Chde giai tich12-hki

T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ

Trích töø http://www.toanthpt.net

CHUÛ ÑEÀ 1: HAØM SOÁ – ÑAÏO HAØM I. MIEÀN (TAÄP) XAÙC ÑÒNH CUÛA HAØM SOÁ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}

Haøm soá Taäp xaùc ñònh Haøm soá Taäp xaùc ñònh Haøm soá Taäp xaùc ñònh

( )xAy = ( ) 0xA ≥ tgxy = π+π

≠ k2

x ( ) ( )xBlogy xA= ( )( )⎩

⎨⎧

≠<>

1xA00xB

( )( )xBxAy = ( ) 0xB ≠ gxcoty = π≠ kx ⎢

⎣

⎡=

x

x

ea

y )0a(x >∀

( )n2 xAy = ( )

( )+∈≥Zn

0xA ⎢

⎣

⎡=

xarccosxarcsin

y 1x1 ≤≤− ⎢⎣

⎡=

xlnxlog

y 0x >∀

( )1n2 xAy += ( )+∈∈∀Zn

Dx ( )[ ] ( )xBxAy = ( ) 0xA >

( ) (( ) ( )⎢

⎣

⎡ ±=

xgxfxgxf

y)

gf DDD ∩=

II. MIEÀN (TAÄP) GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM SOÁ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} 1. Söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D

Haøm f(x) f(D): MGT Haøm f(x) f(D): MGT ( )( ) bxf

axf≥≤

( ) ( ]( ) [ )+∞=

∞−=,bDf

a,Df

( )( ) bxfa

bxfa<<≤≤

( ) [ ]( ) ( )b,aDf

b,aDf==

2. Ñaùnh giaù bieåu thöùc baèng caùc BÑT:

( )[ ] ( )

( )( )2222

2

dcbabdac :skyBunhiacoâp .ab2 b a :Coâsi BÑT *

ñònh. xaùc xA laøm xa, aaxA *

++≤+≥+

∀∀≥+

III. HAØM HÔÏP gof

[ ]( ) ( )[ ]( ){ }

( ) ( ){ }⎢⎣

⎡⊂∧≠

∈∧∈=

≠=∈∀

∃⇒φ=

gfff

gfgffg

ooofg

fgoff

fffo

DT0T,DDT;DxfDx|x

D *

fggf vaø xfgxfg:Dx *

ZD:fgDT *ZD:gvaøTD:f haøm haicuûa hôïp haømlaø fg

o

o

o

∩

∩

IV. HAØM CHAÜN – LEÛ y=f(x) ÑOÁI XÖÙNG QUA O:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Dx leõ khoângchaün khoângHaøm :xfxf

leõ f :Dx xfx-fchaünf:Dx xfxf

∈∀±≠−⇒⎥⎦

⎤∈∀−=∈∀=−

V. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ:

1. Phöông phaùp 1: Khöû daïng voâ ñònh 00

Cô sôû cuûa phöông phaùp laø laøm xuaát hieän daïng trong bieåu thöùc haøm caùc thöøa soá (x - x0), ñeå roài giaûn öôùc chính caùc thöøa soá ñoù cuûa töû

soá vaø maãu soá trong ( )( )xgxflim

0xx→ vôùi caùc chuù yù:

• Neáu töû vaø maãu laø caùc ña thöùc, söû duïng pheùp chia ña thöùc töû vaø maãu cho (x - x0). Rieâng ôû ñaây ta duøng thuû thuaät chia Hormer. • Neáu chæ ôû töû hoaëc maãu coù chöùa caên thöùc, ta nhaân cho töû vaø maãu moät löôïng lieân hôïp cuûa caên thöùc ñoù.

llh llh 3 23 3 3 3A B A B A B A AB B+ ←⎯→ − ± ←⎯→ ± + Neáu töû vaø maãu ñeàu coù chöùa caên thöùc, ta seõ nhaân vaøo töû vaø maãu cuøng hai löôïng lieân hôïp giao hoaùn töông öùng. • Khoâng loaïi tröø caùc khaû naêng söû duïng nhanh caùc haèng ñaúng thöùc:

-

1



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 3 3 2 2

4 4 2 2 n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1

a b a b a b a b a b a ab b

a b a b a b a b a b a b a a b a b ... ab b− − − − −

− = − + ± = ± ± +

− = + − + − = − + + + + +

• Ñeå yù raèng vieäc bieán ñoåi sô caáp coù theå laøm daïng voâ ñònh naøy trôû thaønh daïng voâ ñònh khaùc. Chaúng haïn: ( ) ( ) ñoù) töï thöù theo 0 (daïng xgxflim

0x∞×

→

2. Phöông phaùp 2: Khöû daïng voâ ñònh ∞∞

• PP1: Ñaët soá muõ lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc thaønh phaàn ôû töû vaø maãu laøm nhaân töû chung ñeå khöû voâ ñònh. • PP

-

2

2: Duøng caùc ñònh lyù giôùi haïn töông ñöông: ( )

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =ε>ε++++

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−++⇒−∞→>++⇒+∞→

⇒∞→

∞→0x lim vaø 0a vôùi;x

a2bxa~cbxax /3

)0a(;ax~cbxaxx)0a(;ax~cbxaxx 2/

xa~xPx 1/

x

2

2

2

nnn

3. Phöông phaùp 3: Khöû daïng voâ ñònh ∞−∞ Cô sôû cuûa phöông phaùp tìm giôùi haïn naøy laø: 1/ Söû duïng löôïng lieân hôïp.

2/ Söû duïng bieåu thöùc tieäm caän: ( )xa2

bxa~cbxax2 ε++++ trong ñoù: a > 0 vaø ( ) 0xlimx

=ε∞→

3/ Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc. 4/ Khoâng duøng haøm soá töông ñöông cho daïng toång. 4. Phöông phaùp 4: Giôùi haïn cuûa haøm löôïng giaùc • TH1: Khi (x tính baèng radian) 0x →

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

u x 0 u x 0

222u x 0

sin u x tgu xlim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x

u x u x

1 cos u x 1 1lim hay 1-cos u x ~ u x2 2u x

→ →

→

= =

−⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

Khoâng loaïi tröø nhaân caùc löôïng lieân hôïp löôïng giaùc.

( ) ( ) ( ) ( )llh llh1 sin u 1 sin u 1 cos u 1 cos u+ ←⎯→ − + ←⎯→ −

• TH2: Khi haøm löôïng giaùc coù daïng voâ ñònh (x tính baèng rañian) 0xx →

* Ñaët: ⎩⎨⎧

→⇒→+=

⇔−=0txx

txxxxt

0

00

* Khi: 0't,xx'txx 00 →−=⇒→

Ghi chuù: khoâng söû duïng haøm töông ñöông cho toång soá.

5. Haøm keïp: ( ) ( ) ( ) { }

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒==∈∀≤≤

→→→

LxglimLxhlimxflimx|Vx,xhxgxf

000

0

xxxxxx

0x

6. Haøm chöùa giaù trò tuyeät ñoái: ( ) ( )

( ) ( )0 0

0 0

x x x x

x x x x

lim f x L lim f x L

lim f x 0 lim f x 0→ →

→ →

⎧ = ⇒ =⎪⎨

= ⇒ =⎪⎩

7. Haøm lieân tuïc: * ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=Δ=∈∀∈

→Δ→

0lim hayxfxflimDx,Rxf

y0x0xx

00

00



* Lieân tuïc taïi x0: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎢

⎢

⎣

⎡

=

=⇒==

−

+

−+

→

→

→→ traùi tuïc lieân :xfxflim

phaûituïclieân:xfxflimxfxflimxflim

0xx

0xx

0xxxx

0

0

00

8. Coâng thöùc giôùi haïn:

( )( )( )( )( )

sin xlim 1

x 0 x

tgxlim 1

x 0 x

lim U x 0x 0

sin U xlim 1

x 0 U x

tgU xlim 1

x 0 U x

1 cos x 1lim 2x 0 2x

=→

=→

=→

=→

=→

−=

→

xlim ax

xlim a 0x

xlim ex

a 1xlim e 0x

xelim

x xxlim x.e 0

xxlim a 0

x 0 a 1xlim ax

= +∞→+∞

+=→−∞

= +∞→+∞

>+=→−∞

= +∞→+∞

=→−∞

+=→+∞ < <

= +∞→−∞

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎬⎪⎭

lim log xaxlim log xax 0lim ln x

x a 1lim ln x

x 0ln x

lim 0x x

lim x. ln x 0x 0

lim log xax 0 a 1lim log xax 0

= +∞→+∞

= −∞+→

= +∞→+∞

>= −∞+→

+=→+∞

−=+→

= −∞→+∞ < <

= +∞−→

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎬⎪⎭

* Quy taéc Lopitan: ( )( )

( )( )x'gx'flim

xgxflim

00 xxxx →→=

VI. ÑAÏO HAØM:

( ) ( ) ( )x

xfxxflimxylimx'f 00

xxxx000 Δ

−Δ+=

ΔΔ

=→Δ→Δ

hay: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

−−

=⇒

−−

=

−

+

→

−

→

+

→

0

0

xx

0

0

xx

0

0

xx0

xxxfxflimx'f traùi ÑH

xxxfxflimx'f phaûiÑH

xxxfxflimx'f

00

00

0

⇒ f coù ñaïo haøm taïi x0 ⇔ ( ) ( )−+ =00

x'fx'f . Neáu ( ) ( )−+ ≠00

x'fx'f thì f khoâng coù ñaïo haøm taïi x0.

1. Chöùng minh haøm soá lieân tuïc: Cô sôû cuûa phöông phaùp ñeå chöùng minh moät haøm f lieân tuïc taïi x0, caàn laøm 3 böôùc: B1: Kieåm tra ; tìm soá trò f(xf0 Dx ∈ 0) (1)

B2: Tìm ( ) Rbxflim0xx

∈=→

(2)

B3: So saùnh (1) vaø (2); neáu ( ) ( ) bxfxflim 0xx 0

==→

, haøm f lieân tuïc taïi x = x0.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00xxxx00

xx

00xx

x taïi tuïc lieân f thì xfxflimxflimx phaûi beântuïc lieân f thì ,xfxflim

x traùi beântuïc lieân f thì ,xfxflim

00

0

0 ==⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

−+

−

+

→→→

→

Ghi chuù 1: Khoâng loaïi tröø söû duïng ba phöông phaùp sau ñaây ñeå chöùng minh haøm lieân tuïc taïi x0: (1) PP2: f laø haøm sô caáp xaùc ñònh taïi x0 ⇒ f lieân tuïc taïi x0. (2) PP3: 0ylim

0x=Δ

→Δ ⇒ f lieân tuïc taïi x0.

(3) PP4: f khaû ñaïo haøm taïi x0 ⇒ f lieân tuïc taïi x0. Ghi chuù 2: Ngoaøi ra, khi chöùng minh haøm f lieân tuïc treân moät taäp thì söû duïng caùc ñònh nghóa: ÑN1: f lieân tuïc trong ( ) ( )b;axmoïitaïi tuïc lieân fb,a 0 ∈⇔

ÑN2: f lieân tuïc treân [ ]( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧⇔

btaïi traùi tuïc lieân fa taïi phaûituïc lieân fba; trong tuïc lieân f

b;a

2. Tìm ñaïo haøm taïi moät ñieåm:

-

3



B1: Tính ( ) ( ) R bneáu vaø b

xxxfxflim

xylim

0

0

xx0x 0

∈=−−

=ΔΔ

→→Δ

B2: Toàn taïi f’(x0)=b. Khi chæ toàn taïi moät trong hai giôùi haïn:

* ( ) ( ) ( )+

→=

−−

+ 00

0

xxx'f

xxxfxflim

0

: ñaïo haøm beân phaûi ñieåm x0.

* ( ) ( ) ( −

→=

−−

− 00

0

xxx'f

xxxfxflim

0

): ñaïo haøm beân traùi ñieåm x0.

Ghi chuù: Neáu x0 laø ñieåm thoâng thöôøng cuûa taäp xaùc ñònh, ta coù theå duøng coâng thöùc tìm y’=f’(x) roài thay vaøo ta coù f’(x0). 3. Tính ñaïo haøm baèng ñònh nghóa:

( ) Dx;Rx'fxylim

0x∈∀∈=

ΔΔ

→Δta laøm ba böôùc cô baûn:

B1: Goïi Δx laø soá gia cuûa bieán soá taïi x tuøy yù trong D, Δy laø soá gia cuûa haøm soá töông öùng. Ta tính Δy töø: y + Δy = f(x + Δx).

B2: Laäp tyû soá xy

ΔΔ

B3: Tính ( ) Rxgxylim

0x∈=

ΔΔ

→Δ; thì keát luaän: f’(x) = g(x).

Ñaïo haøm Vi phaân 1) Haøm cô baûn:

( )( )( )

22 v'v

v1

v'v.uv'.u

vu

'v.uv'.u'v.u'v'u'vu

soá) haèng:(c 'u.c'u.c

−=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

−=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=±=±

=

2) Haøm hôïp: Cho u = u(x); y = f(u) ñeàu khaû ñaïo haøm thì haøm hôïp y = (fou)(x) = f[u(x)] cuõng khaû ñaïo haøm vaø y’ = u’(x).f’[u(x)]

hay y0 = y’u.u’x. 3) Haøm ngöôïc:

Cho: . Khaû ñaïo haøm theo x vaø coù haøm

ngöôïc: .

( )( )⎩

⎨⎧

=→→

xfyxDfD:f

( )( )⎩

⎨⎧

=→→−

−

yfxyDDf:f

1

1

Ta coù: x

yy

x 'y1'x

'x1'y =⇔=

1) Ñònh nghóa: ( ) ( ) ( )xd.x'fdyxfy =⇒=

2) Quy taéc vi phaân: ( )( )

2vdv.udu.v

vud

dv.udu.vv.uddvduvud

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=±=±

3) Haøm hôïp: [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )xux

xxxxo

'u.'y'y

uf.'u'yufufy

=⇒

=⇒==

4) Haøm logarit: ( )[ ] ( ) ( )( )0xu;xuy xv >=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==⇒

u'uvuln'v'u'ulnvy'y

4. Baûng tính ñaïo haøm:

Haøm soá f(x) Ñaïo haøm f’(x) Haøm soá f(x) Ñaïo haøm f’(x)

( )nn u;x ( )'u.u.n;x.n 1n1n −− sinx cosx

C 0 cosx -sinx

x 1 tgx xtg1xcos

1 22 +=

( )u;x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

u2'u;

x21

ex ex

x1

2x1

− ax axlna

-

4



lnx x1

cotgx ( )xgcot1xsin

1 22 +−=− logax

alnx1

5. Ñaïo haøm caáp cao: Khi caàn tính ñaïo haøm caáp (n): y(n) = f(n)(x), ngöôøi ta söû duïng phöông phaùp tính quy naïp baèng ba böôùc cô baûn nhö sau: • Tính y’, y”, y’”... ñeå döï ñoaùn coâng thöùc cuûa: y(n) = f(n)(x) (1) • Giaû söû (1) ñuùng 1k ≥∀ , töùc laø ta coù: y(k) = f(k)(x) (2) • Laáy ñaïo haøm hai veá bieåu thöùc (2) ñeå chöùng minh:

y(k+1) = f(k+1)(x); ñuùng 1k ≥∀ Keát luaän: Coâng thöùc (1) laø ñaïo haøm caáp (n) caàn tìm. 6. ÖÙng duïng cuûa ñaïo haøm: • Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi moät ñieåm f’(x0) neáu toàn taïi heä soá goùc cuûa tieáp

tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) taïi ñieåm ñoù:

ϕ

M(x ,y )0 0

(h.1)

t

x(C): y = f(x)( 0x' )ftgk =ϕ= (laø yù nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm)

• Neáu moät haøm f coù ñaïo haøm taïi x0 thì haøm f lieân tuïc taïi ñieåm x0. • Nhöng moät haøm f lieân tuïc taïi x0 thì chöa chaéc coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0. • Moät haøm f khoâng lieân tuïc taïi x0 thì khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0. • Giaû söû haøm f : y = f(x) coù ñaïo haøm y’=f’(x) treân D, ta coù:

f laø haøm haèng treân D ( ) )1(Dx;0x'f ∈∀=⇔

f ñoàng bieán treân D ( ) )2(Dx;0x'f ∈∀≥⇔

f nghòch bieán treân D ( ) )3(Dx;0x'f ∈∀≤⇔

Ñeå yù trong (2) vaø (3), ñaïo haøm theå hieän moät haøm soá ñôn ñieäu nghieâm caùch (ñoàng bieán hay nghòch bieán) trong D coù theå baèng khoâng taïi nhöõng giaù trò rôøi raïc cuûa bieán soá (xem h.2) nhöng khoâng theå trieät tieâu trong moät khoaûng tuøy yù cuûa (xem h.3). ( ) D; ⊂βα

y

x

x0,1

f'(x )=00,1

f'(x )=00,2

x0,2 ba

B

(h.2)

A

0

C

D

y

-

5

x

B

x0

ab

f(b)

0

(C) : y = f(x)

y

x

x0

ab

B

(h.6)

Af(a)

f(b)

0

(C) : y = f(x)

x

B

α

f'(x )=0x0 ( ; )

0,1

∀ ∈ α β

x0 βa b

(h.3)

A

0

C D

• Neáu haøm f lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a).f(b) < 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm: . ( )b;ax0 ∈

• Neáu: [ ]

( ) ( )[ ]

f lieân tuïc treân a;b

f a f b 0

f ñôn ñieäu nghieäm caùch treân a;b

<

⎧⎪⎨⎪⎩

( )[ ]

phöông trình f x 0

coù nghieäm duy nhaát x a;b0

=⇒

∈

⎧⎨⎩



• Giaû söû haøm f : y = f(x) xaùc ñònh treân ñoaïn [a;b]

Haøm f ñaït moät cöïc ñaïi taïi , neáu toàn taïi moät laân caän ( b;ax0 ∈ ) ( ) ( )b;axV 0 ∈ sao cho: ( ) ( ) 00 xx;xfxf ≠∀< .

Haøm f ñaït moät cöïc tieåu taïi , neáu toàn taïi moät laân caän ( b;ax0 ∈ ) ( ) ( )b;axV 0 ∈ sao cho: ( ) ( ) 00 xx;xfxf ≠∀> .

* Ñònh lyù 1 Fermat: (Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá f coù cöïc trò) Neáu haøm f coù ñaïo haøm taïi V(x0) vaø ñaït moät cöïc trò taïi x0 ñoù thì ñieàu kieän caàn laø f’(x0) = 0.

y

a x0 b

AB

0

f'(x )=00

(h.9)

f'(x )>00

f'(x )<00

(C):y=f(x)

x

y

a x0 b

A

B

0

f'(x )=00

(h.10)

f'(x )>00

f'(x )<00

(C):y=f(x)

x

YÙ nghóa hình hoïc: tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) : y = f(x) taïi ñieåm cöïc trò thì song song truïc hoaønh. Heä quaû: Moïi ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x) ñeàu laø ñieåm tôùi haïn. * Ñònh lyù 2: (Ñieàu kieän ñuû thöù nhaát ñeå haøm f coù cöïc trò) Neáu haøm f coù ñaïo haøm taïi V(x0) vaø f’(x0) = 0 (*), ñoàng thôøi f’ ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì ñuû ñeå f ñaït moät cöïc trò taïi x0. • Khi f’(x0) = 0 vaø khi f’(x) ñi qua x0 maø khoâng ñoåi daáu, ta noùi (x0;f(x0)) laø moät ñieåm uoán vôùi tieáp tuyeán naèm ngang. Ñieàu kieän

(*) coù theå thay theá baèng f’(x0) vaø f lieân tuïc taïi x0. • Tieáp ñieåm naèm treân ñöôøng cong (C) : y = f(x) laø ñieåm uoán ⇔ taïi ñoù ñöôøng cong vaën mình baêng qua tieáp ñieåm ñoù. * Ñònh lyù 3: (Toàn taïi ñieåm uoán) Neáu f coù ñaïo haøm baäc hai f” taïi V(x0) (**) vaø f”(x0) = 0; ñoàng thôøi f” ñoåi daáu khi ñi qua x0 thì M(x0;y0) laø ñieåm uoán cuûa (C) : y = f(x). Trong (**) neáu f” khoâng toàn taïi thì caàn coù theâm toàn taïi ( )00 xVx ∈ ñeå f lieân tuïc taïi x0; thì M vaãn laø ñieåm uoán.

y

a x0 b

A

I B

0

f"(x )=00

(h.10)

f"(x )>00 f"(x )<00

(C):y=f(x)

x

• f”(x) < 0 treân (a;b) ⇔ Ñoà thò (C) : y = f(x) loài trong (a;b) veà phía y döông. • f”(x) > 0 treân (a;b) ⇔ Ñoà thò (C) : y = f(x) loõm trong (a;b) veà phía y döông. * Ñònh lyù 4: (Ñieàu kieän ñuû thöù hai ñeå moät haøm coù cöïc trò) Neáu f’(x0) = 0 trong V(x0) ñoàng thôøi f”(x0) # 0 thì haøm f coù cöïc trò taïi x0. Cuï theå:

f'(x )=00

f"(x )<00 f'(x )=00

f"(x )>00

* Ñònh lyù 5: (Ñieàu kieän toàn taïi haøm ngöôïc - Ñieàu kieän ñuû) Neáu f laø moät haøm soá lieân tuïc, ñôn ñieäu ngaëc trong [a;b] thì f coù haøm soá f-1 xaùc ñònh treân [f(a);f(b)]. • Luùc ñoù f-1 cuõng lieân tuïc ñôn ñieäu ngaët treân [f(a);f(b)] vaø cuøng chieàu bieán thieân vôùi f. • Xeùt tính ñoái xöùng cuûa hai ñoà thò hai haøm ngöôïc nhau (C) : y = f(x) vaø (C-1) : y = f-1(x) qua ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát. • Haøm f taêng nghieâm ngaët (neáu f giaûm ngaët ta seõ bieán ñoåi sô caáp chaúng haïn (-f) seõ laø haøm taêng ngaët). Luùc ñoù, ta coù:

( ) ( ) ( ) ( )DfDx;xxfxfxf

Dtreânngaët taêng f1 ∩∈∀=⇔

⎩⎨⎧

= −

• Theâm moät öùng duïng cuûa ñaïo haøm vaø ñaïo haøm caáp cao laø quy taéc (ñònh lyù) L’ Hospitale nhö sau:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )( )xg

xflim...x"gx"flim

x'gx'flim

00 Daïng

xgxflim

0

0

0000n

n

xxxxxxxx →→→→====⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

-

6



Trong ñoù n0 laø chæ soá döøng cuûa ñaïo haøm caáp n khi daïng voâ ñònh ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

00

vöøa khöû.

) ... ñeàu coù theå bieán ñoåi veà daïng ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

00

ñeå söû duïng ñöôïc quy taéc L’ Hospitale. Daïng ( ) ( ∞−∞∞×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞∞ ;0;

• Tính loài loõm cuûa haøm soá trong ñaúng thöùc Jensen.

y

a x 1 x 2 b0 x2

x x 2 1 +

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +

2 x x f 2 1

2 x f x f 2 1 +

y

a x 1 x 2 b 0 x 2

xx 21 +

⎟⎠⎞

⎜ ⎝ ⎛ +

2 xx f 21

2xfx f 21 +

[ ]( )

[ ]

( ) ( ) ( )f lieân tuïc treân a;b

f x f x ... f xx x ... x nn 1 21 2f " 0 treân a;b fn n

x ; x ; ...x a; bn1 2

+ + ++ + +< ⇒ ≥

∈

⎧⎪ ⎛ ⎞⎪⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪⎩

Daáu ñaúng thöùc trong BÑT xaûy ra khi x1 = x2 = ... = xn. * Ñònh lyù Lagrance:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfabafbf;b;ac

ba; ñaïo khaûfba; tuïc lieân f

−=−∈∃⇒⎩⎨⎧

YÙ nghóa hình hoïc: Moät haøm lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm treân [a;b] thì toàn taïi treân ñoà thò (C) : y = f(x) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù song song vôùi ñoaïn noái hai ñaàu nuùt cuûa ñoà thò. Heä quaû: (Ñònh lyù Rolle)

[ ] ( ) ( )( )

( )( )

giöõa 2 nghieäm x ;x phaân bieät1 2f lieân tuïc treân a;b vaø f a f b

neáu coù cuûa f x 0 phaûi coùf coù ñaïo haøm treân a;b

ít nhaát 1 nghieäm x cuûa f' x 00

=⇒ =

=

⎧⎫ ⎪⎪⎬ ⎨⎪ ⎪⎭

⎩

CHUÛ ÑEÀÀ 2: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU I. TÍNH TAÊNG - GIAÛM (ÑÔN ÑIEÄU) CUÛA HAØM SOÁ:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎢

⎣

⎡∈∀≥

<⇒<∈∀⇔

bieánñoàng soá Haøm :b;ax,0x'fxfxfxx:b;ax,x

ba; treân taêng f 212121

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎢

⎣

⎡∈∀≤

>⇒<∈∀⇔

bieánnghòch soá Haøm :b;ax,0x'fxfxfxx:b;ax,x

ba; treân giaûm f 212121

f(x) laø haøm baát kyø Tính chaát ñôn ñieäu f(x) haøm baäc 3

Neáu min ( ) 0x'f ≥Neáu max ( ) 0x'f ≤

f luoân taêng: ( ) 0x'f ≥

f luoân giaûm: ( ) 0x'f ≤

a > 0 vaø 0≤Δa < 0 vaø 0≤Δ

II. TAÊNG - GIAÛM TRONG KHOAÛNG:

1. Haøm baäc 2: . Taêng, giaûm trong bax2'ycbxaxy 2 +=⇒++= ( )+∞α;

Heä soá Haøm f taêng ( )+∞α∈∀≥ ;x,0'y Haøm f giaûm ( )+∞α∈∀≤ ;x,0'y

a = 0 11 mnhaän :0b'ymm >=⇒= 11 mnhaän :0b'ymm <=⇒=

-

7



a > 0 ?ma2

b=⇒α≤− Khoâng xaûy ra

a < 0 Khoâng xaûy ra ?ma2

b=⇒α≤−

2. Haøm baäc 3: cbx2ax3'ydcxbxaxy 223 ++=⇒+++= * TH1: ( ) [ )+∞α+∞α ; hay;

Heä soá f taêng ( )+∞α∈∀≥ ;x,0'y Heä soá f giaûm ( )+∞α∈∀≤ ;x,0'y

a = 0 Xeùt daáu y’ a = 0 Xeùt daáu y’

⎩⎨⎧

≤Δ>

00a

Thoûa ( )+∞α∈∀≥ ;x,0'y⎩⎨⎧

≤Δ<

00a

( )+∞α∈∀≤ ;x,0'y

⎩⎨⎧

>Δ>

00a

[ )+−+

+∞α∞−00'y

;xxx 21

α≤<⇔ 21 xx ⎩⎨⎧

>Δ<

00a

[ )−+−

+∞α∞−00'y

;xxx 21

α≤<⇔ 21 xx

a < 0 Khoâng thoûa a > 0 Khoâng thoûa * TH2: ( ] ( ] [ ]( )α β α βα∞α− ;hoaëc; vaø ;- hoaëc;∞

Taêng 0'y ≥( ] ( ]α∞α∞− ;- hoaëc; ( ) [ ]βαβα ; hoaëc;

( ]+−+

∞+α∞−00'yxx;x 21

⎩⎨⎧

≤≤α>

21 xx0a

−+−∞+∞−

00'yxxx 21

( ) ( ) 0a.y' vaø 0'y.axx 21

≤β≤α⇔≤β<α≤

Giaûm 0'y ≤

( ] ( ]α∞α∞− ;- hoaëc; ( ) [ ]βαβα ; hoaëc;

( ]−+−

∞+α∞−00'yxx;x 21

⎩⎨⎧

≤≤α>

21 xx0a

+−+∞+∞−

00'yxxx 21

( ) ( ) 0a.y' vaø 0'y.axx 21

≤β≤α⇔≤β<α≤

3. Haøm höõu tyû: ( )

'bx'axg

'bx'acbxaxy

2

+=

+++

=

Caùch 1: Giaûi nhö phaàn II.2 Caùch 2: Phaàn II.2 cuõng coù theå laøm theo caùch naøy.

f taêng hoaëc ( +∞α; ) α≥x f giaûm ( )+∞α; hoaëc α≥x( ) ( ) (

( ) ( )

)

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

≤α

α≤−

<

⇔

∞+

−

∞+α−

α=⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−⇒≤⇔

+∞α∈∀≤+∞α∈∀≤

0ga2

b0a

xg CÑxg

0x'ga2

bx

gxg max

;a2

b trong giaûm xg0xg max

;x,0xgthì;x,0'y

+

-

8

( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

≥α

α≤−

>

⇔∞+

+

∞+α−

α=⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−⇒≥⇔

∞α∈∀≥+∞α∈∀≥

0ga2

b0a

CTxg

0x'ga2

bx

gxg min

;a2

b trong taêng xg0xg min

;x,0xg thì ;x,0'y

xg III. DUØNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU ÑEÅ GIAÛI PT VAØ BPT: 1. Baát ñaúng thöùc:



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

f x 0 hoaëc f x 0, x a; b

f x taêng thì x 0 f x f 0f ' x f x taêng hoaëc giaûm

f x giaûm thì x 0 f x f 0

≤ ≥ ∀ ∈

≥ ⇒ ≥⇒ ⇒

≤ ⇒ ≤

⎡⎢⎣

Neáu BÑT coù 2 bieán thì: ( ) ( )β<α ff vôùi ba <β<α<

Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa f(x) trong khoaûng ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

β>α⇒β<α⇔β<α⇒β<α⇔

⇒βαff giaûm xffftaêngxf

;

2. Phöông trình coù nghieäm duy nhaát: • Chöùng minh phöông trình f(x) = 0 coù 1 nghieäm duy nhaát.

Suy ñoaùn x = x0 laø nghieäm cuûa phöông trình. Chöùng minh x0 laø nghieäm duy nhaát ⇔ f(x) luoân luoân taêng (hoaëc giaûm).

• Chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) coù 1 nghieäm duy nhaát. Suy ñoaùn x = x0 laø nghieäm cuûa phöông trình. Chöùng minh f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá ñoái ñôn nghieâm caùch (ñoàng - nghòch bieán).

CHUÛ ÑEÀÀ 3: CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ I. CÖÏC TRÒ:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

f ñaït CÑ f' x 0 ñoåi daáu ( ) sang (-)0f ñaït cöïc trò taïi x f ' x 00 0 f ñaït CT f' x 0 ñoåi daáu (-) sang ( )0

f' a 0f coù ñaït cöïc trò taïi x f ' x 0 : Haøm f x nhaän M a,b laøm cöïc trò 0 0 f a b

f ñaï

⇔ > +⇒ = ⇒

⇔ < +

=⇒ = ⇔

=

⎡⎢⎢⎣

⎡⎢⎣

( ) {( ) ( )

( ) {( )( )

( )( )

a 0t CÑ vaø CT f' x 0 ñoåi daáu 2 laàn f khoâng ñaït cöïc trò

0

f' x 0 Voâ nghieäm a 0f ' x 0 khoâng ñoåi daáu

0f' x 0 Nghieäm keùp

f ' x 0 f ' x 00 0f ñaït CÑ taïi x f ñaït CT taïi x0 0f " x 0 f " x0 0

≠⇔ = ⇔ ⇒

Δ >

= ≠⇔ = ⇔ ⇔

Δ ≤=

= =⇔ ⇒ ⇔

<

⎡⎢⎣

⎧⎪⎨⎪⎩ 0>

⎧⎪⎨⎪⎩

Chuù yù: Haøm soá chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù f’(x) = 0 hoaëc ñaïo haøm khoâng toàn taïi. II. CÖÏC TRÒ HAØM HÖÕU TYÛ:

( )( )

( )

2 2ax bx c aa ' x 2ab ' x bb ' a ' cy y ' f ' x 2a ' x b ' a ' x b '

2y ' 0 aa ' x 2ab ' x bb ' a ' c 0 (1) aa ' 0

*f coù CÑ, CT thì (1) coù 2 nghieäm phaân bieät y' 0

b'*f khoâng coù CÑ, CT thì (1) voâ nghieäm y' 0 hay ag -

a'

+ + + + −= ⇒ = =

+ +

= ⇔ + + − = ≠

⇔ Δ >

⇔ Δ <⎛⎜⎝

( )

( )

0 C caét Ox taïi 2 ñieåm ôû 2 beân TCÑ.

y' 0 y' 0;x x 2 ñieåm cöïc trò cuøng 1 phía ñoái vôùi Ox1 2*f coù CÑ, CT vaø 2 giaù trò CÑ, CT cuøng daáu ñoà thò caét Ox taïi 2 ñieåm phaây .y 0max min

< ⇒

= Δ > ≠⇔ ⇔

>

⎞⎟⎠

⎧⎨⎩

( )( )

( ) ( )( )

y ' 0 y' 0

n bieät y 0 y 0

y' 0 y' 0y' 0 y' 0;x x1 2*f coù CÑ, CT vaø 2 giaù trò CÑ, CT traùi daáu Ñoà thò khoâng caét Ox y 0 y 0y .y 0max min

*Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå toàn

⎧ = Δ >⎪⇔⎨

= Δ >⎪⎩

= Δ >= Δ > ≠⇔ ⇔ ⇔

= Δ <<

⎧⎨⎩

⎧ ⎧⎨ ⎨

⎩⎩

( ) b'taïi 1 ñieåm maø töø ñoù keû ñeán C ñöôïc 2 tieáp tuyeán laø: ag 0

a'− >⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

-

9



III. CÖÏC TRÒ HAØM TRUØNG PHÖÔNG: 1. Daïng 1:

( )4 2 2y ax bx c y ' 2x 2ax b

2x 0y ' 0 22ax b 0 (1)

f coù 3 cöïc trò (1) coù hai nghieäm phaân bieät x 0*

f coù 2 ñieåm uoán ab 0

a 0, b 0

f coù moät cöïc trò a 0, b 0*

f khoâng ñieåm uoán (1) voâ nghieäm

= + + ⇒ = +

== ⇔

+ =

≠⇔

<

= ≠

≠ =⇔

⎡⎢⎣⎡ ⎡⎢ ⎢⎣ ⎣

⎡⎢⎣

ab 0≥

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

2. Daïng 2:

( )

( )

4 3 2 2y ax bx c d y ' x 4ax 3bx c

x 0y ' 0 24ax 3bx c 0 (2)

0f chæ coù CT (2) voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp*

g 0 0maø khoâng coù CÑ (2) coù nghieäm x 0 hoaëc 1 nghieäm x 0

= + + + ⇒ = + +

== ⇔

+ + =

Δ ≤⇔ ⇔

== ≠

⎡⎢⎣

⎡⎡ ⎡⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣

3. Daïng 3:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

4 3 2 3 2y ax bx cx dx e y ' 4ax 3bx 2cx d

2y ' x Ax Bx C x g x 0 y' coù nghieäm thöïc

g x 0 voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp 0* f coù moät cöïc trò

g 0g x 0 coù nghieäm x hoaëc x

= + + + + ⇒ = + + +

= − α + + = − α = α

= Δ ≤⇔ ⇔

α == = α ≠ α

⎡ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎣⎣

Chuù yù:

( )[ ]

1) f coù cöïc trò maø hoaønh ñoä lôùn hôn y' 0 thoûa x x1 2

2) f coù cöïc trò maø hoaønh ñoä nhoû hôn x x hoaëc x x1 2 1 2

3) f coù cöïc trò trong ; y ' 0 thoûa x x1 2

4) f ñaït CÑ taïi x , , ñaït

α ⇔ = α < <

α ⇔ < α < < ≤ α

α β ⇔ = α < < < β

∈ α β [ ]CT taïi ñieåm ngoaøi x ; y ' 0 thoûa x x0 1∈ α β ⇔ = α ≤ ≤ β ≤ 2

IV. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG QUA CAÙC ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ: 1. Daïng 1: Ñöôøng thaúng qua 3 ñieåm coá ñònh cuûa (Cm) : y = fm(x) coù baäc ba: 1/ Goïi (x0;y0) laø ñieåm coá ñònh heä phöông trình ñaëc tröng cuûa caùc ñieåm coá ñònh töông öùng töø y0 = fm(x0) (I) laø:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++=

+++=⇔

)II(0dxcxbxaxg

)I(dxcxbxaxf

101201

3010

202202

3020m

Vôùi (II) laø phöông trình ñaëc tröng cho hoaønh ñoä ñieåm coá ñònh. 2/ Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc fm(x0) : g(x0) ñeå ñöa (I) veà daïng:

( ) ( )quaû heätrình phöông

0

khoângbaèng

000 xxgxfy β+α+γ==

( ) β+α=⇒ xy:d : laø ñöôøng thaúng ñi qua ba ñieåm coá ñònh cuûa (Cm); ∀m. Hay ba ñieåm coá ñònh cuûa (Cm) ñi qua ∀m thaúng haøng treân (d) (maëc duø ta khoâng caàn tìm roõ ba toïa ñoä cuï theå cuûa ba ñieåm coá ñònh ñoù). 2. Daïng 2: Ñöôøng thaúng ñi qua hai cöïc trò cuûa haøm baäc ba (Cm) : y=fm(x) 1/ Goïi (x0,y0) laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa (Cm) thì noù thoûa heä:

-

10



( )( ) ( )( )

3 2y f x ax bx cx d (I)m0 0 0 0 02g x f ' x 3ax 2bx c 0 (II)0 0 0 0

2vôùi: b -3ac 0; m Dm

= = + + +

= = + + =

> ∀ ∈

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2/ Thöïc hieän pheùp chia fm(x0) : g(x0) ñeå ñöa (I) veà daïng: ( ) ( ) ( )

quaû heätrình phöông

0

khoângbaèng

000m0 xxgxxfy ξ+γ+β+α==

( ) trò cöïc ñieåm haiqua thaúng ñöôøng laø:Dm ;xy:d m0 ∈∀ξ+γ=⇒ .

3. Daïng 3: Ñöôøng thaúng qua hai ñieåm cöïc trò cuûa haøm höõu tyû ( ) ( ) ( )( )xvxuxfy:C1

2mm ==

1/ Goïi (x0;y0) laø ñieåm cöïc trò cuûa (Cm); thì noù thoûa heä:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

u x0y I0 v x u ' x0y x0 v ' xu x0 0 II phöông trình heä quaûv x0

=

⇒ = = α +′

=

⎧⎪⎪⎪⎨⎛ ⎞⎪⎜ ⎟⎪⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩

β

2/Ta coù: ( ) β+α= xy:d laø ñöôøng thaúng qua hai cöïc trò cuûa (Cm) (maëc duø ta khoâng caàn tìm roõ toïa ñoä hai ñieåm cöïc trò cuûa noù). 4. Daïng 4: Ñöôøng thaúng ñi qua ba ñieåm uoán cuûa (Cm) : y = fm(x)

1/ Goïi (x0;y0) laø ñieåm uoán cuûa (Cm); thì noù thoûa heä: ( )( )⎩

⎨⎧

=+++==

=

0dxcxbxaxgy

xfy

101201

3010

"0

0m0

Vôùi g(x0)=0 laø phöông trình ñaëc tröng cho ñieåm uoán vaø ñaõ ñöôïc chöùng minh laø coù 3 nghieäm phaân bieät. 2/ Thöïc hieän phaân tích: Bieán ñoåi theâm bôùt ñeå ruùt ra: ( )

quaû heätrình phöông

0

khoâng baèng

00 xxgy β+α+γ=

3/ ( ) mDm ;xy:d ∈∀β+α=⇒ : laø ñöôøng thaúng qua ba ñieåm uoán. V. PHÖÔNG TRÌNH CHUØM PARABOL: Trong heä truïc Oxy; ñöôøng cong (P): y = ax2 + bx + c ( 0a )≠ laø moät Parabola coù truïc ñoái xöùng song song Oy. Khi (P) ñi qua ñoàng thôøi ba ñieåm A(xA;yA); B(xB;yB); C(xC;yC) coá ñònh thì ta luoân xaùc ñònh ñöôïc boä ba (a;b;c) duy nhaát trong heä truïc Oxy. Khi (P) chæ ñi qua hai ñieåm A, B hoaëc chæ ñi qua duy nhaát ñieåm A, thì ta seõ nhaän ñöôïc caùc Parabola löu ñoäng cuûa hoï Parabola vaø chuùng taïo thaønh chuøm (nhö chuøm ñöôøng thaúng, chuøm ñöôøng troøn... trong mp (Oxy) ñoù).

y

AB

(d):y = x + α β

axA

yA

(P )A

xB

yB

b0 x

y

A (d):y = x + α β

xA

yA

(P )A

0 x

( ) ( )( ) β+α+−−λ=λ xxxxxy:P BA ( ) ( ) β+α+−λ=λ xxxy:P 2A

-

11



y

AB

(d):y = x + α β

axA

yA

(P )A

xB

yB

b0 x

y

A S(d):y = yA

():x

= x

ΔA

xA

yA

(P )A

0 x

( ) ( )( ) β+−−λ=λ BA xxxxy:P ( ) ( )( ) β+−−λ=λ2AA xxxxy:P

• Taäp hôïp caùc Parabola (Pλ) ñi qua nhieàu nhaát hai ñieåm coá ñònh A vaø B goïi laø chuøm Parabol (Pλ); vôùi laø tham soá ñaëc

tröng cuûa chuøm. 0≠λ

• Khi chuøm (Pλ) qua ñuùng hai ñieåm A, B phaân bieät ta ñöôïc chuøm coù hai ñieåm ñeá, ñöôøng thaúng (AB) ñöôïc goïi laø ñöôøng ñeá cuûa chuøm (Pλ) luùc ñoù.

• Phöông trình cuûa chuøm (Pλ) ñi qua hai ñieåm ñeá A, B vaø nhaän ( ) qxy:ABd +α=≡ laøm ñöôøng ñeá, coù daïng:

( ) ( )( ) ( )0xxxxxy:P BA ≠λβ+α+−−λ=λ (*)

Khi ñöôøng ñeá xieân goùc: ( 0 vaø )yy BA ≠α≠ , laø tröôøng hôïp toång quaùt cuûa (*).

Khi ñöôøng ñeá naèm ngang: ( 0hayyy BA )=α= , ta coù tröôøng hôïp (Pλ) coù ñöôøng ñeá baèng ( ) β== Ayy:d (vuoâng goùc vôùi caùc truïc ñoái xöùng cuûa (Pλ)).

( ) ( )( ) )1(yxxxxy:P ABA +−−λ=⇒ λ

Khi ta coù tröôøng hôïp (PBA,0 ≡≠α λ) laø chuøm töï tieáp xuùc (coù truïc ñoái xöùng cuûa (Pλ) song song (Oy)).

( ) ( ) )2(xxxy:P 2A β+α+−λ=⇒ λ

Khi ta coù tröôøng hôïp (PBA,0 ≡=α λ) laø chuøm töï tieáp xuùc taïi ñænh (chung ñænh, ñöôøng ñeá vuoâng goùc vôùi truïc ñoái xöùng duy nhaát cuûa (Pλ))

( ) ( ) )3(yxxy:P A2

A +−λ=⇒ λ

• Chuøm Parabola: ( ) ( )( )

( ) ñeá ñöôøng chotröng ñaëc Phaàn

qua ñiP maø ñònh coá ñieåmlöôïng soá cho tröng ñaëc Phaàn

BA xxxxxy:P β+α+−−λ=

λ

λ

B1: Xaùc ñònh:

( )

( )

Hai ñieåm coá ñònh (I)Hoï P qua

Moät ñieåm coá ñònh (II)

Xieân goùc (ñeá xieân) (III)Ñöôøng ñeá d

Ñeá baèng (IV)

λ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

BB2: Hoï (Pλ) thoûa caùc caëp thöù töï (I, III); phöông trình (Pλ) coù daïng toång quaùt nhö ôû (*). Khi (Pλ) thoûa (I, IV): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (1). Khi (Pλ) thoûa (II, III): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (2). Khi (Pλ) thoûa (II, IV): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (3).

BB3: Ñöa caùc giaù trò cuï theå cuûa giaû thieát vaøo phöông trình cuûa (Pλ), ta seõ xaùc ñònh ñöôïc 0λ=λ baèng caùc phöông trình ñaëc tröng.

Laáy x0 thay vaøo caùc phöông trình (Pλ) ta coù ngay ycbt. VI. TÌM GIAÙ TRÒ CUÛA THAM SOÁ ÑEÅ CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ:

1. Naèm cuøng phía vôùi truïc hoaønh ⎩⎨⎧

<>Δ

⇔0y.y

0'y

21

2. Naèm ôû hai goùc phaàn tö:

-

12



(I) vaø (III) (II) vaø (IV)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=><<

>Δ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<>>

>Δ

VN 0y vaø 0ax0x

0'y hoaëc

0y;0x0y;0x

0'y

'y

21

22

11 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<<<

>Δ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<>><

>Δ

VN 0y vaø 0ax0x

0'y hoaëc

0y;0x0y;0x

0'y

'y

21

22

11

VII. ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ HAØM BAÄC 3 CAÉT TRUÏC HOAØNH TAÏI 1 HOAËC 3 ÑIEÅM:

(*)0dcxbxax :ñieåm giao PTHÑdcxbxaxy 2323 =+++⇒+++=

(*) coù nghieäm ñaëc bieät x0

( )( ) 0cbxaxxx 20 =++−

Coù nghieäm keùp Coù 1 nghieäm Coù 3 nghieäm

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎢⎢⎣

⎡

α==++

=++

⎩⎨⎧

==

x nghieäm 0cbxax

keùpnghieäm 0cbxax

chung nghieäm coù 0'y0y

2

2

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

≤Δ⇔

=++

a2bx

0 keùpnghieäm hoaëcnghieäm voâ

0cbxax

0

2

( )⎩⎨⎧

≠>Δ

⇔

≠=++

0xg0

xx nghieäm 2 coù0cbxax

0

0

2

(*) khoâng coù nghieäm ñaëc bieät

cbx2ax3'y 2 ++=

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

==

=

chung nghieäm 0'y0y

0yy minmax

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

<>Δ

≤Δ

0yy0'y

0'y

minmax

⎩⎨⎧

<>Δ

0yy0'y

minmax

Ghi chuù: PT baäc 3: y=0 khoâng theå coù 3 nghieäm phaân bieät ⎩⎨⎧

>≤Δ

⇔0yy

0'y

minmax

VIII. ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ HAØM BAÄC 3 CAÉT TRUÏC HOAØNH TAÏI 3 ÑIEÅM COÙ HOAØNH ÑOÄ DÖÔNG (HAY AÂM):

Hoaønh ñoä Hoaønh ñoä döông Hoaønh ñoä aâm Lôùn hôn α Nhoû hôn α

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<>><

>Δ

0yy0x0x

00af0'y

minmax

CT

CÑ

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<<>

>Δ

0yy0x0x

00af0'y

minmax

CT

CÑ ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<<α<α

>Δ

0yyxx

0af0'y

minmax

21

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<α<<

>α>Δ

0yyxx

0af0'y

minmax

21

CHUÛ ÑEÀÀ 4: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT I. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT TREÂN ÑOAÏN [a;b]: • f lieân tuïc treân [a;b] coù M[GTLN] vaø m[GTNN] cuûa f treân [a;b]

( ) [ ]b;axMxfm ∈∀≤≤⇔ • Tìm giaù trò cöïc trò cuûa f(x) treân [a;b] ñeå tìm maxf vaø minf. Chuù yù 1:

1. [ ]

[ ]( ) ( ){ }

[ ]( ) ( ){ }CTCÑb;ax

CTCÑb;ax

f,f,bf,afminm

f,f,bf,afmaxMba; treân tuïclieân f minf maxf,

∈

∈

=

=⇒⇔∃

2. Duøng MGT tìm max, min: Mym 0 ≤≤ .

3. Duøng BÑT Coâsi, Bunhiacoâpsky.

-

13



Chuù yù 2: 1. Neáu f(x) lieân tuïc trong khoaûng (a;b) coù ñieåm cöïc trò ( )b;ax0 ∈ .

minmax

y

00'yxxx 21

+−+∞+∞−

max

miny

00'yxxx 21

−+−∞+∞−

-

14

2. f(x) taêng hoaëc giaûm treân [a;b]

( ) ∞+=

+∞+

afy miny

'yxx 0

( )

∞−=

−∞+

bfy maxy

'yxx 0

II. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM BAÄC 2 TREÂN [ ]βα; :

• a>0 hoaønh ñoä ñænh a2

bx0 −=

Neáu [ ] ( ) ( ) ( ){ }x ; : min y f x ; max y max f , f0 0∈ α β = = α β

Neáu [ ] ( ) ( )x ; : so saùnh f vaø f suy ra max y vaø min y.0 ∉ α β α β

• a<0

Neáu [ ] ( ) ( ) ( ){ }x ; : max y f x ; min y max f , f0 0∈ α β = = α β

Neáu [ ] ( ) ( )x ; : so saùnh f vaø f suy ra max y vaø min y.0 ∉ α β α β

III. TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT, NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ:

1. Phöông phaùp 1: ( ) ( ) ( ) ( )GTLN f x max f x vaø GTNN f x min f xx D x D x D x Df f f

= =∈ ∈ ∈ ∈ f

( )( )

( )f x m; x Dñnmin f x m

x D : f x mx D 0 f 0f

≥ ∀ ∈=

∃ ∈ =∈

⎧⎪←⎯→⎨⎪⎩

( )( )

( )f x M; x Dñnmax f x M

x D : f x Mx D 0 f 0f

≤ ∀ ∈=

∃ ∈ =∈

⎧⎪←⎯→⎨⎪⎩

y

A B

a b0 x

xfminybxaCT ≤≤

=

xfmaxafbxa ≤≤

=

f(b)

2. Phöông phaùp 2: BB1: Kieåm tra tính lieân tuïc cuûa haøm f treân [ ]b;aDf =BB2: Tìm caùc soá cöïc ñaïi, soá cöïc tieåu (giaù trò y0=f(x0) cuûa caùc cöïc trò ñòa phöông taïi caùc ñieåm ( )b;ax0 ∈ ).

Tìm f(a), f(b): laø caùc soá trò bieân cuûa haøm f. BB

( )( )

3: So saùnh f(a), f(b) vaø caùc y0, ta coù: ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ } xf miny caùc;bf;afminm

xf maxy caùc;bf;afmaxM

bxa0bxa

bxa0bxa

≤≤≤≤

≤≤≤≤

==

==

Ghi chuù: Khi vieát , ta coù taäp giaù trò cuûa haøm f laø: f(D( ) Mxfm ≤≤ f) = [m;M]



CHUÛ ÑEÀÀ 5: LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN, TIEÄM CAÄN I. LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN I(x0,f(x0)):

x x x01 02y " 0 0y Loõm Uoán Loài Uoán Loõm

−∞ +∞

+ − + x x0

y " 0y Loài Uoán Loõm

−∞ +

− +

∞

Daáu hieäu ñieåm uoán:

Daáu hieäu 1: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f x 0 ; f x ñoåi daáu - ,x ; x ,′′ ′′= ∞ 0 +∞

Daáu hieäu 2: ( )( )

( )( )

f x 0 f x 00 0 hoaëc f x 0 f x 00 0

′′ ′′= =

′ ′≥ ≤

⎧ ⎧⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩

II. CAÙC DAÏNG ÑIEÅM UOÁN:

HÌNH DAÏNG ÑIEÅM UOÁN DAÁU HIEÄU NHAÄN BIEÁT ÑIEÅM UOÁN

I

(T)

(C)

f"<0

f">0

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

x a; b : f x 0; f x0 0 0if x ñoåi daáu khi x ñi qua x0

I x ; f x : laø ñieåm uoán cuûa C : y f x0 0

′′ ′ 0∃ ∈ = ∃

′′

⇒ =

⎧⎪⎨⎪⎩

≠

I(T) (C)

f"<0

f">0

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

x a; b : f x 02 0 0if x khoâng ñoåi daáu khi x ñi qua x0

I x ; f x : laø ñieåm uoán cuûa C : y f x0 0

′∃ ∈ =

′

⇒ =

⎧⎪⎨⎪⎩

I

(T)

(C)

f"<0

f">0

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

x a; b :gt môû roäng f x3 0 0i :f x ñoåi daáu khi x ñi qua x0

giaù trò môû roäng f x04i : f x khoâng ñoåi daáu khi x baêng qua x hoaëc0

f x ñoåi daáu khi x ñi qua x0

I x , f x : laø0 0

′′∃ ∈ = ∞

′′

′ = ∞

′

′′

⇒

⎡ ⎧⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎩⎢

⎧⎢⎪⎢⎨⎢⎪⎢⎩⎣

( ) ( ) ñieåm uoán cuûa C : y f x=

III. TIEÄM CAÄN:

Tieäm caän ñöùng x = x0 Tieäm caän ngang y = y0 Tieäm caän xieân y = ax+b

∞=→

ylim0xx

0xyylim =

∞→

( )[ ]

( )[ ]⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

∞=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

=

∞→

∞→

∞→

∞→

0baxylim

lim

baxylimbxylima

x

x

x

x

Chuù yù:

( ) ( ) xieâncaäntieämlaøbaxy thì 0xlim vôùi xbaxyx

+==εε++=∞→

-

15



1. Haøm phaân thöùc ( )( )xQxPy = :

TCÑ: x = x0 TCN TCX TC cong laø Parabola Tìm nghieäm x0 cuûa Q(x) =

0 Baäc P(x)≤Baäc Q(x) Baäc P(x) > Baäc Q(x) 1 baäc Baäc P(x) > Baäc Q(x) 2 baäc

2. Haøm höõu tyû: ( )( )

-

16

'bx'a'a'bP

'a'abb'ax

'aa

xQxP

'bx'acbxaxy 2

2

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+−

+==+

++=

TCX:'a

'abb'ax'a

ay0'bx'a

'a'bP

lim 2x

−+=⇒=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∞→

3. Haøm voâ tyû (haøm caên thöùc): y = f(x) • Neáu

( ) ( ) ( )b2f x ax bx c a x x . Vôùi lim x 0x2a

= + + = + + ε ε =→∞

bNhaùnh traùi : y - a x

b 2aTCX : y a x

2a bNhaùnh phaûi : y a x

2a

= +

⇒ = + =

= +

⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣

• Neáu ( ) ( )x2pxbaxqpxxbaxxf 2 ε++++=++++=

pNhaùnh traùi : y ax b- x

p 2TCX : y ax b x

2 pNhaùnh phaûi : y ax b x

2

= + +

⇒ = + + + =

= + + +

⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣

4. Ñaëc bieät:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )lim f x

xC y f x g x x maø T y g x laø tieäm caän cong.lim f x g x lim x 0

x x

= ∞→∞= = + ε ⇒ =

− = ε =→∞ →∞

⎧⎪⎨

⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩

CHUÛ ÑEÀÀ 6: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ

I. HAØM BAÄC HAI: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2 ≠++==

• Tam thöùc baäc hai coù daïng: ( ) ( ) ( )0acbxaxxfy:P 2 ≠++==

Goïi 2a

b- xñaët 0, khi;ac4b 1,22 Δ±

=≥Δ−=Δ , ta coù f(x1) = f(x2) = 0 thì x1, x2 laø hai nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai (cuõng laø

hai nghieäm cuûa phöông trình baäc hai: ax2+bx+c = 0). • Tính chaát cuûa caùc nghieäm soá x1; x2 (quy öôùc x1 < x2)

thuaän) Viete lyù (Ñònh

acxxP

abxxS

21

21

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

−=+=



( )a

x-x :ñeà Meänh 21Δ

=⇒

Heä quaû (Ñònh lyù Viete ñaûo): Neáu hai soá thöïc coù toång laø S, coù tích laø P; thì hai soá ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình: ( ) ⇒( ) ( )04P-S :Vôùi0PSxxxf 22 ≥=+−=

Neáu 21 x0x0acP <<⇔<= (hai nghieäm traùi daáu)

Ta coù hai tröôøng hôïp nhoû:

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

<⇒>−=

>⇒<−=

21

21

xx0abS

xx0abS

Neáu 0xx0

abS

0acP

21 <<⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−=

>= (hai nghieäm ñeàu aâm)

Neáu 21 xx00

abS

0acP

<<⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−=

>= (hai nghieäm ñeàu döông)

• Tính chaát ñoà thò ( ) ( ) cbxaxxfy:P 2 ++==

laø moät Parabola (ñöùng) coù ñænh ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−

a4;

a2bS

Ñeå yù a2

bxS −= ; laø nghieäm keùp cuûa tam thöùc baäc hai, thì a2

bx:d −= laø truïc ñoái xöùng cuûa (P).

• Daáu tam thöùc baäc hai:

Vieát tam thöùc döôùi daïng: ( ) ( )0aac4abx4xa4xaf4 22 ≠++=

( ) ( )( ) ( ) ( ) 4ac-b vôùi ;*bax2xaf4

bac4bax2xaf422

22

=ΔΔ−+=⇔

−++=⇔

Töø (*) ta coù ñònh lyù thuaän veà daáu tam thöùc baäc hai nhö sau: Tam thöùc baäc hai luoân coù daáu cuûa heä soá a; vôùi moïi giaù trò cuûa x vaø chæ loaïi tröø hai tröôøng hôïp:

Neáu 0a2

baf0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⇒=Δ

Neáu ( ) ( )21 x;xx;0xaf0 ∈∀<⇒<Δ

0>Δ • Toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi

daáu a • [ ] { }0;x;x 21 φ≠ ( )

x x1 2| |Cuøng Traùi Cuøng

2f x ax bx c daáu 0 daáu 0 daáua a| | a

−∞ +

= + +

∞

0=Δ

• Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi daáu a

• [ ] { }0x;x 21 =⇒ Söï traùi daáu bò suy bieán

( )

bx x x1 2 2a

|Cuøng Cuøng2f x ax bx c daáu 0 daáu

a a|

−∞ = = −

= + +

+∞

-

17



0<Δ

• Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi daáu a

• [ ] φ=21 x;x ⇒ Söï traùi daáu bò bieán maát

( )

xCuøng

2f x ax bx c daáua

−∞ +

= + +

∞

• Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa tam thöùc baäc hai:

Daáu a

Daáu Δ a>0 a<0

Δ > 0

y

(P)

S

x1 x20 x

a2b

−

a4Δ

−

y

(P)

S

x1 x2

0 xa2

b−

a4Δ

−

Δ < 0

y

(P)

S

0 x

a2b

−

a4Δ

−

y

(P)

S

0 xa2b

−

a4Δ

−

Δ = 0

y

(P)

S

0 x

a2b

−

a4Δ

−

y

(P)

S0x

a2b

−a4Δ

−

max min

( )a2

bx khi;a4

xfGTNNRx

−=Δ

−=∈

( )a2

bx khi;a4

xfGTNNRx

−=Δ

−=∈

Ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai:

Neáu toàn taïi soá thöïc ( ) 0af thoûa <αα , thì tam thöùc B2 coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 vaø 21 xx <α< . Heä quaû:

Neáu toàn taïi hai soá thì tam thöùc B( ) ( ) 0ffcho sao vaø <βαβα 2 coù hai nghieäm phaân bieät x1; x2 vaø coù moät nghieäm naèm trong

khoaûng . ( ) ( β<αβα vôùi ; )Chaúng haïn: 2121 xx hayxx <β<<αβ<<α<

• Töø ñònh lyù ñaûo ôû treân ta coù söï so saùnh moät soá thöïc α vôùi hai nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc ( ) ( )0acbxaxxf 2 ≠++= nhö sau:

TH1: ( ) 21 xx0xaf <α<⇔< (khoâng caàn xeùt daáu Δ, vì luoân luoân coù Δ > 0). TH2: Δ < 0: vieäc so saùnh khoâng ñaët ra.

-

18



TH3: ( ) ( )0

af 0 x x xem hình 11 2S

02

Δ >

α > ⇔ α < <

− α >

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 x2α x // //(hình 1)

2xx

2S 21+=

TH4: ( ) ( )2 hìnhxem

02S

xx0af0

21

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<α−

α<<⇔>α>Δ

x 1 x2 α

x // //(hình 2)

2xx

2S 21 +=

• Tam thöùc coù ít nhaát ba thöïc nghieäm ( ) cbxaxxf 2 ++= 0cba ===⇔ • Hai tieáp tuyeán phaùt xuaát töø moät ñieåm baát kyø M ñeán treân ñöôøng chuaån (d) ñeán Parabola ñeàu vuoâng goùc vôùi nhau vaø ñoàng thôøi

ñoaïn noái caùc tieáp ñieåm T1T2 luoân luoân ñi qua tieâu ñieåm F cuûa (P). (P)

(d)

M

T1

(t )1(t )2

T2

II. HAØM BAÄC BA: ( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23 ≠+++== Hoïc sinh xem phaàn naøy trong Sgk

( ) ( ) ( )0adcxbxaxxfy:C 23 ≠+++==

• MXÑ: ( )+∞∞−= ;D• Caùc ñaïo haøm: 2b6axy vaø cbx2ax3y 2 +=′′++=′

• Taâm ñoái xöùng laø ñieåm uoán: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

a3bf;

a3bI

• Xeùt . Ta ñöôïc baûng toång keát. ac3b2'y −=Δ′=Δ′

00a<Δ′>

∞+∞−

+′∞+∞−

y

yx

y

I

(C)

0x

a3b

−

-

19



00a<Δ′<

∞−∞+

−′∞+∞−

y

yx

y

I

(C)

0x

a3b

−

00a=Δ′>

∞+

∞−

++

∞+∞−

y

'ya3bx

y

I

(C)

0x

a3b

−

00a=Δ′<

∞−∞+

−−

∞+∞−

y

'ya3bx

y

I

(C)

0x

a3b

−

)xxnghieäm 2 coù 0y(

00a

21 <=′<Δ′>

∞+∞−

+−+∞+∞−

CTCÑ

y

00'yxxx 21

y

I

(C)

0x

a3b

−

)xxnghieäm 2 coù 0y(

00a

21 <=′<Δ′<

∞−∞+

−+−∞+∞−

CÑCT

y

00'yxxx 21

y

I

(C)

0x

a3b

−

Chuù yù: Xem theâm phaàn 7 CHUÛ ÑEÀà 3 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñoà thò (C) ôû treân coù ñieåm cöïc tieåu vaø ñieåm cöïc ñaïi (haøm soá coù cöïc trò) laø:

( ) ( ) 0ac3b coù cbx2ax3xgx'f'y 2g

2 >−=Δ′++===2. Phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò. Ba ñieåm A, I, B thaúng haøng.

• Goïi (x0;y0) laø toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò ôû treân noù thoûa: ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=++=

+++==

0cbx2x3xg

dcxbxaxxfy

0200

020

3000

• Thöïc hieän pheùp chia hai ña thöùc ñaõ saép xeáp f(x0) : f(x0), ta coù:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y f x Ax B g x x y x vì g x 0= = + + α +β ⇔ = α +β =

• Vaäy, ( ) β+α= xy:d laø ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C). Ñieåm uoán cuûa (C) laø ( )dI∈ hay A, I, B thaúng haøng.

-

20



• Do ñoù toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò vaø ñieåm uoán laø:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

β+α

−=

−=

⎩⎨⎧

β+α==

⎩⎨⎧

β+α==

a3by

a3bx

I;xy

xxB;

xyxx

A

1

1

CTA

CTA

CÑA

CÑAI

3. Quyõ tích cuûa cöïc trò, ñieåm uoán haøm baäc ba Töø caùc toïa ñoä A, B, I chöùa tham soá m, ta tìm ñöôïc quyõ tích cuûa chính caùc ñieåm ñoù.

Khöû tham soá m. Giôùi haïn khoaûng chaïy cuûa toïa ñoä töø ñieàu kieän toàn taïi m vôùi moïi giaù trò tham soá mDm∈∀ .

Quyõ tích cuûa A, B hay I laø ( ) β+α= xy:d 4. Ñònh tham soá ñeå haøm baäc ba caét truïc hoaønh trong caùc tröôøng hôïp

TH1: (C) tieáp xuùc Ox thì heä sau coù nghieäm: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=+++⇔

⎩⎨⎧

=′=

0cbx2ax3

0dcxbxax0y0y

2

23

TH2: (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät: ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<β+αβ+α=

>−=Δ′⇔

0xxy.y

0ac3b

CTCÑCTCÑ

2g

TH3: (C) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät: ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=β+αβ+α=

>−=Δ′⇔

0xxy.y

0ac3b

CTCÑCTCÑ

2g

TH4: Luoân caét Ox taïi ít nhaát moät ñieåm hay phöông trình:

( )0a0dcxbxax 23 ≠=+++ : khoâng theå voâ nghieäm.

TH5: (C) caét Ox taïi 1 ñieåm duy nhaát:

( )( )⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨⎧

>β+αβ+α=

>−=Δ′

≤−=Δ′

⇔

0xxyy

0ac3b

0ac3b

CTCÑCTCÑ

2g

2g

TH6: Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù 3 nghieäm döông: ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>>

<<

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

><

<>

⇔

0x00f

0yy0a

hoaëc

0x00f

0yy0a

CT

CTCÑ

CÑ

CTCÑ

y

(C)

0 xx1 x2

fCT

fCÑ

f(0) xCÑ

x3

y

(C)

0 xx1 x2

fCT

fCÑ

f(0)xCT x3

TH7: Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù 3 nghieäm aâm: ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<

<<

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<>

<>

⇔

0x00f

0yy0a

hoaëc

0x00f

0yy0a

CÑ

CTCÑ

CT

CTCÑ

y

(C) 0 xx1 x2

fCT

fCÑ

f(0)

xCÑ

x3

y

(C) 0 xx1 x2

fCT

fCÑ

f(0)

xCÑ

x3

-

21



TH8: Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù ñuùng 2 nghieäm döông:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

><

>Δ<

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

><

>Δ>

⇔

0x0yy

0'0a

hoaëc

0x0yy

0'0a

CT

CTCÑ

g

CT

CTCÑ

g

y y

0 xx1 x2

f(0)

xCÑ

xCT

yCÑ

yCÑ

yCT

x3

y y

0 xx1 x2

f(0)xCÑ

xCT

yCÑ

yCÑ

yCT

x3

TH9: Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù ñuùng 2 nghieäm aâm:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<

>Δ<

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<

>Δ>

⇔

0x0yy

0'0a

hoaëc

0x0yy

0'0a

CT

CTCÑ

g

CÑ

CTCÑ

g

y y

0 xx1 x2

f(0)

xCÑ

xCT

yCÑ

yCT

x3

y y

0 xx1 x2

f(0)

xCÑ

xCT

yCÑ

yCT

x3

5. Phöông trình baäc 3 caét Ox laäp thaønh caáp soá coäng TH1: Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù ba nghieäm taïo thaønh moät caáp soá coäng hay

x1 + x3 = 2x2 hay ( ) maø AB = BC. { }C;B;AOxC =∩( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∃>−=Δ⇔

OxI uoánñieåm:0a3bf

CT;CÑ:0ac3b' 2g

TH2: Ñònh lyù Viete: Khi ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù ba nghieäm x1, x2, x3 vaø khoâng chæ ñuùng moät nghieäm ñôn thì:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

=++

−=++

adxxx

acxxxxxx

abxxx

321

133221

321

6. Daïng ñaëc bieät cuûa haøm baäc 3:

Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù moät nghieäm x0 = α ( ) ( ) ( )⎢

⎣

⎡

=ϕ++αα+α++=

α=⇔

0baxbaxxg

x2

Coù 3 nghieäm ñôn ( )

⎩⎨⎧

>Δ≠

⇔0

0xg

g

-

22



Coù ñuùng hai nghieäm ( ) ( )

⎩⎨⎧

>Δ=

∨⎩⎨⎧

=Δ≠

⇔0

0xg0

0xg

gg

Coù ñuùng moät nghieäm ( )

⎩⎨⎧

=Δ≠

∨<Δ⇔0

0xg0

gg

7. Daïng khoâng ñaëc bieät cuûa haøm baäc 3 TH1: Phöông trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (*) khoâng tìm ñöôïc nghieäm ñaëc bieät thì (*) coù nghieäm keùp: ( 0a ≠ )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=+++⇔

0cbx2ax3

0dcxbxax :nghieäm coù sau Heä

2

23

TH2: Giaûi (*) baèng ñoà thò hoaëc söû duïng trong (*) ñònh lyù Bolzano Cauchy. [ ]

( ) ( ) ( ) ( )ba;cx nghieäm coù 0xf0bfaf

ba; treân tuïc lieân f0 ∈==⇒

⎭⎬⎫

<

Neáu giaû thieát ôû ñònh lyù Bolzano Cauchy cho theâm f ñôn ñieäu thì x0 = c laø nghieäm duy nhaát cuûa f(x)=0. TH3: Ñoà thò (C): y = ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù: ( )0a ≠

Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán beù, lôùn khi a > 0, a < 0 so vôùi heä soá goùc cuûa moïi tieáp tuyeán coù ñöôïc vôùi (C).

Qua moïi ( ) Iy;x 00 ≡

(ñieåm uoán cuûa (C)) chæ keû ñuùng ñöôïc moät tieáp tuyeán vôùi (C). Xeùt ñieåm tuøy yù ( ) (C)y;xM thì qua M keû ñuùng ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C). 00 ∈

III. HAØM BAÄC BOÁN - HAØM TRUØNG PHÖÔNG: (Xem theâm Phaàn 8 CHUÛ ÑEÀà 3)

1. Daïng 1: Haøm baäc boán ( ) ( )0acdxcxbxaxy:C 234 ≠++++= • Ñaïo haøm: y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d laø moät ña thöùc baäc ba neân ít nhaát moät nghieäm thöùc α. Nhö vaäy ñaïo haøm y’(x) coù theå vieát

döôùi daïng: y’=(x - α).g(x). Trong ñoù: g(x) laø moät ña thöùc baäc hai px2 + qx + r (maø caùc heä soá p, q, r phuï thuoäc vaøo α, a, b, c, d). Neáu g(x) voâ nghieäm, g(x) chæ coù nghieäm duy nhaát α vaø ñoåi daáu qua α ⇒ y(x) chæ coù moät cöïc trò. Neáu g(x) coù nghieäm keùp, y’ ñoåi daáu khi qua nghieäm α haøm soá chæ cuõng coù moät cöïc trò. Hoaëc laø g(x) coù moät nghieäm

baèng α vaø moät nghieäm x haøm soá y cuõng chæ coù moät cöïc trò. α≠2

T1

T2

(t) (C)

Neáu g(x) coù hai nghieäm phaân bieät α≠21 x,x thì haøm soá coù ba cöïc trò. • Tieáp tuyeán vôùi ñoà thò taïi hai tieáp ñieåm:

B1: Goïi (t): y = αx + β laø daïng tieáp tuyeán khoâng thaúng ñöùng cuûa: (C): y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (t) vaø (C) laø:

( ) ( )4 3 2 4 3 2ax bx cx dx e x ax bx cx d x e 0 1+ + + + = α + β ⇔ + + + − α + + β =

B2: AÙp ñaët (t) tieáp xuùc (C) taïi hai tieáp ñieåm T1(x1;y1) vaø T2(x2;y2) hay taïo ñieàu kieän cho (1) coù 2 nghieäm keùp

21 xxxx =∨= ( ) ( ) ( ) 2xxxxaexdcxbxax 22

21

234 −−≡β++α−+++ ( ) coù nghieäm. B3: Caân baèng heä soá hai veá cuûa (2) (hay ñoàng nhaát khoâng hai veá cuûa (2)), ta tìm ñöôïc caùc giaù trò thöïc cuï theå cuûa caùc heä

soá: 00; β=βα=α vaø hoaønh ñoä tieáp ñieåm x = x1; x = x2.

Keát luaän: ( ) β+α= xy:t 0 laø tieáp tuyeán caàn tìm. (d) y

0 x

(C)

A B C D

• Ñoà thò haøm baäc boán vaø truïc ñoái xöùng song song Oy:

Xeùt ñoà thò ( ) cdxcxbxaxy:C 234 ++++= ( 0a )≠ vôùi giaû söû

thì ñieàu kieän caàn ñeå AB = BC = CD laø (C) nhaän (d) : x = α laø moät truïc ñoái xöùng song song Oy. Hay:

( ) { }D;C;B;AOxC =∩

( ) ( )0a cdxcxbxaxxf 234 ≠++++= coù boán nghieäm taïo thaønh moät caáp soá coäng.

2. Daïng 2: Haøm truøng phöông ( ) ( )0a cbxaxy:C 24 ≠++=

• MXÑ: ( )+∞∞−= ;D• Haøm soá chaün (truïc ñoái xöùng cuûa (C) laø Oy) • Söï bieán thieân: Xeùt ñaïo haøm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

-

23



Neáu chæ coù moät nghieäm vaø ñoåi daáu khi x qua nghieäm ⇒ Haøm soá coù cöïc trò, ñoà thò khoâng coù ñieåm uoán.

0'y0ab =⇒≥

Neáu coù ba nghieäm, haøm soá coù ba cöïc trò, luùc naøy ñoà thò coù hai ñieåm uoán. Ñoà thò nhaän moät trong boán daïng sau:

0'y0ab =⇒<

y

0 x

(C)

⎩⎨⎧

≥>

0ab0a

y

0 x

(C)⎩⎨⎧

≥<

0ab0a

y

0 x

(C)⎩⎨⎧

>>

0ab0a

y

0 x

(C)⎩⎨⎧

><

0ab0a

• Baøi toaùn ñoà thò ( ) { } CDBCAB:D;C;B;AOxC ===∩ hay phöông trình: ( ) ( )0a * 0dbxax 24 ≠=++ coù 4 nghieäm taïo thaønh caáp soá coäng.

Ñaët: . Luùc ñoù: x;0xt 2 ∀≥= ( )( )⎩

⎨⎧

=++=

≥⇔

0cbtattg

0t*

2

Neân 211221

21 tt0tttt9

tt0ycbt <<<−<−⇔

⎩⎨⎧

=<<

⇔

• Ñieàu kieän caàn ñeå töø moät ñieåm treân truïc ñoái xöùng keû ñeán ñoà thò haøm truøng phöông (C) ba tieáp tuyeán laø ba tieáp tuyeán phaûi coù moät tieáp tuyeán naèm ngang.

IV. HAØM PHAÂN THÖÙC NHAÁT BIEÁN ( ) ( ) ( )0bcad0cdcxbaxxfy:C ≠−∧≠

++

==

( ) ( ) ( )0bcad0c kieänñieàudcxbaxxfy:C ≠−∧≠

++

==

• ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−∪⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−= ;

cd

cd;D

( )C:

cdxc

bcadcay

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−=⇒ laø Hyperbola khi 0bcad0c ≠−∧≠

• bc-adD cuûa daáu laø daáu coù :

cdxc

bcad'y 22

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

Giao ñieåm cuûa hai tieäm caän ñöùng ( )cdx:d1 −= vaø tieäm caän ngang ( )

cay:d2 = laø taâm ñoái xöùng ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

ca;

cdI cuûa ñoà thò (C).

D = ad - bc > 0: haøm f taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh

-

24



ca

||cay

||'ycdx

∞−∞+

++

∞+−∞−

y

0

x

(C)

ab

−

db

( )cay:d2 =

( )cdx:d1 =

D = ad - bc < 0: haøm f giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh

ca||c

ay

||'ycdx

∞+∞−

−−

∞+−∞−

y

0x

(C)

ab

−

db

( )cay:d2 =

( )cdx:d1 =

y (t)

I

A

SΔ

d1

d2 B

M (tuøy yù)

x

(C)

yI

HSΔ

d1

d2K

M (tuøy yù)

x

(C)

Goïi M laø ñieåm tuøy yù treân (C): ( 0bc-ad0c dcxbaxy ≠∧≠

++

= ) coøn (t) laø tieáp tuyeán taïi M vôùi (C). Haï

( ) ( )cay:dMK vaø

cdx:dMH 21 =⊥−=⊥ theo thöù töï ñoù. Xaùc ñònh caùc giao ñieåm: ( ) ( ) ( ) ( ) ;Bdt;Adt 21 =∩=∩ (neáu

coù), thì: • AB luoân nhaän M laøm trung ñieåm. • Dieän tích tam giaùc: SΔAIB = const. • Tích soá MH.MK = const. • Dieän tích töù giaùc IHKM = const.

• Ñöôøng thaúng tuøy yù (Δ): y = αx + β coù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm vôùi (C) laø: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≠+α=

++

cd-x bx

dcxbax

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−β+−α+β+α=⇔ 0

cdg0bdxadcxcxg 2

• M, N ôû hai nhaùnh phaân bieät thì caùc hoaønh ñoä xM = x1; xN = x2 naèm veà hai phía cuûa tieäm caän ñöùng.

( )1d dd : x ag 0c c

⎛ ⎞= − ⇔ − <⎜ ⎟⎝ ⎠

• ( ) 00

cdx

NMMNmin0

=−≠

xaûy ra khi vaø chæ khi ñöôøng thaúng (Δ) chöùa MN laø phaân giaùc goùc XIY chöùa (C).

• Nhaéc laïi coâng thöùc dôøi truïc baèng pheùp tònh tieán vectô OI ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

+=+=

→I

I

yYyxXx

vôùi ;IXYOxy:OIT

V. HAØM PHAÂN THÖÙC HÖÕU TYÛ 12 ( ) ( ) ( )

'cx'bcbxax

cx'bxPxfy:C

22

+++

=+

==

-

25



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∧≠ 0

'b'cP0'ab 2 (Xem theâm Phaàn 2 CHUÛ ÑEÀà 3)

• ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−∪⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−= ;

'b'c

'b'c;D

• Ñaïo haøm: ( )

( )0'aa'bx'a

c'a'bbx'ab2x'aa'y 2

2

≠+

−++=

• Tieäm caän ñöùng ( )b'cx:d1 −= Tieäm caän xieân ( ) BAxy:d2 +=

Veõ tieäm caän xieân:

( )xöùng ñoái TaâmB

'c'AbBBAxy'c'b0x

+−+=

−

a > 0

∞+∞+∞−∞− CT||

||CÑy

+−−+

∞+−∞−

0||0'y

x'b'cxx 21

y

I

O

x

(C)

a < 0

∞−∞−∞+∞+ CT

||||

CÑy

−++−

∞+−∞−

0||0'y

x'b'cxx 21

y

I

O

x

(C)

a > 0, y’ > 0 'a'bx −≠∀

∞+∞−

∞+∞− ||

||y

++

∞+−∞−

||'y'b'cx

y

O

x

(C)

a > 0, y’ < 0 'a'bx −≠∀

-

26



∞−∞+

∞−∞+

||||

y

−−

∞+−∞−

||'y'b'cx

y

O

x

(C)

• Ñoà thò ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∧≠

+++

= 0'b'cP0'ab

'cx'bcbxaxy:C 2

2

laø moät Hyperbola xieân goùc, trong khi ñoù ñoà thò

( ) ( 0bcad0cdcxbaxy:C ≠−∧≠

++

= ) laø moät Hyperbola vuoâng goùc neân coù cuøng moät soá tính chaát ñoà thò nhö sau:

(C)

(t)

A

B

M

I

SΔ

(d )2

(d )1

(C)

v

u

KE H

F

M

I

S

(d )2

(d )1

* Goïi (t) laø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm M tuøy yù ∈ (C)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2121 ddI;Bdt;Adt ∩==∩=∩⇒

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FdM;EdMd//M,d//M veõ,dMK;dMH 2v1u1v2u21 =∩=∩⇒⊥⊥

MA = MB: khi M löu ñoäng treân (C). Dieän tích ΔIAB laø SΔ = const; khi M löu ñoäng treân (C). Tích soá: MH.MK = const; khi M löu ñoäng treân (C). Dieän tích hình bình haønh MEIF laø S = const; khi M löu ñoäng treân (C).

* Xeùt ñöôøng thaúng xieân (D): y = αx + β, coù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm M vaø N vôùi (C) thoûa:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −≠β+α=

+++

'b'cxx

'cx'bcbxax2

( ) ( ) ( )2g x a b ' x b b ' c ' x c ' 0

c 'g 0 : haøm khoâng suy bieán

b '

= − + − β − α − β

⇔− ≠

⎧⎪⎨ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩

=

• M, N toàn taïi ôû 2 nhaùnh khaùc nhau cuûa (C) ( ) 0'b'cg'ba <⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⇔

• ( )⎩⎨⎧

⇔=−≠ (C) chöùa d;d goùc giaùc

phaânlaø MN chöùa thaúng ñöôøngNMMNmin

2100

'b'cx

• Quyõ tích caùc ñieåm M trong maët phaúng, coù theå keû ñöôïc töø ñoù ñeán (C) hai tieáp tuyeán (t1); (t2) sao cho: (t1) ⊥ (t2), laø ñöôøng troøn chuaån (Γ) coù taâm I cuûa Hyperbol tröø 4 giao ñieåm cuûa (C) vaø (d1), (d2): A, B, C, D.

( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==−++=

++=−≠∀

0xf' cuûa soá töû :0c'b'bcx'ac2x'abxh

cbxaxxg :ñaët ;

'b'cx

2

2

• Ñoà thò (C) toàn taïi CÑ vaø CT traùi daáu: ( )0 : C khoâng caét Oxgy y 0CÑ CT

' 0h

Δ <⇔ < ⇔

Δ >

⎧⎪⎨⎪⎩

• Ñoà thò (C) toàn taïi CÑ vaø CT traùi daáu: ( )0 : C caét Ox taïi hai ñieåm phaân bieätgy y 0CÑ CT

' 0h

Δ <⇔ < ⇔

Δ >

⎧⎪⎨⎪⎩

• Ñoà thò (C) khoâng toàn taïi CÑ vaø CT: ( ) { } ( )c ' c 'C Ox A; B : x x ab ' gBA b ' b '

⇔ ∩ = < − < ⇔ − <⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0

-

27



• Ñoà thò (C) coù CÑ vaø CT: (OxyM∈ )∃⇔ : ñeå hai tieáp tuyeán keû ñöôïc ñeán (C) maø ( ) ( 21 MtMt ⊥ )

( ) 0'b'cg'ab >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⇔

• Moät caùt tuyeán tuøy yù (D) caét hai tieäm caän taïi A, B caét Hyperbol taïi P, Q theo thöù töï ñoù thì AB vaø PQ coù cuøng moät trung ñieåm M.

• ( )'b

bx'ba2y: +=Δ laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C).

VI. HAØM PHAÂN THÖÙC KHOÂNG COÙ TIEÄM CAÄN XIEÂN ( )cbxaxCBxAxy:C 2

2

++++

= VAØ CAÙC HAØM KHAÙC

Vôùi giaû thieát , töû vaø maãu khoâng coù nghieäm chung. 0a ≠• { }0cbxax|x\RD 2 =++=

• Ñaïo haøm: ( )22

2

cbxax

cbCB

xcaCA

2xbaBA

'y++

+−=

Tuøy theo tam thöùc baäc hai ôû töû thöùc y’ haøm soá coù theå ñôn ñieäu (ñoàng bieán hay nghòch bieán) treân töøng khoaûng cuûa mieàn xaùc ñònh. Coù theå coù moät cöïc trò (neáu tam thöùc coù nghieäm keùp) hay hai cöïc trò (neáu tam thöùc coù hai nghieäm phaân bieät).

• Tieäm caän: haøm soá luoân coù tieäm caän ngang: aAy =

Soá tieäm caän ñöùng phuï thuoäc vaøo soá nghieäm cuûa: ax2 + bx + c = 0. • Ñoà thò tuøy theo soá tieäm caän ñöùng, soá cöïc trò, ñoà thò cuûa haøm soá seõ coù caùc daïng khaùc nhau.

CHUÛ ÑEÀÀ 7: BIEÄN LUAÄN PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ - PHEÙP SUY ÑOÀ THÒ I. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH - BAÁT PHÖÔNG TRÌNH: 1. Phöông phaùp 1: Daïng cô baûn f(x) = m • Veõ ñoà thò (C) : y= f(x) (Neáu chöa coù saün ñoà thò) • Xeùt söï töông giao cuûa ñöôøng thaúng löu ñoäng song song vôùi truïc hoaønh (d): y = m vôùi (C) y = f(x). Tuøy theo soá giao ñieåm cuûa (d) vaø (C) töông öùng vôùi giaù trò m ôû truïc tung ta laäp ñöôïc baûng bieän luaän. (Nghieäm ñaëc bieät, tính chaát nghieäm tìm baèng phöông phaùp chieáu xuoáng truïc hoaønh). 2. Phöông phaùp 2: Caùc daïng bieän luaän baèng ñoà thò trong tröôøng hôïp phöùc taïp khaùc • Caàn keát hôïp moät trong caùc tính chaát sau:

Ñaët aån phuï tìm bieán thieân cuûa aån phuï. Giôùi haïn ñoà thò vaø tìm töông quan soá caùc aån soá giöõa nghieäm phuï vaø nghieäm chính.

• Xeùt daáu nghieäm soá phöông trình baèng ñoà thò. So saùnh nghieäm soá vôùi soá α baèng ñoà thò ñieàu kieän cuûa aån soá vaø giôùi haïn ñoà thò. • Ngöôøi ta coøn coù theå bieän luaän baèng caùch söû duïng tieáp tuyeán song song hay cho moät ñöôøng thaúng (Dm) quay quanh moät ñieåm

coá ñònh ñeå xeùt söï töông giao cuûa noù vôùi ñoà thò (C). 3. Phöông phaùp 3: Bieän luaän baát phöông trình • f(x) > g(x) ⇔ (C): y = f(x) ôû haún phía treân (C’): y= g(x). • Hai tröôøng hôïp ñaëc bieät:

f(x) ≤ m coù nghieäm treân [α;β] neáu minf ≤ m. f(x) ≥ m coù nghieäm treân [α;β] neáu maxf ≥ m.

II. CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC: BB1: Ñöa haøm ñaëc tröng f vaøo baát ñaúng thöùc ôû giaû thieát, bieán ñoåi baát ñaúng thöùc veà daïng: ( ) Dx;0xf ∈∀≥

BB2: Laäp baûng bieán thieân cuûa y = f(x); ∀x∈D vaø chuù yù khi ;0)x(fminDx

≥∈

thì baát ñaúng thöùc ñöôïc chöùng minh xong.

Ghi chuù:

• Töông töï khi bieán ñoåi BÑT ôû giaû thieát veà daïng ( ) ( ) Dx;0xf;0xf;0)x(f ∈∀<≤> • Cuõng coù theå ñöa BÑT ôû giaû thieát veà daïng:

-

28



( ) ( )bfaf ≤ vaø caàn chöùng minh moät trong hai meänh ñeà laø ñuû: f ñoàng bieán treân [a; b] ⇒ (ñpcm) f nghòch bieán treân [a; b]⇒ (ñpcm)

CHUÛ ÑEÀÀ 8: SÖÏ TÖÔNG GIAO I. SÖÏ TÖÔNG GIAO 2 ÑOÀ THÒ (C1): y = f(x) VAØ (C2): y = g(x): • Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm f(x) = g(x) (*). • Giaûi vaø bieän luaän phöông trình (*). • Soá nghieäm cuûa (*) laø soá giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2). Chuù yù: Ñeå (C1) tieáp xuùc (C2) thì (*) coù nghieäm keùp. Tìm ñieàu kieän ñeå phöông trình coù nghieäm keùp ⇒ m = ?. Hoaëc heä sau coù nghieäm x0 (x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm). ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ?mx2x'gx'f1xgxf 2 hoaëc1

0 =⎯⎯⎯ →⎯⇒⎩⎨⎧

==

II. SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG (d) VAØ ÑOÀ THÒ (C): y = f(x): • Ñöôøng thaúng (d) qua M(x0,y0) coù daïng y = g(x) = k(x - x0) + y0 (1) • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C): f(x) = g(x) (*) 1. Neáu (*) laø phöông trình baäc 2: ax2 + bx + c = 0: Xeùt daáu Δ ⇒ Soá giao ñieåm. Tieáp tuyeán cuûa (C) khi Δ = 0 ⇒ k1, k2 ⇒ PT tieáp tuyeán. Chuù yù: ( ) ( ) 1kkCd 21 −=⇔⊥

2. Neáu (*) laø phöông trình baäc 3: ( ) ( ) ( ) ( )( )

x 02x ax bx c 0 * * 2ax bx c 0 3

− α =⇔ − α + + = ⇔

+ + =

⎧⎪⎨⎪⎩

2

Bieän luaän (3) ⇒ Soá giao ñieåm.

(d) TX (C) ⇔ (**) coù nghieäm keùp ( )( )

3 coù 0 vaø a 0 k pt

3 coù nghieäm : x k

Δ = ≠ ⇒ ⇒⇔

= α ⇒

⎡⎢⎢⎣

III. ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ (Cm) TIEÁP XUÙC TRUÏC HOAØNH: Vôùi (Cm):y=f(x,m) (Cm) TX truïc hoaønh ⇔ f(x,m) = 0 (*) coù nghieäm keùp (Δ = 0) ⇒ m = ? Hoaëc heä sau coù nghieäm x0 (x0: hoaønh ñoä tieáp ñieåm). ( ) ( )( )

( ) ( ) ?mx)2(0m,x'f

10m,xf 2 hoaëc10 =⎯⎯⎯ →⎯⇒

⎩⎨⎧

==

Chuù yù: (*) laø phöông trình baäc 3.

1) Phaân tích (*) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎢

⎣

⎡=

=⇔=−=++−⇔

20xg1xx

0xgxxcbxaxxx 00

20

(Cm) TX Ox ⇔ (2) coù nghieäm keùp hoaëc 1 nghieäm ( )⎢⎣

⎡=⇒=

=⇒=Δ⇔=

?m0xg?m0

xx0

0

2) (*) khoâng coù nghieäm ñaëc bieät x0 thì f’(x,m) = y’. Cho y’ = 0. Tính Δy’.

(Cm) TX Ox ?m0yy

0'y

minmax

=⇒⎩⎨⎧

=>Δ

⇔

IV. ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ (dm) CAÉT (Cm) TAÏI 2 ÑIEÅM THUOÄC 1 HOAËC 2 NHAÙNH: Cho: (C): y = f1(x) (Haøm nhaát bieán hoaëc höõu tyû) vaø (dm): y = f2(x,m). • Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm f1(x) = f2(x,m) ⇔ g(x) = f1(x) - f2(x,m) = 0. • Tính ag(α) vôùi x = α laø tieäm caän ñöùng (TCÑ). 1) Neáu ag(α) < 0 thì x1 < α < x2 ⇒ (dm) caét (C) taïi 2 ñieåm thuoäc 2 nhaùnh khaùc nhau.

-

29



2) Neáu taïi 2 ñieåm cuøng thuoäc 1 nhaùnh. ( ) ( ) ( )x xag 0 1 2 thì d caét Cm

x x0 1 2

α < <α >⇒

< < αΔ >

⎡⎧⎨ ⎢⎩ ⎣

CHUÛ ÑEÀÀ 9: TIEÁP TUYEÁN I. TIEÁP TUYEÁN (T) TAÏI M(x0,y0) ∈ (C): y = f(x) COÙ DAÏNG y = f’(x0)(x - x0) + y0 (*)

(T) // (d) coù heä soá goùc a (T) ⊥ (d) coù heä soá goùc a (T) coù heä soá goùc k cho tröôùc

( )( )( )⎩

⎨⎧

+−=⇒=

000

000

yxxx'fyy,xax'f

( )

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

⇒−=

000

000

yxxx'fy

y,xa1x'f

( )

( )( )⎩⎨⎧

+−=⇒=

000

000

yxxx'fyy,xkx'f

II. TIEÁP TUYEÁN (T) TÖØ M(x0,y0) ∉ (C): y = f(x): 1. Neáu haøm soá laø baäc 2, nhaát bieán, höõu tyû: Caùch 1: • Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M: y = g(x) = k(x - x0) + y0 (*) • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C): f(x) = g(x) (1)

Neáu (1) laø phöông trình baäc 2, tính Δ.

(d) TX (C) tuyeán. tieáp PTk00a

⇒⇒⎩⎨⎧

=Δ≠

⇔

Caùch 2: • Goïi M(x0,y0) laø tieáp ñieåm, pt tieáp tuyeán coù daïng y = f’(x0)(x - x0) + y0 (*) • Tieáp tuyeán qua A(xA,yA) neân: yA = f’(x0)(xA - x0) + y0 (1) (1) ⇒ x0, y0 = f’(x0) ⇒ PT tieáp tuyeán. 2. Neáu haøm soá laø baäc 3, baäc 4: (thöôøng keû 3 tieáp tuyeán ñeán (C)) • Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua A(xA,yA): y = g(x) = k(x - xA) + yA.

• Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä: ( ) ( ) ( )( ) ( ) PTTTxk Khöû

2kx'f1xgxf

0 ⇒⇒⇒⎩⎨⎧

==

3. (C) tieáp xuùc Ox: ( )( )⎩

⎨⎧

==

⇔0x'f0xf

III. ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ TÖØ 1 ÑIEÅM KEÛ ÑÖÔÏC 2 TIEÁP TUYEÁN ÑEÁN (Cm): • Vieát phöông trình (d) qua A(x0,y0): y = g(x) = k(x - x0) + y0. • PT hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (Cm): f(x,m) = g(x) (*) (thöôøng baäc 2).

• (d) TX (Cm) ⇔ (*) coù nghieäm keùp ( )20CBkAk00a 2 kaån =++⎯⎯→⎯

⎩⎨⎧

=Δ≠

⇔

• Ñònh m ñeå (2) coù 2 nghieäm m0A0

k,k k21 ⇒

⎩⎨⎧

≠>δ

⇔

IV. TIEÁP XUÙC - TIEÁP TUYEÁN: 1. Daïng thöù nhaát: Tieáp tuyeán taïi M(x0,y0) vôùi ñoà thò (C) BB1: Neáu M ∉ (C): y = f(x): Khoâng toàn taïi tieáp tuyeán naøo caû. BB2: Neáu M ∈ (C): y = f(x)

(T): y = f’(x0)(x - x0) + y0 (yù nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm)

-

30



y

M

O

x

ϕ

x0

y0

(C) : y = f(x)

k = tg Rϕ ∈

(T)

y

O

x

ϕ

x0

y0

(C) : y = f(x)

k = tg Rϕ ∉

(T)

Ñaëc bieät trong tröôøng hôïp treân neáu: ( ) ( )

∞=−−

∞→0

0

x xxxfxflim

Ta ñöôïc tieáp tuyeán thaúng ñöùng nhö sau: (T): x = x0. 2. Daïng thöù hai: Tieáp tuyeán döïng töø M(x0;y0) ñeán (C) vaø tieáp tuyeán cuûa (C) coù phöông khoâng ñoåi BB1: Goïi k (heä soá goùc) cuûa tieáp tuyeán khi qua M(x0;y0) ⇔ y = gk(x) : (T). BB2: Thieát keá daïng töông giao: f(x) = gk(x) (*) (hoaëc fm(x) = gk(x); neáu m laø tham soá cuûa haøm f).

Thì: ( ) ( )( ) ( ) ( ) nghieäm coù II

x'gx'fxgxf

k

k

⎩⎨⎧

==

Trong heä (II) neáu gk(x) coù ñoà thò laø ñöôøng cong (C’) thì phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa (C) vaø (C’) laø: (T2) : y = f’(x0)(x - x0) + y0. Luùc ñoù ta noùi (C) vaø (C’) tieáp xuùc.

CHUÛ ÑEÀÀ 10: HOÏ ÑÖÔØNG CONG I. ÑOÀ THÒ (Cm) : y = f(x,m) QUA ÑIEÅM COÁ ÑÒNH: 1. Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) qua ∀m, ta coù: y0 = f(x0,m) (*) ⇔ Fx(m) = 0 (1) (m: tham soá) (1) nghieäm ñuùng ∀m ⇔ ∀ ñöôøng cong (Cm) ñeàu ñi qua M. Khi ñoù M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm). (1) coù n nghieäm phaân bieät ⇔ Coù n ñöôøng cong (Cm) qua M. Bieán ñoåi (*) veà daïng:

Am + B = 0; ∀m ⇔ A = B = 0 Am2 + Bm + C = 0; ∀m ⇔ A = B = C = 0 Acosm + Bsinm = C; ∀m ⇔ A2 + B2 ≥ C2

2. Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh thuoäc (Cm) ta coù y0 = f(x0,m) (*)

( ) ( )( ) ( )

( ) ñònh coá ñieåm caùc laø ba,M byax

m,xfy

0ddy

0mg' :m theo haømñaïo Laáysoá haèngy m,xf mgÑaët

0

0

00

m

000

⎩⎨⎧

==

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

=

==

II. ÑOÀ THÒ (Cm) : y = f(x,m) KHOÂNG QUA ÑIEÅM COÁ ÑÒNH: Goïi M(x0,y0) laø ñieåm maø hoï ñöôøng cong (Cm) khoâng qua: ( ) ( ) ( ) (*m,x )fyCy,xM 00m00 =⇔∉ coù aån m voâ nghieäm.

Bieán (*) veà daïng: Am + B = 0 voâ nghieäm ⇔ A = 0 vaø B ≠ 0

Am2 + Bm + C = 0 voâ nghieäm ⎩⎨⎧

≠<Δ

⎩⎨⎧

≠==

⇔0A0

hay0C

0BA

Acosm + Bsinm = C voâ nghieäm ⇔ A2 + B2 < C2

Fm = Am3 + Bm2 + Cm + D = 0 voâ nghieäm ⎩⎨⎧

≠===

⇔0D

0CBA

Chuù yù: • Neáu hoï (Cm) coù ñieåm uoán coá ñònh laø A(x0,y0) thì caùc ñieåm M(x0,y) vôùi y ≠ y0 laø nhöõng ñieåm maø hoï ñöôøng cong khoâng qua.

-

31



• Trong caùc tieäm caän coù theå coù ñöôïc cuûa (C) : y = f(x) chæ coù tieäm caän ngang laø coù giao ñieåm vôùi (C). Do ñoù ñoái vôùi haøm höõu tyû

daïng ( )( )xvxuy

m

m= thì:

Tieäm caän coá ñònh khoâng naèm ngang cuûa (Cm) luoân laø taäp hôïp caùc ñieåm maø (Cm) khoâng theå ñi qua ∀m. Vieäc tìm theâm caùc ñieåm coá ñònh maø (Cm) khoâng theå ñi qua ∀m; ñöôïc quy veà aùp ñaët phöông trình sau voâ nghieäm:

yvm(x) - um(x) = 0 ⇔ G(x) = 0 voâ nghieäm.

• Ñaëc bieät khi ( )cbx

CBxAxy:C2

+++

= ta ñöa veà daïng:

( )⎩⎨⎧

βα

≠γ+γ

+β+α=soá haèngc,b,,

0cbx

xy:C

bcx;xy −=β+α=⇒ laø taäp hôïp nhöõng ñieåm maø moïi (Cm) khoâng theå ñi qua.

III. ÑÖÔØNG CONG (Cm) QUA ÑIEÅM CHO TRÖÔÙC: Cho hoï ñöôøng cong (Cm) : y = f(x,m) vaø M(x0,y0) ⇒ M(x0,y0) ∈ (Cm): y0 = f(x0,m) (*) Bieán ñoåi (*) veà:

( )( )

( )

Am B 0 12Am Bm C 0 2

A cos m B sin m C 0 3

+ =

+ + =

+ + =

⎡⎢⎢⎢⎣

⇒ Soá nghieäm (1), (2), (3) laø soá ñieåm maø (Cm) ñi qua.

Chuù yù: Neáu (1), (2), (3) voâ nghieäm thì khoâng coù (Cm) naøo qua M(x0, y0). IV. ÑÖÔØNG CONG (Cm) TIEÁP XUÙC NHAU TAÏI 1 ÑIEÅM COÁ ÑÒNH: • Tìm ñieåm coá ñònh M(x0,y0) cuûa ñöôøng cong (Cm). • CM f’(x0) = haèng soá ∀m ⇒ tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi M coá ñònh. Chuù yù: 1. Tìm M coá ñònh neáu heä A = B = 0 coù nghieäm keùp x0 ⇒ (Cm). 2. CM ñoà thò y = f(x,m) tieáp xuùc vôùi 1 ñöôøng thaúng coá ñònh taïi 1 ñieåm coá ñònh. V. CHÖÙNG MINH (Cm) TIEÁP XUÙC VÔÙI 1, 2 ÑÖÔØNG THAÚNG COÁ ÑÒNH: Cho (Cm): y = f(x,m) vaø (d): y= g(x) = ax + b laø ñöôøng thaúng coá ñònh. • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (d) laø: f(x,m) = g(x) (*)

• Ñieàu kieän ñeå (*) coù nghieäm keùp ∀m

( )( ) ( )( ) ( )⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

===

=+∀=Δ

⇔kx'gm,x'f

xgm.xf0BAmdaïngm,0

VI. CHÖÙNG MINH (Cm) TIEÁP XUÙC VÔÙI 1 ÑÖÔØNG CONG COÁ ÑÒNH: 1. Caùch 1: Phaân tích

( ) ( ) ( ) ⇒+±= 2baxxgm,xf Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm. f(x,m)=g(x) coù nghieäm keùp ⇒ y = g(x) laø ñöôøng cong coá ñònh phaûi tìm. 2. Caùch 2:

( )( )( ) ( )xg m Khöû

m theo haømñaïo0m,x'fm,xfy

m

⇒⇒⎩⎨⎧

==

VII. CM 2 ÑOÀ THÒ y = f(x) VAØ g(x) TIEÁP XUÙC NHAU TAÏI 2 ÑIEÅM COÁ ÑÒNH: • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm f(x) = g(x) coù baäc ≥ 4 vaø coù 2 nghieäm keùp x1 vaø x2 khaùc nhau. • Tröôøng hôïp baäc 4.

BB1: Vieát phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm döôùi daïng: f(x) - g(x) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 212

22

1 x,xxxxxaxgxf ⇒−−=−⇔

BB2: Hoaëc ñöa f(x) - g(x) = 0 veà daïng: ( ) ( ) 0cbxaxxx 220 =++−

Phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù nghieäm keùp ≠ x0.

-

32



VIII. CHÖÙNG MINH HOÏ ÑÖÔØNG THAÚNG TIEÁP XUÙC MOÄT PARABOL COÁ ÑÒNH: 1. Caùch 1: Cho hoï ñöôøng cong (Dm): y = f(x,m) • Goïi (P): y = g(x) = ax2 + bx + c laø Parabol coá ñònh caàn tìm. • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Dm) vaø (P): f(x,m) = g(x) (*). • (Dm) tieáp xuùc (P) ⇔ coù nghieäm keùp, ∀m ⇔ Δ = 0; ∀m (1). ⇔ Am2 + Bm + C = 0 ⇔ A = B = C = 0; ∀m. 2. Caùch 2: Bieán ñoåi haøm y = f(x,m) veà daïng: f(x,m) = g(x) + (αx + m)2 vôùi g(x) = ax2 + bx + c (P). Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm (Dm) vaø (P) laø f(x,m) = g(x) ⇔ ((αx + m)2 = 0 ⇒ PT naøy coù nghieäm keùp neân (Dm) TX (P).

3. Caùch 3: Xeùt heä phöông trình ( )

( ) ( ) cbxaxy:P m Khöû m,x'f

m.xfy 2

m

++=⇒⇒⎩⎨⎧ =

IX. ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑIEÅM COÁ ÑÒNH HOÏ ÑÖÔØNG CONG: • Phuï trôï cho vieäc tìm nghieäm cuûa phöông trình baäc cao phaàn ñöôïc ñôn giaûn hôn: Baøi toaùn ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong

(Cm) naèm treân Ox. • Döïng ñöôøng thaúng chöùa tham soá trong maët phaúng toïa ñoä: Baøi toaùn bieän luaän quay - baèng ñoà thò soá nghieäm moät phöông trình. • Tìm tieáp tuyeán coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm): Baøi toaùn tieáp tuyeán coá ñònh cuûa (Cm) taïi ñieåm coá ñònh. • Ñieåm coá ñònh cuûa caùc ñöôøng cong trong Hình hoïc giaûi tích: Baøi toaùn cöïc trò vaø quyõ tích. • Khi coù voâ soá ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm) saép xeáp, ñeäm ñaày treân moät ñöôøng cong (T) coá ñònh, ta coù: Baøi toaùn bao

hình cuûa hoï ñöôøng cong. X. BAO HÌNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG: • Ñònh nghóa: Bao hình cuûa hoï ñöôøng cong (Cm); ∀m ∈ Dm, laø ñöôøng (Γ), maø taïi moãi ñieåm treân (Γ) thì chính (Γ) laïi tieáp xuùc vôùi

ít nhaát moät ñöôøng (C0) cuûa hoï ñöôøng cong (Cm). • Muoán tìm bao hình baèng phöông phaùp (PP1) cuûa hoï (Cm); ∀m ∈ Dm, ta thöïc hieän ba böôùc: BB1: Goïi (x0,y0) laø nhöõng ñieåm maø (Cm) qua: y0 = fm(x0) ⇔ F(m) = 0; ∀x0 ∈ Df (1) BB2: AÙp ñaët (1) coù nghieäm keùp hay nghieäm boäi y0 = g(x0); ∀x0 ∈ Df.

BB3: Keát luaän ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

∈=

Γf0

m

DxC hoïcuûa hình baolaø xgy

:

Ghi chuù: • Ñeå aùp ñaët F(m) = 0; ∀x0 ∈ Df; coù nghieäm keùp ta coøn duøng ñaïo haøm (ñieàu kieän tieáp xuùc) nhö sau:

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

=∈∀=

0m'FDx0;mF

:1PP f0

• Khi bieát ñöôïc daïng (Γ) (hay döï ñoaùn ñöôïc) ta coøn hai phöông phaùp ñeå tìm bao hình nöõa laø: (PP3) Daïng (Γ) : y = g(x) (ta chæ bieát daïng cuûa noù laø haøm baäc nhaát, baäc hai, baäc ba, baäc boán, nhaát bieán höõu tyû...) AÙp ñaët phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: fm(x) = g(x) coù nghieäm keùp; ∀m ∈ Dm, ñeå suy ra phöông trình chính xaùc cuûa

(Γ) : y = g(x). Goïi laø phöông phaùp kinh ñieån. (PP4) Bieát daïng (Γ) : y = g(x). Phaân tích: fm(x) = [Gm(x)]2 + g(x).

Luùc ñoù: fm(x) = g(x) ⇔ [Gm(x)]2 = 0 (coù nghieäm keùp) Neân: (Γ) : y = g(x) laø bao hình caàn tìm. Goïi laø phöông phaùp phaân tích ñoaùn nhaän.

CHUÛ ÑEÀÀ 11: ÑOÀ THÒ COÙ TAÂM HOAËC TRUÏC ÑOÁI XÖÙNG

I. TAÂM ÑOÁI XÖÙNG: Ñònh nghóa: Ñieåm I(x0;y0) goïi laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò (C) neáu: ( ) ( )

( )( )⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎩⎨⎧

=

=⇔

∈∀=++−

0xf

0xf" chung nghieäm coù chaün baäc haømÑaïo

)1(Dx,y2xxfxxf

04

0

000

1. Chöùng minh I(x0;y0) laø taâm ñoái xöùng:

-

33



• Ñoåi truïc baèng tònh tieán theo vectô ( ) ( ) (XfY2yYyxXx

y;xOI0

000 =⇒⎩⎨⎧

+=+=

= )

• Chöùng minh f(X) laø haøm soá leû. 2. Chuù yù: • Chöùng minh 1 ñieåm I(x0;y0) cho tröôùc laøm taâm ñoái xöùng duøng (2). • Tìm taâm ñoái xöùng chöa bieát duøng (1). II. TRUÏC ÑOÁI XÖÙNG:

Ñònh nghóa: Ñöôøng thaúng x = x0 laø truïc ñoái xöùng cuûa (C) khi:

( ) ( ) ( )( )( )

f x x f x x 10 0

f' x 00Ñaïo haøm f x 00

− = +

=

′′′ =

⎡⎢⎢ ⎧⎪⎢ ⎨⎢ ⎪⎩⎣

1. Chöùng minh x = x0 laø truïc ñoái xöùng:

• Ñoåi truïc baèng tònh tieán ( ) ( ) (XfY2Yy

xXx0;xOI 0

0 =⇒⎩⎨⎧

=+=

= )

• f(X) laø haøm chaün. 2. Chöùng minh (d) coù truïc ñoái xöùng x = 0 // Oy:

• Goïi I(x0,0) ∈ x = x0, ( )XfOI ⇒ : haøm chaün, heä soá baäc leû baèng 0. • (d): y = ax + b laøm truïc ñoái xöùng cuûa (C): y = f(x). Choïn (Δ) ⊥ (d). Tìm (Δ) ∩ (C). I laø trung ñieåm AB ⇒ I ∈ (d). III. MOÄT SOÁ TÍNH CHAÁT THÖÔØNG GAËP:

Phöông phaùp dôøi truïc tònh tieán: ( )[ ] IXY OI:TT Oxy:OITT

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

f X f X ; d : x x : truïc ñoái xöùngx X x I x ; y 1 1 00 0 0y Y y f X f X ; I x ; y : taâm ñoái xöùngY f X0 2 2 0 0

− = == +⇒ ⇒

= + − = −=

⎡⎧⎧⎪ ⎪⎢⎨ ⎨

⎪ ⎢⎪⎩ ⎩ ⎣

Chuù yù:

1. Haøm baäc 2: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0;

a2bI . Truïc ñoái xöùng:

a2bx −= qua ñænh ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−

a4;

a2bS

2. Haøm baäc 3: Taâm ñoái xöùng laø ñieåm uoán ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

a3bf;

a3bI

3. Haøm baäc 4: Haøm chaün .0I ≡⇒

4. Haøm nhaát bieán: Taâm ñoái xöùng ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

ca;

cdI giao ñieåm cuûa TCÑ vaø TCN.

5. Haøm höõu tyû 12

: ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −− 2'a

'ab2b'a;abI giao ñieåm cuûa TCÑ vaø TCX.

CHUÛ ÑEÀÀ 12: KHOAÛNG CAÙCH I. KHOAÛNG CAÙCH:

1. Khoaûng caùch giöõa 2 ñieåm A(xA,yA) vaø B(xB,yB) laø B )( ) ( 2AB

2AB yyxxAB −+−=

2. Khoaûng caùch töø M(x0;y0) ñeán (Δ): Ax + By + C = 0 laø: [ ] 22

00,M

BA

CByAxd

+

++=Δ

3. Tröôøng hôïp ñoà thò coù ΔABC: ( ) ( )AC,ABdet21AC,ABsin.AC.AB

21dt ABC ==Δ

Chuù yù:

-

34



1. Tích khoaûng caùch töø 1 ñieåm di ñoäng treân ñoà thò ñeán 2 ñöôøng tieäm caän khoâng ñoåi. Tìm TCÑ (Δ1), TCX (Δ2). M(x0,y0) ∈ (C). Tính d1[M, (Δ1)] vaø d2[M, (Δ2)] ⇒ d1d2 = haèng soá. 2. Toång caùc khoaûng caùch töø 1 ñieåm treân ñoà thò ñeán 2 ñöôøng tieäm caän hoaëc ñeán 2 truïc toïa ñoä ngaén nhaát duøng BÑT Coâsi. 3. Khoaûng caùch 2 ñieåm treân ñoà thò ngaén nhaát duøng BÑT Coâsi. II. TÌM ÑIEÅM NGUYEÂN TREÂN (Cm): y = f(x): B1: Goïi (x0;y0) laø ñieåm maø (C) ñi qua ⇔ y0 = f(x0) (1) B2: Quan saùt (1) ñeå coù caùc phaân tích theo caùc loaïi haøm nhö sau:

• Ñoái vôùi haøm phaân thöùc: ( ) ( )11

dcxbaxxfy

++

== ;hay: ( ) ( 12

dcxCBxAxxfy

2

+++

== ); ta söû duïng pheùp

chia Horner ñeå ñöa (1) veà daïng: dcx

xy : hoaëc;dcx

y0

00

0 0+γ

+β+α=+γ

+α=

AÙp ñaët: Zycd\Zx 00 ∈⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−∈ ; thì phaûi coù:

( ) ( )( )γγγ=+∧⎢⎣

⎡∈β+α

∈α cuûa soá öôùclaø US vôùi ;USdcx

ZxZ

00

• Ñoái vôùi haøm ña thöùc laø giaû phaân thöùc (maãu soá laø haèng): ( )1n2n

021n

01n000 a...xaxaxa1y +

−− ++++α

=

AÙp ñaët: ( ) ZyZx;a...xaxaxa 001n2n

021n

01n00 ∈⇒∈∀α++++ +

−−

B3: Tìm (x0;y0) ñeå keát luaän soá ñieåm nguyeân cuûa (C).

CHUÛ ÑEÀÀ 13: ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ (Cm) CAÉT Ox LAÄP THAØNH CAÁP SOÁ COÄNG. TAÄP HÔÏP I. y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (Cm): ( ) (*0yOxCm =⇔∩ )

(*) coù 3 nghieäm laäp thaønh caáp soá coäng.

( ) ( )

x x 2x1 3 2 Neáu (*) coù 3 nghieäm m ? nhaänx mb 2 Neáu (*) coù 1 nghieäm m ? loaïix x x1 2 3 a

y' 0y ,yCÑ CT hoaëc f x f x 01 2

y " 0b

f 03a

+ =⇒ =

⇒ ⇒ ⇒⇒ =+ + = −

Δ =∃

<=

− =

⎡⎧⎡⎪⎢

⎨ ⎢⎢ ⎣⎪⎢⎩⎢

⎧⎢⎪⎢⎪⎧⎢ ⎪

⎨ ⎨⎢⎩ ⎪⎢ ⎛ ⎞⎪⎢ ⎜ ⎟⎪⎢ ⎝ ⎠⎩⎣

II. y = f(x) = ax4 + bx2 + c (Cm):

( ) (*0yOxCm =⇔∩ ) . Ñaët t = x2 ≥ 0 thì: ( )t 9t0 1 2

P 0 b2t x heä t t m1 2S 0 act 9t1 2 t t1 2 a

=Δ >

>− ⇒ + = − ⇒

>

==

⎧⎪⎧⎪⎪⎪ ⎪

⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎩

⎪⎩

III. TAÂPHÔÏP: Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M di ñoäng (ñænh Parabol, taâm ñoái xöùng, ñieåm cöïc trò, trung ñieåm daây cung...) 1. QUYÕ TÍCH MOÄT ÑIEÅM LÖU ÑOÄNG TRONG KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ:

-

35



BB1: Xaùc ñònh toïa ñoä ( )( ) ( ) Rm;1mgymgx

M2M

1M ∈∀⎩⎨⎧

==

BB2: Khöû tham soá m trong (1) baèng pheùp theá, pheùp so saùnh, pheùp coäng caùc phöông trình thaønh phaàn ñeå ruùt ra moät phöông trình heä quaû cuûa (1) laø: F(xM;yM); ∀m ∈ Dm. BB3: Giôùi haïn khoaûng chaïy cuûa xM hay yM döïa vaøo Dm, luùc ñoù ta ñaõ giôùi haïn cho quyõ tích. BB4: Keát luaän quyõ tích laø: • Caû ñöôøng cong (Γ): F(x;y) = 0 (neáu khoâng coù giôùi haïn cuûa caùc khoaûng chaïy). • Moät phaàn ñöôøng cong (Γ): F(x;y) = 0 (neáu ñaõ boû ñi caùc khoaûng maø xM hay yM khoâng chaïy treân ñoù, do böôùc giôùi haïn quyõ tích

maø coù). Ghi chuù: • Caùc daïng quyõ tích thöôøng gaëp Daïng 1: Quyõ tích trung ñieåm moät daây cung löu ñoäng treân (C): y = f(x). Daïng 2: Quyõ tích ñieåm uoán - ñieåm cöïc trò cuûa (C): y = f(x). Daïng 3: Quyõ tích taâm ñoái xöùng cuûa (C): y = f(x). Daïng 4: Quyõ tích ñieåm lieân hôïp ñieàu hoøa vôùi caùc ñieåm töông giao treân (C): y = f(x). Daïng 5: Caùc loaïi quyõ tích khaùc. • Ñoâi khi ngöôøi ta coøn tìm quyõ tích baèng ñònh nghóa nhö sau qua ba böôùc cô baûn: BB1: Laáy M(x0;y0) coù tính chaát p(1) ⇒ F(x0;y0) = 0. BB2: Giôùi haïn khoaûng chaïy neáu coù. BB3: Keát luaän quyõ tích laø toaøn boä ñöôøng (Γ): F(x0;y0) hoaëc moät phaàn (Γ) neáu nhö coù giôùi haïn. 2. ÑÒNH m ÑEÅ M TOÀN TAÏI: (x,y ñöôïc xaùc ñònh) ⇒ Giôùi haïn quyõ tích. Chuù yù:

1. Neáu x c (khoâng ñoåi) Quyõ tích M laø ñöôøng x c // Oy.

My g(m) Giôùi haïn quyõ tích (neáu coù).

= =⇒

=

⎧ ⎧⎨ ⎨⎩ ⎩

2. Neáu x f(m) Quyõ tích M laø ñöôøng y c // Ox.

My c (khoâng ñoåi) Giôùi haïn quyõ tích (neáu coù).

= =⇒

=

⎧ ⎧⎨ ⎨⎩ ⎩

3. QUYÕ TÍCH TRUNG ÑIEÅM DAÂY CUNG: Neáu (d) caét (C) taïi 2 ñieåm A, B. Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB.

x x bBAxI Khöû m giöõa x vaø y Quyõ tích I (giôùi haïn neáu coù).2 2ay PT cuûa (d)

+= = −

⇒ ⇒

=

⎧⎪⎨⎪⎩

4. QUYÕ TÍCH CÖÏC TRÒ HAØM HÖÕU TYÛ:

( )( )

Tieäm caän ñöùng x ?

u' x Khöû tham soá Quyõ tích0Tieäm caän xieân y v ' x0

=

⇒ ⇒=

⎫⎪⎬⎪⎭

-

36

Chde giai tich12-hki

Documents

Transcript of Chde giai tich12-hki