CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC

§1. SỐ PHỨC

I. Dạng đại số của số phức được xác định

trong đó : gọi là phần thực của z

gọi là phần ảo của z

Cho hai số phức ta nói và

số phức gọi là số phức liên hợp của

Mặt phẳng phức được thể hiện bởi một hệ trục tọa độ.Trong đó trục 0y được gọi là

trục ảo,còn trục 0x là trục thực .

Khi cho thì tương đương với M(x,y) trên m/p được gọi là tọa vị của M.

Độ dài vectơ được gọi là môdun của số phức và

Góc được gọi là Argumen của z ,còn gọi là argumen

phần chính của z.

được gọi là dạng lượng giác của số phức

Công thức Moavơrơ:

thừa nhận: (công thức ơle)

Ví dụ:

a)

b)

1

c)

d)

e) Với và thì

f) và thì

II. CĂN BẬC n CỦA SỐ PHỨC

W được gọi là căn bậc n của số phức z và viết nếu

gọi số phức

và

VD tính:

§2. HÀM BIẾN PHỨC

Khái niệm:Hàm f(z) xác định trên tập G với mà có duy nhất một giá trị

thì hàm gọi là hàm đơn trị,trái lại hàm được gọi là hàm đa trị.

I. Giới hạn

Lưu ý: thì theo nhiều cách khác nhau

với hàm biểu diễn dưới dạng

II. Đạo hàm của hàm biến phức

và theo nhiều cách khác nhau

ta có với

2

cho và

cho và

và (Đ/k Côsi-Riman)

Nhận xét:

a) nếu hàm số giải tích thì thỏa mãn đ/k Côsi-Riman.

Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàm cùng các đạo

hàm

riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm.

b) Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực.

Từ đ/k Côsi-Riman ta thấy và đó là các hàm điều

hòa.

Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích mà các hàm thành phần là

các hàm điều hòa.

III. MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

1) Hàm đơn trị và

2) Hàm đa trị , việc lấy đạo hàm của nó phải thực hiện theo

từng

nhánh

3) Hàm mũ là hàm có phần thực và phần ảo

đó là hàm đơn trị và có các tính chất như hàm mũ thực

4) Hàm lượng giác: ; ; và

3

Lưu ý:

a) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực.

b) và nói chung không bị chặn như trong số thực,chẳng hạn

với

5) Hàm Lôgarit là hàm ngược của hàm và viết .

khai triển ta được với ,còn được

gọi

là nhánh chính của .Các tính chất của tương tự như trong thực.Riêng đạo

hàm

của ta phải thực hiện trên từng nhánh.

6) Hàm lượng giác ngược,đó là các hàm đa trị :

a)

b)

c)

Ví dụ:Tính với nhọn

7) Hàm lũy thừa tổng quát với và viết

cụ thể

§3:TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC

I. Định nghĩa:Cho hàm xác định trên đường ,chia bởi các điểm

chia

theo thứ tự trên cung từ đến lấy bất kỳ điểm

4

nếu tồn tại giới hạn trong đó với

và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia và cách chọn thì giới hạn đó gọi là

tích

phân hàm dọc theo cung và viết

Với và trong đó thì

Do đó cách tính và các tính chất của tích phân hàm biến phức hoàn toàn như tích phân

đường loại 2.

Ví dụ: Tính với

Nếu có hàm thỏa mãn thì

II. Định lý Côsi:Nếu hàm giải tích trong miền G có biên L(trơn) thì

III. Công thức tích phân Côsi : Nếu hàm giải tích trong miền G có biên L(trơn)

và

thì

Chứng minh : Ta có

mặt khác do vì liên tục tại , nên

5

tức là

Ví dụ :

a)

b)

IV. Tích phân loại Côsi :Giả sử L là đường cong trơn từng khúc liên tục trên

L,khi đó

thì được gọi là tích phân loại Côsi.

Định lý : Cho liên tục trên L,khi đó giải tích miền D không

chứa L

và

đặc biệt khi L là đường cong kín, từ công thức tích phân cô si ta có

Ví dụ :

a)

6

b)

§4: CHUỖI TAYLOR-LAURENT

I. Chuỗi Taylor:

Mọi hàm giải tích tại z = a luôn biểu diễn dưới dạng

Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp cơ bản tại

a)

b)

c)

Đặc biệt ta có

và (Công thức Euler)

II. Chuỗi Laurent:

1. Định lý và định nghĩa : Hàm giải tích trong miền

;

thì luôn có .Khai triển đó gọi là chuỗi Laurent của

tại tâm trong đó

gọi là phần đều

7

gọi là phần chính

Chứng minh : Theo tích phân Côsi

trong đó và là hai đường tròn tâm ở trong G,sao cho miền giới hạn bởi

và chứa z.

Ta có

với

(1)

Tương tự với (2)

Trong (2) đặt

trong 2 tích phân trên và không phụ thuộc vào đường lấy tích phân .

Nên ta đặt với Đó là điều phải chứng minh.

III. PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG

1) Không điểm: được gọi là không điểm của nếu .

8

điểm được gọi là không điểm cấp m của nếu: trong

đó và giải tích tại .

2) Định nghĩa: được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm nếu trong lân

cận

của chỉ có duy nhất a là điểm bất thường của .

Giả sử là điểm bất thường cô lập của hàm

thì gọi là điểm bất thường bỏ được.

Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại chỉ có hữu hạn số

hạng

tức là trong đó thì

được

gọi là cực điểm cấp m.

Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại có vô số số hạng thì

được gọi là điểm bất thường cốt yếu.

3) Định lý : Cho trong đó nhận là không điểm cấp m và

.Thì nhận là cực điểm cấp m.

§5:THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG

I. THẶNG DƯ

1) Định nghĩa 1: Cho là điểm bất thường cô lập của hàm thì

9

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân.Nên ta gọi là thặng dư

của

tại .Ký hiệu

2) Định nghĩa 2:ta gọi thặng dư của hàm tại (nếu nó không là giới hạn

của

điểm bất thường cô lập )

tích phân lấy theo lấy theo chiều thuận chiều kim đồng

hồ.

Trong đó miền giới hạn bởi C chứa mọi điểm bất thường của hàm số .

Giả sử có là các điểm bất thường cô lập (kể cả nếu nó không là giới

hạn của điểm bất thường cô lập nào cả).Khi đó

3) Công thức tính : Ta đã có với Khi

trong đó là hệ số trong khai triển Laurent tại

4) Cách tính thặng dư:

a) Thặng dư cực điểm cấp m :

10

b) Cho trong đó nhận là không điểm cấp 1 và

đồng thời giải tích tại thì

c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển

Laurent

qua đó xác định

II. ỨNG DỤNG

1) Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử là các điểm bất

thường của nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì

2) Tích phân thực trong đó là phân thức hữu tỷ

Bổ đề : Gọi là nửa đường tròn tâm 0,bán kính R có và thỏa mãn

với thì .

Chứng minh : phương trình :

từ giả thiết ta có .Đó là điều phải chứng minh.

Định lý : Cho với có và

có là các cực điểm ở phía trên 0x và là cực điểm đơn trên

0x11

Khi đó

3) Tích phân dạng và với

Theo công thức ơle,ta có

khi đó

nếu các tích phân hội tụ.

Qua đó và

a) Bổ đề : Gọi là cung tròn có với cố định.Nếu

với cố định,còn giải tích trong nửa mặt phẳng trừ

một

số hữu hạn các điểm bất thường và thì

b) Định lý : Cho với có và có

là các cực điểm ở phía trên 0x và là cực điểm trên 0x.

Khi đó

4) Tích phân dạng

12

Từ và .

Đặt và .Do đó

§6: PHÉP BIẾN ĐỔI Z

I. Định nghĩa và tính chất

1) Định nghĩa:Cho dãy số biến đổi Z của dãy số trên được xác định

nếu chuỗi hội tụ.Ký hiệu và

VÍ DỤ:Tìm biến đổi Z của dãy số:

2) Tính chất: Giả sử và

a) Tuyến tính :

b) Tính trễ :

Vì

c) Nhân với n :

Vì từ

.Đó là điều phải chứng minh.

Ví dụ :Tìm biến đổi Z của dãy số:13

Ta có với

Qua đó với

II. Phép biến đổi Z ngược : Phần này ta giải quyết bài toán với một hàm

hãy tìm

một dãy số sao cho qua biến đổi Z dãy cho ảnh là .

CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

§1:PHÉP BIÊN ĐỔI LAPLACE

I. KHÁI NIỆM:

1) Định nghĩa : Hàm số được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau

0. Hàm liên tục hay liên tục từng khúc

1. Không tăng nhanh bằng hàm mũ,tức là sao cho

Khi đó được gọi là chỉ số tăng của .

2. với .Điều kiện này thường áp dụng trong thực tế đối với các

hàm có biến là biến thời gian.

VÍ DỤ:

1.

2.

14

Quy ước:Khi là hàm gốc ta chỉ cần ghi là hàm gốc .

2) Định lý: Giả sử là chỉ số tăng của ,với thì tích phân

hội tụ ,hơn nữa

Chứng minh:Ta có với .Tức là tích phân

hội tụ.Mặt khác khi tức là

hay .

Đặt ,khi đó gọi là hàm ảnh của hàm gốc và được gọi là

toán tử Laplace.

Ký hiệu : hoặc

Hơn nữa tức là

II. Các tính chất

1) Tuyến tính:Cho và ; thì

2) Tính đồng dạng : cho thì với

3) Dịch chuyển ảnh : cho thì

15

4) Tính trễ :Cho hàm thì hàm gọi là hàm trễ của với

và khi thì

5) Hàm xung và biểu diễn hàm qua hàm :Hàm xung là hàm có dạng

khi đó ta có

6) Ảnh của hàm tuần hoàn:Cho thì

ta có

VÍ DỤ:Tìm ảnh của hàm

7) Đạo hàm của hàm gốc: cho .Tìm ảnh của hàm

với ta có

với thì

vậy

8) Tích phân hàm gốc : cho .Tìm ảnh của hàm

16

Chứng minh : Giả sử và .Khi đó

nhưng

.Mặt khác ,nên .

9) Đạo hàm hàm ảnh: cho .Tìm gốc của

Chứng minh:Ta đã có nên tiếp tục lấy đạo hàm

theo p

hai vế ta được ,tức là

10) Tích phân hàm ảnh : cho .Tìm gốc của (nếu hội tụ)

Chứng minh: Ta có

11) Tích chập và ảnh của nó : Cho hai hàm và thì

được

gọi là tích chập của hai hàm và .Ký hiệu :

LƯU Ý:

17

Nếu và là hai hàm gốc thì

và

với và thì

Chứng minh:Ta có

đặt thì

.

12) Công thức Duyhammen:Cho và thì

hoặc

13) Điều kiện để một hàm là ảnh của một hàm gốc

Định lý : Giả sử hàm là hàm biến phức thỏa mãn

1. Giải tích trong nửa mặt phẳng

2.

3. hội tụ tuyệt đối với

Khi đó là ảnh của hàm gốc và được xác định

14) Công thức tìm hàm gốc của một phân thức thực sự

18

Cho (tối giản).Giả sử là các cực điểm của thì là

ảnh

của hàm gốc và

III. Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:

Cho phương trình

thỏa mãn điều kiện với

Cách giải : Giả sử thay

và .Qua đó ta tính được .Từ đây ta tìm được

Chú ý: Đối với hệ phương trình ta cũng làm tương tự

VÍ DỤ:

a) khi

b) Giải hệ phương trình

với điều kiện

§2:PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

I. Nhắc lại một số vấn đề về chuỗi Fourier

Cho hàm tuần hoàn chu kỳ thì luôn có

trong đó:

19

với

với

Khi tuần hoàn chu kỳ thì luôn có

ở đó các hệ số được xác định

với

với

Nếu hàm là hàm chẵn thì với

còn khi hàm là hàm lẻ thì với

II. Phép biến đổi Fourier

1) Định lý : Hàm khả tích trên và thỏa mãn điều kiện Đirichlet thì

Ta có là hàm chẵn theo và lẻ theo nên

20

Khi đó và được gọi là công thức tích phân Fourier thực và phức tương ứng,và ta

có

2) Định nghĩa : Ta gọi

a) là biến đổi Fourier của hàm

b) là biến đổi Fourier ngược của hàm

Nếu là hàm chẵn thì

Và gọi là biến đổi Fourier theo cosin

còn gọi là biến đổi Fourier ngược theo cosin

Còn khi là hàm lẻ tương tự ta có

gọi là biến đổi Fourier theo sin

và gọi là biến đổi Fourier ngược theo sin

LƯU Ý :

a) Các định nghĩa trên có ý nghĩa thuần túy toán học.21

b) Nếu hàm là hàm dạng sóng theo biến thời gian t (với tần số f),đặt

thì ta có

c) Trong kỹ thuật thì người ta định nghĩa :

là biến đổi Fourier của hàm

là biến đổi Fourier ngược của hàm

Ký hiệu :

là biến đổi Fourier thuận hoặc

là biến đổi Fourier ngược

d) Hàm Dirac

Đó là hàm chẵn và thỏa mãn

Với mọi hàm liên tục tại 0 luôn có .

Khi đó và với

VÍ DỤ:

a) Tìm hàm chẵn thỏa mãn

22

Qua đó tính tích phân

Chứng minh:Ta có

.

Từ

Với thì

b) Tìm hàm lẻ thỏa mãn

Do hàm lẻ nên

và

c) Từ biến đổi Fourier của với .Tính

23

Chứng minh:Thác triển hàm thành hàm lẻ,khi đó biến đổi Fourier là

Ta có là biến đổi Fourier ngược của nên

3) Các tính chất (trong kỹ thuật):

a) Tuyến tính : Cho và với ; = cosnt thì

b) Đồng dạng : Cho thì

Từ

Khi ta có kết quả

Tổng hợp ta có

c) Trễ : Cho thì

d) Dịch chuyển ảnh : Cho thì

24

e) Điều chế:Cho thì

f) Đạo hàm của hàm gốc: Cho thì

Chứng minh: với thì tức là

với thì tức là .Qua đó ta

được diều phải chứng minh.

g) Đạo hàm hàm ảnh : Cho thì

Vì tức là hay

h) Tích chập: Cho và thì

Chứng minh: Ta có

III. Biến đổi Fourier hữu hạn

Cho dãy số . Biến đổi Fourier hữu hạn của nó được xác định

25

(khi chuỗi vế phải hội tụ)

kí hiệu: =

Và công thức biến đổi ngược là

Nếu đặt thì từ ta có

Điều kiện đủ để dãy tín hiệu rời rạc có biến đổi Fourier hữu hạn là:

(tức là chuỗi hội tụ)

Tính chất: Cho = và =

1) Tuyến tính: = +

2) Trễ : =

3) Dịch chuyển ảnh: =

IV. Biến đổi Fourier rời rạc:

Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là

biểu diễn phổ.Việc tính toán biến đổi Fourier dựa vào máy tính phải được rời rạc hóa

bằng cách chọn một số hữu hạn các giá trị mẫu theo thời gian và phổ cũng nhận được

tại một số hữu hạn các tần có số.

1) Định nghĩa: Cho dãy số xác định với

26

Chuỗi Fourier rời rạc của dãy được xác định ở đó .

Đặt .Khi đó và

a) và .Chứng tỏ tuần hoàn chu kỳ N

b) nếu và khi ( )

Vì khi thì và nên .

Còn khi thì nên

2) Định nghĩa:Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N được

xác định :

với

Từ định nghĩa ta thấy

a) .Chứng tỏ là hàm tuần hoàn chu kỳ N

b) Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu là kết quả một chu kỳ của

chuỗi Fourier rời rạc.

27

3) Định lý:Với mọi dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N,thì

được gọi là biến đổi Fourier ngược của dãy tín hiệu x(n) tuần

hoàn chu kỳ N.

Chứng minh:

Thật vậy:

do .

VD:Cho dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N chẵn thỏa mãn

CMR biến đổi Fourier rời rạc của dãy x(n) thỏa mãn

Chứng minh:Ta có

.Từ đó

V. QUAN HỆ GIỮA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER

Định lý : Giả sử hàm là hàm biến phức thỏa mãn

28

1. Giải tích trong nửa mặt phẳng

2.

3. hội tụ tuyệt đối với

Khi đó là ảnh của hàm gốc và được xác định

Cho một hàm thỏa mãn các điều kiện của một hàm gốc trong phép biến đổi

Laplace,

để có ảnh Fourier thì khả tích trên .Tức

Ta đã có .Do chọn , nên

đặt thì ở đó , hay ta viết lại

Đặc biệt khi : .

Như vậy :với thì với .

Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier của hàm

Chứng minh:

29

Theo Laplace: với thì

Mặt khác

30