Cholesky metoda
-
Upload
konstrukcija -
Category
Documents
-
view
180 -
download
6
Transcript of Cholesky metoda
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 1
PRIMJENA CHOLESKY METODE U DINAMICI KONSTRUKCIJA ZA DOBIVANJE VLASTITIH
VRIJEDNOSTI
1. Općenito
Jednadžba
(1)
0
gdje su matrice i simetrične matrice dimenzije . Matrica je pozitivno definirana.
Pretpostavimo :
(3)
gdje je konstantni skalar i predstavlja statički pomak, a predstavlja konstantni vektor.
Uvrstimo li jednadžbu (3) u jednadžbu (2) dobivamo slijedeće :
(4)
Ovo je sustav homogenih algebarskih jednadžbi sa nepoznanicom u i 1,2,… , n i sa
o parametar j
problem svojstvenih vrijednosti.
predstavlja opis gibanja sustava sa više stupnjeva slobode izloženog pobudi
dinamičkih sila. Matrice (matrica krutosti), (matrica masa) i (matrica prigušenja) su
matrice sa konstantnim koeficijentima pa je moguće rastavljanje jednadžbe gibanja (1).
Korištenjem teorije linearnog sustava možemo dobiti opće rješenje zatvorenog oblika ove
jednadžbe.
Kod slučaja kada nemamo prigušenja niti djelovanja vanjskih sila zakon gibanja
glasi :
(2)
koji igra ulogu parametra. Problem determinante kojom računam za ko i
dobivamo netrivijalno rješenje zovemo problem karakterističnih vrijednosti ili češće
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 2
Imamo sljedeće :
0 0 (5)
pa vidimo da determinanta od mora biti jednaka nuli :
| | 0. (6)
naziva k a, a sama jednadžba
frekvencije. Matrice i su kvadratne matrice
tog reda pa stoga, karakteristična jednadžba predstavlja polinom n‐tog reda sa
nepozn e
ic
o
retp erminata
interpolaciju.
. i
ljava jednadžbu :
1,2, … ,
Ova determinanta se arakteristična determinant
karakteristična jednadžba ili jednadžba n‐
anicom . Najzahtjevniji dio ovakve tehnike je izračunavanje det rminante za dani
; ovo se praktično provodi rabeći faktorizaciju ili matr e . Vrijednost
determinante tada se dobiva kao produkt dijagonalnih elemenata matrice , a eventualno
preskočene vrijednosti mogu se otkriti prebrojavanjem negativnih elemenata u . D
vlastite vrijednosti dolazimo tako da p ostavjamo tako dugo dok det matrice D
ne promjeni predznak. Nakon promjene predznaka znamo da vlastita vrijednost mora biti
između između vrijednosti koje su promjenile predznak pa za tu svrhu koristimo
Općenito, ima n različitih korijena 1,2, … , i zovemo ih karakteristične
vrijednosti ili svojstvene vrijednosti Za svaku od tih svojstvenih vrijednost odgovara vektor
koji zadovo
(7)
gdje je karakteristični vektor ili svojstveni vektor pripadajuće svojstvene vrijednosti .
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 3
2. CHOLESKY DEKOMPOZICIJA MATRICE FAKTORIZACIJA
Za potrebe lakšeg proračuna često se želi matrica rastaviti na produkt jednostvnijih
matrica.
Mi želimo rastaviti matricu :
(8)
trica simetrična, a u ovom slučaju znamo da su matrice i simetrične pa i
matrica mora biti simetrična, možemo je rastaviti na produkt jednostavnijih matrica. Za to
ćemo koristiti Cholesky metodu prema jednadžbi:
(9)
a
Imamo da je :
1 0 … 0 … … 0 … … 0
…
Općenito, dekompozicija ne treba postojati. Ova dekompozicija postoji samo ako je
atrica A pozitivno definirana, a ako je pozitivno definirana mora biti i simetrična.
… … 0… 0
1 …0 1 …
Ako je ma
gdje je donje trokutasta matrica sa jedinicama na glavnoj dijagonali, dijagonalna
matrica sa pozitivnim realnim koeficijentima na glavnoj dijagonali.
1 … 0
… 1
0 … 0
0 0 …
… 0 (10)
m
… 0 0 … 1
(11)
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 4
Promatrat ćemo samo elemente na glavoj dijagonali i ispod nje, odnosno elemente
za koje je :
0 0
0
10
1 , (12)
pri čemu je posebni član jednak za , odnosno za . Za 1 imamo :
,
, ... ,
.
Promatrajući elemente druge kolone matrice imamo :
, ... ,
.
,
……
.
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 5
Prema tome, ideja je slijedeća : za tu kolonu se najprije iz izraza za odredi D , a
se, redom, računaju koeficijenti , … , . Ove korake možemo sumirati
slijedećim jednadžbama :
,
zatim
2, … , (13)
∑ | | 2, … , (14)
∑ 2, … , 1 (15)
Jednadžbe (13)‐(15) predstavljaju članove matrica i . Matrica je transponirana matrica
matrice i stoga, ona je gornje trokutasta
Pa dekompoziciju matrice na kraju izgleda:
1 0 … 0
… 1
… … 0… 0
0 0 …
1 …0 1 …
0 0 … 1
… … ……
… (16)
Determinanta matrice jednaka je determinanti , a determinanta matrica L i
je jedninici. Ovo je lakši način kojim dolazimo do determinante matrice , pogotovo
ako je matrica višeg reda. Determinantu matrice dobivamo monoženjem njenih članova
na glavnoj dijagonali.
matrica.
1 … 0 0
jednaka
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 6
3. CHOLESKY DEKOMPOZICIJA MATRICE FAKTORIZACIJA
.
matrica, a transponirana matrica matrice i ona je gornje trokutast . Determinante ovih
matrica su iste i jednake je umnošku elemenata na glavnim dijagonalama, a determinanta
matrice jednaka je umnošku dobivenih determinanti. Iz toga vidimo da izraz
možemo zapisati u obliku
Matricu možemo rastaviti i na dvije matrice i Matrica Q je donje trokutasta
i možemo zaključiti da je ekvivalentna
:
dekompoziciji
(17)
u kojoj je .
Zapišimo matricu u oblik :
0 0 … 00
… 0… … … … …
…
… 0 (18)
… 0… 0
…
…0 …
0 0 …
(19)
0
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 7
elemente na glavoj dijagon
za koje je :
0 0
Promatrat ćemo samo ali i ispod nje, odnosno elemente
0
0
, (20)
da su dijagonale jedne i druge matrice jednake:
, , .... , (21)
Uzmimo u obzir (21) imamo slijedeće za j=1:
,
Vidimo
, ... ,
Promatrajući elemente druge kolone matrice imamo :
……
.
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 8
Prema tome, ja je slijedeća : za kolonu ije iz izraza z redi D ,
zatim se, redom, računaju koeficijenti , … , . Ove korake možemo sumirati
lijedećim jednadžbama :
(22)
ide tu se najpr a od a
s
∑ 1,2, … ,
∑ 1,2, … , ; 1, 2… (23)
Jednadžbe (13)‐(15) predstavljaju članove matrica i . Matrica je transponirana matrica
matrice i stoga, ona je gornje trokutasta matrica.
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 9
4. PRIMJENA CHOLESKY FAKTORIZACIJE
Kada su matrice uključene u problem vlastitih vrijednosti relativno malih dimenzije i
samo se nekoliko vlastitih vrijednosti određuje, metoda determinante može biti dosta
efektivna u rješavanju problema vlastitih vrijednosti. Razmotrimo linearni problem vlastitih
rijednosti :
0
Kao što je već rečeno, determinanta matrice polinom je n‐tog reda koji daje
vlastitih vrijednosti. Metoda determinante koristi iterativni postupak za traženje nul‐točaka
polinoma. Smatra se da je najmanje dominantna izračunata vlastita vrijednost i tako su
oguće dvije grube pretpostavke vlastitih vrijednosti. To su µ i µ µ .
rocedura zahtijeva to da determinanta bude ocjenjena za te dvije pretpostavljene
vrijednosti od . Označimo odgovarajuće dvije vrijednosti polinoma sa i .
v
n
m
P
k ‐ 1
k ‐ 2
p k ‐ 11 2 3
p k ‐ 2
p(
Slika 1. (a) : Metoda determinante određivanja vlastitih vrijednosti ‐ traženje
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 10
Slika 1. (b) : Metoda determinante odre ivanja vlastitih vrijednosti ‐ traženje
deflakcijskim polinomom
Nova pretpostavka , µ , za nulu polinoma može biti dobivena namještanjem ravnog pravca
kroz dvije točke, µ , p i (µ , p ). Nova pretpostavka vlastite vrijednosti dana je :
µ µ µ µ
đ
p (24)
gdje je 1.
Polinom je sada dobiven za novu pretpostavku µ , dajući p . Ako je p dovoljno
blizu nuli, iteracijski proces konvergira i µ . Ako konvergencija nije postignuta, tj. ako
p nije dovoljno blizu nuli, cijeli postupak se ponavlja sa dvije nove vrijednosti, p , p i
µ ,
Postupak opisan gore reprezentirana jednadžbom (24) sa 1 standardna je
linearn interpolacija . U tom slučaju, korijen polinoma se nalazi samo sa jedne strane i nema
a.
encije, za mogu b zet
µ .
a
preskakivanja korijen Međutim, konvergencija može s vremenom postati spora. Za
ubrzanje konverg iti u e vrijednosti 2 ili više. Kada je 2, tada je
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 11
moguće preskakivanje jednog ili čak više korijena. Srećom, to se može otkriti Sturmovom
sekvencom pa time iteracija može biti prekinuta.
Najveći problem je dobivanje determinante koja daje vrijednosti . Pretpostavka
dena obivnajem determinante LT faktorizacijom matrice . Determinanta
matrice
atr D isti
vlastiti o ih ,
Slika (2) : Prebrojavanje negativnih članova u metodi determinte
Metoda determinante može biti korištena i za konvergenciju većeg korijena. Za prvi
korijen, ako je iteracija počela sa dvije vrijednosti , obje manje od , bi trebao konvergirati
. Međutim, za veći korijen, ovo nije garantirano. Naprimjer, iteracija sa točkama A i B u
je prove d
je tada dobivena množenjem dijagonalnalnih elemenata matrice .
· · …… ·
Prema Sturm sekvenci, broj negativnih elemenata na dijagonali m ice je broju
h vrijednosti manje od . Preskočene vlastite vrijednosti, ak ima preskočenih
mogu prema tome biti otkrivene prebrojavanjem negativnih elemenata matrice na
sljedeći način:
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 12
(slika 1.b) će konvergirati natrag k . Za rješavanje ovog problema koristimo deflakcijski
polinom koji koristimo umjesto polinoma , gdje
∏
(25)
i 1… . su već određene vlastite vrijednosti. Iteracija sa će konvergirati k
1‐toj vlastitoj vrijednosti, . U praksi, metoda determinante se koristi za dobivanje
samo bliske pretpostavke za željenu vlastitu vrijednost.
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 13
5. PRIMJER
EI1 EI1 EI1
EI2
EI3 EI3 EI3
EI2 EI2
m2
m1
m3
Zadano:
80 000 kN
100 000 kN
90 000 kN
∞
0.8
1.2
1
5
4
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 14
Stupnjevi slobode :
EI1 EI1 EI1
EI2
EI3 EI3 EI3
EI2 EI2
m2
m1
m3
x1
x2
x3
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 15
EI1 EI1 EI1
EI2
EI3 EI3 EI3
EI2 EI2
m2
m1
m3
k11
k21
k31
x1=1,0
EI1 EI1 EI1
EI2
EI3 EI3 EI3
EI2 EI2
m2
m1
m3
k12
k22
k32
x2=1,0
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 16
EI1 EI1 EI1
EI2
EI3 EI3 EI3
EI2 EI2
m2
m1
m3
k13
k23
k33
x3=1,0
12· 3
12 · 80 0004 · 3 45000 /
12· 3
12 · 800004 · 3 45000 /
12· 3
12· 3
12 · 100 0004 · 3
12 · 80 0004 · 3 101250 /
12· 3
12 · 800004 · 3 45000 /
12· 3
12· 3
12 · 90 0004 · 3
12 · 100 0004 · 3 95625 /
12· 3
12 · 90 0004 · 3 50625 /
0
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 17
Matrica krutosti K :
45000 45000 045000 101250 506250 50625 95625
Matrica masa :
0 00 00 0
0,8 0 00 1,2 00 0 1
0
0
0 00 00 0
λ
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 18
ktorizaciju matrice A na slijedeći način:
1 0 … 01 … 0
… 1
… … 00 … 0
0 0 …
1 …0 1 …
0 0 … 1
L i D računamo pomoću izraza :
,
Uvodimo Choleski fa
Članove matrica
2, … ,
∑ | | 2, … ,
2, … , 1
1
1
1
D A 45000 0.8
1D · A
5625056250
1D · A
kk λm 0
101250202500000045000 0.8λ
1.2λ
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 19
956252.562890625 10
101250 202500000045000 0.8λ 1.2λ
45000 0.8λ λ
1
50625
101250 202500000045000 0.8λ 1.2λ
I dobivamo matrice :
1 0 045000
45000 0.8 1 0
0.50625.
.8101250 202500000045000 0 1.2
1
145000
45000 0.8 0.
0 150625.
101250 45000 0.82025000000 1.2
0 0 1
45000 0.8 0 0
0 101250202500000045000 0.8
1.2 0
0 0 956252.562890625 10
101250 202500000045000 0.8 1.2
0. 45000 0.8
· · 126720703125000 1.33903125 1010λ 226800. λ2 0.96λ3
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 20
Odaberemo proizvoljanu vlastitu vrijednost i uvrstimo je u matricu D :
Prebrojavamo dobivene negativne članove dijagonale matrice D, odnosno, kad determinanta
matrice D mijenja predznak radimo interpolaciju:
1000 44 200 54 235,5 47 370,2
5000 41 000 45 859,8 34 739,6
10000 37000 34 520,3 11 381,9
12000 35400 29646,6 ‐2823,02
50 000 5 000 ‐363 750 52 670,7
60 000 ‐3 000 704 250 31 985,8
80 000 ‐19 000 111 829 ‐7 929,95
100000 ‐35000 39107,1 ‐69910,1
140000 ‐67000 ‐36526,1 25791
150000 ‐75000 ‐51750 ‐4850,54
Vidimo da se vlastita vrijednost nalazi između 10000 i 50000 pa stoga radimo interpolaciju
da dobijemo , a to ćemo dobiti ako je 0.
11381 2823,022000 1602,5 11602,5
107,71 /
Druga interpolacija :
31985,8 7929,9520000 16026,65 60000 16026,65 76026,65
275,73 /
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 21
reća interpolacija : T
, 8367,85 140000 8367,85 148367,85
385,16 /
obivene frekvencije su :
D
107,71 /
275,73 /
385,16 /
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR
Maja Baniček 22
Kontrola vlastitih vrijednosti u programu Mathematica :
Solve 126720703125000 1.33903125 10 226800. 0.96 0,
{λ→11648.5},{λ→76530.8},{λ→148071.}
{ω→107.928},{ω→276.642},{ω→384.8}
50 000 100 000 150 000 200 000
-6 *1014
-5 *1014
-4 *1014
-3 *1014
-2 *1014
-1 *1014
1 *1014