Увод Настоящите учебни материали по дисциплината ''Числени методи`` са предназначени за студенти-бакалаври от инженерните специалности в ХТМУ.

Разгледани са основните класически методи за приближено решаване на задачи от линейната алгебра, диференциалното и интегрално смятане на функция на една променлива, обикновените и частни диференциални уравнения.

Числените методи и тяхното изложение са съобразени с действащите учебни програми в ХТМУ, а също така и със знанията и уменията на студентите от бакалавърската степен на обучение във ВТУЗ. Доказателствата на основните твърдения не са дадени, но те могат да се намерят в учебник от цитираната литература. По-голяма част от разгледаните методи са илюстрирани с примери. Материалите ще бъдат полезни и за студенти от други ВТУЗ, а също така и за специалисти ползващи числени методи в тяхната практика.

Лекциите са подредени по теми. Всеки числен метод има описание, ограничения, при които може да се прилага, и оценка на грешката. Курсовите задачи и тестовете са необходими допълнителни материали при действащата кредитна система в ХТМУ. Курсови задачи 1 и Тест 1 са върху учебният материал от първите четири теми, останалите теми се обхващат от Курсови задачи 2 и Тест 2.

При подготовката на един курс на конвенционален или електронен носител, която е трудна и отговорна задача, участват не само авторите но и други колеги. Ето защо авторът изказва искрена благодарност на гл.ас.д-р М.Станев за предоставените лекции и направените корекции по включените лекции и задачи, а също така и на всички приятели и колеги за дискусиите, допринесли за окончателното оформление и визуализация на подготвените материали по курса.

Грешки Дефиниция 1.1   Нека е точно число. Ще казваме, че числото е негово приближение, ако те се различават ''незначително``. Ще използваме означението

, ако е приближение на числото .

Ако , то се казва че е приближение на с недостиг (''отдолу``), в противен

случай ( ) - с излишък (''отгоре``).

Всяко положително число в десетична бройна система се представя във вида:

(1.1)

1

където e естествено число, , и . Например:

Математически операции с константите , , и др. се извършват с техни приближения, т.к. е невъзможно те да се запишат с крайна десетична дроб. Ето някои техни закръгления (приближения) с крайни десетични дроби:

В някои случаи, е по-удобно да се работи с числа записани с малко на брой цифри. Данните получени по експериментален път не винаги са точни, ето защо се налага да закръгляваме числата.

Приближаване на числа Има различни начина за получаване на приближения на числа. Най-простият начин е чрез нулиране (''отсичане``) на младшите разреди. Най-често числата се закръгляват аритметично.

Дефиниция 1.2   Нека и са естествени числа и

. Ще казваме, че числото е приближение на числото с верни цифри (знака), ако

(1.2)

Например, числото е приближение на числото с три верни цифри:

и не е приближение с четири верни цифри, тъй като:

Ако числото е представено във вида (1.1), то числото

   

2

където

е приближение (закръгление) на с верни цифри (знака), . Забележка 1.1   Вместо терминът ''верни`` цифри се използва и ''верни значещи`` цифри.Забележка 1.2   Терминът ``верни цифри'' не е буквален, т.е. ако с верни цифри, това не означава, че съответните цифри на двете числа са равни. Например

е приближение на с три верни цифри и всички цифри на тези числа са различни.

Абсолютна и относителна грешка

Дефиниция 1.3   Нека е приближение на числото . Тогава числото ще наричаме абсолютна грешка на приближението . Всяко число , за което

се нарича пределна абсолютна грешка.Дефиниция 1.4   Нека е приближение на числото . Тогава числото

ще наричаме относителна грешка на приближението . Всяко

число , за което се нарича пределна относителна грешка.Следващата теорема дава зависимост между относителната грешка и броя верни знаци. Теорема 1.1   Нека е реално, положително число и негово приближение с верни цифри,

(1.3)

Тогава за относителна грешка е валидно следното неравенство Пример 1.1   Каква е относителната грешка ако приближаваме числото с ?

Решение. Числото

3

Ето защо, с точност верни значещи цифри. Прилагаме теорема 1.1,

където , и . Следователно

Пример 1.2   С колко на брой цифри трябва да пресметнем числото , за да получим приближение с относителна грешка ?

Решение. Очевидно ако представим числото във вида (1.3), то

, и . Решаваме неравенството и

получаваме . Следователно за да получим относителна грешка е необходимо да пресметнем поне 4 цифри на числото .

Забележка 1.3   В поставената задача не се търси конкретното приближение. Все пак

т.е. е приближение с абсолютна грешка .

Твърденията на следващата теорема дават някои зависимости между абсолютната и относителна грешки на приближението.

Теорема 1.2   Нека е приближение на числото и нека и са абсолютна и относителна грешки на приближението, съответно. Тогава:

1. Ако    то

2. Ако , то .

Грешки при операциите събиране и изваждане

4

В следващата теорема е получена оценка за абсолютната грешка при операцията събиране на числа.

Теорема 1.3   Нека и са приближения на числата и , съответно, с абсолютни

грешки на приближенията , . Тогава абсолютната

грешка на сумата (разликата) на числата и е по-малка или равна на .Пример 1.3   Нека и са приближения на числата и

, съответно. Да се намери абсолютната и относителни грешки на

разликата .

Решение. От теорема 1.3 следва, че .

Последователно пресмятаме относителните грешки на приближенията:

Забележка 1.4   Ще отбележим, че при операцията изваждане може да се получи голяма загуба на точност. От пример 1.3 се вижда, че относитлната грешка на разликата е повече от 130 пъти по-голяма от относителната грешка на умаляемото и повече от 4000 пъти по-голяма от относителната грешка на умалителя. Ето защо се препоръчва тази операция да се замества с други аритметични операции, когато

това е възможно. Например, за численото пресмятане на израза е по-

добре да го преобразуваме до .

Грешки при операциите умножениe и деление В следващата теорема е получена оценка за абсолютната грешка при операцията умножение на числа.

Теорема 1.4   Нека и са приближения на числата и , съответно, с

относителни грешки , , и . Тогава относителната грешка на

5

произведението (частното) на числата и е по-малка от или равна на

.

Забележка 1.5   Нека с относителна грешка и c относителна

грешка . На практика, тъй като то двете приближения

и се приемат, че са с относителна грешка .Пример 1.4   Нека и с приближения на числата и с 4 верни цифри. Да се определи относителната грешка на произведението . Да се определи броят на верните знаци в числото .

Решение. От теорема 1.1 следва, че

и

Тогава

От следва, че . От (1.2) следва, че

произведението има двe верни цифри. Ето защо , т.е.

.

Забележка 1.6   Резултатите от теореми 1.3 и 1.4 за пресмятане с приближени числа на практика се прилагат под формата на следните правила:

-- при операцията събиране (умножение) всички събираеми (множители) се закръгляват до порядък на събираемото (множителят) с най-голяма абсолютна грешка, след това се извършва действието;

-- абсолютната грешка на сума е приблизително равна на сумата от абсолютните грешки на събираемите;

-- близки числа не се изваждат - може да се получи голяма загуба на точност;

-- относителната грешка на произведение е приблизително равна на сумата от относителните грешки на множителите и др.

6

Числено решаване на нелинейни уравнения В настоящата глава, ще разглеждаме уравнения от вида

(2.1)

където функцията е дефинирана и непрекъсната в числовото множество

.

Дефиниция 2.1   Числото , , се нарича корен на уравнение (2.1) ако . Множеството от всичките корени се нарича негово решение.

Ако функцията в уравнението (2.1) е трансцендентна или алгебрична, или съдържа приблизително определени коефициенти, то точно да се намерят корените на (2.1) е невъзможно. Ето защо са разработени много числени методи за приближено намиране на корените на уравнение (2.1).

Задачата за числено намиране на корените на (2.1) се състои от два етапа:

1. Отделяне на корените. Определяме интервали , които съдържат единствен корен на (2.1).

2. Приближаване (или уточняване) на корена. Чрез подходящ числен метод, намираме отделеният корен на (2.1) с предварително зададена точност.

Отделяне на корените

Нека функцията е дефинирана и непрекъсната в множеството . Разглеждаме уравнението

(2.2)

7

Дефиниция 2.2   Ще казваме, че корена на уравнение (2.2) е отделен (изолиран), ако

съществува интервал от дефиниционното множество на , който не съдържа

други корени на уравнението освен , т.е. , и за

.Корените на дадено уравнение могат да се отделят графично и аналитично.

Графичен метод

Графичният метод се прилага като се начертае графиката на функцията

, . Приблизително се отделят корените на уравнението

, , които са пресечните точки на графиката на функцията с

абсцисната ос виж фигура 2.1. В случай, че уравнението се преобразува

до (еквивалентно) уравнение от вида , то корените са абсцисите на

пресечните точки на графиките на функциите и , виж фигура 2.2.

Аналитичен метод

Следващата теорема е известна от курса по математически анализ - теорема на Болцано. Тя дава отговор на въпроса за съществуване на корен на уравнение (2.2)

в даден интервал .

Теорема 2.1   Нека функцията е дефинирана и непрекъсната в и

. Тогава съществува точка такава, че .

От тази теорема следва, че уравнение (2.2) има поне един корен в интервала . Въпросът за единственост на корена е конкретизиран в следващата теорема.

Теорема 2.2   Нека са изпълнени условията на теорема 2.1, е диференцируема

функция и е с постоянен знак в интервала . Тогава корена е единствен.

Пример 2.1   Да се отделят корените на урванението .

8

Figure 2.1:

Решение. Пресмятаме . Първата производна се анулира при

. Очевидно е, че за и в

, виж фигура 2.1, на която е изобразена графиката на функцията в интервала

.

Пресмятаме стойностите на функцията в точките , 0 , и :

От теорема 2.2 следва, че разглежданото уравнение има два корена, в интервалите

и .

Корените на уравнението могат да се отделят и графично. Уравнението се записва

в еквивалентна форма . Начертават се графиките на функциите

и . Абсцисите на пресечните точки са корените на уравнението, виж фигура 2.2.

9

Figure: и Теорема 2.3   Нека са изпълнени следните условия:

1. Функцията е дефинирана и непрекъснато диференцируема в и

.

2. Съществува число такова, че , за всяко .

Тогава съществува точка такава, че и за всяко е валидно следното неравенство:

(2.3)

Пример 2.2   Нека числото е приближение на корена на уравнението

в интервала . Да се оцени абсолютната грешка на приближението.

Решение. Изпълнено е:

и

Ето защо в интервала уравнението има поне един корен. Очевидно

за всяко . Следователно в интервала

, уравнението има единствен корен . Нека

Прилагаме теорема 2.3 и получаваме:

10

т.е. числото е приближен корен на уравнението с точност .

Метод на бисекциите Разглеждаме уравнението

(2.4)

Нека функцията е дефинирана и непрекъсната в интервала и нека

. По-нататък ще предполагаме, че интервалът съдържа

единствен корен на уравнение (2.4).

За да намерим корена на уравнението (2.4) в интервала , разделяме този

интервал на два равни подинтервала, т.е. , където .

Ако , то е корен на уравнението. Ако , то избираме

този подинтервал или , за който в крайщата му, функциата приема стойности с противоположни знаци. Така избрания подинтервал ще означаваме с

. Отново разделяме интервала на два подинтервала с равна

дължина, , . Ако , то

. Ако , то избираме подинтервала или ,

за който, в крайщата му, функциата приема стойности с противоположни

знаци. Така избрания подинтервал означаваме с и т.н.

11

По този начин намираме корен на уравнението (2.4) или безкрайна редица от затворени интервали:

които са вложени един в друг, с дължина

за всяко(2.5)

при това

за всяко(2.6)

Очевидно редицата е монотонно растяща, а редицата е

мнонотонно намаляваща. Тогава от (2.5) следва, че съществува точка такава, че

. От друга страна ако в неравенството (2.6) извършим

граничен преход при то , т.е. е корен на (2.4).

Изложеният по-горе метод се нарича метод на бисекциите за числено решаване

на уравнения. За приближение на корена се приема или , или или

. Очевидно са в сила неравенствата:

които дават оценка на грешката на метода. Пример 2.3   По метода на бисекциите да се намери корена на уравнението

в интервала с точност .

Решение. От оценката за грешката на метода на бисекциите

получаваме , т.е. броят на итерациите се определя от

неравенството откъдето получаваме .

12

Нека . Последователно пресмятаме: ,

, , останалите резултати са дадени в таблица 2.1.

Table 2.1:

1 0.7 1 -0.1169 1 0.85 0.28613125

2 0.7 0.85 -0.1169 0.2861 0.775 0.0512347656

3 0.7 0.775 -0.1169 0.0512 0.7375 -0.0405351318

4 0.7375 775 -0.0405 0.0512 0.75625 0.0033457047

За корен на разглежданото уравнение може да бъде прието числото

с точност .

Метод на Нютон Нека уравнението

(2.7)

има единствен корен в интервала . Ще предполагаме, че функцията

е два пъти непрекъснато диференцируема в , т.е. .

Нека е -то приближение на корена на уравнението (2.7)

(приближението може да бъде получено например по метода на бисекциите). Полагаме

(2.8)

13

От теоремата на Тейлор, приложена за функцията , следва

Следователно

Заместваме в (2.8) и получаваме

(2.9)

Методът на Нютон за приближаване на корена на уравнението (2.7) се базира на изложените по-горе разсъждения и следната теорема.

Теорема 2.4   Нека са изпълнени следните условия:

1. Функцията и .

2. Производните и не се анулират в .

3. Началното приближение е точка от , за която е валидно .

4. Дефинирана е редицата от точки съгласно формулата

(2.10)

Тогава:

1. Уравнението (2.7) има единствен корен в интервала .

2. Редицата е монотонна и сходяща към , т.е. .

3. Изпълнено е неравенството , където

14

и .

4. Съществува естествено число такова, че за .Забележка 2.1   От третото твърдение на теорема 2.4, не е трудно да се съобрази,

че ако и , то .Пример 2.4   По метода на Нютон да се намери най-малкият положителен корен на уравнението

с точност .

Figure:

Решение. В интервала разглеждаме уравнението

което е еквивалентно на . Търсеният корен на уравнението

принадлежи на интервала ,

Figure:

15

(виж фигури 2.3 и 2.4), тъй като и . Пресмятаме:

Следователно и при . От факта, че

, следва, че за начално приближение избираме .

Тогава . За да пресметнем грешката, ще използуваме теорема 2.3:

където с сме означили корена и

Пресмятаме второто приближение

и съответната грешка

Следователно, приближение на корена на разглежданото уравнение е с точност .

16

Метод на простата итерация Един от често използуваните методи за числено решаване на нелинейни уравнения е метода на простата итерация. Нека е дадено уравнението

(2.11)

където е непрекъсната функция в даден интервал, в който е отделен корена. Преобразуваме уравнението (2.11) в следния еквивалентен вид:

(2.12)

Това винаги може да бъде постигнато. Например, достатъчно е да положим

.

Нека е приближение на корена на уравнението (2.12) и нека

(2.13)

В дясната страна на равенството (2.13), заместваме с и нека и т.н. В резултат получаваме безкрайна числова редица

(2.14)

Ако съществува границата и ако функцията е непрекъсната, то

е корен на уравнението (2.12). Наистина, от (2.14) следва, че

Ето защо

В следващата теорема са формулирани достатъчни условия за сходимост на итерационната редица (2.14).

Теорема 2.5   Нека са изпълнени следните условия:

1. Функцията е дефинирана и диференцируема в интервала и за всяко

17

следва, че .

2. Съществува число такова, че . Тогава:

1. За всяко итерационната редица (2.14) е сходяща.

2. Числото е единственият корен на уравнението (2.12). 3. Валидни са неравенствата

4. Ако , то , .Забележка 2.2   Заключенията на теорема 2.5 остават валидни, ако условието за

диференцируемост на функцията е заменено със следното по-общо условие -

функцията е Липшицова с константа на Липшиц .

Дефиниция 2.3   Функцията се нарича Липшицова, ако съществува константа

, такава че за всеки две точки е валидно неравенството

. Числото се нарича константа на Липшиц за

функцията .

Figure 2.5: Забележка 2.3   За да изясним геометричната интерпретация на итерационния метод

(2.14), нека с означим пресечната точка на графика на функцията ,

с правата , виж фигура 2.5.

18

На фигура 2.5 е илюстриран случая, когато функцията е монотонно растяща с

. Абсцисата на точката е . Нека точката има координати

при това . Построяваме точките , ,

( ), Очевидно абсцисите на

точките са . Редицата има за граница абсцисата на , т.е. корена на уравнението (2.12).

На фигура 2.6 е показан случай с . Означенията са аналогични на съответните от фигура 2.5.

Figure 2.6:

Очевидно в двата разглеждани случая.

Пример 2.5   Да се определи корена на уравнението с точност .

Решение. Нека . От , и теорема 2.2 следва, че разглежданото уравнение има единствен корен в интервала

, виж фигура 2.7.

19

Figure:

Представяме даденото уравнение във вида виж фигура 2.8.

Полагаме .

Figure:

Имаме, че

От и теорема 2.5 следва, че итерационната редица

е сходяща. Пресмятаме

За да оценим грешката ще използуваме твърдение 4 на теорема 2.5:

Пресмятаме следващото приближение на корена

20

и грешката

При третата итерация, получаваме:

като грешката на приближението е

и т.н. Първите пет приближения са дадени в таблица 2.2.

Table 2.2:

грешка

  =1.5

1 1.7316 0.2316

2 1.6480 0.0836

3 1.6792 0.0312

4 1.6678 0.0114

5 1.6719 0.0041

Грешката получена при петата итерация е по-малка от зададената точност. Ето

защо за корен на уравнението може да приемем с точност

.

Забележка 2.4   Уравнението

(2.15)

притежава безбройно много еквивалентни уравнения от вида

(2.16)

За прилагане на метода на простата итерация е необходимо да е изпълнено

.

21

Нека е непрекъснато диференцируема функция в интервал и нека

Например, нека , .

Записваме уравнението (2.15) в еквивалентния му вид

Тогава

Числено решаване на линейни системи алгебрични уравнения Методите за решаване на линейни системи алгебрични уравнения са два вида: екзактни (точни) и числени. Към точните методи спадат: формулите на Крамер, методите на Гаус и Гаус-Жордан и др. В повечето случаи екзактните методи са неприложими поради тяхната трудоемкост. Тогава се използват числени методи за решаване на такива системи. По-нататък ще разгледаме методът на простата итерация и методът на Зайдел.

Норми на матрици

Дефиниция 3.1   Нека е матрица с размерност . Ще казваме, че числото

е норма на матрицата , ако то удовлетворява следните условия: 1.

и , тогава и само тогава когато , е нулевата матрица от същата рамерност,

2.

за всяка константа , 3.

, където е матрицата еднотипна на ,

22

4.

, където матрицата е с размерност .

Пример 3.1   Ще разгледаме следните примери за норма на матрицата

, , :

- норма по ред,

- норма по стълб,

- средноквадратична норма.

Всяко от числата , , удовлетворява условията на дефиниция 3.1.

Забележка 3.1   По-нататък ще използваме само норма по ред, т.е. .Дефиниция 3.2   Ще казваме, че е зададена една редица от еднотипни матрици, ако

на всяко естествено число е съпоставена матрица .

Дефиниция 3.3   Нека , , , е

редица от квадратни матрици с размерност . Ще казваме, че редицата от

матрици е сходяща към матрицата , , ако за всяко

е изпълнено .

Теорема 3.1   Необходимо и достатъчно условие редицата от матрици да е

сходяща към е .

Метод на простата итерация Разглеждаме системата алгебрични уравнения

23

Тази система може да се запише в матрична форма така

(3.1)

където

Чрез еквивалентни преобразования изходната система се свежда до система от вида

Горната система може да се запише така

(3.2)

където

Методът на простата итерация е предназначен за решаване на линейни системи от вида (3.2), които са определени, т.е. притежават единствено решемие.

Избира се произволно начално приближение на точното решение на

системата (3.2). Обикновено . С помощта на рекурентната формула

24

(3.3)

получаваме редицата от вектори

(3.4)

Лесно се установява, че ако редицата от вектори (3.4) е сходяща към , т.е.

, то е решение на (3.2). От итерационната формула (3.3) при

следва .

Достатъчно условие за сходимост и оценка на грешката на метода на простата итерация за системи от вида (3.2) дава следната теорема.

Теорема 3.2   Нека ( е единичната матрица с размерност ) е неособена матрица и нормата на матрицата е по-малка от единица, т.е.

. Тогава:

1. Системата (3.2) има единствено решение .

2. Редицата от вектори (3.4) е сходяща при това .

3. Оценка на грешката се дава с неравенството

за всеки ненулев вектор .

Забележка 3.2   Условието не винаги е изпълнено. В този случай може

да се намери еквивалентно преобразование, което свежда системата до

. Процедира се по следния начин:

1. Пресмята се нормата на матрицата на изходната система (3.1).

25

2. Образува се диагонална матрица , където числото 3. Пресмята се матрицата .

4. Намира се обратната матрица на .

5. Образува се матрицата .

6. Пресмята се векторът .

Изпълнено е:

където .

Дефиниция 3.4   Ще казваме, че матрицата е с преобладаващ главен диагонал

(диагонално преобладаваща), ако за всяко са изпълнени неравенставата

.Забележка 3.3   Нека матрицата е с преобладаващ главен диагонал. Тогава системата (3.1) може да се преобразува до

26

където

При това нормата на матрицата удовлетворява неравенството поради факта, че са валидни неравенствата:

В сила е следната теорема Теорема 3.3   Ако системата (3.2) е определена, то необходимо и достатъчно условие редицата от вектори (3.4) да е сходяща е модулите на всички собствени стойности на матрицата да са по-малки от единица.Забележка 3.4   На практика, итерационният процес се прекратява, когато разликата между две съседни приближения стане по-малка от избраната точност , т.е.

   ако Пример 3.2   По метода на простата итерация да се реши системата

с точност .

Решение. Матрицата на системата е диагонално преобладаваща. Методът на

простата итерация ще бъде сходящ, ако от първото уравнение изразим , от

второто - и от третото - , т.е.

Итерационните формули на метода на простата итерация са:

27

Избираме за начално приближение на решението:

Тогава първото приближение е:

Проближенията са дадени в таблица 3.1. Table 3.1:

0 1 1.2 0.8

1 0.68 0.94 0.58

2 0.754 1.016 0.638

3 0.733 0.997 0.623

4 0.738 1.002 0.627

5 0.737 1.001 0.626

Изпълнено е , затова , ,

. Точното решение на системата е , ,

. Валидно е неравенството .

Метод на Зайдел

28

Разглеждаме системата

(3.5)

където: матрицата , , ненулевия вектор

. Рекурентните формули на метода са

(3.6)

Тези формули могат да се запишат и матрично

(3.7)

ако въведем матриците и ,

Забележка 3.5   От равенство (3.7) получаваме

т.е. методът на Зайдел може да се определи като метод на простата итерация за числено решаване на системи от вида (3.5).

Ограниченията за метода на Зайдел sa същите както при метода на простата итерация. Валидна е теоремата

Теорема 3.4   Нека са изпълнени условията на теорема 3.2. Тогава:

29

1. Редицата от вектори , получени с (3.6), е сходяща

при това , където е решението на система (3.5). 2. Оценка на грешката се дава с неравенството

, където:

, .Пример 3.3   По метода на Зайдел да се реши системата

с точност .

Решение. Матрицата на системата е диагонално преобладаваща, затова системата преобразуваме във вида

Table 3.2:

0 1.238 0.198 1.382

1 1.119 0.580 1.577

2 1.282 0.703 1.606

3 1.340 0.715 1.610

4 1.347 0.716 1.610

5 1.348 0.716 1.610

30

Итерационните формули на метода на Зайдел с точност са:

За начално приближение взимаме: , , . Тогава първото приближение по метода на Зайдел е:

,

,

.

Приближенията са дадени в таблица 3.2.

Изпълнено , затова , ,

.

Числени методи за намиране на собствени стойности и собствени вектори на квадратна матрица При решаване на теоретични и практични задачи често се налага да се намерят собствените стойности и собствените вектори на дадена матрица. Собствените стойности се търсят като корени на характеристичния полином и след това се определят съответните им собствени вектори. Ето защо, тази задача се състои от три подзадачи: намиране на характеристичния полином на матрицата,

31

определяна на собствените стойности и накрая получаване на собствените вектори.

Собствени стойности и вектори

Дефиниция 4.1   Нека е квадратна матрица с размерност . Ще казваме, че

числото и векторът са собствена стойност и собствен вектор съответстващ на собствената стойност , ако е валидно равенството

(4.1)

Забележка 4.1   Собствените вектори са определени с точност до мултипликативна

константа. Нека: е квадратна матрица, е нейна собствена стойност и е

собствен вектор съответстващ на . Тогава векторът , , е също собствен вектор на матрицата, съответстващ на собствената стойност . Действително

Храктеристично уравнение и характеристичен полином Нека:

Равенство (4.1) е еквивалентно на следните равенства:

Последното равенство маже да се запише във формата на система

32

(4.2)

Съгласно дефиниция 4.1 горната хомогенна система от алгебрични уравнения с

неизвестни има ненулево решение ( ). Следователно . Дефиниция 4.2   Уравнението

(4.3)

се нарича характеристично уравнение на матрицата .Ясно е, че

Дефиниция 4.3   Полиномът

(4.4)

се нарича характеристичен полином (ХП) на матрицата .Забележка 4.2   Собствените стойности на матрицата са нули на характеристичния и полином.Забележка 4.3   От алгебрата е известно, че всеки полином от -та степен има точно на брой нули (взети с тяхната кратност) над полето на комплексните числа

.Дефиниция 4.4   Множеството от всички собствени стойности на една матрица се нарича спектър.Дефиниция 4.5   Следа на една матрица sp се нарича сумата от нейните елементи

по главния диагонал, т.е sp .

Забележка 4.4   От алгебрата е известно, че sp , . При е

валидно равенството .Дефиниция 4.6   Ще казваме, че матрицата има прост спектър, ако всички нейни собствени стойности са реални и различни помежду си, т.е. каноничният вид на ХП е

33

където: , , и , .

Ще припомним някои известни факти от алгебрата, които ще използваме по-нататък.

Дефиниция 4.7   Ще казваме, че ненулевите вектори , са линейно

зависими, ако съществуват на брой константи не всичките

равни на нула ( ) такива, че линейната комбинация

.

В противен случай, векторите се наричат линейно независими в .Дефиниция 4.8   Всяка система от на брой линейно независими вектори от се нарича базис в .Теорема 4.1   Пространството притежава базис

Пример 4.1   Векторите , , където:

образуват базис в .

Теорема 4.2   Всяка система от на брой вектори в са линейно зависими.Теорема 4.3   Всяка система от на брой вектори в е базис тогава и само тогава, когато всеки вектор от може да се представи по единствен начин като тяхна линейна комбинация

Забележка 4.5   Нека , , са на брой линейно независими вектори

в . Тогава всеки - мерен вектор може да се представи по единствен

начин като линейна комбинация на векторите , т.е. съществуват

на брой константи такива, че

34

Теорема 4.4   Нека е квадратна матрица с размерност и има прост спектър

, чиито собствени вектори са съответно:

.

Тогава векторите са линейно независими, т.е те образуват базис в .

Теорема 4.5 (Кейли-Хамилтон)   Нека е квадратна матрица с размерност и

e нейния характеристичен полином. Тогава

е нулева матрица с размерност , т.е. всяка квадратна матрица е корен на своето характеристично уравнение.

Метод на Крилов за намиране на характеристичен полином на квадратна матрица

Нека е квадратна матрица с размерност и

е нейният характеристичен полином, чиито коефициенти са неизвестни. От теорема 4.5 следва

(4.5)

Избираме произволен ненулев вектор . Умножаваме матричното равенство 4.5) с този вектор и получаваме

(4.6)

35

Въвеждаме следните вектори:

Тогава векторното уравнение (4.6) може да се запише като

Последното равенство разписано по координати ни дава следната линейна система алгебрични уравнения:

(4.7)

Следователно, коефициентите на характеристичния полином на матрицата се получават като решение на горната система. Забележка 4.6   Ако системата (4.7) няма единствено решение или е несъвместима,

то се избира друг начален вектор и процедурата се повтаря.Пример 4.2   Да се намери ХП на матрицата

Решение. Нека . Векторите , са:

Тогава системата (4.7) за определяне на коефициентите на ХП е:

36

Окончателно получаваме, че ХП е

Собствените стойности , , на матрицата са нулите на ХП или

корените на уравнение . Собствените вектори се получават като

решение на хомогенната система (4.2) за всяка собствена стойност .

Степенен метод за намиране на най-голямата по модул собствена стойност на квадратна матрица с прост спектър

Нека е квадратна матрица с разнерност с прост спектър и е най-

голямата и по модул собствена стойност, т.е. .

Нека са съответните собствени вектори на матрицата . Съгаласно теорема 4.4 те образуват базис в . Избираме произволен ненулев

вектор , който може да се представи

Пресмятаме векторите:

(4.8)

37

Ще използваме следните означения:

т.е. -та координата на вектора може да се запише като

(4.9)

Валидна е следната теорема. Теорема 4.6   Нека са изпълнени следните условия:

1. е квадратна матрица с разнерност , с прост

спектър и е най-голямата и по модул собствена стойност, т.е.

.

2. са собствените вектори на матрицата съответстащи на

, .

3. , , е редица от вектори, като . Тогава при е в сила равенството

Забележка 4.7   Горната теорема можем да модифицираме с помощта на равенството

38

Забележка 4.8   Приема се, че собствената стойност със собствен

вектор , когато , където е зададената точност.Пример 4.3   Да се намери максималната по модул собствена стойност и съответния й собствен вектор на матрицата

.

Решение. Нека . Пресмятаме векторите ,

, които са дадени в следната таблица:

5 24 111 504 2268 10161 45423 202833 905238 4038939

4 15 60 252 1089 4779 21141 93906 417987 1862460

2 6 21 81 333 1422 6201 27342 121248 539235

Изпълнено е:

39

Разликите , .

Тогава

а векторът, който съответства на максималната по модул собствена стойност е

Апроксимация на функции. Интерполация. Метод на най-малките квадрати Задачите за приближено представяне на функции много често възникват при обработка на експериментални данни, при интегриране, решаване на диференциални уравнения и др.

Често се налага да се получи аналитичен израз за функцията в интервала

, ако са известни нейните стойности в дискретно множество от точки в този интервал. Обикновенно тези стойности се получават като експериментални

данни. Често аналитичният израз на функцията е много сложен и пресмятането на нейните функционни стойности е трудоемко. Затова, е за предпочитане функцията да се замени с "по-проста``, за да се изчисляват приблизително стойностите и с желана точност във всяка точка от интервала.

Приближено представяне на функции. Видове апроксимации Задачата за приближено представяне на функции изглежда накратко така:

40

Дадени са две множества от функции и . Функциите от първото множество трябва приближено да се представят с функции от второто, т.е. иска се

да се съпостави функция .

Нека функцията е дефинирана и ограничена в интервала ,

, и е дадена система от функции ,

, , които са линейно независими.

Дефиниция 5.1   Функциите , , , , се

наричат линейно зависими в интервала , ako съществуват константи

не всичките равни на нула, , такива, че ,

.

Ако горното твърдение не е вярно, функциите , се наричат линейно

независими в .

Линейна апроксимация се нарича линейна комбинация от вида

, където са константи. Освен линейните апроксимации се използват и рационални апроксимации, т.е. приближения от

вида .

Използват се следните класове апроксимиращи функции:

Алгебрични полиноми. , т.е. е линейна комбинация на

функциите .

41

Тригонометрични полиноми. , т.е.

линейна комбинация на функциите , , .

Експоненциални полиноми. , т.е. е линейна комбинация на

функциите , .

Сплайн функции. Това са обобщения на функции, чиято графика е начупена линия, т.е. това са функции "слепени" от части на различни полиноми от една и

съща степен (най-често ). Слепването се осъществява във фиксирана система от възли (фиксирани различни точки в даден интервал, в които са известни стойностите на функцията).

Разгледаните по-горе системи: , , ,

, са линейно независими в .

От математическия анализ е известно, че всяка непрекъсната функция в

интервала може да бъде "добре`` приближена с полином от -та степен (виж фигура 5.1). Валидна е теоремата.

Теорема 5.1 (Теорема на Вайерщрас)   Нека функцията е дефинирана и

непрекъсната в интервала . Тогава и полином от -та

степен , такъв че

42

Figure: Равномерно приближение

Забележка 5.1   Ако функцията може да се представи като равномерно сходящ

степенен ред в , то за равномерно приближение може да се вземе парциална сума.

Основна задача представлява изборът на константите в апроксимиращата функция. Съществуват два основни типа критерия (съответно апроксимации) за

близост между и : интерполационен (интерполационни апроксимации) и метричен (метрични апроксимации). По-надолу ще разгледаме класическата интерполационна апроксимация (интерполация) и методът на най-малките квадрати, който е аналог на средноквадратичните приближения.

Интерполационни полиноми на Лагранж и Нютон с разделени разлики

Дефиниция 5.2   Нека функцията е дефинирана и ограничена в интервала и са

известни нейните функционни стойности в различни точки (възли) от този

интервал. Алгабричният полином се нарича интерполационен полином за

функцията , построен по възлите , ако е полином от степен по-малка

или равна на и , .Единственост на интерполационния полином се дава със следната теорема. Теорема 5.2   Нека са изпълнени следните условия:

1. Дадени са различни точки в , като .

2. Известни са стойностите , , на функция в тези точки.

3. е полином най-много от степен , за който

(виж фигура 5.2).

Тогава интерполационният полином е единствен.

43

Figure: Интерполационен полином

Формула на Лагранж

Интерполационният полином се получава по-просто във формата на Лагранж (ИПЛ), ако го представим като

(5.1)

където , , са полиноми от -та степен. Тези полиноми се анулират

при , и приемат стойност при

т.е.

Тогава от (5.1) и горните формули получаваме интерполационният полином във формата на Лагранж

     

     

(5.2)

44

За всяка непрекъснато диференцируема функция е валидно равенството

където остатъчния член се оценява от

Забележка 5.2   Интерполационният полином на Лагранж (ИПЛ) може да се запише още и така

(5.3)

където .

Пример 5.1   Нека функцията е зададена с таблицата

4 6 8 10

11 27 50 83

Да се намери интерполационният и полином.

Решение. Ще използваме формула (5.2). Валидно е:

Формула на Нютон с разделени разлики Дефиниция 5.3   Нека са изпълнени условията на теорема 5.2. Частното

45

се нарича първа разделена разлика на функцията по възлите и .Дефиниция 5.4   Частното

се нарича разделена разлика от -ти ред на функцията по възлите

.

Лема 5.1   Разделената разлика от -ти ред на функцията относно възлите

може да се запише като

(5.4)

където .Забележка 5.3   Разделените разлики от -ти ред на полином от -та степен са константи, а разделените разлики от по-висок ред са нули.

Интерполационният полином на Нютон търсим във вида

(5.5)

където .

При имаме .

От (5.5) изразяваме . Изпълнено е

При , от горното равенство и дефиниция 5.3 следва

46

Продължаваме тази процедура и накрая получаваме, че е -та разделена

разлика на функцията построена по възлите , т.е.

В сила е следната теорема

Теорема 5.3   Нека са изпълнени условията на теорема 5.2, тогава ИПЛ може да се предствави във вида

(5.6)

Този запис на ИПЛ се нарича формула на Нютон с разделени разлики.

Пример 5.2   Нека функцията е зададена с таблицата

1 2 2.5 3

-6 -1 5.625 16

Да се намери интерполационния и полином.

Решение. За да получим интерполационния полином на Нютон (5.5), ще използваме следната таблица

=1

=

=2 =

=2.5 =

47

=3 =

.

Интерполационният полином на Нютон, който е и ИПЛ е

Метод на най-малките квадрати В практиката, като експериментални данни, получени чрез измервания се получават стойности на приближаваната функция за различни стойности на аргумента. Търси се апроксимиращ полином от сравнително "ниска`` степен. Тази задача успешно се решава като се използва методът на най-малките квадрати. Той се състои в следното.

Figure: Средноквадратично приближение , ,

Нека функцията е дефинирана и ограничена в интервала . В дискретно

множество от точки , , от този интервал са

известни стойностите на функцията: , . Търси се

приближаваща функция - полином от степен , , който

минимизира сумата от квадратите на отклоненията между и в

48

зададеното дискретно множество от точки (виж фигура 5.3), т.е. минимизира сумата

(5.7)

Забележка 5.4   В някои случаи се минимизира претеглената сума от квадратите на

отклоненията, . Числата (теглата) се използват,

когато стойностите са отчетени с различна точност. Тяхната роля е да се уеднаквят грешките в различните точки.

Намирането на апроксимиращия полином (коефициентите му) се свежда до

търсене на минимум на функция на променливи, а именно

Необходими условия функцията да има локален екстремум са ,

, т.е.

Тази линейна система алгебрични уравнения има единствено решение, тъй като

функциите са линейно независими в разглежданото множество от точки. Достатъчните условия за локален минимум са също изпълнени.

Коефициентите на апроксимиращия полином се получават като решение на горната система, която в разгърнат вид изглежда така:

(5.8)

49

Забележка 5.5   Нека функцията приближаваме с полином от първа степен, т.е.

. Kоефициентите и са решения на системата

(5.9)

която се получава от (5.8) при .

Забележка 5.6   Нека функцията приближаваме с полином от втора степен, т.е.

. Kоефициентите се определят от системата

(5.10)

която се получава от (5.8) при .Забележка 5.7   Полиномът на най-добро средно квадратично приближение от степен

съвпада с интерполационния полином.

Пример 5.3   Нека функцията е зададена с таблицата

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

3.230 3.253 3.261 3.252 3.228 3.181 3.127 3.059

Да се намерят по метода на най-малките квадрати полиноми от първа и втора

степен, които апроксимират функцията , т.е. и

.

Решение. За да получим коефициентите на и , ще използваме следната таблица

50

=0.1 0.01 0.001 0.0001 0.3230 0.03230

=0.2 0.04 0.008 0.0016 0.6506 0.13012

=0.3 0.09 0.027 0.0081 0.9783 0.29349

=0.4 0.16 0.064 0.0256 1.3008 0.52032

=0.5 0.25 0.125 0.0625 1.6140 0.80700

=0.6 0.36 0.216 0.1296 1.9086 1.14516

=0.7 0.49 0.343 0.2401 2.1889 1.53223

=0.8 0.64 0.512 0.4096 2.4472 1.95776

3.6 25.591 2.04 1.296 0.8772 11.4114 6.41838

Системите за определяне на коефициентите са следните (виж (5.9) и (5.10)):

Решенията на тези ситеми са: , ; , ,

. Следователно:

Числено интегриране

51

Нека е непрекъсната функция в интервала и нека е примитивна на ,

т.е. , за всяко . Тогава, както е добре известно,

определеният интеграл на в граници от до може да бъде пресметнат по формулата на Нютон-Лайбниц:

В много случаи директното използуване на формулата на Нютон-Лайбниц е невъзможно или свързано с изключително много изчисления. Често в

практически модели и задачи, подинтегралната функция е зададена таблично. В този случай, понятието примитивна губи своя смисъл и естествено формулата на Нютон-Лайбниц не може да бъде приложена.

Задачата за числено интегриране се състои в пресмятане на определения интеграл

по известни стойности на подинтегралната функция в интервала .

Риманови интегрални суми

Дефиниция 6.1   Нека в интервала са дадени , , различни точки

(възли) такива, че и непрекъсна

функция . Нека са избрани междинни точки , ,

тогава се нарича Риманова интегрална сума (РИС).РИС служат за приближено пресмятане на определения нтеграл

(6.1)

52

Figure: Правоъгълници с леви краища

Нека възлите са равноотстоящи със стъпка ;

Тогава от (6.1) при и се получават формулите на правоъгълниците с ляв и десен край, виж фигури 6.1 и 6.2, съответно:

Figure: Правоъгълници с десни краища

Теорема 6.1   Нека и .

Тогава съществува точка такава, че

53

(6.2)

Забележка 6.1   Формулата на правоъгълниците с възли в средите на равноотстоящи интервали е точна за полином от първа степен, а другите формули са точни за подинтегрална функция константа.

Квадратурни формули на Нютон-Котес

Нека е функция дефинирана и непрекъсната в интервала . Нека е естествено число. Полагаме:

По-нататък ще казваме, че така избраните възли разбиват интервала на

подинтервала с дължини равни на . Въвеждаме и следните означения:

Основната идея за числено пресмятане на определения интеграл е ``заместване на

подинтегралната функцията с по-проста функция''. За такава ``по-проста'' функция, може да бъде избран интерполационния полином на Лагранж за

функцията или някоя функция, която апроксимира в интервала .

Дефиниция 6.2   Нека е интерполационния полином на Лагранж за функцията

по възлите (вж. Глава 5, формула (5.2)). Тогава за приближена стойност на интеграла

   може да се приеме числото  т.е.

54

(6.3)

където:

-- е грешката при това приближаване (очевидно числото зависи както от

функцията , така и от стъпката );

-- ;

-- са константи.

Горната формула се нарича квадратурна формула (КФ), - коефициенти на

квадратурната формула, а - възли на КФ.

Ще използваме ИПЛ с равноотдалечени възли. Нека

Тогава:

Следователно, полиномът на Лагранж за функцията може да бъде записан във вида

Като извършим смяна на променливите в интеграла и зместим във (6.3), получаваме

(6.4)

55

където е остатъчния член (или грешката).

Формулата (6.4) се нарича квадратурна формула на Нютон-Котес.

Формула на трапеците От формула (6.4), при се получава формулата на трапеците. Изпълнено е:

КФ на Нютон-Котес (6.4), добива вида

(6.5)

Формула (6.5) се нарича формула на трапеците за приближено пресмятане на определения интеграл. Геометричната интерпретация на тази формула (както и нейното име) е че лицето на криволинеиния трапец е заменено с лице на

правоъгълен трапец, виж фигура 6.3, т.е. подинтегралната функция се

интерполира с права, ИПЛ , през точките с координати и и се пресмята интеграл от този интерполационен полином.

Figure: Лице на трапец

По-често за пресмятането на интеграла

56

се прилага така наречената обобщена формула на трапеците. Интервала на

на брой подинтервали , , , с равна далжина

(виж фигура 6.4). Полагаме , . Във всеки един от

интервалите , прилагаме формула (6.5):

(6.6)

където е остатъчният член.

Figure: Сума от лицата на трапци

Формула (6.6) се нарича обобщена формула на трапеците. Сумата от лицата на криволинейните трапци е заменена със сума от лица на правоъгълни трапци, т.е.

във всеки интервал , , подинтегралната функция е заменена с

права линия през точките с координати и (виж фигура 6.4).

За остатъчният член във формулата (6.6) е валидна следната теорема.

Теорема 6.2   Нека и .

Тогава съществува точка такава, че

(6.7)

57

Забележка 6.2   От теорема 6.2 следва, че формулата на трапеците е точна за полиноми от първа степен, т.е. за линейни функции. Наистина, втората производна

на линейната функция е равна на нула. Ето защо, ако е линейна функция, то от

(6.7) следва, че .Пример 6.1   Да се пресметне интеграла

с помощта на формулата на трапеците, при .

Решение. Последователно пресмятаме , възлите и стойностите на подинтегралната функция в тези възли (виж таблица 6.1).

Table 6.1:

 

0

0 0.076 0.137 0.191 0.239 0.281 0.318 0.351 0.379 0.402 0.421

Прилагаме формула (6.6):

Пример 6.2   Да се определи стъпката на интегриране така, че формулата на трапеците за числено интегриране на

да е с грешка по-малка от .

58

Решение. Полагаме . За да оценим остатъчния член във формулата на трапеците ще използуваме теорема 6.2. За целта, намираме втората

производна на :

От теорема 6.2 следва, че съществува точка такава, че

Да разгледаме функцията

Като използуваме стандартни средства от математическия анализ, не е трудно да се убедим, че

Ето защо . От условието на задачата следва, че . Последното неравенство ще баде изпълнено винаги когато

. Следователно, валидността на неравенството

е едно необходимо условие за гарантиране на оценката . Удобно е да изберем . Тогава .

Формула на Симпсон От формула (6.4) при ще получим формулата на параболите (Симпсон). Изпълнено е:

59

Следователно, квадратурната формула на Нютон-Котес (6.4), добива вида

(6.8)

Формула (6.8) се нарича квадратурна формула на Симпсон. Геометричната интерпретация на тази формула се получава в резултат на ``замяната'' на

функцията с парабола , която минава през точките с

координати , и , виж фигура 6.5. Тогава

Коефициентите и не се определят, т.к. изразът в квадратните скоби се получава от системата (6.9) (уравнение (6.9a) събираме с 4 пъти (6.9b) и накрая прибавяме уравнение (6.9c)).

60

Figure: Лице на криволинеен трапец

За пресмятането на интеграла

се прилага така наречената обобщена формула на Симпсон. За целта, нека

разделим интервала на четен брой подинтервали , , ,

с равни далжини . Полагаме , . Във

всеки от интервалите , прилагаме формула (6.8):

(6.10)

където

то равенството (6.10) добива вида

61

(6.11)

Формула (6.11) се нарича обобщена формула на Симпсон. Геометричната интерпретация на формулата на Симпсон (6.11) е, че подинтегралната функция е заменена със сплайн функция, която се състои от полиноми от втора степен.

Възлите на сплайн функцията са с четни номера, т.е. . Всеки сегмент от сплайн функцията е дъга от парабола, която съдържа точките с

координати , , , .

За остатъчният член във формулата (6.11) е валидна следната теорема.

Теорема 6.3   Нека и .

Тогава съществува точка такава, че

(6.12)

Пример 6.3   С помощта на формулата на Симпсон, при , да се пресметне интегралът

Решение. Очевидно , т.е. . Следователно . Резултатите от последователните пресмятания са нанесени в таблица 6.2.

Пресмятаме

и прилагаме формула (6.11):

62

Table 6.2:

0.8415 0.7365 0.6472 0.5701 0.5028 0.4433 0.3905 0.3431 0.3006 0.2621 0.2273

За да оценим остатъчния член , ще използуваме формулата (6.12). За целта пресмятаме:

Квадратурни формули на Гаус и Чебишов

Нека е функция дефинирана и непрекъсната в да разгледаме КФ от вида

(6.13)

63

с възли , коефициенти и теглова функция

. Дефиниция 6.3   Ще казваме, че КФ (6.13) има алгебрична степен на точност (АСТ)

, ако тя е точна за всички алгебрични полиноми от степен и съществува

полином от степен , за който тя не е точна.

Ще разгледаме КФ на Гаус и Чебишов с теглова функция , .

Квадратурни формули на Гаус

Нека възлите и коефициентите са такива, че КФ (6.13) има АСТ

, т.е.

(6.14)

Тогава формулата се нарича (проста) квадратурна формула на Гаус.

Ако , то възлите на КФ са нулите на полинома на Леажандър от степен , т.е.

а коефициентите се определят от ситемата уравнения (6.14).

Ще приведем формулите за и .

64

При полиномът на Лежандър е .

Нулите на са и . Коефициентите се определят от системата

Решението на горната система е , а формулата на Гаус е

При формулата на Гаус е

като:

-- полиномът на Лежандър е ;

-- нулите на са , и ;

-- коефициентите се определят от системата

чието решение е и .

65

Забележка 6.3   Ако и , тогава правим смяна на променливитв

, и получаваме

Квадратурни формули на Чебишов

Нека възлите и коефициента са такива, че КФ (6.13) има АСТ , т.е.

(6.15)

Тогава формулата се нарича (проста) квадратурна формула на Чебишов.

Коефициента и възлите се определят от ситемата (6.15), като

.

Формули на Чебишов съществуват само за полиноми от степен .

Числено решаване на обикновени диференциални уравнения. Методи Рунге-Кута При математическото моделиране, много задачи от химията, физиката, механиката и др. се свеждат към решаване на диференциални уравнения.

66

Изчислителната математика разполага с голямо разнообразие числени методи за тяхното решаване. Ще припомним някои основни сведения от курса по диференциални уравнения.

Да разгледаме началната задача на Коши (НЗК)

(7.1)

Достатъчни условия за съществуване и единственост на решение на тази задача се дава със следната теорема.

Теорема 7.1 (Пикар)   Нека са изпълнени следните условия

1. .

2. .

3. .

4.    Lip , т.е. , такава че и е изпълнено

.

Тогава, за всяка точка съществува константа

такава, че НЗК притежава единствено решение в .

Методите за приближено решаване на НЗК се делят на два основни класа:

Аналитични методи. Намират се редици от функции ,

такива, че , , където е единственото решение на задача (7.1).

Мрежови методи. Избират се точки (възли на мрежата) ,

такива, че . След това се определят

приблизително функционните стойности . Нека

, , , . Тогава се приемат за приблизително решение на НЗК.

67

Метод на Пикар Методът на последователните приближения (метод на Пикар) е аналитичен метод за решаване на НЗК.

Интегрираме обикновеното диференциално уравнение (ОДУ) от (7.1) в граници от

до . Като използваме началното условие (НУ) получаваме интегралното уравнение

(7.2)

Ще отбележим, че ако функцията е непрекъснато диференцируема, то уравнението (7.2) и началната задача (7.1) са еквивалентни.

Построяваме редица от последователини приближения на решението на НЗК по формулата

(7.3)

Валидна е следната теорема Теорема 7.2   Нека са изпълнени следните условия: 1. Валидни са условия 1, 2 и 3 на теорема 7.1.

2. , , .

Тогава, за всяка точка съществува константа

такава, че редицата от приближения е равномерно сходяща в към

решението на НЗК.

Оценка за грешката на метода на последователните приближения се дава чрез следното неравенство

(7.4)

68

където: е константата на Липшиц за функцията , и

. Забележка 7.1   Константата на Липшиц за непрекъснато диференцируеми функции

по втория аргумент се определя като .

Пример 7.1   В правоъгълника разглеждаме следната НЗК

Да се намерят първите три приближения по метода на Пикар. Да се оцени

.

Решение. Очевидно . Прилагаме формула (7.3). Имаме

По формула (7.4) ще оценим . Константите , и се определят по следния начин:

     

     

     

69

Заместваме в (7.4)

Метод на Ойлер Методът на Ойлер е класически мрежови метод за решаване на НЗК за обикновени диференциални уравнения. Разглеждаме задачата (7.1) като предполагаме, че са изпълнени условията на теорема 7.1.

Разделяме интервала на , равни подинтервала. Стъпката на

мрежата е . Определяме възлите на мрежата:

Търсим стойностите , , които са приближения на точното решение

на НЗК в точките .

Нека е решението на (7.1). Полагаме . Прилагаме формулата на

Тейлор от втори ред, за функцията , :

където . Считаме, че . От горното равенство следва

(7.5)

като . Тази формула се нарича формула на Ойлер, а съответният метод -

метод на Ойлер. Очевидно е, че грешката на метода е . Използва се, ако е

70

Липшицова функция със сравнително малка константа на Липшиц, например ако

.

Геометрична интерпретация. Геометричната интерпретация на метода на Ойлер се илюстрира с фигура 7.1.

Figure: Метод на Ойлер

1. През точката се построява допирателна , с уравнение

, към решението . Тогава, за

се приема стойността на функцията в точката , т.е. .

2. През точката се построява допирателна

, към решението на следната НЗК:

Тогава, за се приема стойността на функцията в точката ,

т.е. и т.н..

Мрежови методи Рунге-Кута

71

Мрежовите методи са едностъпкови и многостъпкови. При многостъпковите мрежови методи, за да се определи стойността на приближеното решение в следващ възел, се използват стойности на точното или приближеното решение в няколко предходни възела.

Методите Рунге-Кута спадат към едностъпковите методи. Стойността на решението в -тия възел се получава от стойността на решението в предходния възел плюс съответното нарастване.

Разглеждаме задача (7.1), като предполагаме, че са изпълнени условията на теорема 7.1 и че дясната страна на диференциалното уравнение е достатъчно

гладка, т.е. , .

Разделяме интервала на , равни подинтервала. Стъпката на

мрежата е . Определяме възлите на мрежата:

Търсят се стойностите , , които са приближения на точното

решение на НЗК (7.1) в точките , при това .

Въвеждаме означенията:

(7.6)

Числото се нарича ред на метода.

Нарастването на функцията , , се представя чрез

стойности на производната в точки намиращи се между и , т.е.

72

(7.7)

Коефициентите , , , , се определят като грешката

се минимизира. За тази цел се използува теоремата на Тейлър за функциите

и . Коефициентите пред се анулират до възможно най-висока степен.

При се получава формулата на Ойлер. Ще изведем формули от втори ред.

Нека . От (7.7) и (7.6) получаваме

(7.8)

От теоремата на Тейлър, приложена за функцията , получаваме

където . Следователно

(7.9)

Отново използуваме теоремата на Тейлър за функцията

и намираме:

73

където . Горното равенство, предвид

, може да се запише като

(7.10)

където и са първите частни производни на .

За получаване на формулите Рунге-Кута от по-висок ред е необходимо да се

изразят производните , , чрез частните производни на функцията

. От получаваме

(7.11)

От (7.10) и (7.11) следва

(7.12)

Окончателно, от (7.8), (7.9), (7.11) и (7.12) следва

74

(7.13)

За да е изпълнено , коефициентите и трябва да удовлетворяват системата

(7.14)

Тази система е неопределена и има безброй много решения. Най-често използваните формули от втори ред, които се получават от (7.14), са следните:

     

     

     

     

При се получават формули с грешка , а при грешката е от порядък . Извеждането на тези формули е аналогично на извеждането на формулата при , но са доста трудоемки, затова ще го изпуснем.

От трети ред често се използват следните формули:

     

75

     

     

     

Най-разпространената формула при е следната

Пример 7.2  

С помощта на формулите на Ойлер и Рунге-Кута при и Рунге-Кута при да се напишат приближения на решението на началната задача

в инревала , със стъпка .

Решение. Точното решение на горната НЗК е

Стойностите на , , и , които са съответно точно решение, приближено решение по метода на Ойлер, приближено решение по метода на Рунге-Кута при и приближено решение по метода на Рунге-Кута при са дадени в таблица 7.1.

76

Table 7.1:

 

1.34989 1.3 1.34614 1.34988

1.82272 1.69458 1.81278 1.8227

2.46337 2.2142 2.4434 2.46333

3.33491 2.90013 3.29888 3.33484

4.5268 3.80863 4.46517 4.52666

Мрежови методи за частни диференциални уравнения от II ред Повечето процеси от физиката, химията, механиката и др., като динамиката на непрекъснатите среди, електричество, магнетизъм, топлопренасяне и др., се описват с частни диференциални уравнения. Ще разгледаме някои мрежови методи за решаване на основните задачи за линейни частни диференциални уравнения (ЧДУ) от II ред. Общият вид на едно линейно ЧДУ от II ред е

(8.1)

където:

-- неизвестна функция, , и е област;

-- коефициенти; .

Дефиниция 8.1   Функцията , се нарича дискриминанта на ЧДУ (8.1). В зависимост от знака на дискриминантата в областта , ЧДУ се делят на три

77

типа:

1. Ако , уравнение (8.1) се нарича елиптично в .

2. Ако , уравнение (8.1) се нарича хиперболично в .

3. Ако , уравнение (8.1) се нарича параболично в .

Основните уравнения на математическата физика са частни случаи на трите типа ЧДУ.

1. Уравнението на потенциала има вида

(8.2)

2. Уравнението на струната има вида

(8.3)

3. Уравнението на топлопроводността има вида

Основни задачи за уравненията на математическата физика

1. Нека: , е област и е контур на областта . За уравнение (8.2) се разглеждат следните задачи:

Задача 8.1   Търси се решение на (8.2) в , което е зададено върху контура на областта

Тази задача се нарича първа гранична задача (ГЗ).Задача 8.2   Търси се решение на (8.2) в , като е известна нормалната производна на решението върху контура на областта

78

Тази задача се нарича втора ГЗ.Задача 8.3   Търси решение на (8.2) в , като е зададена някаква линейна комбинация на решението и неговата нормална производна върху контура на областта

Тази задача се нарича смесена ГЗ.

2. Нека , . За уравнение (8.3) се разглеждат следните задачи:

Задача 8.4   Задачата за намиране на решение на (8.3) при следните начални условия (НУ)

  (8.5)

  (8.6)

се нарича начална задача на Коши (НЗК).Задача 8.5   Задачата за намиране на решение на (8.3) при следните ГУ

     

     

се нарича смесена ГЗ.

3. Нека , . За уравнение (8.4) се разглеждат следните задачи:

Задача 8.6   Задачата за намиране на решение на (8.4) при следното начално условие

(8.7)

се нарича начална задача на Коши (НЗК).Задача 8.7   Задачата за намиране на решение на (8.4) при следните ГУ

79

     

     

се нарича смесена ГЗ.

Апроксимиране, устойчивост и сходимост на диференчни схеми

Нека е област. Разглеждаме ЧДУ (8.1) в , т.е.

(8.8)

Нека в равнината е дадена правоъгълна мрежа от точки, построена чрез успоредните на координатните оси прави:

     

     

Числата и се наричат стъпки на мрежата по и съответно.

Означаваме с:

точка (възел) от мрежата,

точки от мрежата, които принадлежат на областта,

стойността на решението на (8.8) във възела .

От теоремата на Тейлор за и имаме:

80

От (8.9) се получават няколко приближения за частните производни и

.

Конкретно за възела имаме:

от (8.9a) следва

(8.10)

от (8.9b) следва

(8.11)

От уравнение (8.9a) изваждаме (8.9b) и получаваме за възела :

(8.12)

Уравнение (8.9a) събираме с (8.9b) и получаваме за възела :

(8.13)

81

По аналогичен начин могат да се получат и . За възела

са валидни следните равенства:

(8.14)

(8.15)

(8.16)

(8.17)

Равенствата (8.10) (8.17) се наричат диференчни разлики.

Нека е точното решение на ЧДУ (8.2), (8.3), или (8.4). Полагаме

за . Във възела заместваме частните

производни съответно с диференчните разлики (8.13), (8.17), (8.14) и получаваме следните диференчни уравнения (диференчни схеми (ДС)), които съответстват на основните уравнения на математическата физика (8.2), (8.3) и (8.4):

82

Дефиниция 8.2   Множеството от възли, по които се прави апроксимация на лявата

страна на ЧДУ във възела , се нарича шаблон на ДС.

Шаблоните на ДС (8.18) са дадени на фигура 8.1.

ДС (8.18a) и (8.18b) ДС (8.18c) Figure: Шаблони за апроксимация на ЧДУ

По-подобен начин могат да се апроксимират НУ и ГУ, чиито диференчни уравнения ще разгледаме по-нататък за конкретни задачи от математическата физика. Означаваме с:

частното диференциално уравнение, където е диференциален оператор,

начални и гранични условия, където е диференциален оператор на дясната страна на НУ и ГУ,

, множеството възли, които принадлежат на

затворената област ,

, , решението на диференчната схема,

83

, , дясната страна на ДС,

, , дясната страна на апорксимираните НУ и ГУ,

ДС на разглегданото ЧДУ, където е диференчен оператор,

ДС на НУ и ГУ, където е диференчен оператор на дясната страна на НУ и ГУ,

.

Дефиниция 8.3   Ще казваме, че при :

решението на ДС е сходящо (ДС е сходяща) към , ако е изпълнено

,

имаме сходимост от ред (ДС е сходяща със скорост ), ако съществува

константа , такава че .

Понятието "устойчивост`` е основно за теорията на ДС. Под устойчивост на една ДС се разбира, че "малките`` изменения на началните, граничните условия или дясната страна на ДС се отразяват "незначително`` върху стойностите на решението във възлите.

Дефиниция 8.4   Ще казваме, че ДС е устойчива по дясна страна на ЧДУ, ако:

при произволни НУ и ГУ съществува единствено решение на ДС,

при нулеви НУ и ГУ, , съществуват положителни константи и такива,

че и произволна дясна страна е валидно .Дефиниция 8.5   Ще казваме, че ДС е устойчива по НУ или ГУ, ако:

при нулева дясна страна, , съществува единствено решение на ДС,

съществува константа , такава че е валидно неравенството

за , където е избрано по подходящ начин.Дефиниция 8.6   Ще казваме, че ДС е устойчива, ако тя е устойчива и по дясна страна и по начални и гранични условия, т.е.:

84

при произволна дясна страна и произволни НУ и ГУ съществува единствено решение на ДС,

съществуват константи такива, че е валидна оценката

за , където е избрано по подходящ начин.Теорема 8.1   Нека ДС има единствено решение и е устойчива. Нека ДС апроксимира решението на точната задача с порядък . Тогава ДС е сходяща и скоростта на сходимост е от порядък .

Метод на мрежите за уравнението на потенциала

Нека е област с контур . Разглеждаме следното елиптично ЧДУ уравнение (уравнение ма Поасон)

(8.19)

с гранично условие

(8.20)

Върху равнината е построена квадратна мрежа с правите и

със стъпка . По шаблона "кръст``, при от (8.18a) получаваме

(8.21)

85

Figure: Мрежа от възли върху областта

Възлите се разделят на два типа (виж фигура 8.2):

-- вътрешни точки, за които съседните четири възела , ,

, лежат в ,

-- гранични, за които поне една от съседните им четири точки не лежи в .

Да разгледаме граничните възли. Ако е гранична точка и лежи на , тогава

Ако не лежи на , то един от съседните възли не лежи в . Нека това е

възела . В този случай може да се положи

(8.22)

където е пресечната точка на правата с контура . Ясно е. че

разстоянието между възела и е по-малко от . Тъй като във

вътрешните точки апроксимацията на частните производни е с точност , то ако се използва (8.22) се губи точност. Апроксимация на стойностите на в

граничните точки с точност ще получим по метода на Колац.

Нека е пресечната точка на правата с контурта (виж фигура 8.3).

86

Figure: Метод на Колац

Нека . От интерполационния полинон от първа степен за функцията

по точките и получаваме

(8.23)

Горната апроксимация има точност , ако функцията има непрекъснати трети частни производни.

Уравненията (8.21) и (8.22) или (8.21) и (8.23) представляват система линейни

алгебрични уравнения за определяне на . Тази система има единствено решение, което дава приближено стойностите на решението във вътрешните възли на областта .

Забележка 8.1   От теорема 8.1 следва, че сходимостта на ДС (8.21) и (8.23) е с

порядък .Пример 8.1   Да се реши със стъпка по и по , като се използва

диференчна схема (виж (8.21)) в областта задачата:

(8.24)

    (8.25)

  (8.26)

  (8.27)

  (8.28)

Решение. От (8.24) (8.28) съответно получаваме:

87

(8.29)

  (8.30)

  (8.31)

  (8.32)

  (8.33)

За да решим системата (8.30) (8.33) в областта последователно намираме:

От (8.30) получаваме: , , , ,

.

От (8.31) , , , , .

От (8.32) , , , , .

От (8.33) , , , , .

Получените стойности на решението заместваме в (8.29) и получаваме система с

9 уравнения и 9 неизвестни , . Решението на тази система е:

       

       

 

Метод на мрежите за уравнението на сруната Разглеждаме следното хиперболично ЧДУ уравнение

88

(8.34)

с начални условия:

   (8.35)

  (8.36)

и гранични условия:

   (8.37)

  (8.38)

където: , ; .

Построяваме вурху областта мрежа от точки с правите и

, където , , , , виж фигура 8.4. Точките от мрежата при фиксирано се наричат ред или слой.

Figure: Мрежа от възли върху областта

Уравнение (8.18b) (виж шаблон "кръст`` на фигура 8.1) записваме като

(8.39)

89

От началното условие (8.35) имаме стойностите на на нулевия ред, , и

:

(8.40)

За от второто начално условие (8.36) намираме приближено стойностите

на решението за слоя :

(8.41)

Ако искаме по-голяма точност в това НУ може да въведем един фиктивен слой

при със стойности на решението . Тези фиктивни стойности за може да намерим от уравненията:

   

Заместваме в първото уравнение и получаваме за :

(8.42)

За извършваме последователно пресмятанията:

се пресмята от (8.41),

се определя от (8.40) или (8.41),

се изчислява по формула (8.39) за , после за и т.н.

90

От ГУ (8.37) и (8.38) определяме и , съответно. В зависимостт от

точността ( или ), с която се апроксимира се процедира по два начина, както при НУ (8.36).

Апроксимации на ГУ с точност . При , , от (8.37) получаваме:

(8.43)

При , , от (8.38) получаваме:

(8.44)

Апроксимации на ГУ с точност . За да получим при апроксимирането

точност се въвеждат два допълнителни стълба и . ГУ (8.37) и (8.38) се записват като:

    (8.45)

    (8.46)

От уравнение (8.39), написано за и и (8.46) и (8.46), съответно,

намираме и . Получаваме и изразени чрез , , , съответно. Пример 8.2   Да се реши със стъпка по и по , като се използва

диференчна схема (виж (8.39) и (8.42)) в областта задачата:

91

  (8.47)

  (8.48)

  (8.49)

  (8.50)

  (8.51)

Решение. Поставената задача се свежда до решаване на (8.47)-(8.51) в областта .

От (8.47) (8.51) съответно получаваме:

    (8.52)

    (8.53)

    (8.54)

    (8.55)

    (8.56)

Последователно извършваме следните пресмятания:

1. От НУ (8.53) имаме стойностите на решеноето ( , ) на нулевия слой на мрежата.

2. От НУ (8.54) пресмятаме , които записваме на следващия ред в таблицата.

3. От ГУ (8.55) са известни стойностите на по лявата ( , ) границa, които записваме в първата колонка на таблицата.

4. От (8.56) следва ( , ) стойностите по дясната граница, които се нанасят в последната колонка на таблицата.

92

5. За и от (8.71) пресмятаме , т.е. приближените стойностите на решението в първия слой на мрежата.

6. По същата формула за и получаваме приближените стойностите на във втория ред и т.н. Резултатите са дадени в таблица 8.1.

Table 8.1:

0 1 2 3 4 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

=0 =0 =0.384 =0.872 =0.768 =0.576 =0

1

=0.2 =0.02 =0.4399 =0.6815 =0.7312 =0.4909 =0

2 0.4 0.08 0.3175 0.4991 0.4044 0.1552 0

3 0.6 0.18 0.1392 0.0404 -0.0769 -0.0865 0

Метод на мрежите за уравнението на топлопроводността Разглеждаме уравнението на топлопроводността за хомогенен прът, а именно

(8.57)

с начално условие

(8.58)

и гранични условия:

93

(8.59)

Построяваме върху областта мрежа от точки с правите , ,

и , , където: , , е цялата част на числото

, т.е. , виж фигура 8.4. Точките от мрежата при фиксирано се наричат ред или слой.

За едно и също ЧДУ могат да се получат различни ДС в зависимост от шаблоните, които се използват. Ще използваме ДС (8.18c), като я запишем по следния начин

(8.60)

Това уравнение ни позволява да получим стойностите на решението в -вия

ред (слой), ако знаем стойностите на функцията на -тия ред.

От НУ получаваме стойностите на в нулевия слой на мрежата. Имаме за ,

, и , т.е. за

(8.61)

От лявото ГУ имаме при , , и за

(8.62)

От дясното ГУ имаме при , , и за

(8.63)

94

т.е. от (8.62) и (8.63) получаваме стойностите на решението по лявата и дясна граници на областта за всеки слой от мрежата.

Забележка 8.2   От теорема 8.1 следва, че сходимостта на ДС (8.60) (8.63) е с

порядък .

ДС построена по шаблона от фигура 8.1, който се нарича явен, е устойчива, ако

. Най-добра апроксимация ( ) се получава при .

Често за решаване на параболични ЧДУ се използват и неявни ДС, които се получават от двуслойна схема от вида

(8.64)

Схемата (8.64) е записана за .

При и имаме гранични условия (8.62) и (8.63). При използваме НУ (8.61).

Разгледаната ДС (8.60) се получава от (8.64) при .

При се получава така наречената чисто неявна схема, виж шаблон фигuра 8.5,

(8.65)

95

Неявна схема (8.65) Схема на Кранк-Николсон (8.66)

Figure: Шаблони уравнението на топлопроводността

При се получава симетрична неявна схема - схема на Кранк-Николсън, виж шаблон фигура 8.5,

(8.66)

Схемите (8.65) и (8.66) са абсолютно устойчиви. Неявните схеми са доста

трудоемки за решаване. На слой те представляват система от алгебрични уравнения с тридиагонална матрица от коефициентите пред неизвестните. Удобен метод за решаване на такива ситеми е методът на прогонването.

Пример 8.3   Да се реши със стъпка по и по , като се използва

диференчна схема (виж (8.60) (8.63)) в областта задачата:

  (8.67)

  (8.68)

  (8.69)

  (8.70)

Решение. От (8.67) (8.70)) съответно получаваме:

  (8.71)

96

  (8.72)

  (8.73)

  (8.74)

За да решим системата (8.71) (8.74)) изчисленията се провеждат в следната последователност:

Table 8.2:

  0 1 2 3 4 5

   

  0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

  =0 =0 =0.02 =0.08 =0.18 =0.32 =0.50

1

  =0.02 =0.04 =0.04 =0.10 =0.20 =0.52

2 0.04 0.08 0.07 0.12 0.22 0.36 0.54

3 0.06 0.12 0.10 0.145 0.24 0.38 0.56

4 0.08 0.16 0.1325 0.17 0.2625 0.40 0.58

1. От НУ (8.72) знаем - стойностите на решението на нулевия слой на мрежата.

2. От ГУ (8.73) са известни стойностите на по лявата ( ) граница, се

нанасят в първата колонка на таблицата ( ).

3. От ГУ (8.74) имаме стойностите на решението по дясната граница. Те се

записват в колонката за .

97

4. За и по (8.71) пресмятаме , т.е. приблизителните стойности на решението в първия слой на мрежата, които се записват на втория

ред ( ) от таблицата. След това по същата формула за получаваме приближения на в следващият ред и т.н. Резултатите са даени в таблица 8.2.

Курсови задачи 1

1.

98

Дадено е уравнението:

(9.1)

Да се докаже че уравнението (A.1) има два реални корена. По метода на бисекциите, да се намери приближение на отрицателния

корен на уравнението (A.1), с точност 0.3. По метода на Нютон (или простата итерация), да се намери приближение

на положителния корен на уравнението (A.1), с точност 0.01.

2.Дадена е системата

(9.2)

където:

  а)      

  б)      

  в)      

По метода на простата итерация, да се пресметнат първите три

приближения , , , , на решението на системата

(A.2), ако . По метода на Зайдел да се намери приближение на решенито на

системата (A.2) с точност 0.01, ако , където , е

99

последното пориближение получено по метода на простата итерация от предходната точка.

3.За матрицата от задача 2 да се намери: характеристичния й полином, една реална собствена стойност и съответния й собствен вектор.

Забележка 1. Курсовият проект трябва да съдържа 3 задачи - по една задача от всяка подточка на предложения списък от задачи. Забележка 2. Числото се получава от факултетния номер (без специалността) записан в обратен ред. Нулите се махат, след което се дели на , така че

. Например, от номер ОХТ-1234-6 получаваме ; от номер ТБ-0102-0 получаваме ; от номер АУ-0100-4 получаваме . Забележка 3. Ако в задачта не е указана точност, то всички изчисления да се направят с точност 4 знака след десетичната точка. <<10342>>

Курсови задачи 2 1.

По метода на най-малките квадрати, да се определят полиномите от първа и

втора степен ( , ), които апроксимират следните данни:

100

2.

Да се намери интерполационният полином на функцията , зададена с таблицата:

  а)   б)     

3.Разглеждаме интеграла:

  а)  б)  в)    

Пресметнете числено интеграла при , , на брой подинтервала на интегриране

по обобщената формула на трапеците, по обобщената формула на Симпсън.

4.Дадена е началната задача на Коши:

  а)   б)    

  в)          

По формулите на Рунге-Кута от ред , да се получи приближение

на (стъпка ).

101

Като се разглежда същото диференциално уравнение с начално условие

, по формулите на Ойлер, да се получат приближения на

, , , (стъпка ).

Забележка 1. Курсовият проект трябва да съдържа 4 задачи - по една задача от всяка подточка на предложения списък от задачи. Забележка 2. Числото се получава от факултетния номер (без специалността) записан в обратен

ред. Нулите се махат, след което се дели на , така че . Например, от номер ОХТ-1234-6 получаваме ; от номер ТБ-0102-0 получаваме ; от номер АУ-0100-4 получаваме . Забележка 3. Ако в задачта не е указана точност, то всички изчисления да се направят с точност 4 знака след десетичната точка.

102