Chde ltdh-mon-toan-mathvn.com-2013

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 1 -

I/ PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu 1 (2 điểm):

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)... Câu 2 (1 điểm):

Công thức lượng giác, phương trình lượng giác. Câu 3 (1 điểm):

Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số. Câu 4 (1 điểm):

- Tìm giới hạn. - Tìm nguyên hàm, tính tích phân. - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Câu 5 (1 điểm):

Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Câu 6 (1 điểm):

Bài toán tổng hợp. II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2). Theo chương trình chuẩn: Câu 7a (1 điểm):

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Đường tròn, elip. - Viết phương trình đường thẳng. - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. Câu 8a (1 điểm)

Phương pháp tọa độ trong không gian: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Đường tròn, Mặt cầu. - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu 9a (1 điểm):

- Số phức. - Tổ hợp, xác suất, thống kê. - Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số. Theo chương trình nâng cao: Câu 7b (1 điểm):

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Đường tròn, ba đường conic. - Viết phương trình đường thẳng. - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. Câu 8b (1 điểm):

Phương pháp tọa độ trong không gian: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Đường tròn, mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu 9b (1 điểm):

- Số phức. - Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và một số yếu tố liên quan. - Sự tiếp xúc của hai đường cong. - Hệ phương trình mũ và lôgarit. - Tổ hợp, xác suất, thống kê. - Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số. Theo Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

http://www.mathvn.com/2012/11/cau-truc-e-thi-ai-hoc-mon-toan-nam-2013.html


ếp


1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị:

- Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải của 3 dạng hàm số sau:

- Lƣu ý khi vẽ đồ thị:

+ Không đƣợc vẽ đồ thị ra ngoài mặt phẳng tọa độ.

+ Nét vẽ đồ thị phải trơn, không có chỗ gấp khúc. Thể hiện sự “uốn” của đồ thị tại các điểm uốn.

+ Đánh dấu tọa độ của các giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ; các điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn

(nếu có).

2. Phƣơng trình lƣợng giác:

- Ghi nhớ các công thức lƣợng giác, quan hệ giữa các góc lƣợng giác, giá trị lƣợng giác của các góc đặc

biệt và cách giải các dạng phƣơng trình lƣợng giác đƣợc nêu trong SGK.

- Thông thƣờng ta nên hạ bậc các biểu thức lƣợng giác bậc cao về các biểu thức lƣợng giác bậc thấp

hơn có trong phƣơng trình để dễ dàng đƣa về phƣơng trình tích.

- Nếu trong phƣơng trình chủ yếu là các hàm lƣợng giác sin và cos thì ta nên biến đổi các hàm tan và

cot về các hàm sin và cos.

3. Phƣơng trình (vô tỉ), bất phƣơng trình (vô tỉ), hệ phƣơng trình, phƣơng trình logarit:

- Thuộc các công thức logarit.

- Nắm rõ cách giải các pt, bpt cơ bản.

- Ứng dụng thành thạo 2 phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình cơ bản là PP thế và PP cộng đại số, trong

đó PP thế là PP đƣợc ứng dụng nhiều nhất.

- Nắm rõ cách giải các dạng hpt thông dụng: đối xứng loại 1, loại 2; hệ đẳng cấp.

- Nhiều phƣơng trình, bất phƣơng trình và hệ phƣơng trình có thể giải dễ dàng bằng cách đặt ẩn phụ

(thông thƣờng ta phải biến đổi một chút để có thể nhìn ra ẩn phụ cần phải đặt).

4. Nguyên hàm, tích phân:

- Nắm rõ nguyên hàm của các hàm thông dụng.

- Nắm rõ 2 phƣơng pháp thông dụng để tính tích phân: phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phân

từng phần:

+ Phƣơng pháp đổi biến thƣờng áp dụng cho các hàm đa thức, phân thức và có chứa căn thức.

+ Phƣơng pháp tích phân từng phần thƣờng áp dụng cho những hàm có dạng tích của 2 biểu thức khác

nhau về bản chất: đa thức – lƣợng giác, đa thức-hàm mũ, đa thức – hàm logarit, lƣợng giác- hàm mũ.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


- Lƣu ý về tích phân của hàm số lẻ, hàm số chẵn.

- Trong một số trƣờng hợp, ta có thể đổi biến bằng cách đặt.

5. Hình học không gian:

- Nắm vững công thức tính thể tích của các khối thông dụng.

- Ứng dụng các định lí về quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian để tạo đƣợc mối liên

hệ giữa độ dài các cạnh và các góc, qua đó tính đƣợc độ dài các cạnh và số đo của các góc chƣa biết.

6. Bất đẳng thức, cực trị:

- Nắm vững các bất đẳng thức thông dụng, đặc biệt là BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki.

- Với một số bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến, ta nên quy về cực trị của hàm 1 biến rồi dùng ứng

dụng của đạo hàm trong việc tìm min, max của hàm số.

7. Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian: Nên ghi định hƣớng làm bài (sơ đồ

giải) trƣớc khi giải.

8. Số phức: Một số bài toán có thể ứng dụng công thức Moa-vrơ nếu có thể đƣa các số phức về dạng

lƣợng giác của các góc đặc biệt.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá ......................................................................................................... 16

1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1. .................................................................................................... 16

2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2. .................................................................................................... 16

Vaán ñeà 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị ................................................................................. 16

Vaán ñeà 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị............................................................................... 16

Vaán ñeà 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ .............................................................................. 17

1. Định nghĩa: .......................................................................................................................... 17

2. Chú ý: .................................................................................................................................. 17

Vaán ñeà 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ....................................... 17

1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng) .............................. 17

Vaán ñeà 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) .. 18

1. Dạng 1:F(x, m) = 0 f(x) = m (1) ................................................................................... 18

2. Dạng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2) ............................................................................... 18

3. Dạng 3: F(x, m) = 0 f(x) = kx + m (3) ........................................................................... 18

4. Dạng 4: F(x, m) = 0 f(x) = m(x – x0) + y0 (4) ................................................................ 18

Vaán ñeà 7: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị ........................................................ 18

Vaán ñeà 8: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị ............................................. 18

1. Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3 ........................................................ 19

Trƣờng hợp 1: ............................................................................................................ 19 1.1.

Trƣờng hợp 2: ............................................................................................................ 19 1.2.

Trƣờng hợp 3: ............................................................................................................ 19 1.3.

2. Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu .......................................................... 19

Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt ....................................................... 19 2.1.

rƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt .......................................................... 19 2.2.

Vaán ñeà 9: SỰ TIẾP XÖC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG. ................ 19

Vaán ñeà 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng) ....................... 19

1. Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y =f(x) tại điểm 0 0 0

;M x y : ................ 20

2. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho

trƣớc. ................................................................................................................................... 20

3. Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết đi qua điểm ( ; )A A

A x y .

............................................................................................................................................. 20

Vaán ñeà 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc .............................................................................. 20

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C1): y = f(x) và C2): y = g(x) ........... 21

Vaán ñeà 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song

hoặc vuông góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc ......................................................... 21

Vaán ñeà 14: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với

đồ thị (C): y = f(x) ........................................................................................................... 21

Vaán ñeà 15: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp

tuyến đó vuông góc với nhau .......................................................................................... 21

Vaán ñeà 16: HỌ ĐỒ THỊ .................................................................................................................... 22

Vaán ñeà 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) ........................................................... 22

Vaán ñeà 18: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua ...................... 22

Vaán ñeà 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua................................. 22

Vaán ñeà 20: TẬP HỢP ĐIỂM........................................................................................................ 23

1. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M. ........................................................................................ 23

2. Dạng 2: ................................................................................................................................ 23

Vaán ñeà 21: HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng) .................................. 23

1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số ( )y f x . ................................................................................. 23

2. Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x . .......................................................................... 23

Vaán ñeà 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên ...................................................... 24

Vaán ñeà 23: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b .......... 24

Vaán ñeà 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) ................................. 24

Vaán ñeà 25: Khoảng cách .................................................................................................................... 25

Vaán ñeà 1: Coâng thöùc löôïng giaùc .......................................................................................................... 26

1. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc ) .................................................................................. 26

2. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc ) ............................................................................... 26

3. COÂNG THÖÙC NHAÂN ........................................................................................................ 26

NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc) ..................................................................................... 26 3.1.

NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc) ....................................................................................... 27 3.2.

4. HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc) ................................................................................................... 27

5. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc) ....................................................................................... 27

6. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc) ............................................................................. 27

7. TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc) ............................................................................. 27

8. CUNG LIEÂN KEÁT : ............................................................................................................ 28

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 2: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC ................................................................................ 28

1. CÔ BAÛN : ........................................................................................................................... 28

2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos ..................................................... 28

Daïng asinx + bcosx = c (1) ( a2 + b

2 0 ) ............................................................. 28 2.1.

3. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI: ............................................................................................ 29

Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc: .............................................................................. 29 3.1.

Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx .............................................................. 29 3.2.

Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx:.................................................................... 29 3.3.

4. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT : ........................................................................................ 30

Toång bình phöông : ................................................................................................... 30 4.1.

Ñoái laäp : ..................................................................................................................... 30 4.2.

Vaán ñeà 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC ............................................ 30

1. Phƣơng pháp 1: Dùng các công thức lƣợng giác đƣa về phƣơng trình dạng tích. .............. 30

2. Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng trình đại số: ............ 31

3. Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác về việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác bằng

cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. .................................................................. 31

4. Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.......................................................................... 32

Vaán ñeà 4: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC .................................................................... 36

1. Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù) ......................................................................................... 36

Chuù yù: ........................................................................................................................ 37 1.1.

2. Heä thöùc löôïng tam giaùc vuoâng: ......................................................................................... 37

Vaán ñeà 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ..................................................................................... 37

Vaán ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT: Ax = B ...................... 39

................................................... 39 1. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ VEÀ PT VAØ BPT OÂN THI ÑAÏI HOÏC:

Vaán ñeà 2: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN SOÁ ......................................................... 39

............................... 40 1. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH OÂN THI ÑAÏI HOÏC:

Phƣơng pháp đƣa về dạng tích................................................................................... 42 1.1.

Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ....................................................... 42 1.2.

Vaán ñeà 3: PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI MOÄT AÅN ax2 + bx + c = 0 ( a 0) ................................ 43

Vaán ñeà 4: DAÁU NHÒ THÖÙC ........................................................................................................... 44

Vaán ñeà 5: DAÁU TAM THÖÙC .......................................................................................................... 44

Vaán ñeà 6: SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI VÔÙI CAÙC SOÁ ............................ 44

Vaán ñeà 7: PHÖÔNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN ........................................... 45

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


1. Aùp duïng: ............................................................................................................................. 46

a. Để bình phƣơng 2 vế phƣơng trình – bất phƣơng trình thì một là ta biến đổi cho 2 1.1.

vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm. ............................................................ 47

Chuyển về phƣơng trình – bất phƣơng trình tích: ..................................................... 47 1.2.

Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với ,0 1iA i n khi đó pt tƣơng đƣơng 1.3.

với: , ,1 20 0 0nA A A . .................................................................................................. 48

Sử dụng lập phƣơng: .................................................................................................. 48 1.4.

Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẩu: ....................................................................... 48 1.5.

1.5.1. TH1: Mẩu luôn dƣơng hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu: ............................ 48

1.5.2. TH2: Mẩu âm dƣơng trên từng khoảng thì ta chia thành từng trƣờng hợp: ........... 49

Dạng 2: ....................................................................................................................... 49 1.6.

Dạng 3: ....................................................................................................................... 50 1.7.

Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để). ......................................................................... 50 1.8.

Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lƣợng giác). ................................................................ 51 1.9.

Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình). .......................................................... 51 1.10.

2. Phƣơng pháp hàm số ........................................................................................................... 52

Vaán ñeà 8: PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI ................................................... 54

Vaán ñeà 9: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI .............................................. 54

Vaán ñeà 1: BAÛNG TÍCH PHAÂN ........................................................................................................ 55

1. Coâng thöùc NewTon _ Leibnitz : ........................................................................................ 55

2. Tích phaân töøng phaàn : ........................................................................................................ 55

3. Ñoåi cô soá : ........................................................................................................................... 55

4. Tính chaát : ........................................................................................................................... 55

5. Baûng tích phaân : ................................................................................................................. 55

Vaán ñeà 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá ............................................................. 57

Vaán ñeà 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ............................................... 58

Vaán ñeà 4: Thieát laäp coâng thöùc truy hoài .......................................................................................... 58

Vaán ñeà 5: ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN ..................................................................................................... 58

1. Dieän tích hình phaúng .......................................................................................................... 58

2. Theå tích vaät theå .................................................................................................................. 59

Vaán ñeà 1: MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VAØ THÖÔØNG DUØNG TRONG VIEÄC GIAÛI TOAÙN

HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN. ......................................................................................... 60

Vaán ñeà 2: Khoaûng caùch trong khoâng gian ...................................................................................... 61

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng ........................................................... 61

2. Khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một mặt phẳng: ...................................................... 62

3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : ........................................................ 62

4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng..................................................................................... 62

Vaán ñeà 3: Caùch xaùc ñònh goùc trong khoâng gian ............................................................................. 63

1. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: ................................................................................................ 63

2. Goùc giöõa hai maët phaúng:.................................................................................................... 63

3. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: ............................................................................... 63

Vaán ñeà 4: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶC BIỆT .............................................................. 64

1. Hình chóp tam giác đều ...................................................................................................... 64

2. Hình chóp tứ giác đều ......................................................................................................... 64

3. Hình chóp có một canh bên vuông góc với đáy .................................................................. 64

4. Phƣơng pháp xác định đƣờng cao các loại khối chóp:........................................................ 65

Vaán ñeà 5: DIEÄN TÍCH & THEÅ TÍCH HÌNH CHOÙP...................................................................... 65

1. DIỆN TÍCH: ........................................................................................................................ 65

Diện tích xung quanh, toàn phần của hình chóp ĐỀU: ............................................. 65 1.1.

2. THỂ TÍCH: ......................................................................................................................... 65

3. TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý) .................................................................................................. 65

4. HÌNH CHÓP CỤT .............................................................................................................. 66

DIỆN TÍCH ............................................................................................................... 66 4.1.

THỂ TÍCH ................................................................................................................. 66 4.2.

Vaán ñeà 6: HÌNH LĂNG TRỤ.......................................................................................................... 66

1. DIỆN TÍCH: ........................................................................................................................ 66

2. THỂ TÍCH: ......................................................................................................................... 67

Vaán ñeà 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU ....................................................................... 67

1. HÌNH TRỤ .......................................................................................................................... 67

Diện tích: ................................................................................................................... 67 1.1.

Thể tích: ..................................................................................................................... 67 1.2.

2. HÌNH NÓN ......................................................................................................................... 67

Diện tích: ................................................................................................................... 67 2.1.

Thể tích: ..................................................................................................................... 67 2.2.

3. HÌNH NÓN CỤT ................................................................................................................ 67

Diện tích: ................................................................................................................... 67 3.1.

Thể tích: ..................................................................................................................... 68 3.2.

4. HÌNH CẦU ......................................................................................................................... 68

Vaán ñeà 8: GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ........................ 68

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


1. PHÖÔNG PHAÙP: ............................................................................................................... 68

2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian ...................................................................... 68

Vaán ñeà 1: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC ....................................................................................................... 73

1. Ñònh nghóa : ........................................................................................................................ 73

2. Tính chaát : ........................................................................................................................... 73

3. BÑT Coâ Si : ........................................................................................................................ 73

4. BÑT Bunhia Coâp ski (chú ý) ............................................................................................. 73

5. BÑT BecnuLi : ................................................................................................................... 73

6. BÑT tam giaùc : ................................................................................................................... 74

Vaán ñeà 2: Cấp số cộng, cấp số nhân ................................................................................................ 74

1. Cấp số cộng: ........................................................................................................................ 74

2. Cấp số nhân: ........................................................................................................................ 74

3. Ví duï: .................................................................................................................................. 74

Vaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ : .................................................................................................. 76

Vaán ñeà 2: ÑÖÔØNG THAÚNG ........................................................................................................... 76

1. Phöông trình tham soá : ....................................................................................................... 76

2. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2 + B

2 0) ............................................... 77

3. Phöông trình phaùp daïng : ................................................................................................... 77

4. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc K : .............................................. 77

5. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) : ................................................... 77

6. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén) ......................................... 77

7. Phöông trình chính taéc : ..................................................................................................... 77

8. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(a, 0), B(0, b) ( ñoaïn chaén ) : ...................................... 77

9. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán Ax + By + C = 0 : ........................................... 77

10. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : .............................................................................. 78

11. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 : ................................................................................... 78

12. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d1 vaø d2 : ......................................... 78

Vaán ñeà 3: ĐƢỜNG TRÕN .............................................................................................................. 79

1. Phƣơng trình đƣờng tròn: .................................................................................................... 79

2. Sự tƣơng giao giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn: ................................................................ 79

3. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn ............................................................................. 79

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Dạng 1: Tiếp tuyến của (C) tại M(x0;y0) có dạng: ..................................................... 79 3.1.

Dạng 2: Tiếp tuyến của (C) đi qua M(x0;y0) .............................................................. 79 3.2.

Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vuông góc) với đƣờng thẳng : Ax + By 3.3.

+ C = 0 79

Dạng 4: Tiếp tuyến của (C) khi biết trƣớc hệ số góc k: ............................................. 80 3.4.

4. Phƣơng trình tích của một điểm M(x0; y0) đối với đƣờng tròn (C): ................................... 80

5. Trục đẳng thức .................................................................................................................... 80

Vaán ñeà 4: CAÙC COÂNG THÖÙC HÌNH HOÏC CÔ BAÛN: ................................................................. 80

1. Tam giác đều cạnh a: .......................................................................................................... 80

2. Tam giác vuông:.................................................................................................................. 80

3. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): .............................................................................. 80

4. Nửa tam giác đều: ............................................................................................................... 80

5. Tam giác cân: ...................................................................................................................... 80

6. Hình chữ nhật: ..................................................................................................................... 80

7. Hình thoi: ............................................................................................................................ 80

8. Hình vuông:......................................................................................................................... 81

9. Hình bình hành: ................................................................................................................... 81

10. Đƣờng tròn: ......................................................................................................................... 81

11. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC ................................................................................. 81

Vaán ñeà 5: ELIP ................................................................................................................................ 81

1. Tiếp tuyến Elip: ................................................................................................................... 81

Vaán ñeà 6: HYPEBOL ...................................................................................................................... 82

1. Tiếp tuyến của Hyperbol: .................................................................................................... 82

Vaán ñeà 7: PARAPOL ...................................................................................................................... 82

1. Tiếp tuyến của Parapol (P): y2 = 2px .................................................................................. 83

Vaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ : .................................................................................................. 83

Vaán ñeà 2: Pheùp toaùn ........................................................................................................................ 83

1. Định nghĩa : ......................................................................................................................... 84

2. Tính chất : ........................................................................................................................... 84

Vaán ñeà 3: PHÖÔNG TRÌNH CUÛA MAËT PHAÚNG ........................................................................ 85

1. Phƣơng trình tham số : ........................................................................................................ 85

2. Phƣơng trình tổng quát : ..................................................................................................... 85

3. Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn : .......................................................................... 85

4. Các dạng chính tắc : ............................................................................................................ 85

5. Chùm mặt phẳng : ............................................................................................................... 86

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


6. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG ............................................................... 86

7. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ........................................................................................ 86

8. KHOẢNG CÁCH ............................................................................................................... 86

Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG ........................................................................... 87

1. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG .......................................................... 87

Phƣơng trình của các trục tọa độ : ............................................................................. 87 1.1.

Chuyển dạng phƣơng trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc : ....................... 87 1.2.

2. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG ......................................................... 87

3. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG .................................. 88

4. GÓC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ........................................................... 88

Góc giữa hai đƣờng thẳng : ....................................................................................... 88 4.1.

Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng : ....................................................................... 89 4.2.

5. KHOẢNG CÁCH ............................................................................................................... 89

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : ........................................................ 89 5.1.

Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng :..................................................... 89 5.2.

Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau : ........................................................ 89 5.3.

6. HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG ................................................................................... 89

Điểm .......................................................................................................................... 89 6.1.

Đƣờng thẳng .............................................................................................................. 90 6.2.

Vaán ñeà 5: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN ............................ 90

1. Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C) .................................... 90

2. Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q) ............................................... 90

3. Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đƣờng thẳng d ......................... 90

4. Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R) ................................................................... 90

5. Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng ........................................ 90

6. Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q) ....................................................................... 91

7. Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d) ..................................................... 91

8. Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. ...................................................................... 91

9. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A ....................................................................... 91

10. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( )........................................................................ 91

11. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q) ........................................................................ 91

12. Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h .............................................................. 91

13. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h ............................................................... 91

14. Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900 .............................. 92

15. Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 900 ............................... 92

16. Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất ................. 92

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


17. Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ......................................... 92

18. Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn(C) có bán

kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trƣớc). ........................................................................... 92

19. Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ........................................... 93

20. Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có

bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trƣớc) .................................................................... 93

21. Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có

bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trƣờng hợp d cắt (S) tại 2 điểm). ........................................... 93

Vaán ñeà 6: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG

GIAN ............................................................................................................................... 93

1. Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c) ......................................... 93

2. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B ............................................................................. 94

3. Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đƣờng thẳng ( ) ............................................... 94

4. Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P) ............................................................................ 94

5. Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2) ...................................... 94

6. Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp ............................................................. 94

7. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) ...................................................................... 94

8. Dạng 8: Viết pt đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đƣờng thẳng d1, d2:....................... 94

9. Dạng 9: Viết pt đƣờng thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 ............................................. 95

10. Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đƣờng thẳng d1 và cắt d2 ............................. 95

11. Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đƣờng thẳng d' ............................ 95

12. Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d1, d2 cho trƣớc. ................. 95

13. Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đƣờng thẳng d' tại giao điểm I

của (P) và d'. ........................................................................................................................ 95

14. Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dƣờng thẳng chéo nhau d1, d2 : .................. 95

15. Dạng 15 : Viết pt đƣờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d1,d2 . ........ 96

16. Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đƣờng thẳng d1 . ................... 96

17. Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc 0 0(0 ;90 ) (= 30

0, 45

0,

600) ...................................................................................................................................... 96

18. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc 0 0(0 ;90 ) . .... 96

19. Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc 0 0(0 ;90 ) . .......... 96

20. Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h. ............ 97

Vaán ñeà 7: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI ............................................................ 97

1. Dạng 1. Xác định vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng và mặt phẳng ............................... 97

2. Dạng 2. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( ) ......................... 97

3. Dạng 3. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc qua mặt phẳng ( ) .............. 97

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


4. Dạng 4. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên đƣờng thẳng ........................ 97

5. Dạng 5. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc ............................................... 98

6. Dạng 6. Xác định hình chiếu vuông góc của đƣờng thẳng lên mp ( ) .......................... 98

7. Dạng 7. Xác định hình chiếu song song của đƣờng thẳng 1 lên mp ( ) theo phƣơng 2 cắt

( ) .................................................................................................................................... 100

8. Dạng 8. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và cắt 1 , 2 với 1 , 2 chéo nhau và

không đi qua M ................................................................................................................. 100

9. Dạng 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng cắt 1 , 2 và song song với 3 .................. 100

10. Dạng 10. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và vuông góc với 1 , cắt 2 trong đó

1 2,M ........................................................................................................................ 101

11. Dạng 11. Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau

1 2, ................................................................................................................................ 102

12. Các bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất : ............................................. 103

Dạng 1: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; ).A x y z B x y z Tìm ( ) : 0M P ax by cz d để 12.1.

(MA+MB)min. ....................................................................................................................... 103


MA MB max. ..................................................................................................................... 104

Dạng 3: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; )A x y z B x y z . Tìm M cho trƣớc sao cho (MA + 12.3.

MB) min................................................................................................................................. 104

Vaán ñeà 8: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ MAËT CAÀU ........................................................................... 105

1. Phƣơng trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R .......................................................... 105

2. Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu .................................................................... 105

3. Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu ......................................................................... 105

4. CAÙC DAÏNG TOAÙN ......................................................................................................... 105

Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A ............................................................................ 105 4.1.

Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB ........................................................................... 106 4.2.

Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp() ................................................................. 106 4.3.

Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD .......................................................... 106 4.4.

Daïng 5: Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α) ....................................................... 106 4.5.

Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A. .......................................................... 106 4.6.

Daïng 7: Vò trí töông ñoái giöõa hai maët caàu: ............................................................ 106 4.7.

Vaán ñeà 1: HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC ................................................................................................... 107

Vaán ñeà 2: ÑAÏO HAØM ................................................................................................................... 107

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


1. Ñònh nghóa ñaïo haøm : ....................................................................................................... 107

2. Qui taéc tính ñaïo haøm : ...................................................................................................... 107

3. Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn : .............................................................. 107

Vaán ñeà 3: LUYÕ THÖØA – LOGARIT ............................................................................................ 109

1. LUYÕ THÖØA ...................................................................................................................... 109

Ñònh nghóa luyõ thöøa ................................................................................................ 109 1.1.

Tính chaát cuûa luyõ thöøa ............................................................................................ 109 1.2.

Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc .................................................................... 109 1.3.

2. II. LOGARIT .................................................................................................................... 110

Ñònh nghóa ............................................................................................................... 110 2.1.

Tính chaát .................................................................................................................. 110 2.2.

Caùc qui taéc tính logarit ........................................................................................... 110 2.3.

Ñoåi cô soá ................................................................................................................. 110 2.4.

Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ, PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT .............................................. 110

1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ..................................................................................................... 110

Phöông trình muõ cô baûn: ......................................................................................... 110 1.1.

Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ ........................................................... 111 1.2.

1.2.1. Ñöa veà cuøng cô soá: .............................................................................................. 111

1.2.2. Logarit hoaù: ......................................................................................................... 111

1.2.3. Ñaët aån phuï: .......................................................................................................... 111

1.2.4. Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá: .................................................................... 111

2. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT .......................................................................................... 111

Phöông trình logarit cô baûn .................................................................................... 111 2.1.

Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit ...................................................... 111 2.2.

Vaán ñeà 5: BAÁT PHÖÔNG, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT .................................... 112

Vaán ñeà 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ........................................................................................ 112

Vaán ñeà 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................ 112

Vaán ñeà 1: HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP ......................................................................... 113

1. Hoaùn vò : ........................................................................................................................... 113

2. Toå hôïp :............................................................................................................................. 113

3. Chænh hôïp : ....................................................................................................................... 113

Vaán ñeà 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT ....................................................................................... 113

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


1. Nguyên tắc đếm ................................................................................................................ 113

Chú ý:....................................................................................................................... 113 1.1.

2. XÁC SUẤT ....................................................................................................................... 113

Không gian mẫu: ...................................................................................................... 113 2.1.

Xác suất: .................................................................................................................. 113 2.2.

CÁC CÔNG THỨC ................................................................................................. 113 2.3.

Vaán ñeà 3: Nhị thức NIUTƠN ........................................................................................................ 114

1. Công thức nhị thức Newtơn: ............................................................................................. 114

2. Các nhận xét về công thức khai triển: ( )na b .............................................................. 114

3. Một số dạng đặc biệt: ........................................................................................................ 114

4. Các dạng toán ứng dụng nhị thức NewTơn ...................................................................... 115

1. Khaùi nieäm soá phöùc ........................................................................................................... 117

2. Bieåu dieãn hình hoïc: .......................................................................................................... 117

3. Coäng vaø tröø soá phöùc: ........................................................................................................ 117

4. Nhaân hai soá phöùc : ........................................................................................................... 117

5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z a bi ................................................... 118

6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi....................................................................................... 118

7. Chia hai soá phöùc: .............................................................................................................. 118

8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc: ................................................................................................. 118

9. Phöông trình baäc hai Az2 + Bz + C = 0 ........................................................................... 118

10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: ......................................................................................... 118

11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc ....................................................................... 119

12. Coâng thöùc Moa–vrô: ........................................................................................................ 119

13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: ............................................................. 119

14. Các dạng bài tập: ............................................................................................................... 119

Dạng 1 : Tìm mô đun ,căn bậc hai của số phức, giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình 14.1.

trên tập số phức ..................................................................................................................... 119

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức .......................................................... 123 14.2.

Dạng 3: Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số , dạng lƣợng giác .............................. 124 14.3.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá

1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

Tìm f (x).

Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.

2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

Tính f (x).

Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).

Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).

+ Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.

+ Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.

Vaán ñeà 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.

2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.

Chú ý:

Hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d có cực trị Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

+ 3 2

0 0 0 0( )y x ax bx cx d

+ 0 0

( )y x Ax B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.

Hàm số 2

' '

ax bx cy

a x b

= ( )

( )

P x

Q x

(aa 0) có cực trị Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác '

'

b

a

.

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

0

0

0

( )

( )

( )

P xy x

Q x

hoặc 0

0

0

'( )

( )

'( )

P xy x

Q x

Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et.

Vaán ñeà 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị

1. Hàm số bậc ba 3 2

( )y f x ax bx cx d .

Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.

Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:

1 1 1

2 2 2

( )

( )

y f x Ax B

y f x Ax B

Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.

2. Hàm số phân thức

2( )

( )

( )

P x ax bx cy f x

Q x dx e

.

Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 0

0

0

'( )

'( )

P xy

Q x

.

Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:

'( ) 2

'( )

P x ax by

Q x d

.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

1. Định nghĩa:

Đƣờng thẳng 0

x x đgl đƣờng tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x nếu ít nhất một trong các điều

kiện sau đƣợc thoả mãn:

0

lim ( )

x x

f x

;

0

lim ( )

x x

f x

;

0

lim ( )

x x

f x

;

0

lim ( )

x x

f x

Đƣờng thẳng 0

y y đgl đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x nếu ít nhất một trong các

điều kiện sau đƣợc thoả mãn:

0

lim ( )

x

f x y

;

0lim ( )

x

f x y

Đƣờng thẳng , 0y ax b a đgl đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )y f x nếu ít nhất một trong

các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:

lim ( ) ( ) 0

x

f x ax b

; lim ( ) ( ) 0

x

f x ax b

2. Chú ý:

a) Nếu ( )( )

( )

P xy f x

Q x

là hàm số phân thức hữu tỷ.

Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng 0

x x .

Nếu bậc(P(x)) bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.

Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.

b) Để xác định các hệ số a, b trong phƣơng trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:

( )lim ; lim ( )

x x

f xa b f x ax

x

hoặc ( )lim ; lim ( )

x x

f xa b f x ax

x

Vaán ñeà 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng)

Tìm tập xác định của hàm số.

Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y.

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.

Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phƣơng).

– Tính y.

– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.

+ Vẽ các đƣờng tiệm cận (nếu có) của đồ thị.

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị nhƣ giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trƣờng

hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm

thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


y

x

m A (C)

c.(d) : y yC

yC

x

y

x A

y = kx

m (C

M

M

b1

b2

d1

d d2

O

Vaán ñeà 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng)

Cơ sở của phƣơng pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

Để biện luận số nghiệm của phƣơng trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

1. Dạng 1:F(x, m) = 0 f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phƣơng trình hoành độ giao điểm của hai đƣờng:

(C): y = f(x)

d: y = m

d là đƣờng thẳng cùng phƣơng với trục hoành.

Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

2. Dạng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tƣơng tự nhƣ trên, có thể đặt g(m) = k. Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.

3. Dạng 3: F(x, m) = 0 f(x) = kx + m (3)

(k: không đổi)

Khi đó (3) có thể xem là phƣơng trình hoành độ

giao điểm của hai đƣờng:

(C): y = f(x)

d: y = kx + m

Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phƣơng với đƣờng thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0;

m).

Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) có hệ số góc k.

Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, … để biện luận.

4. Dạng 4: F(x, m) = 0 f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phƣơng trình

hoành độ giao điểm của hai đƣờng:

(C): y = f(x)

d: y = m(x – x0) + y0

d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0).

Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) đi qua M0.

Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận.

Chú ý:

Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: x thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với x .

Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.

Vaán ñeà 7: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong

đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Vaán ñeà 8: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: 3 20ax bx cx d (a 0) (1)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: 3 2( )y f x ax bx cx d

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


x1 xA xB xC C

(C)

yCĐ

y

A o

x2

x

a > 0

yCT

B

f(0)

x1 x

A

xB x

C

C

(

Cy

CĐ

y

A o

x2

x

a > 0

y

CT

B

f(0

)

x1 x

A xB x

C

C

(C)

y

CĐ

y

A o x2 x

a < 0

y

CT

B f(

0)

(C)

A x0 O x

y

(h.1a)

(C)

A x0 x

y

(h.1b) x1 o x2 yCT

yCĐ

1. Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3

Trƣờng hợp 1: 1.1.

(1) chỉ có 1 nghiệm

(C) và Ox có 1 điểm chung

CÑ CT

f khoâng coù cöïc trò h a

f coù cöïc tròh b

y y

( .1 )

2 ( .1 )

. 0


(1) có đúng 2 nghiệm (C) tiếp xúc với Ox

2( .2)

. 0CÑ CT

f coù cöïc tròh

y y


(1) có 3 nghiệm phân biệt (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

2( .3)

. 0CÑ CT

f coù cöïc tròh

y y

2. Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt 2.1.

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

2

. 0

0, 0

. (0) 0 ( 0)

CÑ CT

CÑ CT

f coù cöïc trò

y y

x x

a f hay ad

rƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt 2.2.

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

2

. 0

0, 0

. (0) 0 ( 0)

CÑ CT

CÑ CT

f coù cöïc trò

y y

x x

a f hay ad

Vaán ñeà 9: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG.

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị

(C) của hàm số tại điểm 0 0 0

; ( )M x f x .

Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0 0

; ( )M x f x là:

y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0))

2. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phƣơng trình sau có

nghiệm:

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

(*)Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đƣờng đó.

3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau phƣơng trình

2ax bx c px q có nghiệm kép.

Vaán ñeà 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


1. Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y =f(x) tại điểm 0 0 0

;M x y :

Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).

Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.

Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).

Phương trình tiếp tuyến là: y – y0 = f (x0).(x – x0)

2. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trƣớc.

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).

có hệ số góc k f (x0) = k (1)

Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

Phương trình đường thẳng có dạng: y = kx + m.

tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( )

'( )

f x kx m

f x k

(*)

Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của .

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau:

+ tạo với chiều dương trục hoành góc thì k = tan

+ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a 0) thì k = 1

a

+ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc thì tan

1

k a

ka

3. Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết đi qua điểm ( ; )A A

A x y .

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0).

Phương trình tiếp tuyến tại M: y – y0 = f (x0).(x – x0)

đi qua ( ; )A A

A x y nên: yA – y0 = f (x0).(xA – x) (2)

Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

Phương trình đường thẳng đi qua ( ; )A A

A x y và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)

tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )

'( )

A Af x k x x y

f x k

(*)

Vaán ñeà 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc

1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có

nghiệm:

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

(*)

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.

2. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau phương trình 2ax bx c px q có nghiệm kép.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C1): y = f(x) và C2): y = g(x)

1. Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

u là hoành độ tiếp điểm của và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của và (C2).

tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( ) (1)

'( ) (2)

( ) (3)

'( ) (4)

f u au b

f u a

g v av b

g v a

Từ (2) và (4) f (u) = g (v) u = h(v) (5)

Thế a từ (2) vào (1) b = (u) (6)

Thế (2), (5), (6) vào (3) v a u b. Từ đó viết phương trình của .

2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp

tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.

Vaán ñeà 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song

hoặc vuông góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc

Gọi M(x0; y0) (C). là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f (x0).

Vì // d nên f (x0) = kd (1)

hoặc d nên f (x0) = 1

dk

(2)

Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0) (C).

Vaán ñeà 14: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với

đồ thị (C): y = f(x)

Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) d.

Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM

tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)

'( ) (2)

M Mf x k x x y

f x k

Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)

Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Vaán ñeà 15: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp

tuyến đó vuông góc với nhau

Gọi M(xM; yM).

Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM

tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)

'( ) (2)

M Mf x k x x y

f x k

Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)

Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau f (x1).f (x2) = –1

Từ đó tìm được M.

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


1 2

(3) 2

( ). ( ) 0

coù nghieäm phaân bieät

f x f x

Vaán ñeà 16: HỌ ĐỒ THỊ

Cho họ đƣờng (Cm): y = f(x, m) (m là tham số).

M(x0; y0) (Cm) y0 = f(x0, m) (1)

Xem (1) là phƣơng trình theo ẩn m.

Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M.

Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M.

Khi đó, M đƣợc gọi là điểm cố định của họ (Cm).

Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M.

Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M.

Vaán ñeà 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m)

Cách 1:

Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).

M(x0; y0) (Cm), m y0 = f(x0, m), m (1)

Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: (1) Am + B = 0, m

Dạng 2: (1) 20Am Bm C , m

0

0

A

B

(2a)

0

0

0

A

B

C

(2b)

Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.

Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0.

Cách 2:

Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).

M(x0; y0) (Cm), m y0 = f(x0, m), m (1)

Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi.

F (m) = 0 (3)

Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định.

Vaán ñeà 18: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua

Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua.

M(x0; y0) (Cm), m y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1)


Dạng 1: (1) Am + B = 0 vô nghiệm m 0

0

A

B

(2a)

Dạng 2: (1) 20Am Bm C vô nghiệm m

2

0

0

0

4 0

A B

C

A

B AC

(2b)

Chú ý: Kết quả là một tập hợp điểm.

Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua.

Vaán ñeà 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua

Ta có: M(x0; y0) (Cm) y0 = f(x0, m) (1)


www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Am + B = 0 (2a) hoặc 2

0Am Bm C (2b)

Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (Cm) đi qua M.

Vaán ñeà 20: TẬP HỢP ĐIỂM

Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất .

Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phƣơng trình của tập hợp điểm đó.

1. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M.

1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M.

2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m.

Có các trƣờng hợp xảy ra:

Trƣờng hợp 1: M ( )

( )

x f m

y g m

Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:

F(x, y) = 0 (gọi là phƣơng trình quĩ tích)


( )

x a haèng soá

y g m

Khi đó điểm M nằm trên đƣờng thẳng x = a.


( )

x f m

y b haèng soá

Khi đó điểm M nằm trên đƣờng thẳng y = b.

3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bƣớc 1), ta tìm đƣợc điều kiện của x hoặc y để

tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ tích.

4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phƣơng trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x

hoặc y (ở bƣớc 3).

2. Dạng 2:

Trong trƣờng hợp ta không thể tính đƣợc toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ thiết lập đƣợc một hệ thức

chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm đƣợc hệ thức dạng F(x, y) = 0.

Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình

F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích.

Vaán ñeà 21: HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng)

Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Vẽ đồ thị hàm số tƣơng ứng trong các khoảng của miền xác định.

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.

1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số ( )y f x .

Đồ thị (C) của hàm số ( )y f x có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dƣới trục hoành qua trục hoành.

+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.

2. Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x .

Đồ thị (C) của hàm số y f x có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


(d) (C)

(D)

B

A I

ABI

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.

+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.

Vaán ñeà 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )

( )

P xy

Q x

có toạ độ là những số nguyên:

Phân tích ( )

( )

P xy

Q x

thành dạng

( )

( )

ay A x

Q x

, với A(x) là đa thức, a là số nguyên.

Khi đó x

y

Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số của a.

Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.

Vaán ñeà 23: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d d là trung trực của đoạn AB

Phương trình đường thẳng vuông góc với d: y = ax = b có dạng:

: 1

y x m

a

Phương trình hoành độ giao điểm của và (C):

f(x) = 1x m

a

(1)

Tìm điều kiện của m để cắt (C) tại 2 điểm

phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).

Tìm toạ độ trung điểm I của AB.

Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d I d, ta tìm

được m xA, xB yA, yB A, B.

Chú ý: A, B đối xứng nhau qua trục hoành A B

A B

x x

y y

A, B đối xứng nhau qua trục tung A B

A B

x x

y y

A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b 2

A B

A B

x x

y y b

A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a 2A B

A B

x x a

y y

Vaán ñeà 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I I là trung điểm của AB.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),

có hệ số góc k có dạng: ( )y k x a b .

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

f(x) = ( )k x a b (1)

Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).

Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I I là trung điểm của AB, ta tìm được k xA, xB.

Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O A B

A B

x x

y y

Vaán ñeà 25: Khoảng cách

Kiến thức cơ bản:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB= 2 2

( ) ( )B A B Ax x y y

2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0:

d(M, ) = 0 0

2 2

ax by c

a b

3) Diện tích tam giác ABC:

S = 2

2 21 1. .sin . .

2 2

AB AC A AB AC AB AC

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 1: Coâng thöùc löôïng giaùc

1. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc )

1/. 122 xCosxSin

2/.

Cosx

SinxTanx

3/.

Sinx

CosxCotx

4/. 1. CotxTanx

5/.

xCosxTan

2

2 11

6/.

xSinxCot

2

2 11

Ñieàu kieän toàn taïi :

Tanx laø x / 2 + k , k Z

Cotx laø x k , k Z

Sinx laø – 1 Sinx 1

Cosx laø – 1 Cosx 1

Chuù yù :

a2

+ b2

= ( a + b)2

– 2ab

a3

+ b3

= ( a + b)3

– 3ab( a + b)

2. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc )

Nhớ: “ Sin thì sin cos, cos sin

Cos thì cos cos, sin sin nhớ trừ (dấu đối)”

7/. SinaSinbCosaCosbbaCos )(

8/. SinaSinbCosaCosbbaCos )(

9/. CosaSinbSinaCosbbaSin )(

10/. CosaSinbSinaCosbbaSin )(

11/.

TanaTanb

TanbTanabaTan

1)(

12/.

TanaTanb

TanbTanabaTan

1)(

13/.

CotbCota

CotaCotbbaCot

1)(

14/.

CotbCota

CotaCotbbaCot

1)(

3. COÂNG THÖÙC NHAÂN

NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc) 3.1.

15/. SinaCosaaSin 22

16/. )tan1(21122 222222 aaCosaSinaCosaSinaCosaCos

17/.

aTan

TanaaTan

21

22

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc) 3.2.

18/. CosaaCosaCos 343 3

19/. aSinSinaaSin 3433

20/.

aTan

aTanTanaaTan

2

3

31

33

4. HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc)

21/.

2

212 aCosaSin

aSinaCos 2221

22/.

2

212 aCosaCos

aCosaCos 2221

23/.

4

333 aSinSinaaSin

24/.

4

333 aCosCosaaCos

5. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)

25/. 21

2

t

tSinx

26/.

2

2

1

1

t

tCosx

, vôùi

2

xTant

27/.

6. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc)

Nhớ: “Sin cộng sin bằng hai lần sin cos. Sin trừ sin bằng hai lần cos sin

Cos cộng cos bằng hai lần cos cos. Cos trừ cos bằng hai lần cos sin”

28/.

222

baCos

baCosCosbCosa

29/.

222

baSin

baSinCosbCosa

30/.

222

baCos

baSinSinbSina

31/.

222

baSin

baCosSinbSina

32/.

CosaCosb

baSinTanbTana

)(

33/.

CosaCosb

baSinTanbTana

)(

34/.

SinaSinb

baSinCotbCota

)(

35/.

SinaSinb

baSinCotbCota

)(

7. TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc)

36/. )(2

1baCosbaCosCosaCosb

37/. )()(2

1baCosbaCosSinaSinb

38/. )()(2

1baSinbaSinSinaCosb

39/. )()(2

1sincos baSinbaSinba

21

2

t

tTanx

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Đặc biệt:

4cos2

4sin2cossin

xxxx

4cos2

4sin2cossin

xxxx

8. CUNG LIEÂN KEÁT :

Cos ñoái Cos(–) = Cos ; Sin(–) = – Sin

Sin buø Sin( – ) = Sin ; Cos( – ) = – Cos

Phuï cheùo Sin(/2 – ) = Cos ; Cos(/2 – ) = Sin

Khaùc Tan Tan( + ) = Tan ; Cot( + ) = Cot

Sai keùm / 2 Sin(/2 + ) = Cos ; Cos(/2 + ) = – Sin

Vaán ñeà 2: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC

1. CÔ BAÛN :

Sinu = Sinv

2

2

kvu

kvu k Z

Cosu = Cosv 2kvu

Tanu = Tanv kvu

Cotu = Cotv kvu

Sinu = 0 ku

Sinu = 1 22/ ku

Sinu = –1 22/ ku

Cosu = 0 ku 2/

Cosu = 1 2ku

Cosu = – 1 2ku

2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos

Daïng asinx + bcosx = c (1) ( a2 + b

2 0 ) 2.1.

Phöông phaùp :

Caùch 1: Chia hai veá cho 22 ba

≠ 0

Ñaët : Sinba

bCos

ba

a

2222;

Ta coù

22)(

ba

cxSin

(*)

(*) Coù nghieäm khi 122

ba

c

222 cba

(*) Voâ nghieäm khi 222 cba

Caùch 2:

Kieåm chöùng x = (2k + 1) coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình hay khoâng?

Xeùt x (2k + 1) Ñaët :

2

xTant

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Theá 2

2

2 1

1;

1

2

t

tCosx

t

tSinx

Vaøo phöông trình (1)

( )

x = ?

Cách 3:

Chia hai vế cho a (giả sử a ≠ 0)

Khi đó (1)

( )

( )

3. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI:

Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc: 3.1.

Giaû söû a 0

02 cbSinxxaSin ; ( ñaët 1, tSinxt )

02 cbCosxxaCos ; (ñaët 1, tCosxt )

02 cbTanxxaTan ; ( ñaët

kxTanxt 2

, )

02 cbCotxxaCot ; ( ñaët kxCotxt , )

Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx 3.2.

Daïng: 022 xcCosbSinxCosxxaSin (1)

03223 xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2)

Phöông phaùp :

Caùch 1:

Kieåm cosx = 0 x = / 2 + k coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ?

Xét cosx 0 x / 2 + k . Chia hai veá cho Cos2

x ( daïng 1), chia Cos3

x ( daïng 2) ñeå ñöa

phöông trình ñaõ cho veà daïng phöông trình baäc hai, baäc ba ñoái vôùi Tanx.

Caùch 2:

Daïng (1) coù theå söû duïng coâng thöùc haï baäc vaø

2

2xSinSinxCosx theá vaøo

Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx: 3.3.

Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

Phöông phaùp: Ñaët : 2),4

(2 txSinCosxSinxt

02

1(*)

2

ct

bat

t ( neáu coù) x

Chuù yù:

Daïng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giaûi töông töï :

Ñaët : 2),4

(2 txSinCosxSinxt

02

1(*)

2

ct

bat t ? ( neáu coù) x ?

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


4. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT :

Toång bình phöông : 4.1.

A2

+ B2

+ ........+ Z2

= 0 A = B = ......= Z = 0

A 0, B 0,......, Z 0

Ta coù : A + B + .... + Z = 0 A = B = .....= Z = 0

Ñoái laäp : 4.2.

Giaû söû giaûi phöông trình A = B (*)

Neáu ta chöùng minh

KB

KA

KB

KA(*)

3/.

klBA

kB

lA

kB

lA

4/. 1,1 BA

1

11

B

AAB hay

1

1

B

A

Vaán ñeà 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

1. Phƣơng pháp 1: Dùng các công thức lƣợng giác đƣa về phƣơng trình dạng tích.

Ví dụ 1. Giải phƣơng tình: sin2x + sin

23x = cos

22x + cos

24x (1).

Giải

Phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với: 1 cos 2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8

2 2 2 2

x x x x

cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0

2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0

2cos5x(cos3x+cosx) = 0

4cos5x.cos2x.cosx = 0

510 52cos5 0

cos 2 0 2 , ( , , )2 4 2

cos 0

2 2

π kππxx kπ

xπ π lπ

x x kπ x k l n

xπ π

x kπ x nπ

Ví dụ 2. Giải phƣơng trình: cos6x+sin

6x = 2 ( cos

8x+sin

8x) (2).

Giải

Ta có (2) cos6x(2cos

2x1) = sin

6x(12sin

2x)

cos2x(sin6x–cos

6x) = 0

cos2x(sin2x–cos

2x)(1+sin

2x.cos

2x) = 0

cos2x = 0

2 , ( )2 4 2

π π kπx kπ x k

Ví dụ 3: Giải phƣơng trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x (3).

Giải

Ta có:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


3 3 3

2 2

2

(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2

2cos 2 (1 cos 4 )

2

2cos 2 .cos 2

4

2cos 2

2 8

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x

πx x

, ( )kπ k

2. Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng trình đại số:

Ví dụ 4. Giải phƣơng trình lƣợng giác: 8 8 17sin cos

32x x (4).

Giải

Ta có (4) 4 4

4 21 cos 2 1 cos 2 17 1 17(cos 2 6cos 2 1)

2 2 32 8 32

x xx x

Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2 2

1

17 13 26 1 6 0

134 4

2

t

t t t t

t

Vì t[0;1], nên 21 1 cos 4 1 1cos 2

2 2 2 2

xt x

cos4x = 0 4 , ( )2 8 4

π π πx kπ x k k

Ví dụ 5. Giải phƣơng trình lƣơng giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)

Giải

Ta có (5) 2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos

2x + cosx – 1 = 0

(1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0

(1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

cos 1 2 ,( )

2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)

x x k π k

x x x x

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t , khi đó phƣơng trình (*) trở thành:

2t + t2 – 1 + 1 = 0 t

2 + 2t = 0

0sin -cos , ( )

2 ( 4

t πx x x nπ n

t lo

¹i)

Vậy nghiệm của phƣơng trình đã cho là:4

πx nπ ; 2 , ( , ) x k π n k

3. Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác về việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác bằng cách

đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.

Ví dụ 6. Giải phƣơng trình: |sin | cosxπ x (6).

Giải

Điều kiện: x ≥ 0

Do | sin | 0,x nên |sin | 0 1xπ π , mà |cosx| ≤ 1.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Do đó

2 2 2 0| sin | 0 , ( )(6)

0| cos | 1 , ( )

k nx k π k π nx x kπ k

xx nπ x nπx x nπ n

(Vì k, n Z). Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x = 0.

4. Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.

Ví dụ 7: (ĐH Sƣ phạm 2) Giải phƣơng trình:

2

1 cos2

xx .

Giải

Đặt

2

( )=cos2

xf x x . Dễ thấy f(x) = f(x), x , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trƣớc hết ta chỉ xét với x

≥ 0.

Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x) đồng biến

với x≥0 .

Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.

Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;2

π

thoả mãn phƣơng

trình:

2

2sin cos 2n

n nx x

.

Giải

Đặt f(x) = sinnx + cos

nx, ta có : f’(x) = ncosx.sin

n-1x – nsinx.cos

n-1x.

= nsinx.cosx(sinn-2

x – cosn-2

x)

Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;2

, ta có minf(x) = f4

=

2

22n

Vậy x = 4

là nghiệm duy nhất của phƣơng trình đã cho.

BÀI TẬP

Giải các phƣơng trình sau:

1. cos3x+cos

2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2

2x k x n

2. tanx.sin2x2sin

2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2

4 3x k x n

3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thƣơng Mại)

ĐS: 7

; ; .4 4 12 12

x k x n x m

4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:2

x k

.

5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)

ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;2

x k x n x l

với 1

sin4

.

6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:

4x k

.

7. sin 3 sin 2 .sin4 4

x x x

; (Học Viện BCVT) ĐS: 4 2

x k

8. sin3x.cos3x+cos

3x.sin3x=sin

34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos

2x. cosx.sin3x=sin

34x ĐS:

12x k

.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


9. 1 1 7

4sin3sin 4

sin2

xx

x

ĐS:

4

8

5

8

x k

x k

x k

10. 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x

HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x =

3k

,

4x k

11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

HD: Đƣa về cung x đặt thừa số ĐS: 2

2 ( )4 3

x k x k k

12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).

Giải

(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.

2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.

2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.

Đặt t=cosx, ĐK 1t , ta đƣợc: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)

2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)

2.

11

2 cos2

sin - 2

tx

t x

loaïi

…(biết giải)

13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.

HD: Tƣơng tự câu a ta có phƣơng trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.

Đặt t=sinx, ĐK 1t .

2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)

2.

14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.

HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos

2x–sin

2x)=0.

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …

15. Giải phƣơng trình lƣợng giác: 2 cos sin1

tan cot 2 cot 1

x x

x x x

Giải

Điều kiện: cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0

cot 1

x x x x x

x

Từ (1) ta có: 2 cos sin1 cos .sin 2

2 sinsin cos 2 cos cos

1cos sin 2 sin

x x x xx

x x x x

x x x

2sin .cos 2 sinx x x

2

2 4cos

22

4

x k

x k

x k

So với điều kiện, ta đƣợc họ nghiệm của phƣơng trình đã cho là 24

x k k

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


16. Giải phƣơng trình: 4 4sin cos 1

tan cotsin 2 2

x xx x

x

Giải

4 4sin cos 1

tan cotsin 2 2

x xx x

x

(1)

Điều kiện: sin 2 0x

211 sin 2

1 sin cos2(1)sin 2 2 cos sin

xx x

x x x

2

2

11 sin 2

1 12 1 sin 2 1 sin 2 0sin 2 sin 2 2

x

x xx x

Vậy phƣơng trình đã cho vô nghiệm.

17. Giải phƣơng trình: 2 22sin 2sin tan4

x x x

.

Giải

Pt 2 22sin 2sin tan4

x x x

(cosx )0 21 cos 2 cos 2sin .cos sin2

x x x x x

(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1.

18. Giải phƣơng trình: 3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x .

Giải 3

2 3 2

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

x x x x x x

x x x x x x x x

0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2 xxxxxxxx

2

2

( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0

tan 33 cos sin 0

cos 1cos 3cos 4 0

cos 4 ( ai)

x x x x

xx x

xx x

x

lo

,3

2

x kk

x k

Z

19. Giải phƣơng trình: cosx=8sin3

6x

Giải

cosx=8sin3

6x

cosx =

3

3sin cosx x

3 2 2 33 3sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x (3)

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm

(3) 3 23 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x

tan 0 x x k

20. Giải phƣơng trình lƣợng giác: 2 cos sin1

tan cot 2 cot 1

x x

x x x

Giải

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Điều kiện: cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0

cot 1

x x x x x

x

Từ (1) ta có: 2 cos sin1 cos .sin 2

2 sinsin cos 2 cos cos

1cos sin 2 sin

x x x xx

x x x x

x x x

2sin .cos 2 sinx x x

2

2 4cos

22

4

x k

x k

x k

So với điều kiện, ta đƣợc họ nghiệm của phƣơng trình đã cho là 24

x k k

Z

21. Giải phƣơng trình: cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x

Giải

Phƣơng trình (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0

cos sin 1

cos sin 5 ( cos sin 2)

x x

x x loai vi x x

2

22 sin 1 sin sin ( )4 4 4

2

x kx x k Z

x k

22. Giải phƣơng trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0

Giải

3sin cos 2cos3 0x x x sin3

sinx + cos

3

cosx = – cos3x.

cos cos33

x x

cos cos( 3 )3

x x

3 2 ( )

3

kx

k

x k

Z x = 3 2

k (kZ)

23. Giải phƣơng trình cos3xcos3x – sin3xsin

3x =

2 3 2

8

Giải

Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin

3x =

2 3 2

8

cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =

2 3 2

8

2 2 2 3 2cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin 3 sin

2x x x x x x

2cos 4 ,

2 16 2x x k k Z

.

24. Định m để phƣơng trình sau có nghiệm

24sin3 sin 4cos 3 cos cos 2 04 4 4

x x x x x m

Giải

Ta có:

* 4sin3 sin 2 cos2 cos4x x x x ;

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


* 4cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos 44 4 2

x x x x x x

* 2 1 1cos 2 1 cos 4 1 sin 4

4 2 2 2x x x

Do đó phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng:

1 1

2 cos 2 sin 2 sin 4 0 (1)2 2

x x x m

Đặt cos 2 sin 2 2 cos 24

t x x x

(điều kiện: 2 2t ).

Khi đó 2sin 4 2sin 2 cos2 1x x x t . Phƣơng trình (1) trở thành:

2 4 2 2 0t t m (2) với 2 2t 2(2) 4 2 2t t m

Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đƣờng ( ) : 2 2D y m (là đƣờng song song với Ox và cắt trục

tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2 4y t t với 2 2t .

x 2 2

y’ +

y 2 4 2

2 4 2

Trong đoạn 2; 2

, hàm số 2 4y t t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại 2t và đạt giá trị lớn nhất

là 2 4 2 tại 2t .

Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2m

2 2 2 2m .

Vaán ñeà 4: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC

1. Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù)

Haøm soá Cosin

bcCosAcba 2222 bc

acbCosA

2

222

acCosBcab 2222 ac

bcaCosB

2

222

abCosCbac 2222 ab

cbaCosC

2

222

Haøm soá Sin

RSinC

c

SinB

b

SinA

a2

R

aSinARSinAa

2,2

Haøm soá Tan

ba

ba

BATan

BATan

2

2

Caùc chieáu

cCosBbCosCa

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


HB

C

A

Trung tuyeán 4

)(2 2222 acb

ma

Phaân giaùc 2 .

2a

Abc Cos

lb c

Dieän tích

cba chbhahS

2

1

2

1

2

1

abSinCacSinBbcSinAS2

1

2

1

2

1

prS

prR

abcS

4

arapcpbpappS ).())()((

Bán kính đường tròn

nội tiếp 2tan)(

2tan)(

2tan)(

Ccp

Bbp

Aapr

Bán kính đường tròn

bàng tiếp 2tan.

Apra

Chuù yù: 1.1.

2

)(2

)(2

)(C

TancpB

TanbpA

Tanapp

Sr

SinC

c

SinB

b

SinA

a

S

abcR

2224

a, b, c : caïnh tam giaùc

A, B, C: goùc tam giaùc

ha: Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a

ma: Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A

R, r : Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc.

2

cbap

Nöûa chu vi tam giaùc.

2. Heä thöùc löôïng tam giaùc vuoâng:

ACABBCAH

CHBHAH

..

.2

BCBHAB .2

CBCHAC .2

222 ACABBC

Vaán ñeà 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ

Cho tam giaùc ABC :

1/.

2224

CCos

BCos

ACosSinCSinBSinA

2/.

22241

CSin

BSin

ASinCosCCosBCosA

3/. TanCTanBTanATanCTanBTanA .. ( tam giaùc ABC khoâng vuoâng)

4/. 2

.2

.2222

CCot

BCot

ACot

CCot

BCot

ACot

222

111

ACABAH

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


5/. 12

.22

.22

.2

A

TanC

TanC

TanB

TanB

TanA

Tan

6/ CosCCosBCosACSinBSinASin ..22222

7/. CosCCosBCosACCosBCosACos ..21222

8/. SinCBASin )(

CosCBACos )( ;22

CCos

BASin

22

CSin

BACos

;22

CCot

BATan

9/. 8

33.. SinCSinBSinA

10/. 8

1.. CosCCosBCosA

11/. 8

33

2.

2.

2

CCos

BCos

ACos

12/. 8

1

2.

2.

2

CSin

BSin

ASin

13/. 4

3222 CCosBCosACos

14/. 9

4222 CSinBSinASin

15/. 9222 CTanBTanATan

16/. 12224

3 222 C

SinB

SinA

Sin

17/. 4

9

2222 222

CCos

BCos

ACos

18/. 1222

222 C

TanB

TanA

Tan

19/. 9222

222 C

CotB

CotA

Cot

20/. 2

33222 CSinBSinASin

21/. 2

3222 CCosBCosACos

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT: Ax = B

A 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát

A

Bx

A = 0 vaø B 0 : phöông trình voâ nghieäm

A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieäm

Ax > B

A > 0 : A

Bx

A < 0 : A

Bx

A = 0 vaø B 0 : voâ nghieäm

A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm

1. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ VEÀ PT VAØ BPT OÂN THI ÑAÏI HOÏC:

Vd1: Giải bất phƣơng trình 22 6 1 2 0 1x x x

Giải

21 2 6 1 2x x x bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ:

2

2

22 0

3 7 3 7 3 72 6 1 0 3

2 2 22 6 1 2 1 3

xx

x x x x x

x x x x

Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình 22 3 1x mx x có hai nghiệm phân biệt.

Giải:

Cách 1: 2

1

2 4 0, (*)

xPT

x m x

, phƣơng trình (*) luôn có 2 nghiệm:

2 2

1 2

2 4 20 2 4 200, 0

2 2

m m m m m mx x

. Phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm (*) có 2 nghiệm 1x

2

22 2

41 4 4 20 1

4 4 20

mx m m m m

m m m

Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.

+ Cách 1 thƣờng dùng khi hệ số a luôn dƣơng hoặc luôn âm.

+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với 1 0x t .

(*) trở thành: 2

1 2 1 4 0t m t (**). Để (*) có 2 nghiệm 1x thì (**) phải có 2 nghiệm 0t .

Giải phƣơng trình: 21 2 2 1x x x x x .

Giải

Điều kiện:

1

2 *

0

x

x

x

2 2 2 2

22 2 2

2

1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1

4 2 2 1

8 9 0

x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x

Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm x=0, 9

8x .

Vaán ñeà 2: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN SOÁ

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


1/. Daïng :

/// cybxa

cbyax

2/. Caùch giaûi : baabba

baD //

//

bccbbc

bcDx

//

//

caacca

caDy

//

//

D 0 : heä coù nghieäm duy nhaát

D

Dy

y

D

Dx x

⟦D=0 và Dx≠0

D=0 và Dy≠0 Hệ vô nghiệm

* D = Dx = Dy = 0 : Heä voâ soá nghieäm hay voâ nghieäm tuøy thuoäc a, b, c, a/, b

/, c

/

3/ Dạng đối xứng loại 1:

0),(

0),(

yxg

yxf với

),(),(

),(),(

xygyxg

xyfyxf

Đặt:

yxP

yxS

. (điều kiện PS 42 )

Ta đƣợc hệ:

0),(

0),(

PSE

PSF ta tìm đƣợc S, P

Khi đó x,y là nghiệm của phƣơng trình: X2 – SX + P = 0

4/ Dạng đối xứng loại 2:

)2(0),(

)1(0),(

xyf

yxf

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta đƣợc: (y – x). h(x,y) = 0

)(0),(

)(

byxh

axy

kết hợp:

)1()(

)1()(

vab

vaa

5/ Dạng: Hệ tổng quát: Thƣờng biến đổi để nhận ra ẩn số phụ, sau đó dùng phƣơng pháp thế để giải tiếp.

1. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH OÂN THI ÑAÏI HOÏC:

Ví dụ 1. Tìm các giá trị m để hệ 2 2

2 2

3 2 11

2 3 17

x xy y

x xy y m

có nghiệm.

Phân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay , 0y tx x

Lời giải.

TH 1. 22

22

1111

0 173 17

3

yy

x myy m

Vậy hệ có nghiệm 170 11 16

3

mx m

TH 2. 0x , Đặt y tx . Hệ 2 2 2 2

2 2 2 2

3 2 11

2 3 17

x tx t x

x tx t x m

22 2 2

2 22

2

11

(3 2 ) 11 3 2

11(1 2 3 ) 17(1 2 3 ). 17

3 2

xt t x t t

t t x mt t m

t t

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


2

2

2

11

3 2

( 16) 2( 6) 3 40 0 (*)

xt t

m t m t m

Ta có 2

110,

3 2t

t t

nên hệ có nghiệm pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi 16m hoặc

216, ' ( 6) ( 16)(3 40) 0m m m m

5 363 5 363m

Kết luận. 5 363 5 363m

Ví dụ 2. Giải hệ phƣơng trình 13 1 2

17 1 4 2

xx y

yx y

Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất cho 3x và chia hai vế

pt thứ hai cho 7y .

Lời giải.

ĐK: 0, 0, 0x y x y .

Dễ thấy 0x hoặc 0y không thỏa mãn hệ pt. Vậy 0, 0x y

Hệ 2 4 2 1 2 21 22 1 (1)1

3 7 3 73

1 4 2 2 2 4 2 1 2 2 11

7 3 7 3 7

x y x y x yx

x y x y x yy x y x y

Nhân theo vế hai pt trong hệ ta đƣợc 1 2 2 1 2 2 1

3 7 3 7 x yx y x y

2 2

61 8 1

7 38 24 0 43 7

7

y x

y xy xx y x y y x

TH 1. 6y x thế vào pt (1) ta đƣợc 1 2 11 4 7 22 8 71

21 73 21x y

x x

TH 2. 4

7y x không xảy ra do 0, 0x y .

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất

11 4 7 22 8 7; ;

21 7x y

.

Chú ý. Hệ phƣơng trình có dạng 2

2

a b m m n a

a b n m n b

. Trong trƣờng hợp này, dạng thứ nhất có vế phải chứa

căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức.

Tổng quát ta có hệ sau: a n

mpx qybx

c nm

px qydy

Ví dụ 3. Giải hệ phƣơng trình 2 2 18

( 1)( 1) 72

x y x y

xy x y

Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I

Hƣớng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng x y và tích xy

Hƣớng 2. Biểu diễn từng pt theo 2x x và 2y y . Rõ ràng hƣớng này tốt hơn.

Lời giải.

Hệ 2 2

2 2

( ) ( ) 18

( )( ) 72

x x y y

x x y y

. Đặt 2

2

1,

4

1,

4

x x a a

y y b b

ta đƣợc 18 6, 12

72 12, 6

a b a b

ab a b

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


TH 1. 2

2

6 6 2, 3

12 3, 412

a x x x x

b y yy y

TH 2. Đổi vai trò của a và b ta đƣợc 3, 4

2, 3

x x

y y

. Vậy tập nghiệm của hệ là

S = (2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3;2); ( 4;2); (3; 3); ( 4; 3)

Phƣơng pháp đƣa về dạng tích 1.1.

* Cơ sở phƣơng pháp. Phân tích một trong hai phƣơng trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi khi cần tổ hợp

hai phƣơng trình thành phƣơng trình hệ quả rồi mới đƣa về dạng tích.

* Cách thành lập hệ dạng này ( ) ( ; ) 0

( ; ) 0

ax by c f x y

g x y

trong đó ( ; )f x y đƣợc chọn sao cho ( ; ) 0

( ; ) 0

f x y

g x y

vô

nghiệm hoặc ( ; ) 0

( ; ) 0

f x y

g x y

giải đƣợc; ( ; )g x y đƣợc chọn sao cho 0

( ; ) 0

ax by c

g x y

giải đƣợc và thỏa mãn kết hợp

đƣợc với ( ; )f x y

Ví dụ 4. Giải hệ phƣơng trình 2 22 (1)

2 1 2 2 (2)

xy x y x y

x y y x x y

Phân tích. Rõ ràng, việc giải phƣơng trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu đƣợc kết quả khả quan nên

chúng ta tập trung để giải (1).

Lời giải.

ĐK: 1, 0x y

(1) 2 2( ) ( ) ( )( 1 ) 0y x y x y x y x y y x y

TH 1. 0x y (loại do 1, 0x y )

TH 2. 2 1 0 2 1y x x y thế vào pt (2) ta đƣợc

(2 1) 2 2 4 2 2 ( 1) 2 2( 1)y y y y y y y y y

1 0 1

22 2

y y

yy

. Do 0 2y y . Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (5;2)x y

Chú ý. Do có thể phân tích đƣợc thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt (1) bằng

cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x).

Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 1.2.

* Cơ sở phƣơng pháp. Nếu ( )f x đơn điệu trên khoảng ( ; )a b và , ( ; )x y a b thì ( ) ( )f x f y x y

* Cách xây dựng hệ theo phƣơng pháp này.

Lấy hàm số ( )f t đơn điệu trên khoảng ( ; )a b , ( ; ), ( ; ) ( ; )u x y v x y a b

Lấy ( ; )g x y sao cho hệ ( ; ) ( ; )

( ; ) 0

u x y v x y

g x y

giải đƣợc trên tập xác định của chúng.

- Lập hệ phƣơng trình ( ) ( )

( ; ) 0

f u f v

g x y

Ví dụ 5. Giải hệ phƣơng trình 2

2 2

(4 1) ( 3) 5 2 0 (1)

4 2 3 4 7 (2)

x x y y

x y x

Lời giải. ĐK: 3

3 4 0 4

5 2 0 5

2

xx

yy

(1) 2(4 1)2 (2 6) 5 2 0x x y y

2 3

2 3(2 ) 1 (2 ) 5 2 1 5 2 (2 ) 2 5 2 5 2x x y y x x y y

(2 ) ( 5 2 )f x f y với 3( )f t t t .

2'( ) 3 1 0, ( )f t t t f t đồng biến trên . Vậy 25 4(2 ) ( 5 2 ) 2 5 2 , 0

2

xf x f y x y y x

Thế vào pt (2) ta đƣợc 22

2 5 44 2 3 4 7 0 ( ) 0

2

xx x g x

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Với 22

2 5 4 3( ) 4 2 3 4 7, 0;

2 4

xg x x x x

Ví dụ 6. Tìm các giá trị của m để hệ phƣơng trình sau có nghiệm 3 3 2

2 2 2

3 3 2 0

1 3 2 0

x y y x

x x y y m

Lời giải.

Điều kiện. 1 1, 0 2x y

(1) 3 33 ( 1) 3( 1)x x y y

Hàm số 3( ) 3f t t t nghịch biến trên đoạn [ 1;1]

, 1 1;1x y nên ( ) ( 1) 1 1f x f y x y y x

Thế vào pt (2) ta đƣợc 2 22 1 (3)x x m

Hệ có nghiệm Pt (3) có nghiệm 1;1x

Xét 2 2

2

1( ) 2 1 , 1;1 , '( ) 2 1

1g x x x x g x x

x

'( ) 0 0g x x . (0) 2, ( 1) 1g g

Pt (3) có nghiệm 1;1 2 1 1 2x m m

Ví dụ 23. Giải hệ phƣơng trình 2 2

ln(1 ) ln(1 ) (1)

12 20 0 (2)

x y x y

x xy y

Lời giải. ĐK: 1, 1x y

(1) ln(1 ) ln(1 ) ( ) ( )x x y y f x f y với ( ) ln(1 ) , ( 1; )f t t t t

1'( ) 1 0 0 ( 1; ) ( )

1 1

tf t t f t

t t

đồng biến trên ( 1;0) và nghịch biến trên khoảng (0; )

TH 1. , ( 1;0)x y hoặc , (0; )x y thì ( ) ( )f x f y x y

Thế vào pt (2) ta đƣợc 0x y (không thỏa mãn)

TH 2. ( 1;0), (0; )x y hoặc ngƣợc lại thì 2 20 12 20 0xy x xy y

TH 3. 0xy thì hệ có nghiệm 0x y . Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0x y

Vaán ñeà 3: PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI MOÄT AÅN ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

= b2 – 4ac

> 0

a

bx

21

,

a

bx

22

= 0 Nghieäm keùp

a

bxx

221

< 0 Voâ nghieäm

/

= b/ 2

– ac

/

> 0

a

bx

//

1

,

a

bx

//

2

/

= 0

Nghieäm keùp

a

bxx

/

21

/

< 0 Voâ nghieäm

Chuù yù: a + b + c = 0 : nghieäm x1 = 1, x2 =

a

c

a – b + c = 0 : nghieäm x1 = –1, x2 =

a

c

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 4: DAÁU NHÒ THÖÙC

f(x) = ax + b ( a 0)

x –

a

b +

f(x) Traùi daáu a 0 cuøng daáu a

Vaán ñeà 5: DAÁU TAM THÖÙC

f(x) = ax2

+ bx + c ( a 0) ( Nhôù : TRONG TRAÙI NGOAØI CUØNG)

Neáu Thì

0

0

a

f(x) > 0, x

f(x) < 0, x

0

0

a

0

0

a

f(x) > 0, x

a

b

2

f(x) < 0, x

a

b

2

> 0 x – x1 x2 +

f(x) cuøng 0 trái 0 cuøng

daáu a

Vaán ñeà 6: SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI VÔÙI CAÙC SOÁ

o Định lí Vi-ét: Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a 0) (1)

C ó: Tổng 2 nghiệm S

Tích 2 nghiệm là P

Khi đó ta có:

Pa

cxx

Sa

bxx

21

21

.

Vậy 2 nghiệm pt (1) thoả mãn pt: 02 PSXX

Cho: f(x) = ax2

+ bx + c ( a 0) vaø , laø hai soá thöïc và

a

cP

a

bS ;

1/. Muoán coù x1 < < x2t a phaûi coù af(x) < 0

2/. Muoán coù x2 > x1 > ta phaûi coù

02

0)(

0

S

af

0

0

a

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


3/. Muoán coù x1 < x2 < ta phaûi coù

02

0)(

0

S

af

4/. Muoán coù x1< < < x2 ta phaûi coù

0)(

0)(

af

af

5/. Muoán coù x1< < x2 < ta phaûi coù

0)(

0)(

af

af

6/. Muoán coù

21

21

xx

xx

ta phaûi coù 0)()( ff

7/. Muoán coù < x1 < x2 < ta phaûi coù

2

0)(

0)(

0

S

af

af

Chuù yù:

1/. Muoán coù x1 < 0 < x2 ta phaûi coù P < 0

2/. Muoán coù x2 > x1 > 0 ta phaûi coù

0

0

0

S

P

3/. Muoán coù x1 < x2 < ta phaûi coù

0

0

0

S

P

Vaán ñeà 7: PHÖÔNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN

1/.

K

K

BA

BBA

2

20

2/.

)0(0

22

hayBA

BABA KK

3/. BABA kk 1212

1/.

K

K

BA

B

A

BA

2

2 0

0

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


2/.

K

K

BA

B

A

B

BA

2

2

0

0

0

3/. 1212 KK BABA

4/.

CBA

B

A

CBA

2)(

0

0

5/.

22

0

0

0

CBA

C

B

A

CBA

1. Aùp duïng:

Ví dụ 1: Giải phƣơng trình: 01312 2 xxx (ĐH Khối D – 2006)

Biến đổi phƣơng trình thành: 22 1 3 1x x x (*), đặt điều kiện rồi bình phƣơng 2 vế ta đƣợc:

028116 234 xxxx ta dễ dạng nhẩm đƣợc nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta đƣợc:

(*) (x – 1)2(x

2 – 4x + 2) = 0.

Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình: 22

4 1 2 10 1 3 2x x x , ĐK: 2

3x

2 2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5pt x x x x x x x x (1), Với 3

2x hai vế (1) đều không

âm nên ta bình phƣơng 2 vế: x3 – x

2 – 5x – 3 0

23 1 0x x

b) Tương tự với 2 dạng: * f x g x * f x g x

Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình 22 6 1 2 0 1x x x

Giải

21 2 6 1 2x x x bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ:

2

2

22 0

3 7 3 7 3 72 6 1 0 3

2 2 22 6 1 2 1 3

xx

x x x x x

x x x x

Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình 2 2 1 2x mx m có nghiêm.

Giải

* Nếu m < 2 phƣơng trình vô nghiệm.

* Nếu m 2 phƣơng trình x22mxm

2+4m3=0. Phƣơng trình này có =2m

24m+3>0 với mọi m.

Vậy với m 2 thì phƣơng trình đã cho có nghiêm.

Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình 22 3 1x mx x có hai nghiệm phân biệt.

Giải:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Cách 1: 2

1

2 4 0, (*)

xPT

x m x

, phƣơng trình (*) luôn có 2 nghiệm:

2 2

1 2

2 4 20 2 4 200, 0

2 2

m m m m m mx x

. Phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm (*) có 2

nghiệm 1x

2

22 2

41 4 4 20 1

4 4 20

mx m m m m

m m m

Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.

+ Cách 1 thƣờng dùng khi hệ số a luôn dƣơng hoặc luôn âm.

+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với 1 0x t .

(*) trở thành: 2

1 2 1 4 0t m t (**). Để (*) có 2 nghiệm 1x thì (**) phải có 2 nghiệm 0t .

Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm thực phân biệt: 2 2 2 1x mx x , (1)

Giải: 2

2 1 0

3 4 1 0, 2

xpt

x m x

để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc

bằng 1

2 hay

2

4 12 0

1 90

2 2

1

2 2

m

f m

S

.

Chú ý : Cách 2: đặt 1

2t x , khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng

1

2 thì

2

1 13 4 1 0

2 2t m t

có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0.

3. Các kỹ năng:

a. Để bình phƣơng 2 vế phƣơng trình – bất phƣơng trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không 1.1.

âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.

Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình: 5 1 1 2 4x x x (ĐH Khối A – 2005)

Vế phải không âm, nhƣng vế trái chƣa nhận xét đƣợc do đó ta phải biến đổi thành: 5 1 1 2 4x x x

khi đó ta bình phƣơng 2 vế rồi đƣa về dạng cơ bản để giải.

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: 21 2 2 1x x x x x .

Giải

Điều kiện:

1

2 *

0

x

x

x

2 2 2 2

22 2 2

2

1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1

4 2 2 1

8 9 0

x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x

Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm x=0, 9

8x .

(Hãy tìm thêm cách giải khác)

Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình 2 22 4 0x mx x có nghiệm.

HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phƣơng hai vế tìm đƣợc 2

1,2

16

2

m mx

. Kết hợp với điều kiện ta tìm

đƣợc |m| 4.

Chuyển về phƣơng trình – bất phƣơng trình tích: 1.2.

- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Lưu ý: Để sử dụng phƣơng pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...

Ví dụ 4: Giải phƣơng trình: 2 7 7x x .

HD:

Bình phƣơng hai vế.

Dùng hằng đẳng thức a2 b

2=0.

Nghiệm 1 29

2,2

x x

.

Ví dụ 5: Giải các bất phƣơng trình: a.

2

24

1 1

xx

x

b. 2 23 2 3 2 0x x x x

ĐS: a. 1x<8, b. 1

; 2 3;2

.

Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dƣơng của tham số m, phƣơng trình sau có hai

nghiệm thực phân biệt: 2 2 8 2x x m x .(1)

Giải: ĐK: 2x , do m > 0.

)2(,326

2242

23 mxx

xxmxxpt . Để chứng minh 0m , phƣơng trình (1) có

2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phƣơng trình (2) có một nghiệm khác 2.

Thật vậy: đặt 3 26 32, 2f x x x x , ta có f(2) = 0, ' 2lim , 3 12 0, 2x

f x f x x x x

nên f(x) là hàm liên tục trên 2; và đồng biến trên khoảng đó suy ra 0m phƣơng trình (2) luôn có

nghiệm x0 mà 2 < x0 < .

Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với ,0 1iA i n khi đó pt tƣơng đƣơng với: 1.3.

, ,1 20 0 0nA A A .

Ví dụ 1: Giải phƣơng trình: 24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x .

HD: Phƣơng trình tƣơng đƣơng 24 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x . ĐS: x=1.

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: 2 24 2 4x y y x y .

Giải

Bình phƣơng hai vế ta đƣợc 2 2 2 1

2 1 2 2 2 4 0 , 2.2

x y y x y x y

Sử dụng lập phƣơng: 1.4.

Với dạng tổng quát 3 3 3a b c ta lập phƣơng hai vế và sử dụng hằng đẳng thức

3 3 3 3a b a b ab a b khi đó phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ

3 3 3

33

a b c

a b abc c

. Giải hệ này ta có

nghiệm của phƣơng trình.

Ví dụ: Giải bất phƣơng trình 3 3 31 2 2 3x x x . ĐS: 3

1; 2;2

x x x .

Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẩu: 1.5.

1.5.1. TH1: Mẩu luôn dƣơng hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:

Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình:

22 16 73 1

3 3

x xx

x x

(ĐH Khối A2004)

Giải

ĐK: 4x . 2 21 2 16 3 7 2 16 10 2 x x x x x

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22#1


ếp


22

45

10 2 0

10 2 010 34 5

2 16 10 2

xx

x

xx

x x

Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình là: 10 34 x .

1.5.2. TH2: Mẩu âm dƣơng trên từng khoảng thì ta chia thành từng trƣờng hợp:

Ví dụ 2: Giải các bất phƣơng trình: a. 2 23 4 9x x x b. 251 2

11

x x

x

.

HD: a. Xét ba trƣờng hợp x=3, x>3 và x<3. ĐS: 5

36

x x .

b. Xét hai trừng hợp của x1. ĐS: 1 52 5 1x x .

II. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ:

Dạng 1: 0nF f x , đặt nt f x (lƣu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0).

Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 2 2 22 2 5 2x x m x x m .

Giải

Đặt: 225 2 6 1 0; 6t x x x t

.

Khi đó phƣơng trình trở thành 2 22 5 0 * 5t mt m t m . Phƣơng trình đã cho có nghiệm khi (*)

có nghiệm 0; 6t

hay 0 5 6 5 6 5

0 5 6 5 6 5

m m

m m

.

Ví dụ 3: Tìm m để bất phƣơng trình: 2( 2 2 1) 2 0m x x x x , (1) có nghiệm 0;1 3x

.

Giải: Đặt 2 2 22 2 2 2t x x x x t . Nếu 31;0 x thì 2;1112

xt

BPT trở thành: 21 2 0, 2m t t

Khi đó ta có 2 2

1

tm

t

, với 1 2t . Đặt

2 2

1

tf t

t

, dùng đồ thị ta tìm đƣợc

2

3m .

Dạng 2: 1.6.

2 0m f x g x n f x g x n f x g x p , đặt t f x g x , bình phƣơng hai vế

để biểu diễn các đại lƣợng còn lại qua t.

Ví dụ 1: Cho phƣơng trình 3 6 3 6x x m x x .

a. Giải phƣơng trình khi m=3.

b. Tìm m để phƣơng trình đã cho có nghiệm.

Giải

Đặt: 23 6 9 2 3 6 *t x x t x x . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 3 6 9x x

nên từ (*) ta có 3 3 2t .

Phƣơng trình đã cho trở thành t22t9=2m (1).

a. Với m=3 (1) t22t3 t =3. Thay vào (*) ta đƣợc x=3, x=6.

b. PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm 3;3 2t

. Xét hàm số 2 2 9f t t t với

3;3 2t

, ta thấy f(t) là một hàm đb nên: 6 (3) 3 2 9 6 2f f t f với 3;3 2t

. Do vậy

(1) có nghiệm 3;3 2t

khi và chỉ khi 6 2 9

6 2 9 6 2 32

m m

Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Cách 1: dùng BĐT như bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ).

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình 3 33 335 35 30x x x x .

HD: đặt: 3

3 33 3 3535 35

3

tt x x x

t

. ĐS: x=2, x=3.

Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x .

HD: Đặt 7 7 7 6 0t x x … 6

67

x .

Dạng 3: 1.7.

, 0n nF f x g x , trong đó F(t) là một phƣơng trình đẳng cấp bậc k.

TH1: Kiểm tra nghiệm với 0g x .

TH2: Giả sử 0g x chia hai vế phƣơng trình cho kg x và đặt

n

f xt

g x .

Ví dụ 1: Giải phƣơng trình 3 25 1 2 2x x .

ĐK: 1x . 3 2 2 25 1 2 2 5 1 1 2 1 2 1x x x x x x x x

2 2

1 12 5 2 0

1 1

x x

x x x x

Đặt 2

1, 0

1

xt t

x x

. Phƣơng trình trở thành 2

2

2 5 2 0 1

2

t

t tt

.

Với t=2: Phƣơng trình đã cho vô nghiệm.

Với 1

2t : Phƣơng trình đã cho có nghiệm

5 37

2x

.

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình 2 25 14 9 20 5 1x x x x x .

Giải

ĐK: 5x . 2 2 2 25 14 9 20 5 1 5 14 9 5 1 20x x x x x x x x x x

Bình phƣơng hai vế: 2 22 4 5 3 4 5 4 5 4x x x x x x

Đặt 2 4 5

, 0.4

x xt t

x

phƣơng trình trở thành 2 3

2 5 3 0 1,2

t t t t .

Với t = 1: Phƣơng trình đã cho có nghiệm 5 61 5 61

5, 52 2

x x

.

Với 3

2t : Phƣơng trình đã cho có nghiệm

78 5, 5

5x x .

Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm: 5 61

, 82

x x

.

Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 243 1 1 2 1x m x x .

HD: ĐK 1x . Xét hai trƣờng hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phƣơng trình cho 24 1x đặt

4 41 2

11 1

xt

x x

0 1t . ĐS

11

3m .

Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để). 1.8.

0af x g x f x h x . Đặt t f x , khi đó phƣơng trình trở thành 2 0at g x t h x .

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Ví dụ: Giải phƣơng trình 2 22 1 2 1 2 1x x x x x .

HD

Đặt 2 2 1 1 6t x x x .

(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!)

Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lƣợng giác). 1.9.

Khi giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình lƣợng giác chúng ta thƣờng tìm mọi cách đặt ẩn phụ để

chuyển về phƣơng trình, bất phƣơng trình đại số. Tuy nhiên, trong nhiều trƣờng hợp cách là ngƣợc lại tỏ ra khá

hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lƣợng giác ta sẽ đƣa các bài toán đại số về bài toán lƣợng giác và giải

quyết bài toán lƣợng giác này.

Lƣu ý vài tính chất cơ bản:

* sin 1, cos 1a a . * 2 2sin cos 1a a .

* 2

2

11 tan

cosa

a * 2

2

11 cot

sina

a .

Ví dụ 1: Giải phƣơng trình 2 21 1 2x x .

Giải

ĐK 1x . Đặt cos , 0;x t t . Khi đó phƣơng trình trở thành

2 2 21 1 cos 2cos 2sin sin 1 0.t t t t Ta tìm đƣợc: 1

sin2

t . Khi đó 2 3cos 1 sin

2x t t .

Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định u x a . Ta có thể nghĩ đến cách đặt sin , ;2 2

u x a t t

hoặc đặt cos , 0;u x a t t .

* Nếu 0;u x a ta có thể đặt 2sin , 0;2

u x a t t

.

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình 3

3 2 21 2 1x x x x .

HD: Đặt cos , 0;x t t dƣa về phƣơng trình lƣợng giác sin cos 1 sin cos 2 sin cost t t t t t . Để gải

phƣơng trình này ta lại đặt sin cos , 2u t t u .

ĐS: 2 1 2 2 2

,2 2

x x

.

Ví dụ 3: Giải phƣơng trình 2 31 4 3x x x . ĐS: 1 2 2

,42

x x

.

Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình). 1.10.

* Khi gặp phƣơng trình có dạng , , 0n mF f x a f x b f x .

Đặt ,n mu a f x v b f x . Khi đó ta đƣợc hệ phƣơng trình sau: , 0

n m

F u v

u v a b

. Giải hệ này tìm u, v

rồi ta lại tìm x. Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phƣơng trình nu a f x hoặc mv b f x .

* Khi gặp phƣơng trình có dạng n nf x b a af x b .

Đặt , nt f x y af x b ta có hệ

n

n

t b ay

y b at

.

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình 2 32 4

2

xx x

.

Giải

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


ĐK 3x .

2 22

1 23 1 12 4 2 1 2 1 1 1

2 2 2 2

xx xx x x x

.

Đặt 211, 1 1 1

2 2 2

x t tt x y y

. Ta đƣợc hệ phƣơng trình

2

2

11

2

11

2

t y

y t

. Giải thêm chút nữa

ta đƣợc kết quả! ĐS: 3 17 5 13

,4 4

x x

.

Chú ý: bài này không thể sử dụng phƣơng pháp bình phƣơng vì không nhẩm đƣợc nghiệm, nên ta phải biến đổi

để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ.

2. Phƣơng pháp hàm số

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phƣơng trình f(x)=k (kR) có không quá một

nghiệm trong khoảng (a;b).

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có ( )f u f v u v .

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phƣơng trình f(x)=g(x) có nhiều

nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì bac ; :

'F b F a

F cb a

. Khi áp dụng giải phƣơng trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì

; : ' 0 ' 0c a b F c F x có nghiệm thuộc (a;b).

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phƣơng trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm

thuộc D.

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phƣơng án 1: Biến đổi phƣơng trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến (nghịch

biến) suy ra phƣơng trình có nghiệm duy nhất.

Phƣơng án 2: Biến đổi phƣơng trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x)

đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phƣơng trình có nghiệm duy nhất.

Phƣơng án 3: Biến đổi phƣơng trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v.

Ví dụ: Giải phƣơng trình: 24 1 4 1 1x x

ĐK: 1

2x . Đặt 24 1 4 1f x x x . Miền xác định:

1

2x , '

2

2 40

4 1 4 1

xf x

x x

.

Do đó hàm số đồng biến với 1

2x , nên phƣơng trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Thấy

1

2x là

nghiệm của phƣơng trình.

Đối với phƣơng trình chứa tham số ta thực hiện nhƣ sau:

Xét phƣơng trình f(x,m) = g(m), (1)

B1: Lập luận số nghiệm phƣơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đƣờng thẳng

d: y = g(m).

B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)

B3: Kết luận: * phƣơng trình có nghiệm: min , max ,x D x D

f x m g m f x m

.

* phƣơng trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.

* phƣơng trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) .

Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình: 2 21 1x x x x m có nghiệm.

TXĐ: R

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Xét hs: 2 21 1y f x x x x x , Df = R, 2 2

2 1 2 1'

1 1

x xy

x x x x

' 2 2

2 22 2

2 1 2 1 00 2 1 1 2 1 1

2 1 1 2 1 1

x xy x x x x x x

x x x x x x (v.nghiệm)

Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Giới hạn: 2 2

2 2

2lim lim 1

1 1

2lim lim 1

1 1

x x

x x

x

x x x x

x

x x x x

BBT: x

y’ +

y 1

1

Vậy phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.

Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập

giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phƣơng trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìm

giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.

Ví dụ 2: Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm: 3 1mx x m , ĐK: 3x

1 3

1

xbpt m

x

, xét hs

2

1 3 5'

1 2 3 1

x xy y

x x x

. ' 0 5y x . lim 0

xy

và f(3) =

1

2.

BBT:

x 3 5

y’ + 0

y y(5)

1

2

0

Vậy bất phƣơng trình có nghiệm 3 1

54

y m m

Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình: 12 5 4x x x m x x có nghiệm.

Giải: ĐK: 0 4x

( 12) 5 4pt x x x x x m xét hs ( 12) 5 4y f x x x x x x . Miền xác

định: 0;4D

Nhận xét: Hàm số 12h x x x x đồng biến trên D.

Hàm số 5 4g x x x đồng biến trên D.

Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D. Vậy phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi

0 4f m f

Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phƣơng trình: 23 1x m x

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Giải: Phƣơng trình đƣợc viết lại dƣới dạng: 2

3

1

xm

x

Số nghiệm của phƣơng trình là số giao điểm của (C): 2

3

1

xy

x

và đƣờng thẳng: y = m.

Lập BBT :

x 1/3

y’ + 0

y 10

1

1

KL: 1 10m m : phƣơng trình vô nghiệm.

1 1m hoặc 10m : phƣơng trình có nghiệm duy nhất.

1 10m : phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 5: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 1 3 1 3x x x x m , (1)

Giải: ĐK: 1 3x . Đặt 1 3t x x , lập BBT của t(x) với 1 3x ta có 2 2t

Khi đó phƣơng trình (1) trở thành: 1

2 t

2 + t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế trái với 2 2t từ đó

kết luận: 1 2m .

Vaán ñeà 8: PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

1/.

0

0

B

BA

B

BA

BA

2/.

BA

BABA

Chuù yù:

0

)()(

0

)()(

)()(

x

xgxf

x

xgxf

xgxf

Vaán ñeà 9: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

1/.

0B

BABBA 2/.

0

0

0

B

BA

B

BA

B

BA

3/. 22 BABA

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 1: BAÛNG TÍCH PHAÂN

1. Coâng thöùc NewTon _ Leibnitz :

b

a

b

aaFbFxFdxxf )()()()(

vôùi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân [a, b}

2. Tích phaân töøng phaàn :

b

a

b

a

b

a vduvuudv ].[

vôùi u, v lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a, b]

3. Ñoåi cô soá :

dtttfdxxf

b

a

)(.)()( '

vôùi x = (t) laø haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ’(t) lieân tuïc treân [a, b] , t

a = (), b = (), f[(t)] laø haøm soá lieân tuïc treân [, ]

4. Tính chaát :

a)

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

b) 0)( a

a

dxxf

c)

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

d)

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

e)

b

a

b

a

RKdxxfKdxxKf ,)()(

f) Neáu m f(x) M thì

)()()( abMdxxfabm

b

a

5. Baûng tích phaân :

TT Coâng thöùc

1

Cxdx

Cdx0

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


)1(1

1

c

xdxx

2 cbax

adxbax

1

)(.

1)(

1

3

)1()1(

111

cx

dxx

4

)1())(1(

1

)( 1

c

baxabax

dx

5 cxLnx

dx

6

cbaxLnabax

dx 1

7 RKcKxKdx ,

8 cedxe xx

9 cea

dxe baxbax 1

10 ca

adxa

xx

ln

11 cCosxSinxdx

12 cbaxCosa

dxbaxSin )(1

)(

13 cSinxCosxdx

14 cbaxSina

dxbaxCos )(1

)(

15 cTanxxCos

dx2

16 CCotxxSin

dx2

17

carcTanxx

dx

12

18

ca

xarcTan

aax

dx 122

19

c

ax

ax

aax

dxln

2

122

20

c

xa

xa

axa

dxln

2

122

21

)0(22

aca

xarcSin

xa

dx

22 caxxax

dx

2

2ln

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


23 )0(22

22222 ac

a

xarcSin

axa

xdxxa

24 caxxa

axx

dxax 222 ln

22

25

C

bx

ax

babxax

dxln

1

))((

26 Cx

x

dx

2tanln

sin

27

C

x

x

dx

42tanln

cos

28

C

a

x

aax

x

aax

dxarctan

1

2

1

)( 222222

29 Chú ý:

bb ex

aa e

f (t)dtf (e )dx

t

Löu yù: Ñoái vôùi caùc baøi tích phaân daïng löôïng giaùc nhôù aùp duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc phuø hôïp ñeå giaûi.

Vaán ñeà 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá

Daïng 1: Giaû söû ta caàn tính ( )

b

a

g x dx .

Neáu vieát ñöôïc g(x) döôùi daïng: ( ) ( ) . '( )g x f u x u x thì

( )

( )

( ) ( )

u bb

a u a

g x dx f u du

Daïng 2: Giaû söû ta caàn tính ( )f x dx

.

Ñaët x = x(t) (t K) vaø a, b K thoaû maõn = x(a), = x(b)

thì ( ) ( ) '( ) ( )

b b

a a

f x dx f x t x t dt g t dt

( ) ( ) . '( )g t f x t x t

Daïng 2 thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn

Vôùi P(x) laø ña thöùc cuûa x, ta thöôøng gaëp caùc daïng sau:

Thứ tự đặt u: Logarit – Đa thức -Lượng giác - Mũ

Vaán ñeà 4: Thieát laäp coâng thöùc truy hoài

Giaû söû caàn tính tích phaân ( , )

b

n

a

I f x n dx (n N) phuï thuoäc vaøo soá nguyeân döông n. Ta thöôøng gaëp moät soá

yeâu caàu sau:

Thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø bieåu dieãn In theo caùc In-k (1 k n).

Chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc.

Tính moät giaù trò 0nI cuï theå naøo ñoù.

Vaán ñeà 5: ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN

1. Dieän tích hình phaúng

Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:

– Ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b].

– Truïc hoaønh.

– Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b.laø: ( )

b

a

S f x dx (1)


– Ñoà thò cuûa caùc haøm soá y = f(x), y = g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b].

– Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b. laø:

( ) ( )

b

a

S f x g x dx (2)

Chuù yù:

f(x) coù chöùa Caùch ñoåi bieán

hoaëc

hoaëc

hoaëc

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Neáu treân ñoaïn [a; b], haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu thì:

( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

Trong caùc coâng thöùc tính dieän tích ôû treân, caàn khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân.

Ta coù theå laøm nhö sau:

Böôùc 1: Giaûi phöông trình: f(x) = 0 hoaëc f(x) – g(x) = 0 treân ñoaïn [a; b]. Giaû söû tìm ñöôïc 2 nghieäm

c, d (c < d).

Böôùc 2: Söû duïng coâng thöùc phaân ñoaïn:

( ) ( ) ( ) ( )

b c d b

a a c d

f x dx f x dx f x dx f x dx

= ( ) ( ) ( )

c d b

a c d

f x dx f x dx f x dx

(vì treân caùc ñoaïn [a; c], [c; d], [d; b] haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu)


– Ñoà thò cuûa x = g(y), x = h(y)(g vaø h laø hai haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [c; d])

– Hai ñöôøng thaúng x = c, x = d.

( ) ( )

d

c

S g y h y dy

2. Theå tích vaät theå

Goïi B laø phaàn vaät theå giôùi haïn bôûi hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi caùc ñieåm caùc ñieåm a vaø b.

S(x) laø dieän tích thieát dieän cuûa vaät theå bò caét bôûi maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi ñieåm coù hoaønh ñoä

x (a x b). Giaû söû S(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b].

Theå tích cuûa B laø: ( )

b

a

V S x dx

Theå tích cuûa khoái troøn xoay:

Theå tích cuûa khoái troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:

(C): y = f(x), truïc hoaønh, x = a, x = b (a < b)

sinh ra khi quay quanh truïc Ox:

2( )

b

a

V f x dx

Chuù yù: Theå tích cuûa khoái troøn xoay sinh ra do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau quay xung quanh truïc

Oy:

(C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d laø: 2( )

d

c

V g y dy

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


d a b

d

a

Vaán ñeà 1: MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VAØ THÖÔØNG DUØNG TRONG VIEÄC GIAÛI TOAÙN

HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN.

TT HÌNH VEÕ KIEÁN THÖÙC

1

// ////

dd

a bd a

ad b

b

2 a// neáu vaø chæ neáu treân coù a’ , a’//a

3

//

//

d

a a d

a

4

// //

//

d

a a d

a

5

Neáu chöùa a vaø b caét nhau, trong ñoù a// , b// thì //

6

//

//

P a

P b a b

7

Neáu P // Q // R thì chuùng seõ chaén tr6n hai caùt tuyeán baát kyø a, b

nhöõng ñoaïn thaúng tæ leä.

' '

' '

AB A B

BC B C

8

// //

//

P Q d

R P aa b d

R Q b

d R

9 Neáu a thì a b , b

10 a neáu vaø chæ neáu a vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng b, c caét

nhau trong

d

a

a

b

C'

B'

A'

C

B

A

R

Q

P

ba

R

QP

bda

P

b

a

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


a

d

P

d

11

Neáu a// b vaø a thì b

Neáu a thì b thì a//b

12

// vaø a thì a

Neáu a vaø a thì //

13

Neáu a cheùo b

* Coù moä tvaø chæ moät ñöôøng vuoâng goùc chung

* Coù moät vaø chæ moät maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng naøy vaø song

song vôùi ñöôøng kia

* Coù hai maët phaúng song song vaø moãi maët chöùa moät ñöôøng

14

ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙC VAØ ÑÖÔØNG XIEÂN

* Ñoaïn vuoâng goùc chung OH laø ñoaïn ngaén nhaát

* Hai ñoaïn xieân daøi baèng nhau coù hình chieáu daøi baèng nhau vaø

ngöôïc laïi.

OA = OA’ HA = HA’

*Hai ñoaïn xieân coù ñoä daøi khaùc nhau thì ñoaïn xieân daøi hôn coù hình

chieáu daøi hôn vaø ngöôïc laïi.

OB > OA HB > HA

15

ÑÒNH LYÙ 3 ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙC

a vaø ñöôøng xieân b coù hình chieáu vuoâng goùc treân laø b’ , ta

coù : 'a b a b

16

a

a

Neáu vaø d thì vôùi moïi a maø a d thì

a

d

P d P

P

17 S : Dieän tích cuûa moät hình phaúng H

S’: Dieän tích cuûa hình chieáu vuoâng goùc cuûa H laø H’

: Goùc giöõa maët phaúng chöùa H vaø maët phaúng chöùa H’

' .S S Cos

Vaán ñeà 2: Khoaûng caùch trong khoâng gian

1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm

đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :

Cách 1 : Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .

Xác định m P Q .

ba

a

b

a

b

a

H

O

A'

BA

b'a

b

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Dựng MH m P Q ,

MH P

suy ra MH là đoạn cần tìm .

Cách 2: Dựng / /MH d

o Chú ý :

Nếu / / , ,MA d M d A .

Nếu MA I ,

,

d M IM

d A IA

2. Khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một mặt phẳng:

Khi

, 0

a Pd a P

a P

.

Khi / /a P

, ,d a P d A P với A P .

3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :

Khi

, 0

P Qd P Q

P Q

.

Khi / /P Q

, ,d P Q d M Q

với A P .

4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng

Khi

', ' 0

'd

.

Khi / / ' , ' , ' ,d d M d N với , 'M N .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

Đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau

và ' là đƣờng thẳng a cắt ở M và cắt

' ở N đồng thời vuông góc với cả và ' .

Đoạn MN đƣợc gọi là đoạn vuông góc chung của hai đƣờng

thẳng chéo nhau và ' .

Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đƣờngthẳng đó .

Phương pháp :

Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P)

.

Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lƣợt chứa hai đƣờng thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt

phẳng đó là khoảng cách cần tìm .

Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .

Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau :

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Cách 1: Khi a b

Dựng một ,mp P b P a tại H .

Trong (P) dựng HK b tại K .

Đoạn HK là đoạn vuông góc

chung của a và b .

Cách 2:

Dựng , / /P b P a .

Dựng

'P

a hch a , bằng cách lấy M a

dựng đoạn MN , lúc đó a’ là

đƣờng thẳng đi qua N và song song a .

Gọi 'H a b , dựng / /HK MN

HK là đoạn vuông góc chung cần tìm .

Vaán ñeà 3: Caùch xaùc ñònh goùc trong khoâng gian

1. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng:

Choïn ñieåm O tuyø yù

Döïng qua O: a’// a; b’// b

Goùc (a,b) = goùc (a’,b’) = AOB

Thöôøng choïn ñieåm O a hoaëc O

2. Goùc giöõa hai maët phaúng:

Cách 1 : Dùng định nghĩa :

, ,P Q a b trong đó :

a P

b Q

Cách 2 : Dùng nhận xét :

, ,

R P Q

R P p P Q p q

R Q q

.

Cách 3 : Dùng hệ quả :

,P

M Q

H hch M P Q MNH

HN m P Q

.

Löu yù: . 0900

3. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:

0, 90a a ;

0/ /

, 0a

aa

;

, , '

'

aa a a

a hch a

o Để tìm 'a hch a ta lấy tùy ý điểm M a , dựng MH tại H , suy ra

' ,hch a a AH A a ,a MAH

aa'

b'

b

B

A

O

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 4: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶC BIỆT

1. Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tam giác đều:

Đáy là tam giác đều

Các mặt bên là những tam giác cân

Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:

Đáy là tam giác đều

Các mặt bên là những tam giác đều

Cách vẽ:

Vẽ đáy ABC

Vẽ trung tuyến AI

Dựng trọng tâm H

Vẽ SH (ABC)

Ta có:

SH là chiều cao của hình chóp

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ̂

Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: ̂

2. Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp tứ giác đều:

Đáy là hình vuông.

Các mặt bên là những tam giác cân

Cách vẽ:

Vẽ đáy ABCD

Dựng giao điểm H của hai đƣờng chéo AC và BD

Vẽ SH (ABCD)

Ta có:

SH là chiều cao của hình chóp

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ̂

Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: ̂

3. Hình chóp có một canh bên vuông góc với đáy

SA (ABC)

Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ̂

Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ̂

SA (ABCD)

Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ̂

Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ̂

Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: ̂

β

αh

AC

B

S

β

αI

H

A D

B C

S

β

α

A C

B

S

p

βα

AD

B C

S

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


4. Phƣơng pháp xác định đƣờng cao các loại khối chóp:

- Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao.

- Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đƣờng cao chính là đƣờng kẻ từ mặt bên đến giao

tuyến.

- Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đƣờng cao chính là giao tuyến của 2

mặt kề nhau đó.

- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì

chân đƣờng cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy.

- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đƣờng cao chính là tâm

vòng tròn nội tiếp đáy.

Vaán ñeà 5: DIEÄN TÍCH & THEÅ TÍCH HÌNH CHOÙP

1. DIỆN TÍCH:

Diện tích xung quanh, toàn phần của hình chóp ĐỀU: 1.1.

n: số cạnh đáy;

a: độ dài cạnh đáy;

d: độ dài trung đoạn.

Diện tích toàn phần: B: là diện tích đáy.

2. THỂ TÍCH:

Thể tích khối chóp: V = 1

Bh3

(diện tích đáy là đa giác)

Thể tích tứ diện:

a, b: độ dài hai cạnh đồi

d: độ dài đoạn vuông góc chung

α: góc của hai cạnh đối

3. TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý)

+ Cách 1:

o Xác định đa giác đáy

o Xác định đƣờng cao ( phải chứng minh đƣờng cao vuông gới với mặt phẳng đáy)

o Tính thể tích khối chóp theo công thức

+ Cách 2

o Xác định đa giác đáy

o Tình các tỷ số độ dài của đƣờng cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu

cùng đƣờng cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần

tìm bằng k lần thể tích khối đã cho

+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích

Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở

đỉnh S

Ta có : .

.

. .S MNK

S ABC

V SM SN SK

V SA SB SC

n

B

CA

S

N

KM

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


O

I

A B

DC

S

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD

Giải

Gọi O là giao điểm AC và BD

Ta có : IO // SA và SA (ABCD)

IO (ABCD)

.

1. .

3I ABCD ABCDV S IO

Mà : 2

ABCDS a ; 2

SAIO a ; Vậy

32

.

1. .

3 3I ABCD

aV a a

4. HÌNH CHÓP CỤT

Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và

thiết diện song song với đáy

Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt

đều.

DIỆN TÍCH 4.1.

Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều:

( )

n: số cạnh đáy; a, a’: cạnh đáy

d: độ dài trong đoạn, chiều cao của mặt bên

THỂ TÍCH 4.2.

V: thể tích hình chóp cụt

: thể tích hình chóp

: thể tích hình chóp trên

(

)

( √ )

B, B’: là diện tích đáy; h: là chiều cao

Vaán ñeà 6: HÌNH LĂNG TRỤ

- Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy

- Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

- Lăng trụ đều có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau

- Lăng trụ xiên có các cạnh bên không vuông góc với đáy

1. DIỆN TÍCH:

Lăng trụ :

D'

A'

C'B'

H

C

B

DA

S

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Trong đó: p: chu vi thiết diện phẳng

l: độ dài cạnh bên

Lăng trụ đứng:

Trong đó: p: chu vi đáy

h: chiều cao

2. THỂ TÍCH:

- Thể tích lăng trụ: V= B.h ; trong đó: {

- Thể tích lăng trụ tam giác cụt:

Lăng trụ tam giác cụt là hình đa diện có hai đáy là tam giác có cạnh bên song song không bằng nhau

; trong đó {

Vaán ñeà 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU

1. HÌNH TRỤ

Diện tích: 1.1.

Diện tích xung quanh:

Diện tích toàn phần:

Trong đó: R: bán kính đáy; h: chiều cao

Thể tích: 1.2.

; R: bán kính đáy; h: chiều cao

2. HÌNH NÓN

Diện tích: 2.1.

Diện tích xung quanh:

Diện tích toàn phần:

Trong đó: R: bán kính đáy; l: độ dài đƣờng sinh

Thể tích: 2.2.

; R: bán kính đáy; h: chiều cao

2 2 2

h R

3. HÌNH NÓN CỤT

Diện tích: 3.1.

Diện tích xung quanh: ( )

Diện tích toàn phần: ( )

Trong đó: R, R’: bán kính đáy; l: độ dài đƣờng sinh

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Thể tích: 3.2.

( ) ; R,R’: bán kính đáy; h: chiều cao

4. HÌNH CẦU

Diện tích mặt cầu: ; trong đó: R: bán kính mặt cầu

Thể tích mặt cầu:

Vaán ñeà 8: GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

1. PHÖÔNG PHAÙP:

Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp (chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O)

Böôùc 2: Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm coù lieân quan

(coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát)

Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo :

YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân caùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïa

ñoä).

Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , thaúng

haøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä

Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.

Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.

Böôùc 3: Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn

Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp:

Ñoä daøi ñoïan thaúng

Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng

Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng

Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng

Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng

Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng

Goùc giöõa hai maët phaúng

Theå tích khoái ña dieän

Dieän tích thieát dieän

Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc

Baøi toaùn cöïc trò, quyõ tích

Boå sung kieán thöùc :

1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S'

baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa goùc

giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu

cos.' SS

2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A'

, B'

, C'

khaùc vôùi S

Ta luoân coù:

SC

SC

SB

SB

SA

SA

V

V

ABCS

CBAS'''

.

'''. ..

2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian

Ta có : , , Ox Oy Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ƣu

tiên chọn các đƣờng đó lần lƣợt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Với hình lập phƣơng hoặc hình hộp chữ nhật ''''. DCBAABCD

Với hình lập phương .

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a a a

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a

Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a b b

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)A c B a c C a b c b

Với hình hộp đáy là hình thoi ''''. DCBAABCD

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai

đƣờng chéo của hình thoi ABCD

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ

Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đƣờng cao

SO h

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông

Khi đó :

0;0;

2

2;0;0;

2

2 aC

aA

2 20; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )

2 2

a aB D S h

Với hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đƣờng cao

bằng h . Gọi I là trung điểm của BC

Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao cho

I(0;0;0)

A

B C

D

D’

C

A’

B’

O

O’

B’

A D

C B

D’ A’

C’

B

D

C

A

O

S

C A

S

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Khi đó : ;0;0 ; ;0;02 2

a aA B

3 3

0; ;0 ; S 0; ;2 6

a aC h

Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)

ABCD là hình chữ nhật ;AB a AD b

chiều cao bằng h


A(0;0;0)

Khi đó : ;0;0 ; ; ;0B a C a b

0; ;0 ; (0;0; )D b S h

Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)

ABCD là hình thoi cạnh a



O(0;0;0)

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

;AB a AC b đƣờng cao bằng h .


A(0;0;0)

B

D

C

A

O

S

B

D

C

A

O

S

B

C A

S

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Khi đó : ;0;0 ; C 0; ;0B a b

S 0;0;h

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có

;BA a BC b đƣờng cao bằng h .


B(0;0;0)

Khi đó : ;0;0 ; C 0; ;0A a b

S ;0;a h

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S

và ABC vuông tại C

ABC vuông tại C ;CA a CB b


H là trung điểm của AB


C(0;0;0)

Khi đó : ;0;0 ; B 0; ;0A a b

( ; ; )2 2

a bS h


và ABC vuông tại A

ABC vuông tại A ;AB a AC b




A(0;0;0)

B

C A

S

B

C

A H

S

B

C A

H

S

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Khi đó : ;0;0 ; C 0; ;0B a b

(0; ; )2

aS h


và ABC vuông cân tại C

Tam giác ABC vuông cân tại C có

CA CB a đƣờng cao bằng h .



H(0;0;0)

Khi đó : ;0;0 ; A 0; ;02 2

a aC

B 0; ;0 ; S 0;0;2

ah

H

B

C

A

S

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 1: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

1. Ñònh nghóa :

Daïng : A > B, A B

A < B, A B

2. Tính chaát :

a) abba

b) cacb

ba

c) cbcaba

d)

0,

0,

cbcac

cbcacba

e) dbcadc

ba

f) bdacdc

ba

0

0

g)

0;11

0;11

abkhiba

abkhiba

ba

3. BÑT Coâ Si :

Cho n soá töï nhieân khoâng aâm a1, a2, a3,......, an

nn

n aaaan

aaaa.......

.......321

321

hay

n

n

nn

aaaaaaaa

.............. 321

321

Daáu ñaúng thöùc xaûy ra a1 = a2 = a3 = ......... = an

4. BÑT Bunhia Coâp ski (chú ý)

Cho a1, a2, a3,......, an, b1, b2, b3,......, bn laø nhöõng soá töïc khi ñoù:

)....)(....().....(22

2

2

1

22

2

2

1

2

2211 nnnn bbbaaabababa

Daáu ñaúng thöùc xaûy ra ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,......, n

5. BÑT BecnuLi :

Cho : a > –1, n N Ta coù : (1 + a)n

1 + na

Ñaúng thöùc xaûy ra

1

0

n

a

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


6. BÑT tam giaùc :

BABA

Ñaúng thöùc xaûy ra AB 0

Vaán ñeà 2: Cấp số cộng, cấp số nhân

1. Cấp số cộng:

. Định nghĩa: Dãy số nuuu ,.....,, 21 gọi là một cấp số cộng có công sai d nếu: duu kk 1

. Số hạng thứ n: dnuun )1(1

. Tổng n số hạng đầu tiên:

dnun

uun

uuuS nnn )1(22

)(2

.... 1121

2. Cấp số nhân:

- Định nghĩa: Dãy số nuuu ,.....,, 21 gọi là một cấp số nhân có công bội q nếu: quu kk .1 . Số hạng thứ n:

1

1. n

n quu

. Tổng n số hạng đầu tiên:

q

quuuuS

n

nn

1

1.... 121 (q 1)

3. Ví duï:

9. a. Chứng minh:

a b c ab bc ca

; a,b,c 0

3 3

2 2 2a b c ab bc ca

2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca

3 9 3

a b c ab bc ca

3 3

5. Chứng minh: bc ca ab

a b c ; a, b, c 0

a b c

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm

2

bc ca abc2 2c

a b ab

, 2

bc ba b ac2 2b

a c ac

, 2

ca ab a bc2 2a

b c bc

bc ca ab

a b c

a b c

.

19. Chứng minh:

a b c 3

b c a c a b 2

; a , b , c > 0Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.

a + b + c = 1

2

(X + Y + Z)

Y Z X Z X Y X Y Z

a , b , c

2 2 2

a b c 1 Y X Z X Z Y3

b c a c a b 2 X Y X Z Y Z

1 32 2 2 3

2 2

.

26. Cho

3x 1y , x 1

2 x 1

. Định x để y đạt GTNN.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


3(x 1) 1 3y

2 x 1 2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

3 x 1 1,

2 x 1

:

3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3y 2 . 6

2 x 1 2 2 x 1 2 2

Dấu “ = ” xảy ra

2

6x 1

3 x 1 1 2 3x 1

2 x 1 3 6x 1(loaïi)

3

Vậy: Khi 6

x 1

3

thì y đạt GTNN bằng 3

6

2

38. (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2

. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha,

hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:

a b c

1 1 1 1 1 13

a b c h h h

Giaøi

Ta có diện tích tam giác: S = a b c

1 1 1ah bh ch

2 2 2

ha = 2S

a

; hb = 2S

b

; hc = 2S

c

a b c

1 1 1 1(a b c)

h h h 2S

a b c

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(a b c)

a b c h h h 2S a b c

Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c)

1 1 1

a b c

≥ 9

và vì S = 3

2

, nên ta có:

a b c

1 1 1 1 1 1 93

a b c h h h 3

44. (Đại học khối D 2005) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1 x y 1 y z 1 z x3 3

xy yz zx

Khi nào đẳng thức xảy ra?

Giaûi: 1 + x3 + y3 3 3 331.x .y = 3xy

3 31 x y 3

xy xy

(1)

Tương tự:

3 3

1 y z 3

yz yz

(2);

3 3

1 z x 3

zx zx

(3)

Mặt khác 3

3 3 3 3 3 33

xy yz zx xy yz zx

3 3 3

3 3

xy yz zx

(4)

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức x = y = z = 1.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :

21),( yexeOMyxM

Cho A( xA, yA )

B( xB, yB )

1). ),( ABAB yyxxAB

2). 2),( ABAB yyxxAB

3). Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :

2

2

BA

BA

yyy

xxx

4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k 1 :

k

ykyy

k

xkxx

BA

BA

1

.

1

.

Pheùp toaùn : Cho ),( 21 aaa

),( 21 bbb

1).

22

11

ba

baba

2). ),( 2211 bababa

3). ),(. 21 mamaam

4). 2211 bababa

5). 2

2

2

1 aaa

6). 02211

bababa

7). 2

2

2

1

2

2

2

1

2211

.,

bbaa

bababaCos

Vaán ñeà 2: ÑÖÔØNG THAÚNG

1. Phöông trình tham soá :

tayy

taxx

20

10

Vectô chæ phöông ),( 21 aaa

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


2. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2 + B

2 0)

Phaùp vectô ),( BAn

Vectô chæ phöông ),( ABa

( hay ),( ABa

)

Heä soá goùc )0( BB

AK

Nếu A = 0

nên // Ox ( C = 0 thì Ox)

Nếu B = 0

nên // Oy ( C = 0 thì Oy)

Ox: y = 0; Oy: x = 0

3. Phöông trình phaùp daïng :

0222222

BA

Cy

BA

Bx

BA

A

4. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc K :

)( 00 xxKyy

5. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) :

(x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)

hay

AB

A

AB

A

yy

yy

xx

xx

6. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén)

1b

y

a

x

7. Phöông trình chính taéc :

b

yy

a

xx 00

),(),,( 00 baayxM

* Quy öôùc : 00

0

00

xxb

yyxx

00

0

00

yyyy

a

xx

8. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(a, 0), B(0, b) ( ñoaïn chaén ) :

1b

y

a

x

Lƣu ý: Cho d: Ax + By + C = 0

d’ // d d’: Ax + By + C’ = 0 (C’ ≠ C)

d’ d d’: Bx – Ay + C’ = 0 hay –Bx + Ay + C’ = 0

9. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán Ax + By + C = 0 :

22

00

BA

CByAx

Lƣu ý:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


d(M, Ox) = My

d(M, Oy) = Mx

10. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng :

d1: A1x + B1y + C1 = 0; d2: A2x + B2y + C2 = 0

2

1

2

1

B

B

A

AD

2

1

2

1

B

B

C

CDx

2

1

2

1

C

C

A

ADy

* d1 caét d2 0 D

*

0

0// 21

xD

Ddd hay

0

0

yD

D

* 021 yx DDDdd

Chuù yù : A2, B2, C2 0

d1 caét d2

2

1

2

1

B

B

A

A

2

1

2

1

2

121 //

C

C

B

B

A

Add

2

1

2

1

2

121

C

C

B

B

A

Add

11. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 :

Xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : 2

2

2

2

2

1

2

1

2121

21

21

.

.

BABA

BBAA

nn

nnCos

Nếu d1, d2 là các đƣờng thẳng không đứng:

d1 : y = k1x + b1; d2 : y = k2x + b2

21

1221

.1),tan(

kk

kkdd

12. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d1 vaø d2 :

2

2

2

2

222

2

1

2

1

11121

BA

CyBxA

BA

CyBxAtt

* Chuù yù : Tìm phân giác góc nhọn hay góc tù

Daáu cuûa

21 nn Phöông trình ñöôøng phaân giaùc

goùc nhoïn taïo bôûi d1, d2

Phöông trình ñöôøng phaân giaùc

goùc tuø taïo bôûi d1, d2

– t1 = t2 t1 = – t2

+ t1 = – t2 t1 = t2

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 3: ĐƢỜNG TRÒN

1. Phƣơng trình đƣờng tròn:

Đƣờng tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R

Phƣơng trình chính tắc: (C): (x – a)2 + (y – b)

2 = R

2

Phƣơng trình tổng quát: (C): x2 + y

2 – 2ax – 2by + c = 0

Trong đó: c = a2 + b

2 – R

2 R = √

Cho đƣờng cong (C): x2 + y

2 – 2ax – 2by + c = 0

Điều kiện để (C) là đƣờng tròn là: a2 + b

2 – c > 0

2. Sự tƣơng giao giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn:

Cho (C): x2 + y

2 – 2ax – 2by + c = 0, có tâm I(a;b), bán kính R

d: Ax + By + C = 0

Xét vị trí tƣơng đối giữa (C) và d:

Phƣơng pháp 1:

d(I,d) > R d không cắt (C)

d(I,d) = R d tiếp xúc (C)

d(I,d) < R d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Phƣơng pháp 2:

Xét hệ phƣơng trình tạo bởi d và (C):

0

02222

CByAx

cbyaxyx

Hệ vô nghiệm d không cắt (C)

Hệ có nghiệm kép d tiếp xúc (C)

Hệ có hai nghiệm phân biệt d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

3. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn

Cho (C): x2 + y

2 – 2ax – 2by + c = 0, có tâm I(a;b), bán kính R

d: Ax + By + C = 0

Dạng 1: Tiếp tuyến của (C) tại M(x0;y0) có dạng: 3.1.

Hay ( )( ) ( )( )

Dạng 2: Tiếp tuyến của (C) đi qua M(x0;y0) 3.2.

Gọi d là đƣờng thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k

( )

d tiếp xúc (C) d(I,d) = R

Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vuông góc) với đƣờng thẳng : Ax + By + C = 0 3.3.

Gọi d [ ( )

( )

d tiếp xúc (C) d(I, d) = R

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Dạng 4: Tiếp tuyến của (C) khi biết trƣớc hệ số góc k: 3.4.

Tiếp tuyến có hệ số góc k có dạng:

: y = kx + b : kx – y + b = 0

tiếp xúc (C) d(I, d) = R

4. Phƣơng trình tích của một điểm M(x0; y0) đối với đƣờng tròn (C):

cbyaxyxP CM 00

2

0

2

0)/( 22

PM/(C) > 0: M nằm ngoài đƣờng tròn

PM/(C) < 0: M nằm trong đƣờng tròn

PM/(C) = 0: M nằm trên đƣờng tròn

5. Trục đẳng thức

Cho (C1): x2 + y

2 – 2a1x – 2by1 + c1 = 0, (C2): x

2 + y

2 – 2a2x – 2by2 + c2 = 0

Khi đó phƣơng trình trục đẳng thức: : 2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y – (c1 – c2) = 0

Vaán ñeà 4: CAÙC COÂNG THÖÙC HÌNH HOÏC CÔ BAÛN:

1. Tam giác đều cạnh a:

a) Đƣờng cao: h = a 3

2; b) S =

2a 3

4

c) Đƣờng cao cũng là đƣờng trung tuyến, đƣờng phân giác, đƣờng trung trực

2. Tam giác vuông:

a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

3. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau)

b) Cạnh huyền bằng a 2

4. Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60

o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2a 3

8

5. Tam giác cân:

a) S = 1

ah2

(h: đƣờng cao; a: cạnh đáy)

b) Đƣờng cao hạ từ đỉnh cũng là đƣờng trung tuyến, đƣờng phân giác, đƣờng trung trực

6. Hình chữ nhật:

S = ab (a, b là các kích thƣớc)

7. Hình thoi:

S =

1

2d1.d2 (d1, d2 là 2 đƣờng chéo)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


8. Hình vuông:

a) S = a2

b) Đƣờng chéo bằng a 2

9. Hình bình hành:

S = ah (h: đƣờng cao; a: cạnh đáy)

10. Đƣờng tròn:

a) C = 2 R (R: bán kính đƣờng tròn)

b) S = R2 (R: bán kính đƣờng tròn)

11. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC

1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đƣờng trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

b) * BG = 2

3BN; * BG = 2GN; * GN =

1

3BN

2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đƣờng cao của tam giác gọi là trực tâm

3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đƣờng trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đƣờng phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Vaán ñeà 5: ELIP

PT chính taéc

Lyù thuyeát

2 2

2 2

2 2

1

( )

x y

a b

a b

2 2

2 2

2 2

1

( )

x y

a b

a b

Truïc lôùn, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2b

Truïc nhoû, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a

Lieân heä a, b, c c2

= a2

– b2

c2

= b2

– a2

Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)

Ñænh A1,2( ± a, 0)

B1,2(0, ± b)

A1,2( ± a, 0)

B1,2(0, ± b)

Taâm sai

ce

a

ce

b

Ñöôøng chuaån

ax

e

by

e

Baùn kính qua tieâu MF1 = a + ex

MF2 = a – ex

MF1 = b + ey

MF2 = b – ey

Pt tieáp tuyeán taïi M(x0 , y0) 0 0

2 21

x x y y

a b

0 0

2 21

x x y y

a b

Pt hình chöõ nhaät cô sôû

x a

y b

x a

y b

Khoảng cách giữa 2 đƣờng

chuẩn bằng nhau c

a22

c

a22

1. Tiếp tuyến Elip:

Cho Elip (E): 122

b

y

a

x

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Phƣơng trình tiếp tuyến của (E) tại M(x0; y0)

22

0

2

0

2

2

0

2

0 ..1..

: bayyaxxbb

yy

a

xxd

Đƣờng thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (E) a2

A2

+ b2

B2

= C2

Vaán ñeà 6: HYPEBOL

PT chính taéc

Lyù thuyeát

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 21

y x

b a

Truïc thöïc, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2b

Truïc aûo, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a

Lieân heä a, b, c c2

= a2

+ b2

c2

= a2

+ b2

Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)

Ñænh A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b)

Taâm sai

ce

a

ce

b

Ñöôøng chuaån

ax

e

by

e

Tieäm caän

by x

a

by x

a

Baùn kính qua tieâu

M nhaùnh phaûi

MF1 = ex + a

MF2 = ex – a

M nhaùnh traùi

MF1 = – (ex + a)

MF2 = – (ex – a)

M nhaùnh phaûi

MF1 = ey + b

MF2 = ey – b

M nhaùnh traùi

MF1 = – (ey + b)

MF2 = – (ey – b)

Khoảng cách giữa hai

đƣờng chuẩn bằng nhau c

a22

c

a22

1. Tiếp tuyến của Hyperbol:

Cho (H):

2 2

2 21

x y

a b

Phƣơng trình tiếp tuyến của (H) tại M(x0; y0)

1..

:2

0

2

0 b

yy

a

xxd

Đƣờng thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (H) a2A2 – b2B2 = C2

Vaán ñeà 7: PARAPOL

Pt chính taéc

Lyù thuyeát y

2

= 2px y2

= – 2py x2

= 2px x2

= – 2px

Tieâu ñieåm ,02

pF

,02

pF

0,

2

pF

0,2

pF

Ñöôøng chuaån

2

px

2

px

2

py

2

py

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Bán kính qua tiêu

điểm

1. Tiếp tuyến của Parapol (P): y2 = 2px

Phƣơng trình tiếp tuyến của (P) tại M(x0; y0) có dạng d: y.y0 = p(x + x0)

Điều kiện để đƣờng thẳng : Ax + By + C = 0 tiếp xúc (P): B2p = 2AC

----------------------------------------------------------------

Vaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :

1 2 3, ,M x y z OM x e y e z e

1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )a a a a a a e a e a e

Cho ( , , ), ( , , )A A A B B BA x y z B x y z

1). ( , , )B A B A B AAB x x y y z z

2). 2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z

4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k ≠ 1 :

1

1

1

A B

A B

A B

x kxx

k

y kyy

k

z kzz

k

Vaán ñeà 2: Pheùp toaùn

Cho 1 2 3( , , )a a a a

1 2 3( , , )b b b b

1).

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

2). 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b

3). 1 2 3( , , )m a ma ma ma

4). 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b

5). 2 2 2

1 2 3a a a a

6). 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b

7). 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

,.

a b a b a bCos a b

a a a b b b

O

z

x

y

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


8).

2 2 2

1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

sin ,a b a b a b a b a b a b

a ba a a b b b

9). Tích voâ höôùng cuûa hai Vectô

3 32 1 1 2

2 3 3 1 1 2

, , ,a aa a a a

a bb b b b b b

1. Véctơ a cùng phƣơng với b 31 2

2 2 3

aa a

b b b

2. điểm I của đoạn AB : ; ;2 2 2

A B A B A BI I I

x x y y z zx y z

3. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :

; ;3 3 3

A B C A B C A B CG G G

x x x y y y z z zx y z

4. Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

; ;4 4 4

A B C D A B C d A B C DG G G

x x x x y y y y z z z zx y z

1. Định nghĩa :

Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b .

Tích có hƣớng của hai véctơ a và b là một véctơ, kí hiệu là ,a b

, và đƣợc xác định nhƣ sau :

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

, ; ;

b b b

a a a a a aa b

b b b

2. Tính chất :

1. a cùng phƣơng với b , 0a b

2. ,a b

vuông góc với cả hai véctơ a và b

3. , ,b a a b

4. , . .sin( ; )a b a b a b

5. Xét sự đồng phẳng của ba véctơ : Ba véctơ ; ; a b c đồng phẳng , . 0a b c

Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện , . 0AB AC AD

1. Tính diện tích tam giác : 221 1

, . .2 2

ABCS AB AC AB AC AB AC

2. Tính thể tích hình hộp : . ' ' ' ' , .ABCD A B C DV AB AC AD

3. Tính thể tích tứ diện : 1

, .6

ABCDV AB AC AD

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


4. Tìm tọa độ chân đƣờng cao của tứ diện : AH là đƣờng cao của tứ diện ABCD. Tọa độ điểm H cho

bởi :

. 0

. 0

, , [ , ] 0

AH BC AH BC

AH BD AH BD

BC BD BH BC BD BH

ñoàng phaúng

Vaán ñeà 3: PHÖÔNG TRÌNH CUÛA MAËT PHAÚNG

1. Phƣơng trình tham số :

Mặt phẳng ( ) đi qua 0 0 0( ; ; )M x y z và có cặp VTCP 1 2 3( ; ; ),a a a a

1 2 3( ; ; )b b b b có phƣơng trình

tham số là :

0 1 1 1 2

0 2 1 2 2 1 2

0 3 1 3 2

( , )

x x a t b t

y y a t b t t t

z z a t b t

2. Phƣơng trình tổng quát :

Mặt phẳng ( ) đi qua 0 0 0( ; ; )M x y z và có VTPT ( ; ; )n A B C có

phƣơng trình tổng quát là :

0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z

Mỗi mặt phẳng đều có phƣơng trình tổng quát dạng :

0Ax By Cz D với 2 2 2 0A B C (1)

Ngƣợc lại, mỗi phƣơng trình có dạng (1) đều là phƣơng trình của một

mặt phẳng và mặt phẳng đó có một VTPT là ( ; ; )n A B C .

3. Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn :

Mặt phẳng ( ) không đi qua gốc tọa độ O

và cắt Ox tại ( ;0;0)A a , cắt Oy tại (0; ;0)B b

cắt Oz tại (0;0; )C c có phƣơng trình là :

( ) : 1x y z

a b c .

4. Các dạng chính tắc :

Mặt phẳng ( ) Phƣơng trình VTPT

1 Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = 0 (D = 0) ( ; ; )n A B C

2 Song song Ox hay vuông góc (Oyz) By + Cz + D = 0 (0; ; )n B C

3 Qua (chứa) Ox By + Cz = 0 (0; ; )n B C

4 Song song Oy hay vuông góc (Oxz) Ax + Cz + D = 0 ( ;0; )n A C

5 Qua (chứa) Oy Ax + Cz = 0 ( ;0; )n A C

6 Song song Oz hay vuông góc (Oxy) Ax + By + D = 0 ( ; ;0)n A B

7 Qua (chứa) Oz Ax + By = 0 ( ; ;0)n A B

8 Vuông góc Oz hay song song (Oxy) Cz + D = 0 (0;0; )n C

A

B

C

ab

c

O

x

y

z

0M

( ; ; )n A B C

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


9 Trùng (Oxy) z = 0 (0;0;1)n

10 Vuông góc Ox hay song song (Oyz) Ax + D = 0 ( ;0;0)n A

11 Trùng (Oyz) x = 0 (1;0;0)n

12 Vuông góc Oy hay song song (Oxz) By + D = 0 (0; ;0)n B

13 Trùng (Oxz) y = 0 (0;1;0)n

5. Chùm mặt phẳng :

Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai

mặt phẳng ( ) và ( ) đƣợc gọi là một chùm mặt phẳng.

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D .

Khi đó mỗi mặt phẳng (P) chứa (d) có phƣơng trình dạng :

2 2

1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0, 0m A x B y C z D n A x B y C z D m n

6. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D .

1. ( ) cắt ( ) 1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C ;

2. ( ) // ( ) 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D

3. ( ) ( ) 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D ;

4. ( ) ( ) A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

7. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Góc giữa hai mặt phẳng 1 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D và 2 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D là góc

(với 0 00 90 ) thỏa mãn :

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

.cos

.

n n A A B B C C

n n A B C A B C

trong đó 1 2;n n là hai véctơ

pháp tuyến của 1 2( );( ) .

8. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z đến mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D là

0 0 0

2 2 2( , )

Ax By Cz Dd M

A B C

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : ( , ) ( , ), ( )d d M M .

3. Khoảng cách từ 0 0 0 0( ; ; )M x y z đến các mặt phẳng tọa độ :

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tọa độ là

0 0 0 0( ; ; )M x y z

Oxy 0;d M mpOxy z

Oxz 0;d M mpOxz y

Oyz 0;d M mpOyz x

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

1. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

Đi qua VTCP Phƣơng trình Ghi chú

0 0 0( ; ; )M x y z

1 2 3( , , )u a a a

1) Phƣơng trình tham số :

0 1

0 2

0 3

; ( )

x x a t

y y a t t

z z a t

2) Phƣơng trình chính tắc :

0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

Nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng

0. ( ; ; )A A AA x y z

( ; ; )B B BB x y z AB

3) A A A

B A B A B A

x x y y z z

x z y y z z

Giao tuyến

của hai mặt

phẳng

4) Phƣơng trình tổng quát :

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

A x B y C z D

A x B y C z D

với

1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C

Phƣơng trình của các trục tọa độ : 1.1.

Trục Ox có VTCP 1;0;0 : 0

0

x t

i Ox y

z

Trục Oy có VTCP

0

0;1;0 :

0

x

j Oy y t

z

Trục Oz có VTCP

0

0;0;1 : 0

x

k Oz y

z t

Chuyển dạng phƣơng trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc : 1.2.

VTPT của hai mặt phẳng là :

1 1 1 1

2 2 2 2

; ;

; ;

n A B C

n A B C

VTCP của d : 1 2,u n n

Tìm điểm 0 0 0 0( ; ; ) ( ) ( )M x y z Phƣơng trình chính tắc : 0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

Đặt tỉ số này bằng t Phƣơng trình tham số

2. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG

Giả sử : 1

2

qua v có l

qua v có l

d A à VTCP à u

d B à VTCP à v

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


1. 1d và 2d chéo nhau 3 véctơ ; ; u v AB không đồng phẳng ; . 0u u AB

.

2. 1d và 2d cắt nhau 3 ; ;

2 ;

u v AB

u v

veùctô khoâng ñoàng phaúng

veùctô khoâng cuøng phöông

; 0

; . 0

u v

u v AB

3. 1d song song 2d ; 0

; 0

u v

u AB

4. 1d trùng 2d

; 0

; 0

u v

u AB

5. d1 d2 . 0u v

6. d1 và d2 đồng phẳng , 0u v AB

3. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

+ Đƣờng thẳng 0 0 0qua ( ; ; )

:có là ( ; ; )

M x y zd

VTCP u a b c

.

+ Mặt phẳng ( ) có VTPT là ( ; ; )n A B C

1. d cắt ( ) . 0u n ;

2. d song song với . 0

( )( )

u n

M P

3. d nằm trong . 0

( )( )

u n

M P

;

4. ( ) : : : :d n u a b c A B C cuøng phöông vôùi

4. GÓC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Góc giữa hai đƣờng thẳng : 4.1.

+ d1 đi qua M1(x1; y1; z1) và có VTCP 1 2 3( ; ; )u a a a

+ d2 đi qua M2(x2; y2; z2) và có VTCP 1 2 3( ; ; )v b b b

Góc 0 00 ;90 giữa d1 , d2 xác định bởi :

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.cos cos( , )

.

u v a b a b a bu v

u v a a a b b b

u n

n

M du

n

M du

n

M

du

1 2 3( ; ; )u a a a

1d

2d1 2 3( ; ; )v b b b

00 900

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng : 4.2.

+ d đi qua M0(x0; y0; z0) và có VTCP ( ; ; )u a b c

+ mp(α) có VTPT ( ; ; )n A B C

Góc 0 00 ;90 giữa d và mp(α) xác định bởi :

2 2 2 2 2 2

.sin cos( , )

.

u n aA bB cCu n

u n a b c A B C

5. KHOẢNG CÁCH

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : 5.1.

Khoảng cách từ điểm ( ; ; )M M MM x y z đến mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D

2 2 2

, ( )M M MAx By Cz D

d MA B C

. Nếu ( ) song song với ( ) thì ( ),( ) ( ),( )d d M

. Nếu đƣờng thẳng song song với mp ( ) thì , ( ) , ( )d d M

Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng : 5.2.

. Cho đƣờng thẳng đi qua A và có VTCP u .

. Khoảng cách từ điểm ( ; ; )M M MM x y z đến đƣờng thẳng là :

[ , ]

, ( )AM u

d Mu

Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau : 5.3.

Giả sử 1

2

qua và có là

qua và có là

A VTCP u

B VTCP v

Khi đó khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng 1 và 2 là :

1 2

[ , ].,

[ , ]

u v ABd

u v

6. HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG

Điểm 6.1.

Điểm M(x; y; z) Điểm M(x; y; z)

Chiếu lên Tọa độ là Đối xứng qua Tọa độ là

Ox (x; 0; 0) Ox (x; y; z)

Oy (0; y; 0) Oy ( x; y; z)

Oz (0; 0; z) Oz ( y; x; z)

mp(Oxy) (x; y; 0) mp(Oxy) (x; y; z)

mp(Oxz) (x; 0; z) mp(Oxz) (x; y; z)

mp(Oyz) (0; y; z) mp(Oyz) ( x; y; z)

Gốc tọa độ ( x; y; z)

( ; ; )n A B C

d

( ; ; )u a b c

0 00 90

A

B

u

v

1

2

Hu

0 0 0( ; ; )A x y z

M

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Đƣờng thẳng 6.2.

Hình chiếu lên mặt phẳng tọa độ Phƣơng trình

của đƣờng thẳng d

0 1

0 2

0 3

x x a t

y y a t

z z a t

Oxy

0 1

0 2

0

x x a t

y y a t

z

Oxz

0 1

0 3

0

x x a t

y

z z a t

Oyz 0 2

0 3

0x

y y a t

z z a t

Vaán ñeà 5: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN

1. Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C)

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

Ax + By + Cz + D = 0

2. Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)

- Từ ptmp(Q) VTPT n Q = (A;B;C)

- Vì (P) // (Q) VTPT n P = n Q = (A;B;C)

- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P

3. Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đƣờng thẳng d

- Từ (d) VTCP u d = (A;B;C)

- Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n P=u d =(A;B;C)

Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n P.

4. Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R)

- Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n Q ; VTPT n R

- Vì (P) (Q) và (R) VTPT n P Qn và n P n R

Chọn n P = [ n Q; n R]

- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n P = [ n Q; n R]

5. Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng

- Tính AB , AC và a = [ AB , AC ]

- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P= a = [ AB , AC ]

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


6. Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)

- Tính AB , vtpt n Q và tính [ AB , n Q]

- Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn n P=[ AB , n Q]

- Viết ptmp (P)

7. Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d)

- Tính VTPT n Q của mp (Q); VTCP u d của đƣờng thẳng (d).

- Tính [u d, n Q]

- Vì (P) (Q) và // (d) nên VTPT n P = [u d, n Q]

- Từ đó viết đƣợc PT mp (p)

8. Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.

- Tình trung điểm I của ABvà AB

- Mp (P) đi qua I và nhận AB làm VTPT.

9. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A

- Tính VTCP u d của đƣờng thẳng (d) và tìm điểm M(d)

- Tính AM và [u d, AM ]

- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n P =[u d, AM ].

10. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( )

- Từ (d) VTCP u d và điểm M (d)

- Từ ( ) VTCP u và tính [u d, u ]

- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n = [u d, u ].

11. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)


- Từ (Q) VTPT n Q và tính [u d, n Q]

- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n =[u d, n Q].

12. Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h

- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0

( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ)

- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm đƣợc D

- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.

13. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h

- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B

2 + C

2 >0

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp



- Vì (d) nằm trong (P) u d. n P=0 (1)

- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

- d(A,(P)) = h (2)

- Giải (1);(2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết đƣợc PT mp(P).

14. Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900


2 + C

2 >0


- Vì d (P) u d. n P=0 (1)

- Tính cos ((P),(Q)) (2)

- Từ (1) và (2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết đƣợc PT mp(P).

15. Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 900

- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A2 + B

2 + C

2 >0


- Vì d (P) u d. n P=0 (1)

- Tính sin ((P),( )) (2)

- Hệ (1) và (2) tìm đƣợc A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết đƣợc PT mp(P).

16. Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất

- Gọi H là hình chiếu của A lên (d)

- Ta có : d(A,(P)) = AK AH

(tính chất đƣờng vuông góc và đƣờng xiên)

Do đó d(A(P)) max AK = AH K H

- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT

17. Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0

(theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ).

- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm đƣợc D'

- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm

18. Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn(C) có bán kính r (

hoặc diện tích, chu vi cho trƣớc).


- Adct : Chu vi đƣờng tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r.

- d(I,(P)) = 2 2R r (1)

- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0

(theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


- Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm đƣợc D' viết đƣợc pt (P).

19. Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)


- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A2 + B

2 + C

2 >0


- d (P) u d. n P=0 (1)

- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)

- Giải hệ (1) và (2) tìm đƣợc A,B theo C PT mp(P).

20. Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có bán kính r (

hoặc diện tích , chu vi cho trƣớc)


- Adct : Chu vi đƣờng tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r.

- Vì d (P) u d. n P=0 (1)


2 + C

2 >0,

chọn M trên đƣờng thẳng d.

=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

- Vì (P) cắt (S) theo đƣờng tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)

- Giải hệ (1) và (2) tìm đƣợc A,B theo C PT mp(P).

21. Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có bán kính

nhỏ nhất .(áp dụng trƣờng hợp d cắt (S) tại 2 điểm).


- Bán kính r = 2 2( ,( ))R d I p để r min d(I,(P)) max

- Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P)

- Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đƣờng vuông góc và đƣờng xiên)

- Do đó: d(I,(P)) max AK = AH K H

- PT mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT

Vaán ñeà 6: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN

1. Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c)

PP: phương trình tham số của đƣờng thẳng d là:

(d):

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

với t R

* Chú ý : Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0x x y y z z

a b c

* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một

điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


2. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B

- Tính AB

- Viết PT đƣờng thăng đi qua A, và nhận AB làm VTCP

3. Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đƣờng thẳng ( )

- Từ pt( ) VTCP u

- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u làm VTCP

4. Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P)

- Tìm VTPT của mp(P) là n P

- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u d = n P

5. Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)

- Từ (d1),(d2) 1 2 1 2, à u à uVTCPd d l v => tính [ 1u , 2u ].

- Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ 1u , 2u ]

- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u d= [ 1u , 2u ]

6. Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp

(P):Ax + By + Cz + D = 0

(Q):A'x + B

'y + C

'z + D

' = 0

- Từ (P) và (Q) n P , n Q

- Tính [ n P , n Q]

- Xét hệ '' ' '

Ax + By + Cz +D =0

A 0x B y C z D

.

Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md

- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q].

7. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)

Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)

- Hình chiếu cần tìm d' = (P) (Q)

Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )

+ Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P)

+ Viết phƣơng trình d' đi qua M, H

8. Dạng 8: Viết pt đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đƣờng thẳng d1, d2:

Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đƣờng thẳng d1

* Tìm B = 2( ) d

* Đƣờng thẳng cần tìm đi qua A, B

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đƣờng thẳng d1

- Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm B và chứa đƣờng thẳng d2

- Đƣờng thẳng cần tìm d =

9. Dạng 9: Viết pt đƣờng thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3

- Viết phƣơng trình mp (P) song song d1 và chứa d2

- Viết phƣơng trình mp (Q) song song d1 và chứa d3

- Đƣờng thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q

10. Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đƣờng thẳng d1 và cắt d2

Cách 1 : - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1

- Tìm giao điểm B = 2( ) d

- Đƣờng thẳng cần tìm đi qua A, B

Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1

* Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1

* Đƣờng thẳng cần tìm d =

11. Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đƣờng thẳng d'

Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )

- Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'

- Đƣờng thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q

Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )

* Tìm B = ( ) 'P d

* Đƣờng thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B

12. Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d1, d2 cho trƣớc.

- Tìm giao điểm A=d1 ( )P và B=d2 ( )P

- Đƣờng thẳng d đi qua 2 điểm A, B

13. Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đƣờng thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'.

* Tìm giao điểm I' = d' ( )P

* Tìm VTCP u của d' và VTPT n của (P) và tính [u,n]v

* Viết ptđt d qua I và có VTCP v

14. Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dƣờng thẳng chéo nhau d1, d2 :

- Gọi 0 0 0 1( , , )M x at y bt z ct d ,

và ' ' '0 0 0 2( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


là các chân đƣờng vuông góc chung của d1, d2

- Ta có hệ 11

2 2

. 0, '

. 0

MN d MN ut t

MN d MN u

.

- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.

( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc)

15. Dạng 15 : Viết pt đƣờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d1,d2 .

* Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P)

* Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P)

* Đƣờng thẳng d = ( ) ( )Q R

16. Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đƣờng thẳng d1 .

- Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1

- Tìm giao điểm B = 1( ) d

- Đƣờng thẳng cần tìm đi qua A, B

17. Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc 0 0(0 ;90 ) (= 30

0, 45

0, 60

0)

* Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c

* Vì 11 . 0d d u u =>phƣơng trình (1)

Vì 2

2

.

.

u ucos

u u => phƣơng trình (2)

Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.

( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc 0 0(0 ;90 ) thì có

.

.

P

P

u usin

u u )

18. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc 0 0(0 ;90 ) .

- Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c

- Vì d//(P) nên . 0pu n => phƣơng trình (1).

- Vì 1

1

1

.( , )

.

u ucos d d cos

u u nên có phƣơng trình (2).

- Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.

=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c

19. Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc 0 0(0 ;90 ) .

- Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c

- Vì d(P) nên . 0pu n => phƣơng trình (1).

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


- Vì 1

1

1

.( , )

.

u ucos d d cos

u u nên có phƣơng trình (2).

- Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.


20. Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h.

* Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c

* Vì d 1d nên 1

. 0u n => phƣơng trình (1).

* Vì [ , ]

( , )u

u AMd M d h h => phƣơng trình (2).

*Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.


Vaán ñeà 7: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI

1. Dạng 1. Xác định vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng và mặt phẳng

Phƣơng pháp :

Cách 1. Giải hệ phƣơng trình : 1

2

( ) ( );

( ) ( )

Cách 2. Sử dụng dấu hiệu nhận biết qua hệ thức của các véctơ.

2. Dạng 2. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( )

Phƣơng pháp :

Viết phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng qua M và vuông góc với ( ) . Giao điểm H của và ( ) là

hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( ) .

VD: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0.

ĐS: H(2; -3; -1)

Hướng dẫn giải: Đƣờng thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phƣơng trình:

tz

ty

tx

25

1

26

Gọi H = d (P). Ta có Hd H(6 + 2t; -1+ t; -5 -2t)

Vì H(P) 2(6 + 2t) + ( 1+ t) 2( 5 2t) 3 = 0 t = 2

Vậy H(2; 3; 1)

3. Dạng 3. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc qua mặt phẳng ( )

Phƣơng pháp :

Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( ) . Giả sử 1 1 1 0 0 0( ; ; ), ( ; ; )M x y z H x y z . Khi đó, điểm M’ đối xứng với

M qua ( ) là 0 1 0 1 0 1(2 ;2 ,2 )M x x y y z z

4. Dạng 4. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên đƣờng thẳng

Phƣơng pháp :

M

H

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


Cách 1. Viết phƣơng trình mp ( ) qua M và vuông góc với . Giao

điểm H của và ( ) là hình chiếu vuông góc của M lên .

Cách 2. Viết phƣơng trình tham số của tọa độ H theo tham số

t. Véctơ MH u là véctơ chỉ phƣơng của . Giải phƣơng trình : . 0MH u tham số t Tọa độ H.

VD: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đƣờng thẳng d:

tz

ty

tx

1

22

32

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H là hình chiếu của M trên đƣờng thẳng d khi và chỉ khi

u . MH = 0 ( u là VTCP của d)

Hướng dẫn giải:

Đƣờng thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1).

Gọi Hd suy ra: H( 2 + 3t; 2 2t; 1+ t) nên:

MH =( 1+3t; 4 2t; 3 + t)

H là hình chiếu của M trên d u . MH = 0

3( 1+3t) 2(4 2t) + ( 3+t) = 0 t = 1

Vậy H(1; 0; 2)

5. Dạng 5. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc

qua đƣờng thẳng

Phƣơng pháp :

Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên .

Giả sử 1 1 1 0 0 0( ; ; ), ( ; ; )M x y z H x y z . Khi đó, điểm M’ đối xứng với M qua là

0 1 0 1 0 1(2 ;2 ,2 )M x x y y z z

VD: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đƣờng thẳng d có phƣơng trình :

tz

ty

tx

2

1

21

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đƣờng thẳng d khi và chỉ khi u . AH

= 0 (u là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA/ từ đó suy ra tọa độ của A

/


Đƣờng thẳng d có VTCP u = (2; 1; 2).

Gọi Hd suy ra: H(1+2t ; 1 t ; 2t)

nên: AH =(2t ; 1 t ; 2t 5)

H là hình chiếu của A trên d u . AH = 0

2(2t) (1 t) + 2(2t + 5) = 0 t = 1

suy ra: H( 1; 0; 2)

Ta có H là trung điểm của AA/ nên:

1

2

3

/

/

/

A

A

A

z

y

x

Vậy: A/( 3 ; 2 ; 1).

6. Dạng 6. Xác định hình chiếu vuông góc của đƣờng thẳng lên mp ( )

Phƣơng pháp :

M

H

M’

d

H

A '

A

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp


TH1: ( ) Hình chiếu vuông góc của lên mp ( ) là điểm ( )H

TH2: không vuông góc với ( ) , ( ) :

Cách 1. Viết phƣơng trình mp ( ) chứa và ( ) vuông góc với ( )

Hình chiếu vuông góc của lên ( ) là đƣờng thẳng ( ) ( ) .

Cách 2. Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc

Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên ( ) là H1, H2

Hình chiếu vuông góc của lên ( ) là đƣờng thẳng H1H2.

Cách 3. Nếu cắt ( ) : Xác định ( )A . Lấy M bất kỳ không thuộc và khác A.

Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên ( )

Hình chiếu vuông góc của lên ( ) là đƣờng thẳng AH.

VD: Viết phƣơng trình hình chiếu vuông góc của đƣờng thẳng d:

tz

ty

tx

55

21

56

)( Rt trên mp(P): 2x + y 2z 3 = 0.

Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M

d, tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình chiếu của đƣờng thẳng d trên

mp(P) là đƣờng thẳng qua H và có VTCP AH .


Gọi A là giao điểm của d và (P).

Ta có: Ad suy ra: A(6 5t; 1+2t; 5+5t)

Vì A(P) 2(6 5t) + ( 1+2t) 2( 5+5t) 3 = 0

t = 1

Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6; 1; 5) d

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; 3; 1) Hình chiếu của d trên (P) là đƣờng thẳng qua

H và có VTCP AH = (1; 4; 1)

nên có phƣơng trình :

tz

ty

tx

1

43

2

)( Rt

Cách 4. Nếu ( )

VD: Viết phƣơng trình hình chiếu vuông góc của đƣờng thẳng d:

tz

ty

tx

35

21

46

)( Rt trên

mp(P): 2x + y 2z 3 = 0.

Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đó hình chiếu của đƣờng

thẳng d trên mp(P) là đƣờng thẳng qua H và song song với d.


Ta có: d qua điểm M(6; 1; 5), có VTCP u = (4; 2; 3)

mp(P) có VTPT n = (2; 1; 2)

u . n = 0 và M(P) nên: d // (P)

d

H

M

(P)

A

d

H

M

(P)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 100 -

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; 3; 1)

Hình chiếu của d trên (P) là đƣờng thẳng qua H và song song với d nên có phƣơng trình :

tz

ty

tx

31

23

42

7. Dạng 7. Xác định hình chiếu song song của đƣờng thẳng 1 lên mp ( ) theo phƣơng 2 cắt ( )

Phƣơng pháp :

TH1: 1 2/ / Hình chiếu song song của 1 lên ( ) theo phƣơng 2 là điểm 1 ( )H .

TH2: 1 và 2 không song song:

Viết phƣơng trình mp ( ) chứa 1 và song song 2

Hình chiếu song song của 1 lên ( ) theo phƣơng 2 là đƣờng thẳng ( ) ( ) .

8. Dạng 8. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và cắt 1 , 2 với 1 , 2 chéo nhau và không đi

qua M

Phƣơng pháp :

Cách 1. Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1

Nếu 1 có phƣơng trình tổng quát thì nên viết phƣơng trình ( ) dƣới dạng chùm

Nếu 1 có phƣơng trình tham số thì lấy hai điểm A, B thuộc 1 Phƣơng trình ( ) qua 3 điểm A, B, M.

* Nếu 2( ) / / thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt 2 thì tìm 2 ( )N

Nếu 1/ /MN thì bài toán vô nghiệm. Nếu MN cắt 1 thì đƣờng thẳng cần tìm là MN.

Cách 2. Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1 , mặt phẳng ( ) qua M và chứa 2

* Xét ( ) ( ) . Nếu cắt 1 và 2 thì đƣờng thẳng là đƣờng thẳng cần tìm. Nếu 1/ / hoặc 2

thì bài toán vô nghiệm.

9. Dạng 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng cắt 1 , 2 và song song với 3

Phƣơng pháp 1: Viết phƣơng trình mp ( ) chứa 1 và song song 3 , mp ( ) chứa 2 và song song 3

Nếu ( ) / /( ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt ( ) thì xét ( ) ( ) .

Nếu cắt 1 và 2 thì là đƣờng thẳng cần tìm.

Nếu 1/ / hoặc 2 thì bài toán vô nghiệm.

Phƣơng pháp 2: Viết phƣơng trình tham số của 1 theo t1, của 2 theo t2. Lấy điểm 1 2,M N Tọa

độ M, N theo t1, t2 MN theo t1, t2.

Xác định t1, t2 sao cho 3/ /MN Đƣờng thẳng cắt 1 , 2 và song song với 3 là MN.

Phƣơng pháp 3: Gọi 0 0 0( ; ; )M x y z là giao điểm của và 1 .

nhận VTCP của 3 làm VTCP Phƣơng trình tham số của theo 0 0 0; ;x y z .

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 101 -

cắt 2 suy ra hệ 2

có nghiệm 0 0 0; ;x y z Phƣơng trình .

VD: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng cắt 2 đƣờng thẳng d1:

tz

ty

tx

1

32 ; d2:

/

/

/

4

31

21

tz

ty

tx

và song song

với đƣờng thẳng d: 1

4

23

1

zyx

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Ad1, Bd2 khi đó A, B khi và chỉ khi hai vectơ u , AB cùng

phƣơng ( u là VTCP của d), đƣờng thẳng qua A và có VTCP u



Gọi Ad1 suy ra: A(t; 2 3t; 1+t)

Bd2 suy ra: B(1+2t/ ; 1+3t

/ ; 4 t

/ )

nên: AB = (2t/ t + 1; 3t

/ + 3t + 1; t

/ t + 3)

A, B u và AB cùng phƣơng

1

3

2

133

3

12 ///

tttttt

1

825/

/

tt

tt

2

1/t

t

suy ra A(-1;1;0) .

Đƣờng thẳng qua A và có VTCP u = (3; 2; 1) nên có phƣơng trình :

tz

ty

tx

21

31

10. Dạng 10. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và vuông góc với 1 , cắt 2 trong đó

1 2,M

Phƣơng pháp : Viết phƣơng trình mp ( ) qua M và vuông góc với 1 , mp ( ) qua M chứa 2

Nếu ( ) / /( ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt ( ) thì xét ( ) ( ) .

Nếu cắt 2 thì là đƣờng thẳng cần tìm.

Nếu 2/ / thì bài toán vô nghiệm.

VD: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A(2; 1; -3) cắt đƣờng thẳng d1:

tz

ty

tx

4

21

3

)( Rt và vuông góc

với đƣờng thẳng d2:

tz

ty

tx

5

3

41

)( Rt

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 102 -

Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd1, khi đó H khi và chỉ khi u . AH = 0 ( u là VTCP của d2);

đƣờng thẳng qua I và có VTCP AH


Đƣờng thẳng d2 có VTCP u = (4; 1; 1).

Gọi Hd1 suy ra: H(3+t; 1 2t; 4+t) nên:

AH =(1+t; 2 2t; 7+t)

H u . AH = 0 4(1+t) + ( 2 2t) + (7+t) = 0 t = -3

Suy ra H(0; 5; 1)

Đƣờng thẳng qua A và có VTCP AH =(2; 4; 4) = 2(1; 2; 2)

nên có phƣơng trình :

tz

ty

tx

23

21

2

)( Rt

11. Dạng 11. Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau 1 2,

Phƣơng pháp :

a. TH dặc biệt : 1 2

Viết phƣơng trình mp ( ) chứa 1 và 2

Tìm 2 ( )M , H là hình chiếu vuông góc của M lên 1 MH là đƣờng vuông góc chung của 1 , 2 .

b. Phƣơng pháp 1 : Viết phƣơng trình 1 , 2 dƣới dạng tham số

Lấy 1 2,M N Tọa độ M, N theo t1, t2 MN theo t1, t2.

MN là đƣờng vuông góc chung của 1 , 2 1 2 1 2, , .MN MN t t MN

c. Phƣơng pháp 2 : Gọi 1 2,a a là VTCP của 1 , 2 Đƣờng vuông góc chung có VTCP

1 2,a a a

.

Viết phƣơng trình mp ( ) chứa 1 và song song , mp ( ) chứa 2 và song song ( ) ( ) .

VD: Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung của 2 đƣờng thẳng chéo nhau

d:

tz

ty

tx

2

35

)( Rt và d/ :

/

/

/

4

37

2

tz

ty

tx

)( / Rt

Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad1, Bd2; AB là đƣờng vuông góc chung của d và d/ khi và chỉ

khi . 0

. 0

u AB

v AB

; đƣờng vuông góc chung qua A và có VTCP AB



Đƣờng thẳng d/ có VTCP v = (1; 3; -1).

d2

d1

H

A

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 103 -

Gọi Ad suy ra: A(5+3t; 2+t; t)

Bd/ suy ra: B( 2+t

/ ; 7+3t

/ ; 4 t

/ )

nên: AB =(t/ 3t 7; 3t

/ t 9; t/ t + 4)

AB là đƣờng vuông góc chung của d và d/

. 0

. 0

u AB

v AB

0)4()93(3)73(

0)4()93()73(3///

///

tttttt

tttttt

38511

26115/

/

tt

tt

3

1/t

t

suy ra: A(2; 1; 1); AB =( 1; 1; 2)

Đƣờng vuông góc chung qua A và có VTCP AB =( 1; 1; 2) nên có phƣơng trình :

tz

ty

tx

21

1

2

)( Rt

12. Các bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất :


(MA+MB)min.

Phƣơng pháp : Xác định vị trí tƣơng đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lƣợng :

1 1 1 2 2 2;A Bt ax by cz d t ax by cz d

* Nếu 0 ,A Bt t A B khác phía đối với (P). Gọi 0 ( ) ( )M AB P , khi đó 0 0 .MA MB AB M A M B

* Nếu 0 ,A Bt t A B cùng phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng với A qua (P). Gọi 0 1( ) ( )M A B P . Khi đó,

1 1 0 1 0 .MA MB MA MB A B M A M B

VD: Trong không gian Oxyz cho M(1; 2; 3), và N(4; 4; 5). Tìm điểm I mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất.

Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt phẳng. Nếu M, N nằm về hai

phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là

giao điểm của M 'N và mặt phẳng trong đó M

' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó.


Mặt phẳng (Oxy) có phƣơng trình z = 0. Trƣớc hết ta xét xem M và N có ở một trong hai phía với mp

(Oxy) hay không? Dể thấy zM . zN = 3.5 = 15 > 0 M, N ở về một phía với mp (Oxy).

Đƣờng thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt:

1

2

3

x

y

z t

Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy).

Ta có H d H(1; 2; 3 + t)

Vì H(Oxy) 3 + t = 0 t = 3

H(1; 2; 0)

Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).

H là trung điểm của MM' nên M'(1; 2; 3) và 'M N = (3; 2; 8)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 104 -

Ta có IM + IN = IM' + IN M'N Min (IM + IN) = M'N I là giao điểm của M'N và mp(Oxy)

M'N qua M ' có VTCP 'M N = (3; 2; 8) nên có phƣơng trình:

,

,

,

1 3

2 2

3 8

x t

y t

z t

Điểm I( 1 + 3t', 2 + 2t', 3 + 8t')d vì I(Oxy) 3 + 8t' = 0 t' =3

8

Vậy I17 11

; ;08 4

Dạng 2: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; ).A x y z B x y z Tìm ( ) : 0M P ax by cz d để MA MB12.2.

max.

Phƣơng pháp : Xác định vị trí tƣơng đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lƣợng :

1 1 1 2 2 2;A Bt ax by cz d t ax by cz d

* Nếu 0 ,A Bt t A B cùng phía đối với (P). Gọi 0 1( ) ( )M A B P . Khi đó

0 0MA MB AB M A M B

* Nếu 0 ,A Bt t A B khác phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng với A qua (P). Gọi 0 1( ) ( )M A B P . Khi đó

1 1 0 1 0MA MB MA MB A B M A M B

Dạng 3: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; )A x y z B x y z . Tìm M cho trƣớc sao cho (MA + MB) min. 12.3.

Phƣơng pháp : Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tƣơng ứng của các điểm A, B lên . Gọi M0 là

điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số 0

0

AAM Ak

M B BB

.

Ta chứng minh 0 0MA MB M A M B .

Chứng minh : Gọi 1 ( ) ( ),A P B sao cho A1 khác phía đối với B so với và thỏa mãn

1 011 0

1 0

, ,A A AA M AA A

A M BA A BB M B

thẳng hàng

1 1 0 1 0 0 0MA MB MA MB A B M A M B M A M B .

VD: Trong k/gian Oxyz cho: M(3; 1; 1), N( 4; 3; 4) và đƣờng thẳng d có phƣơng trình:

7

3 2

9

x t

y t

z t

. Tìm điểm I

d sao cho: IM + IN nhỏ nhất.

Nhận xét: Ta có MN d nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d (P) trong đó (P) là mặt phẳng qua

MN và vuông góc với d


Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1), vì MN .u =0 MN d

Mặt phẳng(P) qua MN và vuông góc với d có phƣơng trình là: x 2y + z 2 = 0

Gọi H = d (P), Hd H(7 + t; 3 2t; 9 + t)

Vì H(P) nên: (7 + t) 2(3 2t) +(9 + t) 2 = 0

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 105 -

t = 4

3 H

17 17 23; ;

3 3 3

Với Id, ta có: IM + IN HM + HN

IM + IN nhỏ nhất IM + IN = HM + HN I H

Vậy: I 17 17 23

; ;3 3 3

Vaán ñeà 8: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ MAËT CAÀU

1. Phƣơng trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R

2Rczbyax:R)S(I,

222

(1)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,222 (2) ( 0dcbavôùi

222 )

Taâm I(a ; b ; c) vaø dcbaR 222

2. Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu

Cho 2

Rczbyax:(S)222

vaø (): Ax + By + Cz + D = 0

Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp() :

d > R : (S) =

d = R : () tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, (): tieáp dieän)

*Tìm tieáp ñieåm H (laø h chieáu cuûa taâm I treân mp)

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp(): ta coù nad

Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

d < R : caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt

2

0DCzByAx :

Rczbyax:(S)222

*Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn:

+ baùn kính ),(22 IdRr

+ Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp())

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp() : ta coù nad

Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

3. Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu

tazz

tayy

taxx

d

3o

2o

1o

: (1) vaø 2

Rczbyax:(S)222

(2)

+ Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t,

+ Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm

4. CAÙC DAÏNG TOAÙN

Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A 4.1.

ª 2Rczbyax:R)S(I,

222

(1)

Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 106 -

)(),( 21212121 SSRRIIRR

Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB 4.2.

Taâm I laø trung ñieåm AB

Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)

Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2

Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp() 4.3.

222

..)(

CBA

DI

zCI

yBS

I

A.x

)d(I, R

I taâmcaàu maët Pt

Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD 4.4.

Duøng (2) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I,222 A,B,C,D mc(S) heä pt, giaûi tìm a, b, c, d

Daïng 5: Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α) 4.5.

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,222 (2)

A,B,C mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2).

I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α).

Giaûi heä phöông trình treân tìm a, b, c, d.

Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A. 4.6.

Tieáp dieän () cuûa mc(S) taïi A : () qua A,

IA n vtpt

Daïng 7: Vò trí töông ñoái giöõa hai maët caàu: 4.7.

Cho hai maët caàu S1(I1,R1) vaø S2(I2,R2).

)(),( 212121 SSRRII trong nhau

)(),( 212121 SSRRII ngoaøi nhau.

)(),( 212121 SSRRII tieáp xuùc trong

)(),( 212121 SSRRII tieáp xuùc ngoaøi

caét nhau theo moät ñöôøng troøn

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 107 -

Vaán ñeà 1: HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC

Ñònh nghóa 1: Haøm soá )(xfy goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x = a neáu :

1/. )(xf xaùc ñònh taïi ñieåm x = a

2/. )()(lim afxfax

Ñònh nghóa 2: )(xf lieân tuïc taïi ñieåm x = a )()(lim)(lim afxfxfaxax

Ñònh lyù : Neáu )(xf lieân tuïc treân [a, b] vaø 0)().( bfaf thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c (a, b) sao cho

0)( cf

Vaán ñeà 2: ÑAÏO HAØM

1. Ñònh nghóa ñaïo haøm :

Cho haøm soá y = f(x) , xaùc ñònh treân ( a, b) , x0 ( a, b). Ta noùi f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 neáu giôùi haïn

0

xkhi

x

y toàn taïi.

x

xfxxf

x

yxf

xx

)()(limlim)( 00

000

'

Ñaïo haøm beân traùi :

x

yxf

x

00

' lim)( ( toàn taïi )

Ñaïo haøm beân phaûi :

x

yxf

x

00

' lim)( ( toàn taïi )

Cho y = f(x) xaùc ñònh treân (a, b)

y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 (a, b) f ‘(x0

+) = f

’(x0

–)

2. Qui taéc tính ñaïo haøm :

1/. '''' .......).....( cbacba

2/. ''' ..)( babaab

'''' ......)( cbacbacbaabc

3/. 2

'''

b

abba

b

a

( b 0)

)(.)( '' Rcuccu

2

''1

u

u

u

3. Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn :

TT Haøm soá Ñaïo haøm

1 y = c y’ = 0

2 y = x y’ = 1

3

xy

uy

1' . xy (x > 0)

'1' .. uuy

4 x

y1

2

' 1

xy

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 108 -

xy

uy

n uy

xy

2

1'

u

uy

2

''

n nun

uy

1

''

5 Sinuy

Sinxy

Cosuuy

Cosxy

.''

'

6 Cosxy

Cosuy

Sinxy '

Sinuuy .''

7

Tanxy

Tanuy

xCosy

2

' 1

uCos

uy

2

''

8

Cotxy

Cotuy

xSiny

2

' 1

uSin

uy

2

''

9 arcSinxy 2

'

1

1

xy

10 arcCosxy 2

'

1

1

xy

11 arcTanxy 2

'

1

1

xy

12 arcCotxy 2

'

1

1

xy

13

xay

uay

Lnaay x'

Lnaauy u ..''

14

uey

uey

xey '

ueuy ''

15

xy ln

uy ln

xy

1'

u

uy

''

16 xy alog xLna

y1'

17 uy alog au

uy

ln

''

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 109 -

Vaán ñeà 3: LUYÕ THÖØA – LOGARIT

1. LUYÕ THÖØA

Ñònh nghóa luyõ thöøa 1.1.

Soá muõ Cô soá a Luyõ thöøa a

*Nn a R . ......n

a a a a a (n thöøa soá a)

0 0a 10 aa

)( *Nnn 0a n

n

aaa

1

),( *NnZmn

m 0a )( abbaaaa nnn mn

m

),(lim *NnQrr nn 0a nraa lim

Tính chaát cuûa luyõ thöøa 1.2.

Vôùi moïi a > 0, b > 0 ta coù:

b

a

b

abaab

aaaa

aaaa

;.)(

;)(;;. .

a > 1 : a a ; 0 < a < 1 : a a

Vôùi 0 < a < b ta coù:

0m ma b m ; 0

m ma b m

Chuù yù: + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá a phaûi khaùc 0.

+ Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông.

Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc 1.3.

Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho nb a .

Vôùi a, b 0, m, n N*, p, q Z ta coù:

.n n nab a b ; ( 0)

n

n

n

a ab

b b

; ( 0)

pn p na a a ;

m n mna a

( 0)n mp qp q

Neáu thì a a a

n m

; Ñaëc bieät mnn m

a a

Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì n na b .

Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a < b thì n na b .

Chuù yù:

+ Khi n leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n. Kí hieäu na .

+ Khi n chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau.

Coâng thöùc laõi keùp

Goïi A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát moãi kì, N laø soá kì.

Soá tieàn thu ñöôïc (caû voán laãn laõi) laø: (1 )N

C A r

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 110 -

2. II. LOGARIT

Ñònh nghóa 2.1.

Vôùi a > 0, a 1, b > 0 ta coù: logab a b

Chuù yù: logab coù nghóa khi

0, 1

0

a a

b

Logarit thaäp phaân: 10

lg log logb b b

Logarit töï nhieân (logarit Nepe): ln loge

b b

(vôùi 1

lim 1 2,718281

n

e

n

)

Tính chaát 2.2.

log 1 0a

; log 1aa ;

logb

aa b ;

log( 0)a

ba b b ; bb aa aa

loglog

Cho a > 0, a 1, b, c > 0. Khi ñoù:

+ Neáu a > 1 thì log loga ab c b c

+ Neáu 0 < a < 1 thì log loga ab c b c

Caùc qui taéc tính logarit 2.3.

Vôùi a > 0, a 1, b, c > 0, ta coù:

log ( ) log loga a abc b c log log log

a a a

bb c

c

log loga ab b

Ñoåi cô soá 2.4.

Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b 1, ta coù:

log

log

log

a

b

a

c

c

b

hay log .log loga b ab c c

1

log

loga

b

b

a

1log log ( 0)

aac c

Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ, PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

Phöông trình muõ cô baûn: 1.1.

Vôùi a > 0, a 1: 0

log

x

a

ba b

x b

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 111 -

Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ 1.2.

1.2.1. Ñöa veà cuøng cô soá:

Vôùi a > 0, a 1: ( ) ( )

( ) ( )f x g xa a f x g x

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá coù chöùa aån soá thì: ( 1)( ) 0M Na a a M N

1.2.2. Logarit hoaù:

( ) ( ) ( ) log . ( ) f x g x

aa b f x b g x

1.2.3. Ñaët aån phuï:

Daïng 1: ( )

( ) 0f x

P a

( ), 0

( ) 0

f xt a t

P t

, trong ñoù P(t) laø ña thöùc theo t.

Daïng 2: 2 ( ) ( ) 2 ( )

( ) 0f x f x f x

a ab b

Chia 2 veá cho 2 ( )f xb , roài ñaët aån phuï

( )f x

at

b

Daïng 3: ( ) ( )f x f x

a b m , vôùi 1ab .

Ñaët ( ) ( ) 1f x f x

t a b

t

1.2.4. Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá:

Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1)

Ñoaùn nhaän x0 laø moät nghieäm cuûa (1).

Döïa vaøo tính ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa f(x) vaø g(x) ñeå keát luaän x0 laø nghieäm duy nhaát:

( ) ñoàng bieán vaø ( ) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët).

( ) ñôn ñieäu vaø ( ) haèng soá

f x g x

f x g x c

Neáu f(x) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) thì ( ) ( )f u f v u v

e) Ñöa veà phöông trình caùc phöông trình ñaëc bieät

Phöông trình tích A.B = 0 0

0

A

B

Phöông trình 2 2 0

00

AA B

B

f) Phöông phaùp ñoái laäp

Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1)

Neáu ta chöùng minh ñöôïc: ( )

( )

f x M

g x M

thì (1)

( )

( )

f x M

g x M

2. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

Phöông trình logarit cô baûn 2.1.

Vôùi a > 0, a 1: logb

ax b x a

Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit 2.2.

a) Ñöa veà cuøng cô soá

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 112 -

Vôùi a > 0, a 1: ( ) ( )

log ( ) log ( )( ) 0 ( ( ) 0)

a a

f x g xf x g x

f x hoaëc g x

b) Muõ hoaù

Vôùi a > 0, a 1: log ( )

log ( ) af x b

af x b a a

c) Ñaët aån phuï

d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá

e) Ñöa veà phöông trình ñaëc bieät

f) Phöông phaùp ñoái laäp

Chuù yù:

Khi giaûi phöông trình logarit caàn chuù yù ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa.

Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b, c 1: log log

b bc a

a c

Vaán ñeà 5: BAÁT PHÖÔNG, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT

Khi giaûi heä phöông trình muõ vaø logarit, ta cuõng duøng caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình ñaõ hoïc nhö:

Phöông phaùp theá.

Phöông phaùp coäng ñaïi soá.

Phöông phaùp ñaët aån phuï.

…….

Vaán ñeà 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

Khi giaûi caùc baát phöông trình muõ ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá muõ.

( ) ( )

1

( ) ( )

0 1

( ) ( )

f x g x

a

f x g xa a

a

f x g x

Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình muõ:

– Ñöa veà cuøng cô soá.

– Ñaët aån phuï.

– ….

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:

( 1)( ) 0M Na a a M N

Vaán ñeà 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

Khi giaûi caùc baát phöông trình logarit ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá logarit.

1

( ) ( ) 0log ( ) log ( )

0 1

0 ( ) ( )

a a

a

f x g xf x g x

a

f x g x

Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình logarit:

– Ñöa veà cuøng cô soá.

– Ñaët aån phuï.

– ….

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 113 -

log 0 ( 1)( 1) 0aB a B ;

log

0 ( 1)( 1) 0

log

a

a

A

A B

B

Vaán ñeà 1: HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP

1. Hoaùn vò :

Số hoán vị của n phần tử: !nPn

2. Toå hôïp :

)!(!

!

KnK

nCK

n

)0( nK

Kn

n

K

n CC

10 n

n

n CC

K

n

K

n

K

n CCC

1

11

nn

nnn CCC 2......10

3. Chænh hôïp :

)0()!(

!nK

Kn

nAK

n

Vaán ñeà 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT

1. Nguyên tắc đếm

2 biến cố A và B

A có m cách xảy ra

B có n cách xảy ra

2 biến cố A và B cùng xảy ra có m n cách

Biến cố A hoặc B xảy ra có m + n cách

Chú ý: Nguyên tắc trên có thể áp dụng cho nhiều biến cố.

Chú ý: 1.1.

Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có một hoán vị hoặc một chỉnh hợp

Nếu thay đổi vị trí mà biến cố không đổi ta có một tổ hợp

2. XÁC SUẤT

Không gian mẫu: 2.1.

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Biến cố A là một tập hợp con của không gian mẫu.

Xác suất: 2.2.

Nếu các phần tử của không gian mẫu có cùng khả năng xảy ra, p là số phần tử của biến cố A, n là số

phần tử của không gian mẫu. Xác suất để biến cố A xảy ra:

( )

CÁC CÔNG THỨC 2.3.

Không gian mẫu E là biến cố chắc chắn xảy ra: p(E) = 1

Biến cố là biến cố không thể xảy ra: p() = 0

Biến cố kéo theo A B là biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra: A B thì P(A) p(B)

A B là biến cố A hay B xảy ra. p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 114 -

A B là biến cố A và B cùng xảy ra.

Biến cố A và B đối lập nếu không cùng xảy ra.

A B = ; p(A B) = 0; p(A B) = p(A) + p(B)

Biến cố ̅ là đối lập của A: p( ̅) = 1 – p(A)

Xác suất có điều kiện:

Biến cố A xảy ra với điều kiện biến cố B đã xảy ra: ( | ) ( )

( )

hay p(A B) = p(B).p(A|B)

Biến cố A và B độc lập nếu biến cố B xảy ra hay không thì xác suất của A vẫn không đổi:

p(A|B) = p(A)

p(A B) = p(A).p(B)

Vaán ñeà 3: Nhị thức NIUTƠN

1. Công thức nhị thức Newtơn:

0 1 1 1 .... ...

0

nn n n k n k k n n k n k ka b C a C a b C a b C b C a bn n n n nk

(1)

*n N

2. Các nhận xét về công thức khai triển: ( )na b

Có n + 1 số hạng.

Các hệ số của số hạng lần lƣợt là: 0 1 2 3; ; ; ;'...; .n

n n n n nC C C C C

Khai triển bắt đầu bằng 0 n

nC a kết thúc bằng n n

nC b , sau đó không kể đến hệ số, số mũ của a

ở các số hạng liền sau giảm đi 1 đơn vị và số mũ của b ở các số hạng liền sau tăng lên 1 đơn vị.

Tổng các số mũ của a và b bằng n.

Các hệ số của các số hạng cách đều hai số hạng đầu cuối bằng nhau.

Công thức của số hạng tổng quát: Số hạng thứ k+1: 1 ( 0 k n )k n k k

k nT C a b

3. Một số dạng đặc biệt:

* Thay a = 1; b = x ta đƣợc:

0 1 2 2 3 31 .... ...n k k n nx C C x C x C x C x C xn n n n n n (2)

* Thay a = 1; b = - x ta đƣợc:

0 1 2 2 3 31 .... ( 1) ... ( 1)k nn k k n nx C C x C x C x C x C xn n n n n n (3)

* Trong (2) ; (3) cho x = 1 ta đƣợc:

0 1 2 32 1 1 .... ...nn k nC C C C C Cn n n n n n (4)

0 1 2 30 1 1 .... ( 1) ... ( 1)n k k n nC C C C C Cn n n n n n (5)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 115 -

4. Các dạng toán ứng dụng nhị thức NewTơn

Các dạng toán thƣờng gặp là:

1- Dạng 1: Tính tổng tổ hợp

2- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp

3 - Dạng 3: Tìm Giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức NewTơn: nba )(

Các hệ số đối xứng: mn

n

m

n CC

Tam giác Pascal: 1 n = 0

1 1 n = 1

1 2 1 n = 2

1 3 3 1 n = 3

........

Vd:

( ĐHBK – 2000- 2001 ): Giải bất phƣơng trình sau:

2 2 3

2

1 610

2x x xA A C

x

+ Điều kiện của x: 3 x N

+ Biến đổi bất phƣơng trình về dạng:

1 (2 )! ! 6 !10

2 (2 2)! ( 2)! 3!( 3)!

1 6 ( 2)( 1)(2 1)2 ( 1) 10

2 3!

(2 1) ( 1) ( 2)( 1) 10 3 12 0 4

x x x

x x x x

x x xx x x x

x

x x x x x x x x

+ Kết hợp với Điều kiện (*) 3; 4x x

+ Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là 3; 4x x

< 26 > (ĐHQG TPHCM – KA - 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5

cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng

6 em học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại văn học

và âm nhạc. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn sách để tặng?

1. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại văn học, âm nhạc,

hội hoạ đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn?

Giải:

Số cách tặng sách là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự. Vậy số cách tặng là: 6

9 60480A

1. Ta nhận xét rằng: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.

+ Số cách chọn 6 sách từ 12 sách là: 6

12 665280A

+ Số cách chọn sao cho không còn sách văn: 5 1

6 7. 5040A A

+ Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc: 4 2

6 8. 20160A A

+ Số cách chọn sao cho không còn sách hội hoạ: 3 3

6 9. 60480A A

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 116 -

+ Số cách chọn cần tìm là: 665280 – 85680 = 579600

< 27 > Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp gồm:

a. 3 học sinh

b. 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ

c. 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.

Giải:

Ban cán sự lớp gồm 3 ngƣời trong lớp không có sự sắp xếp

1. Mỗi một ban cán sự 3 ngƣời là một tập con 3 phần tử của tập hợp 40 học sinh của lớp. Vậy có:

3

409880C cách lập ban cán sự lớp 3 ngƣời.

2. Có 1

25C cách chọn 1 học sinh nam và

2

15C cách chọn 2 học sinh nam.

Do đó có 1 2

25 15. 2625C C cách lập một ban cán sự lớp gồm 1 nam và 2 nữ

3. Có 3

15455C cách chọn 3 nữ sinh nên có 455 cách lập ban cán sự lớp 3 ngƣời toàn nữ.

Dó đó có: 9880 – 455 = 9425 cách lập ban cán sự 3 ngƣời ma trong đó có ít nhất một nam

Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển: 3 15( )x xy

Lời giải

* Số hạng tổng quát trong khai triển ( x3 - xy)

15 là:

3 15

1 15( ) ( )k k k

kT C x xy

* Trong khai triển trên có n = 15 do đó có 16 số hạng nên ssố hạng đứng giữa là số hạng thứ 8 và thứ 9:

7 3 15 7 7 31 7

8 7 1 15( ) ( ) 6435T T C x xy x y

8 3 15 8 8 29 8

9 8 1 15( ) ( ) 6435T T C x xy x y

Trong khai triển nhị thức: 3 10

2

1(2x )

x hãy tìm số hạng không phụ thuộc x.

Lời giải

* Số hạng tổng quát trong khai triển 13 10

(2x )2x

là:

13 10 10 30 5

(2 ) ( ) 210 101 2k k k k k k

T C x C xk

x

* 1kT không phụ thuộc thuộc x 30 5 0 6k k .

* Vậy số hạng không phụ thuộc x là số hạng thứ 7 ứng với k = 6: 46 2

7 10T C

(ĐH-A-2012) Cho n số nguyên dƣơng thỏa mãn 1 35 n

n nC C . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức

Niu-tơn

2 1

14

n

nx

x

, x ≠ 0.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 117 -

Lời giải

Ta có: 1 35 n

n nC C ( 1)( 2)

5.6

n n nn

30 = (n – 1) (n – 2), (do n > 0) n = 7

Gọi a là hệ số của x5 ta có

72

7 5

7

1.

2

i i

i xC ax

x

7

7 14 3 5

7

1( 1) . .

2

i

i i iC x ax

14 – 3i = 5 i = 3 và

7

7

7

1.

2

i

iC a

a =

35

16

.

Vậy số hạng chứa x5 là

35

16

.x

5.

1. Khaùi nieäm soá phöùc

Taäp hôïp soá phöùc: C

Soá phöùc (daïng ñaïi soá) : z a bi

(a, b R , a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo,

i2 = –1)

z laø soá thöïc phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0)

z laø thuaàn aûo phaàn thöïc cuûa z baèng 0 (a = 0)

Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo.

Hai soá phöùc baèng nhau: '

’ ’ ( , , ', ' )'

a aa bi a b i a b a b R

b b

2. Bieåu dieãn hình hoïc:

Soá phöùc z = a + bi (a, b )R ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm M(a; b) hay bôûi ( ; )u a b trong mp(Oxy) (mp phöùc)

3. Coäng vaø tröø soá phöùc:

’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i

’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i

Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi

u bieåu dieãn z, 'u bieåu dieãn z' thì 'u u bieåu dieãn z + z’ vaø 'u u bieåu dieãn z – z’.

4. Nhaân hai soá phöùc :

' ' ’– ’ ’ ’a bi a b i aa bb ab ba i

( ) ( )k a bi ka kbi k R

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 118 -

5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z a bi

1 1

2 2

; ' ' ; . ' . ';

z zz z z z z z z z z z

z z

;

2 2.z z a b

z laø soá thöïc z z ; z laø soá aûo z z

6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi

2 2

z a b zz OM

0, , 0 0z z C z z

. ' . 'z z z z

' '

z z

z z

' ' 'z z z z z z

7. Chia hai soá phöùc:

1

2

1z z

z

(z 0)

1

2

' '. '.'

.

z z z z zz z

z z zz

'

'z

w z wz

z

8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc:

z x yi laø caên baäc hai cuûa soá phöùc w a bi 2z w

2 2

2

x y a

xy b

w = 0 coù ñuùng 1 caên baäc hai laø z = 0

w 0 coù ñuùng hai caên baäc hai ñoái nhau

Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø a

Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø .a i

9. Phöông trình baäc hai Az2 + Bz + C = 0

Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá phöùc cho tröôùc, A 0 ).

2

4B AC

0 : (*) coù hai nghieäm phaân bieät 1,2

2

Bz

A

, ( laø 1 caên baäc hai cuûa )

0 : (*) coù 1 nghieäm keùp: 1 2

2

Bz z

A

Chuù yù: Neáu z0 C laø moät nghieäm cuûa (*) thì 0z cuõng laø moät nghieäm cuûa (*).

10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc:

(cos sin )z r i (r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (z 0)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 119 -

2 2

cos

sin

r a b

a

r

b

r

laø moät acgumen cuûa z, ( , )Ox OM

1 cos sin ( )z z i R

11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc

Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ')z r i z r i :

. ' '. cos( ') sin( ')z z rr i cos( ') sin( ')

' '

z ri

z r

12. Coâng thöùc Moa–vrô:

(cos sin ) (cos sin )n

nr i r n i n , (

*n N )

cos sin cos sinn

i n i n

13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc:

Soá phöùc (cos sin )z r i (r > 0) coù hai caên baäc hai laø:

cos sin

2 2

cos sin cos sin

2 2 2 2

r i

vaø r i r i

Môû roäng: Soá phöùc (cos sin )z r i (r > 0) coù n caên baäc n laø:

2 2

cos sin , 0,1,..., 1n k kr i k n

n n

14. Các dạng bài tập:

Dạng 1 : Tìm mô đun ,căn bậc hai của số phức, giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình trên tập số 14.1.

phức

Phƣơng Pháp : Cho số phức : z = a + bi với a,b là các số thực

+ Mô đun của số phức z là : 2 2z a b

+Gọi w = x + yi với x,y R là một căn bậc hai của số phức z

Ta có 2w a bi

2x yi a bi

2 2

2

x y a

xy b

giải hệ phƣơng trình trên tìm đƣợc

các căn bậc hai của số phức z

+Việc giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình đƣợc giải tƣơng tự nhƣ giải trên trƣờng số thực nhƣng chú ý

đến việc tìm căn bậc hai của số âm hoặc căn bậc hai của số phức.

Bài tập minh họa

Bài 1:

Tìm môđun của số phức 3

1 4 1z i i

Lời giải: Vì 3 3 2 31 1 3 3 1 3 3 2 2i i i i i i i

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 120 -

Suy ra: 2 21 2 1 2 5z i z

Bài 2:

Cho hai số phức: 1 3 5z i ; 2 3z i . Tính 1

2

z

z và 1

2

z

z

Lời giải:

1

2

3 5 33 5 8 4 32 3

43 3 3

i iz i ii

z i i i

2

21

2

2 3 7z

z

Bài 3:

Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phƣơng trình: 2 2 10 0z z .

Tính giá trị của biểu thức A = 2 2

1 2z z

Lời giải: Ta có: = 12 - 10 = -9 = 9i

2

Phƣơng trình có các nghiệm: z1 = - 1 - 3i; z2 = - 1 + 3i

Ta có: 2 2 22 2 2

1 2 1 3 1 3 20z z

Bài 4:

Tìm số phức z thỏa mãn: 2 10z i và . 25z z

Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b , ta có:

. 25

2 10

z z

z i

2 2 25

2 1 10

a b

a b i

2 2

2 2

25

2 1 10

a b

a b

2 2 25

2 10

a b

a b

3

4

5

0

a

b

a

b

Vậy có hai số phức cần tìm : z = 3 + 4i , z = 5 + 0i

Bài 5:

Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm

2z z

z

Lời giải: 22 4 3 4 3 11 27z z i i i

2

2 2

11 27 4 311 27 37 141

4 3 4 3 25

i iz z i i

iz

Bài 6:

Giải phƣơng trình sau (ẩn z): 2

2 1 5z z i

Lời giải: Giả sử z a bi ; 2

2 1 5z z i

2(*) 2 1 10 25a bi a bi i i

3 24 83 24 10 8 10

10 10

a aa bi i z i

b b

Bài 7:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 121 -

Tìm căn bậc hai của số phức sau: 3 2 3 3

2 2z i

Lời giải: Ta có: 3 2 3 3 2 2 3 3

3 3 os isin2 2 2 2 4 4

z i i c

Suy ra z có hai căn bậc hai là:

w = 3 2 3 2

3 os isin8 2 8 2

k kc

0;1k

+ Khi 0k w = 3 3

3 os isin8 8

c

+ khi 1k w = 3 3

3 os isin8 8

c

= 11 11

3 os isin8 8

c

Bài 8:

Tìm các căn bậc hai của số phức: 21 20z i

Lời giải:

Gọi x yi ,x y là một căn bậc hai của z.

Ta có:

2 2 21

2 20

x y

xy

(1)

(2)

(2) 10

yx

Thay 10

yx

vào (1) ta đƣợc: 2

2

10021x

x

4 221 100 0x x

2 25 5x x

5 2; 5 2x y x y

Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 2i và 5 2i

* Cách khác: 2 2

25 2.5.2 2 5 2z i i i

Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 2i và 5 2i

Bài 9:

Giải phƣơng trình: 2 2 2 7 4 0z i z i

Lời giải: Ta có: ' 35 12i . Ta tìm các căn bậc hai x yi của

' :

2 2

2 3535 12

2 12

x yx yi i

xy

Do đó ta giải đƣợc 2 căn bậc hai là: 1 6 ;1 6i i

nên phƣơng trình có hai nghiệm: 1 3 4z i và 2 2 2z i

Bài 10:

Giải phƣơng trình sau trên (ẩn z): 4 3 22 2 1 0z z z z

Lời giải:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 122 -

4 3 2 2

2

1 12 2 1 0 2 1 0z z z z z z

z z

(do z 0)

Đặt w = 2 2

2

1 1z+ w 2

zz

z , ta đƣợc:

2 2w=1

w 2 2 1 0 w 2 3 0w=-3

w w

Do đó: 1

1zz

(1) hay 1

3zz

(2)

+ Giải (1) 2 1 0z z

Ta có: 2

1 4 3 3i

Vậy phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 1 2

1 3 1 3;

2 2

i iz z

+ Giải (2) 2 3 1 0z z . Ta có: 9 4 5

Vậy phƣơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt: 3 4

3 5 3 5;

2 2z z

Tóm lại phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm:

1 2

1 3 1 3;

2 2

i iz z

;

3 4

3 5 3 5;

2 2z z

Bài 11:

Giải phƣơng trình sau trên (ẩn z): 4 3 22 2 2 2 0z z z z

Lời giải: 4 3 2 2

2

1 12 2 2 2 0 2 2 1 0z z z z z z

z z

Đặt w = 2 2

2

1 1w 2z z

z z , ta đƣợc:

2 22 w 2 2 1 0 2 2 5 0w w w

+ Giải: 22 2 5 0w w (*)

Ta có: 2' 1 10 9 3i

Vậy phƣơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt: 1 2

1 3 1 3w ;w

2 2

i i

Do đó: 1 1 3

2

iz

z

(1) hay

1 1 3

2

iz

z

(2)

+ Giải (1) 2 21 31 0 2 1 3 2 0

2

iz z z i z

Ta có: 2

1 3 16 8 6i i

Số phức z x yi ( , )x y là căn bậc hai của 8 6i khi và chỉ khi

2 2

22 2 2 88 6 8 6 2 8 6

2 6

x yz i x yi i x y xyi i

xy

(**)

Giải (**)

2 4 2 2

2

98 8 9 0 9

3 33

x x x xx

y yy x x

x

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 123 -

33 3

31 1

xx x

hayy yy

x

Suy ra có hai căn bậc hai của là 3 i và 3 i

Vậy phƣơng trình (1) có hai nghiệm: 1 2

1 3 3 1 3 3 1 11 ;

4 4 2 2

i i i iz i z i

+ Giải (2) 2 21 31 0 2 1 3 2 0

2

iz z z i z

Ta có: 2

1 3 16 8 6i i

Số phức z x yi ,x y là căn bậc hai của 8 6i khi và chỉ khi

2 2

22 2 2 88 6 8 6 2 8 6

2 6

x yz i x yi i x y xyi i

xy

(***)

Giải (***)

2 4 2

2

98 8 9 0

33

x x xx

yy x

x

23

39 133

3

1

xxx y

y xyxx

y

Suy ra có hai căn bậc hai của là 3 i và 3 i

Vậy phƣơng trình (2) có hai nghiệm: 3 4

1 3 3 1 3 3 1 11 ;

4 4 2 2

i i i iz i z i

Tóm lại phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm:

1 2

1 11 ;

2 2z i z i ;

3 4

1 11 ;

2 2z i z i

Bài 12:

Giải hệ phƣơng trình sau trên tập số phức: 1 2

2 2

1 2

2 3

5 4

Z Z i

Z Z i

Lời giải: hpt 1 2

1 2

2 3

. 5 8

Z Z i

Z Z i

Z1 và Z2 là 2 nghiệm phƣơng trình: Z2 - (2 + 3i)Z - 5 + 8i = 0

Có = 2

15 20 5 2i i

1

2

3 51 5

2

3 51 5

2

Z i

Z i

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 14.2.

Phƣơng pháp : + Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y là các số thực

+ Dựa vào giả thiết bài toán tìm xem với điểm M( x; y) thỏa mãn phƣơng trình nào .

+ Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z đã cho.

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 124 -

Bài 13:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

3 4 2z i

Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y , ta có:

3 4 2z i 3 4 2x y i 2 2

3 4 2x y

2 2

3 4 2x y

Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện đã cho là đƣờng

tròn tâm I(3; -4); bán kính R = 2

Bài 14:

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 2z i z z i

Lời giải: Gọi z = x + yi (x, y )

Ta có: 2 2z i z z i

2 1 2 2x y i y i

2 222 1 2 2x y y

21

4y x

Bài 15:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

5 2 2z i

Lời giải: Đặt z = x + yi (x, y )

Ta có: z - 5i + 2 = (x + 2) + (y - 5)i

Suy ra: 2 2 2 2

5 2 2 2 5 2 2 5 4z i x y x y

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣờng tròn tâm I(-2; 5), bán kính R = 2.

Dạng 3: Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số , dạng lƣợng giác 14.3.

Phƣơng pháp : + Nắm vững Acgumen của số phức z 0

+ Dạng đại số : z = a + bi với a,bR

+ Dạng lƣợng giác : os +i.sinz r c với r là mô đun của số phức z và là một

Acgumen của số phức z

+ Nhân và chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giác

+ Công thức Moivre : os + i.sin ( osn + i.sinn )n nr c r c

Bài 16:

Viết số phức sau dƣới dạng đại số:

9

5

3

1

iz

i

Lời giải: + Xét 1

3 13 2 2 os isin

2 2 6 6z i i c

9 9 9

1

9 92 os isin 2 os isin

6 6 2 2z c c

+ Xét 2

1 11 2 2 os isin

4 42 2z i i c

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013 - 125 -

5

5

2

5 5 5 52 os isin 4 2 os isin

4 4 4 4z c c

9

1

5

2

3 3 1 164 2 os isin 64 2 64 64

4 4 2 2

zz c i i

z

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Chde ltdh-mon-toan-mathvn.com-2013

Documents

Transcript of Chde ltdh-mon-toan-mathvn.com-2013