Cholesky metoda

22
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR Maja Baniček 1 PRIMJENA CHOLESKY METODE U DINAMICI KONSTRUKCIJA ZA DOBIVANJE VLASTITIH VRIJEDNOSTI 1. Općenito Jednadžba ݔܯ(1) ݔܥ ݔܭݐݔܭݐሻൌ0 gdje su matrice ܭi ܯsimetrične matrice dimenzije ݔ. Matrica je pozitivno definirana. Pretpostavimo : ݔݐሻൌ ௦௧ (3) gdje je ݏkonstantni skalar i predstavlja statički pomak, a predstavlja konstantni vektor. Uvrstimo li jednadžbu (3) u jednadžbu (2) dobivamo slijedeće: ܭܯߣ ՜ ߣൌെ ݏ(4) Ovo je sustav homogenih algebarskih jednadžbi sa nepoznanicom u ሺi ൌ 1,2, … , nሻ i sa ߣo parametar ߣj problem svojstvenih vrijednosti. predstavlja opis gibanja sustava sa više stupnjeva slobode izloženog pobudi dinamičkih sila. Matrice ܭ(matrica krutosti), ܯ(matrica masa) i ܥ(matrica prigušenja) su matrice sa konstantnim koeficijentima pa je moguće rastavljanje jednadžbe gibanja (1). Korištenjem teorije linearnog sustava možemo dobiti opće rješenje zatvorenog oblika ove jednadžbe. Kod slučaja kada nemamo prigušenja ܥniti djelovanja vanjskih sila zakon gibanja glasi : ݔܯ(2) ܯkoji igra ulogu parametra. Problem determinante kojom računam za ko i dobivamo netrivijalno rješenje zovemo problem karakterističnih vrijednosti ili čće

Transcript of Cholesky metoda

Page 1: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   1  

PRIMJENA CHOLESKY METODE U DINAMICI KONSTRUKCIJA ZA DOBIVANJE VLASTITIH 

VRIJEDNOSTI 

 

1. Općenito 

Jednadžba  

                  (1) 

0

gdje su matrice   i   simetrične matrice dimenzije      . Matrica   je pozitivno definirana.  

Pretpostavimo : 

                                                                     (3) 

gdje je   konstantni skalar i predstavlja statički pomak, a   predstavlja konstantni vektor.  

Uvrstimo li jednadžbu (3) u jednadžbu (2) dobivamo slijedeće : 

                                                                (4) 

Ovo  je  sustav homogenih algebarskih  jednadžbi  sa nepoznanicom u    i 1,2,… , n   i  sa   

o  parametar    j

problem svojstvenih vrijednosti.  

predstavlja    opis  gibanja  sustava  sa  više  stupnjeva  slobode  izloženog  pobudi 

dinamičkih sila. Matrice    (matrica krutosti),    (matrica masa)  i    (matrica prigušenja) su 

matrice  sa  konstantnim  koeficijentima  pa  je  moguće  rastavljanje  jednadžbe  gibanja  (1).  

Korištenjem  teorije  linearnog  sustava možemo dobiti opće  rješenje  zatvorenog oblika ove 

jednadžbe.   

  Kod slučaja kada nemamo prigušenja   niti djelovanja vanjskih sila   zakon gibanja 

glasi :  

                                                    (2) 

koji  igra  ulogu  parametra.  Problem  determinante  kojom  računam za  ko i 

dobivamo  netrivijalno  rješenje    zovemo  problem  karakterističnih  vrijednosti  ili  češće 

Page 2: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   2  

 

Imamo sljedeće :       

      0            0            (5) 

pa vidimo da determinanta od   mora biti jednaka nuli :        

          | | 0.                 (6) 

naziva  k a,  a  sama  jednadžba 

 frekvencije. Matrice   i  su kvadratne matrice

tog  reda  pa  stoga,  karakteristična  jednadžba  predstavlja  polinom  n‐tog  reda  sa 

nepozn e

ic

 

o

retp erminata

interpolaciju. 

. i

ljava jednadžbu : 

  1,2, … ,

 

 

Ova  determinanta  se  arakteristična  determinant

karakteristična jednadžba ili jednadžba    n‐

anicom   . Najzahtjevniji dio ovakve tehnike je izračunavanje det rminante za dani   

;  ovo  se  praktično  provodi  rabeći    faktorizaciju  ili    matr e  .  Vrijednost 

determinante tada se dobiva kao produkt dijagonalnih elemenata matrice , a eventualno 

preskočene  vrijednosti  mogu  se  otkriti  prebrojavanjem  negativnih  elemenata  u  .  D  

vlastite vrijednosti dolazimo tako da p ostavjamo   tako dugo dok det  matrice D 

ne promjeni predznak. Nakon promjene predznaka znamo da vlastita vrijednost   mora biti 

između  između  vrijednosti  koje  su  promjenile  predznak  pa  za  tu  svrhu  koristimo 

Općenito,  ima  n  različitih  korijena     1,2, … ,   i  zovemo  ih  karakteristične 

vrijednosti ili svojstvene vrijednosti   Za svaku od tih svojstvenih vrijednost  odgovara vektor 

  koji zadovo

                           (7) 

gdje je   karakteristični vektor ili svojstveni  vektor pripadajuće svojstvene vrijednosti    . 

 

 

Page 3: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   3  

2. CHOLESKY DEKOMPOZICIJA MATRICE    FAKTORIZACIJA 

 

Za  potrebe  lakšeg  proračuna  često  se  želi matrica  rastaviti  na  produkt  jednostvnijih 

matrica.  

Mi želimo rastaviti matricu : 

                         (8) 

trica   simetrična, a u ovom slučaju znamo da   su matrice    i   simetrične pa  i 

matrica   mora biti simetrična, možemo je rastaviti na produkt jednostavnijih matrica. Za to 

ćemo koristiti Cholesky metodu prema jednadžbi: 

                      (9) 

    a

Imamo da je : 

1 0 … 0 … … 0 … … 0

 

Općenito, dekompozicija ne  treba postojati. Ova dekompozicija postoji samo ako  je 

atrica A pozitivno definirana, a ako je pozitivno definirana mora biti i simetrična. 

 

 

… … 0… 0

1 …0 1 …

Ako  je ma

gdje  je    donje trokutasta matrica  sa  jedinicama  na  glavnoj  dijagonali,     dijagonalna 

matrica sa pozitivnim realnim koeficijentima na glavnoj dijagonali. 

 1 … 0

… 1

0 … 0

0 0 …

… 0  (10) 

m

   

… 0 0 … 1

      (11) 

 

Page 4: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   4  

Promatrat  ćemo samo elemente na glavoj dijagonali  i  ispod nje, odnosno elemente 

 

 za koje je   : 

             0     0

0

10

     

       1   ,  (12) 

 

pri čemu je posebni član jednak    za   , odnosno   za  . Za  1 imamo : 

 ,             

    , ... ,           

 . 

 

Promatrajući elemente druge kolone matrice   imamo : 

                            ,  ...  ,             

  . 

        

…… 

        

 . 

 

 

 

 

Page 5: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   5  

Prema tome, ideja je slijedeća : za  tu kolonu se najprije iz izraza za   odredi D  , a 

  se,  redom,  računaju  koeficijenti  , … ,   .  Ove  korake  možemo  sumirati 

slijedećim jednadžbama : 

 ,          

zatim

     2, … ,               (13) 

∑ | |         2, … ,               (14) 

∑       2, … , 1         (15)    

 

Jednadžbe (13)‐(15) predstavljaju članove matrica   i  . Matrica   je transponirana matrica 

matrice    i stoga, ona je gornje trokutasta

 

Pa   dekompoziciju matrice   na kraju izgleda: 

 

1 0 … 0

… 1

… … 0… 0

0 0 …

1 …0 1 …

0 0 … 1

 

… … ……

…           (16) 

 

Determinanta matrice    jednaka  je  determinanti  ,  a  determinanta matrica  L  i   

 je jedninici. Ovo je lakši način kojim dolazimo do determinante matrice  , pogotovo 

ako je matrica   višeg reda. Determinantu matrice   dobivamo monoženjem njenih članova 

na glavnoj dijagonali. 

 matrica. 

1 … 0 0

 

jednaka

Page 6: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   6  

 

3. CHOLESKY DEKOMPOZICIJA MATRICE    FAKTORIZACIJA 

 

.

matrica, a   transponirana matrica matrice   i ona je gornje trokutast . Determinante ovih 

matrica su  iste  i  jednake  je umnošku elemenata na glavnim dijagonalama, a determinanta 

matrice    jednaka  je umnošku dobivenih determinanti.  Iz  toga vidimo da  izraz      

možemo  zapisati  u  obliku   

Matricu   možemo  rastaviti  i na dvije matrice    i   Matrica Q  je donje  trokutasta 

  i  možemo  zaključiti  da  je    ekvivalentna  

  : 

         

dekompoziciji

        (17) 

u kojoj je   . 

 

  Zapišimo matricu   u oblik :  

       

0 0 … 00

… 0… … … … …

… 0        (18) 

   

… 0… 0

…0 …

0 0 …

       (19) 

 

 

 

0

 

 

Page 7: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   7  

 

 elemente na glavoj dijagon  

 za koje je   : 

              0     0

Promatrat  ćemo samo ali  i  ispod nje, odnosno elemente

0

0

     

          ,        (20) 

 da su dijagonale jedne i druge matrice jednake: 

                      ,    , .... ,                                               (21) 

 

Uzmimo u obzir (21) imamo slijedeće za j=1: 

 ,             

 

 

Vidimo

                      

    , ... ,           

  

 

Promatrajući elemente druge kolone matrice   imamo : 

               

         

…… 

         . 

 

Page 8: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   8  

 

Prema tome,  ja je slijedeća : za   kolonu ije iz izraza z redi D  , 

zatim  se,  redom,  računaju  koeficijenti  , … ,   .  Ove  korake  možemo  sumirati 

lijedećim jednadžbama : 

        (22)

   

ide tu  se najpr a   od a 

s

∑                 1,2, … ,    

∑       1,2, … ,   ;    1, 2…       (23) 

 

Jednadžbe (13)‐(15) predstavljaju članove matrica   i  . Matrica   je transponirana matrica 

matrice    i stoga, ona je gornje trokutasta matrica.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Page 9: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   9  

4. PRIMJENA CHOLESKY FAKTORIZACIJE 

Kada su matrice uključene u problem vlastitih vrijednosti  relativno malih dimenzije i 

samo se nekoliko vlastitih vrijednosti određuje, metoda determinante može biti dosta 

efektivna u rješavanju problema vlastitih vrijednosti. Razmotrimo linearni problem vlastitih 

rijednosti :  

    0 

Kao što je već  rečeno, determinanta matrice    polinom je n‐tog reda koji daje 

 vlastitih vrijednosti. Metoda determinante koristi iterativni postupak za traženje nul‐točaka 

polinoma.  Smatra se da je najmanje dominantna izračunata vlastita vrijednost   i tako su 

oguće dvije grube pretpostavke vlastitih vrijednosti. To su µ  i   µ   µ    . 

rocedura zahtijeva to da determinanta   bude ocjenjena za te dvije pretpostavljene 

vrijednosti od  . Označimo odgovarajuće dvije vrijednosti polinoma sa   i  .  

 

v

n

m

P

k ‐ 1

k ‐ 2

p k ‐ 11 2 3

p k ‐ 2

p(

 

 Slika 1. (a) : Metoda determinante određivanja vlastitih vrijednosti ‐ traženje    

Page 10: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   10  

 

Slika 1. (b) : Metoda determinante odre ivanja vlastitih vrijednosti ‐ traženje   

deflakcijskim polinomom 

 

Nova pretpostavka , µ  , za nulu polinoma može biti dobivena namještanjem ravnog pravca 

kroz dvije točke,  µ  , p  i (µ  , p ). Nova pretpostavka  vlastite vrijednosti dana je : 

 

                                                µ µ µ µ

đ

p                                          (24) 

gdje je  1. 

Polinom je sada dobiven za novu pretpostavku µ  , dajući p . Ako  je p  dovoljno 

blizu nuli, iteracijski proces konvergira i µ . Ako konvergencija nije postignuta, tj. ako 

p  nije dovoljno blizu nuli, cijeli postupak se ponavlja sa dvije nove vrijednosti, p , p  i 

µ  , 

Postupak opisan gore  reprezentirana jednadžbom (24) sa  1 standardna je 

linearn  interpolacija . U tom slučaju, korijen polinoma se nalazi samo sa jedne strane i nema 

a.

encije, za   mogu b zet

µ  . 

a

preskakivanja korijen  Međutim, konvergencija može s vremenom postati spora. Za 

ubrzanje konverg iti u e  vrijednosti 2 ili više. Kada je  2, tada je 

Page 11: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   11  

moguće preskakivanje jednog ili čak više korijena. Srećom, to se može otkriti Sturmovom 

sekvencom pa time iteracija  može biti prekinuta. 

Najveći problem je dobivanje determinante koja daje vrijednosti  . Pretpostavka 

dena obivnajem determinante  LT faktorizacijom matrice  . Determinanta 

matrice

atr  D  isti

vlastiti o  ih  , 

 

Slika (2) : Prebrojavanje negativnih članova u metodi determinte 

 

Metoda determinante može biti korištena i za konvergenciju većeg korijena. Za prvi 

korijen, ako je iteracija počela sa dvije vrijednosti  , obje manje od  , bi trebao konvergirati 

. Međutim, za veći korijen, ovo nije garantirano. Naprimjer, iteracija sa točkama A i B u 

je prove  d

 je tada dobivena množenjem dijagonalnalnih elemenata matrice  .   

· · …… ·  

Prema Sturm sekvenci, broj negativnih elemenata na dijagonali m ice  je  broju 

h vrijednosti manje od  . Preskočene vlastite vrijednosti, ak ima preskočenih

mogu prema tome biti otkrivene  prebrojavanjem negativnih elemenata matrice   na 

sljedeći način: 

Page 12: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   12  

(slika 1.b) će konvergirati natrag k  . Za rješavanje ovog problema koristimo deflakcijski 

polinom    koji koristimo umjesto polinoma   , gdje  

 

         ∏  

          (25) 

 

i     1… .  su već određene vlastite vrijednosti. Iteracija sa   će konvergirati k  

1‐toj vlastitoj vrijednosti,  . U praksi, metoda determinante se koristi za dobivanje 

samo bliske pretpostavke za željenu vlastitu vrijednost. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Page 13: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   13  

5. PRIMJER 

EI1 EI1 EI1

EI2

EI3 EI3 EI3

EI2 EI2

m2

m1

m3

 

Zadano: 

80 000 kN  

100 000 kN  

90 000 kN  

∞ 

0.8  

1.2  

1  

5   

4   

Page 14: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   14  

 

Stupnjevi slobode : 

EI1 EI1 EI1

EI2

EI3 EI3 EI3

EI2 EI2

m2

m1

m3

x1

x2

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

Page 15: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   15  

EI1 EI1 EI1

EI2

EI3 EI3 EI3

EI2 EI2

m2

m1

m3

k11

k21

k31

x1=1,0

 

EI1 EI1 EI1

EI2

EI3 EI3 EI3

EI2 EI2

m2

m1

m3

k12

k22

k32

x2=1,0

 

 

Page 16: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   16  

 

 

EI1 EI1 EI1

EI2

EI3 EI3 EI3

EI2 EI2

m2

m1

m3

k13

k23

k33

x3=1,0

 

12· 3

12 · 80 0004 · 3 45000  /  

12· 3

12 · 800004 · 3 45000  /  

12· 3

12· 3

12 · 100 0004 · 3

12 · 80 0004 · 3 101250  /  

12· 3

12 · 800004 · 3 45000  /  

12· 3

12· 3

12 · 90 0004 · 3

12 · 100 0004 · 3 95625  /  

12· 3

12 · 90 0004 · 3 50625  /  

Page 17: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   17  

 

Matrica krutosti K : 

45000 45000 045000 101250 506250 50625 95625

 

 

Matrica masa : 

0 00 00 0

0,8 0 00 1,2 00 0 1

 

 

    0 

 

  0 

 

 

 

0 00 00 0

 

 

λ  

 

 

Page 18: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   18  

 

ktorizaciju matrice A na slijedeći način: 

1 0 … 01 … 0

… 1

… … 00 … 0

0 0 …

1 …0 1 …

0 0 … 1

 

 L i D računamo pomoću izraza : 

 

 ,          

 

Uvodimo Choleski fa

 

Članove matrica

     2, … ,                

∑ | |         2, … ,                

      2, … , 1  

 

D A 45000 0.8 

1D · A

5625056250  

1D · A

kk λm 0 

101250202500000045000 0.8λ

1.2λ  

Page 19: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   19  

 

956252.562890625 10

101250 202500000045000 0.8λ 1.2λ

45000 0.8λ λ 

50625

101250 202500000045000 0.8λ 1.2λ

 

I dobivamo matrice : 

 

1 0 045000

45000 0.8 1 0

0.50625.

.8101250 202500000045000 0 1.2

 

145000

45000 0.8 0.

0 150625.

101250 45000 0.82025000000 1.2

0 0 1

  

 

45000 0.8 0 0

0 101250202500000045000 0.8

1.2 0

0 0 956252.562890625 10

101250 202500000045000 0.8 1.2

0. 45000 0.8 

 

· ·   126720703125000 1.33903125 1010λ 226800. λ2 0.96λ3 

 

 

 

Page 20: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   20  

 

 

Odaberemo proizvoljanu vlastitu vrijednost   i uvrstimo je u matricu D : 

Prebrojavamo dobivene negativne članove dijagonale matrice D, odnosno, kad determinanta 

matrice D mijenja predznak radimo interpolaciju: 

       

1000  44 200  54 235,5  47 370,2 

5000  41 000  45 859,8  34 739,6 

10000  37000  34 520,3  11 381,9 

12000  35400  29646,6  ‐2823,02 

50 000  5 000  ‐363 750  52 670,7 

60 000  ‐3 000  704 250  31 985,8 

80 000  ‐19 000  111 829  ‐7 929,95 

100000  ‐35000  39107,1  ‐69910,1 

140000  ‐67000  ‐36526,1  25791 

150000  ‐75000  ‐51750  ‐4850,54 

 

Vidimo da se vlastita vrijednost   nalazi između 10000 i 50000 pa stoga radimo interpolaciju 

da dobijemo     , a to ćemo dobiti ako je  0. 

11381 2823,022000            1602,5        11602,5 

107,71  /  

Druga interpolacija : 

31985,8 7929,9520000            16026,65        60000 16026,65 76026,65 

275,73  /  

Page 21: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   21  

 

reća interpolacija : T

,            8367,85        140000 8367,85 148367,85  

385,16  /  

obivene frekvencije su : 

 

 

 

 

 

 

 

D

107,71  /  

275,73  /  

385,16  /  

 

 

 

 

 

 

Page 22: Cholesky metoda

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I POTRESNO INŽENJERSTVO - SEMINAR    

               Maja Baniček   22 

 

 

Kontrola vlastitih vrijednosti u programu Mathematica : 

Solve 126720703125000 1.33903125 10 226800. 0.96 0,  

{λ→11648.5},{λ→76530.8},{λ→148071.}

{ω→107.928},{ω→276.642},{ω→384.8}

 

 

 

50 000 100 000 150 000 200 000

 

 

 

 

 

-6 *1014

-5 *1014

-4 *1014

-3 *1014

-2 *1014

-1 *1014

1 *1014