chilari va o‟quvchilari uchun Matematik paket “Maple...

1

O‟ZBEKISTON RESPUBLIKASI XALQ TA‟LIM

VAZIRLIGI VAZIRLIGI

Toshkent shahar xalq ta‟limi xodimlarini qayta tayyorlash va

ularning malakasini oshirish instituti

“TABIIY VA ANIQ FANLAR TA‟LIMI”KAFEDRASI

Umum ta‟limi maktablari o‟qituvchilari va o‟quvchilari uchun

Matematik paket “Maple” dasturida

matematik masalalarni yechish

> restart; with(Student[Calculus1]):

> f2:=x->2-x^2: f1:=x->(x^2)^(1/3):

> int(f2(x)-f1(x), x=-1..1);

Metodik (uslubiy) qo‟llanma

Toshkent -2016

2

BBK _____ P _____

Mualliflar:

TSHXTXQTMOI “Tabiiy va aniq fanlar ta‟limi” kafedrasi mudiri p.f.n.dot.

Olimov B.A

TSHXTXQTMOI “Tabiiy va aniq fanlar ta‟limi” kafedrasi katta

o‟qituvchisi Masharipov M.P

Toshkent xarbiy telekommunikatsiya yo‟nalishidagi akademik litsey

o‟qituvchisi Nuriddinova D

p.f.n.dot. Olimov B.A, Masharipov M.P, Nuriddinova D

Matematik paket “Maple” dasturida matematik masalalarni yechish (Umum ta‟lim maktablari misolida) / Metodik(uslubiy) qo„llanma/

T.: «________________», 2016. – 59 b.

BBK ________

Ushbu metodik(uslubiy) qo‘llanma barcha ta’lim tizimining o’quvchi

va uzluksiz ta’lim tizimining barcha bo‘g‘inlarida faoliyat

ko‘rsatayotgan pedagoglar jamoasi, ta’lim texnologiyalarini ta’lim

jarayoniga joriy etish va ta’lim–tarbiya amaliyotiga tatbiq etish

bo‘yicha uslubiy yordam beradi.

Taqrizchilar:

Mazkur metodik(uslubiy) qo„llanma Toshkent shahar xalq ta‟limi

xodimlarini qayta tayyorlash va ularning malaksini oshirish institutining

Tabiiy va aniq fanlar ta‟limi kafedrasining 2015 yil «___»___________

______–sonli qarori bilan nashrga tavsiya qilingan.

ISBN ©p.f.n.dot Olimov B.A.,

kat. Masharipov M.

o’qituvchi Nuriddinova D

© «______________», 2015

3

Kirish

O„zbekiston Respublikasida amalga oshirilayotgan ta‟lim sohasidagi

islohatlar respublikaning ravnaqini ta‟minlaydigan istiqboldagi rejalarini amalga

oshirishda muhim o„rin tutadi. Jamiyatning ijtimoiy – iqtisodiy, ma‟naviy –

madaniy taraqqiyotining asosi, bugungi kunda ta‟lim muassasalarida tahsil

olayotgan o„quvchi-talabalarning bilim darajasi va egallagan ko„nikmalariga

bog„liq ekanligini e‟tirof etmoqda. Hozirgi zamon yoshlari bilimi va tarbiyasi davr

talabiga javob beradigan hamda umuminsoniy ta‟lim-tarbiya shakl-tamoyillari

bilan hamohang bo„lishi zarur.

O„zbekiston Respublikasi Prezidenti Islom Karimovning 2001 yil Oliy

Majlisning 5-sessiyasida so„zlagan nutqida: kompyuterlashtirish va axborot

texnologiyalarini ishlab chiqarishga, umumiy ta‟lim muassasalari va oliy o„quv

yurtlari dasturlariga, odamlarning kundalik turmushiga joriy etish bo„yicha

O„zbekistonning yuksak darajalarga erishishi yuzasidan aniq vazifalar belgilangan.

«Qadrlar tayyorlash milliy dasturi» va O„zbekiston Respublikasi Prezidentini

«2001-2005 yillarda kompyuter va axborot texnologiyalarini rivojlantirish,

«INTERNET»ning xalqaro axborot tizimlariga keng kirib borishini ta‟minlash

dasturini ishlab chiqishni tashkil etish chora tadbirlari to„g„risida»gi qarori,

«Kompyuterlashtirishni yanada rivojlantirish va axborot-kommunikatsiya

texnologiyalarini joriy etish to„g„risida»gi farmoni ta‟lim jarayonini sifat va

samaradorligini oshirishga qaratilgan. Shu munosabat bilan, nafaqat umumta‟lim

maktablarda, o„rta maxsus, kasb-hunar ta‟limi va oliy ta‟lim muassasalarida, balki

har bir oilaning hayotida zamonaviy axborot va kompyuter texnologiyalari,

raqamli hamda keng formatli telekommunikatsiya aloqa vositalari, Internet tizimini

tatbiq etish, o„zlashtirish yanada rivojlanmoqda. Hozirgi texnika rivojlangan asrda

hayotimizni axborot texnologiyalarisiz tasavvur etish qiyin. Axborot

texnologiyalari rivojlangan davrda kompyuter texnologiyalari yordamida darslarni

o„tkazish o‟quvchilarni darsda befarq bo„lmaslikka, mustaqil fikrlash, ijod etish va

izlanishga majbur etishi, kompyuter savodxonligini oshirish hamda o„zi tanlagan

4

kasbiga bo„lgan qiziqishlarini kuchaytirish bugungi kunning dolzarb

masalalaridandir.

Ushbu metodik qo‟llanma matematika fanlarida kompyuter

texnologiyalarining matematik paket dasturlaridan foydalanishga qaratilgan.

Hozirgi vaqtda ko‟plab matematik paketlar yaratilgan va ulardan keng

foydalanilmoqda. Ulardan eng ko‟p tarqalganlari – bu Maple, Matlab,

Mathlab,MicroSoft matematice,Derive, Eureka, Mathematika, Maple paketlari

hisoblanadi. Bu paketlar ko‟p funksional paketlar hisoblanadi.

Bugungi kunda matematik paketlarning o‟quv jarayonidagi o‟rni va roli

ancha sezilarli va samaraliroqdir. O‟quvchi-talabalarda matematik paketlardan

foydalanish ko‟nikmalari va malakalarini shakllantirish matematika va informatika

fanlarining asosiy komponentalaridan biridir. Murakkab matematik

masalalarni yechishni osonlashtirish orqali matematikani o‟rganishda asabiy

siqilishni oldini oladi hamda uni qiziqarli va juda oddiy jarayonga aylantiradi.

Dars jarayonida Axborot kommunikatsiya texnologiyalarining matematik

paket dasturlaridan foydalanishning yutuqlari

Ta‟lim oluvchilarning mashg„ulotlardagi faollashuvi va bundan kelib

chiqib bilim olish samarasining oshishi;

O„qituvchi va ta‟lim oluvchi vaqtdan to„g„ri va unumli foydalanishi;

Barcha oliy o„quv yurtlar adabiyotlar bilan ta‟minlanadi va ular asosida

bilim olish imkoniyati yaratiladi;

Kompyuter yordamida dars jarayoni davomida nazariyani amaliyotga

bog„lab olib borishiga sharoit yaratilishi;

Yangi mavzuning keng xajmda o„rganilishi va o„zlashtirish

samaradorligining oshishi;

Axborotning tez-tez yangilanib turishi;

Ta‟lim oluvchilarning bilim darajalarini har tomonlama va majmuali

tekshirib ko„rishi imkoni mavjudligi;

Ta‟lim oluvchilarning faolligi oshib, fanga, ilmga bo„lgan e‟tibori va

5

qiziqishining kuchayishi;

Amaliy ish topshiriqlariini ilmiy-amaliy tekshirib ko„rishi va vazifani

bajarishga ijodiy yondashishi.

Ta‟lim oluvchining o„zini qiziqtirgan savollarga javob topishga harakat

qilishi, ilmiy izlanishi va ijodiy yondashishi.

Bilimi past ta‟lim oluvchilarning bilimdon ta‟lim oluvchilarga ergashishi;

O„qituvchining muammolarni yechish ko„nikmalariga, vaziyatni tezda

baholay olish, hozirjavob bo„lish ko„nikmalariga ega bo„lishni talab

etishi;

Mustaqil fikrlay oladigan Ta‟lim oluvchilarning shakllanishiga yordam

berishi;

Maple paketining asosiy maqsadi va uning imkoniyatlari.

Maple muhiti 1980 yilda Waterloo, Inc (Kanada) firmasi tomonidan

yaratilgan. Bugungi kunda uning quyidagi versiyalari mavjud: Maple 5, Maple 6,

Maple 7 va hokoza.

Maple da belgili ifodalashlar bilan ishlash uchun asosiysini sxema yadrosi

tashkil qiladi. U belgili ifodalashlarning yuzlab bazaviy funksiya va

algoritmlaridan iborat. Shu bilan birga operator, buyruq va funksiyalarning asosiy

kutubxonasidan iborat.

Umumiy hisobda Maple 5 da 2500 ta, Maple 6 da 2700 ta, Maple 7 da 3000

ga yaqin funksiyalar mavjud. Bu shu narsani anglatadiki, ko‟plab masalalarni

sistema bilan to‟g‟ridan-to‟g‟ri muloqot tarzida yechish mumkin bo‟ladi.

Maple dasturlashsiz katta hajmdagi masalalarni yechish imkoniyatiga ega.

Faqat masalalarni yechish algoritmini yozish va uni bir necha bo‟laklarga bo‟lish

kerak. Bundan tashqari yechish algoritmlari funksiya va sistema buyruqlari

ko‟rinishida hal qilingan minglab masalalar mavjud. Maple uch xil shaxsiy tilga

ega: kirish, hal qilish va dasturlash. Maple matematik va injener-texnik

hisoblashlarni o‟tkazishga mo‟ljallangan dasturlashning integrallashgan tizimi

6

hisoblanadi. U formula, son, matn va grafika bilan ishlash uchun keng imkoniyatli

tizimdir.

Paket foydalanish uchun ancha qulaydir. Uning interfeysi shunchalik qulay

qilinganki, undan foydalanuvchi dastur varag‟i bilan xuddi qog‟oz varag‟i singari

ishlaydi. Unga sonlar, formulalar, matematik ifodalar va hokozalarni yozadi.

Maple tizimi matn muharriri, kuchli hisoblash va grafik prosessoriga ega.

Matn muharriri matnlarni kiritish va muharrirlash uchun ishlatiladi. Matnlar

izohlardan iborat bo‟lib unga kiritilgan matematik ifodalar bajarilmaydi. Matn

so‟zlar, matematik ifoda va formulalar, maxsus belgilar va hokozalardan iborat

bo‟lishi mumkin. Maplening asosiy xususiyati matematikada umumiy qabul

qilingan belgilarning ishlatilishidadir.

Hisoblash prosessori keng imkoniyatga ega. U murakkab matematik

formulalar boyicha hisoblashlarni bajaradi. Ko‟plab matematik funksiyalarga ega

bo‟lish bilan birga, qatorlar, yig‟indi, ko‟paytma, hosila va aniq integrallarni

hisoblash, kompleks sonlar bilan ishlash, hamda chiziqli va chiziqli bo‟lmagan

tenglamalarni yechish, vektor va matrisilar ustida amallar bajarish imkoniyatini

yaratadi.

Grafik prosessor gafiklar yaratish va uni ekranga chiqarish uchun ishlatiladi.

Grafik prosessor foydalanuvchini grafik vositalarining eng qulay va sodda

imkoniyatlari bilan ta‟minlaydi. Foydalanuvchi oddiy funksiyalarning grafigini

tizim bilan ishlashni boshlashdanoq chizishi mumkin. Tradision ko‟rinishdagi

grafik bilan birgalikda qutb grafiklari, fazoviy grafiklar, vektorli maydon

grafiklari va hokozolarni yasash mumkin. Grafik tipik matematik masalalarni

yechish uchun mo‟ljallangan. Shu bilan birga grafikni tez-tez o‟zgartirish, ularga

matnli yozuv-larni qo‟shish va uni hujjatni ixtiyoriy joyiga ko‟chirish imkoniyati

mavjud. Bitta ishchi sohaga matnni, grafikani va matematik hisoblashlarni

joylashtirish orqali Maple eng murakkab hisoblashlarni tushunishni ham

yengillashtiradi.

7

Maple dasturini ishga tushirish uchun:

Windows ning asosiy menyu buyruqlari ro„yhatidagi Programmi (Dasturlar)

guruhidan ushbu dasturga mos nom: Maple tanlanadi.

Maple oynasi Windows ning amaliy oynalariga hos bo„lib, unda Sarlavha satri,

Gorizontal menyu satri, Uskunalar paneli, Ish maydoni va Holat satri, hamda

Chizg‘ich va O„tkazish tasmalari mavjud bo„ladi.

Sarlavha satri, Gorizontal menyu satri va Uskunalar panelidan tarkib topgan

Maple oynasining qismining ko„rinishi:

Gorizontal menyu bo„limlari:

File (Fayl) fayllar bilan ishlovchi standart buyruqlar majmuidan tarkib

topadi, masalan: faylni saqlash, faylni yuklash, yangi faylni tashkil etish va x. k.

8

Edit (Pravka, Tahrirlash) matnlarni tahrirlovchi standart buyruqlar

majmuidan tarkib topadi, masalan: belgilangan matn qismini buferga nushalash

yoki o„chirish, buyruq bajarilishini bekor qilish va x. k.

View (Vid, Kо„rinishi) – Maple oynasi (ko„rinishini) tuzilishini boshqaruvchi

standart buyruqlar majmuidan tarkib topadi.

Insert (Vstavka, Qо„yish) – turli tipdagi maydonlarni qo„yish uchun hizmat

qiladi: matematik matnlar satri, ikki va uch o„lchovli grafiklar maydonlari.

Format (Format) – xujjatni formatlash (bezash) buyruqlaridan tarkib topadi,

masalan: shriftning stilini, o„lchamini va tipini o„rnatish.

Options (Parametri, Parametrlar) – ma‟lumotlarni kiritishning,

ekranga,bosmaga chiqarishning turli parametrlarini o„rnatish, masalan, Chop etish

sifatini belgilash.

Windows (Okno, Oyna) – bir ishchi varoqdan ikkinchi ishchi varoqqa o„tishni

tayminlaydi.slujit dlya perexoda iz odnogo rabochego lista v drugoy.

Help (Spravka, Yordam) – Maple haqidagi ma‟lumotlardan tarkib topadi.

Maple ishlash muloqat tarzda olib boriladi – foydalanuvchi matn (buyruqlar,

ifodalar, protseduralar) kiritadi, u Maple tomonidan qabul qilinadi va qayta

ishlanadi. Maple oynasining ish maydoni uch qismga bo„linadi:

1) kiritish maydoni – buyruqlar satri. Har bir buyruqlar satri > belgisi bilan

boshlanadi;

2) chop etish maydoni - kiritilgan buyruqlar bajarilishining natijalari analitik ifoda,

grafik obekt yoki hatolik haqidagi ma‟lumot ko„rinishida beriladi;

3) matnli izohlar maydoni – bajariluvchi protsedurani izohlovchi ixtiyoriy matn

bo„lishi mumkin. Matnli satrlan Maple tomonidan qabul qilinmaydi va qayta

ishlanmaydi.

Buyruqlar satridan matnli satrga o„tish uchun Uskunalar panelidan tugmacha

tanlanishi mumkin.

Matnli maydondan buyruqlar satriga o„tish uchun esa Uskunalar panelidan

tugmacha tanlanishi mumkin.

Matematik belgilarni kiritish palitra.

9

Matematik belgilarni kiritish uchun Palettes palitrasi royxatidan

foydalaniladi. Bu royxat View menyusida joylashgan. Royxatda quyidagilar

mavjud.

SYMBOL- alohida belgilarni kiritish (grek xarflar va ba‟zi matematik belgilar);

FESSION- matematik operatorlar va amallar shablonini kiritish;

MATRIX – turli o‟lchovdagi matrisalar shablonini kiritish;

VEKTOR – turli o‟lchovdagi vektorlar shablonini kiritish

Menyudan pastda joylashgan har bir tugmacha belgilar palitrasini ochish

uchun ishlatiladi. Bu palitralar operatorlar, grek harflari, grafiklar va boshqalarni

o‟rnatish uchun ishlatiladi.

Maple muhitining vositalar va shriftlar paneli.

Tugmachalar majmuasidan pastda – vositalar paneli joylashgan.

Menyuning ko‟plab buruqlarini tezroq ishga tushirish uchun vositalar panelining

tugmachalarini bosish kerak bo‟ladi. Har bir tugmachani bosish orqali nima amalga

oshirilishini bilish uchun, uning belgisi ustiga sichqoncha ko‟rsatkichi o‟rnatilsa

ma‟lumot satri paydo bo‟ladi.

Vositalar panelining to‟g‟rima - to‟g‟ri pastida shriftlar paneli joylashgan. U

tanlash shabloni va tugmachalardan iborat bo‟lib, tenglamalarda va matnda

shriftlar xarakteristikasini berish uchun ishlatiladi.

Oynaning o‟ng tomonida vertikal aylantirish uskunasi joylashgan bo‟lib, u

joriy holatda ekranda ko‟rinmay turgan ma‟lumotlarni ko‟rish imkonini beradi.

Ekranning ko‟rinib turgan sohasidan yuqori va pastki qismlarida nimalar borligini

ko‟rish uchun vertikal aylantirish uskunasining unga mos yo‟nalish belgisiga

sichqonchani qirsillatish yetarli bo‟ladi.

Oynaning quyi qismda gorizontal aylantirish uskunasi joylashgan bo‟lib, u

joriy holatda ekranning ishchi sohasining chap yoki o‟ng tomonida ko‟rinmay

turgan ma‟lumotlarni ko‟rish imkonini beradi. U vertikal aylantirish uskunasi kabi

ishlatiladi va undan farqi gorizontal aylantirish uskunasi chapdan o‟ngga yoki

o‟ngdan chapga yurgiziladi.

Muloqot tartibida Maple bilan ishlash asosi.

10

Sistema yuklangan va ishga tushirilgandan keyin matematik ifodalarni

yaratish va hisoblash uchun Maple muhiti bilan muloqotni bajarish mumkin.

Muloqot «savol berding, javob olding» ko‟rinishida olib boriladi. Savol va javoblar

chap tomonlari kvadrat qavslar bilan chegaralangan alohida bloklardan iborat

bo‟ladi. Kvadrat qavslarning uzunligi ifodalarning katta - kichikligiga bog‟liq.

> - muloqot belgisi. O‟chib yonuvchi vertikal chiziq – kiritish kursori

deyiladi.

Ifoda oxiriga quyiladigan (;) hisoblash natijasini ekranga chiqarish

kerakligini eslatadi ; (:) – ikki nuqta chiqarishni bekor qiladi, ya‟ni birnechta

ifodalarni bir satrga yozish yoki ularni bir-biridan ajratish uchun ishlatiladi.

Maple muhitida grek harflarni ham poligrafik usulda yozish mumkin .

Buning uchun buyruqlar satrida grek harfining nomi yoziladi.

Masalan, agar alpha deb terilsa α hosil bo‟ladi.

Grek harflarining jadvali va nomlari:

Matematik

kattaliklar

Maple dasturida

yozilishi

Matematik

kattaliklar

Maple

dasturida

yozilishi

α - alpha ι - ita,

β - beta κ - kappa

G - gamma λ - lambda

δ - delta μ - mu

ε - epsilon χ -xi

ζ - zeta π – pi

η - eta ρ - rho

θ - theta ξ - sigma

Izoh: Agar grek harflarining nomlari bosh harflarda terilsa bosh grek

harflari hosil bo’ladi, masalan, Ώ ni hosil qilish uchun Omega deb terish

kerak.

Matematik doimiylar va arifmetik amallar.

Asosiy matematik doimiylar:

Infinity (∞) cheksizlik - ayirish

+ Qo‟shish * ko‟paytirish

11

^ darajaga ko„tarish ! faktorial

/ Bo‟lish <, >, >=,<=, <>, =. Munosabat

belgilari

Maple muhitida quyidagi standart funksiyalardan foydalaniladi

Matematik yozuv Mapleda yozuv Matematik yozuv Mapleda yozuv

ex

exp(x) cosecx csc(x)

lnx ln(x) arcsinx arcsin(x)

lgx log10(x) arccosx arccos(x)

logab log[a](x) arctgx arctan(x)

sqrt(x) arcctgx arccot(x)

abs(x) shx sinh(x)

sinx sin(x) chx cosh(x)

cosx cos(x) thx tanh(x)

tgx tan(x) cthx coth(x)

ctgx cot(x) secx sec(x)

1. Sonli qiymatlar bilan ishlash.

Maple muhitida sonlar haqiqiy (real) va kompleks (complex) bo‟ladi.

Kompleks sonlarning algebraik ko‟rinishi z=x+iy, buyruqlar satrida

quyidagicha yoziladi:

> z:=x+I*y;

Sonlar butun va rasional sonlarga bo‟linadi. Butun sonlar (integer) o‟nli

yozuvda raqamlar bilan ifodalanadi. Ratsional sonlar 3 xil ko‟rinishda berilishi

mumkin:

12

1) bo‟lish amalidan foydalangan holda rasional kasr ko‟rinishida, masalan: 28/70;

2) qo‟zg‟aluvchan vergulli (float), ko‟rinishida, masalan: 2.3; 3) daraja

ko‟rinishida, masalan: 1.602*10^(-19) yoki 1.602E-19 ko‟rinishdagi yozuv

1,602× 10-19

ni bildiradi.

Rasional sonlarni aniq ko‟rinishda emas, balki taqribiy qiymatini hosil qilish

uchun butun sonlarni haqiqiy sonlar ko‟rinishida yoish kerak bo‟ladi. Masalan: 1)

Quyidagini bajaring : > 75/4;

75

4

Endi shu ifodada 4 sonini haqiqiy son, ya‟ni 4.0 ko‟rinishida yozamiz.

Natijani kuzating.

> 75/4.;

18.75000000

2) 678

34345 ni hisoblang.

> 345-34/678;

116938

339

Bu yerda endi 34 sonini haqiqiy son , ya‟ni 34.0 ko‟rinishida yozamiz.

> 345-34./678;

344.9498525

Prosent (%) belgisi oldingi buyruqni chaqirish vazifasini bajaradi. Bu belgi

yozuvni qisqartirish uchun va oldingi buyruqni tezroq almashtirish maqsadida

ishlatiladi. Masalan:

> a+b;

a+b

> %+c;

a+b+c.

. Quyidagini tering: sqrt(5-sqrt(4)); va Enter tugmachasini bosamiz.

Natija hosil bo‟ladi:

13

Sonlar ustida amallar :

Matematik

yozilishi

Maple dasturida

yozilishi

Natija

7-10 > 7-10; -3

6 8 > 6*8; 48

45 9 45/9; 5

7-0.2+8 7-1/5+8*12 514/5

0.5 5.2+48.6 1/2*5.2+48.6 51.20000000

20! factorial(20); 2432902008176640000

Hisoblashlar:

1-misol: Sonning EKUB hisoblang:

Sonning eng katta umumiy bo‟luvchisini hisoblash uchun Maple dasturida igcd

buyrug‟i kiritiladi.

Masalan:

1) igcd(36,48); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 12

2) igcd(36,48); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 5

3) igcd(16,24,48); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 8

4) igcd(16,24,48,90); Enter tugmasi bolsiladi va natija:2

Sonning eng kichik umumiy karralisini hisoblash uchun Maple dasturida lcm


Masalan:

1) lcm (10,15); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 30

2) lcm (620,550); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 34100

3) lcm (20,50,150); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 300

4) lcm (15,50,180,200); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 1800

14

Sonning tub ko„paytuvchilarga ajratish uchun Maple dasturida ifactor buyrug‟i

kiritiladi.

Masalan:

1) ifactor (54) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 21 3

2) ifactor (620); Enter tugmasi bolsiladi va natija: (2)2*(5)

1*(31)

3) ifactor (150); Enter tugmasi bolsiladi va natija: (2)*(3)*(5)2

4) ifactor (2000 ); Enter tugmasi bolsiladi va natija: (2)4*(5)

3;

Bо„linmani hisoblash uchun Maple dasturida iquo buyrug‟i kiritiladi.

Masalan:

1) iquo (54,6) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 9

2) iquo (45,7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 6

3) iquo (150,30); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 5

4) iquo (2000,150 ); Enter tugmasi bolsiladi va natija:13

Qoldiqni hisoblash uchun Maple dasturida irem buyrug‟i kiritiladi.

Masalan:

1) irem (54,6) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 0 (qoldiqsiz bo‟linadi)

2) ) irem (45,7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: qoldiq 3 ga teng

3) irem (150,30); Enter tugmasi bolsiladi va natija: qoldiqsiz

4) irem (22,15 ); Enter tugmasi bolsiladi va natija: qoldiq 7 ga teng

Berilgan sonining tub son ekanligini tekshirish uchun Maple dasturida isprime


Masalan:

1) isprime (5) Enter tugmasi bolsiladi va natija: true (tub son)

2) isprime (45); Enter tugmasi bolsiladi va natija: false (murakkab son)

3) isprime (1359); Enter tugmasi bolsiladi va natija: false (murakkab son)

4) isprime (2203 ); Enter tugmasi bolsiladi va natija: true (tub son)

15

Kavslarni ochish uchun Maple dasturida expand(y) buyrug‟i kiritiladi.

1) expand((x-1)*(x-2)+(x-5)); Enter tugmasi bolsiladi va natija: x2-2x-3

2) expand (45*(x+22)+(x-85); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 45x+905+x2

Oddiy kasrlarni о„nli kasr kо„rinishida yozish uchun Maple dasturida evalf


1) evalf (54/6) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 9

2) evalf (45/7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 6.428571429

3) evalf (150*30/54); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 83.33333333

4) evalf (2000+150 /58); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 34485.34483

Taqqoslash elementli funksiyalar “ Maple” dasturida quyidagicha bajariladi:

abs – sonning absolyut qiymati;

ceil – argumentdan katta yoki unga teng bo‟lgan eng kichik butun son;

floor – argumentdan kichik yoki unga teng bo‟lgan eng katta butun son;

frac – sonning kasr qismi;

trunc – yaxlitlangan son;

round – sonning yaxlitlangan qiymati;

Berilgan sonning modulini hisoblash uchun Maple dasturida abs buyrug‟i

kiritiladi.

1) abs (-5) Enter tugmasi bolsiladi va natija: 5

2) abs (-45*7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 315

3) abs ((150*30)/(-54)); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 83.33333333

4) abs (20*(-15) /58); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 150/29

Argumentdan katta yoki unga teng bo‟lgan eng kichik butun son hisoblash

uchun Maple dasturida ceil buyrug‟i kiritiladi.

1) ceil (-5.8); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -5

2) ceil (-4*5.7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -22

3) ceil ((-5*4)+4.5); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -15

4) ceil (5.58); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 6

16

Sonning kasr qismi toppish uchun Maple dasturida frac buyrug‟i kiritiladi.

1) frac (-5.8); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 8

2) frac (-4*5.7); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -8

3) frac ((-5*4)+4.5); Enter tugmasi bolsiladi va natija: -5

4) frac (5.58); Enter tugmasi bolsiladi va natija: 58

2-misol . Quyidagi ifodaning qiymatini x=4 va y=9 da hisoblang:

> x:=4:y:=9:d:= sqrt(sqrt(x+y)+2*x^3);

:= d 13 128

Chiqarish satrida oldingi qiymatni hosil qilish uchun % va sonli qiymatni

hosil qilish uchun evalf(%); yoki evalf(ifoda); buruqlari ishlatiladi.

> evalf(%); 11.47194627

3-misol. s=2, d=1.4 da quyidagi ifodani qiymatini hisoblang:

.c d

.c2 .2 c

c d

c d

c2 .c d

c2 .c d

Yechish:

> c:=2:d:=1.4:sqrt(c-d)/(c^2*sqrt(2*c))*(sqrt((c-d)/(c+d))+sqrt((c^2+c*d) /

(c^2-c*d)));

.2711630723

2. Arifmetik ifodalarni hisoblash

Maple muhitida arifmetik ifodalarni yozish va ularning qiymatlarini

hisoblash ham mumkin. Arifmetik ifodalarni belgilash va ularni qiymatini berish

uchun o‟zqaruvchilardan foydalaniladi. Maple muhitida o‟zgaruvchilar turi butun

(integet), rasional (rational), haqiqiy (real), kompleks (complex ) yoki satrli (string)

bo‟lishi mumkin.

17

O‟zgaruvchilarga nom beriladi. O‟zgaruvchilar nomi harflar, belgilar va

raqamlar ketma-ketligidan iborat bo‟lib, har doim harflardan boshlanishi lozim.

Nom 524275 ta belgidan oshib ketmasligi kerak. Masalan: AB, tenglama, Y11,

Var_1, Xmin, Ymax va boshqalar.

> A:=123; B:= „Salom‟

A:=123; B:= Salom

O‟zgaruvchi nomi sifatida xizmatchi so‟zlardan foydalanib bo‟lmaydi.

O‟zgaruvchilarga qiymat berish uchun : = belgisi ishlatiladi.

Masalan:

n:=3; x:=234.568; y:=17/19; d:= „Salom‟; W:=2*Pi/3;

V:= 1,2,3; M:= 1,2,3.4,5,6

Masalan:

a) Ifodani yozing :

> y:= a^2+b*x+d*c;

:= y a2 b x d c

b) a=2; b=4; c=5;x=6; d=7 qiymatlarda ifodani hisoblang

> a:=2:b:=4:c:=5:x:=6:d:=8:y:= a^2+b*x+d*c;

:= y 68

Hisoblash jarayonida foydalanilgan o‟zgaruvchilar qiymatlarini bekor qilish

uchun restart; buyrug‟i ishlatiladi

Ifodalarni ayniy almashtirish

Maple da matematik formulalarni analitik almashtirishlarni o‟tka-zish uchun keng

imkoniyatlar mavjud. Ularga soddalashtirish, qisqartirish, ko‟paytuvchilarga

ajratish, qavslarni ochish, rasional kasrni normal ko‟ri-nishga keltirish va hokazo

shunga o‟xshash ko‟plab amallarni keltirish mumkin.

Almashtirish bajarilayotgan matematik formulalar quyidagicha yoziladi: >

y:=f1=f2; bu yerda y – ifodaning ixtiyoriy nomi, f1 – formulaning chap

tomonining shartli belgilanilishi, f2 – formulaning o‟ng tomonining shartli

belgilanilishi.

18

Ifodaning o‟ng tomonini ajratish rhs(ifoda) , chap tomonini ajratish lhs(eq)

buyrug‟i orqali bajariladi. Masalan:

> y:=a^2-b^2=c;

y : =a2-b

2=c

> lhs(eq);

a2-b

2

> rhs(eq);

s

a/b ko‟rinishida rasional kasr berilgan bo‟lsa, u holda uning surati va

maxrajini ajratish mos ravishda numer(ifoda) va denom(ifoda), buyruqlari

yordamida bajariladi. Masalan:

> f:=(a^2+b)/(2*a-b);

> numer(f);

a2+b

> denom(f);

2a-b

Ixtiyoriy ifodada qavslarni ochib chiqish expand (ifoda) buyrug‟i bilan amalga

oshiriladi. Masalan:

> y:=(x+1)*(x-1)*(x^2-x+1)*(x^2+x+1);

:= y ( )x 1 ( )x 1 ( ) x2 x 1 ( ) x2 x 1

> expand(y);

1 x6

expand buyrug‟i qo‟shimcha parametrga ega bo‟lishi mumkin va u qavslarni

ochishda ma‟lum bir ifodalarni o‟zgarishsiz qoldirish mumkin.

Masalan, lnx +ex-y

2 ifodaning har bir qo‟shiluvchisini (x+a) ifodaga

ko‟paytirish talab qilingan bo‟lsin. U holda buyruqlar satri quyidagini yozish kerak

bo‟ladi:

> expand((x+a)*(ln(x)+exp(x)-y^2), (x+a));

ba

baf

2

2

19

( )x a ( )ln x ( )x a e x ( )x a y2

Maple muhitida ko‟phad sifatida quyidagi ifoda tushuniladi:

01

1

1 ...)( axaxaxaxp n

n

n

n

Ko‟phadlarning koeffisiyentlarini ajratish uchun quyidagi funksiyalar

ishlatiladi:

coeff(p, x) – ko‟phadda x oldidagi koeffisiyentni aniqlaydi;

coeff(p,x,n) - n-darajali had oldidagi koeffisiyentni aniqlaydi;

coeff(p,x^n) - ko‟phadda x^n oldidagi koeffisiyentni aniqlaydi;

coeffs(p, x, 't') – x o‟zgaruvchiga tegishli barcha o‟zgaruvchilar oldidagi

koeffisiyentni aniqlaydi.

Misollar.

> p:=2*x^2 + 3*y^3 - 5: coeff(p,x,2);

2

> coeff(p,x^2);

2

> coeff(p,x,0);

3 y3 5

> q:=3*a*(x+1)^2+sin(a)*x^2*y-y^2*x+x-a:coeff(q,x);

6 a y2 1

> s := 3*v^2*y^2+2*v*y^3;

:= s 3 v2 y2 2 v y3

> coeffs( s );

,3 2

> coeffs( s, v, 't' );

,2 y3 3 y2

> t;

,v v2

lcoeff- funksiyasi ko‟phadning katta , tcoeff - funksiyasi kichik

koeffisiyentini aniqlaydi. Bu funksiyalar quyidagicha beriladi: lcoeff(p), tcoeff(p),

lcoeff(p, x), tcoeff(p, x), lcoeff(p, x, 't'), tcoeff(p, x, 't').

20

Misollar

> s := 3*v^2*w^3*x^4+1;

:= s 3 v2 w3 x4 1

> lcoeff(s);

3

> tcoeff(s);

1

> lcoeff(s, [v,w], 't');

3 x4

> t;

v2 w3

degree(a,x);– funksiyasi ko‟phadning eng yuqori darajasini, ldegree(a,x);

– funksiyasi eng kichik darajasini aniqlaydi.

Misollar

> degree(2/x^2+5+7*x^3,x);

3

> ldegree(2/x^2+5+7*x^3,x);

-2

> degree(x*sin(x),x);

FAIL

> degree(x*sin(x),sin(x));

1

> degree((x+1)/(x+2),x);

FAIL

> degree(x*y^3+x^2,[x,y]);

2

> degree(x*y^3+x^2,{x,y});

4

> ldegree(x*y^3+x^2,[x,y]);

4

21

Ko‟phadlarni ko‟paytuvchilarga ajratish factor(ifoda) orqali amalga

oshiriladi. Masalan:

> p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x;

:= p x5 x4 7 x3 x2 6 x

> factor(p);

x ( )x 1 ( )x 3 ( )x 2 ( )1 x

Ko‟phadlarning haqiqiy va kompleks ildizlarini topish uchun

solve(p,x); buyrug‟i ishlatiladi. Shu bilan birga quyidagi buyruqlar ham mavjud:

roots(p);, roots(p, K); , roots(p, x);, roots(p,x, K);.

Misollar

> p := x^4-5*x^2+6*x=2;

:= p x4 5 x2 6 x 2

> solve(p,x);

, , ,1 1 3 1 1 3

> roots(2*x^3+11*x^2+12*x-9);

,

,

1

21 [ ],-3 2

> roots(x^4-4);

[ ]

> roots(x^4-4,x);

[ ]

> roots(x^3+(-6-b-a)*x^2+(6*a+5+5*b+a*b)*x-5*a-5*a*b,x);

[ ][ ],5 1

> roots(x^4-4, sqrt(2));

[ ],[ ],2 1 [ ], 2 1

> roots(x^4-4, {sqrt(2),I});

[ ], , ,[ ],I 2 1 [ ],I 2 1 [ ],2 1 [ ], 2 1

Kasrni normal ko‟rinishga keltirish uchun normal (ifoda) buyrug‟idan

foydalaniladi.

Masalan:

22

1) > f:=(a^6-b^6)/((a+b)*(a-b));

> normal(f);

2) > f:=(a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);

:= fa4 b4

( )a2 b2 a b

> normal(f);

a2 b2

b a

3) f:=(a^8-c^8)/((a^2+c^2)*(a^2-c^2));

> normal(f);

Ifodalarni soddalashtirish simplify(ifoda) buyrug‟i orqali bajariladi.

Masalan:

> y:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)):

> simplify(y);

2 ( )cos x 2 1

Ifodada o‟xshash hadlarni ixchamlash collect(y,var) buyrug‟i orqali amalga

oshiriladi, bu yerda y – ifoda, var – o‟zgaruvchi nomi.

simplify buyrug‟ida parametr sifatida qaysi ifodani almashtirish kerakligi

ko‟rsatiladi. Masalan, simplify(y,trig) buyruqning bajarilishida katta sondagi

trigonometrik munosabatlardan foydalanib soddalashtirishlar amalga oshiriladi.

Standart parametrlar quyidagicha nomlanadi: power – darajali

almashtirishlash uchun; radical yoki sqrt – ildizlarni almashtirishlar uchun; exp –

23

eksponentali almashtirish; ln – logarifmlarni almashtirish. Parametrlardan

foydalanish simplify buyrug‟ini samarali ishlashini oshiradi.

Darajali funksiyalar ko‟rsatkichlarini birlashtirish yoki trigonometrik

funksiyalar darajasini pasaytirish combine(y,param) buyrug‟i yordamida

bajariladi, bu yerda y – ifoda, param – qanday turdagi funksiyaga almashtirish

lozimligi ko‟rsatuvchi parametr, masalan, trig – triglnometrik uchun, power –

darajali uchun. Masalan:

> combine(4*sin(x)^3, trig);

( )sin 3 x 3 ( )sin x

Faqat kvadrat ildiz, balki boshqa ildizlarga ega bo‟lgan ifodalarni

sodalashtirish uchun radnormal(ifoda) buyrug‟i ishlatiladi.

Masalan: 1)

sqrt(5+sqrt(8)+(5+6*sqrt(3))^(1/2))=radnormal(sqrt(5+sqrt(8)+(5+6*sqrt(3))^

(1/2)));

convert(y, param) ;buyrug‟i yordamida ifoda ko‟rsatilgan turga

almashtiriladi, bu yerda y – ifoda, param- ko‟rsatilgan tur.

Umuman olganda, convert buyrug‟idan juda keng miqyosda foydalanish

mumkin. U bir turdagi ifodani boshqa turga o‟tkazadi.

Agar barcha buyruqlarning imkoniyatlari to‟g‟risida to‟liq ma‟lumotga ega

bo‟lmoqchi bo‟lsangiz, ma‟lumotlar tizimiga murojoat qilish kerak bo‟ladi: >?

buyruq;. Masalan: ?convert;

Misollar.

Ko‟phadni ko‟paytuvchilarga ajratish uchun Maple dasturida factor buyrug‟i

kiritiladi.

1) := p x3 4 x2 2 x 4 ko‟phadni ko‟paytuvchilarga ajrating:

> factor(x^3+4*x^2+2*x-4);

( )x 2 ( ) x2 2 x 2 .

24

2) > p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x;

xxxxxp 67: 2345

> factor(p);

)1)(2)(3)(1( xxxxx

Ifodani soddalashtiring uchun Maple dasturida convert buyrug‟i tanlanadi:

Masalan: 1 ( )sin 2 x ( )cos 2 x

1 ( )sin 2 x ( )cos 2 x.

Buyruqlar satrida teramiz:

> y:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)):

> convert(y, tan):

> y=normal(%);

1 ( )sin 2 x ( )cos 2 x

1 ( )sin 2 x ( )cos 2 x

1

( )tan x.

Ifodani soddalashtiring: 3 ( )sin x 4 3 ( )cos x 4 2 ( )sin x 6 2 ( )cos x 6. Buning

uchun quyidagini teramiz:

> y:=3*(sin(x)^4+cos(x)^4)-2*(sin(x)^6+cos(x)^6):

> y=combine(y, trig);

3 ( )sin x 4 3 ( )cos x 4 2 ( )sin x 6 2 ( )cos x 6 1

xx

xx

2cos2sin1

2cos2sin1

ifodani soddalashtiring. Quyidagi ifodani kiriting:

>eq:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)):

> convert(eq, tan):

> eq=normal(“);

)tan(

1

)2cos()2sin(1

)2cos()2sin(1

xxx

xx

.

Maple muhitida trigonometric funksiyalar va ular bilan amallar

1. Matematik funksiyalar. Maple da ko‟plab matematik, shu jumladan

logarifmik, eksponensional, trigonometrik, teskari trigonometrik, giperbolik va

boshqa funksiyalar ishlatiladi (standart funksiyalar jadvaliga qarang). Ularning

25

hammasi bir argumentli. U butun, rasional, haqiqiy va kompleks bo‟lishi mumkin.

Funksiyalarda argumentlar qavs ichiga olinadi.

“Maple” dasturida trigonometrik finksiyalarning yozilishi

sinx sin(x) chx cosh(x)

cosx cos(x) thx tanh(x)

tgx tan(x) cthx coth(x)

ctgx cot(x) secx sec(x)

Masalan:

> sin(Pi/3); Enter tugmasi bosing

va natija :

>cos(Pi/3) Enter : 1/2

> cos(Pi); Enter : -1

sin(Pi/3)+cos(Pi/2)+2*sin(Pi/12); Enter :

> cot(Pi/2); Enter : 0

> tan(Pi/3); Enter : 3

> x:=Pi/2:y:=sin(x)+cos(x); Enter : := y 1

> exp(1.); Enter : 2.718281828

> ln(1); Enter : 0

> arcsin(1); Enter : 1

2

> arccos(1/2); Enter : 1

3

26

1) cos(π/3)*sin(π/12)+tg(π/5) berilgan trigonometrik funksiyani hisoblang.

2*cos(Pi/3)*sin(Pi/15)+tan(Pi/5); Enter tugmasini bosing va natija:

Berilgan sonnnig faktorialini hisoblash uchun Maple dasturida factorial

buyrug‟i tanlanadi.

Masalan.

> factorial(10); Enter tugmasini bosing natija: 3628800

> factorial(23); Enter tugmasini bosing natija: 25852016738884976640000

Berilgan sonnnig kattasini hisoblash uchun Maple dasturida max buyrug‟i

tanlanadi.

> max(44,47,-60); Enter tugmasini bosing natija: 47

> max(414,-620,-60,548,-56); Enter tugmasini bosing natija: 548

>max(414*9,-620+5,-60-5,548*3,-56*5); Enter tugmasini bosing natija:3726

Berilgan sonnnig eng kichigini hisoblash uchun Maple dasturida min buyrug‟i

tanlanadi.

> min(44,47,-60); Enter tugmasini bosing natija: -60

> min(414,-620,-60,548,-56); Enter tugmasini bosing natija: -620

>min(414*9,-620+5,-60-5,548*3,-56*5); Enter tugmasini bosing natija:-615

“Maple” dasturida oddiy tenglamalarni yechish.

Maple muhitida tenglamalarni yechish uchun universal buyruq solve(t,x)

mavjud, bu yerda t – tenglama, x – tenglamadagi noma‟lum o‟zgaruvchi. Bu

buyruqning bajarilishi natijasida chiqarish satrida ifoda paydo bo‟ladi, bu ana shu

tenglamaning yechimi hisoblanadi. Masalan:

27

> solve(a*x+b=c,x);

b c

a

Agar tenglama bir nechta yechimga ega bo‟lsa va undan keyingi

hisoblashlarda foydalanish kerak bo‟lsa, u holda solve buyrug‟iga biror-bir nom

name beriladi.. Tenglamaning qaysi yechimiga murojoat qilish kerak bo‟lsa,

uning nomi va kvadrat qavs ichida esa yechim nomeri yoziladi: name[k].

Masalan:

> x:=solve(x^2-a=0,x);

:= x ,a a

> x[1];

a

> x[2];

a

Tenglamalar sistemasini yechish. Tenglamalar sistemasi ham xuddi

shunday solve({t1,t2,…},{x1,x2,…}) buyrug‟i yordami bilan yechiladi, faqat endi

buyruq parametri sifatida birinchi figurali qavsda bir- biri bilan vergul bilan

ajratilgan tenglamalar, ikkinchi figurali qavsda esa noma‟lum o‟zgaruvchilar

ketma-ketligi yoziladi.

Masalan:

1)Tenglamalar sistemasini yeching.

>eq:={x-y=1,x+y=3};

eq := {x - y = 1, x + y = 3}

> s:=solve(eq,{x,y});

Enter tugmasini bosib natija:

s := {y = 1, x = 2}.

28


> eq:={2*x-2*y=4,x+4*y=6};

eq := {x + 4 y = 6, 2 x - 2 y = 4}



s := {y = 4/5, x = 14/5}


“Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi:

eq:={sqrt(x)-2*sqrt(y)=4,sqrt(x)+4*sqrt(y)=6};



s := {y = 1/9, x = 196/9}

Agar bizga keyingi hisoblashlarda tenglamalar sistemasining yechimidan

foydalanish yoki ular ustida ba‟zi arifmetik amallarni bajarish zarur bo‟lsa, u holda

solve buyrug‟iga biror bir name nomini berish kerak bo‟ladi. Keyin esa ta‟minlash

buyrug‟i assign( name) bajariladi. Shundan keyin yechimlar ustida arifmetik

amallarni bajarish mumkin.

Masalan:

> s:=solve({a*x-y=1,5*x+a*y=1},{x,y});

:= s { },ya 5

a2 5x

1 a

a2 5

> assign(s); simplify(x-y);

29

61

a2 5

Tenglamalarning sonli yechimini topish. Agar transsentdent tenglamalar

analitik yechimga ega bo‟lmasa, u holda tenglamaning sonli yechimini topish

uchun maxsus buyruq fsolve(eq,x) dan foydalaniladi, bu yerda ham parametrlar

solve buyrug‟i kabi ko‟rinishda bo‟ladi.

Masalan:

> x:=fsolve(cos(x)=x,x);

x:=.7390851332

Funksional tenglamalarni yechish. rsolve(t,f) buyrug‟i yordamida

f butun funksiya uchun t rekurrent tenglamani yechish mumkin. f(n) funksiya

uchun ba‟zi bir boshlang‟ich shartlarni berish mumkin, u holda berilgan rekurrent

tenglamaning xususiy yechimi hosil bo‟ladi

Masalan:

>eq:=5+f(n)=21*f(n)-f(n);

eq := 5+f(n) = 20*f(n)

rsolve({eq,f(1)=0,f(2)=1},f);

{f(2) = 1, f(1) = 0, f(n) = 5/19}

Natijada oshkor bo‟lmagan ko‟rinishdagi yechim paydo bo‟ladi. Lekin

Maple muhitida bunday yechimlar ustida ishlash imkoni ham mavjud. Funksional

tenglamalarning oshkor bo‟lmagan yechimlarini convert buyrug‟i yordamida biror

elementar funksiyaga almashtirib olish mumkin. Yuqorida keltirilgan misolni

davom ettirgan holda , oshkor ko‟rinishdagi yechimni olish mumkin:

> f:=convert(F(x),radical);

:= f 3

2

1

29 8 x

Trigonometrik tenglamalarni yechish. Trigonometrik tenlamani echish

uchun qo‟llanilgan solve buyrug‟i faqat bosh yechimlarni, ya‟ni [0, 2] intervaldagi

yechimlarni beradi. Barcha yechimlarni olish uchun oldindan

EnvAllSolutions:=true qo‟shimcha buyruqlarni kiritish kerak bo‟ladi . Masalan:

> _EnvAllSolutions:=true:

30

> solve(sin(x)=cos(x),x);

1

4 _Z1~

Maple muhitida _Z~ belgi butun turdagi o‟zgarmasni anglatadi,

shuning uchun ushbu tenglama yechimining odatdagi ko‟rinishi x:=π/4+πn

bo‟ladi, bu yerda n – butun son.

Transsendent tenglamalarni yechish.Transsendent tenglamalarni yechish-

da yechimni oshkor ko‟rinishda olish uchun solve buyrug‟idan oldin qo‟shimcha

_EnvExplicit:=true buyrug‟ini kiritish kerak bo‟ladi.

Murakkab transsendent tenglamalar sistemasini yechish va uni

soddalashtirishga misol qaraymiz:

> t:={ 7*3^x-3*2^(z+y-x+2)=15, 2*3^(x+1)+3*2^(z+y-x)=66, ln(x+y+z) -

3*ln(x)-ln(y*z)=-ln(4) }:

> _EnvExplicit:=true:

> s:=solve(t,{x,y,z}):

> simplify(s[1]);simplify(s[2]);

{x =2, y =3, z =1}, {x =2, y =1, z =3}

Yuqorida keltirilgan fikrlar asosida quyidagi misollarni qaraymiz.

1.Tenglamalar sistemasining barcha yechimlarini toping

Buyruqlar satrida tering:

>eq:={x^2-y^2=1,x^2+y=2};

_EnvExplicit:=true:

>s:=solve(eq,{x,y});

Enter tugasini bosib natija:

2. Endi topilgan yechimlar majmuasining yig‟indisini toping.


> x1:=subs(s[1],x): y1:=subs(s[1],y):

2

1

2

22

yx

yx

31

x2:=subs(s[2],x): y2:=subs(s[2],y):

> x1+x2; y1+y2;

3. x2 ( )cos x tenglamaning sonli yechimini toping.

Buyruqlar satrida tering: :

> x=fsolve(x^2=cos(x),x);

x=.8241323123

4. ( )f x 2 2 ( )f x x tenglamani qanoatlantiruvchi f(x) funksiyani toping.

Tering:

> F:=solve(f(x)^2-2*f(x)=x,f);

F:= proc(x) RootOf(_Z^2- 2*_Z- x) end

> f:=convert(F(x), radical);

:= f 1 1 x

5. 5sinx + 12cosx=13 tenglamaning barcha yechimlarini toping.


> _EnvAllSolutions:=true:

> solve(5*sin(x)+12*cos(x)=13,x);

arctan

5

12

“Maple” dasturida oddiy tengsizliklarni yechish

Su bilan birga solve buyrug‟i oddiy tengsizliklarni hisoblashda ham

ishlatiladi. Tengsizlik yechimi izlanayotgan o‟zgaruvchining o‟zgarish intervali

ko‟rinishida beriladi. Bunday holda, agar tengsizlik yechimi yarim o‟qdan iborat

bo‟lsa, u holda chiqarish joyida RealRange(–∞ , Open(a)) ko‟rinish-dagi

konstruksiya paydo bo‟ladi, ya‟ni xЄ (–∞ , a), a – biror son. Open so‟zi interval

ochiq chegarali degan ma‟noni bildiradi. Agar bu so‟z bo‟lmasa , u holda mos

chegaralar ham yechimlar to‟plamiga kiradi.

Masalan:

> s:=solve(sqrt(x+3)<sqrt(x-1)+sqrt(x-2),x): convert(s,radical);

32

RealRange ,

Open

2

321

Agar siz tengsizlik yechimini xЄ (a, b) turdagi intervalli to‟plamlar

ko‟rinishida emas , a<x, x< b turdagi izlanayotgan o‟zgaruvchini chegaralanganlik

ko‟rinishida olmoqchi bo‟lsangiz, u holda tengsizlik yechiladigan o‟zgaruvchi

figurali qavsda ko‟rsatilishi lozim.

Masalan:

> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x});

{ },0 x x e( )-2

Tengsizliklar sistemasini yechish. solve buyrug‟i yordamida tengsizliklar

sistemasini ham yechish mumkin.

Masalan:

; tengsizliklar sistemasini yeching.

“Maple” dasturida ushbu tengsizlik quyidagicha kiritiladi:

>solve({2*x+y>=4, x-2*y<=1, 8*x-y>=16, x-2*y>=1},{x,y});

{8/15 <= y, x = 2 y + 1}

> solve({x+y>=2,x-2*y<=1,x-y>=0,x-2*y>=1},{x,y});

{ },x 2 y 1 1

3y

Misollar

1. Tengsizlikni yeching: 13x3-25x

2-x

4-129x > 0.

Buning uchun buyruqlar satrida quyidagilarni terish kerak:

> solve(13*x^3-25*x^2-x^4-129*x+270>0,x);

RealRange(Open(-3), Open(2)), RealRange(Open(5), Open(9))

2. Tengsizlikni yeching: (2x-3) < 1.


solve((2*x-3)<1,x);

33

Enter tugmasini bosib natija: RealRange(-infinity,Open(2))

3.Tengsizlikni yeching: (x-3) >(6-x)


>solve((x-3)>(6-x),x);


Agar tengsizlik yechimini x(a, b) kabi interval kо„rinishda emas, a<x, x< b

shakldagi cheklanishlar kо„rinishida olmoqchi bо„lsangiz, buyruq parametridagi

izlanuvchi о„zgaruvchini figurali qavsda kо„rsatish lozim bо„ladi. Masalan:

> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x});

},0{ )2( exx

“Maple” dasturida vektorlar bilan ishlash

Chiziqli algebra masalalarini yechish buyruqlarining asosiy qismi linalg

kutubxonasiga (paketiga) tegishli. Shu sababli matritsalar va vektorlarga oid

masalalarni yechishdan oldin linalg kutubxonasini with(linalg)buyrug„i orqali

yuklab olishimiz lozim.

Vektorlarning berilish usullari.

Maple vektorni aniqlash uchun vector([x1,x2,…,xn] buyrug„i foydalaniladi,

bu kvadrat qavslarda vektor koordinatalari vergullar ajratib ko„rsatiladi.Masalan:

> x:=vector([1,0,0]);

x:=[1, 0, 0]

Koordinatalari aniq x vektorning ixtiyoriy koordinatini natijalar satrida hosil qilish

uchun buyruqlar satriga x[i] buyrug„ini kiritish kifoya, bu yerda i koordinata

tartibi. Masalan, yuqoridagi misoldagi vektorning birinchi koordinatini

quyidagicha hosil qilish mumkin:

> x[1];

34

Vektorni ruyhat ko„rinishga keltirish va aksincha ro„yhatni vektor ko„rinishga

keltirishda convert(vector, list) ili convert(list, vector).Vektor mojno

preobrazovat v spisok i, naoborot, s pomoshyu komandi convert(vector, list) yoki

convert(list, vector)buyruqlaridan foydalanishimiz mumkin.

Vektorlarni qo„shish.

a va b ikki vektorni qo„shish uchun quyidagi ikki buyruq mavjud:

1) evalm(a+b);

2) matadd(a,b).

add buyrug„ining matadd(a,b,alpha,beta)formatda kiritilishi a va b

vektorlarning ba , bu yerda , - skalyar kattaliklar uchun chiziqli

kombinatsiyasini hisoblash imkonini beradi.

Vektorlarning skalyar, vektor ko„paytmalari va vektorlar orasidagi

burchak.

Ikki vektorlarning skalyar ko„paytmasi i

n

i

iba

1

),( ba dotprod(a,b)buyrug„i

orqali hisoblanadi.

Ikki vektorlarning vektor ko„paytmasi ],[ ba crossprod(a,b) buyrug„i orqali

hisoblanadi.

Ikki a va b vektor orasidagi burchak angle(a,b) buyrug„i orqali hisoblanadi.

Vektor normasi (meyori).

221 ... nxx a ga teng bo„lgan ),...,( 1 nxxa vektor normasi (uzunligi)

norm(a,2 ),...,( 1 nxxa buyrug„i orqali hisoblanadi.

35

a vektorni normalize(a)buyrug„i orqali normallashtirish mumkin, natijada a

a

birlik vektor hosil bo„ladi.

Vektorlar sistemasining bazisini topish. Vektorlar sistemasini Gramm-

Shmidt protsedurasi asosida ortogonallashtirish.

n ta },...,,{ 21 naaa vektorlar sistemasi berilgan bo„lsa, basis([a1,a2,…,an])

buyrug„i orqali sistema bazisini topish mumkin.

GramSchmidt([a1,a2,…,an]) buyrug„i orqali chiziqli bog„liq bo„lmagan

},...,,{ 21 naaa vektorlar sistemasini ortogonallashtirish mumkin.

1- Misol: а (-16,32,8) va b (2,7,6) koordinatalari bilan berilgan. 4

1а +5 b

hisoblang.

> with(linalg):

>a:=([-16,32,8]); b:=([2,7,6]);

a := [-16, 32, 8]

b := [2, 7, 6]

> matadd(1/4*a,5*b);

[6, 43, 32]

3-Masala: a (2,-2,1), b (6,7,4), s(2,0,8) vektorlar berilgan. Berilgan

vektorlarning yig„indisini hamda yig„indining modulini toping.

> with(linalg):

> a:=([2,-2,1]); b:=([6,7,4]); c:=([2,0,8]);

a := [2, -2, 1]

b := [6, 7, 4]

c := [2, 0, 8]

> d:=evalm(2*a+b-1/2c);

d := [9, 3, 2]

> norm(d,2); 94

4-Masala: а (4,0,3) va b (12,-5,0) vektorlar berilgan ular orsidagi burchak

kosinusini toping.

36

5-Masala: )2,3,1,2(a ва )1,2,2,1( b икки вектор берилган. ),( ba ни ҳамда a ва

b векторлар орасидаги бурчакни топинг. Бу масалани ечиш учун қуйидаги

буйруқларни киритинг:

> with(linalg):

> a:=([2,1,3,2]); b:=([1,2,-2,1]);

a:=[2,1,3,2]

b:=[1,2,-2,1]

> dotprod(a,b);

0

> phi=angle(a,b);

2

6-Masala: )1,2,2( a , )6,3,2(b векторларнинг ],[ bac вектор кўпайтмани

топинг, сўнг ),( ca скаляр кўпайтмасни топинг.

> restart; with(linalg):

> a:=([2,-2,1]); b:=([2,3,6]);

a:=[2,2,1]

b:=[2,3,6]

> c:=crossprod(a,b);

c:=[15,10,10]

> dotprod(a,c);

> with(linalg):

> a:=([4,0,3]); b:=([12,-5,0]);

a := [4, 0, 3]

b := [12, -5, 0]

> dotprod(a,b); 48

> norm(a,2); 5

> norm(b,2); 13

> alpha= angle(a,b);

sosα= arcos( 169254225

48) =arcos(

65

48)

37

0

7-Masala: )1,2,2( a векторнинг нормасини топинг:


> a:=vector([1,2,3,4,5,6]): norm(a,2);

91

8-Masala: )1,2,2,1(1 a , )3,5,1,1(2 a , )7,8,2,3(3 a , )4,7,1,0(4 a , )10,12,1,2(5 a

векторлан системасининг базисини топинг ва уни Грамм-Шмидт

процедураси асосида ортогоналлаштиринг:


> a1:=vector([1,2,2,-1]):

a2:=vector([1,1,-5,3]):

a3:=vector([3,2,8,7]): a4:=vector([0,1,7,-4]):

a5:=vector([2,1,12,-10]):

> g:=basis([a1,a2,a3,a4,a5]);

g:= [a1, a2, a3, a5]

> GramSchmidt(g);

[[1,2,2,1], [2,3,3,2],

65

549,

65

327,

65

93,

65

81 ,

724

355,

724

71,

724

923,

724

1633

38

“Maple” dasturida grafiklar bilan ishlash

Maple muxitining grafik imkoniyatlari

plot buyrug‟i va uning parametrlari. Bir o‟zgaruvchili f(x) funksiya-

ning grafigini (Ox o‟qi bo‟yicha a<=x<=b intervalda va Oy o‟qi bo‟yicha

c<=y<=d intervalda ) yasash uchun plot buyrug‟i ishlatiladi. Uning umumiy ko‟ri-

nishi quyidagicha: plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parametr), bu yerda parametr –

tasvirni boshqarish parametrlari. Agar u ko‟rsatilmasa jimlik bo‟yicha o‟rnatishdan

foydalaniladi. Shu bilan birga tasvirlarga tuzatishlar kiritish vositalar paneli orqali

ham amalga oshiriladi.

plot buyrug‟ining asosiy parametrlari:

1) title=”text”, bu yerda text-rasm sarlavhasi.

2) coords=qutb –polyar koordinatani o‟rnatish.

3) axes – koordinata o‟qlari turlarini o‟rnatish: axes=NORMAL – oddiy

o‟qlar; axes=BOXED – ramkada shkalali grafika; axes=FRAME – rasmning quyi

chap burchagi markazi bo‟lgan o‟qlar; axes=NONE – o‟qsiz.

4) scaling – tasvir masshtabini o‟rnatish: scaling=CONSTRAINED –o‟qlar

bo‟yicha bir xil masshtab; scaling=UNCONSTRAINED – grafik oyna o‟lchovi

bo‟yicha masshtablanadi.

5) style=LINE(POINT) – chiziqlar (yoki nuqtalar) bilan chiqarish.

6) numpoints=n – grafikaning hisobga olinadigan nuqtalari (jimlik qoidasi

bo‟yicha n=49).

7) solor – chiziq rangini o‟rnatish: rangning inglizcha nomi, masalan, yellow

– sariq va h.

8) xtickmarks=nx va ytickmarks=ny – mos ravishda , Ox va Oy o‟qlari

bo‟yicha belgilar soni.

9) thickness=n, gde n=1,2,3… - chiziq qalinligi (jimlik bo‟yicha n=1).

10) linestyle=n – chiziq turi: uzluksiz, punktirli va h. (n=1 – uzluksiz).

11) symbol=s – nuqtalar orqali hosil bo‟ladigan belgi turi: BOX, CROSS,

CIRCLE, POINT, DIAMOND.

39

12) font=[f,style,size] – matnni chiqarish uchun shrift turini o‟rnatish: f

shriftlar nomini beradi: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style

shrift stilini beradi: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – pt da shrift o‟lchovi.

13) labels=[tx,ty] – koordinata o‟qlari yozuv: tx – Ox o‟qi bo‟yicha va ty –

Oy o‟qi bo‟yicha.

14) discont =true – cheksiz uzilishlarni yasash uchun ko‟rsatma.

plot buyrug‟i yordamida y=f(x) funksiya grafigi bilan birga, ochiq

ko‟rinishda , parametrik berilgan y=y(t), x=x(t) funksiyalar grafigini ham hosil

qilish mumkin: plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

Masalan:

1) y=sin(x) funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.

>plot(sin(x), x=Pi..Pi,labels=[x,y],thickness=2);

Natija: Enter tugmasini bosing:

40

2) y=cos(x) funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.

>plot(sin(x), x=Pi..Pi,labels=[x,y],thickness=2);


3) y=tan(x) funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.

>plot(tan(x), x=Pi..Pi,labels=[x,y],thickness=2);


41

Tasvirda matnli izohlarni chiqarish.

Plots paketida rasmda matnli izohlarni chiqarish textplot buyrug‟i mavjud:

textplot([xo,yo,‟text‟], options), bu yerda xo, yo – ‟text‟ matnini chiqarish

boshlanadigan nuqtalar koordinatalari.

Tengsizlik bilan berilgan ikki o‟lchovli sohani hosil qilish.

Agar f1(x,y)>c1, f2(x,y)>c2,…,fn(x,y)>cn tengsizliklar sistemasi bilan berilgan

ikki o‟lchovli sohani hosil qilish uchun inequal buyrug‟i ishlatiladi.

inequals({f1(x,y)>c1,…,fn(x,y)>cn}, x=x1…x2, y=y1..y2, options)

buyrug‟ida figurali qavs ichida sohani aniqlovchi tengsizliklar sistemasi, so‟ngra

esa koordinata o‟qlariningg o‟lchovlari va parametrlari ko‟rsatiladi. Parametrlar

ochiq va yopiq chegaralar rangini, sohaning ichki va tashqi rangini hamda chiziq

chegarasining qalinligini aniqlaydi:

optionsfeasible=(color=red) – ichki soha rangini o‟rnatadi;

optionsexcluded=(color=yellow) – tashqi soha rangini o‟rnatadi;

optionsopen(color=blue, thickness=2) – ochiq chegara chizig‟ining

qalinligi va rangini o‟rnatadi;

optionsclosed(color=green,thickness=3) – yopiq chegara chizig‟ining

qalinligi va rangini o‟rnatadi;

Masalan:

1) y=20-x funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.

>with(plots):

> implicitplot(x-y=20, x=-20..20, y=-16..16,color=green, thickness=2);

2)

42

y=2x2-3 funksiyaning grafigini “Maple” dasturida quyidagicha kiritiladi.

with(plots):

> implicitplot(2*x^2-y=3, x=-20..20, y=-16..16,color=green, thickness=8);

2) y=x2-3 porabolaning grafigini yasang.

>with(plots):

> implicitplot(x^2-y=3, x=-3..3, y=-16..16,color=green, thickness=8);

43

“Maple” dasturida y=kx+b funksiyaning grafigi.

Masalan: y=2x-3 funksiya grafigi:

with(plots):

> implicitplot(y=2*x-3, x=-3..3,y=-16..16,color=bluee,thickness=8);

2) y=2x+12 funksiyaning grafigi.

>with(plots):

> implicitplot(y=2*x+12, x=-4..4,y=-16..16,color=bluee,thickness=10);

3) y=5/2x funksiyaning grafigi:

44

>with(plots):

>implicitplot(y=5/2*x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);

4) y= funksiyaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=x/3-5, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

5) y= - funksiyaning grafigi:

45

>with(plots):

>implicitplot(y=-x/2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);


>with(plots):

>implicitplot(y=-(x+6)/2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

“Maple” dasturida y= giporbola funksiyaning grafigi.

46

1) y=5/x giporbolaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=5/x, x=-4..4,y=-16..16,color=bluee,thickness=5);

2) y=5/x2 giporbolaning grafigi:

>with(plots):

> implicitplot(y=5/x^2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);


47

>with(plots):

>implicitplot(y=2/x-2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);


>with(plots):

>implicitplot(y=-2/x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

“Maple” dasturida y=x3 funksiyaning grafigi.

48

1) y=x 3 funksiyaning grafigi:

>with(plots):

> implicitplot(y=x^3, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);

2) y=x3+3 funksiyaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=x^3+3, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=5);

3) y=x

3-5 funksiyaning grafigi:

49

>with(plots):

> implicitplot(y=x^3-5, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

4) y= -x3-4 funksiyaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=-x^3-4, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

“

Maple” dasturida y=x2 porabolaning funksiyaning grafigi.

50

Masalan:

1) y=x2 porabolaning grafigi:

>with(plots):

:implicitplot(y=x^2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

2) y=-x2 porabolaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=-x^2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

51

3) y= x2+2x parobaloning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=x^2+2*x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

4) y=-x2+5 parobolang grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=-x^2+5, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

52

5) y= -x3+5x funksiyaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=-x^3+5*x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=6);

“Maple” dasturida ikkita (qo‟sh) funksiyalarning grafiglari:

6) y=x3+ funksiyaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=x^3+2/x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);

53

7) y= x3+ funksiyaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=x^3+2/x^2, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);

8) y=-x3+ funksiyaning grafigi:

> with(plots):

>implicitplot(y=-x^3+2/(-x^2), x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);

54

9) y=x2+ funksiyaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=x^2+2/x, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);

10) y= x2+x

3 funksiyaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=x^2+x^3, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);

55

11) y= x2+ funksiyaning grafigi:

>with(plots):

>implicitplot(y=x^2+2/x-x^3, x=-2..2,y=-6..6,color=bluee,thickness=3);

12) Aylana, urinma va kesishuvchi chiziqlarni qurish:

> restart;

> with(plots):

> imlicitplot([-8+x^2+y^2+8*x+2*y = 0, -x+y=1,-9+3*x+4*y = 0], x=-

10..4, y=-7..5, color=[blue, red,red], legend=[plot1,plot2,plot2]);

56

“Maple” dasturida uchburchaklar

1)ABC tomonlarining tenglamalarini;

2)AB va AC tomonlar orasidagi burchakni;

3)AD balandlik va uning uzunligini;

4)AM mediana va AN bissektirsani;

5) ABC ni yuzasini hisoblang.

Echish: Bu masala 2.1-masalaga aynan o„xshash(faqat koordinatalar soni bilan

farq qiladi) bo„lganligi uchun uni Maple 7 dasturida echishni ko„rsatamiz.

1.ABC tomonlarining tenglamalarini topish;

> restart;

> with(geom3d):

> point(A,7,2,2), point(B,5,7,7), point(C,4,6,10):

Define the line that asses through two points A and B

> line(AB,[A,B]);line(AC,[A,C]);line(BC,[B,C]); AB AC BC

> Equation(AB,t);Equation(AC,t);Equation(BC,t);

[7 K 2 t, 2 C 5 t, 2 C 5 t ] [7 K 3 t, 2 C 4 t, 2 C 8 t ] [5 K t, 7 K t, 7 C 3 t ]

AB va AC tomonlar orasidagi burchakni topish;

> line(AB,[A,B]);line(AC,[A,C]); AB AC

> FindAngle(AB, AC);

AD balandlik, kesishish nuqtasi va uning uzunligini topish;

> with(geom3d):

Define triangle ABC with vertices A, B and C.

> triangle(ABC, [point(A,7,2,2),point(B,5,7,7), point(C,4,6,10)]):

Find the altitude of ABC at A

57

> altitude(hA1,A,ABC); hA1

> form(hA1); lint3d

> detail(hA1);

name of the object: hA1

form of the object: line3d

equation of the line: [_x = 7-10/11*_t, _y = 2+67/11*_t, _z = 2+19/11*_t]

> altitude(hA1,A,ABC,H); hA1

> coordinates(H);

11

41,

11

89,

11

67

> form(hA1); segment3d

> detail(hA1);

name of the object: hA1

form of the object: segment3d

the 2 ends of the segment: [[7, 2, 2], [67/11, 89/11,

41/11]]

> DefinedAs(hA1); [A, H ]

> distance(A,H); 15

11 22

ABC ni yuzasini hisoblash.

> with(geom3d):

Define triangle ABC with vertices A, B and C

> triangle(ABC, [point(A,7,2,2),point(B,5,7,7),point(C,4,6,10)]):

Find the area of ABC

> area(ABC); 15

2 2

> centroid(G,ABC); G

> coordinates(G);

3

19,5,

3

16

58

ABC ni qurinsh.

> with(geom3d):

> triangle(T1,[point(A,7,2,2),point(B,1,7,3), point(C,4,6,10)]):

> draw([T1(color=blue)], title=`Screw-dislacement of a triangle`,

style=patch);

59

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Dyakonov V.P. Maple 6: uchebniyy kurs. SPb.: Piter, 2001.

2. Dyakonov V.P. Matematicheskaya sistema Maple V R3/R4/R5. M.: Solon,

1998.

3. Manzon B.M. Maple V Power Edition. M.: Filin‟, 1998.

4. Govoruxin V.N., Sibulin V.G. Vvedeniye v Maple V. Matematicheskiy

paket dlya vsex. M.: Mir, 1997.

5. Proxorov G.V., Ledenev M.A., Kolbeyev V.V. Paket simvolnix vichisleniy

Maple V. M.: Petit, 1997.

6. Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Elementiy lineynoy algebri i analiticheskoy

geometrii. M.: Nauka. 1989.

7. Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Differensialnoye i integralnoye ischisleniye.

M.: Nauka. 1989.

8. Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Zadachnik. M.: Nauka. 1987.

9. Ilin V.A., Poznyak E.G. Analiticheskaya geometriya. M.: Nauka. 1970.

10. Ilin V.A., Poznyak E.G. Lineynaya algebra. M.: Nauka. 1970.

11. Nikolskiy S.M. Kurs matematicheskogo analiza (2 t.). M.: Nauka,1991.

12. Elsgols L.E. Differensialniyye uravneniya i variasionnoye ischisleniye. M.:

Editorial, 2000.

13. Eshtemirov S., Aminov I.B. , Nomozov F. Maple muhitida ishlash asoslari.

Uslubiy qo‟llanma. –SamDU, Samarqand, 2009 y.

chilari va o‟quvchilari uchun Matematik paket “Maple...

Documents

Transcript of chilari va o‟quvchilari uchun Matematik paket “Maple...