Chapter 9: Value-at-Risk

35
During the last few years there have been many changes in the way financial institutions evaluate risk. Improvements are continuously being sought to relate the regulatory capital that must be available to the underlying risks that a firm takes. Hence regulations have played a major role in the development of risk measurement techniques. The Basel Committee on Banking Supervision now recommend two types of models for measuring market risk on a daily basis; details of these models are given in the Basel Accord Amendment of 1996. These internal models have become industry standards for measuring risk not only for external regulatory purposes, but also for internal risk management and control. One approach is to quantify the maximum loss over a large set of scenarios for movements in the risk factors over a certain time horizon. Another approach is to weight scenarios with probabilities and to assess the level of loss that has some low probability of being exceeded over a fixed time horizon. 1 This measure is called the portfolio value-at-risk (VaR). 2 Both approaches assume the portfolio is not managed during the fixed time horizon. This chapter is about the VaR approach to measuring market risk, for capital requirements and for internal risk management. The first section looks at the current risky environment in financial markets and gives a brief overview of the developments in risk capital regulation during the last few years. It outlines the limitations with current regulations and discusses how they are being addressed by the new proposals from the Basel Committee that are currently under consultation (Basel 2). The theoretical and practical advantages and limitations of VaR as a measure of portfolio risk are described in §9.2. Here some of the traditional `sensitivity-based' risk measures and some of the new alternative risk measures are also described. The next two sections look at the VaR models that have emerged as industry standard during the last few years. The covariance VaR model is described in Value-at-Risk 9 1 In our uncertain environment loss is a random variable, so it is only possible to make probabilistic statements about the loss from a portfolio. 2 Or more precisely, the market VaR of the portfolio. Although VaR was introduced in the context of market risk, recently the context has been extended to credit VaR and operational VaR.

Transcript of Chapter 9: Value-at-Risk

Page 1: Chapter 9: Value-at-Risk

������ �� ��� � ���� ��� ��� �� ���� ������ �� �� ��� ������������������� ����� ����� ���������� �� ����������� ���� ������ ����� �� �������� ������ ���� ���� � ������ �� �� �������� ����� ����� ��� ����� ��� ��������� ��� ���� � ����� �� �� �� ������� � ���� �������� ��������� �� ��� ������� �� ������� ������������ ������� ��� ���� � ���� �� �������� ����� ���� �� � ���������! ����� � ��� ���� �� ���� �� �� ��� "����� "������ � #$$%�

��� ������ ���� ��� ���� �������� ��������� �� �������� ���� ������ �� &���� �������� �������' ��� ��� �� ������ ���� ����������� ������� (� �������� �� �� ������ � �� ��&���� ��� ��� � ��� �� � �������� �� ������� �� �� ���� ������ ��� � ������ ��� ����)���"����� �������� �� �� ����� �������� ���� ����������� ��� �� ����� ��� � ��� ���� ��� ��� �� ���������� � ���� &��� ��� � �&� �������)���# ���� ����� �� ��� �� ���� ��� ���*��*���� +,�-.�/ ������������� ����� �� ���� ��� �� ��� ������ ������ �� �&� ��� ����)���

���� ������ �� ����� �� ,�- �������� �� �������� ����� ����' �� ��������������� ��� �� ������ ���� ��������� �� ���� ������ ���� �� �������� ����� ��������� �� ������� ������ ��� ���� � ��� ������ � ���������� �� ���� ������ �������� ������ �� ��� � ����� �� ������ ������������ ���� ������ ��������� ��� �������� ��� ��� �� ���� ��������� �� �� �������� ��� �� ��� ������� ���� �� ������� ��������������� +��� /.� �� �������� ��� �������� ��������� ��� ����������� ,�- �� � ����� � ���� ��� ���� �� ������� �� 0$�/� �� ��� � ������������ 1����������*����2 ���� ������ ��� ��� � �� �� ������������ ������ �� ��� ��������

�� �&� ��� ������� ��� �� �� ,�- ���� ���� ��� ���� �� ���������������� ������ �� ��� � ����� �� ��������� ,�- ��� �� ������� ��

�����������

# �� ��� �������� ��������� ��� �� � ������ ������' �� �� �� ��� ������ �� ��� ����������� ������������� �� ��� ��� � ���� ����

/(� ��� ������' �� ���� ��� � �� ���� ���� "������ ,�- ��� ��������� �� �� ����&� � ���������' ����� �� ����&� ��� �� &���� �� ����� ,�- ��� ��������� ,�-�

Page 2: Chapter 9: Value-at-Risk

0$�3' ���� &���� � ��� ���������� �� �� ��� ���� � ���� ���� �����(����� ���� ���� ��� ��� ���� ���*���� �������������� �� � ������ ��� ��������� ,�- ���! ������ �� � �� ��������� ������ ������� ��0$�4 �� ������ � ������

����� $�5 ������� �� ������ ���� �� ������ ��� �� ������ � ,�-��� ��� �� ������ � ���������� ����� �� ���� ������ ���������� ���������� ��� ��� ���� �� ���������� � ,�- ������� �� ����������� �������� ��������' �������� ���� ����� ��� � ������������ �� ���������� ��� &���� ���� ������ ��������� �� ������ ������� ��������� �� ������ �� ����� ����� ,�- ������� � ������ �� ���������������� ��� � �������� �� ����� ������ ��� ������� ������� �������� �� ������ � &��� ����� ��������

��� �� ��� ��������� �� �� �� �� ������� ���� ������6 �����������' ��� ������ � ������ � ����� �� �� ���� ��� �� ��� �� ���� ����� ����' ������ ,�- ��� �� ��� ����� �����

��� ��� ������� �� ��� �� ��������� ����� �

"� ������� ������ ��� ����� ���� ��7 ��� �� ������� ��� ������(� � �� ������ �� ���� �� �� ������� ������ � ������� ������������ ������ ����� ��� ���� ��� ��� &������������ ����� �������������� ����� ���� ���� �� �������� ������ �� ������ � ���� � �� ������ 8� �������� �������� �� ��������� ���� ��������� �� ����������� ��� ����� �� ������ ���� �� ��� �������� ���� ���� ���

9������� �������� �� ������ ��� ����� �� ��� ��� ������ "� �� ������ ������ ��� �� �������� �� �����' ����� �������� ��� � ���� ������� ���������� ��� ������� ������ �� ����� �� ����� ������ �� ���������� ������� �� �� ���� ��� ������ �� ��������� �� ����� �������:�� ��� ����� ������� ���� ��� �� ����� ��� ��� � �� ������ ��� �� ��� ��������� �� 1������2� �� �������� ������ ���� ������ ��������� ��� ��� ����� � �� ��� ���� ��� ��� �� &������� ���

��� �������� �� ��� ��� ��� ���� ����� ;��� �� � ��� �� ����������7 9������� ���� ����� � ������ �� ��� ��6 �� ����� ����������� ��������' �� ����� �� � ���' ���� ���� ��� ��������� �����������' ��� �� ����� �� �� ������ �� � ���� ������� �� � ������ ����� ������� &������ � �� ������� ������< �� ��������� ����� ����� � #$=>� " ��� �� � ���� �� � ��� �� �������� 9���� ��� ���������� �� �� ������� ��� ����� ������� ���'��� �� �����*�� �� � �� ����� �������� �� �������� ��������� �� ����2� ������� �� ��� ���� ���� ��� ��� �� � ����� � ���� ����� �� ������� ������ ������ �� ���' ��� �� �� ����� ��

��� ���� ��� ��

���������� �� ���� ��

��� � ��� ���� ���

�� ��� �� � �

����� ���������

���� ��� ��

��������� ���� ��� ��

��� �� �� ��� ���� �

Page 3: Chapter 9: Value-at-Risk

?���� ���� �� ������� ����� ������ ��� ��� � ���������� �� �� ��������� :���� ��� ��� ��� �� �� � � ������ ������������� ����� �� ������� ������ ��� �� ���� �� �� �� ������� ������ ���� �� ��� �� �� ��������� 9�� &���' �� #$$= �� @��� ��������� A������� +@��A. �������' ���� ��������� ������ ���� �� ���� ������ � ;� ��� ������ ��� ���� ������ 8�� B��)������' ��� ���� � �� ���� � C#DD ����� ��� &������������ ���������� ��������� ��������� �� �����&����� C# ������� E� ��������'���� ���������� ���� +����� ��� �� ������ �� ���������������� �� � ����� � ����. ���� ��� ��� ���� �� �������&���� -������ ��� ������ ��� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ������&������ �� ���� ������� �� E 9��� -��� ���� ��� ��� �� ����� � C3�5 ������ ��� ���� � �� ���� �� ���� �� @��A2���������� ��� ���������

������ �� ��� ���� ���� ����� ��� �������� ����� ��� ��� &��������� ��� ����� ��� ��� � �� �� ��������� �� ����' ��� ���������� ���� �����' ��� �� �� ���� ���� �� ������������ ������� �� ��� ������ ��� �������� ��� �� ��� � ��� ��������� ���� ����� � ��� ������������' ��� �� �� �������� ���� �� ��� � ��� ����������������������� ���� ����� �� ������ ������� �� �� ����� � � ����� ���2�������� �� �� ����� ������

�� ���� ����� �� �������� ��� ������ � ������� ���� ��' ��� ��'&���� ������� ��� �� ������ ���� �� ���� �� ������ ����� �� ������+��� ������ �� ����*����. ��� �� ���� �� ������� � � ��� �� � ������� �� &���� ���� ���� �� ����� �� ����������' �� �� ������������� �� �� ���� �������� �������� ��� �� �� ������� �������� � ������� ������' ���� �� �������� ���� ��� ������������ �� ���������� �� ��� ���� ��� "�� ��� �� �������� ���� �� ������ ������������� ���� ����' ������ �� ������ � ������� ������������' ��������� ������� �����

����� ��� ���� ����� ������ ��� �� ���� � ��� ��

��� ���� ���� �� ������ �� �������� �� �� �������� ��� ������� ������� ����6 ������� ���� ������ ���������! ���������� ��� �����������������! ��� ����� �������� ��� ����� ��������� ���� ������������� ��� �� ���� � ��� ��� ������� �� � �������' �� ������� ���������� ��������� ���� �� ������ �� �� �������� ����� �� ���������� ����� �� �� ��� "����� � #$== ��� ��� #$$% "������ �����' ��������� ����� ������ �� �� F#D ��������' ��� ��� �� ������������������ �� ����

�� #$== ��� "����� ���� ������� ������ ��������� �� ����� ����' ������� ��� &���� �� ����� ����� �� �� #$$% "������� �� ����� �������

���� ������� ���

�� ��� �� ��

���������� �� �����

� ��� ���� ��������

��� �� � ������� ����

�� ���� �� ����

������������

����������� �����

����� �� � ����

� ���� �� �� ���� ��

� ��� �� ���� �������

�� �� ���� ����

Page 4: Chapter 9: Value-at-Risk

� �� #$$% "������ �� �� ����� �������� ������ �� � ������������� ���������' �� ���� ����� ���� �� �� ����� � ���� ������ �� ����*������ �����' ��� ���� ������ �� �� ��� � ��� # +��� ������.' ��� /+���������� ������. ��� ��� 3 +���*���������� ������.' ��� ����*������ ����� �� �� ��� � � ����� ���� ������ �������� +�--. ��� ������ ���� ������ �������� +A--.�

����� ���� ��������� ���� �� � ��������� &��� �� ����� ��� ������������ �� � ������� ����' ����� &����� ��� ����������� "� �� ��� � ������� �� �-- �� ����� ������� �� � ������� � �� ������ + �� ��*�����*��� ���������. �� � ����� ������� ������ + �� � *�����*������������.�3 -������� ������� ����� ������ ������������ �� �� �����������' ��� �������� ������� � �-- +�� ������� ���� �-- �� ��� ������� ��� �� �������� �� �� ��� � A--.� �� ���������' �� ������ �������� �� ������ �� �-- ������� ��� ������� �� ������ � � ���� ��� �� ������ ���� ���� ���������� ��������� �����' �� ��� / "����� ���� ��������� ���� ���������� �� � �� �� ��� �� ��������� �� �--' ������������� �� F#D ����� �� /DD5�

�� A-- ����� �� � ��* ��� � *�����*��� ��������� �� � ������� ������� �� ������� �� ���� ��������� �� �����' ����� �� ���� ��� �� ����������� ��� ��� ��� � � ����� �� ����� ������� (������ �� ��������� �� ���� �� ���� ��� �� � ��� ����' ��� �� ��� � ������������ �� ����� ��� �� ��� � ����� ����������' �� �� ��� ��������� ��������� ���� �� ���� �� �� �������� � �� ���G� � ������

�� ���������)� �������� �� �� ��� �� A--� � ��������� �� ��� �� ����������� �� �������� �����6 ������' ������ ����' ����� &����� ��� ���'��� ����������� �� ��� ���� �� ���� A-- �� �� ��� � ���� ������� �� ���� ��������� ���� �� �������� � �� �� ��� ����� &������'��������! ��� �������� ���� �� �� ������� �����4 �� ������������� ����� ���� ��� �� �� �� �� #$== "����� �� =H� ���� ��' �� ����+��� #' ��� / ��� ��� 3. ������ � � ��� ���� � �� ��� =H � �� ��� � ��A-- ��� �--� �� ���� ��� �� ������� ������� �� ������ � � ��� ������� ��� ���� ���� &����� �� ��� ������ ����

����� !� ����� ������ "�� ����#�� ��� ����� ��� ��$� �� �%#��� �� �

�� #$$% "������ ������ �� �������� �������� �� �������� ��A--' ����� �� �� �� �� ������ ��� �� ������ �� ���� ��� �� � ������ ���� ��� � ��������� �� ��� ������� ���� +0$�#�/.� ������ ���� ���������� �� A-- ���� ������ �� ��&���� ��� ��� #D ������� ���� ��

��� ���� ��� ��

�������� ��������

������ �������

���������� �� ��

������� ����� ���

������ ������� � ���

3 ���� ������� �� ������� �� �� ��� � ������������

4 9�� &���' �� ������ �� ���� A-- �� =H � �� &����� ��� �� ���� �� A-- �� � �� =H � �����&������

Page 5: Chapter 9: Value-at-Risk

� $$H ��� ���� �� ��� �� ������ �� ��� ������ ��������� �������������� ���������� I�������� ��������� ����� �� &����� � ���������� ���� �������� ������� �� ����� ��� ������' � �������� ������������� ����� ������ ������� �� �� ��������� � �� ���' ��� �� ���� ��� ������ ��� �� A-- ��� ���� � �� �������� ���� ����������� I���������� ��������� ����� ����� ��������� � �����������' ������ �������� �� �� ����� � ���� ��� ���*�������� ����' �������� ��� ��������� ��������' �� �� � � ������������ � ���� ������ ��� � ������� ���� � �������� ���� ������

"������ ��� ���� ��� � ���� ����� �� ������� ������� +0$�%.' ���� ��� ����� ���� A-- ����� � ,�- ���� ,�- ��� �� � ��� �� � ����+�� � ��� � �� ��� � ����������. ���� ��� �� ���� ��� � �� �� � � ��� ��� �������� �������� � �������� �� �� ����� � ������ ��� �� � � ,�- �������� �� � ��� ������ � � ������������ �� �������� ��� �� ��� ������� ����� ��� ������ ������� � �� ����� ���� ������ ��� � �&� ��������)��� �� � ����' ���� ��� ���� �� ��� +�� ��� ��. �� � ���� ��� ���� �� ��������� ��� � ���� ����)�� � � ���� ��

��� � ��� � ��

�� ���� �����' ��� �� �� ������*������ �*��� �������� +�� 1�����)�2.BJ@' ���� ��' �� BJ@ ������� �� ����� ������� �� ���� ��� �� ���������� ��� ��� ����� �� �������� ��� ������� �� �� ����� ����� �� �� ��������)��� ; �� ��� ���� &���� ��� �� �������� ���� ������ �� ����� ����� ��� �� �&� � ����' ��� � �� ��� ��� ���� 9�� &���' � �����&��� ���� ��������� ��������� ��� ���������� ���� ����� ���� �� ������ ����������� �� ������� �� ���� ������ ��� � �������)� �� �+����������. ������������' ��� ���� �� ���� �� ����� � ������������ � ���'�� ��� �� � ������ ���� �� �� ���� ������ �� �� ���� ����)�� �� �������� �� ������� ���� �� �� ���� ���' ������ �� ���� ����� ������������

�� ����� ����� � � ,�-' ���� ��' �� ���������� ���� �� ��������� ���� �,�- ��������' ���������� �� �� ������ ���� ����� � ���� � � ��� �� &���� �� ������ ���� � 5H #*��� ,�- ���������� �� � ��� � ������ &���� �� &��' �� ����� ����� ������������' �� ��� �� /D� "�� �#H #*��� ,�- �� �� ��� � ���� ����� � �� �� ��� �� #DD�5 8�� ��� ������� � ,�- ���� ��� � ������� �� ����6 � !!�" ����� ��� ���� ���� � � ��� �� � ���������� �� ������ �� �� ��� � �� � � � � � ���� #���� !!�"<�� ���������� ����'

�� #DD�� �*��� ,�- �� ���� ����� � ���� ���� B������� � ��� � ��

������ � �� �� �������� ,�-�' � �� ������) �� ������� � ��,�- �������� �� �� ��� �������� �' �� ����� ����� �' ��� �' �������� ������ ����'

���� ������� ��&

5 ��� �� ��� ��� �� $5H ��� $$H ,�- ������' ��� �� ��� ����� ����� �����

Page 6: Chapter 9: Value-at-Risk

B������� � �,�-�' �� � � �$�#�

�� � ���������� ������� ���� �� ������� �� ������ ���� �� #DD�H �*���,�- �������� � �� �� ��� � ������ � �� �����)� BJ@ ������������'�� ������ �� 9���� $�#�

��� $�# ����� ��� ,�- ����� ���� �� ����� � ����� ����� � ��������� ������ " ���� ,�- ��� �� ����� � ��� ��� � ,�-�������' ���� �� ������ �� �� ����� ����� � ������� +���� ��' �� �������.� 9��� 9���� $�# �� �� ����� ���� �� ������ ���� ���� � #DD�H� �� ��� ���� �� ������ �� ��� �� �� � �� �� ��� � ������� ��,�- �� ��� ������ �� �� ������ ����� ������� ����� �� ������������ BJ@ �� ����� ������ ���� ������ ������ �� ��� ���� �� �����*����*� *��� �� �� ����� +03�3. �� ���� �� �*��� ,�- �� ����� ���� �������

���� �� #*��� ,�-� � �� �����*����*� *��� �� �� ��� ������ ��� ��,�- ����� �� ����� �� ��� ������ � �� ��������� �*��� BJ@������������ ��' ��� � ��������� �����& �� ���' �� �� �� ,�- ���� �� ���*��� ��������� �����&�%

��' ���� ��� ��

���� �!��� ��� ��� �� � � ��

���� � "������ �� ��

������#� $%&

�����������

���#�� ��� �� BJ@ ������ ��� ���*��*�����

��(�� ���) � �(���

������ �����' � ���� ����� �' �

D�D# D�D5 D�#

#/ � ,�- �������� � � �#D

%;�� � ��������� �����& �� ��� �� �� ,�- ���' � #*��� ��������� �����& �� ����� ���� �� �� �*������������ �����& �� ��������� ��� ��� �� �� �����& �� �� �� ���� ���� ���� ���� �� ������� ����������� �� #*��� ,�- ��

�����

! ��� �� �� ��� �� �� ������ ���� ����' ��� �� �����*����*� *��� �� �������� � ���� A�� ����� �� ���� �� �� �� ���� �� �� ,�- ���� �� �� ���

Page 7: Chapter 9: Value-at-Risk

�� �������� A-- �� � ����� � �� ����� � �� ��� %D ����2 #H #D*���,�- ������� ��� ���� ������ �� ��� ���' �� �� ������� ���2� ,�-������' ������� �� ����� +0$�5�#.� 8����� ,�- ���� ������ ���������� ���� ������ ��������� ���� ���� ������� ����� �� ���������)���������� �� ��� �� �*������ �� �� �*���� ���� ���� �������������� ������� ��� &�� 5DH� ,�- ���� ��� ���� ������������ ��������� ������� �� ������ ��� &���� ���� �������� ���������' ��� ��� �� ��� � ����� � ������������ ���� ���� ��' ��� ����� �������� �� 0$�/�

����& ����� � *��$�����

��� �� ����� � ������ ���� �� ������ ������� �� �������� ����������� 9�� &���' �� �������� � A--� �� ���� ����&' ����� ���������� � ����� ���� �� ��� ���� ���� ��� ��������� ���� �� ������������ "�� �� A--� ��� ���� �� � � �����*��� ����� ���� � ������������ � ����� �� ����6 ����� ����� �� �� ������� ���� �� ���������� �� ��� �� ����� ���������� � �� ������ ������ � ����� �������� ����6 �� ��� ������ �� ����� �����' �� � ��� �� �� ���������� +0$�3�5.� ���' � ��������' ����� ��� ����� ����� �� � ��������������� 9�� &���' ���� � ���� ��������� ���� �� � ����' �� �� ������� ���� ��� ��� �� ������ �� ����� ����' �� �� ��� ���� ������ �� ������ �� ����� �����

�� #$$$ ��� /DD# �� ��� ������� ������ ��� ���������� ����� �������� �� ������ ��� � ��� ������� �� �������� � ��� / �� �� ������ ���� � ��� �������� ������� �� ��� ���� ��� ������������������������ ��� �������� ��� �� ���� � ������ ���� � ������ �� ���������' �� �� ���� ��� ��������� ���� �� � ������ �� ���� ������ ����������A�� ������� ���� �� �������� �--� �� � ���������' ���� ������� ����� ������ �� ��������� ��� ���� ���������� ��������� "������������ ���� �� ��� � ���� ������ �� ���� ����� ���� ������ �� ������� �� ���� ��������� �� �� ������� ����� ������ &��������� �� ������ ��� / "������ �� � ������� �� �����' �������� �� /DD5� A������� ��� � ���� �� �����������' ������������ ��� ���������������

��� ����� ���� ��� +� � � ���� �" ��#�,� ,���

��� �������� ��� ������ ������� ������ ��������� �� ���� ���������� ���� �� ���� �� ������ ����' ,�- ��� ���� �� ��������������� � ����� ���� ��� ���� ���������� ,�- ��� � ��� �� ������ ������� ����� � � ���� � ��������� �� �� ���' ��� �� ������� � ��������� ���� �� ���� ��������� �� ����� ��������� �� ,�- ������ ���� &���� �� ���� ���� � ����' ������ ����� ���� ��� ��������� ����� ������ ���� ������� �� ���������� ��� �����*������ ���� ������� ����

���� ������� ���

��� � ��� �� �����

���������� �� ��

����� ��� ��

���� ��� ����� ���'

�� ��� ��� ��

� ��� � �� � �� ���

�� ������� ��������

Page 8: Chapter 9: Value-at-Risk

�������� �� ���� ������' ��� �� ��� � ������� ��������� �� � ����� � �� ��� ������� ,�- ��� ��� ��� ������� � ���� �� ����� �� ����������������� ������ ����� ���� ������ �� �������� ����� ���� �� ������ "���� ��� � ������� ������� �� ������� ����' ������� ������� ���������������� ���� ������� �����' ,�- ��������� �� ����� �����

��� ��' �����' ���� ������������ ���� �� �� � ,�-� �� ��� �������������� ���� �� �� ��� ��������� � ����� ���������' �� ��� �� ���������� �����*��� ����� �� ����� ����� ������������� ,�- ���� ��� ����� �� ���������� �����������' ��� ��� ����� ���� �� ��� ����� ��������� �� ����������� ����� � � �� �������� ,�- ����� ��� ���� ��� ��� �� � ����� ���� ,�- ���������� ��� � �� �� � ��������� �� ���� ���� ��������� 9��������' �� �� ����� � ���� ������ � ���� ���� ,�- ������ �� ��� �������' ����� ��� ���� �� ��������������� ����� ��� �������� ���� ��� � ��� �� ���� �� ����������� �� �����������

����� �� $������ -� � ����� ����� ��� ����#���

�� ���������� ������ � ���� �� � �&� ����� ���� ��� ���� ��� �������� �� � ����* �� ���' ���� �� � ���� ��� � ����� �� ����' ������ �� ���������� �� ������� �� � ��� ����� 9�� &���' �� ��������������� ����� �� � ��������*������ ����� � �� ����� ���� � ����� ����> "����� ���������� ����� � ��� ���� ���� �� �� �� � � ���� �� � ����� ���� ��� +B,�B.' �� ����� �� ����� ��� � ���� ��� � ����� ���� �� ��� �� �� �� # ����� ������=

�� ���������� ���� ������ � �� ����� ���� ��� �� ���� �� ������������� �� �� ���� ������' ���� �� �� ���� ��� 1����2�$ �����' �� 0=�#�� ����� ���� � �� ����� ���� ��� ��� ��������� �� �� ������6 ���������� +��� ����������. � �� �������� ���� ������' �� ����������� ����� ���� ������' ��� �� ���� �� ������� �� ������ ����� ��� �� ������������ 1���2 ���� ����� ���� ��� �� �� �������� ��� ���� � ������6 �� ���� ���� ������ � ���� ���� �� ������ � ��� ��� ������ ������ ���� �� ��� ������ �� ���� ������� ��� ������� �� �� ������������ ������ ��� �� ���� �� ����� � � ���� ���� (� � �� ����� ��������� � ,�- �� ���� �� ��� ��� ����� ��� ���� ��� ������ � �����

��� ���� ��� ��

��� � � ����� ����

��� ����������� �� �

� � � ������� ���

���� ��� ���� ��

> �� ����� ����� � �������� �� ���� ��������� �� �� � ����� � ������ ��� ���� ����� � ���������� ��� �� ����� ��� � ���� ��� �� �����' ��� �� ����� ��� ��������� �� ������' ��� ���������� ����� �� 1����*��2 ����� �� ��� ��� �� ������ ��� ��� ��� ���� ��� ��� ���� �������� �� �� ������� ��������� ������

= ��� �� #D4 ����� ������ �� #DDH' ���� �� ������ � ���� �� �� B,�B ����' � ���� �����&������� �� �������� �� ���� �� ������ �� ��� ��� ����� �� ���� �� #D4� �� � ���� ��� ���� �� ������ ������������� �� �� ������ 9�� � ���� ���� �� � C# �� ��� ' � � �� �� �� ����� � �

$ "�� ���� ������ �� ������ ���� ���� ��� ��� �� ���� ���� �� ������������ �� ���� ���� ������ ��������� ���� ���� �� �� ���� ��� �� �������� � �� ��������! �� ���� ����������� �� ��� ���� ������'���' ����� ��� ���' �� � ��� �� 0/�3�3�

Page 9: Chapter 9: Value-at-Risk

���������� ���� ������ ������ � ������� ������ �� �� ��� ��������� � �� ���� 9�� &���' �� ������ ��� ���� ����� ����*���� ������ ���� ���� ��� �� � ���� � ������� �� �� ��������' �� �������� � � �������� ��� +����� �� ������ �� ������ �� ����. ������ � ������� ���� ����� � �� ������� ���� ���� 9�� ���������� ������� �� �������� �� ������ � ������� �� � ������� ������ ��� � ��������� �� �� �������� ���� ����� +������ ���� �� ���� ����.� 8������ �� �� �� ���� �� ����� �������������� �� ������ �� ���� ���� ����� ��� ����������*���� ������' ��� ������� ������ ����������� (� � �� ���� ��������� � ,�- �� ���� �� �������� ������� �� ��������� ��� ���������� � ���� ������' �� �� �� �������������� �� ��� ���� ������

���������*���� ���� ������ ��� � ����� � ����������� ��� ��� ������ ������ ��� ������� ����' ��� ��� ������ � ������� ������ �� ������������ �� � ����� ��� ��� �� ���� ����� ��� ������ � �������� �� ����� ���� &����� ������ � �������� ��� ��������� ��� �� ��� ���������� ���� ���� � ���' ���� �� ����� ������������ �� ���� &��������

����� �,����� ������� +� � �

@���*��� ������ �������� ���� �� ��� ���� ����� ��� �� ������������ �� ������ ������� ����� ����*������� �� ������ ������+0>�/�3.� (� �� ���� ����' �����*��� ������� ����� �� ���� ��� �� ������� ��� �� ������6 �� �� ����� ��� ������ ��� � ������ �� � ���� )��� ���������*���� ������� ����� ��� �� ��� �� ��� ���' ��� �������� ��� ��� �� ��������� ������ ��� �������� ���� �������� ������� ����� ���� �� ���� �� ,�-� ,�- ������� � ���� ��������� ����� �� �� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��������� �� �� ��� ����������� �� �� ��� �� ������ ���� � ��� ���� �� �� �� ,�- �� � ��� �� ������� �� �������� ������' ��� ���� �� ����� � �������� �������' ������ �� ����� ������ ����� �� �� ��� ��������� � �� ����

�����' �� �� � ��� �� ���� ���� �� ���� �� ���������� ����������*����������� ����� ���� ������� ����� ���� �� ,�-� 8�� ��� �� ������ �������� ������ � �����������' ��� ��� �� �� ���� �� ������ �������� �� ������� � ������� ���� �� ���� ����� �� ��������' ��*��� ,�- ������ �� �������& ���� ���� �� ����� ��� ������' ���� ���� �����&�������� ����� +0$�4�3.� ��� ��' � ������� ����� �� ���� �� ,�-' �� ����� �� ���� �� ���� ,�-* ��� ����������*���� ������' �� ��� �������' �� ���� ������ ���� �� �� ����������� � � ���� ��� � ����������

����& �� ���� ���� � �

"� � ����� � ����' ,�- ��� ��� ����������� 9����' �� ��������' �� ��� ��� �� 1����2 ���� �� � �� 1���2 ����� 9������ ���� ��� 9����

���� ������� ��.

���!�� ��� ��

��� ���� �� ��(

��������� �� � ��� ���

��������� ��� ���

�����(� ����� �� ��

Page 10: Chapter 9: Value-at-Risk

+/DD#.' � ���� &��� �� ������� ���� �� ����� ������� �� ������������� � ������ �� ��� ���� ���� $ ��� % ���� �� ����� �� ��� $�/ ��� 9���� $�/�B��� ��� $ ��� � ����� ����� � ������� ������' ��� ���� �� � ��� �� �� ��� ���� �� &���� ����� �� ���� ��� $ �� ���� ���� �� �� �� ���� ��� %������' � �� ��� ���� �� �� �������� ���� ������' ��� � �� �������� �� ���� ���� ����� ���� ��' �� �������� +�������� ��������.' �� 5H,�- ��� �� #H ,�- �� ������� �� ���� ���� ����� :�� ������ ���� � �� ��������� �� �� ����� �� ���� ��� $ �� ���������� �� �� �� ���' �� ����$ ��� ��� 1����2 ���� ���� %' ���� �� ��� ���� �� ������ �� �� ���������� �� ,�- � ��� ���� �����

&������ ���� ������ �� ���� �� �� ������ ���� � ����� � � �������������� 9�� &���' �� � ��������� ������� ��������� ��A�������) +#$5$.������ �� ������� � � ������ ���� �� �� ���� �� &���� �����6

'� � (������D' �� (�����/�� �$�/�

��� ���� ��� ��

��(�� ���) F��� ����' ��� ����' ,�- ��� ��������

-����6 B��������� � ��������� �� ���� ��� $

B��������� � ��������� �� ���� ��� %

�#D D�D# D�D#�>�5 D�D4 D�D4�5 D�D5 D�/5�/�5 D�# D�/5D D�5 D�3/�5 D�#5 D�#5 D�#5 D�D5

:&���� ����� D�//5 �#�>>5���� 3�#/4 3�#/=#H ,�- �#D �#D5H ,�- � >�5 � >�5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

−10 −7.5 −5 −2.5 2.50 5

���#�� ��� ;���� �� ��� �����7

Page 11: Chapter 9: Value-at-Risk

A�� �����' (+�. ��� � ����� �� ��� �������� ����� % ���� ��� ����*������� �� �&�� ���� ��� 9���� +/DD#. ������� �� �� � � �� ��� ����� � ������� ����� �� ���� ������� �� � ��� ��

-��� � �(�����D' �� %��� �$�3�

���� ��� �� ��� ��� �� �� ���*� �� � ��� ������ ���� ����� ��� �� ���������� ������ -��� ��� �� ��� �� �������� ������������ � ���������� ����< �� ���� � �������� �� ������� ���� � � ���� ���� -����� ���� ����������� 1����2 ���� ��� 1���2 ����� 9�� &���' � ���������� ����� % � D ��� �� ���� � ���� ��� $ �� �� &��� ���� ��D�$' ����� �� ���� � ���� ��� % �� /�/>5�

"��)�� ��� +#$$>. ��� ��� �� �&������� �������� �� �� ����� � � ����� � ����� ������ ���� ������ ��� �� ��� ������ ��������� ���� ������� �������� ����� � ��� ���� �����' ��� �� ���� ������ ��������� � ��� �&���� 1������2� " �� � � ���� � ���� � ������� �� ��� ��� )� ���� ����� ��) � ���� ���� �� ������ ���������� ����

#� -��� �� �������6 � )�* ��� ��) �� ��* ��/� -��� �� ����� � ���6 ��) � � ��) � �� � D�3� -���* � ���������6 ��)� ��� � ��) � � �' ��� � �� �� ����* � ����4� -��� �� ���������� 6 ��)� * �� ��) � � ��* ��

��� ��������� ������� ���� �� ���� ������� �� ����&! ���� ���������� ������ ������� +0>�/�4.�#D �� ����* � ��������� ����� ���� � �� ������ � � �� ������ ���� �� ���� �� �� �������� ��� �� ���� ����� �� � ������� �! ���� ������ ��������� �� � ����� ����������� �� ��� �������� ����� ���������6 �� ����� ���� �� ���� ���� �� �� ��� ���� �� ��� � ������� � ��������� ��������� ��� ������� ���� ��� ���� � �� ������� �������� � ���� �����

,�- �� ��� � ������ ���� ����� ����� �� ��� ��� �������� ����� ��&��� 4� �� �������� � �&��� 4 ��� ������ ��������� �� ������������' ���� �&��� 4 ���� �������)� ��������� � �� ����� ��� �� ��� ��������� �� �� ��� ��� �� ��� � ��� ��������� ���������� �� � ���������� +���*. ������ � �� ���� ����� �� � �������� � ����� ��� ���*����� �� �� ��� ��������� �� ��������� ������' �&��� 4����� ���� �� ����� � ���*����� �� ������� �� ����� � ���� ��������� �� �� � �� ���� ������������ � ,�- �� ���� �� �� ��� ���*��������

"��)�� ��� +#$$$. ��� ��������� � �� ���� ����� ��� ��������� ������� �� � ������ ���� �����' ��� ��� � ���� ������ �� �� �������� ,�-�(������� ,�- ���������� �� � ��� ������ � �� �������� BJ@������������' � ������� � � ��� ���� ���� � �� ��� ��� � ��

���� ������� ���

���� ���� ����

��������� )����� ���

��� )���� ���

*� �� �� ����

���������� �� ��� �

���� �� � ��� ��!�������

#D ���� ��' ��)� �#� �* �� ��) � � �#� ���* ��

Page 12: Chapter 9: Value-at-Risk

������������� ���������� ,�- �� �� &���� ��� ���� ���� �� ��� ���&��� �� ,�- �������� ���� ��6##

���������� ,�- � (�)) � ,�-�� �$�4�

" ���� &��� �� ������� �� �� ��� ���� ,�- ��� ����������,�-� ����� ���� #DD DDD ���������� � �� ���� ������ �� �� ���� ����)���� ��� �� ����� � BJ@ ������������ ���� �� ���� �� 9���� $�#' ��� ��������� #DDD ����� ���� ���� �� �������� ��� �� #H ,�- �� �� ����� � ��� #DDD ���� ��� �� #H ���������� ,�- �� �� ����� � ��� #DDD����� � ���������� ,�- �� ����� � �� ��� �� ���� �� ,�-' ��� ������� �� � ������

�� ���������� ,�- ���� ����� �� � �������� ����� �� 0#D�/�#' ��� ���� � ���� �� �� ��� &��� ��� �� �� ���� ��� ������� ���� "������� � ���������� ,�- ��� � ������� �� ������ �� ����������������� ������������ �� &���� ��� � �������' ���� ��' �� �����)�B���� ������������ ���� �� ������� �� 0#D�/�#�

��& ���������� � ������

�� ��������� ,�- ��������� ��� ��������� �� (����� #$$4 �� ?�B�A�����! �� ��� �� �� �� ��������� ���� ������ �� -���A����� ���� �������� �� ������ �� ������������������� " ����� ���������� � ��� ����'����� ������� � ��� ��� ��� ��������� ������� � �� ����� ���� �������� ���� ������� ������' ��� �� ���� �� 0>�3�

��&�� ����� ���# $ ����

�� �� ��������� ,�- ��������� �� ��� ���� ������� �� ������ ��,�- � � ���� ���� ��� �� � ��������� �����& � � �� ����� �� �� ���� ����(� ��� � ����� �� �� ���� �� ���� ��� �����������' ��� �� ��� �������� ������� �� �� �������� ��� ���������� � �� ���� ������� ��� ���� ������ ����� ��� � �� �������� ������<����� � ������ ����� ��F"-�� ��������� �� � �����' �� &����� �� B��� # � �� ����<��� �������� ������� ���� �� ��� �� ��� � �������� ���� � ��� ������ �������������

�� �������� ���������� �� ���� �� ���� ��� BJ@ �� ����������������� ���� ��' � ��� � ��� � � ����� �� �*��� �����)� BJ@'� �����#/

��� ���� ��� ��

##( ����� ���������� ,�- ����� �� �� ��� �������� �' �� ����� ����� �' ��� �' �� ������ �����'�� �� ������������ ,�-�

#/ �� ������� � ���� �� ���������� �� ���������' ��� ����� � ���������� ����� ��� � �� ���� ���� ��&����� �� 0#D�#�

Page 13: Chapter 9: Value-at-Risk

��� � +��' �/ �� �$�5�

�� #DD�H �*��� ,��*��*-��� �� ���� ����� ,�-�' � ���� ����B���+��� � �,�-�' �� � �� 8��' ������� �� �������� ����� ����� ��������6

B�������� � � �� � ��,�-�' � � � ��� � �!

��' ���� ���� � � �� � +�D' #�' ��� ������� ���� � � �� �� �� ������������� ������ ,'

B����, � ��,�-�' � � � ��� � ��

��� �� � �������� ����� ������ ,'

B����, � �,�� � �'

��� ,� �� �� #DD��� ������ � �� �������� ����� ������� ��� ��'

��,�-�' � � � �� � �,�!

������ ������ ���' � ��� �� ����� �� ��������� ,�-'

,�-�' � � ,�� � �� �$�%��� ��� ����� �� ������� ���� ,�- �� � ���� ����� �� ��� ������ �������*��� �����' �� �� �� ����� �� ����� ���� � � D� 8��' ,� �� ����� ��������� ���� �� �� �������� ����� ���� +#�%45 �� � � D�D5' #�$% ��� � D�D/5' /�33 �� � � D�D#' ��� ���� ���� ��� � ���� ��� �� ���� ���� ���� � �� ����.� ���� �� �� �� �������� � �� BJ@' ���� ��' �' ����������� �� ���� ��� ,�-�

��&�� /� $�� ���� *�� "�����

�� BJ@ �������� �� ���� ������� �� � ���� ���� ���� ���� -�� ���0>�#�# ���� �� ������� � � ���� ���� ��� �� � ��������� ���6 ���� ��' ������ ��� ����� ��� � ������� - �-' ��� - �� �� ����� � ���� ��� ��������� ����� �� ��������� �����& � ���� ������� ������' �� ���� ���BJ@ ��� � ������� $ �$' ��� $ �� �� ����� � ������ ������� ������ ����� ����� ���� � �� ���� ��� �� ������� �� � ���� ��� � ��� ���������������' �� ��������� ����� ���� �� ���� ��� ,�- �� +$�%. ����

� � �$ �$�#�/�9�� &���' ������� � ���� ��� ���� ��� ����� ���� C#����� ������ �� ����# ��� C/����� ������ �� ���� /� � ���� # ��� � #D*��� ������� � D�D#' ���� /��� � #D*��� ������� � D�DD5 ��� ���� #D*��� ��������� �� D�DD/' ���

$�$ � # /� � D�D# D�DD/

D�DD/ D�DD5

� �#/

� �� D�D3='

��� �� BJ@ �������� �� �$�$�#�/ � D�D3=#�/ � CD�#$5 �����' �� �� 5H #D*��� ,�- �� #�%45 D�#$5 �CD�3/ ������

���� ������� ���

+� � �� ���������� �� ��

$%& ���� ��� �� ��

��������� ��� �� ��

��������� ����

Page 14: Chapter 9: Value-at-Risk

( �� �� �������� ���� �� �������� �� ���� �� ���� � ������)� ������������ ����������' ������ � �*��� �������� ��� ����������� ��� �� �����$ �$ �� �� BJ@ ������� ��� � ������ ���� � �� ���� � ������������ ����������� ��� �� ��������� �� �� ��������� ������� �� ��������� � �� ����� ����� � �� �������� � ���

$ �$ � � ���'

��� � �� �� ��������� �����& ��� � �� �� ����� � ��������� ������� ���� ����� ���� � �� ������������ ���� �������� 9�� &���' �� ���� ���� ���� &��� ���� ��� �� &����� �� �� ������ ���6 ����������� ���� ��� ����� �� D�/=/=' ���� # ��� ������)� �������� � 5DH ��� ���� / ��� �� ������)� �������� � 35�355H� ��� �� ��������� �� ���� #D*��� �������� ��������� �� D�5��/5D�#D�#�/ � D�5�5 � D�#��� D�35355��/5D�#D�#�/ � D�35355�5 � D�D>D>' �������� +�������� /5D ������ ���.� ���

� ��� � D�# D�#4#4� � # D�/=/=

D�/=/= #

� �D�#

D�#4#4

� �� D�D3='

����� �� �� ��� �� $�$ �� �� ������� &����

��&�& ���������� � -� � ��� �� ������

A��� ���� ���� ���� �� ��� ��� �� � ������� �� �� ���� � ��� �������� ������� �� � �������� ������� � ����� ��� �� ��� �� �������� ���� ���� �� � ����* �� ��� �� ��� �� �&� ����� ���� ����� �� ������������� � ������ ���� � ��� ����� ���� ���' ���� � �����' ��� ��������� �� � ����� ��� ���� � ���� ������� 8�� ��� 0>�#�# � �������� �� ������� � �� ���� ��� BJ@ ���� �� �� �� �� ���� ������ ��$ ��)�

�$' ��� $ ����� �� � # ����� � ������ ������� ������ ����� ����' � �� �� � ������& � ����� ����������� +�� +�' -.�� ��� � � ���� ��� � �� ��� ���� ���� ����� �� �� -�� ���� �����. ��� ) �� �� � ����� ����� ��������� �����& ���������� �� �� ���� ����)���

9�� � ���� &���' ������� �� ����� ���� ��� ���� C/ ����� ������ ��E ��� EK ������� ����� �� �� ���� ��� ��� ���� ����� �� �� 9� :#DD �� #�5 ��� �� �� ���� ��� ��� ���� ����� �� �� JB 5DD �� /� ��� ������� $�� � �3' 4�� ����� �� #*��� ���� ����� ��������� �����& �� ��9� : #DD ��� �� JB 5DD ��

D�DD#= D�DDD/D�DDD/ D�DD#/

� �� #D�4 #= /

/ #/

� ��

��� �� ������� � �� BJ@ �� �� �� ���� ������ ��

#D�4 3 4� � #= /

/ #/

� �34

� �� D�D4D/�

��� ���� ��� ��

Page 15: Chapter 9: Value-at-Risk

���� �� #H #*��� ,�- �� �� �� ���� ������ �� C/�33 ����� D�

�D4D/� �D�4%> ������

�� ���� �� ���� � �� ���� ��� ��� ���������� �� �� BJ@ �������� �� ��� ��� +=�>. � ���

BJ@ ������� � $ ��)��$� $��$' �$�>�

��� � �� �� � � ���� �� ���� ��������� �����&� ��� �� ��� �� ������������ �� �� ��������� ,�-6

,�- �� �� ����� ���� ������ � ,��$��)��$�#�/!

��� �� ,�- � ,��$ ��$�#�/�

����� �� ������ ��������� �����& ��� �� ����� � ��� ��� ������ � ������ ,�- ����� �� �� ���� �� ���� � �� ���� ���� -��������� ������ �� ���� �� ���� ��� � ����������� ����� �� ���� ������#3

8�� ���� �� ���� ,�- ����� ��� � ������ �� �� ��� � ��� �������������#4 �� ���� ������ �� �� ���' ��� �� ���� ��������' �� �� ����,�- �� ������� ��� +$�>. ��

���� ,�- � ,��$ ��)��$� $ ��$�#�/�

����� �������� �� ��� �� �� ���������� � �������� �� �� ��� ��������� ,�- �� � ���� ������� �� �� ����������� ����� ���� ���� ����,�- �� ����������� ���� ����� ,�- ���9L,�-�� &����� �� �� �� ����

��&�' ���������� � -� � ����,���- ��$�

�� ������ �� ��������� ,�- � � ���� ��� � ����� �� ����' �� ��� �������� �� � ����* �� ��� $ � ���#' ��/' � � �' ����' ��� �� ������� ����� ��� � �� ����� �� �� ��� �� �&� �������� ���� � #' � � �' �� �� ����� ��� ���� ����� � �������� �� �� ������ ���'�� ���� ,�- �� ������ �� ���� � BJ@' ��� ������ � ������ �� ���� �� ������ �� ��� ���������� �� � # ����� ����� ��� �� ������ ����� ��� ����������� �����& ���� ��� � � �� ������ �� ����� �������

9�� &���' ������ �� #H #*��� ,�- �� � ���� �� � C# ����� �� 3������2 ���' ��� C/ ����� �� % ������2 ���' ��� ���� �� 3*����� ����� %*����� ������ ���� �� %H' �� 3*����� ������ ��� ��� �� ������)����� �������� � #DH' �� %*����� ������ ��� ��� �� ������)� ������������ � $H ��� ���� ��������� �� D�$5�

���� ������� ��&

�� ���� ���� ����

����� � �������� ��

�� ������ ���� � ����

��� � ���� �� ��

�� $%&� ,�� ���� �

����� �� ��� ����

� ���� �� �� ��������

�� � � ��� ����� �� ��

����� ���� ��� ��

��������� ����( ��

��� ��� �� ����� ��

��� �����

#3 ��� �� � ���� �� ���� ��������6 �� ���� �� ���� ����� �� ������ �� +$�>. ������ � �� ���� 5DH � ������� ���� ���� � ��� ���� �� ���������)� ����

#4 �� 0$�3�5 � � ���� �� �� ��� ���� ��� ����� ���������� ���� �� ��� ������� ��������� ,�- �������

Page 16: Chapter 9: Value-at-Risk

9����' �� ����* �� ������� ���� � ����� �� BJ@ ����������� �� ������� # ����� ������ �� ����� ��� � � ����� ����� ��� +B,�B. �� �� � ������������ ���� ������ ���� �� ������� �� 0$�/�#� 9������ ������ ='�� ������ �� 3*����� ���� �� �� ���������� ���� �� ����� � ������ ��4#D4! ��� �� ������ ���� �� ����� ��� ���� �� ����� � ��������� �� ������� ��� � %H +����� ���� �������� �� �����&����� #�D#5.! ��������� %*����� ���� �� ����� � ������ �� / #D4 ��� ������ �� #�D3 �� ����� �� +�����&����. ����� ��� ���������� ����� ���� �� 3*����� ���� ����� �� ����� ��� � � # ����� ����� ��� �

��#D% #D�4���4 #�D#5� � �/4�%3!

������� �� %*����� ���� �� ��� � ����� ���' �� � # ����� ����� ���' �

��/ #D% #D�4���/ #�D3� � �$>�D$�

�����' �� ��������� �����& ���� � � �� ��� ������ �� ����� ������! � �� ���� �� ������� %H �� #DH �������� ���� ���� �� 3*����� ��� ������� �� �%D ����� ������ ��� �� ��� ��� �� $H �������� ���� ���� ��%*����� ��� ��� ���� �� �54 ����� ������ ��� �� ���� �� ���' �� ����������� �� #*��� �������� ��' �������� /5D ���� �� ���'�D�# %DD�/�/5D � #4�4 ��� �D�D$ %DD�/�/5D � ##�%%4' ��������� ����#*��� ��������� �� D�$5�#4�4 ##�%%4�#�/ � #/�3#/' �� �� #*��� ��������������& �� ����� ����� ���� ��

#4�4 #/�3#/#/�3#/ ##�%%4

� ��

8��' ��� ���� �� �*��� ������� � �� ���� ��� BJ@ �� $ �$' ��� �� ���*��� � � ��������� �����& �� ������ ���� �� �������� ���� � #' � � �' �'��� ���� �� #DD�H �*��� ��������� ,�- � ���� ���� ��� �� �����

,�-�' � � ,��$ �$�#�/�

����' �� �� &��� ����' � ������

$�$ � /4�%3 $>�D$� � #4�4 #/�3#/

#/�3#/ ##�%%4

� �/4�%3$>�D$

� �� �#>> 5>D'

�� �� #H #*��� ,�- �� /�33 #>> 5>D#�/ � �$=#�=4�

�� ����� � ���� ���� � �������� ����* �� ������� �����' ��� ���� ��� �� ����� ��������� ���� ������� ������' �� ��� ���������� ��,�- ����� �� ��� �� ,�- � �� ������� ���� �� �� ��� � �� ��� ���� ,�- � �� ����� ���� �� � ���� ����� �� ���� �� �� ,�- ���������� ��� �� �� ��������� ����������� ���� ������� ������� ������� ������* �� ) �� 9���� $�3 ���� �� ���� �� ������ $ ��� %� ����� �� �� $���� ��� ���& $ ��� % ���� ��� ���& %� �� ���� ����������� ��������� � �� ��� � ���������� � � %��$ � %� � ) �� $ ��� � ����������

��' ���� ��� ��

- ������� ���!����

������ ����� ���

��� ���� �� �������

���������� ����

��.���� ������ � ���

���������� ��� ���

���

Page 17: Chapter 9: Value-at-Risk

#� � � $��$ � %� �� %� ��� �� ������� � �� ������� ����� ���� ���� ��� � �� ��� �� �� ������� � �� ������� ���� ��� " ,�-*�������������* �� ��� �� �� ��� � ���������� � �� ���& $ ��� #� � �� ���& %'���

��) � � �/��$� � �#� ��/��%� � /��#� ������$' %�� �$�=��� ������ ���������� � �� ���� �� ������ �� ��������� ������� +$�=.'����� ������� �� ��$�' ��%�' ��)� ��� ����$' %�� �� �������� � ������ �������� $ ��� % ��� ���� ��������� ��� � ������� ��� ����������������� �������' ��� �� ������� � �� ������� ���� �� ) �� ������� ������ ����������� ���� ��$� ��� ��%� ��������� �� �� ����� � ����6

��) � � �%��$ � %� ��$� � �$��$ � %� ��%��9�� &���' ������� � ���� �� ) � �# ����� �� # ��� ��� /DD ������� ������� ������ �� ������ �� � $ �� # ��� ��� % �� / ����' ����3%5 ���� ���� ���� ��� $ � /DD ��� % � #%5' �� $��$ � %� � D�54=��� %� �$ � %� � D�45/! �� ���� ���� ����������� CD�45/ ����� ���� ������ �� �� #*��� �������� ��� CD�54= ����� ���� � ����� �� ��/*��� ��������� �����' ���� ������� ���� ����� �� ,�- � ������ ��� 8�� ������ ���� ��$� � 4 #D�5 ��� ��%� � 3�5 #D�5' ��� ��������$' %� � 3�3 #D�5� �� ���� ����������� ��)� � D�45/ 4 #D�5

�D�54= 3�5 #D�5 � 3�>/% #D�5� � �� ���������� � � �� ���� �� ��������� � ����� �� $ �� �� ,�- �������� �� ���� �� ������

3�>/ � 4�/ � 3�5�#� ��/ � %�%��#� ����

D�$�/ � D�4�� D�// � D

������ � � �D�3#$= �� D�>%43� ������ �� ������� ���� ����� ���� � ,�-��������� ���� �� ��� �� �� ��� CD�>%43 ����� �� $ ��� CD�/35> ����� ��%� �� ��� ���� ���� ��� �� ����� �� $ ���� ���� ���� ����������� ��

���� ������� ���

A X B

���#�� ��& ����* �� ��������

Page 18: Chapter 9: Value-at-Risk

�� �� �� ��� ���� $ ��� � ���� ����� �������� ���� %� (� �� ���� ����' � $ ��� ������� �� ���� �� ������� � %' ��� �� ,�- ��������� ����* ����� ���� ��� �� �� $ ���� �� ����� ����� �� ���� �����������������

��&�� ������� ���

��������� ,�- �� ������� �� �� �������� � �� ���� ��� BJ@' �� ������� ���� �� � ��������� �� ���������' �� ��� �� ������ ������������� �� �� ���������� � ��������� ,�- ������ ���' ���� �� �� �������� ����� ��� ��������� �� ������ � ���� ��������' �� �� ��� ���������������� �� ��� ��������� ,�- ������� �� � ���' � ��� ���� � ����� �� ������ �� ��������� ,�- ������ � ��� ��������� $ ��� %�9��� �� ���� �� �� �� ������� � � ���' �� ������� � �� ������������ �� ���� ��

�/$�% � �/

$ � �/% � /��$�%'

��

�/$�% � ��$ � �%�/ � /�$�% � /��$�%�

���� ,�- � ��,�-$ � ,�-%�/ � /�#� ��,�-$,�-% #�/� �$�$�

�� ���� ,�- �� ��� �� ��� �� �� ��� � �� ,�-� � � ����� �� ������������ �� �� ��� �������' ���� ��' � � #� 8�� ���� �� ���� �� ,�- ��0$�3�3 ����� � ��������� ���� �� ,�- �� �� �� ����� ���� ������ +��� ������� ��� �� �� �� � 0=�#�#.� ���� �� ���� ��� ��� �� ��� ������ �� ,�- �� �� ���� ����� ,�-� �����' �� �� �� �� ��� � �����������' ���� �� &���� ���� �������� ��������

���� &��� ��� ����� ���� �� ��� �� ��� ���� ������� �� ���������'��� ���������� �� ,�- �� �� ��� ���� ����� ���� �� ������������������� ��� ��� �� �� �� ������ ��������� ���� �� ����� �� ������' ����� �� ���� ��� +$�$. ����� ���� �� ���� ,�- �� � ���� ������ �� ��� � �� ��������� ,�-�� �� ������� ���� ����� �� ������������ � �������� �� �� �� �� � ��� ����� ��� 9L ,�- ���������� �� ��� ���� ,�-�

��&�� ����� ���� ��� +� � � ����

�� ��������� ����� ��� �� ��� ��������6 �� �� ��� ����� ��� ���� ��������' �� ��� �� �� �������� �� �����*��� ,�- ���������� ��� ��������� �� ��� � ����� ��������� �� ��� �� ������ � � ������� ���� �� ����,�- ����� �����' �� ��� ��� ���������� ������������6

��� ���� ��� ��

�� ����� ��� � ���� ��

� � �� � �� ��

��� �� � �� ��

��� ������� ��

������� ��������

Page 19: Chapter 9: Value-at-Risk

� �� ��� ��� ����� �����������' ���� ������ ��� �� ���� ���� ���� ������ ���� ���� �� ������ �� � ���� ���� ����� �� �� ���� �������

� �� ������ ���� �� ���� ��� BJ@ ������������� �� ��� ����� �� ��� �������� ���� �� ������� ��� � �� ������ �� ��������� �����' �� ���� ������' �� �� ���� ��� �� ������ ����������� ��� � �� ��� �� ����#5 � ��� �� ����� �� ���� ���� � ��������� ,�- ����� ��� ���������� ��������� ,�- ����� �� �� ��� ���� ���' �� �� ��� ���� �����*�������� � ���� �� ���� ����� ������ ������������� �� � ���� ������ ���� �� �� ��������� ,�- ����� +������ ��� B�����' /DDD.�

� �� ������ ���� � �� �������� ����' �������� ������� ��� ����&�������� ���� ���� ������' �� ������� �� �� ��������� �����&������' ��������� ������� �� ��� ������ 9�����' ��� �� ����� ���� �� ������ ��� ������ +������ 5.� �����' ��������� +������������. �� ��� � ���� ����� � ��*������� +0#�#.� "�� ������'���� ��� F"-�� ��������� ������� �� ������ +0>�4. �� �� �������� ���� �� ����� ���� � ��� �� �� ������ #D*��� ��������� ����������� ���� ������ ���� �������� ��� ��������� �� ��������' ����� ��� �� ����� ����� ������� �� �� #D*��� ����)���

���� ��� ����� ��������� �� ���� ����� ���� ��������� ,�- ������<���� ��� �� ��� �� ������� �� �� ���� ��� �������� ��� �� ������������ ; ��� ����� ����' ���� ����' ��� ������ ���������������� ��� �� A�����' �� �� ��������� ����� ,�- ���' ���������������� �� ��� ��� �� ������ �� ,�-' ��� ��� ��� �� ������ ����� ��� ���������� ������ ����� +�=�/ ��� �4�5�#.� 9����' �� ����������� �&� ����� ,�- ���' �� ���� �� ��� ��� ��� � � ����� � ����<�� ��� ������ ���� �� ��� ,�- ������ ������� �� ��� ������ ��� �� ����� �� �� �������� ���� ������ +0$�3�4.�

��' /� #�� ��� � ������

������ �� ���� � ���� �� �� � ��������� ������ �� ,�- ������� ������� ��������! ��������� ������ ��� ������ ��� � �� ������������� �� 0$�3�%� ��������� ���������' �� ���������' �� �� &���������� ����� �� ���� ���� � ������������� �����' �� �� ��� ��� �������� �� ����*������ �������� � ������ ���� � ����& ����� ����A��� ���� ��������� �� ����

A��� ���� ,�- ������ ����� � ��������� �����& ��� �� ���� ���������� ����� �� �� �������� � ���� �����&� ��� ��� ��� ��� ������� � ����������� ��� � ��������� �� ����� ����� ����& ������� �����( �� � ��������� �� ����� ��� ������ ���� ,�- ���������� ��

���� ������� ��.

��� ��� ����� ���������

�� ��� ����� ����

��������� ���

���/ ���� ��� ��

���� � ������� � ��

��� ��� ���� ��

�� �� �� �����������

#5 �� ���� ��� �� �� ������ �� ����� �� ��������� ,�- ����� �� �� ���������� ���� ������ �� ��*����� ��0#D�3�# �� �� � ����� ��� �� �����) ��������� ,�- �� ���� �� ���� ��� BJ@ �� ������ �� � �������� � ��&��� � ����� �������� "�� � �� �������� ��� �� �0 #�� � �� �� ���

Page 20: Chapter 9: Value-at-Risk

�� ���� ��������' �� �����*��� ,�- ������ �� � �� ������� ����������&���� ������� ��������� �� ����*� ���� ��� ��� �������� ���� A��� ���� ,�- ������ ��� �� � ���� � ���� ������+F������� ���' /DD#.�

���� ������ ������ �� ����� ������� �� ��������� ,�- ��� A��� ����,�-� �� &����� ��� ��� ��� ��� ����� � �����' ��� ������ ����������� ��� ���������� � ��� ������

��'�� 1�� ������ /� #�� ���

�� ����� ��� ����� ��������� ��������� ,�- �� ��� �������� ������6 ������� ��� �� ��������� ���� �� ���� �� ������� ������ �� �� ���� ���BJ@� 8� ���������� ����� �� ������� ��� � ���� ������������ �� ��� �� �'��� ����� �� ��� � ��*������� ���� ����� �� ���� ������� �� �� ��������� �� ����� ������ ����� ��� ���� ����& ��������� �� ������������������� � ���� ������' �� �� �� ��� ���������� ���� ���� ������������ ����� ���� ������

��������� ���� �� �� �������� ����� ��� ���� ������ �� �� ���� ��� �������' ����� �� � ���� ����� ������� ���� ����� -������� ������ ������ ��� � ���2� ���� � ����� �� ������ ���� ���� �� ��� �� ����������� ���� ������ ���������' ��� ������� ����� ���� 3 ��� 5 ����� ���� ����� ��� ���� �� ��� �� ������ �� ���� ��� ��� �� ��� ��������� �� �������� ���� �����' ����� �� ������ ���� ��� ������ ������������� �� ����� ��������� �� ��� � ��� ������� �� ���� ����&��������� ����� �� ������� �����

�� � ���� ���� ��� � ������ �� �*��� ���� ��� ����� ����� �� ������� ��� � �� ������ �� �� ����� �� ���� ������' ���'

����� � ����' � � � �� ����'�

�� �� �� �� ���� ��� ������ +�� ��� ��� �� #. �� �� ���� ����� �����������+0=�#�/.� ��������� ���� �� ������� �� ��� ��' ��� ��� �� ���� ��� ���������� ��� � ���� �� ������� ��

��� � ��������' � �����''

��� �� �� �� �� ����� ������� ������ �� ��� ����' ��' �� �� ��� � � ����� ���' �� ������ ���� ����� ������������ ���� ����������� ���� �*��� �������� +�� 1�����)�2. BJ@� �� �� ���� ��� �� � ������� ������������ ���� �� �#' � � �' ���

;��� ������� ���� ���� � �������� �� ��� ����� �� ��� �� ������' ��� ������& �������� � �� � ���� �����&������� ���� �� � ���G�����G��������&������� �� ���� �� ������ ���� ��� ����' ������ ��� ���� ��

��� ���� ��� ��

�� ���� ��

�������������

�� ����� ��� ��

����� �� ����� ��

��������� ������� �� �

�� � ��������� ����(

�� �� ��� ������ ��

�� ��������� ��� ���

Page 21: Chapter 9: Value-at-Risk

������� ��� ����� �� �� �������� ���� �� �� �������� ����� ��� ���� ������ +0$�4�3.�

�� ������� �*��� BJ@ ������ �� ������� �� ������� � ��������� � �� �*��� �� ���� �� � ��� � � �� � � ��� �� ��������� ,�-�'� �� �� ���#DD��� ������ � ���� ������������' �� ����� �� 9���� $�4� �� �� � ��������� �� �������� ����� ������ 9�� &���' � ��� 3DD ����������� �� ��� ������ ������� ������' �� ��� #H ��� �� ������� � ��� �� ��� ���������� �� ,�- �� � �� ����� � ��� ��� ����� ����' ��� ��

���� ������� ���

�� ��������� ��

��� ���� �� � �&������� � ��� ����� � � � ��� �

���#�� ��' ,��*��*���� ��� � ������� BJ@ �������

��(�� ��&) B����� � ����� � ��� �������� ���� ����� �� ��������� ,�-

B���� B����� �������

���� �� � ����� ����� ��� ���� ��������� ��� � �������

����� ���� ����� � ����� ���� ���������� �������� ������� +0%�4�/.�

9� �������� ����� ������� ��� �����*��������� ������� ������ ����������� � ���� ������ ��� ������� �� � ���� ����� �� ��*���,�- �����������

"������ �����&�������� ��� ��������' ��� ���� ��������� ����������� ����� � ���� �� �� ,�-������

,�� ��� �������� ���� ������ ���������� � ����� � &��� ��������� ��� �� �� �� ���� ���� �� ����������� ����� �� ������ 1�����2�������������

9��� ��� �� &��� ���� ��� ���������� ���� �� ������ �� ,�- ��������� 1�����2 ����� ���������������� �� ��� �� ������ �� A-- +���� �� ������� ���.�

�� �������� ����� ��� �� ������������� �� �������� ����� ��� ���� ������ �������� � �� ���� ������ �������#%

A����� ��� ������M�������� ��� ���� ���� �� ���� � ��������M��������� � �� ��� ��������' ����������� �� ��) � �� ���� �� ���������� ��� ���� ��� ������

#%����� ��� ���� �� ���� ��� #D ���� �� � ���� ���� ���� �� ����������' �� ��� ���� ��������� ��������� ���� �� � ��� ����

Page 22: Chapter 9: Value-at-Risk

���������� ,�- �� � �� ����� � ��� ��� ����� ���� ����� �� ���� ������ �� ������ �� �� ���� ������

9��� �� ����� � ��� � ��������� �� �� �������� ������ �� �� � ��� ����������� ���� ������ ��� ���� ��� ��� � ����� � ������������' ����� ���������)�' ���� ���� ������ ��������' �� ��� $�3� "��' ���� ������ ��� ����������� ��� �� ������� �� ������ ������������' ��������� � �� �� �� ����� �� ���� ��� BJ@ ����� ����� ���� ��� �� �� ������7 @��� ��� �� ����������' ��������' ���� ��� ����� �������������� � ��������� �������� �� �� ���� ��� �� ��� �� ���� �� ���! �� ���������� ��� ���� ��� ��� �� ��' �� ���� �� �� ����� �� ������ ��' ������� ������������7

" ���� � ������� �� �� �� � &������� ���� ���� ��� ������� ���������� ���� �� 1����� ������������2 ,�- ��� �� 1����� ������������2,�-� � ���� ���� �� ���� ���' �� ������� ����' �� ��� �� � ������ � ��� �� ����� ��� �� ����� ���� � �� ����� 9�� ,�- ����' ������� ���� �� �� &������� ����� � �� &������� ��� ������� �� ���� ���� ��� �� ��� �� ���� ���� ������ ������������ �� ����� �� ������������ �� �&� #D ����' ��� ��� ����� � �� �������� �� ������� ��� ��� �� �������� ���� �� ���� �� ��� �� ������ �� ����� ������������,�- ���� ���� �� ����� � �� A--� ��� ���� ��� ����� � �������������� �� ���� �� �� �� ��������� �������� ��� �� ������� ����� ,�-������' �� ������ ������� ����� ��� �� ����' ������� ����� �� ������������������� �� ���� ��� ����� �� ������ ���� ��� ���� ������ ������� �� ���������� � �������� ����� �����' � �� &������� ���� ������� �������� ��� �� �� ��� ������� �� ��� ��� ��� � �� ���� �� A--������������' ������ ������� ����� �� ��� ���� ,�- �����������

"� �� &��� � ���� 1&�������2 ���� ���� ����� � ��� �� ����� ,�-������������' ������� �� ���� ���� ��� / ?������ #$$% �� / (����� /DDD�� /D E ������ ���� �� ������ �� ��� 4�#� �� ���� ����� ���&���� ��� ������ ������ ����� /D ������ ��� ����� #/DD ����� (�� �,�- ����� � #D ���� �� ����� ������ ���� �� ����� � �� &���������� �� ����� �� ����� �> #D���/D #/DD� �� D�/$H� ��� �� � � /D������ �� ���� ������' �� ���������� � �� &������� ��� �� ������ ��� ��� �� �&� #D ���� �� � ��� ���� 5H� (� ���� ������ ������ � ���� ��� � /D E ������ �� 1&�������2 ����� �� ���� 1�����2�

��'�� ��� � ����� /� #�� ���

������ � ����� ����� �������� ���� �� ���� �� ������� BJ@ ������������' ����� � ��� �������� �� ������ �� ������� �� �������� ����� ������� ������ ��� ��� ���� ��� ���� ����� �� ��� +�� 1���� ����)��2 � �����.� ������ ���� ������ ���� �� �������� ������' ��������� � ���������� � �� �������� ����� ��� ���� ������ ��� �� �&� � ���� ��

�.� ���� ��� ��

+� ��� ��� �� ������

���� �� �� �� � ���

������ ��� �� ����� ���

�� ������ ���� �� ��

����� 0�� ��� ����

�� ������ ���� � ��

(�������� ��

�� �� �� ���� ��

������ � �� ��� ��

1��� � �������

Page 23: Chapter 9: Value-at-Risk

������ ����� A��� ���� ������� ���� ��� ��� �� � �������� �� ������ �� ������ ��������� � ������ ���� �� �� ���� ��� �� � ����2 ���'��� � ��������� � �� �� ���� ���� ��� ��� �� ������ ���� ������ �� �������� "� ���� �� �������� ��������� �����' �� ,�- ����� ������� �� ��� ������ � ���� �������������

�� �� ������� �� ����� ��� �������� �� � ������� ������ (� ����� ��������' �� &���' � ������� ��� �� /*��� ���� ��� ������� �� /D����� ������ �� �� ��� ��� �� �� 3*��� ���� ��� ������ �� 5D ������������ 8�� ��� �� �� �������� � �� ���� ������ ��� ������ ���� ������ � ����2 ���' �� ��� ��� �� ��� ������� � �� ���������� ������ ��� ����� �� �� ���� ���� 9�� ���� ����� �� ����� ����� �� �*������������ �����& �� � �� �������� ����� ��� ���� ������ �� �� ���� ����

A��� ���� ,�- ��������� ��� � �������)� �� ��� �����' ����� ����� &����� ����� �� &��� � � ���� ��� ���� ��� � ������� ���� ������� ; ���� �� �*��� ������ �� ��� ���� ������ �� �#' � � �' �� ������� ��������� �����& �� �#%

#� .�� � ������ ����� �� � ��� � �� � ������� ������ ����� �� 9���� ������� ����� �� �� �*��������� ���� ��� �� �����' �� ���� ������������ � �� � � �������� ������ ������' ��� ���� D ��� #� �� ���� � 3 �� �������� �� 9���� $�5� �� ����� ��� ��� ������ ����� �� ��������� ��� � ����� �� �� ��� ��� ��� ��� ���� �� ���������������� ����� ��� �� ������ � ������ ���� �� �� �������� ������������������ ���� ���� � # ����� � �������� ������ ����� ���+�D' #� �� 2�#>

/� /� � ������� ����� � �������� ��� ����� ��� ��� �� � ������ ����� (����� �� ������ ������������ � ' �� &����� �� 0>�#�/' �������� �� ������ ���� 2 �� � ����� � ����� ������ � ���� � ��� ������������ ��������� ���������

���� ������� �.�

x2

x3

x1

0

1

1

1

0

xi

N(0,1) DistributionUnit Cube

zi

���#�� ��� ������ �� ������� ��� ��������� �������� +�D' #� ������������

#> �� �� ������ �� �� ���� ���� � ������������' ������� �� �������' ��� �� ����� ������������ �� �� �������

Page 24: Chapter 9: Value-at-Risk

3� $���� � ������ ��� � � � ������ � ��� �� � ����� ���� ���� � ��������� �� ��� �� ������� �*��� ���� ��� �����' ��� ��������� ���� ���� ������ ���� ���� � ���� �*��� ��� �� �� ��� �����

��� ��� ����� �� ����� ���� �������� ����' �� ������ ���� BJ@ ����� ��� ����� ���� �� �*��� BJ@ ������������ �� �� ���� ���� ������� ���� �� ���� �� �� ����� � ���� ������' ���� ��' �� �������� � �� �������� 9���� $�% �������� ���� � ��� � � ������ ������ �������� ���� ��� �� ��� �� �� ���� ������ ���� ��� ��' �� �����' ����������� �� �� ���� � �� ��� � � � ��� �� �&� ���' �� �����' �� ���������� � ���������� �� ������ ��� � �� ���' �� ����� ��� �� A������� ,�- ������ �� ���� �������� ��� ��� ��� �� ���������

�� ������ ��������� � A��� ���� ,�- ������� �� ����' � �����'��� ���� ��������� � ������ �� �� ��� ��� ���' �� ���� ������� ������� ������ ��� ��� �� ��� ���� �� � ��� ���� ��� ���������� ����� ������ ����������� ?��������� ��� N�� +#$$>. ���� ��� ����������������� ������� ��� � ��� �� ���� ������� ������� �� ������������ ������ �� A��� ���� ,�- ����������� �� �� ��� �������� �� ����������� ������� ������' ���� �� ����������� ������' �� ���� �� ����� � ����� �� � ���������� ����� �� �� ������ ��� �� ���� ����� � ������� ������� �������� �� �������� �������� ������� �� ������� � ������� �� ���� ���� ��������� � ������ �� �� �����

���� # ��� / ��� ����� ��� ���' ��� � �� ����� ���� �� ��� ��� ��� ���*��������� ��� �� � �� �������� �� ����� ��������� � ���������� �������� ������� ��� ������ ,�- �������� �����' �� �� � �� �� ��� ������ ����� ���� � A��� ���� ,�- �� �� ���*��������� ���� �� �� ���������� �� ��� ��������� � ���������� � �� ���� ��� ������ � ������� ��� ���� �� ���� ��� �����&���� ������� �������� �� �� �� � �����'�������� ������� ���� �� ����& ������� ��� ����� �����&�������� ������ ��� ��� ������ +0$�4�3.�

�.� ���� ��� ��

�� ����� ��� �� 2���

����� ��� � � �� !

���� ��� ���� �� �

� ����� �� �����

������� �� ����������

�� �� ��������� ������ �

������� �� ���

���#�� ��� ������ �� ������� ���� ��� � �������

Page 25: Chapter 9: Value-at-Risk

�� ���� ��������� � A��� ���� ��������� �� ���� �� �� ���� ����*���' �� �� �� �� ������ ����*������ �������� � ����& �������� ���'���� ��������� �������� �� � �� ����� ����� �� �� ���� � ��' �� ������������ ����� �� ���� ��� ���� �� ,�- ��������� ���� ������ ������������ � A��� ���� ,�- �� �� �� �� �� � ��������������&' ����� ��������� ������ �*����� ����� � ����' ��� �� ��� ������� �� ��������� ����*� ���� ��� ��� ��������� ( �� �������� ���� �� � ���������� �� ���� �� ����� �� ,�- ���������� ������ �������� ��� ����

��'�& 3�� �45� � �$$��0� � ����

�� ��� � ����� � �������� ������� �� ,�- �� �� ������ ���� �������� � +����G ����. �������� ��� ��� ����� � ����� � �� �������� �����&�������� ���� �� �� ������ F����

��� �����&�������� �� ������� ��� ����& ���������� ��' � �����' ������������ ;��� � ��� �����&������� �� ���� ��� ��� ������ �� ���� ����� ������� � �� �������� ���� ���� ������� ��� �����&�������� ������' ��� �� ,�- ������� �� ���� ��� ���� �� � ��� ���������' �� ������� ��� ���� ����� �� ����&��� ���� �� ��� �����&������� �� � ��������&�������' ������ ���� ��� �� ��� ������ �� �� �������� �����9�� ,�- ������ � �� �� ������� �� ��� � �� BJ@ ������������' ���� ��'�� �� � ��� ���� ������� 9���� $�> &����� ��� �� ,�-�����&������� ����� ��� � ���*��� ����������� ��� �� � ����� �������

�� � ��0�����G� � � �� � ����� �� � �����*���� ����� &������� � �� ���� ��� ��� ����� ���� ����� �� �� ������ �� �� �������� �����+����� �� �� ����� �'.� ���� ��'

�� � ��� ���/� #/�/���/' �$�#D�

���� ������� �.&

S0S1 S

P (S)Portfolio ValueFunction

DeltaApproximation

Error at S1

���#�� ��. :���� ��� ���*��� �����&��������

Page 26: Chapter 9: Value-at-Risk

��� � �� �� ������ �������� � �� ���� ��� ��� ���� ����� �� ���' � �� ������ � ���� ������ ��������� � �� ���� ��� ��� ���� ����� �� ����������� � /' ��� � �� �� ������ �����& � ����� ������ ������������� ����� �� /� ;������ �� ���� ���' +$�#D. �� �� � ��0������ �� � ������

9���� �� ���� �� ������ ����� �� ������ �� ������ ������������9�� &���' �� ������ ��� ��� ����� ��� � ������� ����� ������� ���� �� ������ �� ���� ��� �� �� ������ ���� '' ������ �� ��������� �+'. ��� �� ��� ������������ ���� ��� ��� ���� ����' �� '� � ���'� � �� ��� �������� ' �� �� ����� /� ��� �� ��� ��� ����������������� �� ' �� �����&����� ��6

� � ���'� �� � ��'� �� �/� �$�##�

���

� ���'� �� � /��'� � ��'� �� ��/� �$�#/�

�� �������� � �� ���G����� �����&������� ��� � ���� �� �� �������' �� ��������� �� ���G����� ��� ������ ���� �� � ����������� ������ ��� � ������ �������� ������ � �� �����&������� �� ���������� �� ������ � �� �� ����� �� ����� �������� �� ������ ���� �����'�� �� � ��0�����0� ��0� � � �� � �����

�� � ��� ���/� #/�/���/� � ���' �$�#3�

��� � �� � ����� � ���� ������ ��������� � �� ���� ��� ��� ���� ������� �� �������� � ��� �������� � /' ���� ����� � ��������� ��������� ��#= ���� ��� �� ��������� � �� ��� ����� �� ��� ������������ ���� ���� �� ����� �� ������� �� �� ��� �� ���� �� ������������' ��� ���� ��� ����� ��� ������������ �� ��� ��� �� ��������� � �� �������� ����� ���� �� �������� ����� A�� ����� ��� � ���� �� ���

�� ���G�����' ���G��� ��� ���G�����G��� �����&�������� �� ��������� �� � ���� ��� ��� �� ��������� �� �� ��� �� ��������� ,�-����� ��� �� ������� ����� �� �� �����&���� ������� ���������� � ��������� �� �������� ��� ���*���������� F������� ���+/DD#. ���� ��� �� �� ��� �� A��� ���� ,�-' ��� �� � ������������&������� ��� �� � ���� �� �������' ���� � ����������� � ���������������� ��� ������ �� ������� ������� -�����) +#$$>. ����� ��� �����G����� �����&������� ��� � ��� �� �� ������� �����&������� �� ��,�- �� �� ������� ���� ����

�.' ���� ��� ��

�� ����3�� �� ����3

��� ��� ����3�� �3

��� �����(� ����� ��

�� ���� ����� �

�� �����(� �� �������

�������� ��� ����

���������� � �������

��� �� !���� ���

#= ���� ������ ���� �������� ������ �� �������� � ���� ������' ����� �� ��� � ����� �����&�������+0/�3.�

Page 27: Chapter 9: Value-at-Risk

��� ����� ����� ���

,�- ���� ��� ���� �� ������� ����� �� ��������� A--' ���������� ��� �� �������� ������� �� �� ������ ���������� � �������� �� ���� ���� � ���� ������ ������� �� ���������� ������������� �� ������ �� �� #$$% "������ ��� �� ���������� � ��������������� ���� ���� ������ ���������� �� ����� ���� �������� ��� �� ���,�- ���� � �� ��� ���� �� ��� ����� �� �� ��� ���� ���'����������� �� ������� ������ � ���� �� ��� ������ ,�- ������� ���� ��� ������� �� �� ����� � ��������� ���� ����� ��� ����������� �������� �������� ���� �� �� ��������� �����&� "������� � � ,�- �������� ��� �� ����� �� ������� � �� ���������� � ����� �� ����������� ��� ������������

����� ���� �� ��� �� �������6 ��� ��#�� ��6 ������"��� ���

" #H #*��� ,�- ����� ���� �� � � ��� ���� ���� � &��� ������� ����� ������������ �� ��� �� ��� #DD' � �� ���� ��� �� ���������� ���� ��' �� �����)� BJ@' ��� ��� �� �������� BJ@' � �� ���� ��� �� ���� � ��� ����� ���� �� #H #*��� ,�- ������' �������' �� ��� �� ��� #DD� � � �� ������� ,�- ��� �� ���� ��� ������ � #DDD ���� �� ���� &��� #D ���� ���� &�� �� � � ,�- � �� ��� �� �������� �����' � �� ��� �� ��������� � ,�- ���� �� �����' ��� ���� #D &������� ���� �� � ������� ��� 1&�������2���� �� �������� �� 9���� $�=� ��� ��� �� ����� � �� ,�- ����������� ���� �� ������� �� �� #$$% "������ �� �� ��� "������

�� ���� ����� � &������� ���� ��� � ������ �� � ������ ���������� ��� � ������� ������������� �� ���������� � 1������2 +�� &����������. �� � � D�D# �� � #H ,�-' ��� �� ����� � ����� � �� �� ����� � ���� �� �� �������' ��� � � #DDD� ��� �� &���� ����� � &������� ����

���� ������� �.�

P&L

VaR

Exceptions

���#�� ��� ���������

Page 28: Chapter 9: Value-at-Risk

�� �� � #D ��� �� ������� � �� &������� ���� �� ���#� �� � $�$���� �� �� �������� �������� �� $

��$ � 3�#4% ���' ����� �� ��� ���� �

������� ������������ �� �����&����� ����� ��� � �� ��� ��� � �� ���' �$$H ��� ���� ������ �� �� ����� � &������� ����' �������� ������ ,�- ��� �� �������' �� �����&�����

���� ,D�DD5 ��

���#� ���' ��� ,D�DD5 ��

���#� ���+� 0"�/�#.� �� ���� &��� �� �����

�#D� /�5>% 3�#4%' #D� /�5>% 3�#4%� � �#�=$%' #=�#D4������ ��' � �� ����� $$H ��� ���� � �� ����� ���� / ��� #=&������� ���� � �� ,�- ��� �� ������� ������' � �� ,�- ��� ���������' � �� $DH ��� ���� ���� ���� 5 ��� #5 &������� ���� �� ������� �� �� �������' �����

���� ,D�DD5 ��

���#� ���' ��� ,D�DD5 ��

���#� ���� �#D� #�%45 3�#4%' #D� #�%45 3�#4%� � �4�=/5' #5�#>5��

�� #$$% "������ �� �� ��� ������ ������� �� ��� � �������� �������� � �������� �� ���� ������� �� �� � ,�- ��� �� �� ��������� � A--� -������� ������� ����� �� ��� /5D ���� � BJ@ ���� ��������� �� #H #*��� ,�- ���� �� ������� �� �� ������ ���� �� �������� � �������� ������� ���� �������� ��� ����� BJ@�#$ ;���� ����� ����� BJ@ ���� ��� �� ��� &������� ������ �������� ���� ��������BJ@ �� ���� �� �� ����� � �������� � �� ���� �������� �� ������ ������� &��� �� &�������' ��� � ������ �� ���������� ����������� ����� ���� ������ BJ@ ��������' ��� �� ������� �� ��������

9�� ��� ��� � ��������� �� �� ���' ���� �� ����� ��������� �������' �������� �� �� ���� �� ���� �������� � �������� ���� ��� ���� � ��� ����� � ��������� ������ ����� �� ���� ��� �� �� �&� ��� �� ��� � ����� /5D ���� �� ,�- �� ������� ���� �� BJ@ � �� ���� ���� �� ������ &������� ���� ��� �� ���� /5D ���� �� ��� �������

9��� �� ������� ���' �� �������� ���� �� � #H ,�- �� � ������� ��/5D ���� �� �� /5D D�D# D�$$� � /

��4>5 � #�5>3' �� � $DH ��� ����

������ �� �� ����� � &������� ������ � �� ,�- ��� �� ��������/�5� #�%45 #�5>3�� ���� ��' �� �� �����&����� $DH ��� ���� ���� ����� ���� 5 &������� �� ����� ��� �� ,�- ��� �� �������� ������������ �� ����� ���� ,�- ���� ����� ��� �� �� 4 &������� ���������� �������� �� �� ������ ���� ������� ���� �� ���������� ������������ ���� �� ��� 1��� )��2 ���� ��� ��� � ������� � � � 3 ��

�.� ���� ��� ��

4���� �� ��� ������

$%& ��� �� �� ��

(������ ������

������ ���� ���������

$%& ���� ���� �� ��

����� �� �������

�������� ���� ���

������� ���� ��

�� ��� �� � ����!���!

��� ������

#$"���� ������ �� BJ@ ��� ��������� ���� ������ �� ��� +�� ��� ��� �� ���� ��� �� �� �� � �����.' �' ����������� ��� �� ����� �������� BJ@ �� �� BJ@ ���� ���� ��� �� ������� � �� ����������� �� � ���������

Page 29: Chapter 9: Value-at-Risk

�� ��������� � A--�/D � ��� ���� ��� &������� �� ������ ��������� ������� �� �� � ��&���� � 4 �� ����� �� ��� $�4 +��� 1��)��2 ���� ��� �� ��� � �������.� -������� �� ��� �������� ������ ��� ��� �� � ����*���* ��� ������� �� ������ ��� � ��� � ������ ��� �� ���������� ������� ������ �� ���������� �����'���������� � �� ��� ��� �� ���� � �� ������� ��������� �� ����� �&���� ���� �� ����� � �� �������� �� ���� �� �� ���� ����� ������

����� /���� ��� 6 ����6��� ��� ����� �� $������

,�- ������� �� ����� ������� �� �� ����������� � �� ,�- ��� ����� ���� �������� ���� �� �� �� � ���� 9�� &���' ��������� ,�-���� ��� A��� ���� ,�- ���� ���� ����� � ��������� �����&' ���������� � ����� ������ ���� ����������� ����� �� ����� � ���� ������ ����� ������� � �� ��� ��������� �����& �� ����� �� ������ ����������� ,�- ��� �� A��� ���� ,�- � � ���� ���� ��� ����� ���� � ��� ������ �� ����� ������ �� ��� ����� �� ���� ��� ��� � �������� �� �� ��� ����� �� ,�- ��������� �� �� ��� �� ���� �� ������� � �� ����� �� ���������� � �������� �� �� �� ���� � �� ���� +���� 0#D�3�#' �� &���.' �� � ��� � ���������� �� ���� ����� �� ��A��� ���� ,�-�

��������� ,�- ���� ���� ����� ��������� ������� ��� �������������������' �� �� �� � �� �� ��� ���� ��������� ,�- ������� �� ������������ ��� ��������� �� A��� ���� ,�- �������� � ���� �� ������ � �� ��� �� ����� ��� ����� �� ���������� � �������� ���������� +0#D�#.� (� ����� ��� ��������� �� �������� � �� ��������������& �������' �� �� �� ���� �� ������ +05�#.� � ����� �� ��������� �����&��� �� �������� ����������� �� ������� �� � � �����' ��� �� �� ���������� �� �� �� ��������� ,�- ������ ���� �� ���������' ��� ���� �� ���� ���� �� �� ������������ ����� � ��������� ������ �� ��� � ��� �����' �� ��

���� ������� �..

+� � ���� �� �� ����

��������� ��� ���

����� ����������� ���

��������� �� 2���

����� ��� ���

��(�� ��') A������� �� �� ��������� � ����� �������������

N�� 8���� � :&������� A������ �

F�� E� �� 4 35 3�D4% 3�D5

O�� > 3�%5= 3�>5$ 3�=5

-� #D �� ��� 4

/D�� ����� ���� ������ ����� �� � ���� �������2� ,�- ����� �� � ���� �� ����� � �� ��� %D ����2,�- ������' ������� �� ������

Page 30: Chapter 9: Value-at-Risk

BJ@ ������������ �� ���� �� ��� � � ������' �� ����� ��� ,�- ��������� ��� � ������ �� ������ �� �� ����� -���� ����� � ���� �� �������� �������� ��� � ����� ��������� ����� �� �� ��� ������ � ��������� ����� � ��� ��� � ��� �� ���� ��� &��� ������ �� �� ���� ������ ���� ��� ��� ����� ��� ��� �� ����� ������ �� ��� ���� �����

;�� ��������� �� ������ � ,�- ��� �� ���� ������ ������� �� ���� &���� ���� ,�- ����' ���� �� ��� � ���� ����� �� ��� $�#' ����� ��� ������� ����������� �� ������� ���� �� ���� � �� ���,�- ��� �� ��� � ��������� �����& ����� � ���� �����' �� ����� ����� � ����* �� ���� �� ����� ���� � ��� �� ������ �� ���������,�- ���� �� ��������� ��� ���� ����� ����� � �����' ��� �� A������� ,�- ���� �� ����� � ����������' ��� ��� ������� ��������������� ����� ��� � ��������

�� �� �� �� � ���� ������ �� ��������� ��� ������ �� ,�- ������� �� ���� ��� ������ � ���� ��� ��������� ���� ��� � ������ ����� � ��������� �������< �� &���' � ��� � ��������� ,�- ������� �� ����������� ���� ����� �� �������' �� � ���� � ��������� ,�- ���� �������� ���������� �� ����� +� � 9���� 5�4.� ��� �� ���� ����������� ���� �� � ��� ����� �� ���� � �� ,�- ��� �������� ���� ��� � ���������� ������� �� � ������ ���� � ��� �������� :�� � �� ,�-��� ������ �� �� ��� � �� ��������' � �� ��� ��� ���� �� � ������ ����� ������ �� ������� ����������� ��� �� � ���� ����� ���� �������������� ����� �� � ����' ��� �� ��� �� � ���� ���� � �� ������ )���

��� /������� ����6��� ��� / ���� ��� ���

�� ��� ���� � ���� ������ �� &���� ��� �� ���� �������������� � ���� ���� ��� � ������ ������� ������� ������� ��� ����� ������� ������������� &����� �� ��� � � ���� ��� �� �� �������� ���� ������ ��������� ��� ���� ������ ����� ���� ������ �� ��� � ���� � ��������������' ��� ������ � ���������� �� ���� � ������������ ���� �� &������ ����� ����� ������������' �� ���� �� �� ���� ��� ��� ��� ���� ������ �� ���� �� &��� ����������

��� �� ���� �� � ���� �� �������� ���� ���� ����� ������� �������� ������*���� ������ ���� �� �� ����*��* ���� ������� +����' /DDD!���� ���' /DDD. �� ��� ���� �� ������������� ����������� ��� ������������� �� ����*������ �������� � ��� ��� � ��������/# �� ����� �� ��� ���������� ���� ���� ����� �� � �� ������ � ���� A-- ������������*���� ���������� ����� ���� ������ ,�- �����

�.� ���� ��� ��

+� � �� ��� �� ���

������� �� ��������

��� ����� �� ���

�� �� �� �� �������

����� �� ���� ���

���� ��

/#A�� ����� �� ������ ��� ��������*��* ���������

Page 31: Chapter 9: Value-at-Risk

����� /������� ����6���

"� � �� ������� � � �������� ������� �� ���� ����� ��� ���� ������ ���� �������� �� �� ��� �� ��� ����� � � �����' � �� �������� ������������ ��������� ��� �� ������ � ������ � �������� �� �� �������� ��� �������� �� �� � ���� ������ ����� � �� ��� ������� ������� � ���� �������������� � &������ ��������� ��� �� ��� ������ ��&���� �� ���� ��� ����� � ������� ����� ���� ������� ��������� �������� ����� ������� �

� ��������� ������� +�� ���� �� ���� ���� ��� � �����*���� �� &�������� ���������� �� ������� �� 0$�%�3.!

� ����� ������������� �� ���� ������ ��� ��������� +����� �� ��� �������� �� &���� ��� � � ���� ���' �� ������� �� 0$�%�/.!

� ��� ��� ���' �������� ���� ���� �� ���������� ����� �� ����������� ���������� +��� ��� � ������ ����� �� ����� ������ ��0%�3.�

�� #$$% "������ �� �� ��� "����� ��� ���� ������� ������� � A-- �� ���� ������ ��� ������� ��������// -������� ����� ���� ����* ���� �� ���� �� � ���� ���� �� � ��� ��������� �� ���� ������� ��� ��������� �� �������� �� �� �������� ���� ������ ��� ���� ����� ���������'�� �� ���� ��� � ������� �� ��� ���������' �� ����� �� 9���� $�$�

9���� $�$ ����� �� ��� � ���� ���� ���� � ��� �� ���� �� �� EK����� ������ ���������� �� �������� ���� ������ �� �� 9� : #DD ���&��� �� ��*��*���� 9� : #DD ����� ��������� ���� ������ ���� ��

���� ������� �.�

- ����� ���������� ���

���� �� ����������

�� �� ������ �

������� �� ������ ���

� �� ����� ���

�����

P&L

64805520

15%

25%

���#�� ��� ������ ��������

// ��� �������� �� ���� �� ���������� ���� ���� ���� ����� � �������� �� ������ �������������

Page 32: Chapter 9: Value-at-Risk

���� �� �� ������ � ���������� ��� �� �������� � �� ���� �� � ��� ���=H �� �� ��� � �� 9� : #DD ��� �/5H �� "�A ��������� ���� � ��9� : ���& �� ������� �� %DDD' ��� "�A ����� �������� �� ������� /DH'�� ��������� �� �� �� +55/D' %4=D. �� �� ���& ��� +#5H' /5H. �� ��"�A ��������� �� �������� ��� �� �� ������ �� �� �������� ��� ������� �� �������� ��� ��������! ��� ��� �� +�3DH. �� ���� �� �������������� ��� ���� ��� �� �� ���� �� ���� ��������� +��� �=H �� #��� ��� �3H �� 5 ����.�

" ���� ����� ���� �� � ��� �� ���� ����' ��� �� ������� � #DD ������ �� �����& ��� #H �� �� ����� ��������� �� ��� ����� �� ���� �� ���������� > 3 ������ +��� ��������� �� �� �������� ��� ��� ��������� �� ������� ��������.� �� ������� ��� ��� ����� ��� ������ ��� �� ������� ����� ������� ���� �� ��&���� ��� ���� �� �� ���� ������ � ��� �� ��� �� ����� ��&���� ���� ��� �� �� ���� ��� �� ����� �� �������� �� ���� ���� ��� ��� ������� 1���*�����2 �� ��������' ��� ������ ��� ���� ��� ����! �� ���� �� ��� � ��� ����� ��� ������ ��� ������ ��� �� ����� �� ��� ������ ����� �� ��� ����� :������ ����&���� ��� � �� ���� ��� ��� � ������ �������� �� �������/3

� � ��������� �� ���� �� ����� ��� �� �� �� �� ���� �� ���� ��� ���� ���� �� �� ������� �� ����� ���������' ����� �� ���� ��� �� ���� ������ �� � � ���� ������� � �� �������� ��� �� ��&���� ��� ������� �� �� �� ���� &���� ������*���*������ �������� �� ����� ������ ���� ��� �� ����� ���� �������� ������' ��� �� �� ��������� �� �������� �� ������ �� ��� ���������� ��� �#DD ����� ������ �� �� ����������� ����� ���� �� �%D ����� ������ �� �� ��� ������� � �� ��&������� ������ �� �#DD ����� ������ �� �� %G$*����� ����� ��� �#DD ����������� �� �� $G#/*����� �����' ���� �� � ����� ����� �������' �� ��� ����� ��� ������ ������ ������� ������� �� ��� �� ������*���*������ �������� �� ���� ����& ��� �� ������� ���� ����� �������� ������ 9 " F������ �� ������� ���������'/4 �� �������' �� ����� ������

���� ��� � ������� ������� �� �� ���� �� � ���� ���� ��� � ������������ �� ������ ������ ��� ���� ���� ��� ��� ������ ��������' ��� �� A--�� ��� �� ��� � � �� ��&���� ���� ���� �� ������ ��� ��� ���������������

����� *��(�(���� �� /������� ����6���

� � ���� ��� �� ������ ���� ��� �� ��&���� ��� ��� � ������� ������ ����� �� � ��� ����� �������� ����� �� ��&���� ��� ������ ���

��� ���� ��� ��

/3E� � �� ���� �� �� ������ ���� ��� � ������� �� ������ ��� ���� ������

/4 ���� ���������M����M����������

Page 33: Chapter 9: Value-at-Risk

�� �������� ���� ���� �� ������� �������� �� �� ��� ��� �� ��� ������������� ������� �� 5H� ���� �� ��� ����� �� �����6 �� ���������� ��0/�3 ����� ���� ��� �� � �� � ������ ������ ��������� ���� ����� ������������' ���������� �� ����� ������� �����' �� ���� ���� ��A-- �� ������ �� ���� ��� ������� ���� �������� ���� ���� � �����' ���� ��� �������� ���������' ��� �� ����� � ����� ������� �� �� ��� � ��A-- �� � ����� ����������� ���� �� �� &��� ��� ������������� ��� ��� ������ ���� ���� �������� ��������

"������ �� �� ������� �� ��� ��������2 ��� �� ����� ���� ����������������' ������ ���� �������� ��� ���� �� �� � ��� �������������������� ��� �������� �� ���� �������������� � � ���� ���� 9�� �� �����' ������� ���� � ������� �� ���� �� �������� ��� �� ����� ������������� � ������ �����' �� ���� � ��� �� ������� �� ������ ��� ����&���� ���' ��������� � ��� ��� �� �� �� �����' ��� �� &���� ��� � � ���� ���' ����� ������� ����������� ����� �� ����� ������������ � ��� ���� �������

" ���� ��� ���� ����� �������� ���� �� ����� � ����� ������������ ��������� �� �� �������� ���� ��� ������� �� ��� ����� �������� ���������� �� 0/�3�4� " ����� ������������ � ���� ����� �������' ���� �� ��������� �� 9����� /�$ ��� /�#D' ��� � ��� �� ������ � ��� ��������������� � �� ���� ���2� ���� ��������������� �� &���� ��� � ������ ��� ��� � ������� �� ��������� �� ��� �� �� ��� �� �� ��������������� ��� ��� ������� ��� �� ���� ������� ����� �� ��������' ����� ������ �� ��� �������� ��������' �� ������� �� �������� � ���������� � &���� ����

����& / ����,��� ��� *�� "�����

�� #$$% "������ ��� ��� ������� �� �� �������� ��� ���������������*������ � ���� ����� ���� ����� ����� ����� ������ ���� ���� ��6

� �� ���� � �� �������� ���' ���� �� �� ���� ����� ���� A���������� �� #$=>!

� � �������� �� �������� ��� ��������� ���� �� ��������� ���� � ��������!

� ������ �� �������� ������������ �� ����� ����

" ��� ���� � ����� ��� ��� � �� ���� ����� � ��������� �����&� �� ����������� ��� A��� ���� ,�- ���� � ���� �� ������ �� �� ���� �������� ��������� �����& �� � ��������� �����& ���� � ��� �� ����� ����:�� ��� �� ,�- ��� ��� �������� ���������' �� �� ������ �� �� ��� ������� ���� ����� � ��������� �����&� 9������ �� � ��� B�� +#$$>.' � ����� �� ����� � ������ ���� �� ��� �� �� ��������� ,�- ���' ��������� ��� ���� ������ ��������� �����& � ����� ���� 7 �� � �����

���� ������� ���

��� � �� (� ��

��� ��������� ������

�� ��� ��� �� ����

��� ���� ��

�������

+� ����� � ��

����� ���� �� �� ���

�� (���� �� �� �

���������� ���� �������

�� ����� ����� ��

.���� ����������� �� ��

��� ������

5�� ��� �� ���

��� � �������

� �������� �� � �����

�� ����� �� �� ��

���� � ���������

����(

Page 34: Chapter 9: Value-at-Risk

��������� �����& +� �� � �� ���� � ��� ���.' ��� � � ��� 3�������� ���� �� ������ ������������� � ���7� 8�� ����� ����� �������� ������ ���� � ���� ������ ����� � ������ �P � 3��#�� ��������� �� � �� �� ���������� � 7 ����� ���� ��� �� ����� ��� ���� ���� ����� �P �� �� ��������� ,�- ��� �� ��� � �� ����� �������������� ��

;��� ��� � ��������� �����& ����� � ��� �� � ����� ���7 � �� ��� ��������� �� &��� ��� ���� ������ �������' ��� �� �� ����� �� ��������������& ���� ������� �� ���� ���� �������� ���� �� � ����� ��� ���� ������������ �� ��� � &��� ���� �� ��� �� � ����� �� ���� ����������������� ������� ���� ����� ���� �� ��� &��� ���� ��� � �������

� �� ����� ��� �� �� � ����� �� �������� ������������ �� ����� ��� ����� ������ �����& ��� � � �� ��������� �����& ���� � ��� ������ �������� ������ ��������� ���� �� ��� ���� ������ 9�� &���' ������� ���������� �����& �� ��������� �� :����� :������ ����� ������� �� ���� ������ ���� � �� �� ��������� �����& �� � �� ����� ����� ������ ����� ����� &����� ����� 9������ �� &��� ��� �� �� ������'������ �� �� ������ �� ������� �� ����� ��������� ���� ������ 5 ����������� ���� �� �� �� ���G��� �����' ��� ���� �� ����� &���������� ����� ��� ������ ��� ���� �� �� ��� /5 ���� �� ��� ��������� &������ ��� �� �����&���� ����� ��������� �����& ��� �������� �� ��������� � ���� �� �� ����� ���� ��� �� �����G9L���� � �� �����& �� 5' ��� �� ���� �� �� 9L ���� �� /5� ( �����'�� �� ��� ������ ���� �� ������� ��������� �����& �� � ������� ���*� ����� �� ��� ��� �� ���� ���� �� �� �� �� ��� ������������ ����� �� � ����' ����� �� �� �� ������ �������� ����������� ����� ���*��� ,�- ����� �� �������� ��� ��

9�� � �������� � ��������� ��� ���������� �� �� ���� �� �� �������������� � � ��������� �����& ���� �� �������

� 3�3'

��� � �� �� ��������� �����& ��� 3 �� �� ������� �����& ���� ����������������� ���� �� �������� ���� ���� ��� ��� �� � �� ���� ����������� �� ��������� ������� ��� �� ����������' ��� �� �� ��� �������� �� �� ��������� �����& ���� �� � �� �� ������� � ������� � �/5 -���� �� ����� ���� ��� ����� �� ����� ,�- ������� �� �� ,�-��������� �� �� ��� (� �� ��� �� � �� ����� ��� ��������� �� ���+�������. � ������ ����� ����' ��� �� ������� ,�- ������ �� ������ ���*������� ��� ��� ������ �� �� ��������� �����& ���� ��������' ��� �� �� �� ��������� �� ���� �� ������� � ������� +0>�#�3.�

��� ���� ��� ��

/5 �� ������� ���*� ���� � ��� ��� � 0 �0� D �� � 0 �� �� ��� 0 �0 � 6 ��6 ��� 6 � 30' ���' ���� 3 ��������� ���� ������� ����' 6 �� � � ��� ��� � 0 �� �� � �� ������� ���*� ���� � ��� ��� � � ��������� ���*� �����

Page 35: Chapter 9: Value-at-Risk

�� �� ����� ��������� ���� �������� ��������� ������� ��� ����������������� �� ���� ������� ������� ��� ����� ������ ���� ���� +?������������ N��' #$$>.� -�� ��� 0%�# ���� � �������� ��������� �������������� � ������ 8 � *7 � ��� 8 �� � �� � ���������)� ������' * �� � �����&� �������� ��������� ���7 �� �� �����& � ����� ������ �� +%�/.� ���� 8��� * ��� ������ ���� ������ ��� ���� +�� ������ � * �� ���������� ���������. ��� 7 �� � �����& � ���������' ����� ������� ����������� �� �� ������ ����*������ ���������� ��� ��� �� � �� ������ �������� �� ����� ������ �����& 7� �� ��������� � ���� ���������� �� ������ �� ����� ��� �� ��������� �������� ������� ���������� �� �� � ��������� �����&�

9�� +#$$=. ����� ��� ��� �� �� �� ���� � �������� ��������� �� �� � �� �� ������� ������� � ������*���*������ ��������� O�� ����� �������� ���������� � �� �������� �������� �������' ��� �� ������������ �������� ��� �� ������������ � � ���� ��� � �� �� ��� ����+0%�/�#.� " ������� ���� ������� �� ���� �������� �������� �� ��������� � #DD ����� ������' �� &���' �� ��� �� � ������������� ����� ����� �� �������� �� �� � ���� ��� � ��������� ������'�� ����� �������� ������� � ��� ���� ��� ��� �� ����� �� ��������'�� �� ��� ������ ��� ����& �������� �� ��� ���� ������� ����� ����� � �������� �� �� ���� ��� �������� ����������

���� ������� ��&

$�������� �� �����

������ �� �������

����������� �� ����

������ ������ ���

�� ����� ���������