Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007 Sistemi di Supporto alle...

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

Sistemi di Supporto alle

Decisioni I

Lezione 3

Chiara MocenniCorso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale

e L2 in Ingegneria InformaticaIII ciclo


Funzione di utilità e attitudini al rischio del decisore

• Nel seguito vedremo come la funzione di utilità, a seconda della sua forma, può tenere conto delle diverse attitudini al rischio del decisore.

Assumeremo, per semplicità che le conseguenze possano essere rappresentate da numeri reali e che le preferenze del decisore aumentino all’aumentare di tali valori.


Valutazione di una lotteria

• Data una lotteria L, è possibile associarvi

• E[L] =

• U[L] =

∑i=1

r

p iu x i

∑i=1

r

p iu x i

Valore oggettivo

Valore soggettivo


Equivalente certo di una lotteria• L’equivalente certo xc di una lotteria

L è quella somma avente utilità pari all’utilità attesa della lotteria

u(xc) = U[L]


Equivalente certo di una lotteria• Il decisore è indifferente tra

ricevere xc o partecipare alla lotteria L

• xc rappresenta la minima cifra che il decisore è disposto a ricevere per non partecipare alla lotteria L


Premio di rischio

• Data una lotteria L, il premio di rischio p è definito come

p = E[L] - xc

• p può interpretarsi come quella parte del valore atteso E[L] cui si è disposti a rinunciare pur di non partecipare alla lotteria L


Premio di rischio (esempio)

40 L0.5

0.5

100

0

= E[L] - xc = 50 – 40 = 10

~


Premio di rischio

• Il premio di rischio non è necessariamente positivo (e.g. individuo che deve necessariamente reperire 100 euro)

• A seconda del segno di p si hanno diversi atteggiamenti rispetto al rischio


Atteggiamenti rispetto al rischio

• p = E[L] - xc > 0

avverso al rischio

• p = E[L] - xc < 0

propenso al rischio

• p = E[L] - xc = 0

indifferente al rischio



Lp

1-p

x1

x2

E[L] = p x1 +(1-p) x2

U[L] = p u(x1) +(1-p) u(x2)



E[L] = p x1 +(1-p) x2

xc = u-1(p u(x1) +(1-p) u(x2))

Se il decisore è avverso al rischio,

p x1 +(1-p) x2 u-1(p u(x1) +(1-p) u(x2))

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007E[L]x1 x2

U[L]

xc

u(x1)

u(x2)

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007E[L]= xc

x1 x2

U[L]

u(x1)

u(x2)

=0


Premio di assicurazione

Lp

1-p

-K

0

K valore del bene da assicurare

q somma di assicurazione

p probabilità di perdere il bene


Lp

1-p

-K

0

E[L] = – p K + (1-p)*0-q è l’equivalente certo di questa

lotteria


Premio di assicurazione

p = E[L] – xc = – p K – (–q)

Ossia: q = p + p K

• Dunque p rappresenta l’eccesso rispetto al valore atteso


• Le persone preferiscono pagare un piccolo premio di assicurazione piuttosto di scommettere il prezzo della loro casa sul fatto che non si verifichi un incendio.

• Dal punto di vista dell’agenzia di assicurazioni il valore della casa e’ molto piccolo rispetto alle riserve finanziarie totali: la curva di utilita’ dell’assicuratore e’ lineare in quella regione e la scommessa non costa quasi nulla alla compagnia.


Determinazione delle probabilità • A questo punto occorre avere

informazioni sulla verosimiglianza con cui diversi stati di natura potranno presentarsi

• Si opera col meccanismo dell’intervista…


a1

Variazione indice Dow-Jones (%)

110

< -3 [-3,+2] > +2

a2

a3

110 110

100 105 115

90 100 120

Decisioni

probabilità 0.2 0.4 0.4


Utilità attesa dei tre investimentiU[a1] = 0.2 *u(110) + 0.4*u(110) +0.4*u(110)

= 0.8

U[a2] = 0.2 *u(100) + 0.4*u(105) +0.4*u(115) = 0.7

U[a3] = 0.2 *u(90) + 0.4*u(100) +0.4*u(120) = 0.56


Analisi della sensibilità

• Per giungere a una soluzione più ponderata, occorre sottoporre ad analisi le preferenze espresse dal decisore

• Un decisore non ha capacità di discernimento infinita


Analisi della sensibilità (II)

• Poiché l’utilità della lotteria a1 è ritenuta superiore alle altre, occorre trovare:– un limite inferiore al valore di U[a1] e

– un limite superiore al valore di U[a2] e U[a3]


Analisi della sensibilità (III)

110 L0.75

0.25

120

90

• Supponiamo il decisore preferisca i 110 sicuri


Analisi della sensibilità (IV)

110 L0.75

0.25

120

90

u(110) > 0.75*u(120) + 0.25*u(90)=0.75


Analisi della sensibilità (V)

• Analogamente possono stabilirsi limiti superiori:

u(100) < 0.45

u(105) < 0.64

u(115) < 0.96

• Usando questi valori-limite nelle utilità di a2 e a3 si possono ottenere indicazioni più complete


Utilità attesa dei tre investimenti (rivista)U[a1] > 0.75

U[a2] < 0.2 *0.45 + 0.4*0.64 +0.4*0.96= 0.73

U[a3] < 0.2 *0 + 0.4*0.45 +0.4*1= 0.58

• Alla luce dell’analisi della sensibilità, l’investimento a1 sembra il più adatto al decisore in esame

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007 Sistemi di Supporto alle...

Documents

Transcript of Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007 Sistemi di Supporto alle...