Chương 5: Ánh xạ tuyến tínhqui.edu.vn/uploads/news/2013_05/chuong-4-anh-xa-tuyen... · Web...

Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHBài 1: Khái niệm ánh xạ tuyến tính – và các tính chất______________________________________________1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính

1.1 Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ V và V’ trên trường K. Một ánh xạ được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

i) (tính bảo toàn phép cộng).ii) (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng).- Nếu V = V’ thì ta gọi f là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính. Đặt L(V, W) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào W. Trên L(V, W) ta đặt

các phép toán sau:

Khi đó, L(V, W) cùng với hai phép toán được định nghĩa như trên là không gian vector.Sinh viên tự kiểm tra không gian này thỏa các tiên đề về không gian vector.

Chú ý: Ở điều kiện (i) thì phép (+) bên vế trái là phép cộng trong V còn phép cộng bên vế phải là phép (+) trong V’, tương tự với điều kiện (ii).

Các điều kiện (i) và (ii) trong định nghĩa có thể thay thế bằng điều kiện sau:

1.2Ví dụ:

a) Ánh xạ

là một ánh xạ tuyến tính và được gọi là phép nhúng từ K vào .

b) Với mỗi i = 1, 2, …, n ta đặt ánh xạ

là một ánh xạ tuyến tính và được gọi là phép chiếu lên thành phần thứ i của .

c) Ánh xạ: là ánh xạ tuyến tính, gọi là ánh xạ không.

d) Kiểm tra ánh xạ h:R2 R2 có phải là ánh xạ tuyến tính không? (x,y) (2x+y ; x-2y)Giải:Với x,y R2 suy ra và với . Khi đó,

Khi đó,

Đại số tuyến tính


Vậy ánh xạ h cho bởi công thức trên là ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa đây còn là một phép biến đổi tuyến tính, hay toán tử tuyến tính từ không gian vector R 2vào chính nó.

2. Các tính chất:Nếu f là một ánh xạ tuyến tính từ V vào V’ thì ta có:

i)

ii)

iii) Nếu và là các ánh xạ tuyến tính thì cũng là ánh xạ tuyến tính.

iv) Qua một ánh xạ tuyến tính thì một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính (trong V) được biến thành một hệ phụ thuộc tuyến tính (trong V’). Tức là nếu hệ các vectơ

phụ thuộc tuyến tính trong V, thì hệ phụ thuộc tuyến tính trong V’.

v) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ vectơ. Tức là:

3. Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính:3.1 Định lý: Cho một cơ sở của không gian vectơ V ( ) và

là n vectơ tùy ý của không gian vectơ V’. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính sao cho hay nói khác hơn ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.

3. 2 Ví dụ: 1) Trong R3 cho cơ sở chính tắc ,

trong R2 cho 3 vectơ . Hãy xác định ánh xạ f R3

R2 thỏa tính chất .

Giải:Với x=(x1,x2.x3) R2 ta có . Do f là ánh xạ tuyến tính thỏa

nên có

Vậy ■

2) Trong R3 cho hai hệ vectơ và

. Hỏi có tồn tại một phép biến đổi tuyến tính

f:R3 R2 thỏa không? Nếu có hãy xác định công thức của f.



Giải:Hệ vectơ độc lập tuyến tính do

.

nên suy ra là một cơ sở của R3. Do đó, tồn tại một phép biến đổi

tuyến tính từ f:R3 R3 sao cho .

Cho x=(x1,x2,x3) , giả sử. K hi đó,

. Vậy công thức biểu diễn của phép biến đổi tuyến tính f

■

3) Giả sử cho f L(R2,R2) là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn

Khi đó, x =(x1 ,x2) R2 thì

Bài 2: Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính1. Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính:

1.1 Ma trận của một ánh xạ tuyến tính:



Cho là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ n chiều V vào không gian vectơ m chiều V’ (với . Giả sử và

lần lượt là hai cơ sở được sắp của không gian V và V’. Khi đó,

mỗi vectơ trong V’ có dạng:

, hay

. Vậy f sẽ hoàn toàn xác định nếu biết các hệ

số , hay f được xác định bởi ma trận .

Ma trận là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở

(B; B’).Ma trận A là ma trận với m dòng (bằng số chiều của không gian V’) và n cột

(bằng số chiều của không gian V), cột thứ j là tọa độ của trong cơ sở B’.

Nếu f là một phép biến đổi tuyến tính thì ma trận của f là một ma trận vuông cấp n.

1.2 Ví dụ:Xét cơ sở chính tắc trong các không gian vectơ sau đâya) Ánh xạ tuyến tính f: R Rm thì ma trận biểu diễn của ánh xạ f trong cặp cơ

sở x (x,0,..,0)

b) chính tắc của không gian R,Rm là

c) Ánh xạ tuyến tính g:Rn R có ma trận biểu diễn của ánh xạ g trong cặp cơ sở (x1,x2,...,xn) x1

chính tắc của không gian Rn,R là .d) Ánh xạ h:R2 R 2 có ma trận biểu diễn của ánh xạ h trong cặp cơ sở chính

tắc (x,y) (2x+y ;3x-2y)

của R2 là

e) Ánh xạ đồng nhất Rn Rn có ma trận biểu diễn của ánh xạ đồng nhất trong cặp cơ u uĐại số tuyến tính


sở chính tắc là ma trận đơn vị .1.3Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính:

Cho là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ n chiều V vào

không gian vectơ m chiều V’ và là ma trận của f trong cặp cơ sở (B, B’). Với mỗi vectơ , ta thiết lập mối quan hệ giữa các tọa độ của x trong B với tọa độ của trong B’.

Ví dụ:Xét phép biến đổi tuyến tính f:R3 R3 với cơ sở chính tắc của R3 khi đó ma

trận của f đối với cơ sở này là:

.

Nếu vector x có tọa độ trong cơ sở chính tắc là

Khi đó

2. Ma trận của tích các ánh xạ tuyến tính:2.1 Định lý: Giả sử các ma trận A và B lần lượt là ma trận của các ánh xạ

tuyến tính và ứng với các cặp cơ sở là (B, B’) và (B’, B’’) thì ma trận của ánh xạ tích ứng với cặp cơ sở (B, B’’) là ma trận BA.

2.2 Ví dụ:Cho hai ánh xạ tuyến tính f:R3 R2 và g:R2 R3 xác định như sau:

f (x,y,z)=(2x+y-z,x+2y+3z), (x,y,z) R3

g(x,y,z0=(x’-y’,x’+2y’,x’+y’), (x’,y’) R2

Hãy xác định ma trận của ánh xạ f, g, gf trong cặp cơ sở chính tắc của các không gian tương ứng.

Giải:Ma trận của ánh xạ f và g trong cơ sở chính tắc lần lượt là

và



Ma trận của ánh xạ tích gf là . Do đó, ánh xạ tích h=gf có

dạng sau:h(x,y,z)=(x-y-4z,4x+5y+5z,3x+3y+2z), (x,y,z) R3

2 Ma trận của một ánh xạ tuyến tính trong các cặp cơ sở khác nhau:3.1 Định lý: Giả sử ánh xạ tuyến tính có ma trận trong các cặp cơ sở

và tương ứng là . Nếu C và C’ tương ứng là các ma trận đổi cơ sở từ sang và sang , thì ta có .

Nếu lần lượt là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong hai cơ sở và là ma trận đổi cơ sở từ sang .Thì .

3.2 Ví dụ: 1) Cho ánh xạ tuyến tính f:R2 R2 xác định bởif(x,y,z)=(x+y-z,x-y+z), (x,y,z) R3

Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (B, B’) biết và

Giải:Ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc là

Ma trận đổi cơ sở từ sang B là

Ma trận đổi cơ sở từ sang B’ là và

Vậy ma trận của f đối với cặp cơ sở (B, B’) là

■

2) Cho toán tử tuyến tính f:R2 R2 xác định như sau:F(x,y)=(x+2y,2x+y), (x,y) R2

Tìm ma trận của f đối với cơ sở Giải:Ma trận của f trong cơ sở chính tắc là



Ma trận đổi cơ sở từ sang B là và

Vậy ma trận của f trong cơ sở B là ■

3) Xét ánh xạ tuyến tính f được xác định như sau: f:R2 R3

(x,y) (2x+y,x,3y)Gọi lần lượt là cơ sở chính tắc của R2:R3. Đặt

lần lượt là cơ sở củA R2,R3. Khi đó, ma trận chuyển cơ sở từ sang B là

và ma trận chuyển cơ sở từ sang C là:

Nhận thấy ma trận của đối với cặp cơ sở chính tắc là ma trận

Khi đó ma trận của đối với cặp cơ sở B, C là ma trận T được xác định như sau:

Bài 3: Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính1. Ảnh và tạo ảnh của một không gian con

1.1 Định lý: Cho không gian vectơ V và V’, với mọi ánh xạ tuyến tính ta đều có:

i) Nếu W là không gian con của V thì f(W) là không gian con của V’. Ngoài ra, nếu thì .

ii) Nếu W là không gian con hữu hạn chiều của V thì f(W) cũng là không gian con hữu hạn chiều của V’ và .

iii)Nếu W’ là không gian con của V’ thì là không gian con của V. 1.2. Ảnh, nhân, hạng và số khuyết của ánh xạ tuyến tính:1.2.1 Định nghĩa: Cho ánh xạ tuyến tính . - Ảnh của ánh xạ tuyến tính f , ký hiệu . Imf là một không gian con của V’.- Nhân của một ánh xạ tuyến tính f, ký hiệu .



Kerf là không gian con của V. - Khi V và V’ là không gian hữu hạn chiều thì Imf và Kerf cũng là không gian

con hữu hạn chiều, hơn nữa và , số chiều của Imf và Kerf lần lượt gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu rankf và def (f ).

1.2.2 Định lý: Cho ánh xạ tuyến tính . Khi đó, nếu V là một không gian vectơ hữu hạn chiều thì Im(f ) và Ker(f ) cũng hữu hạn chiều, đồng thời

dim Im(f ) + dim Ker(f) = dim V.2. Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu:

2.1 Định nghĩa: Ánh xạ tuyến tính , ta nói f là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu và chỉ nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh).

3.2 Định lý: Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

i) f là một đơn cấu;ii) ;iii) f biến một hệ vectơ độc lập tuyến tính thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính.

Tức là nếu hệ độc lập tuyến tính thì hệ độc lập tuyến tính;

iv) f giữ nguyên hạng của một hệ vectơ, tức là ;

v) Nếu W là một không gian con của V thì ;vi) .3.3 Định lý: Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và là một

ánh xạ tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:i) f là toàn cấu;ii)Imf = V’;

iii) rank(f ) = dim V’;iv) f biến một hệ sinh của V thành một hệ sinh của V’, nói cách khác nếu

thì .v) Có một hệ sinh S của V mà ảnh của nó là một hệ sinh của V’.3.4 Hệ quả: Cho V là một không gian vectơ và là một cơ sở của

nó. Giả sử là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó:i) f là một đơn cấu khi và chỉ khi là một hệ độc lập

tuyến tính. ii) f là một toàn cấu khi và chỉ khi là một hệ sinh

của V’.iii) f là một đẳng cấu khi và chỉ khi là một cơ sở của

V’.3.5 Hệ quả: Cho là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, i) f là một đơn cấu khi và chỉ khi ;



ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi ;iii) f là đẳng cấu khi và chỉ khi 3.6 Nhận xét: Nếu dimV = dimV’ thì f là đơn cấu f là toàn cấu f là đẳng cấu. Tích các đẳng cấu là một đẳng cấu. Ánh xạ ngược của một đẳng cấu là một

đẳng cấu. 3.7 Định nghĩa: Hai không gian vectơ V và V’ được gọi là đẳng cấu với nhau,

ký hiệu nếu tồn tại một đẳng cấu từ V vào V’.3.8 Định lý: khi và chỉ khi dim V = dim V’.

3.9 Ví dụ:1) Cho là một ánh xạ tuyến tính cho bởi

trong đó là cơ sở chính tắc của . Hỏi ánh xạ f có là đơn cấu không? Tại sao?

Giải: Ta lập ma trận A với các dòng là tọa độ của các vectơ , thực hiện các

phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta được

Do đó rank( f ) =rank(u1,u2,u3,u4)=rankA=2<3=dimR3

Vậy f không là đơn cấu.■ 2) Cho f=R3 R2 ánh xạ tuyến tính xác định bởi

. Chứng minh rằng f là một toàn cấu.

Giải:

.

Vậy f là một toàn cấu.■3) Cho là ánh xạ tuyến tính cho bởi

. Ánh xạ f có phải là một đẳng cấu không?

Giải:Ta lập ma trận A với các dòng là tọa độ các vectơ . Do

nên hệ vectơ là cơ sở của .



Ánh xạ f biến cơ sở chính tắc thành cơ sở của , nên f là một đẳng cấu.■ 4. Nghiên cứu ánh xạ tuyến tính nhờ ma trận và biểu thức tọa độ của nó:4.1 Tính chất:

Cho V và V’ lần lượt là hai không gian vectơ n chiều, m chiều. Giả sử và lần lượt là cơ sở của V và V’. Xét ánh xạ tuyến

tính bất kỳ . Gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f và là biểu thức tọa độ của f đối với cặp cơ sở (B, B’). Khi đó ta có:

- rank(f ) = rank(A);- f là đơn cấu ;- f là toàn cấu ;- f là đẳng cấu và .- ma trận cột tọa độ là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất AX = 0. Ngoài ra, def(f ) = dim Kerf = n – rank(A);- hệ phương trình tuyến tính có nghiệm.4.2 Hệ quả:

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Khi đó, tập hợp các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ trên là một không gian con của , có số chiều bằng n – r với r là hạng của ma trận các hệ số của hệ phương trình (ta gọi là hạng của hệ phương trình). được gọi là không gian nghiệm của hệ phương trình.

4.2.1 Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:1. Mỗi cơ sở của được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần

nhất, mỗi hệ này gồm n – r nghiệm độc lập tuyến tính. Khi đã chọn một hệ nghiệm cơ bản thì mọi nghiệm của hệ đều là tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm cơ bản đó.

2. Vì hạng của hệ là r nên ta có thể chọn r ẩn chính và n – r ẩn tự do. Giả sử các ẩn chính là và các ẩn tự do là: là các ẩn tự do, khi đó, công thức nghiệm của hệ có dạng



Khi đó, cho bộ n – r số lần lượt nhận các giá trị của các vectơ trong cơ sở chính tắc , ta thu được hệ nghiệm cơ bản của hệ.

Việc tìm nhân của một ánh xạ tuyến tính quy về việc tìm không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Do đó, phương pháp trên cho ta cách tìm cơ sở cho Kerf .

4.2.2 Ví dụ1) Cho ánh xạ tuyến tính f:R4 R3 xác định bởi

a) Lập ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc.b) Tìm Kerf và Imf.c) f có phải là đơn cấu, toàn cấu không?

Giải:

a) Ma trận của f trong cơ sở chính tắc là

b) Tìm Kerf:

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 sau:

Thực hiện các phép biến đối sơ cấp trên dòng ta đưa hệ phương trình trên về hệ phương trình tương đương sau:

với .

Lần lượt cho ta được

Với , ta được

Do đó, có cơ sở gồm hai vectơ sau: .

Vì dim Imf = rank( f ) = rank(A) = 2, nên ta có thể tìm hai vectơ độc lập tuyến tính.Đại số tuyến tính


Do độc lập tuyến tính nên ta có thể chọn làm cơ sở của Imf. Vậy .

c) Do nên f không phải là đơn cấuVì dim Imf = rank(f ) =2 < 3 = , nên f không phải là toàn cấu.■2) Cho toán tử tuyến tính xác định bởi

Hãy tìm Kerf và Imf.GiảiMa trận của f đối với cơ sở chính tắc là

Do các cột của ma trận A là tọa độ của nên thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên cột đối với ma trận A, từ đó suy ra rank(A).

Khi đó, Imf = rank(A) = 2, ta chọn hai cột độc lập tuyến tính trong ma trận làm cơ sở của Imf. Khi đó,

.Để tìm Kerf ta xét hệ phương trình sau:

với

Cho ta được . Vậy với cơ sở là

.■BÀI TẬP

1. Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính

a.f:R3 R3 :f(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x3-x2.x1);b.f:R3 R3 :f(x1,x2,x3)=(x1,x2+3,x3-x1)c.f:R3 R3 :f(x1,x2,x3)=(x2+x3,2x3+x1,2x1+x2)d.f:R3 R3 :f(x1,x2,x3)=(x2

1,x22,x2

3)e.f: R3 R3 : f(x1,x2,x3) = (x1,x2,,4)f. f: R3 R2 : f(x1,x2,x3)=(x1+x2,x3+x2)



g: f: R3 R4 : f(x1,x2,x3) =(x1+x2,x2-x3,x3-x1,x1-x2)

2. Cho ánh xạ f: R2 R3 với . Tìm các giá trị của m để f là ánh xạ tuyến tính.

3. Cho ánh xạ tuyến tính f:R2 R2 xác định bởi f (3, 1)=(2, -4) và f (1, 1) =(0, 2). Xác định .

4. Cho ánh xạ tuyến tính f: R3 R2 xác định bởi f (1,2,3) = (1,0); f (2, 5, 3) = (1, 0); f (1, 0, 10) = (0, 1). Xác định

5. Tìm ánh xạ tuyến tính f:R2[x] R2[x] xác định bởi

6. Cho toán tử tuyến tính f trên R3 xác định như sau:

Với a là một số thực nào đó. a) Tìm a sao cho rank( f ) = 3, rank(f ) <3b) Khi rank(f ) <3, tìm Kerf và Imf, f có phải đơn cấu, toàn cấu không?7. Cho ánh xạ tuyến tính f:R4 R4 xác định bởi

Tìm một cơ sở của Kerf và Imf.8. Tìm toán tử tuyến tính c có ảnh sinh bởi hai vectơ (1, 2, 3) và(4, 5, 6). Hỏi ánh xạ f có đơn ánh không?9. Tìm toán tử tuyến tính f:R4 R3 có nhân sinh bởi hai vectơ (1, 2, 3, 4) và

(0,1, 1, 1). Ánh xạ f có duy nhất không?10. Cho toán tử tuyến tính xác định bởi

i) Tìm để f không phải là đẳng cấu.ii) Trong trường hợp câu a., hãy tìm cơ sở và số chiều của Kerf và Imf.11. Cho ánh xạ xác định bởi

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tínhb) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở

và c) Tìm rank( f ) và def( f )12.Cho toán tử tuyến tính xác định bởi

Tìm ma trận của f đối với cơ sở



13.Cho toán tử tuyến tính có ma trận đối với cơ sở chính tắc là

Cho a) Chứng minh B là cơ sở của b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B.14.Toán tử tuyến tính f đối với có ma trận đối với cơ sở chính tắc C là

a) Tìm Kerf, Imf, rank( f ), def( f ).b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở sau:

15.Cho ánh xạ tuyến tính và xác định bởi và

Hãy xác định các ánh xạ f + g; 3f; 2f – 5g.16.Cho ánh xạ và xác định bởi

và .Hãy xác định ánh xạ gf .17.Cho f, g là các toán tử tuyến tính trên xác định bởi

và Hãy xác định ánh xạ 18.Chứng minh các toán tử tuyến tính dưới đây là các tự đẳng cấu và tìm

19.Cho V là không gian vectơ hai chiều và là một cơ sở của V. Giả sử và là các cơ sở của V sao cho:

Nếu ma trận của f đối với cơ sở B là và ma trận của g đối với cơ sở B’ là

với f, g là các toán tử tuyến tính trên V. Hãy tìm ma trận của toán tử tuyến

tính f +g đối với cơ sở B’’.Đại số tuyến tính

Chương 5: Ánh xạ tuyến tínhqui.edu.vn/uploads/news/2013_05/chuong-4-anh-xa-tuyen... · Web...

Documents

Transcript of Chương 5: Ánh xạ tuyến tínhqui.edu.vn/uploads/news/2013_05/chuong-4-anh-xa-tuyen... · Web...