20/2/11 1

Chương 2. Cơ sở của cơ học lượng tửNghiên cứu nguyên tử, ta quan tâm tới thế giới vi mô, vi hạt

nên t/c lượng tử nổi trội, phải dùng cơ học lượng tử.

Chương này chỉ giới thiệu cơ sở của cơ học lượng tử cần thiếtcho việc nghiên cứu nguyên tử, chứ không đi sâu vào chitiết như bản thân môn Cơ học lượng tử.

Bao gồm:

1. Tính Sóng- Hạt. Hàm sóng De Broglie (D.B).

2. Hệ quả của tính sóng- hạt: Ng.lý bất định Heisenberg3. Tính chất của hàm sóng: Tính thống kê4. Phương trình cơ bản (P.tr.Schrodinger)5. Hệ quả của ph.tr. Sch.

20/2/11 2

2.1. Sự hình thành ý tưởng lượng tử• Trong LT bức xạ nhiệt- công thức Rayleigh – Jeans (cuối

TK 19) suy ra “thảm hoạ vùng tử ngoại”, làm các nhà vậtlý bó tay.

• LT cổ điển đã không giải thích được hiệu ứng quang điện, tán xạ Compton.

• Plank (1900) xem xét lại các giả thuyết trong LT bức xạnhiệt, LT tương tác sóng điện từ...., ông nghi ngờ về tínhliên tục của một số đại lượng???,

• Trong điện học, điện tích đã được công nhận về tính giánđoạn, còn các đại lượng khác, liệu có sự tương tự ở đâykhông???

20/2/11 3

2.2. Thuyết lượng tử Plank. Thuyết Photon• Max Planck: thất bại của công thức Rayleigh – Jeans

chính là ở chỗ thừa nhận rằng năng lượng phân phối chomỗi dao động tử có thể nhỏ chừng nào tuỳ ý.

• Planck cũng thấy rằng, mọi lí thuyết xây dựng trên giảthuyết về sự liên tục của năng lượng dẫn đến những bế tắctương tự như Rayleigh.

• Planck giả thuyết táo bạo rằng năng lượng cũng có cấu tạogián đoạn như điện lượng, cụ thể là :

• “Năng lượng uν của một dao động tử không thể có giá trịbất kì, mà bao giờ cũng là bội số nguyên của một nănglượng nguyên tố ε. Lượng tử năng lượng ε ứng với tần số νcó giá trị : ε = h.νh là một hằng số vũ trụ mới” – nay gọi là hằng số Planck.

20/2/11 4

Einstein (1905) phát triển lên thành thuyết photon:

• Ngoài năng lượng, phôtôn cũng có khối lượng và độnglượng. Theo thuyết tương đối giữa năng lượng E và khốilượng m có hệ thức :

E = mc2

phôton chuyển động với vận tốc c,

vậy nó có động lượng :

• Theo thuyết tương đối, khối lượng mcủa một vật phụ thuộc vào vận tốc v của nó:

phôtôn là hạt cơ bản độc nhất có khối lượng nghỉ bằngkhông- là giả hạt.

22 ch

cEm ν==

chc

chcmp νν

=== .. 2

2

21

cv

mm o

−

=

20/2/11 5

2.3. Giả thuyết De Broglie• Tính sóng- hạt có thể mở rộng cho mọi vật chất- cụ thể làđiện tử.

• Một hạt tự do chuyển động có xung lượng p =mv và nănglượng xác định cũng được biểu diễn bằng một sóng.

• Sóng đó lan truyền theo phương chuyển động của hạt.Có bước sóng và tần số :

• Sóng này gọi là sóng vật chất- sóng De Broglie, (bản chấtkhác sóng điện từ).

• Sóng D.B không có nguồn phát, không có thu, là bản chấtcủa vật chất.

,E hh p

ν λ= =

20/2/11 6

L. De Broglie (1892-1987)

,E hh p

ν λ= =

20/2/11 7

Khảo sát thông số của sóng D.B.

• Bước sóng: Xét cho e : Động năng E thu được do điệntrường của hiệu điện thế U.

• => bước sóng D.B. ứng với chuyển động tự do của 1 e ởU= 150 V là 1A, cỡ tia X.

• Thử tưởng tượng : "Đầu hạt mình sóng...."

• Với quả bóng 150g, v=35m/s=> bước sóng cỡ 10-34m, quánhỏ!!!

34 0

31 19

6,626.10 12,12 ( )2 2 2.9,1.10 .1,6.10 .

h h h Amv mE meU UU

λ−

− −= = = = =

20/2/11 8

• Tính bước sóng D.B của:• a/ 1 ôtô 1000kg chuyển động với vận tốc

100m/s• b/ 1 quả bóng 10g với v=500m/s• c/ 1 hạt khói 10-9 g với v=1cm/s• d/ 1 electron với động năng là 1eV• e/ = nt= với 100MeV• ĐS: 6,6.10-39m; 1,3.10-34m; 6,6.10-20m;

1,2.10-9m và 1,2 fm• Do h quá bé nên chỉ có ở các vi hạt ta mới

quan sát được đặc tính sóng!

20/2/11 9

Cơ sở Thực nghiệm sóng D.B.

• Nếu e có t/c sóng thì phải thể hiện nhiễu xạ, giao thoa?

• Bước sóng của e cỡ tia X, nên cách tử phải cỡ vài - dùngmạng tinh thể, như trong nhiễu xạ tia X- Bragg (Thomson G.P: ảnh tương tự).

• Davisson- Germer 1926: nhiễu xạchùm e trên tinh thể NiTính bước sóng theo 2 cách:

1. Công thức nhiễu xạ Bragg: 0,165nm2. Công thức D.B: 0,167 nm

Chứng tỏ hiện tượng nhiễu xạ này chính do bản chất sóngD.B. (Nobel 1937)

oA

20/2/11 10

Đọc thêm: X-Ray Scattering

Max von Laue suggested that if x-rays were a form of electromagnetic radiation, interference effects should be observed.

Crystals act as three-dimensional gratings, scattering the waves and producing observable interference effects.

20/2/11 11

Bragg’s Law

William Lawrence Bragg interpreted the x-ray scattering as the reflection of the incident x-ray beam from a unique set of planes of atoms within the crystal.There are two conditions for constructive interference of the scattered x rays:

1) The angle of incidence must equal the angle of reflection of the outgoing wave.

2) The difference in path lengths must be an integral number of wavelengths.

Bragg’s Law: nλ = 2d sin θ (n = integer)

20/2/11 12

A Bragg spectrometer scatters x rays from crystals. The intensity of the diffracted beam is determined as a function of scattering angle by rotating the crystal and the detector.

When a beam of x rays passes through a powdered crystal, the dots become a series of rings.

The Bragg Spectrometer

20/2/11 13

The Bragg Spectrometer

20/2/11 14

Electron Scattering

George P. Thomson (1892–1975), son of J. J. Thomson, reported seeing electron diffraction in transmission experiments on celluloid, gold, aluminum, and platinum. A randomly oriented polycrystalline sample of SnO2 produces rings.

20/2/11 15

Electron Scattering

•In 1925, Davisson and Germer experimentally

observed that electrons were diffracted (much like x-rays) in nickel crystals.

20/2/11 16

• Các hiện tượng nhiễu xạtrên là bằng chứng về sựtồn tại tính chất sóng củahạt e.

khẳng định Tính đúng đắncủa giả thuyết D.B.

20/2/11 17

Tính bất định của sóng cổ điển

• Xét một sóng trải dài vô tận. • nếu có 1 sóng nữa .... Ta sẽ thu được 1 bó sóng,

định xứ trong vùng ,

• Nếu càng nhỏ thì càng lớn, giữa chúng có mối quan hệ:

• Phản ánh bản chất gắn với tính chất sóng.• Một dạng viết khác:

1 1 1 1sin( ); 2 /y y t k x kω λ π= + =

xΔ

. 1tωΔ Δ ∼

2 2 2sin( )y t k xω +

kΔ xΔ. 1x kΔ Δ ∼

20/2/11 18

• Ví dụ: Một người bán hàng điện tử bán 1 máyđo tần số. Khi cài 1 tín hiệu sin, nó sẽ hiển thịtần số của tín hiệu và sai số của phép đo. Tầnsso này được đo lại và hiển thị thay mới sau 1s. Người bán nói độ chính xác của máy này đạt0,01Hz.

Điều này có đúng không?

20/2/11 19

• Sử dụng hệ thức bất định:• thời gian đo là 1s

• ta tính:

• Theo người bán, độ chính xác là 0,01 Hz. Người bán đã nói sai!

1 1 /t s rad sωΔ = => Δ ∼

. 1tωΔ Δ ∼

2 . 2.3,14.0,01 0,06 /rad sω π νΔ = Δ = =

20/2/11 20

Werner Heisenberg(1901-1976)

20/2/11 21

2.4. Nguyên lý bất định Heisenberg

• Hệ vĩ mô- các đại lượng có giá trị lớn, việc đo đạc khôngảnh hưởng đến bản thân giá trị đó.

• Hệ vi mô, việc đo ảnh hưởng đến giá trị được đo => có độbất định bắt buộc của từng đại lượng, không phụ thuộc vàomáy, mà vào bản chất VL.

• Heisenberg (1925): Ng. Lý bất định :

• Không thể xác định đồng thời chính xác toạ độ và xunglượng của 1 hạt vi mô :

• Phản ánh bản chất của đối tượng vi mô, gắn với tính chấtsóng của các hạt.

• Một dạng viết khác:

. xx p hΔ Δ ≥

.E t hΔ Δ ≥

20/2/11 22

Với dạng viết :

ý nghĩa : Để hoàn thiện độ chính xác của phép đo E cần tốnthời gian đo.

Có thể vay một phần năng lượng, để lên được trạng thái caohơn, rồi lại trả lại trong 1 khoảng thời gian, vẫn bảo toànnăng lượng => hạt có thể chui qua rào thế cao = hiệu ứngxuyên ngầm. LT và thực nghiệm đều thu được kết quả phùhợp: có sác xuất để hạt nằm ở bên kia rào.

.E t hΔ Δ ≥

20/2/11 23

Xét thí nghiệm -> nguyên lý: nhiễu xạ chùm e trên khe hẹp.

• bề rộng khe xác địnhđộ bất định vị trí hạt, bề rộng vân sáng trung tâmcho độ bất định về px,

có đ.k. cực tiểu thứ I:

mà hay

Thực tế, không phải e chỉ rơi vào trong vân sáng trung tâm-còn các vân sáng khác. Khe càng hẹp, chùm càng loerộng=> có bất đẳng thức Heisenberg:

sinx ϕ λΔ =

, . .sinh x p hp

λ ϕ= => Δ = . xx p hΔ Δ =

. xx p hΔ Δ ≥

20/2/11 24

Waves or Particles?•Young’s double-slit diffraction experiment demonstrates the wave property of light.

•However, dimming the light results in single flashes on the screen representative of particles.

20/2/11 25

Electron Double-Slit Experiment•C. Jönsson of Tübingen, Germany, succeeded in 1961 in showing double-slit interference effects for electrons by constructing very narrow slits and using relatively large distances between the slits and the observation screen.

•This experiment demonstrated that precisely the same behavior occurs for both light (waves) and electrons (particles).

20/2/11 26

2.5. Hàm sóng của hạt vi mô- Sóng D.B

• Hạt vi mô = một sóng phẳng D.B., biểu diễn bằng biểuthức toán học gọi là hàm số sóng

• Tương tự như một sóng- một quá trình có các đại lượngbiến đổi liên tục trong không gian và thời gian. Hàm sóngsẽ tuân theo 1 phương trình mô tả quá trình diễn biến đó-là phương trình truyền sóng (p.tr.vi phân theo t và r).

• Xuất phát từ sóng điện từ

• suy ra

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1

1x c tH Hx c t

∂ Ε ∂ Ε=

∂ ∂∂ ∂

=∂ ∂

0( , ) 2 ( )t xE x t E cosT

πλ

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ 01( , ) ( . .

,

)

2

E x t E cos W t p x

hW h pTπν

λ

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎦

= =

⎣

=

20/2/11 27

Hàm sóng của hạt tự do

• Hạt tự do: E, p không đổi => hàm sóng phẳng đơn sắctruyền theo phương chuyển động.

viết lại:

E là năng lượng toàn phần, p- xung lượng của vi hạt• Dạng hàm sóng phụ thuộc theo các thành phần toạ độ:

0 0( , ) . ( )ir t A exp Et pr−⎡ ⎤Ψ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( , , , ) . x y z

i iEt xp yp zpx y z t A e e

− + +Ψ =

20/2/11 28

Hàm sóng của hạt chuyển động trong trường thế

• ví dụ e chuyển động trong nguyên tử- dưới trường lực hútcủa hạt nhân U(r,t)

• Giới hạn: trường lực dừng: U(r,t) không phụ thuộc vào t.=>U(r)• tr. thái dừng E=constan => hàm sóng viết dưới dạng tách

biến thành

Dạng hàm xác định tuỳ theo trường thế U(r) cụ thể.

( , , , ) ( , , )i Et

x y z t e x y zψ−

Ψ =( )rψ

20/2/11 29

2.6. ý nghĩa thống kê của hàm sóng D.B.

• LT sóng: cường độ tỷ lệ với bình phương biên độ hàmsóng

Sóng ánh sáng: cường độ ~ số hạt photon trong chùm• Sóng vật chất D.B., từ các thí nghiệm nhiễu xạ, cường độ

liên quan đến sự phân bố trong không gian của chùm hạt = xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí cho trước.

Bình phương biên độ sóng D.B. cũng xác định xác suất tìmthấy hạt=> ý nghĩa thống kê của hàm sóng.

=> Bình phương modun hàm sóng = mật độ xác suất tìm thấyhạt/1d.v thể tích, tại toạ độ cho trước.

20/2/11 30

Trong trường lực dừng có:

Hàm sóng có các tính chất:• Đk chuẩn hoá

• hàm sóng phải giới nội, • phải đơn trị, liên tục và đạo hàm bậc I liên tục

Sử dụng các điều kiện này ta có thể xác định được hàm sóngứng với 1 trạng thái vật lý xác định (chứ không phảinghiệm toán học tổng quát của ph.tr. vi phân)

2 2( , , , ) ( , , )x y z t x y zψΨ =2

. . .

( , , , ) 1t b k g

x y z t dVΨ =∫

20/2/11 31

• nếu chúng ta hoàn toàn quen thuộc với lối suy xét lượng tử, tức là xét vậtchất dưới góc độ lưỡng tính sóng hạt thì các hệ thức trên trở thành hiểnnhiên, lúc đó mỗi hạt chuyển động được mô tả theo một hàm gọi là hàmsóng , không còn khái niệm vị trí của hạt mà thay bằng xác suất tìm thấyhạt ở một vị trí. Theo thống kê, xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí tỷ lệ vớibình phương biên độ sóng vật chất tại nơi đó.

• Ta thấy các vi hạt không có quỹ đạo xác định trong không gian, thay bằngxem vật chất như một viên bi sờ mó được ta phải khảo sát một sóng dichuyển từ điểm này đến điểm khác trong không gian- tức là xem tất cả cáccon đường khả dĩ với xác suất của mỗi con đường. Như vậy ta có thể liêntưởng với quỹ đạo cổ điển như sau: - con đường thẳng từ A đến B có xácsuất lớn nhất. Như vậy, đại lượng ψ 2(x)dx tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạttrong khoảng nằm giữa x và x+dx, từ đây có thể tính được mật độ xác suất, chính là bình phương hàm sóng.

• Như vậy, vi hạt chỉ có thể ở một trạng thái với một xác suất nào đó. Do đóqui luật vận động của vi hạt tuân theo qui luật thống kê.

20/2/11 32

20/2/11 33

20/2/11 34

• Hàm sóng ψ không mô tả một sóng thực nào trong khônggian mà chỉ cho phép ta xác định xác suất tìm hạt tại mộttrạng thái nào đó.

• Nó mang tính chất thống kê (tuy nhiên ý nghĩa thống kê ởđây khác với thống kê trong vật lý phân tử - có liên quanđến hệ nhiều hạt, còn từng hạt riêng rẽ thì không có tínhthống kê), thống kê trong t/c hàm sóng có quan hệ ngay cảvới từng vi hạt riêng biệt, cũng như đối với tập hợp cáchạt.

20/2/11 35

• vận tốc truyền sóng Đ.B (xét 1 chiều x) được tính như sau:tại t pha P truyền đến điểm x, tại t+dt pha P đó truyền đến điểm x+dx,

vận tốc truyền sóng u cho bởi ph.tr.: P= Et-px = E(t+dt) – p(x+dx) = const ---> E dt- pdx =0do đó

u=dx/dt= E/p= c2/v chính là vận tốc pha

• Ta thấy vận tốc pha lớn hơn v/t ánh sáng--->nó khôngphải vận tốc thông thường.

• chuyển động của các hạt không phải ứng với các sóng đơnsắc riêng biệt mà là ứng với tập hợp các sóng có tần sốgần nhau ---> đó chính là một bó sóng – tức là chồng chậpcủa nhiều sóng có tần số gần nhau , trong một khoảng Δω. Giả thuyết này được thực nghiệm công nhận bằng kết quảnhiễu xạ có bề rộng của vạch phổ.

20/2/11 36

Theo Lý thuyết sóng, biên độ của bó sóng là tổng hợp biên độ của các sóng, từđó có thể tìm được hàm sóng của bó sóng : ψ = B e-(i/h)(Et-pr )

Δp là gia số về xung lượng ứng với các sóng trong bó sóng.Ta thấy biên độ B của bó sóng thay đổi trong không gian và thời gian.

Ta tính vận tốc chuyển động của cả bó sóng- chính là vận tốc nhóm- và cũngchính là v/t dịch chuyển 1 biên độ nào đó của bó sónguận như với v/t pha, ta được vận tốc nhóm u’ = dx/dt = ∂E/∂p

Vì đối với các hạt tự do, E= c(p2 + m2c2)1/2 , nên u’= c2p/E = vNhư vậy vận tốc nhóm của bó sóng bằng vận tốc của hạt chuyển động.

20/2/11 37

Như vậy vận tốc nhóm của bó sóng bằng vận tốc của hạt chuyển động.

Sự phụ thuộc của biên độ B vào ở thời điểm t=0 cho thấy: ở điểm = ±π, biênđộ đó = 0, ở điểm =0 (ứng với x=0), biên độ đạt cực đại.

Do đó lúc t=0 bó sóng có thể xem như chỉ tập trung trong miền cực đại ở giữa, nghĩa là trong miền Δ= Δp Δx/2 = π, miền này được coi như là tâm của bósóng.

Vậy tâm của bó sóng chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của hạt chuyểnđộng, nghĩa là hạt chuyển động đồng thời với tâm của bó sóng---> Bó sóngmô tả tính định xứ của hạt.

Ta nói: Nếu ta xem hạt thì sóng D.B luôn đi kèm theo , còn nếu ta xem nhưsóng vạt chất D.B. thì hạt chuyển động cùng trong sóng rồi.

A particle can never escape its wave nature! Hạt không thể nào trốn khỏi bản chất sóng của nó.

20/2/11 38

2.7. Phương trình cơ bản SchrÖdinger

• SchrÖdingơ đã phát triển và tổng quát hoá khái niệm sóngvật chất của Đ.B., bằng cách tìm phương trình sóng đặctrưng cho hệ lượng tử.

• Nếu một hệ có tính chất sóng, nó sẽ được biểu diễn bằnghàm sóng và hàm sóng đó thoả mãn phương trình sóng, đóchính là ph.tr. Sch., do ông ta tìm ra vào 1926.

• Đây là ph. tr. sóng, mô tả trạng thái động lực học của hệlượng tử trong không gian và thời gian.

• Tương đương với ph.tr. II Niu tơn trong cơ học cổ điển, hay ph.tr. truyền sóng trong cơ học sóng.

• Nó phải là ph.tr. vi phân theo t và r.

20/2/11 39

Phương trình Schrodinger phụ thuộc t (tổng quát)

• Trạng thái VL ứng với Hàm sóng tổng quát:

• Ta đạo hàm theo t và x, bậc 1,2, thu được:

( )( , , , ) . x y z

i iEt xp yp zpx y z t A e e

− + +Ψ =

2 2 2 2

2 2 2 2

px y zψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂i E

tψ ψ∂

= −∂

20/2/11 40

• Trong trường lực thế, năng lượng toàn phần: E=T+U=(p2/2m)+U =>

• Thay các số hạng :

nhận được:

là ph. tr. Schrodinger dạng tổng quát.

2 2 2 2

2 2 2 2

px y zψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂i E

tψ ψ∂

= −∂

2E =(p /2m) +Uψ ψ ψ

2 2 2 2

2 2 2( ) (1)2

i Ut m x y zψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂

= − + + +∂ ∂ ∂ ∂

20/2/11 41

Phương trình Schrodinger dừng

• U(r,t)=U(r)

• Thay vào (1):

• Hay:

gọi là ph. tr. Sch. dừng.

• Hạt tự do U=0

2 2 2 2

2 2 2( )2

i i iEt Et EtE e e U e

m x y zψ ψ ψψ ψ

− − −∂ ∂ ∂= − + + +

∂ ∂ ∂

( , , , ) ( , , )i Et

x y z t e x y zψ−

Ψ =

2 2 2

2 2 2 2

2 ( ) 0 (2)m E Ux y zψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂+ + + − =

∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 2 2

2 0 (3)m Ex y zψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂

20/2/11 42

ý nghĩa và điều kiện sử dụng ph. tr. Schrodinger

• Như ph.tr. Niutơn hay ph.tr. truyền sóng trước đây.

• Chỉ xét cho hạt chuyển động có đặc tính phi tương đối(v<<c)

• Khi chuyển động tương đối tính thì phải dùng ph. tr. Dirac, sẽ học trong CH lượng tử

• Nghiệm giải ra chưa có ý nghĩa VL, phải sử dụng ĐK củahàm sóng (t/c xác suất) thì nghiệm sẽ xác định và lànghiệm vật lý.

20/2/11 43

2.8. VD cụ thể: Hạt trong giếng thế

• Hạt chỉ chuyển động trong phạm vi giới hạn (miền II) bởi 1 rào thế (chiều cao lớn)

(ví dụ e trong tinh thể)• Vi mô-> hạt có t/c sóng, trạng thái chuyển động này biểu diễn

bằng 1 hàm sóng- nghiệm của p.tr. Sch. với thế năng là U(r)

0 l x

I II III

20/2/11 44

• Trường hợp đơn giản nhất- cho chiều cao giếng là vô hạn:

U=0 khi 0<x<l (miền I)U= khi x<0 và x>l (miền II và III)Miền I: Trong giếng, hạt coi là tự do (p.tr.3)

Đặt có:

Nghiệm có dạng:

với xác định từ đk hàm sóng.

2

2 2

2 0m Exψ ψ∂+ =

∂22

2 0mK E= > 22

2 0d Kdxψ ψ+ =

( ) sin( )x A Kxψ α= +

, ,A K α

0 l x

II I III∞

20/2/11 45

ĐK. biên- đk chuẩn: tại x=0 và x=l: hạt bị nhốt, nên tại biên

=> nghiệm là một dẫy:

• Ta tìm A từ đk chuẩn hoá

với

=> =>

=> Trạng thái của hạt ở trong giếng thế đã bị lượng tử hoá(gồm các trạng thái gián đoạn)

(0) ( ) 0

, 1, 2..

0l

Kl n nK nlπ

ψ ψ α

π

= = => =

= = ± ±= =>( ) sin( )n

nx A xlπψ =

2

. . .

( , , , ) 1t b k g

x y z t dVΨ =∫

2 2 2 20

1( ) 1 sin 12

nnx dx A xdx A ll n

πππ

= = = =0 0

l l

ψ φ∫ ∫ nl

xπφ =2Al

= 2( ) sin( )nnx x

l lπψ =

20/2/11 46

Thay K vào E ta có:

với n= 1,2,3...

• => Năng lượng luôn khác 0 và gián đoạn,

• Năng lượng nhỏ nhất khi n=1,

• Phổ năng lượng gián đoạn, mô tả chuyển động của một hạttrong giếng thế với thành cao vô hạn.

• Các hàm sóng tương ứng là

2( ) sin( )nnx x

l lπψ =

2 22 2

2 22 8n

hE n nml ml

π 2= =

20/2/11 47

Chuyển động của một hạt trong giếng thế với thành cao vôhạn có Năng lượng và hàm sóng khả dĩ là

với n=1,2,..

Xem phân bố hạt:=>Hạt có E thấp nhấtthường ở giữa giếng, vớiE cao hơn thì khác hẳn.

• KL này trái hẳnvới cơ học cổ điển!

là do T/c sóng dẫn đến =>

khẳng định Lưỡng tính sóng hạt của vật chất

2( ) sin( )nnx x

l lπψ =2

2

22

2

2

n nml8hn

ml2E =

π=

2

2Ψ

20/2/11 48

2( ) sin( )nnx x

l lπψ =2

2

22

2

2

n nml8hn

ml2E =

π=

2

20/2/11 49

20/2/11 50

tự tìm hiểu: Nếu chiều cao thành giếng là hữu hạnthì bức tranh sẽ như sau: