xu thứ nhất sấp ” thì P(B)=.?

Giải: Số kết quả có thể xảy ra là: 푛 = 퐶a. Số kết quả thuận lợi cho A là: 푚 = 퐶⇒ 푃(퐴) = =

b. 푃(퐵) = = c. 푃(퐶) = =

Vd3. Trong 1 bình kín có 5 cầu trắng, 3 cầu đen. Lấyngẫu nhiên 2 quả. Tìm xác suất của các bc:a. A: “lấy được 2 cầu trắng”b. B: “lấy được 2 cầu đen”c. C: “lấy được một cầu trắng và một cầu đen”

Hạn chế của định nghĩa xác suất cổ điển?

Vd4. Một hộp có 3 bi đỏ, 9 bi trắng được chia thành 3 phần bằng nhau. Tính xs mỗi phần đều có bi đỏ?

6

3. 2. Định nghĩa xác suất theo tần suất (thống kê)

Khi 푛 → ∞ thì 푓(퐴) → const = 푃(퐴)Vậy (khi n đủ lớn).

( ) soá laàn A xuaát hieänsoá laàn laëp laïi pheùp thöû

mf An

Tần suất xuất hiện bc A của dãy phép thử lặp:

( ) ( )P A f A

Người tung Số lần tung: n Số lần sấp: m f(A) =m/nBuffon 4040 2048 0.5069Pearson 12000 6019 0.5016Pearson 24000 12012 0.5005

Vd5. Thí nghiệm tung đồng xu

Vd6. Kiểm tra ngẫu nhiên 2000 sp của một xínghiệp thấy có 1410 sp loại 1. Hãy kết luận về tỷ lệsp loại 1 của xí nghiệp này?

3. 3. Định nghĩa hình học của xác suấtPhép thử có vô số kết quả đồng khả năngG: miền biểu diễn không gian mẫuH: miền biểu diễn cho bc A.

푃(퐴) =độ đo miền 퐻độ đo miền G

Vd7. Dây điện thoại ngầm AB đồng chất dài 800m bị đứt. Tính xs chỗ đứt cách A không quá 100m.

푃(퐀) =độ dài ACđộ dài AB

=100800 =

18

C BA

Vd8. Bắn 1 viên đạn vào tấm bia hình vuông.a) Tính xs đạn trúng vào hình tròn nội tiếp tấm bia.b) Tính xs viên đạn trúng tâm bia

Biến cố hầu không là bc có xs bằng 0 nhưng vẫncó thể xảy ra

4.1.Xác suất có điều kiện§4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUÂT

4.1.1. Định nghĩaXs của bc B xét trong điều kiện bc A đã xảy rađược gọi là xs của B với điều kiện A và k/h làP(B/A).

Vd1.Trong bình có 5 quả cầu trắng, 3 quả cầu đen.Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả (không hoàn lại).Tìm xs lần 2 lấy được quả trắng biết lần 1 đã lấyđược quả trắng.Gọi A: “lần 1 lấy được quả trắng”B: “lần 2 lấy được quả trắng” => P(B/A) = 4/7.

푷(푩|푨) =?

7

Vd2. Một lớp có 60 nam và 40 nữ. Trong đó có 25nam và 30 nữ có học lực giỏi. Chọn ngẫu nhiên 1 svcủa lớp, tính xs:a) A= Sv được chọn là nữ.b) B= Sv được chọn có học lực giỏi.c) C= Sv được chọn là nữ và có học lực giỏi.d) Sv được chọn có học lực giỏi biết sv này là nữ.e) Sv được chọn là nữ biết sv này có học lực giỏi.Vd3.Thả ngẫu nhiên 1 chất điểm vào hình vuông ABCDa) Tính xs chất điểm rơi trên cạnh của hình vuông.b) Biết chất điểm rơi trên cạnh hình vuông, tính xs nó

rơi vào cạnh AB.

Lưu ý phân biệt xs có điều kiện và xs của bc tích.

Vd4. Một người tham dự 1 kỳ thi 2 vòng. Xs đạtvòng 1 là 0,8; đạt cả hai vòng là 0,6. Tính xs đểngười này đạt vòng 2, biết anh ta đã đạt vòng 1

Xét không gian xác suất hữu hạn, đồng khả năng( )( / ) (1)( )

P ABP B AP A

4.1.2. Công thức tính xác suất có điều kiện

Trong không gian xs tổng quát, công thức (1) vẫnđúng. (nếu P(A)≠0).

Vd5. Một nhóm sinh viên có 7 nam và 3 nữ, chọnngẫu nhiên ra 3 người. Tìm xs để chọn được:a) 3 nam b) Ít nhất 1 namc) 3 nam, biết rằng có ít nhất 1 nam đã được chọn.

• P(A1A2…An) = P(A1).P(A2/A1) P(A3/A1A2) …P(An/A1A2…An-1)

4.2. Công thức nhân

• P(AB) = P(A).P(B/A)= P(B).P(A/B)

Giải: Gọi A: “sp lần 1 tốt”; B: “sp lần 2 tốt”;

C: “cả 2 sp đều tốt” => C = AB.

P(C) = P(AB) = P(A).P(B/A)= . =

Vd6. Một hộp có 10 sp tốt, 3 sp xấu. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 lần, mỗi lần 1 sp. Tìm xs cả 2 lần đều lấy được sp tốt.

4.2.1. Công thức nhân tổng quát

• P(A1A2…An) = P(A1).P(A2/A1) P(A3/A1A2) …P(An/A1A2…An-1)

4.2. Công thức nhân

• P(AB) = P(A).P(B/A)= P(B).P(A/B)

Giải:Gọi A: “sp lần 1 tốt”; B: “sp lần 2 tốt”;

C: “cả 2 sp đều tốt” => C = AB.

P(C) = P(AB) = P(A).P(B/A)= . =

Vd6. Một hộp có 10 sp tốt, 3 sp xấu. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 lần, mỗi lần 1 sp. Tìm xs cả 2 sp lấy ra đều tốt.

4.2.1. Công thức nhân tổng quát

8

Vd7. Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi đen. Lấy ngẫunhiên không hoàn lại từng bi cho đến khi được biđen thì dừng. Tìm xs để dừng sau 4 lần lấy.Giải: Gọi Ai: “ lấy được bi đen ở lần thứ i”;B: “ dừng sau 4 lần lấy” thì:퐵 = 퐴 . 퐴 . 퐴 . 퐴 => P 퐵 = P 퐴 .퐴 . 퐴 . 퐴= 푃(퐴 ). 푃(퐴 퐴⁄ ). 푃(퐴 퐴⁄ . 퐴 ). 푃(퐴 퐴⁄ . 퐴 . 퐴 )

=58 .47 .36 .35 =

328

• P(A1A2…An) = P(A1).P(A2/A1) P(A3/A1A2) …P(An/A1A2…An-1)

4.2.1. Công thức nhân độc lậpa) Sự độc lập (đl) của các biến cốHai bc gọi là đl với nhau nếu sự xảy ra hay khôngcủa bc này không ảnh hưởng đến xs của bc kia.

Như vậy (A, B) đl ( / ) ( / ) ( )

( / ) ( / ) ( )

P B A P B A P B

P A B P A B P A

Vd8. Gieo một đồng xu 2 lần. Gọi A=“ lần 1 sấp”, B=“ lần 2 sấp”. Khi đó A và B đl.Vd9. Trong bình có 3 cầu trắng và 2 cầu đen, lấykhông hoàn lại 2 lần, mỗi lần 1 quả. Gọi A=“lần 1trắng”; B=“lần 2 trắng” thì A và B không đl.

Tổng quát, các bc A1, A2, ..., An được gọi là đl (toànphần) nếu sự xảy ra hay không của một nhóm các bcbất kỳ không ảnh hưởng đến xs của các bc còn lại.

Nếu A1,...,An đl thì P(A1...An)=P(A1)...P(An)b) Công thức nhân độc lập

Vd10. Bắn 3 phát súng vào 1 mục tiêu, xs trúng lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,9. Tìm xs cả 3 phát cùng trúng.

Vd11. Gieo 1 con xúc xắc 10 lần, tính xs cả 10 lần đều xuất hiện mặt 6.

Nhận xét: nếu A và B đl thì các cặp biến cố퐴,  퐵);  (퐴,  퐵);  (퐴,  퐵 cũng độc lập.

4.3. Công thức cộng Với hai biến cố A, B bất kỳ ta có:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)Đặc biệt nếu A, B xung khắc thì

P(A + B) = P(A) + P(B) Vd12. Bắn 2 phát vào bia, xs trúng lần lượt là 0,7và 0,8. Tìm xs bia trúng đạn.

Vd13. Trong hộp có 10 sp tốt, 3 sp xấu. Lấy ngẫunhiên 6 sp. Tìm xs để 6 sp lấy ra:a) Không có sp xấu nàob) Có đúng 1 sp xấuc) Có không quá 1 sp xấu.

9

Tổng quát:

푃( 퐴 ) = 푃(퐴 ) − 푃(퐴 퐴

+. . . + −1 푃(퐴 퐴 . . . 퐴 )Đặc biệt nếu A1,A2,…,An xung khắc từng đôi:

P(A1+…+An)=P(A1)+…+P(An)nói riêng P(A) + P(Ā)= P(A+Ā) =P(Ω)=1Vd14. Bắn 3 phát súng vào một mục tiêu, xs trúngcủa lần lượt là 0,7; 0,8; 0,9. tính xs đểa) Có đúng 1 phát trúngb) Có đúng 2 phát trúngc) Cả 3 phát đều trúngd) Có ít nhất 1 phát trúng

Vd16. Hai sv cùng thi 1 môn, xs thi đỗ lần lượt là0,7 và 0,8. Biết xs cả 2 sv cùng đỗ là 0,45, tìm xscó đúng 1 sv thi đỗ.

Chú ý. Nếu A1,…,An độc lập thì:P(A1+…+An)=1-푃(퐴 ). . . 푃(퐴 )

VD15. Cho A, B, C độc lập và P(A)=0,5; P(B)=0,6; P(C)=0,7. Tính P(A+B+C).

Vd17. Một hộp có 5 sp trong đó có 2 phế phẩm.Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sp kiểm tra để loạibỏ hết 2 phế phẩm thì dừng. Tính xác suất dừng ở:a) Lần lấy thứ 2 b) Lần lấy thứ 3.

Vd18. Ở 1 địa phương tỷ lệ người mắc bệnh tim là 9%,mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh là 7%.Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất người này:a) Mắc ít nhất 1 bệnhb) Mắc bệnh tim mà không mắc bệnh huyết ápc) Mắc bệnh huyết áp mà không mắc bệnh timd) Mắc đúng 1 bệnh e) Không mắc cả 2 bệnh

VD19.Cho 푃 퐴 = 0,6;P(B)=0,8;푃 퐴퐵 = 0,5.Tính푃(퐴 + 퐵)VD20.Cho 푃 퐴 = 0,6;P(B)=0,8;푃(퐴퐵) = 0,5. Tính P(퐴. 퐵)VD21. Cho 푃 퐴 = 0,6; 푃(퐴퐵) = 0,5. Tính P(AB)VD22. Cho P(A)=0,6; 푃(퐴퐵) = 0,5. Tính P(B/A)

Chú ý: 푷(푨) = 푷 푨(푩+ 푩) = 푷(푨푩) + 푷(푨푩)

Vd23. Hai lô hàng có tỷ lệ chính phẩm lần lượt là

và . Lấy ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đó lấy ngẫunhiên ra 1 sp. Tính xs để sp lấy ra là chính phẩm.

Cho A1,…,An là nhóm đầy đủ. Khi đó:P(B) = P(A1)P(B/A1) + … + P(An)P(B/An)

4.4. Công thức xác suất đầy đủ

10

Tổng quát: Một tập Ω được chia thành k tập conkhông giao nhau với tỷ lệ % số phần tử là푓 ,  푓 ,  . . . ,  푓 . Biết tỷ lệ % phần tử có tính chất Atrong các tập con này tương ứng là 푝 , 푝 , . . . , 푝 .Khi đó tỷ lệ các phần tử có tc A trong toàn bộ Ω là:

풑 = 풇ퟏ풑ퟏ+. . . +풇풌풑풌

Vd24. Một nhà máy gồm 3 phân xưởng I, II, III vớitỷ lệ sản lượng lần lượt là 30%, 40%, 30%. Tỷ lệphế phẩm của từng phân xưởng lần lượt là 2%, 4%,5%. Hãy tính tỷ lệ phế phẩm của nhà máy.

Vd25. Cho n người bốc n lá thăm, trong đó có m látrúng thưởng và n – m lá không trúng (n > m). Hỏingười bốc trước, kẻ bốc sau, ai có nhiều cơ mayhơn ai?

Vd26. Chuồng I có 20 con vịt trong đó có 5 vịttrống, chuồng II có 20 con vịt trong đó có 3 vịttrống. Người nuôi nhìn thấy có 1 con vịt chạy từchuồng I sang chuồng II liền vào chuồng II bắt(ngẫu nhiên) một con để trả lại chuồng I. Tính xsđể người đó bắt được vịt trống.

Một hộp có 3 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy ngẫu nhiênlần lượt từng bi một. Xs lần thứ tư được bi đỏ?

k k k kk n

i ii= 1

P (A )P (B /A ) P (A )P (B /A )P (A /B )=P (B ) P (A )P (B /A )

Cho A1,A2,…,An là nhóm đầy đủ, B là bc bất kỳ P(B)≠0. Khi đó:

4.5 Công thức Bayes

Vd27. Xét ví dụ về 2 lô sp ở phần CTXSĐĐ. Giảsử sp lấy ra là chính phẩm. Tính các xs để sp nàylần lượt thuộc lô I, II.

Vd28. Xét ví dụ về nhà máy gồm 3 phân xưởng.Giả sử chọn ngẫu nhiên một sp của nhà máy thì gặpphế phẩm. Tính các xs để sp này lần lượt thuộc vềphân xưởng I, II, III.

Vd29. Xét ví dụ về 2 chuồng vịt, giả sử người nuôibắt trả lại là vịt trống. Tính xsa) Vịt từ chuồng I chạy sang II là trống.b) Vịt bắt trả lại chính là vịt từ chuồng I chạy sang.

11

Câu hỏi 1. Một thiết bị gồm nhiều linh kiện, chia làm4 loại A, B, C, D với tỷ lệ số lượng tương ứng là20%, 25%, 30%, 25%. Tỷ lệ linh kiện bị hỏng củamỗi loại tương ứng là 12%, 10%, 8%, 9%. Khi đó tỷlệ linh kiện bị hỏng của thiết bị là:a) 12% b) 8% c) 9,75% d) 9,55%

Câu hỏi 2. Giả thiết như câu 1, thiết bị đang hoạtđộng bỗng nhiên bị hỏng một linh kiện. Hỏi linh kiệnnày có khả năng thuộc loại nào là nhiều nhất

a) Loại A b) Loại B c) Loại C d) Loại D

Công Thức XSĐĐ & Công Thức Bayes푃 퐵 = 푃(퐴 )푃(퐵|퐴 ) 푃 퐴 퐵 =푃(퐴 ). 푃(퐵|퐴 )

푃(퐴 )푃(퐵|퐴 )

Vd30. Gieo xúc xắc 10 lần. Xs để 7 lần xh mặt 6

푷ퟏퟎ; ퟏퟔ

(ퟕ) = 푪ퟏퟎퟕퟏퟔ

ퟕ ퟓퟔ

ퟑ

4.6. Công thức BernoulliDãy phép thử Bernoulli• n phép thử độc lập cùng quan sát biến cố A• xs xuất hiện A trong mỗi phép thử bằng p.Công thức BernoulliXs A xuất hiện k (0 ≤ k ≤ n) lần (k thành công) là:

Pn,p(풌) = 푪풏풌풑풌 ퟏ − 풑 풏 풌

Vd31. Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗicâu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có mộtphương án đúng. Một sv làm bài bằng cách chọn húhọa cả 10 câu, nếu đúng ít nhất 5 câu thì đỗ.a) Tính xs sv này trả lời đúng 5 câu. (0,058)b) Tính xs để sv này đỗ. (0,078)c) Nếu mỗi câu đúng được 4 điểm, mỗi câu sai bịtrừ 1 điểm. Tính xs sv bị điểm âm.

Vd32. Xs bắn trúng bia trong mỗi lần bắn là 0,6.Hỏi phải bắn ít nhất bao nhiêu lần để xác suất biatrúng đạn không nhỏ hơn 99%?.

Số thành công có khả năng nhấtLà số n0 ứng với xác suất Pn,p(n0) lớn nhất trong sốcác Pn,p(k), k = 0, …, n.

• Nếu (n + 1)p ∈ Z thì n0=(n+1)p-1 và (n+1)p• Nếu (n + 1)p ∉ Z thì n0=[(n+1)p] (phần nguyên)

Vd33. Bắn 14 viên đạn vào 1 mục tiêu xs trúng củamỗi viên là 0,2. Tìm số viên đạn trúng đích với khảnăng lớn nhất.

Vd34. Xs mỗi cây sống khi trồng là 0,85. Tìm số cây có khả năng sống cao nhất nếu trồng 250 cây?

12

Chương 2.BIẾN NGẪU NHIÊN

§1. Biến ngẫu nhiên§2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên§3. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên

Bnn là một đại lượng nhận giá trị là một số ngẫu nhiên theo kết quả của một phép thử nào đó.

§1. BIẾN NGẪU NHIÊN1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên

Ký hiệu X, Y, Z,. . . hoặc X1, . . . Xn …

• BNN rời rạc là bnn có tập giá trị có thể đánh sốthứ tự 푥 , . . . , 푥 , …

• BNN liên tục là bnn có tập giá trị lấp đầy mộtkhoảng số thực nào đó.

1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên

Vd1. Gieo đồng xu 2 lần, gọi X là số lần sấp thì Xlà BNNRR nhận một trong các giá trị 0, 1, 2.Vd2. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm 5 nam và2 nữ, gọi Y là số nữ được chọn thì 푌 ∈ 0, 1,  2. Zlà số nam được chọn thì Z ∈ … Vd3. Bắn một viên đạn vào tấm bia hình tròn bánkính 1m. Gọi T là khoảng cách (m) từ điểm biatrúng đạn tới tâm bia, thì T là bnn có thể nhận mọigiá trị trong đoạn [0, 1].Vd4. Chiều cao của con người, kích thước sảnphẩm, thời điểm xuất hiện một sự kiện nào đó ... lànhững bnn liên tục.

§2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN2.1. Bảng phân phối xác suất của bnn rời rạcGiả sử X là BNNRR có tập giá trị 푥 , . . . , 푥 , ….Họ các bc (푋 = 푥 ): 푖 = 1,2, . . là hệ đầy đủ.Đặt 푝 = 푃(푋 = 푥 ) thì ∑ 푝 = 1. Ta gọi bảng saulà bảng phân phối xác suất của X:

X x1 x2 ... xn ...P p1 p2 ... pn ...

Từ bảng PPXS của X ta có:

푃(푎 < 푋 < 푏) = 푝

13

Vd1. Gọi X là số mặt sấp khi gieo 2 đồng xu, ta coù푋 ∈0, 1, 2; Ω = SS, SN, NS, NNP(X=0)=PNN=1/4, P(X=1)=PNS, SN=1/2,P(X=2)=PSS=1/4Bảng phân phôi xác suất của X là:

X 0 1 2P 1/4 1/2 1/4

VD 2. Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X – 1 0 1 3 5 P 3a a 0,1 2a 0,3

1) Tìm a và tính ( 1 3)P X . 2) Lập bảng phân phối xác suất của hàm 2Y X .

VD 3. Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mụctiêu ở mỗi lần bắn là 0,8. Biết rằng, nếu có 1 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn xạ thủ đã bắn, hãy lập bảng phân phối xác suất của X ?

Vd4. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong nhóm gồm 8nam và 2 nữ. Gọi X là số nữ trong 3 người đượcchọn. Lập bảng PPXS của X

2.2. Hàm mật độ xác suất của bnn liên tục

Cho X là BNN liên tục người ta chứng minh được rằng tồn tại hàm số f(x) xác định trên ℝ sao cho:

1. 푓 푥 ≥ 0, ∀푥 ∈ ℝ2. ∫ 푓 푥 푑푥 = 13. 푃(푎 ≤ 푋 < 푏) = ∫ 푓(푥)푑푥 , ∀푎, 푏 ∈ ℝHàm f(x) như vậy được gọi là hàm mật độ xác suất (hàm mật độ) của X.

Ngược lại mọi hàm f(x) thỏa 2 tính chất 1 và 2 đều là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên nào đó.

Ý nghĩa hình học, xác suất của biến ngẫu nhiên Xnhận giá trị trong [ ; ]a b bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi , , ( )x a x b y f x và Ox .

( )f x S( ) ( )

b

a

P a X b f x dx

BNN liên tục có xác suất tại một điểm bằng 0 nên:

푃 푎 < 푋 < 푏 = 푃 푎 ≤ 푋 < 푏 =푃(푎 < 푋 ≤ 푏) = 푃(푎 ≤ 푋 ≤ 푏) = ∫ 푓(푥)푑푥

14

VD 5. Chứng tỏ 34 , [0; 1]

( ) 0, [0; 1]

x xf x

x

là hàm mật độ

của biến ngẫu nhiên X và tính (0,5 3)P X ?

VD 6. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

2

0, 2( )

, 2.

xf x k

xx

Tính ( 3 5)P X ?

VD7. Cho bnn X có hàm mật độ:

푓(푥) = 푘(푥 − 4) 푘ℎ푖   푥 ∈ [−2;   2]0                   푘ℎ푖   푥 ∉ [−2;   2]

a) Tìm k b) Tính P(-4<X<1)

< 0,75)

2.3. Hàm phân phối xác suất của bnn

a) Định nghĩa. Hàm phân phối xác suất của bnn X, ký hiệu là F(x), được xác định như sau:

( ) ( );F x P X x x R

• X rời rạc, 푃(푋 = 푥 ) = 푝 thì: ( )i

ix x

F x p

• X ltục, có hàm mật độ 푓(푥) thì:

ngược lại 푓(푥) = 퐹′(푥) tại những điểm 푓(푥) liên tục.

Nhận xét

푭(풙) = ∫ 풇(풕)풅풕풙

( )f t

x

( ) ( )x

F f tx dt

t

• Nếu bnn rời rạc X có bảng PPXS

X x1 x2 … xn

P p1 p2 … pn

1

1 1 2

1 2 2 3

1 1 1

0

( )...

...1

n n n

n

khi x xp khi x x xp p khi x x x

F x

p p khi x x xkhi x x

iix x

p

15

VD1. Tìm hàm PPXS của X có bảng PPXS sau

X -2 1 3 4P 0,1 0,2 0,2 0,5

1

1 1 2

1 2 2 3

1 1 1

0

( )...

...1

n n n

n

khi x xp khi x x xp p khi x x x

F x

p p khi x x xkhi x x

• Giả sử BNN liên tục X có hàm mật độ ( ), [ ; ]

( )0, [ ; ].

x x a bf x

x a b

Tìm biểu thức hàm phân phối của X trên [0,1].

0

( ) ( )

1

x

a

khi x a

F x t dt khi a x b

khi b x

hàm phân phối?

Tổng quát: Nếu

VD2. Cho BNN X có hàm mật độ:23 , [0,1]

( )0 , [0,1]

x xf xx

• Giả sử BNN liên tục X có hàm mật độ 0,

( )( ), .

x af x

x x a

0( )

( )x

a

khi x aF x

t dt khi a x

hàm phân phối?

VD 3. Cho BNN X có hàm mật độ là:

2

0, 100( ) 100

, 100.

xf x

xx

Tìm hàm phân phối ( )F x của X ?

Tổng quát: Nếu

1)0 ≤ 퐹(푥) ≤ 1,  ∀푥 ∈ 푅;  퐹(−∞) = 0, 퐹(+∞) = 12) F(x) không giảm, liên tục trái3)푃(푎 ≤ X < 푏) = 퐹(푏) − 퐹(푎)

• Nếu X là BNN rời rạc thì:

1( ) ( ), .

i i ip F x F x i

• Nếu X là BNN liên tục thì: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

P a X b P a X b P a X b

P a X b F b F a

c) Tìm xác suất khi biết hàm phân phối:

b) Tính chất của hàm phân phối

16

VD5 Cho bnn X có hàm phân phối xác suất

퐹(푥) =푚                     ,   푥 < 0

푥(4 − 3x)  ,   0 ≤ 푥 ≤ 1푛                    ,   푥 > 1

a) Tìm m, n.b) Tính P( 0,5 ≤ X < 0,7); P( 0,5 ≤ X ≤ 2)Chọn phát biểu đúng:a) 퐹(푥) = ∫ 푓(푥) 푑푥,   ∀푥 ∈  푅b) 퐹(푥) = ∫ 푓(푡) 푑푡,   ∀푥 ∈  푅c) 푓(푥) = 퐹′(푥),   ∀푥 ∈  푅

Nếu X rời rạc thì hàm phân phối F(x) =Nếu X liên tục, có hmđ f(x) thì F(x)=

Những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến ngẫu nhiên giúp ta so sánh giữa các đại lượng với nhau được gọi là các đặc trưng số. Có 3 loại đặc trưng số là Các đặc trưng số cho xu hướng trung tâm của BNN:

Trung vị, Mode, Kỳ vọng,… Các đặc trưng số cho độ phân tán của BNN:

Phương sai, Độ lệch chuẩn,… Các đặc trưng số cho dạng phân phối xác suất.

§3. CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA BNN

Kỳ vọng (Expectation) của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu EX hay ( )M X , là một số thực được xác định như sau:

Nếu X là rời rạc với xác suất ( )i iP X x p thì: .i i

i

EX x p

3.1. Kỳ vọng3.1.1. Định nghĩa

Nếu X là liên tục có hàm mật độ ( )f x thì:

. ( ) .EX x f x dx

VD 7. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng đó, gọi X là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra.

Tìm phân phối xác suất và tính kỳ vọng của X ?

VD 8. Tìm kỳ vọng của BNN X có hàm mật độ: 23

( 2 ), [0; 1]( ) 4

0, [0; 1].

x x xf x

x

VD 6. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X – 1 0 2 3 P 0,1 0,2 0,4 0,3

Tính kỳ vọng của X ?

17

VD 9. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 4 5 7 P a 0,2 b 0,2 0,1

Tìm giá trị của tham số a và b để 3, 5EX ?

VD 10. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: 2, [0; 1]

( )0, [0; 1].

ax bx xf x

x

Cho biết 0,6EX . Hãy tính ( 0,5)P X ?

• Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình(tính theo xác suất) mà X nhận được, nó phản ánh giá trị trung tâm phân phối xác suất của X .

• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, khi cần chọnphương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người ta thường chọn phương án sao cho kỳ vọng năng suất hay kỳ vọng lợi nhuận cao.

3.1.2. Ý nghĩa của Kỳ vọng

3.1.3. Tính chất của Kỳ vọngE(C ) = C ,E(CX) = CE(X),E(X ±Y) = E(X) ± E(Y),E(XY) = E(X)E(Y) ,nếu X và Y độc lập.

VD 11. Một thống kê cho biết tỉ lệ tai nạn xe máy ở thành phố H là 0,001. Công ty bảo hiểm A đề nghị bán loại bảo hiểm tai nạn xe máy cho ông B ở thành phố Htrong 1 năm với số tiền chi trả là 10 (triệu đồng), phí bảo hiểm là 0,1 (triệu đồng). Hỏi trung bình công ty Alãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho ông B ?

VD 12. Ông A tham gia một trò chơi đỏ, đen như sau: Trong một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi đen. Mỗi lần ông Alấy ra 1 bi: nếu là đỏ thì được thưởng 100 (ngàn đồng), nếu là đen thì bị mất 70 (ngàn đồng). Hỏi trung bình mỗi lần lấy bi ông A nhận được bao nhiêu tiền?

VD 13. Người thợ chép tranh mỗi tuần chép hai bức tranh độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là 0,03 và 0,05. Nếu thành công thì người thợ sẽ kiếm lời từ bức tranh A là 1,3 triệu đồng và B là 0,9 triệu đồng, nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệuđồng và do B là 0,6 triệu đồng. Hỏi trung bình người thợ nhận được bao nhiêu tiền chép tranh mỗi tuần?

A. 2,185 triệu đồng; B. 2,148 triệu đồng. C. 2,116 triệu đồng; D. 2,062 triệu đồng.

18

VD 14. Một dự án xây dựng được viện C thiết kế cho cả 2 bên A và B xét duyệt một cách độc lập. Xác suất (khả năng) để A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết kế là 70% và 80%. Nếu chấp nhận dự án thì bên A phải trả cho C là 400 triệu đồng, còn ngược lại thì phải trả 100 triệu đồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trả cho C là 1 tỉ đồng, còn ngược lại thì phải trả 300 triệu đồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ đồng và 10% thuế doanh thu. Hỏi trung bình viện C có lãi bao nhiêu khi nhận thiết kế trên?

Chú ý Khi biến ngẫu nhiên X là rời rạc thì ta nên lập bảng phân phối xác suất của Y , rồi tính EY .

Giả sử ( )Y X là hàm của biến ngẫu nhiên X . Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì:

. .( )i ii

i ii

Y y p xE p

3.1.4. Kỳ vọng hàm của biên ngẫu nhiên:

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì:

. ( ) .) ( )(E f x dxY x dy f xx

có hàm mật độ f(x) thì

VD 15. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X –1 0 1 2 P 0,1 0,3 0,35 0,25

Tính EY với 2 3Y X ?

VD 16. Cho BNN X có hàm mật độ xác suất:

2

2, [1; 2]

( )0, [1; 2].

xf x x

x

Tính EY với 5 2Y X

X ?

3. 2. Phương sai3.2.1. Định nghĩa

Phương sai của bnn X, k/h VarX (hay DX) xác định bởi

Var푿 = 푬 푿 − 푬푿 ퟐ = 푬(푿ퟐ) − 푬푿 ퟐ

Nếu BNN X là rời rạc và ( )i iP X x p thì: 2

2. . .i i i ii i

VarX x p x p

Nếu BNN X là liên tục và có hàm mật độ ( )f x thì: 2

2. ( ) . ( ) .VarX x f x dx x f x dx

19

VD 17. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất:

X 1 2 3 P 0,2 0,7 0,1

VD 18. Tính phương sai của X , biết hàm mật độ: 23

( 2 ), [0; 1]( ) 4

0, [0; 1].

x x xf x

x

VD 19. Cho BNN X có hàm mật độ xác suất: 23

(1 ), 1( ) 4

0, 1.

x xf x

x

Tính phương sai của Y , cho biết 22Y X .

• 2( )X EX là bình phương sai biệt giữa giá trị của Xso với trung bình của nó. Và phương sai là trung bình của sai biệt này, nên phương sai cho ta hình ảnh về sự phân tán của các số liệu: phương sai càng nhỏ thì số liệu càng tập trung xung quanh trung bình của chúng.

• Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro đầu tư.

3.2.2.Ý nghĩa của phương sai

• Do đơn vị đo của VarX bằng bình phương đơn vị đo của X nên để so sánh được với các đặc trưng khác,người ta đưa vào khái niệm độ lệch tiêu chuẩn(standard deviation) là:

.VarX

3.2.3. Tính chất của Phương saiVar(C ) =0 ,C là hằng số ,Var (CX) = C2 . Var(X),Var (X ± Y)=Var(X)+Var(Y), nếu X và Y độc lập.

Vd22. Cho X, Y là 2 BNN độc lập, biết VarX=2,VarY=3. Tính phương sai và độ lệch chuẩn củaZ=4X-5Y+6

VD23. Cho X, Y là 2 BNN độc lập, EX=20,VarX=2, EY=30, VarY=3. Tính EX2, E(4X-5Y+6),Var(4X-5Y+6), E(4X-5Y+6)2

3.3. Các số đặc trưng khác3.3.1. Mode. Nếu X là BNN rời rạc thì ModX là giá trị x ứng với xác suất lớn nhất.Nếu X là BNN liên tục thì ModX là giá trị x mà tại đó hàm mật độ xác suất có giá trị lớn nhất.3.3.2. Trung vị. • Với BNN rời rạc :

MedX=xi nếu F(xi)≤1/2≤F(xi+1)• Với BNN liên tục: MedX=x0 nếu F(x0)=1/2

VD 24. Tìm mode, trung vị của các bnn trong các ví dụ 6, 8

20

Chương 3.MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

THÔNG DỤNG

1. Phân phối nhị thức2. Phân phối Poisson3. Phân phối chuẩn4. Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn5. Các phân phối khác

§1. Phân phối Nhị thức1.1. Định nghĩaBNN X có phân phối nhị thức với tham số n,p (ký hiệu 푋 ∼ 퐵(푛, 푝)) nếu 푋 ∈ 0,  1,  . . . ,  푛 và:푷(푿 = 풌) = 푪풏풌풑풌 ퟏ − 풑 풏 풌,  (푘 = 0,1, . . , 푛

Nếu X là số thành công trong dãy n phép thửBernoulli với p là xác suất của bc A trong mỗiphép thử thì 푋 ∼ 퐵(푛, 푝).

VD1: X là số lần xuất hiện mặt 6 trong 10 lần gieo một con xúc xắc thì: 푋 ∼ 퐵(10,   ).

VD2: Tìm kỳ vọng, phương sai của : 푋 ∼ 퐵(3,   ).

1.2. Các mô hình nhị thức thường gặp• Số khách hàng có đặc điểm A trong n khách vào

một dịch vụ• Số sp đạt tiêu chuẩn A trong n sp lấy ngẫu nhiên

từ 1 cơ sở sản xuất• Số tín hiệu có đặc điểm A trong n tín hiệu nhận

được ở máy thu.• Số bé gái chào đời trong n ca sinh ở 1 bệnh viện

…

1.3. Các số đặc trưng của X ~ B(n, p)EX = np, DX=np(1-p)

VD 3. Ông B trồng 100 cây bạch đàn với xác suất cây chết là 0,02. Gọi X là số cây bạch đàn chết.

1) Tính xác suất có từ 3 đến 5 cây bạch đàn chết ? 2) Tính trung bình số cây bạch đàn chết và VarX ? 3) Hỏi ông B cần phải trồng tối thiểu mấy cây bạch đàn

để xác suất có ít nhất 1 cây chết lớn hơn 10% ?

VD3b. Cho 푋 ∼ 퐵(푛; p) , biết EX=8, DX=1,6.Tính n, p

21

VD 4. Một nhà vườn trồng 126 cây lan quý, xác suất nở hoa của mỗi cây trong 1 năm là 0,67.

1) Giá bán 1 cây lan quý nở hoa là 2 triệu đồng. Giả sử nhà vườn bán hết những cây lan nở hoa thì mỗi năm nhà vườn thu được chắc chắn nhất là bao nhiêu tiền?

2) Nếu muốn trung bình mỗi năm có nhiều hơn 100 cây lan quý nở hoa thì nhà vườn phải trồng tối thiểu mấy cây lan quý ?

VD 5. Một nhà tuyển dụng kiểm tra kiến thức lần lượt các ứng viên, xác suất được chọn của mỗi ứng viên đều bằng 0,56. Biết xác suất để nhà tuyển dụng chọn đúng 8 ứng viên là 0,0843. Số người cần phải kiểm tra là:

A. 9 người; B. 10 người; C. 12 người; D. 13 người.

VD 6. Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Chọn liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi lần chọn ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 lần chọn có đúng 1 lần chọn phải 2 phế phẩm.

• Gọi Y là số lần chọn phải 2 phế phẩm trong 3 lần.

Do chọn có hoàn lại nên mỗi lần chọn là độc lập với xác suất 0,1486p (3; 0,1486)Y B .

Vậy xác suất trong 3 lần chọn có 1 lần đạt yêu cầu là: 1 2

1 3.0,1486.(1 0,1486) 0, 3232p C .

2.1. Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson tham số 0 , ký hiệu là ( )X P hay ( )X P , nếu X nhận các giá trị 0, 1, 2,…, n ,… với xác suất

.( )

!( 0,1,..., ,...)

k

k ke

p X kk

nP

§2. Phân phối Poisson

2.2. Các số đặc trưng của X ~ P(λ)

EX=DX= 흀

Nếu A là sự kiện ngẫu nhiên có tính chất:• Số lần xh A trong những khoảng thời gian khác

nhau độc lập với nhau• Số lần xh trung bình của A trong một đơn vị thời

gian là hằng sốthì số lần xuất hiện A trong một khoảng thời gian làBNN có phân phối Poisson với tham số λ là số lầnxuất trung bình của A trong khoảng thời gian đó.

2.2. Các mô hình Poisson thường gặp

22

Vd1. Quan sát tại siêu thị A thấy trung bình 5 phútcó 18 khách. Tính xác suất:a) Trong 5 phút có 10 khách đến st Ab) Trong 7 phút có 25 khách đến st Ac) Trong 2 phút có từ 3 tới 5 khách đến st A

VD 2. Quan sát thấy trung bình 1 phút có 3 ôtô đi qua trạm thu phí. Biết xác suất có ít nhất 1 ôtô đi qua trạm thu phí trong t phút bằng 0,9. Giá trị của t là:

A. 0,9082 phút; B. 0,8591 phút; C. 0,8514 phút; D. 0,7675 phút.

VD 3. Quan sát thấy trung bình 1 ngày (24 giờ) có 12chuyến tàu vào cảng A. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 6 giờ trong 1 ngày. Tính xác suất để 2 trong 6 giờ ấy, mỗi giờ có đúng 1 tàu vào cảng A.

C.

C.

(Giá trị hàm ( )f t được cho trong bảng phụ lục A).

3.1.Phân phối chuẩn tắc§3. Phân phối chuẩn

Biến ngẫu nhiên liên tục T được gọi là có phân phối Chuẩn đơn giản (hay phân phối Gauss), ký hiệu là

(0; 1)T N hay (0; 1)T N , nếu hàm mật độ xác suất của T có dạng:

2

21

( ) , .2

t

f t e t

f(t)

푓(푡) =12휋

푒 ;  푡 ∈ ℝ

tắc

a) Định nghĩa

(Giá trị hàm ( )x được cho trong bảng phụ lục B ).

Hàm phân phối

휱 풙 = 풇(풕)풅풕풙

=ퟏퟐ흅

풆풕ퟐퟐ풅풕

풙

;  풕 ∈ ℝ

Hàm Laplace

흋(풙) = ퟏퟐ흅. 풆

풕ퟐ

ퟐ 풅풕

풙

ퟎ

= 휱(풙) − ퟎ, ퟓ

b) Các số đặc trưng của phân phối chuẩn tắcNếu 푇 ∼ 푁(0,1) thì ET = 0; DT = 1

c) Xác suất của phân phối chuẩn tắc

23

• Tính chất của hàm Laplace

( ) ( )x x (hàm ( )x lẻ);

( ) 0,5 ; ( ) 0,5 . Công thức tính xác suất của pp chuẩn tắc푷(풂 ≤ 푻 ≤ 풃) = 휱(풃) −휱(풂) = 흋(풃) − 흋(풂)푷 푻 ≤ 풃 = 휱 풃 = ퟎ, ퟓ + 흋(풃)푷(푻 ≥ 풂) = ퟏ −휱(풂) = ퟎ, ퟓ − 흋(풂)

휑(푥) là hàm tăng trên R

Vd0. Cho 푋 ∼ 푁(0,1), tính 푃 −2 ≤ 푋 ≤ 3 ,P(-3<X<3); P(X>2); P(X<1,5).

a) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Chuẩn (Normal distribution) tham số và 2 ( 0) , ký hiệu là 2( ; )X N hay 2( ; )X N , nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng:

2

2

( )

21( ) , .

2

x

f x e x

6.2.Phân phối chuẩn

b) Các số đặc trưng của phân phối chuẩnNếu 푋 ∼ 푁(휇, 휎 ) thì 푬푿 = 흁;푫푿 = 흈ퟐ

2;EX DX

c) Xác suất của X ~ N(μ, σ2)

Nếu 2( ; )X N thì (0; 1)X

T N

.

푷 푿 ≤ 풃 = 푷 푻 ≤풃− 흁흈 = ퟎ, ퟓ + 흋

풃− 흁흈

Vậy, ta có công thức tính xác suất:

( ) .b

Pa

X ba

푷(푿 ≥ 풂) = 푷 푻 ≥풂 − 흁흈 = ퟎ, ퟓ − 흋

풂 − 흁흈

XT

2

2

( )

21( )

2

x

f x e

2

21( )

2

t

f t e

0

24

VD 1. Thu nhập (triệu đồng) của người dân ở địaphương A là ĐLNN X ~ N(10; 4). Tính tỷ lệ sốngười ở địa phương A có thu nhập:a) Từ 4 triệu đồng đến 16 triệu đồngb) Trên 14 triệu đồngc) Dưới 8 triệu đồngd) Hầu hết (99,73%) số người ở địa phương A có

thu nhập nằm trong khoảng nào?

Quy tắc 3흈:Nếu 푋 ∼ 푁(휇, 휎 ) thì:

푃(휇 − 3휎 ≤ 푋 ≤ 휇 + 3휎) = 2휑(3) = 0,9973

Tức là hầu hết (99,73%) giá trị của X thuộc khoảng[흁 − ퟑ흈,  흁 + ퟑ흈]

Cho 푋 ∼ 푁(100;  4). Hầu hết giá trị của X thuộc khoảng nào?

VD 2. Một kỳ thi đầu vào ở trường chuyên A quy định điểm đỗ là tổng số điểm các môn thi không được thấphơn 15 điểm. Giả sử tổng điểm các môn thi của học sinh là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 12 điểm. Biết rằng tỉ lệ học sinh thi đỗ là 25,14%. Độ lệch chuẩn là:

A. 4 điểm; B. 4,5 điểm; C. 5 điểm; D. 5,5 điểm. VD 4. Cho BNN X có phân phối chuẩn với 10EX và (10 20) 0,3P X . Tính (0 15)P X ?

VD 5. Tuổi thọ của 1 loại máy lạnh A là BNN X (năm) có phân phối (10; 6,25)N . Khi bán 1 máy lạnh A thì lãi được 1,4 triệu đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành thì lỗ 1,8 triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trung bình khi bán mỗi máy lạnh loại này là 0,9 triệu đồng thì cần phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu ?

§4. Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩnCho 푋 ∼ 퐵(푛, 푝) với n lớn và 0<<p<<1, khi đó:

푷(푿 = 풌) ≈ 풇(풙)풏풑풒

với: 푞 = 1 − 푝, 푥 = và 푓(푥) = 푒

đặc biệt

푷(푿 = 풌) ≈ 흋 풌 ퟎ,ퟓ 풏풑풏풑풒

−흋 풌 ퟎ,ퟓ 풏풑풏풑풒

푷(풂 ≤ 푿 ≤ 풃) ≈ 흋 풃 ퟎ,ퟓ 풏풑풏풑풒

−흋 풂 ퟎ,ퟓ 풏풑풏풑풒

25

Vd1. Một máy sản xuất ra sp loại A với xs là0,485. tính xs sao cho trong 200 sp do máy sảnxuất ra có đúng 95 sản phẩm loại A.

Vd2. Xs một máy có thể sản xuất ra sp loại A là0,25. Tính xác suất trong 200 sp do máy này sảnxuất ra có từ 25 đến 30 sp loại A.

§5. CÁC PHÂN PHỐI KHÁCPhân phối Chi bình phương χ2(n) (tham khảo)

Nếu (0; 1) ( 1,..., )iX N i n và các iX độc lập thì

2 2

1

( )n

ii

X X n

với hàm mật độ xác suất:

Phân phối Student St(n) (tham khảo) Nếu (0; 1)T N và 2( )Y n độc lập thì

( )n

X T St nY

với hàm mật độ xác suất:

Trong đó, n được gọi là bậc tự do và giá trị của ( )St nđược cho trong bảng C .

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 0 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

… … … … … … … … … … …

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

… … … … … … … … … … …

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

… … … … … … … … … … …

3 0.49865 … … … … … … … … 0.4990

BAÛNG I GIAÙ TRÒ HAØM LAPLACE 2

20

1( )2

txx e dt