Chapter 7 - Magnetic Domains and Domain Walls

7/28/2019 Chapter 7 - Magnetic Domains and Domain Walls

1/33

C H A P T E R 7

M a g n e t i c D o m a i n s a n dD o m a i n W a l l s

T h e c o m m o n s i tu a t i o n e n c o u n t e r e d i n b u l k m a g n e t i c m a t e r ia l s is t h a t th em a t e r i a l is s u b d i v i d e d i n to magnetic domains. A n e x a m p l e w a s s h o w n i nF ig . 1.2 . T h e m a g n e t i z a t i o n i s p r a c t i c a l ly u n i f o r m i n s i d e e a c h d o m a i n , b u tv a r ie s f r o m d o m a i n t o d o m a i n . T h e i n te r fa c e l a y er s s e p a r a t in g o n e d o m a i nf r o m t h e o t h e r a r e k n o w n a s doma in wal ls. W h e n W e i s s p r o p o s e d t h em o l e c u l a r f i e l d h y p o t h e s i s t o e x p l a i n t h e o r i g i n o f f e r r o m a g n e t i s m , h ea ls o su g g e s t e d t h a t t h e s u b d i v i si o n i n to d o m a i n s c o u l d b e th e m e c h a n i s mc o n c i l i a t i n g t w o r e q u i r e m e n t s t h a t a t f i r s t s i g h t s e e m c o n t r a d i c t o r y : af e r r o m a g n e t i c b o d y s h o u l d b e m a g n e t i c a l l y s a t u r a t e d u n d e r a l l c i r c u m -s t a n c e s , b e c a u s e o f t h e a c t i o n o f t h e m o l e c u l a r f i e l d , b u t , a c c o r d i n g t oe x p e r i e n c e , i t i s n o r m a l l y f o u n d i n s t a t e s o f s m a l l o r n u l l m a g n e t i z a t i o na n d i t i s p r o g r e s s i v e l y m a g n e t i z e d b y r e l a t i v e l y lo w f ie ld s . W e i s s' s su g g e s -t i o n a r r i v e d m u c h e a r l i e r t h a n a n y t h e o r e t i c a l p o s s i b i l i t y t o e x p l a i n t h ee x i s t e n c e o f d o m a i n s o r a n y e x p e r i m e n t a l m e t h o d t o o b s e r v e t h e m . T h es i t u a t i o n h a s e v o l v e d s o m e w h a t s i n c e t h e n . W i t h t h e d e v e l o p m e n t o fe x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s , i t h a s b e c o m e p o s s i b l e t o p r o d u c e n e a t a n dd e t a i l e d i m a g e s o f m a g n e t i c d o m a i n s t r u c t u r e s , a t l e a s t a s s e e n a t t h es u r f a ce o f t h e s p e c i m e n . T h e r e s u l t s a r e o f s u c h s t r i k i n g c l a ri t y a n d b e a u t yt h a t d o m a i n s h a v e s o o n a c q u i r e d t h e s t a t u s o f r e a l o b je c ts o f t h e p h y s i c a lw o r l d . D o m a i n s a r e t h er e , a n d t h e p r o b l e m b e c o m e s t o e x p l a in o r a t l e as tm a k e q u a l i t a t i v e l y c l e a r t h e m e c h a n i s m s r e s p o n s i b l e f o r t h e o b s e r v e dd o m a i n s t r u c tu r e s i n t h e v a r io u s m a t e r ia l s .

I n p r i n c i p l e , t h e m i c r o m a g n e t i c a p p r o a c h d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u sc h a p t e r s h o u l d b e c a p a b l e o f e x p l a i n i n g t h e e x i s t e n c e o f d o m a i n s a n ds h o u l d p e r m i t o n e to i n te r p r e t a n d p r e d i c t t h e o b s e r v e d d o m a i n s t r u c tu r e s.I n p r a c t ic e , h o w e v e r , n o o n e i s a b l e to o v e r c o m e t h e m a t h e m a t i c a l d i ff ic u lt -i e s e n c o u n t e r e d w h e n m i c r o m a g n e t i c s i s a p p l i e d t o r e a l i s t i c d e s c r i p t i o n so f a c t u a l m a t e r i a l s . T h e s e d i f f i c u l t i e s c o m e f r o m t h e i n h e r e n t c o m p l e x i t yo f t h e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n , b u t a l so f r o m t h e f a c t t h a t r e a l m a t e r i a l sa r e u s u a l l y s y s t e m s w h e r e s t r u c t u ra l d i s o r d e r d o m i n a t e s . T h e m i c r o m a g -

1 8 9


2/33

190 CHAPTER 7 Magne t ic Dom ains and Dom ain Wal ls

n e t i c p a r a m e t e r s d e s c r i b i n g t h e l o c al s t a te o f t h e m a t e r i a l ( e x c h a n g e c o n -s ta n t , a n i s o t ro p y p a r a m e t e r s , e tc .) a re c o n s e q u e n t l y r a n d o m f u n c t io n s o fs p a c e a n d i t i s h o p e l e s s t o w o r k o u t p a r t i c u l a r s o l u t i o n s o f t h e e n s u i n gs t o c h a s ti c e q u a t i o n s . I n a d d i t i o n , e v e n i f t h e s e s o l u t i o n s w e r e a v a i l a b l e ,t h e i r k n o w l e d g e w o u l d b e i n t h e e n d o f l it tl e i n te r e st . M a c r o s c o p i c m a g -n e ti c p r o p e r t ie s a r e d e t e r m i n e d b y g e n e r a l a s p e c t s o f t h e m i c r o m a g n e t i cs o l u t i o n s , e m e r g i n g f r o m s u i ta b l e a v e r a g e s o v e r s t r u c t u r a l d i s o r d e r, q u i t ei n d e p e n d e n t l y f r o m t h e m a s s o f u n i m p o r t a n t d e t a il s c h a ra c t e r iz i n g in d i -v i d u a l s o l u t i o n s . D omain theory r e p r e s e n t s a h e u r i s t i c a t t e m p t t o r e d u c et h i s p r o b l e m t o a t r a c t a b l e f o r m .

T h e f u n d a m e n t a l p o i n t a t t h e h e a r t o f d o m a i n t h e o r y is t h e p o s t u l a tet h a t i t i s p o s s i b l e t o i d e n t i fy a n e a t s e p a r a t i o n b e t w e e n l a r g e r e g io n s , t h emagnetic domains, w h e r e t h e o r i e n t a t i o n o f t h e m a g n e t i z a t i o n i s p r a c t i c a l l yu n i f o r m , f r o m n a r r o w i n t e rf a c e la y e r s , t h e domain walls, w h e r e t h e m a g n e -t i z a t i o n r a p i d l y p a s s e s f o r m o n e o r i e n t a t i o n t o t h e o t h e r . D o m a i n w a l l sa c q u i r e a p r i v i l e g e d s t a t u s i n t h is d e s c r i p t io n . T h e i n t e r n a l w a l l s t r u c t u r ec a n b e s t u d i e d b y t h e m i c r o m a g n e t i c a p p r o a c h , i n o r d e r to e s t im a t e h o wm u c h e x c h a n g e a n d a n i s o t r o p y e n e r g y is s t o re d i n t h e w a l l. T h e n t h e w a l li s a s s i m i l a t e d t o a t w o - d i m e n s i o n a l s u rf a c e: t h e w a l l t h i c k n e s s is n e g l e c t e db u t t h e w a l l i s e n d o w e d w i t h s u r f a c e t e n s i o n . T h i s d r a s t i c a l l y r e d u c e st h e c o m p l e x i t y of t h e d e s cr ip t io n . T h e m a g n e t i z a t i o n c h a n g e s i n d u c e d b yt h e e x t e r n a l fi e ld a r e i n t e r p r e t e d i n te r m s o f d i s p l a c e m e n t s o f t h e d o m a i nw a l l s , t h e e s t i m a t e o f t h e e x c h a n g e a n d a n i s o t r o p y e n e r g y s t o r e d i n t h es y s t e m i s r e d u c e d t o t h e e s t im a t e o f t h e t o ta l w a l l s u rf a c e p r e s e n t u n d e rg i v e n c o n d i t io n s , a n d t h e m a g n e t o s t a t i c e n e r g y c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m so f w a l l p o s i t i o n s a n d o r i e n t a t i o n s .

I n S e c t i o n 7 . 1 , w e b r i e f l y d i s c u s s h o w d o m a i n s c a n b e o b s e r v e d a n dt o w h a t e x t e n t t h e e x i s t e n c e o f d o m a i n s m a y b e v i e w e d a s a p l a u s i b l ea p p r o x i m a t i o n t o t h e g e n e r a l m i c r o m a g n e t i c p i c t u r e . I n S e c t i o n 7 . 2 w ed i s c u s s t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f d o m a i n w a l l s a n d w e e s t i m a t e t h e w a l ls u r f a c e e n e r g y . F i n a ll y , i n S e c t io n 7 .3 , w e d i s c u s s s o m e g e n e r a l p r i n c i p l e st h a t o n e c a n t r y t o f o l l o w i n t h e i n t e r p r e t a t i o n o r w w h i c h i s m u c h m o r ed i f f i c u l t m i n t h e p r e d ic t i o n o f e x p e c t e d d o m a i n s tr u c tu r e s.

7 .1 E X I S T E N C E O F D O M A I N ST e c h n i q u e s f or t he o b s e r v a t i o n o f m a g n e t i c d o m a i n s a r e c o n s ta n t l y p r o g -r e s si n g . T h e y c a n g i v e i n f o r m a t i o n n o t o n l y o n t h e d i s p o s i t io n o f d o m a i n s ,b u t a l s o o n s e v e r a l p r o p e r t i e s o f t h e m a g n e t i z a t i o n , f o r i n s t a n c e b y b e i n gs e n s i t i v e t o t h e d i v e r g e n c e o r t o t h e c u r l o f m a g n e t i z a t i o n , a n d o n t h e


3/33

7.1 EXISTENCE OF DOM AINS 191d e t a i l e d i n t e rn a l s t r u c tu r e o f d o ma in wa l l s . Do ma in o b s e rv a t i o n h a s b e -c o me a p r e c io u s t o o l i n t h e c h a ra c t e r i z a t i o n o f ma te r i a l s , c o n t in u o u s lye m p l o y e d b y t h e e x p e r i m e n t e r . I n a d d i t i o n , d o m a i n i m a g e s s e r v e a s at e st o f m o d e l s c o m i n g f r om d o m a i n t h e o r y a n d a s a b a s is f o r t h e d e v e l o p -me n t o f mo re d e t a i l e d mic ro ma g n e t i c d e s c r ip t i o n s .

7 .1 .1 D o m a i n o b s e r v a t i o nI n o r d e r to o b s e r v e d o m a i n s , o n e n e e d s s o m e p r o b e t h a t m a y b e c o u p l e dto t h e ma g n e t i z a t i o n o f t h e s p e c ime n a n d r e a c t i n d i f f e r e n t wa y s , d e -p e n d in g o n t h e l o c a l ma g n e t i z a t i o n o r i e n t a t i o n . I n t h e ma in o b s e rv a t i o nme th o d s ro u t in e ly u s e d i n t h e c h a ra c t e r i z a t i o n o f ma te r i a l s , t h e p ro b e i sr e p re s e n t e d b y v i s ib l e l i g h t , b y e l e c t ro n s , o r b y s o me s o r t o f e x t e rn a lm a g n e t i c p r o b e i n te r a c ti n g m a g n e t o s ta t ic a l ly w i t h t h e s p e c i m e n m a g n e t i-za t ion .V i s i b l e l i g h t . S u p p o s e w e s e n d a b e a m o f l in e a r ly p o l a r i z e d l i g h t o n t o t h es u r f a c e o f a p o l i s h e d ma g n e t i z e d s a mp le . Th e re e x i s t s a ma g n e to -o p t i cc o u p l in g b e tw e e n th e l ig h t a n d t h e m a g n e t i z a t i o n , w h o s e e f fe c t i s t o r o ta t eth e p l a n e o f p o l a r i z a t i o n o f th e l i g h t r e fl e c te d b y t h e s a m p le s u rf a ce . Th es ig n a n d th e a mo u n t o f t h e ro t a t i o n d e p e n d s o n t h e r e l a t i v e o r i e n t a t i o no f t h e p o l a r i z a t i o n p l a n e w i th r e s p e c t to t h e ma g n e t i z a t i o n . T h e p l a n e o fp o l a r i z a t i o n o f t h e l i g h t re f le c t ed b y d i f fe r e n t d o m a in s w i l l t h u s b e ro t a t e db y d i f f e r e n t a n g l e s . Th e r e f l e c t e d l i g h t i s s e n t t h ro u g h a p o l a r i z e r a n dth e n t o a p h o to g ra p h ic s e tu p . Th e p o l a r i z e r i s r o t a t e d u n t i l t h e l i g h tc o m i n g f r o m d o m a i n s h a v i n g a c e r ta i n o r i en t a t io n i s c o m p l e t e ly s t o p p e d .T h e s e d o m a i n s w i l l a p p e a r a s d a r k d o m a i n s i n t h e f i n a l d o m a i n i m a g e .C o n v e r s e l y , t h e l i g h t c o m i n g f r o m o t h e r d o m a i n s , w h i c h p r o d u c e d ad i f fe r e n t r o t a t io n o f t h e p l a n e o f p o l a r i z a t io n , p a r t i a l ly g o e s t h ro u g h th ep o la r i z e r , a n d p ro d u c e s b r ig h t d o ma in s . Th e d e t a i l e d p ro p e r t i e s o f t h ee ff ec t d e p e n d o n t h e r e l a t iv e o r i e n t a t i o n o f th e b e a m p l a n e o f i n c id e n c e ,t h e s p e c im e n s u r f a ce , a n d t h e ma g n e t i z a t i o n d i r e c t io n i n th e d o m a in s . I na d d i t io n , v a r i o u s m e t h o d s a r e u s e d t o im p r o v e t h e c o n t r a s t b e t w e e n b r i g h ta n d d a r k d o m a in s . Th e e f fe c t j u s t d e s c r ib e d , w h ic h c o n c e rn s t h e l ig h tr e f l e c t e d b y t h e s a mp le s u r f a c e , i s k n o wn a s t h e K e r r e f f e c t . I t i s poss ib leto e x p lo i t t h e s a me p r in c ip l e b y l o o k in g a t t r a n s mi t t e d l i g h t , i n t h o s ec a s e s w h e re t h e m a g n e t i c m a te r i a l i s o p t i c a ll y t r a n s p a re n t . Th i s is c al le dth e F a r a d a y e f f e c t . F ig u re 1 .2 w a s o b t a in e d b y t h e Ke r r e ff ec t m e th o d . Th eb a r l i k e d o ma in s e x t e n d in g a c ro s s t h a t f i g u re a r e d o ma in s o f o p p o s i t ema g n e t i z a t i o n . Th e ma g n e t i z a t i o n l i e s i n t h e p l a n e o f t h e f i g u re , a n dp o in t s v e r t i c a l l y f r o m d o wn to u p o r v i c e v e r s a i n t h e l i g h t a n d d a rk


4/33

192 CHAPTER 7 Magnet ic Dom ains and Dom ain Wal lsd o m a i n s . A f i n e s t r u c t u r e o f s e c o n d a r y , s m a l l e r d o m a i n s c a n b e s e e ni n s i d e t h e b a r l i k e d o m a i n s .Electrons. T he o b s e r v a t io n o f d o m a i n s b y e l e c tr o n m i c r o s c o p y is k n o w n a sLorentz microscopy. T he i n c i d e n t e l e c tr o n b e a m g o i n g t h r o u g h a m a g n e t i z e ds a m p l e i s d e f l e c t e d b y t h e L o r e n t z fo r ce e x e r t e d b y t h e m a g n e t i c i n d u c t i o n .T h i s d e f l e c t i o n p r o d u c e s a d i s t o r t i o n i n t h e t r a n s m i t t e d b e a m t h a t c a n b ee x p l o i te d t o i m a g e th e m a g n e t i c d o m a i n s o r th e d o m a i n w a l ls . I m p r o v e dt e c h n i q u e s c a n b e e m p l o y e d , l i k e sc a n n i n g t r a n s m i s s i o n e l e c tr o n m i c r o s-c o p y o r s c a n n i n g e l e c t r o n m i c r o s c o p y w i t h p o l a r i z a t i o n a n a l y s i s , t o p r o -d u c e d e t a i l e d , h i g h - r e s o l u t i o n i m a g e s .Magnetic probes. T h i s g r o u p i n c l u d e s t h e Bitter powder technique, w h i c hw a s t h e f ir s t o n e t o p e r m i t d i r e c t d o m a i n o b s e r v a t i o n . T h e i d e a i s t o a p p l yt o th e s p e c i m e n s u r fa c e a c o l l o i d al s u s p e n s i o n o f f in e m a g n e t i c p a r t i c le s .T h e p a r t i c l e s e x p e r i e n c e f o r c e s d u e t o t h e s t r a y f i e l d s p r o d u c e d b y t h ed o m a i n w a l l s a l o n g t h e l i n e s w h e r e t h e w a l l s e m e r g e a t t h e s u r f a c e o ft h e s a m p l e . T h e p a r t i c l e s a r e a t t r a c t e d t o w a r d t h e d o m a i n w a l l s a n d i nt h i s w a y p r o v i d e a n i m a g e o f t h e d o m a i n s t r u c t u r e . M o r e r e c e n t i s t h et e c h n iq u e k n o w n a s magnetic orce microscopy, w h e r e a t i n y c a n t il e v e r w i t ha co n i c a l p r o b e c o v e r e d w i t h m a g n e t i c m a t e r i a l is b r o u g h t i n cl o se v ic i n i t yo f t h e s a m p l e s u r f ac e . W h e n t h e s a m p l e s u r f a c e i s s c a n n e d , t h e p r o b ee x p e r ie n c e s a v a r y i n g f o rc e d u e t o th e s t r a y fi el ds p r o d u c e d b y t h e d o m a i ns t r u c tu r e . B y m e a s u r i n g t h e i n f lu e n c e o f t h is f or c e o n t h e r e s o n a n c e p r o p e r -t i e s o f t h e c a n t i l e v e r s y s t e m , o n e c a n w o r k o u t t h e i n f o r m a t i o n o n t h ed o m a i n s t r u c t u r e .

7 . 1 . 2 D o m a i n t h e o r yL e t u s n o w d i sc u s s h o w w e c a n i n te r p r e t a n d j u s ti fy o n p h y s i c a l g r o u n d st h e re s u l t s of d o m a i n o b s e r v a t i o n s . W e a l r e a d y e n c o u n t e r e d a s c h e m a t i c ,i d e a l i z e d e x a m p l e o f d o m a i n s t r u c t u r e i n S e c t i o n 6 . 1 . 3 ( F i g . 6 . 1 ) , w h e nw e d i s c u s s e d c o m p e t i n g e n e r g i e s in m i c r o m a g n e t i c s . W e re a c h e d t h e c o n -c l u s i o n t h a t c r e a t i n g a d o m a i n w a l l w a s e n e r g e t i c a l l y f a v o r e d i n l a r g ee n o u g h p a r t i c l e s . A f t e r t h a t , w e d e v e l o p e d t h e m i c r o m a g n e t i c a p p r o a c hi n m o r e q u a n t i ta t i v e d e t a il a n d w e d e r i v e d B r o w n ' s e q u a t io n s , w h i c h a r eo f g e n e r a l v a l i d i t y a n d s h o u l d t h e r e f o r e b e a p p l i c a b l e n o t o n l y t o s m a l lp a r t i c le s b u t t o b u l k s y s t e m s a s w e ll . A t t h is p o i n t , t h e s e q u e n c e o f l o g ic a ls t e p s t o c o n s i d e r w o u l d s e e m t o b e t h e f o l l o w i n g .

(i) G i v e n t h e fr ee e n e r g y f u n c t i o n a l o f t h e m a g n e t i c s a m p l e t o s tu d y ,o n e s o l v e s B r o w n ' s e q u a t i o n s , a n d d e t e r m i n e s t h e c o m p l e t e s e t


5/33

7.1 EXISTENCE OF DOM AINS 193o f l o c a l e n e r g y m i n i m a , c o r r e s p o n d i n g t o t h e m e t a s t a b l e s t a t e so f t h e s y s t e m .

(ii) B y v i s u a l i z i n g t h e m a g n e t i z a t i o n c o n f i g u r a t i o n o f e a c h s o l u t i o no b t a i n e d , o n e r e a l i z e s t h a t t h e s e s o l u t i o n s i n d e e d r e p r e s e n t d o -m a i n s t r u c t u r e s o f t h e t y p e o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y . T h e r e a r ea s m a n y p o s s i b l e d o m a i n c o n f i g u r a t i o n s f o r a g i v e n e x t e r n a l fi e lda s th e n u m b e r o f s o l u ti o n s o f B r o w n ' s e q u a t i o n s u n d e r t h a t fi eld .T h e c o n c l u s i o n is th a t d o m a i n s t ru c t u r e s a r e n o t h i n g b u t s o l u t io n so f B r o w n ' s e q u a t i o n s f o r l a r g e s y s t e m s .

( ii i) W h e n t h e e x t e r n a l f ie l d , H a, c h a n g e s o v e r t i m e , c e r ta i n s o l u t io n so f B r o w n ' s e q u a t i o n s d i s a p p e a r i n f a v o r o f o t h e r s , o w i n g t o t h ei n f l u e n c e o f t h e e n e r g y t e r m o f E q . (6 .1 0) p r o p o r t i o n a l t o H a. T h i sm e a n s t h a t a g i v e n d o m a i n s t ru c t u r e b e c o m e s u n s t a b l e a t a c e r ta i nf i e l d v a l u e a n d s u d d e n l y e v o l v e s t o w a r d a n e w c o n f i g u r a t i o nt h r o u g h a B a r k h a u s e n j u m p . B y f o l lo w i n g t h e s e q u e n c e o f B a r k-h a u s e n j u m p s o c c u r r i n g a l o n g a g i v e n f i e l d h i s t o r y , o n e d e t e r -m i n e s t h e m a g n e t i z a t i o n c u r v e f o l l o w e d b y t h e s y s t e m , t h ea m o u n t o f e n e r g y d i s si p a t e d , a n d a n y o t h e r p r o p e r t y o f i n te r es t.

T h i s p r o g r a m , a l t h o u g h a t f ir st s i g h t c o n c e p t u a l l y s a ti s fa c to r y , is u n r e a li s -t i c a n d i n a d e q u a t e i n a t l e a s t t w o r e s p e c t s , o n e o f m a t h e m a t i c a l n a t u r ea n d t h e o t h e r o f m o r e p r o f o u n d p h y s i c a l n a tu r e , r e l a te d t o t h e p re s e n c eo f s t r u c t u r a l d i s o r d e r .Mathematical difficulties. B r o w n ' s e q u a t i o n s a r e c o m p l i c a t e d n o n l i n e a re q u a t i o n s t h a t a r e d i f f i c u l t t o s o l v e e v e n i n t h e i d e a l i z e d c a s e o f a p e r f e c ts i n g l e c r y s t a l o f e l l i p s o i d a l s h a p e . T h e r e i s n o c h a n c e t o s o l v e t h e m a n a l y t i -c a l l y f o r a b u l k s y s t e m . O n e m u s t r e s o r t t o n u m e r i c a l m e t h o d s , o f t h et y p e d i s c u s s e d i n S e c ti o n 1 0.2 , a n d e v e n i n t h i s c a se o n l y s m a l l p o r t i o n so f a g i v e n m a t e r i a l c a n b e s i m u l a t e d . T h e r e s u l t s o b t a i n e d c a n a t b e s tr e p r e s e n t s o m e a p p r o x i m a t i o n t o in d i v i d u a l s o l u t io n s o f B r o w n ' s e q u a -t io n s . T h e y s a y l it tl e a b o u t t h e g e n e r a l p r o p e r t i e s o f t h e f r ee e n e r g y s u r fa c e ,t h e d e n s i t y a n d d i s t ri b u t i o n o f e n e r g y m i n i m a a n d s o on , a n d i t is b y n om e a n s o b v i o u s t o d r a w f r o m t h e m g e n e r a l c o n c l u si o n s a b o u t t h e b e h a v i o ro f t h e s y s t e m . T o a ll o f t h is , o n e s h o u l d a d d t h e d i ff ic u l ti e s a n d a p p r o x i m a -t i o n s i n t r o d u c e d i n t h e n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f B r o w n ' s e q u a t i o n s ,w h i c h m a y b e s o u r c e o f s p u r i o u s e ff ec ts t h a t a r e d i f fi c u lt to i d e n t i f y a n dt o s e p a r a te f r o m t h e p h y s i c a l p h e n o m e n a o f i n te r es t.Role of disorder. A n y r e a l i s t i c s y s t e m a l w a y s e x h i b i t s a s u b s t a n t i a l a m o u n to f s t r u c t u r a l d i s o r d e r . I n s y s t e m s t h a t a r e a s s e m b l i e s o f f i n e p a r t i c l e s , o n ec a n h a v e c o m p l i c a t e d p a r ti c le s h a p e s a n d r a n d o m d i s t ri b u t io n s o f p a r ti c les i z e , o r i e n t a t i o n , a n d p o s i t i o n ; i n t h i n f i l m s a n d t h i n r i b b o n s , s u r f a c e


6/33

194 CHAPTER 7 M agn et ic Do m ains and Dom ain Wal lsr o u g h n e s s m a y p l a y a r o l e ; i n b u l k s y s t e m s , o n e h a s c o m p l i c a t e d g r a i ns t ru c t u r e s p o s s ib l y e n d o w e d w i t h s o m e c r y s t a l lo g r a p h i c t ex t u re , r a n d o mf luc tua t ions of com pos i t ion in a l loys , p rese nce of defec t s, like d i s loca t ions ,d i s l oca t i on t ang l e s , g r a i n bounda r i e s , i nc l u s i ons , p r ec i p i t a t e s , and , i na m o r p h o u s s t ru c t u r e s, in t ri n si c a to m i c r a n d o m n e s s g i v i n g ri se to r a n d o ml oca l an i s o t r opy . A l l t he s e r andom f ea t u r e s a r e r e f l ec t ed i n t he s paced e p e n d e n c e o f t h e p a r a m e t e r s a p p e a r i n g i n t h e m i c r o m a g n e t i c f re e e n e rg y ,t h a t is , t h e s p o n t a n e o u s m a g n e t i z a t i o n Ms, t he exchange cons t an t A , t hep a r a m e t e r s o f t h e a n i s o t r o p y f u n c ti o n fA N, a n d t h e p a r a m e t e r s d e s c r i b in gt he geome t r i ca l s hape o f t he s amp l e . T he cons equence i s t ha t t he f r eee n e r g y a c q u i re s a n e x t r e m e l y c o m p l ic a t e d s t ru c t u r e i n th e m a g n e t i z a t io nf u n c t i o n a l s p a c e , w i t h a h u g e n u m b e r o f l o c a l m i n i m a , m a x i m a , a n ds add l e po i n t s . E ven i f w e w e r e ab l e to s o lve B r ow n ' s equa t i ons i n ane x a c t a n d e x h a u s t i v e w a y , t h a t w o u l d p r o b a b l y b e u s e l e s s , b e c a u s e w ew o u l d b e o v e r w h e l m e d b y t h e a m o u n t o f i n fo r m a ti o n. W e w o u l d h a v et o dea l w i t h l a r ge nu m be r s o f nea r l y equ i va l en t s o l u t i ons , d if f e r ing on l yi n a nu m be r o f i ne s s en t ia l de t a i ls . Some s i m p l i fi ed des c r i p t i on i s nee ded ,w h e r e t h e u n i m p o r t a n t d e t a i l s , e v e n t u a l l y h a v i n g n o i n f l u e n c e o n t h em a c r o s c o p i c m a g n e t i c p r o p e r t i e s o f t h e s y s t e m , a r e a v e r a g e d o u t a n dn e g l e c t e d , a n d a t t e n t i o n i s f o c u s e d o n t h e f e w i m p o r t a n t , d o m i n a n t f e a -t u r e s o f t he p r ob l em.

D o m a i n t h e o r y i s a n a p p r o x i m a t e i n t e r p r e t a t i v e f r a m e w o r k , w h i c hi d e n ti fi e s th e s e d o m i n a n t f e a t u r e s in m a g n e t i c d o m a i n s a n d d o m a i n w a l ls .I f w e go back t o t he mi c r omagne t i c des c r i p t i on d i s cus s ed i n Sec t i on 6 . 1 ,w e s ee t ha t t he i dea o f doma i n a r i s e s f r om t he d i f f e r en t s ca l e s i nvo l vedi n t he mi n i mi za t i on o f exchange , an i s o t r opy , and magne t os t a t i c ene r g i e s .D o m a i n s e x i s t b e c a u s e a t s h o r t d is t a n c e s e x c h a n g e d o m i n a t e s a n d y i e ld st o p a r a l le l a l i g n m e n t o f t h e m a g n e t i z a ti o n . A n i s o t r o p y h a s t h e a d d i t io n a le f f ec t o f f avo r i ng t he a l i gnmen t a l ong ce r t a i n p r e f e r r ed d i r ec t i ons . I t i so n l y w h e n t h e la r g e- sc a le p r o p e r t i e s o f t h e m a g n e t i z a t i o n a r e c o n s i d e r e dt h a t m a g n e t o s t a t i c e n e r g y b e c o m e s i m p o r t a n t a n d s t r o n g l y f a v o r s t h ef o r m a t i o n o f m a g n e t i z a t i o n c o n f i g u ra t i o n s w h e r e V 9 M is c lose to zer oa s m u c h a s p o s si b le . M a g n e t ic p o l e s , a s m e a s u r e d b y V 9M , a re t he s ou r ceo f the m agn e t os t a t i c f ie l d H M ( E q . 4 . 12 ) an d t he s qu a r e m od u l u s H 2 i sp r op o r t i on a l t o t he mag ne t os t a t i c e ne r g y d ens i t y ( E q . 4 .8 ) . T he r e f o re , i no r d e r t o k e e p t h e m a g n e t o s t a t i c e n e r g y o f a g i v e n c o n f i g u r a t i o n a s l o was pos s i b l e , one mus t avo i d t he f o r ma t i on o f magne t i c po l e s , t ha t i s , o fr e g i o n s w h e r e V 9 M ~ 0. This i s the so -cal led pr inciple of pole avoidance,d i s cus s e d i n Sec t ion 7 .3 . A s i mp l e exam pl e o f a do m a i n s t r uc t u r e s a t i s f y i ngth i s p r inc ip le i s sho w n in F ig. 7 .1 . We hav e a s ing le c ry s ta l in the fo rmof a pa r a l l e l ep i ped . M agne t oc r ys t a l l i ne an i s o t r opy i s s uch t ha t t he x and


7/33

7.1 EXISTENCE OF DO M AINS 195

FIGURE 7.1. Examp le of pole-free do m ain st ructure in system w ith biaxial anisot-ropy. x and y are easy magnet izat ion axes.

y a x e s a r e e a s y m a g n e t i z a t i o n d i r e c t i o n s . W h e n t h e c r y s t a l i s s a t u r a t e d ,s a y a l o n g t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n , n o e x c h a n g e o r a n i s o t r o p y e n e r g y i si n v o l v e d , b u t m a g n e t o s t a t ic e n e r g y a t ta i n s c o n s i d e r a b l e v a l u e s . B y c r ea t-i n g t h e f o u r d o m a i n s s h o w n i n t h e f i g u r e , t h e m a g n e t o s t a t i c e n e r g y i sr e d u c e d t o ze ro , a n d a t t h e s a m e t i m e o n e k e e p s o n h a v i n g z e r o e x c h a n g ea n d a n i s o t r o p y e n e r g y i n s id e t h e fo u r d o m a i n s t h u s f o r m e d . T h e e n e r g yo f t h e c o n f i g u r a t i o n , p a r t l y o f e x c h a n g e a n d p a r t l y o f a n i s o t r o p y o r i g i n ,i s a l l c o n c e n t r a t e d i n t h e w a l l s e g m e n t s d e l i m i t i n g t h e f o u r d o m a i n s .O n e m i g h t w o n d e r w h e t h e r t h e t o ta l w a l l e n e r g y n e c e s s a r y to c re a te t h ed o m a i n s t r u c t u r e i s r e a l l y s m a l l e r t h a n t h e i n i t i a l m a g n e t o s t a t i c e n e r g yt h a t o n e is t r y i n g t o r e d u c e . W e s h a l l m a k e a q u a n t i ta t i v e e s t i m a t e i n t h en e x t s e c t i o n . H o w e v e r , t h e r e i s a g e n e r a l a r g u m e n t t o c o n s i d e r , w h i c hw a s a l r e a d y i m p l i c it ly p r e s e n t i n t h e a n a l y s i s o f S e c ti o n 6 .1 .3 . T h e m a g n e -t o s ta t ic e n e r g y d e n s i t y d e p e n d s o n t h e s h a p e b u t n o t o n t h e s iz e o f t h eb o d y . T h e r e f o r e , t h e o v e r a l l m a g n e t o s t a t i c e n e r g y o f t h e p a r a l l e l e p i p e di n t h e s a t u r a t e d s t a t e i s p r o p o r t i o n a l t o i t s v o l u m e , s a y L 3 , w h e r e L i ss om e c ha r a c t e r i s t i c ge om e t r i c a l l e ng t h . C onve r s e l y , t he e ne r gy s t o r e d i nt h e d o m a i n w a l l s is su r f a c e e n e rg y , w h i c h , f o r a g i v e n w a l l a r r a n g e m e n t ,w i l l g r o w l i k e L2 o n ly . T h e ( w a l l e n e r g y ) / ( m a g n e t o s t a t i c e n e r g y ) r a t iow i l l t h u s s ca le li k e l / L , w h i c h m e a n s t h a t th e f o r m a t i o n o f t h e d o m a i ns t r u c t u r e w i l l c e r t a in l y b e c o m e e n e r g e t ic a l ly f a v o r e d w h e n t h e b o d y s iz eis la r g e e n o u g h .

T h e d o m a i n p i c t u r e c a n b e m o r e o r le s s a c c u r at e , d e p e n d i n g o n t h es t r e n g t h o f a n i s o tr o p y . T h e h i g h e r t h e a n i s o t r o p y c o n s t a n t , th e m o r e r i g -i d l y t h e m a g n e t i z a t i o n i s t i e d t o t h e e a s y a x e s i n s i d e d o m a i n s , a n d t h e


8/33

1 9 6 CHA PTER 7 M agnet ic Domains and Dom ain W allss h a r p e r i s t h e t r a n s i t i o n f r o m o n e d o m a i n o r i e n t a t i o n t o t h e n e x t i n s i d ed o m a i n w a l l s. E q u a t i o n ( 6.2 4 ) a n d E q . (6 .1 9 ) s h o w t h a t th e w a l l w i d t h isi n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o th e s q u a r e r o o t o f t h e a n i s o t r o p y c o n s t a n t. I ns o f t m a t e r i a l s w i t h p a r t i c u l a r l y s m a l l a n i s o tr o p y , t h e v a r i a t io n s i n m a g n e t i -z a t i o n o r i e n t a t i o n t e n d t o b e d i l u t e d o v e r l a r g e d i s t a n c e s , t h e w i d t h o fd o m a i n w a l l s b e c o m e s s u b s t a n t i a l , a n d t h e u n a m b i g u o u s s e p a r a t i o n o fd o m a i n s f r o m d o m a i n w a l ls b e c o m e s q u e s t io n a b l e. T h e s e a re c as es w h e r et h e d o m a i n a p p r o x i m a t i o n f a il s a n d o n e h a s t o g o b a c k t o t h e m o r e b a s i cm i c r o m a g n e t i c d e s c r i p t io n . A n o t a b l e e x c e p t io n , h o w e v e r , is r e p r e s e n t e db y i d e a l ly s o f t m a t e r ia l s in t w o d i m e n s i o n s . I n t h e c o n s i d e r a t i o n s l e a d i n gt o E q . ( 6 . 24 ) , t he m a gne t o s t a t i c e ne r gy w a s c om pl e t e l y ne g l e c t e d . T hei d e a w a s t h a t t h e f o r m a t i o n o f d o m a i n s w a s m a g n e t o s t a t i c a l l y f a v o r e d ,b u t t h a t , o n c e t h e d o m a i n s t r u c t u r e w a s a s s u m e d t o e x i s t , i t s p r o p e r t i e sc o u l d b e s t u d i e d w i t h n o c o n s i d e r a t i o n o f m a g n e t o s t a t ic e f fe cts . W e s h a l ls e e i n S e c ti o n 7 .3 .1 t h a t i n t w o d i m e n s i o n s o n e c a n e n c o u n t e r s i t u a t i o n sj u s t o p p o s i t e t o t h i s o n e , w h e r e e x c h a n g e a n d a n i s o t r o p y a r e n e g l i g i b l ea n d t h e g e o m e t r i c a l s h a p e o f t h e s y s t e m d i r e c tl y d e t e r m i n e s , t h r o u g h t h ep r i n c i p l e o f p o l e a v o i d a n c e , t h e m a g n e t i z a t i o n c o n f i g u r a ti o n , th e s u b d i v i -s i o n in t o d o m a i n s , a n d t h e l o c a ti o n o f d o m a i n w a l ls . T h is is a c a se w h e r et h e e x is t en c e o f w e l l - d e f in e d d o m a i n s t r u c t u r e s d o e s n o t o r i g in a t e f r o mt h e e x i s t e n c e o f h i g h - a n i s o t r o p y e a s y a x e s b u t f r o m t h e c o n s t r a i n t s t h a tt h e s h a p e o f t h e b o d y i m p o s e s , t h r o u g h m a g n e t o s t a t i c i n te r a c ti o n s , o nt h e a d m i s s i b l e m a g n e t i z a t i o n c o n f i g u r a t i o n s .

7 .2 D O M A I N W A L L S

D o m a i n w a l l s ar e c o m m o n l y c la s si fi e d a c c o r d in g t o t h e d ir e c ti o n o f m a g -n e t i z a t i o n i n t h e c o n t i g u o u s d o m a i n s s e p a r a t e d b y t h e w a l l (s ee F ig . 7 .2 ).

T T/ /1 8 0 ) d o m a i n w a l l 9 0 ~ d o m a i n w a l lFIGURE 7.2 . M agnet izat ion con figurat ion in a 180~ and a 90~ dom ain wal l.


9/33

7.2 DOMAIN WALLS 1 9 7O n e ha s a 180 ~ domain wall w h e n t h e w a l l s e p a r a te s d o m a i n s o f o p p o s it em a gn e t i z a t i on . I n a l l o t he r c a s es , one ge ne r i c a l ly s pe a ks o f 90 ~ domainwalls, e v e n if th e m a g n e t i z a t i o n d o e s n o t n e c e s s a r i ly r o t a te b y 90 ~ w h e np a s s i n g f r o m o n e d o m a i n t o th e o t he r. A c e rt a in a m o u n t o f e n e r g y i sn e c e s s a r y t o c r ea te a d o m a i n w a l l o f g i v e n t y p e . A c c o r d i n g t o th e c o n s i d e r -a t io n s m a d e i n th e p r e v i o u s s e ct io n , t h is e n e r g y p l a y s a k e y r o le i n d o m a i nt h eo r y , b e c a u s e i t is a t th e r o o t o f th e e n e r g y b a l a n c e a s s o c ia t e d w i t h a n yd o m a i n s t r u c t u r e . T h i s i s t h e p o i n t a d d r e s s e d i n t h i s s e c t i o n , f o r t h epa r t i c u l a r c a s e o f 180 ~ do m a i n w a l l s .

7 . 2 . 1 B l o c h w a l l sT he s i t ua t i on w e a r e go i ng t o d i s c us s i s p i c t u r e d i n F ig . 7 .3 . W e c ons i d e ra c r y s t a l h a v i n g a n e a s y m a g n e t i z a t i o n a x i s a l o n g t h e z d i r e c t i o n , a n dc o n t a i n in g t w o d o m a i n s s e p a r a t e d b y a 1 80 ~ d o m a i n w a l l. W h e n w e f ir sti n t r o d u c e d , i n S e c ti o n 6.1 .3 , t h e i d e a t h a t a b o d y m a y b e c o m e s u b d i v i d e di n t o d o m a i n s , w e p o i n t e d o u t t h e f a c t t h a t t h e d o m a i n w a l l s e p a r a t i n gt h e d o m a i n s h a s a n o p t im a l t hi ck n e ss , d e te r m i n e d b y a m i n i m u m e n e r g yr e q u i r e m e n t . T h e r e s u l t e x p r e s s e d b y E q . ( 6. 23 ) a n d E q . ( 6. 24 ) s h o w s t h a tt h e o p t i m u m c o n d i t i o n i s o b t a i n e d w h e n t h e e x c h a n g e a n d a n i s o t r o p ye n e r g y d e n s i t ie s i n s i d e t h e w a l l a r e o f t h e s a m e o r d e r o f m a g n i t u d e . T h i sa m o u n t s t o d i s t r i b u t i n g t h e m a g n e t i z a t i o n r e v e r s a l s h o w n i n Fig . 7 .3 o v e rm a ny l a t t i c e s pa c i ngs . I n f a c t , a n a b r up t t r a n s i t i on , s a y i n one a t om i cs p a c i n g , is u s u a l l y f a r fr o m t h is o p t i m u m c o n d i t io n . T h i s c an b e s e e n b yc o n s i d e r i n g t h a t, i n a w a l l o f t h i c k n e s s o f th e o r d e r o f o n e a t o m s p a c i n g ,t h e e x c h a n g e e n e r g y d e n s i t y , e x p r e s s e d i n t h e d i m e n s i o n l e s s u n i t s o f

F IG UR E 7 .3 . I n t e r n a l s t r u c t u r e o f 180 ~ B lo c h wa l l .


10/33

198 CHAPTER 7 M agnet ic Dom ains and Dom ain W alls

Sec t io n 6 .1 .3 , i s o f t h e o r d e r o f 4 ( l a x ~ a ) 2 , w h e r e a i s t h e l a t t i c e s p a c i n g . I ni r o n , w h e r e IEX "" 3 n m ( see A p p en d i x D) a n d a --- 0 .3 n m , th i s g iv e s4 ( l E x / a ) 2 --, 4 00 , t o b e c o m p a r e d w i t h t h e o r d e r o f m a g n i t u d e o f t h ea n i s o t r o p y e n e r g y d e n s i ty , K / 4 --- 0 .0 07 . T h e t w o c o n t r i b u t i o n s b e c o m ec o m p a r a b l e w h e n t h e m a g n e t i z a t i o n r e v e r s a l is d i s t ri b u t e d n o t o v e r o n e ,b u t o v e r N l a t t i c e s p a c i n g s , i n s u c h a w a y t h a t 4 ( l E x / N a ) 2 "-- K / 4 . T h i sg i v e s N --- 4 I E x / a N / - K . I n i r o n , N --- 2 50 . T h e m a g n e t i z a t i o n r o t a t e s g r a d u -a l l y i n t h e w a l l a n d j u s t i f i e s t h e u s e o f t h e m i c r o m a g n e t i c c o n t i n u u ma p p r o x i m a t i o n t o t r e a t t h e w a l l s t r u c t u r e .

I n t h e s i t u a t io n o f F ig . 7.3 , t h e m a g n e t i z a t i o n is i n d e p e n d e n t o f y a n dz, w h i c h m e a n s t h a t w e h a v e a p l a n a r c o n f i g u r a ti o n v a r y i n g a s a f u n c t io no f x o n ly . F o r x ~ - o % m p o i n t s a l o n g + z , a n d f o r x ~ + o% m p o i n t sa l o n g - z . T h e s e e x t r e m e r e g i o n s a r e t h e o p p o s i t e d o m a i n s s e p a r a t e d b yt h e w a l l. S o m e w h e r e i n b e t w e e n , s a y a r o u n d x - - 0 , t h e t r a n s i ti o n f r o mo n e d o m a i n t o t h e o t h e r t a k e s p l a c e . W e w i l l a s s u m e t h a t m p a s s e s f r o mt h e - z t o t h e + z o r i e n ta t io n b y a l w a y s r e m a i n i n g i n t h e y - z p l a n e . I no t h e r w o r d s , m x = 0 e v e r y w h e r e . T h i s s e e m s r e a s o n a b l e , b e c a u s e i t i sc o n s i s t e n t w i t h t h e p r e s e n c e o f a n e a s y - a x i s a l o n g z a n d a t t h e s a m e t i m ei t r e p r e s e n t s a d i v e r g e n c e - f r e e m a g n e t i z a t i o n c o n f i g u r a t io n , w h i c h a v o i d st h e o n s e t o f f re e p o le s a n d o f m a g n e t o s t a t i c e n e r gy . W e t h u s h a v e

m x = 0, my = sinS, m z = co s8 (7 .1)U n d e r t h e s e c o n d i t io n s , t h e a n g l e 8 b e t w e e n m a n d t h e z a x is is t h e o n l yi m p o r t a n t c o o r d i n a t e . T h e w a l l s t r u c t u r e i s d e s c r i b e d b y t h e fu n c t i o n ~ (x ).T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t h a t ~ - o o ) = 0 a n d ~ (+ oo ) = + ~r. T h i s t y p eo f w a l l s t r u c t u r e i s k n o w n a s a 1 80 ~ B l o c h w a l l .

T h e w a l l i n t e rn a l s t r u c t u re c a n b e s t u d i e d b y a p p l y i n g t o th e p r e s e n tc a s e th e m i c r o m a g n e t i c r e s u l t s o f C h a p t e r 6 . T h e f i rs t s te p i s t o s p e c i a li z et h e f r e e e n e r g y e x p r e s s e d b y E q . ( 6 . 1 0 ) t o t h e w a l l g e o m e t r y . G i v e n t h es y m m e t r y o f t h e c o n fi g u ra t io n , w e c o n s i d e r t h e fr ee e n e r g y p e r u n i t y - zs u r fa c e , w h i c h w e i n d i c a te b y t h e s a m e s y m b o l a s b e fo r e , G L. F o r t h em o m e n t , w e a s s u m e t h a t t h e a n i s o t r o p y e n e r g y i s o f t h e f o r m 2 K 3f(8 ),d e p e n d e n t o n 8 o n ly . L a t er , w e s h a l l d i s c u s s w h i c h t y p e s o f s y m m e t r ya r e c o n s i s t e n t w i t h t h i s a s s u m p t i o n . T h e m a g n e t o s t a t i c f i e l d I - IM = 0 ,b e c a u s e w e a re d e a l i n g w i t h a d i v e rg e n c e - fr e e m a g n e t i z a t i o n c o n f i g u ra -t i o n . F i n a l l y , w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m u n d e r z e r o e x t e r n a l f i e l d , I - Ia = 0.F r o m Eq . ( 6 .1 0 ) an d Eq . ( 7 .1 ) we o b ta in

[ ' 2 2 ]L = 2K1 m + f i B ) d x (7.2)- - oo

w h e r e l w = ( A / K 1 ) 1 /2 i s t h e w a l l t h i c k n e s s p a r a m e t e r ( s e e E q . ( 6 . 1 9 ) a n dE q . (6 .2 4)). T h e e q u a t i o n o b e y e d b y ~ (x ) c a n b e d e r i v e d b y l o o k i n g a t t h e


11/33

7 .2 DOM AIN WA LLS 199

e x t r e m a o f G L w i t h r e s p e c t t o a r b i t r a r y v a r i a t i o n s 8 0(x ). T h i s i s a s i m p l i f i e dv e r s i o n o f t h e d e r i v a t i o n o f B r o w n ' s e q u a t i o n s , v a l i d f o r t h i s p a r t ic u l a rc a s e . W e h a v e

3GL = 2K1 l 2 m- - oo

d x d x + 6 8 d x = 0 (7.3)

A f t e r a n i n t e g r a t i o n b y p a r t s , w e f i n d

8G~ = 2K 1 - I 2 ~ + r38 dx = 0- -oo

(7.4)

E q u a t i o n ( 7 . 4 ) m u s t b e s a t i s f i e d f o r a n y a r b i t r a r y v a r i a t i o n 8 8 , s o w ec o n c l u d e t h a t

d 2 8 d r ( O ) = 0 (7.5)1 2 d x 2 d 8L e t u s m u l t i p l y b o t h m e m b e r s o f t h e e q u a t i o n b y d S / d x , a n d l e t u s i n t e -g r a t e o v e r x f r o m - o o to x . A s 8 ~ 0 an d f 18 ) ~ 0 f o r x --+ - o % w e o b ta in

1 2 ( d 8 ~ 2- 2 \-d-xx = f ( 8) (7.6)

I f w e c o m p a r e t h i s r e s u lt w i t h E q . (7 .2 ), w e s e e th a t t h e e x c h a n g e a n d t h ea n i s o t r o p y e n e r g y d e n s i t y a r e e q u a l a t e a c h p o i n t i n s i d e t h e w a l l . T h i sc o n f i r m s a n d g e n e r a l i z e s t h e e s t i m a t e m a d e i n S e c t i o n 6 . 1 . 3 . N o t e t h a tt h i s r e s u lt m i g h t h a v e b e e n d i r e c tl y o b t a i n e d f r o m E q . (7 .2 ), b y c o n s i d e r i n gt h a t E q . ( 7 . 2 ) i s i d e n t i c a l t o t h e a c t i o n o f a m e c h a n i c a l s y s t e m w h e r e t h ed e g r e e o f f r e e d o m 8 e v o l v e s a s a fu n c t i o n o f x . ( 1 2 / 2 ) ( d S / d x ) 2 r e p r e s e n t st h e k i n e t i c e n e r g y a n d - f ( 8 ) t h e p o t e n t i a l e n e r g y . T h e n E q . (7 .6 ) i s i m m e d i -a t e l y r e c o g n i z e d a s t h e l a w e x p r e s s i n g t h e c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y .

By t ak in g th e sq u a r e r o o t o f Eq . ( 7 .6 ) , o n e f in d sd 8 d x= + ~ (7.7)V'2f(8) - lw

w h i c h i s t h e s o u g h t e q u a t i o n d e s c r i b i n g t h e m a g n e t i z a t i o n p r o f i l e i n s i d et h e w a l l . T h e c h o i c e o f t h e s i g n d e t e r m i n e s t h e s e n s e o f r o t a t i o n o f t h em ag n e t i z a t io n v ec to r o f F ig . 7 .3 . A cc o r d in g to Eq . ( 7.2 ) an d Eq . (7 .6 ), t h ee n e r g y d e n s i t y g r ( x ) i n s i d e t h e w a l l c a n b e e x p r e s s e d a s

gL(X) dx = 4K f ( 8 ) d x = +2 AX/-~I V '2 f(8) d 8 (7.8)


12/33

2 0 0 CH A PT E R 7 Mag n e t ic D o m ai n s an d D o m ai n W alls

w h e r e u s e h a s b e e n m a d e o f E q . (6 .1 9) a n d E q . (7 .7 ). I t i s n o w t i m e t om a k e s o m e s pe c if ic a s s u m p t i o n a b o u t t h e a n i s o t r o p y f u n c t io n f l 8).Uniax ia l an i so t ropy . In t h i s ca s e , E q . (5 .3 2 ) h o l d s . Reca l l i n g t h a t , b yd e f i n i t i o n , f A N = 2 K l f ( 8 ) ( E q . ( 6 . 1 4 ) ) a n d t r u n c a t i n g t h e e n e r g y e x p a n s i o na f t e r t h e K 1 t e r m , o n e f i n d s f ( 8 ) = ( s in 2 8 ) / 2 . B y i n s e r t i n g t h i s e x p r e s s i o ni n t o E q . ( 7 . 7 ) a n d b y c a r r y i n g o u t t h e i n t e g r a t i o n , o n e o b t a i n s

m z = c o s 8 = - t h x ( 7.9 )lw

m y = s i n O = + c- \ lw/T h e b e h a v i o r o f 8 ( x ) p r e d i c t e d b y E q . (7 .9 ) i s s h o w n i n F ig . 7.4 . A t t h ew a l l m i d d l e p o i n t , w h e r e x = 0 a n d 8 = r d S / d x = 1 / l w . I f t h i s r a t eo f a n g l e r o t a t io n w e r e t h e s a m e e v e r y w h e r e i n t h e w a ll , a s s h o w n b y t h eb r o k e n l i n e i n t h e f i g u r e , t h e n c o m p l e t e m a g n e t i z a t i o n r e v e r s a l w o u l dt a k e p l a c e i n a n x i n t e r v a l e q u a l t o

8 w = ~ w ( 7. 10 )

0 . 8

0 . 0

- 0 . 8 -i

|

' - 2 ' . 5 0 . 0

/ / / iK1

i|iiiI

ii

i|iti|

1 . 6 .

- 1 . 6 -i i i i2 1 5 5 : 0

x/I wFIGURE 7. 4. 180~ wa l l s t ructure in uniaxial sys tem. W all profi le 8(x) - ~r/2 (Eq.7 .9) and energy dens i ty gL(X) (Eq. 7 .11) are show n. The x in terval w i thin vert icaldashed l ines has wid th 8w = ' rr ( A / K 1 ) 1 / 2 .


13/33

7.2 DOMAIN WALLS 2 0 18w is c o m m o n l y a s s u m e d a s a m e a s u r e o f t he wall thickness. The e n e r g yd e n s i t y gL(X) i s g iven , acco rd ing to Eq . (7 .8 ) and Eq . (7 .9 ) , by

g L ( X ) - 2K1 sin 2 ~( x )-- 2 K l | c h x__~_2 / \\ lw] (7.11)T h e b e h a v i o r o f E q. ( 7 .1 1 ) i s a l s o s h o w n i n F i g. 7 .4 . T h e t o t a l energy perunit sur face, ~'w , s t o r e d i n t h e w a l l c a n b e c a l c u l a t e d b y i n t e g r a t i n g E q .( 7.1 1 ) o v e r t h e w h o l e x a x is . T h e r e s u l t i s

"Yw = 4X/AK1 (7.12)N o t e t h a t t h e p r o p o r t i o n o f w a l l e n e r g y s t o r e d in t h e t h i c k n e s s 8w is g i v e nby th(cr/2) --- 0.917.Cubic anisotropy. In g e n e r al , t h e a n i s o t ro p y e n e r g y u n d e r c u b ic s y m m e t r yi s n o t a f u n c t i o n o f 8 o n ly . W i t h r e fe r e n c e t o F i g . 7 .3 , a n i s o t r o p y d e p e n d so n l y o n 8 i n t h e p a r t i c u l a r c a se w h e r e t h e z ax i s r e p r e s e n t s o n e o f t h e< 1 0 0 > e a s y a x e s , a n d t h e w a l l p l a n e c o i n c i d e s w i t h o n e o f t h e { 10 0} p l a n e s .A c c o r d i n g t o E q . ( 5 . 3 7 ) , t h e d i m e n s i o n l e s s a n i s o t r o p y e n e r g y d e n s i t y i st h e n ( w i t h r = 0)

f(6~) = fAN (m ) = sin2 ~ COs2~ = s in22~ (7.13)2K1 2 8

T h e w a l l s u r f a c e e n e r g y , o b t a i n e d b y i n s e r t i n g E q . ( 7 . 1 3 ) i n t o E q . ( 7 . 8 )a n d p e r f o r m i n g t h e i n t e g r a l o v e r 8, is

Y w = 2 V ' A K 1 (7.14)E q u a t i o n ( 7 . 1 3 ) s h o w s t h a t t h e m a g n e t i z a t i o n i n s i d e t h e w a l l p a s s e st h r o u g h a n e a s y d i r e c t io n w h e n i t r e a c h e s ~ - r H e r e t h e a n i s o t r o p ye n e r g y d e n s i t y g o e s t o z e r o , w h i c h m e a n s , a c c o r d i n g t o t h e p r e v i o u s l ym e n t i o n e d p r i n c ip l e o f e q u i p a r t i t io n o f a n i s o t r o p y a n d e x c h a n g e e n e rg y ,t h a t t h e e x c h a n g e e n e r g y d e n s i t y s h o u l d a l s o g o to z er o . W e t h u s c o n c l u d et h a t d~9/dx --- 0 w h e n 8 --- r T h e i n t e r n a l w a l l s t r u c t u r e t e n d s t o s p l i ti n t o t w o a d j a c e n t 9 0 ~ w a l l s. T h e s t a b i li t y o f th i s c o m b i n e d s t r u c t u r e w i l ld e p e n d o n t h e p r e s e n c e o f a d d i t i o n a l e n e r g y c o n t r i b u ti o n s , l ik e fo r e x a m -p l e m a g n e t o e l a s t i c c o n t r i b u t i o n s , n o t c o n s i d e r e d h e r e .

D a t a o n w a l l e n e r g y a r e g i v e n in A p p e n d i x D f o r v a r i o u s m a t e ri a ls .A s a n e x a m p l e , t h e w a l l e n e r g y c a l c u l a t e d f o r i r o n f r o m E q . ( 7 . 1 4 ) i sa r o u n d 1 .7 1 0 - 3 J m - 2 .


14/33

202 CHA PTER 7 M agnet ic Dom ains and Do main W all s7 . 2 . 2 M o r e c o m p l e x w a l l s t r u c t u r e sT h e a n a l y s i s o f t h e B lo c h w a l l p r o b l e m p r e s e n t e d i n th e p r e v i o u s s e c t i o nis a ty p i c a l e x a m p l e o f t h e c o m p r o m i s e s b e t w e e n r i g o r a n d s i m p l i c i tyt h a t a re n e e d e d i n o r d e r to p a s s f r o m m i c ro m a g n e t ic s t o d o m a i n th e o ry .I n t h e c a l c u l a ti o n o f th e w a l l s t ru c t u r e , t h e e x i s te n c e o f t h e t w o d o m a i n sw a s a s s u m e d to b e a k n o w n f a c t f o rc in g t h e p re s e n c e o f t h e d o m a i n w a ll .T h e d o m a i n w a l l w a s a s s u m e d t o b e p la n e , a n d r n w a s a s s u m e d to ro t a tei n s i de t he w a l l i n a spe c if ic w a y , de s c r i be d by E q . ( 7 .1 ) , ba s e d on t hep l a u s i b l e a r g u m e n t t h a t t h i s w o u l d e n t a i l n o m a g n e t o s t a t i c e n e r g y . I n am o r e r i g o r o u s a n a l y s i s , t h e s e a s s u m p t i o n s s h o u l d c o m e o u t a s e x a c t o ra p p r o x i m a t e p r o p e r t i e s o f t h e m i c r o m a g n e t i c s o lu t i o n s o f t h e p r o b l e m .I n pa r t i c u l a r , t he r e is one po i n t i n t h is p i c t u r e t ha t , un de r a m o r e de t a i l e da n a l y s i s , r e v e a l s i t s w e a k n e s s a n d o p e n s t h e d o o r t o n e w p h e n o m e n a .W h e n w e a s s u m e t h a t t h e w a l l st ru c t u r e c a n b e d e s c ri b e d b y t h e x co o r d i-n a t e o n ly , w e i m a g i n e w e a r e d e a l i n g w i t h t h e i d e a l i z e d c a s e o f a n i n f i n i tec r y st al . W e d o n o t c a r e a b o u t t h e m a g n e t o s t a t i c e ff ec ts ta k i n g p l a c e w h e r et h e w a l l e m e r g e s a t t h e s u r f a c e o f t h e b od y ~ a n d m a g n e t i c fr ee p o l e s m a yb e f o r m e d . T h is a p p r o x i m a t i o n b e c o m e s g r o s s ly i n a d e q u a t e i n th i n f i l m sw i t h lo w a n is o tr o p y ; w h e r e m a g n e t o s ta t ic e n e r g y d o m i n a t e s a n d d o m a i nw a l l s a r e i ne v i t a b l y c l o s e t o t he f i l m s u r f a c e . T he c ons e que nc e s on t hei n t e r n a l w a l l s t r u c t u r e c a n b e i n v e s t i g a t e d b y s o l v i n g B r o w n ' s e q u a t i o n sa n d b y e s t i m a t i n g t h e e n e r g y a n d t h e s t a b i l i t y o f t h e f o u n d s o l u t i o n s . I nt h is s e c ti o n , w e s h a l l b r i e fl y s u m m a r i z e t h e m a i n c o n c l u s i o n s t h a t c a n b er e a c h e d .L e t u s c o n s i d e r F ig . 7 .5 , s h o w i n g h o w m a g n e t o s t a t ic e n e r g y m a y a f fe c tt he w a l l s t r uc t u r e i n a fi l m w i t h i n - p l a ne u n i a x i a l a n i s o t r opy . I n F i g. 7 .5(a ), w e h a v e s k e t c h e d t h e m a g n e t i z a t i o n p a t h a s s o c i a te d w i t h a p u r e B l oc h -t y p e w a l l. A t t h e s a m p l e s u r fa c e th e m a g n e t i z a t i o n , i n c o r r e s p o n d e n c e o ft h e w a l l , p o i n t s o u t s i d e o r i n s id e t h e f il m a t n i n e t y d e g r e e s t o t h e s u r f ac e .T h e s u r f a c e m a g n e t i c c h a r g e s a s s o c i a t e d w i t h t h i s c o n f i g u r a t i o n g i v e ad e f i n i t e m a g n e t o s t a t i c e n e r g y c o n t r i b u t i o n . T h i s e n e r g y c a n b e r e d u c e di f t h e s u r f a c e c h a r g e s a r e d i lu t e d a s v o l u m e c h a r g e s o v e r a c e r ta i n d e p t hi n s i de t he f i l m . T h i s i s ob t a i ne d i f , a t t he f i l m s u r f a c e , t he m a gne t i z a t i oni n s i de t he w a l l r o t a t e s i n t he f i l m p l a ne , no t pe r pe nd i c u l a r t o i t . W i t hde c r e a s i ng f i l m t h i c kne s s , t he s e s u r f a c e d i s t o r t i on s o f t he B l oc h - w a l l s t r uc -t u r e c a n c om bi ne t o f o r m t he vo r t e x s t r uc t u r e s how n i n F i g . 7 . 5 ( b ) . T h i sr e p r e s e n t s a n asymmetric B loch wall. T h e t e r m a s y m m e t r i c r ec a ll s t h e f a c tt h a t th e m a g n e t i z a t i o n p a t h i n s id e t h e w a l l is n o t s y m m e t r ic u n d e r m i r r o rr e f l e c t i o n . I n f a c t , t h e p a t h s h o w n i n t h e f i g u r e i s o n l y o n e a m o n g f o u rp o s s ib i li ti e s, i n w h i c h t h e m a g n e t i z a t i o n f l o w s i n t o t h e w a l l a t th e t o p o rb o t t o m f il m s u r fa c e a n d t h e n p r o c e e d s c l o c k w i s e o r c o u n t e r c lo c k w i s e . In


15/33

7 .2 DO M AIN WA LLS 203

| T ( a ) B l o c h

| ( b ) V o r t e x

| ( c ) N ~ e l

FIGURE 7.5 . Schem atic wa ll structu res in thin films.

t h e e x a m p l e s h o w n i n t h e f i g u r e , m f l o w s i n f r o m t h e l e f t d o m a i n n e a rt h e b o t t o m f i lm s u r f a c e a n d p r o c e e d s c l o c k w i s e u n t i l it e x it s th e w a l l n e a rt h e t o p s u r f a c e . W i t h f u r t h e r r e d u c e d f i l m t h i c k n e s s , t h e w a l l p o r t i o n sw i t h i n - p l a n e m a g n e t i z a t i o n r o t a t i o n a r e t h e o n l y o n e s s u r v i v i n g , a n do n e c o m e s t o c o n s i d e r t h e w a l l s t r u c t u r e s h o w n i n F i g . 7 . 5 ( c ) , k n o w n a sth e Nfel wall . M i c r o m a g n e t i c c a l c u l a t i o n s i n d i c a t e t h a t i n t h i s c a s e t h ew a l l is n o t s h a r p l y d e f i n e d a s m i g h t b e i n f e rr e d f r o m t h e f ig u r e . T h e r e isa n a r r o w c e n t r a l c o r e w h e r e m p r a c t i c a l l y p o i n t s a t n i n e t y d e g r e e s t o t h em a g n e t i z a t i o n i n th e d o m a i n s , a n d a m u c h w i d e r t r a n s i ti o n r e gi o n, w h e r em p a s s e s f r o m t h e d i r e c t i o n i n t h e w a l l t o t h e d i r e c t i o n i n t h e d o m a i n sa c c o r d i n g t o a n e a r l y l o g a r i t h m i c l aw . T h e r e e x i st s a m o d i f i c a t i o n o f t h ep u r e N 6 e l w a l l s t r u c t u r e t h a t f u r t h e r r e d u c e s t h e e n e r g y o f t h e s y s t e m .I f w e l o o k a t t h e N 6 e l w a l l o f F ig . 7.5 (c ) f r o m t h e t o p s u r f a c e o f t h e f i lm ,w e s e e a c u r li n g m a g n e t i z a t i o n p a t h i n w h i c h t h e m a g n e t i z a t i o n c ro s se st h e w a l l c o u n t e r c l o c k w i s e f r o m r i g h t t o l e f t . T h e w a l l e n e r g y i s f u r t h e rr e d u c e d i f t h e w a l l s p l it s in t o a s e q u e n c e o f v o r t ic e s w h e r e t h e m a g n e t i z a -t i o n a l t e r n a t i v e l y c r o s s e s t h e w a l l f r o m r i g h t t o l e f t a n d v i c e v e r s a ( s e eF i g . 7 . 6 ) . T h i s s t r u c t u r e , k n o w n a s t h e cross-tie wall, i s c h a r a c t e r i z e d b yt h e p r e s e n c e o f t w o t y p e s o f s i n g u l a r i t y (Bloch lines) a t t h e c e n t e r o f t h e


16/33

204 CHA PTER 7 M agnet ic Dom ains and Do main W all s

FIGURE 7.6 . Sc hem aticrepresentat ion o f cross-t ie w al l s t ructure in thin f i lm, asseen from the f i lm surface.v o r t e x l i k e m a g n e t i z a t i o n p a t t e r n s , a n d a t t h e p o i n t w h e r e c o n t i g u o u svo r t e x pa t t e r n s t ouc h e a c h o t he r ( do t s a nd c r o s s e s o f F i g . 7 . 6 ) .

T h e s e e x a m p l e s a r e j u s t a p a l e r e p r e s e n t a t io n o f th e f a s c i n a t i n g r ic h -n e s s o f m i c r o m a g n e t i c s tr u c t u re s t h a t o n e m a y e n c o u n t e r w h e n e x c h a n g e ,a n i s o tr o p y , s p e c i m e n g e o m e t ry , a n d e x t e r n a l fi el d a c ti o n a re c o m b i n e d i nd i f f e re n t w a y s .

7 .3 D O M A I N S T R U C T U R E SI n t h is s ec ti o n , w e d i s c u s s s o m e g u i d i n g c o n c e p t s a n d p r i n c ip l e s t h a t m a yb e h e l p f u l i n in t e r p r et in g o b s e r v e d d o m a i n s t ru c t u r e s o r in g u e s s i n g t h em o s t p r o b a b l e s t ru c t u r e e x p e c te d u n d e r g i v e n c o n d it io n s . W e m e n t i o n e da t th e b e g i n n i n g o f t h is c h a p t e r t h a t t h e r e a s o n f o r t h e e x is te n c e o f d o m a i ns t r u c t u r e s is r e c o g n i z e d o n l a r g e s ca le s , w h e r e m a g n e t o s t a t ic p h e n o m e n aa c q u i r e a d o m i n a n t r o le . T h e i n fl u e n c e o f m a g n e t o s t a t i c e n e r g y o n d o m a i nc o n f i g u r a ti o n s is s u m m a r i z e d b y t h e pr inciple of p ole avoidance, e x p r e s s e da s f o l l ow s .P rinciple of pole avoidance. T he m a g n e t o s t a ti c e n e r g y o f a b o d y is p r o p o r -t i ona l t o t he i n t e g r a l ove r a l l s pa c e o f t he s qua r e o f t he m a gne t o s t a t i cf i e ld , H ~ (Eq. 4.8 ). A cco rd in g t o Eq . (4 .12), t he sou rce o f HM is the m ag ne t i cc h a r g e d e n s i ty - V . M . E q u a t io n (4.8) s h o w s t h a t t h e m a g n e t o s t a ti c e n e r g yr e a ch e s i ts a b s o lu t e m i n i m u m w h e n H M is z er o e v e r y w h e r e , w h i c h o n l yoccurs i f V 9 M is a ls o z e r o e v e r y w h e r e . T h e r e fo r e , a l o w m a g n e t o s t a t i ce n e r g y c o n f i g u r a t i o n i s a c o n f i g u r a t i o n w h e r e V 9 M i s c lose t o ze ro a sm u c h a s p o s s i b l e , o r i n o t h e r w o r d s , w h e r e t h e f o r m a t i o n o f m a g n e t i cp o l e s i s a v o i d e d a s m u c h a s p o s s i b l e .


17/33

7.3 DO M AIN STRUCTURES 205W e s h a l l d i s c u s s t h e f o r m t a k e n b y t h is p r in c i p l e i n v a r i o u s s i t u a t i o n so f i n t e r e s t . T h e m a i n l i m i t a t i o n t o i t s u n c o n d i t i o n a l u s e t o d e t e r m i n e

e n e r g e t ic a l ly f a v o r e d d o m a i n s t r u c t u r e s is t h e c o s t i n e x c h a n g e a n d a n i s o t-r o p y e n e r g y r e q u i r e d t o r e a li z e a p e r f e c tl y p o le - fr e e d o m a i n c o n f i g u r a t io n .D e p e n d i n g o n t h e s p e c i m e n g e o m e t ry , o n t h e s tr e n g t h o f e x c h a n g e a n da n i s o tr o p y , a n d o n t h e i m p o r t a n c e o f s t r u c t u r a l d i so r d e r , d i f fe r e n t c o m p r o -m i s e s w i l l t u r n o u t t o b e f a v o r e d , g i v i n g r is e to d i f f e re n t d o m a i n s t r u c t u r et o p o l o g i e s . I n g e n e r a l , p o l e a v o i d a n c e p l a y s t h e d o m i n a n t r o l e i n s o f tm a t e r i a l s , f o r w h i c h t h e m a g n e t o s t a t i c e n e r g y r e p r e s e n t s t h e m o s t i m -po r t a n t c on t r i bu t i on ( s e e S e c t i on 6 . 1 . 2 ) .

B e fo r e p r o c e e d i n g w i t h t h e a n a l y s i s o f d o m a i n s t r u c tu r e s , a p o i n t o ff u n d a m e n t a l i m p o r t a n c e m u s t b e s t r e s s e d . E a c h t i m e e n e r g y c o n s i d e r a -t io n s a r e u s e d t o d r a w c o n c l u s i o n s a b o u t d o m a i n s t r u c t u r e s , o n e i m p l i c it lya s s u m e s t h a t d o m a i n s t r u c tu r e s o f l o w e r e n e r g y a r e t h e o n e s m o r e l i k e lyt o b e r e al iz e d . T h i s a s s u m p t i o n c a n b e u s e f u l i n p r e l im i n a r y , q u a l i ta t iv ec on s i de r a t i ons , bu t it i s i n t he e nd i nc o r r e c t. E a c h do m a i n s t r uc t u r e r e p r e -s e n t s o n e a m o n g a la r g e n u m b e r o f p o s s ib l e m e t a s t a b l e s ta te s . T h e f a ctt h a t a c e r t ai n d o m a i n s t r u c t u r e is r e a li z e d i n p r a c ti c e d e p e n d s o n t h e p a s th i s t o r y o f t he e x t e r n a l f ie l d , m or e t ha n on i ts e ne rgy . T he f a c t t ha t a c e r t a i ns t a t e h a s a p a r t i c u l a r l y l o w e n e r g y d o e s n o t g u a r a n t e e t h a t t h i s s t a t e i so c c u p i e d b y t h e s y s t e m , b e c a u s e i t c a n b e s e p a r a t e d f r o m o t h e r s t a t e s o fh i ghe r e ne r gy by l a r ge ba r r i e r s . T h i s c onc l u s i on i s a t t he r oo t o f t heh y s t e r e s is p h e n o m e n a o b s e r v e d i n m a g n e t i c m a t e ri a ls : in fa ct , n o h y s t e re -s is a t al l w o u l d e x i st w i t h o u t t h e p o s s i b i li ty o f o c c u p y i n g m e t a s t a b l e s t a te so t h e r t h a n t h e s t at e o f m i n i m u m e n er gy .

7 .3.1 I d e a l l y s o f t m a t e r i a l s i n t w o d i m e n s i o n sI n th i s s ec ti o n , w e d i s c u s s d o m a i n s t r u c t u r e s i n th i n f i lm p l a te s , m a d e o fa n ideal s o f t m a g n e t i c m a t e r i a l w i t h n e g l i g i b l e e x c h a n g e a n d a n i s o t r o p y .W e s h a l l d e s c r ib e t h e f il m a s a t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m , w h e r e d i ff e re n c e si n th e b e h a v i o r a t d i f fe r e n t d e p t h s a c r o ss t h e f i l m t h i c k n e s s p l a y n o r ole .T h i s is a c as e w h e r e t h e p r i n c i p le o f p o l e a v o i d a n c e c a n b e t r a n s l a t e d i n toa n e l e g a n t m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e , d u e t o V a n d e n B e r g , t o d e t e r m i n et h e p o s s i b l e m a g n e t i z a t i o n c o n f i g u r a t i o n s i n t h e s y s t e m . A s w e s h a l l s ee ,t h e m e t h o d g o e s s o m e w h a t b e y o n d d o m a i n t h eo r y, b e c a u s e it d o e s n o ta s s u m e i n a d v a n c e t h e ex i st en c e o f d o m a i n s a n d m a y l ea d t o c o n f ig u r a -t i o n s w h e r e t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n d o m a i n s a n d d o m a i n w a l l s i s n o tc l ea r -cu t . I t s ch i e f i n t e re s t l i e s i n t he fac t t ha t i t shows wi th g rea t c l a r i t yh o w t h e r e q u i r e m e n t o f h a v i n g a d i v er g e n ce - fr e e m a g n e t i z a ti o n c o n f i g u r a-


18/33

2 0 6 C H A P T E R 7 M a g n e t ic D o m a i n s a n d D o m a i n W a l ls

t io n n a t u r a l l y l e a d s to th e e x i st e n ce o f d o m a i n w a l l s a n d d o m a i n s t ru c -t u r e s , e v e n i f e x c h a n g e a n d a n i s o t r o p y a r e n e g l e c t e d .

T h e s y s t e m w e a r e g o i n g t o d i s c u s s is a n i d e a l l y s o f t f i lm o f g e n e r i cs h a p e ( F i g . 7 . 7 ) . T h e o n l y r e s t r i c t i o n i s t h a t t h e f i l m b e s i m p l y c o n n e c t e d ,t h a t i s, w i t h o u t h o l es . W e w a n t t o f i n d o u t t h e p o s s i b l e p o l e - fr e e m a g n e t i -z a t i o n c o n f i g u r a t i o n s , f o r w h i c h V 9 m = 0 e v e r y w h e r e i n t h e f il m , a n dm 9 n = 0 a ll a l o n g t h e f il m b o u n d a r y , w h e r e n i s t h e u n i t v e c t o r n o r m a lt o t h e f i l m e d g e . O t h e r e n e r g y c o n t r i b u t i o n s , p o s s i b l y c o m i n g f r o m e x -c h a n g e o r a n i s o t r o p y , ar e i g n o r e d . T h e p r o b l e m i s w e l l d e f i n e d f r o m t h em a t h e m a t i c a l v i e w p o i n t : w e a r e l o o k i n g f or s o lu t io n s o f t h e e q u a t i o nV 9 m = 0 i n t w o d i m e n s i o n s , w i t h m 2 = 1 i n s i d e t h e b o d y a n d m = 0i n o u t e r s p a c e . I n a d d i t i o n , m 9 n = 0 a t t h e f i l m e d g e , o r, i n o t h e r w o r d s ,m m u s t b e e v e r y w h e r e t a n g e n t t o t h e f i l m c o n t o u r C .

G i v e n t h e f a c t t h a t m 2 - - 1 , t h e m v e c t o r i s d e s c r i b e d i n t w o d i m e n s i o n sb y a s i n g l e a n g l e c o o r d i n a t e , s a y t h e a n g l e ~b b e t w e e n m a n d t h e x a x is .W e h a v e

m x = cos~b (7.15)my = sin~b

I n t e r m s o f ~b, t h e e q u a t i o n V 9 m = 0 c a n b e w r i t t e n i n th e f o r mOm v = _ 0 4 340 = 3mx + s in~b + c o s6 (7 .16)0x 0y 7 x

T h e p r o b l e m i s t o d e t e r m i n e t h e f u n c t i o n ~ b(x ,y) i n s i d e t h e b o d y . T h i s c a nb e a c c o m p l i s h e d b y s o l v i n g t h e f i r s t- o r d e r p a r t i a l d if f e r en t ia l e q u a t i o n o f

j/

FIGUR E 7 . 7 . Tw o -d i m en s i o n a l e lem e n t w i t h r ep re s en t a t i o n o f u n i t m ag n e t i za t i o nvector m and associated angle ~b.


19/33

7.3 DOM AIN STRUCTURES 207Eq. (7 .16) by the me tho d of characteristics. T h e d e t a i l s a r e d i s c u s s e d i n t h ea r t i c l e s m e n t i o n e d i n t h e b i b l i o g r a p h i c a l n o t e s . H e r e w e d e s c r i b e t h ee s s e n c e o f t h e m e t h o d a n d i t s p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e .L e t u s c o n s i d e r a p o i n t o n t h e f i l m c o n t o u r C , o f c o o r d i n a t e s ( x 0 , Y 0 )( se e F i g . 7 .7 ). m i s t a n g e n t t o C a t t h a t p o i n t , a n d f o r m s t h e a n g l e ~ 0 w i t hthe x ax i s . Le t ~ x , y ) b e a s o l u ti o n t o th e p r o b l e m . W e w a n t t o d e t e r m i n et h e s h a p e o f t h e c h a r a c t e r i s t ic l i n e o u t o f (x0,Y 0) a l o n g w h i c h t h e r e i s n oc h a n g e i n m o r i e n t a t io n , t h a t i s, a l o n g w h i c h ~ x , y ) = ~0. Le t u s in t r od uc ea s u i t a b l e c o o r d i n a t e s , i d e n t i f y i n g p o i n t s a l o n g t h i s l i n e . W e h a v e

d___~ = O___~ x + 3___~ y = 0 (7.17)ds 3x ds 3y ds

b e c a u s e w e w a n t ~ to b e c o n s t a n t a l o n g t h e li n e. T h e g o a l is t o f i n d s u i ta b l ee x p r e s s i o n s f o r dx /ds and dy /d s , g i v i n g a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n o ft h e l i n e s h a p e . B y c o n s i d e r i n g t h a t b o t h E q . (7 .1 7) a n d E q . (7 .1 6) m u s t b es a ti s fi e d , a n d b y r e c a l l in g t h a t ~ x , y ) = ~0 a l o n g t h e l in e u n d e r c o n s i d e r -a t i o n , o n e c o n c l u d e s t h a t

dx = _s in~ 0 dy = cos~0 (7.18)ds dsw h i c h c a n b e i n t e g r a t e d t o g i v e

Y - Y 0 = tg ~0 x - x 0 (7.19)T h i s is t h e e q u a t i o n o f t h e s t r a i g h t li n e p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t (x0, Y0)o f t h e c o n t o u r C a n d p e r p e n d i c u l a r t o C i ts el f. T h e r e fo r e w e a r r iv e a t t h ef o l lo w i n g r e m a r k a b l e c o n c lu s io n .Th e geometry o f the ilm contour completely determines the nature of the solution.T h e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c o n t o u r s h a p e p r o p a g a t e s i n w a r d i n t h e f i l mt h r o u g h s t r a i g h t l i n e s , a l o n g w h i c h m h a s t h e s a m e o r i e n t a t i o n a s a t t h ef i l m e d g e . B y t h i s r u l e , t h e m a g n e t i z a t i o n a t a n y g i v e n p o i n t i n s i d e t h ef il m c a n b e d e t e r m i n e d .

H o w e v e r , t h e r e s u l t e x p r e s s e d b y E q . (7 .1 9) c o n t a i n s a s e ri o u s a m b i g u -i t y . I t i s q u i t e p o s s i b l e t h a t t w o c h a r a c t e r i s t i c s s t a r t i n g f r o m d i f f e r e n tp o i n t s o f C c r o s s e a c h o t h e r i n s i d e t h e f i l m ( F i g . 7 . 8 ) . T h e c r o s s i n g p o i n tP is a p o i n t w h e r e w e h a v e a n a m b i g u i t y i n t h e d e f in i t io n o f t h e m a g n e t i z a -t i o n o r i e n t a t i o n 6 . T h i s s h o w s t h a t t h e s o l u t i o n p r e v i o u s l y o b t a i n e d i si n c o m p l e t e l y d e s c r i b e d . M o v i n g a l o n g a c e r t a i n c h a r a c t e r i s t i c c a n o n l yg i v e t h e c o r r e c t m a g n e t i z a t i o n a n g l e u p t o a c e r t a i n p o i n t , w h e r e t h ev a l u e a s s o c i a t e d w i t h t h a t c h a r a c t e r i s t i c c e a s e s t o b e a c c e p t a b l e . T h a t


20/33

208 CHA PTER 7 M agnet ic Dom ains and Dom ain W alls

FIGURE 7.8. Con struct ion identifying posi tion of singular point P wh ere magn eti-zat ion or ientat ion has a discontinuous jump.p o i n t r e p r e s e n t s a singular p oint o f t h e s o l u t io n , w h e r e r d i s c o n t i n u o u s l yj u m p s f r o m o n e v a l u e t o a n o t h e r . I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e l o c a t i o n o ft h e s e s i n g u l a r p o i n t s , le t u s c o n s i d e r t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e e q u a t i o nV 9 m = 0 , w h e n i t i s i n t e g r a t e d o v e r f in i te p o r t i o n s o f t h e f il m . T h er e q u i r e m e n t o f z e r o d i v e r g e n c e i m p l i e s t h a t t h e t o t al m f l u x o u t o f a n yc l o s e d c o n t o u r 1 m u s t b e z e r o . L e t u s c o n s i d e r t h e t w o c r o s s in g c h a r a c t e r i s -t ic s o f F i g . 7 .8 , a n d l e t u s c h o o s e a s c l o s e d c o n t o u r t h e p a t h c o n s i s t i n g o ft h e t w o c h a r a c t e r i st i c s e g m e n t s a n d t h e p o r t i o n o f t h e fi lm e d g e i n b e t w e e nt h e m . B e c a u s e m i s t a n g e n t t o C e v e r y w h e r e , n o f l u x c o n t r i b u t i o n c o m e sf r o m t h e f i l m e d g e . O n t h e o t h e r h a n d , w e k n o w t h a t , a c c o r d i n g t o E q .( 7 . 1 9 ) , m i s e v e r y w h e r e p e r p e n d i c u l a r t o t h e c h a r a c t e r i s t i c . T h i s m e a n st h a t t h e f l u x a c ro s s t h e t w o c h a r a c te r i st i c s e g m e n t s is p r o p o r t i o n a l t o th e i rl e n g t h . W e th e r e f o r e c o m e t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e r e q u i r e m e n t o f z e r ot o ta l f lu x is e q u i v a l e n t t o i m p o s i n g e q u a l l e n g t h s t o t h e c r o s s in g s e g m e n t s .B e c a u s e t h e c h a r a c t e r i s t i c s a r e p e r p e n d i c u l a r t o C , t h e y c a n b e t h o u g h to f a s t w o r a d i i o f t h e c i rc le t a n g e n t t o C a t th e t w o c h o s e n p o i n t s . T h ec e n t e r o f t h e ci rc le id e n t if ie s t h e s o u g h t s i n g u l a r p o i n t , w h e r e r s u d d e n l yj u m p s f r o m t h e v a l u e a s s o c i a t e d w i t h o n e c h a r a c t e r i s t i c t o t h e o t h e r .I n g e n e r a l t h e r e w i l l e x i s t i n f i n i t e s i n g u l a r p o i n t s f o r a g i v e n p r o b l e m ,d e s c r i b i n g singular lines, a l o n g w h i c h t h e m a g n e t i z a t i o n o r i e n t a t i o n h a sa d i s c o n t i n u o u s j u m p . T h e s e l i n e s a r e n o t h i n g b u t domain walls. W e s e e

1In two dimensions, closed contou rs pl ay the ro le of closed surfaces to w hich one canapp ly the divergen ce theorem.


21/33

7.3 DOMAIN STRUCTURES 2 0 9

t h a t t h e p r i n c i p l e o f p o l e a v o i d a n c e h a s d i r e c t l y l e d t o t h e p r e d i c t i o n o ft h e e x is te n c e o f d o m a i n w a l ls , e v e n i f e x c h a n g e a n d a n i s o t r o p y h a v e b e e ni g n o r e d . F o l l o w i n g t h e s e c o n s i d e r a t i o n s , o n e c o n c l u d e s t h a t t h e b a s i cd o m a i n w a l l c o n f i g u r a t i o n a s s o c i a t e d w i t h a f i l m o f g i v e n g e o m e t r i c a ls h a p e i s d e f i n e d b y t h e f o l l o w i n g c o n s t r u c t i o n .Van den B erg construction. T h e b a s ic d o m a i n w a l l c o n f i g u r a t io n o f a g i v e ni d e a l l y s o f t f i l m i s g i v e n b y t h e l o c u s o f t h e c e n t e r s o f a l l c i rc l e s t h a t t o u c ht h e e d g e o f t h e f i l m i n a t l e a s t t w o p o i n t s a n d t h a t d o n o t i n t e r s e c t t h ee d g e a t a n y p o i n t.

E x a m p l e s o f V a n d e n B e rg co n s t ru c t io n , c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a ld o m a i n o b s e r v a t i o n s , a r e s h o w n i n F i g . 7 . 9 . I n F i g . 7 . 9 ( a ) a n d ( b ) , t h ed o m a i n w a l l h a s a 1 80 ~ c h a r a c t e r a t t h e c e n t e r o f t h e e l l ip s o i d a l e l e m e n t ,b u t c o n t i n u o u s l y c h a n g e s i ts n a t u r e w h i l e a p p r o a c h i n g t h e fi lm e d g e . T h ej u m p i n m a g n e t i z a t i o n d e c r e a s e s w h e n m o v i n g a w a y f r o m t h e c e n t e r ,u n t i l t h e w a l l d i s a p p e a r s w h e n t h e c e n t e r o f c u r v a t u r e o f t h e e l li p s e v e r t e xi s r e a c h e d .

E x a m p l e s ( c ) a n d ( d ) i n F i g . 7 . 9 g i v e e v i d e n c e o f a f u r t h e r a s p e c tw o r t h y o f c o m m e n t . A t e a c h p o i n t o f t h e c o n t o u r C , t h e re a r e t w o o p p o s i t e

FIGURE 7.9. (a) Van den Berg construction for the fun dam enta l do m ain s tructureof an el l ipt ical element. (b) Bit ter pattern observed in permalloy f i lm element(long axis 33 ]zm, sho rt axis 22 ]zm, thickn ess 350 nm ). (c) Van de n Berg con structionwith one v i r tual cu t a long the shor t ax is of the e lement . (d) Dom ain pat tern inSendust element ( long axis 47 ~m, short axis 26/~m, thickness 50 nm) observedby Kerr effect (after Ref. 7.1, p. 2 52, Fig. 19, w ith kind perm ission from Kluw erAcademic Publishers and American Insti tute of Physics) .


22/33

210 CHAPTER 7 M agnet ic Dom ains and Dom ain W alls

m o r i e n ta t io n s c o m p a t i b le w i t h t h e r e q u i r e m e n t o f m b e i n g t a n g e n t t o C.W e c a n c h o o s e o n e o f t h e t w o o r i e n t a t i o n s i n s u c h a w a y t h a t ~ v a r i e sw i t h c o n t i n u i t y a l l a l o n g C, b u t w e c a n a l s o c h o o s e o p p o s i t e o r i e n t a t i o n si n d i f f e r e n t p a r t s o f t h e c o n t o u r , g i v i n g r i s e t o ~ d i s c o n t i n u i t i e s b y 1 80 ~a t c e r t a i n c o n t o u r p o i n t s . T h e r e f o r e , t h e r e a r e m a n y p o s s i b l e d o m a i ns t r u c t u r e s c o m p a t i b l e w i t h a g i v e n g e o m e t r y . T h e s e s t r u c t u r e s c a n b et r e a t e d b y i m a g i n i n g t h e e x i s t e n c e o f v i r t u a l c u t s t h a t s t a r t f r o m t h ec o n t o u r p o i n t s w h e r e ~ e x h i b i ts a 1 80 ~ d i s c o n t i n u i t y a n d d i v i d e t h e f i l mi n t o d i s j o i n t p a r t s , t o e a c h o f w h i c h t h e g e o m e t r i c a l c o n s t r u c t i o n j u s td i s c u s s e d i s a p p l i e d , a s i f i t w a s a s e p a r a t e b o d y . I n f a c t , i f t h e z e r od i v e r g e n c e r e q u i r e m e n t i s s a t i s f i e d i n e a c h p a r t , i t w i l l a l s o b e s a t i s f i e df o r t h e e n t i r e b o d y . I n f i n i t e l y m a n y s u c h s u b d i v i s i o n s c a n b e i m a g i n e d .W h i c h o f t h e m is m o r e l i k el y t o b e r e a l iz e d d e p e n d s o n t h e p a s t h i s t o r yo f t h e s a m p l e a n d o n th e a m o u n t o f e x c h a n g e a n d a n i s o t r o p y e n e r g yn e e d e d t o r e al i ze i t. I n fa c t, e v e n i f t h e s e e n e r g i e s h a v e b e e n n e g l e c t e d i nt h e t r e a t m e n t , t h e y a r e e v e n t u a l l y e x p e c t e d t o p l a y a ro le w h e n t h e e n e r g ie so f d i f f e r e n t d o m a i n s t r u c t u r e s a r e c o m p a r e d . E x c h a n g e c e r t a i n l y g i v e sa c o n t r i b u t i o n i n s i d e d o m a i n w a l l s , w h e r e t h e m a g n e t i z a t i o n i s h i g h l yn o n u n i f o r m , w h e r e a s a n i so t ro p y , e v e n i f s m a l l, m a y g i v e a n a p p r e c i a b l ee n e r g y i n c r e a se i f l a rg e p a r t s o f t h e b o d y a r e m a g n e t i z e d a w a y f r o m e a s yd i r e c t i o n s . F o r a g i v e n d o m a i n s t r u c t u r e t o p o l o g y , d o m a i n w a l l e n e r g ya n d a n i s o t r o p y e n e r g y h a v e a d i f f e r e n t d e p e n d e n c e o n t h e s i z e o f t h eb o d y . G i v e n s o m e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h L , i n t w o d i m e n s i o n s w a l l e n e r g yw i l l g r o w l ik e L b u t a n i s o t r o p y e n e r g y w i ll g r o w l ik e L2. T h i s m e a n s t h a ts i m p l e s t r u c t u r e s , w i t h f e w d o m a i n w a l l s , w i l l b e f a v o r e d i n s m a l l b o d i e s ,w h e r e a s c o m p l i c a t e d s t ru c t u re s , b r i n g i n g t h e l oc a l m a g n e t i z a t i o n a s c l os ea s p o s s i b l e t o l o c a l e a s y a x e s , w i l l b e f a v o r e d i n l a r g e r b o d i e s .

7 . 3 . 2 C o m p l e x d o m a i n s t r u c t u r e sV a n d e n B e r g c o n s t r u c t i o n i s a n e l e g a n t e x a m p l e o f a p p l i c a t i o n o f t h ep r i n c i p l e o f p o l e a v o i d a n c e , b u t i t i s l i m i t e d i n m a n y r e s p e c t s , o w i n g t oi t s t w o - d i m e n s i o n a l a n d i d e a l i z e d c h a r a c t e r . M o r e g e n e r a l s i t u a t i o n s c a nb e a n a l y z e d o n t h e b a si s o f h e u r i st i c c o n s i d e ra t io n s , t o g e t h e r w i t h s o m ei m a g i n a t i o n i n f i g u ri n g o u t w h i c h d o m a i n s t ru c t u r e s m i g h t p o s se s s p a r ti c -u l a r l y l o w e n e r g y .Picture-frame single crystals. R i n g s p e c i m e n s h a v e a v e r y s p e c i a l r o l e i nt h e s t u d y o f m a g n e t i c m a t e r i a l s , b e c a u s e t h e y p e r m i t o n e t o g e t r i d o fd e m a g n e t i z i n g e f f e c t s ( s e e S e c t i o n 3 . 2 . 3 ) a n d t o a v o i d t h e f o r m a t i o n o fc o m p l i c a t e d d o m a i n s t r u c t u r e s . I n p a r t i c u l a r , d e c i s i v e p r o g r e s s i n t h e


23/33

7 .3 DOMAIN STRUCTURES 211

FIGURE 7.1 0. Picture fram e cut from single crystal w ith cubic anisotropy. (a)Saturated state; (b) demagnetized state with 180~ dom ain wal l.c o m p r e h e n s i o n o f d o m a i n w a l l p r o p e r t i e s h a s b e e n a c h i e v e d b y i n v e s t i -g a t i n g S i - F e s i n g l e c r y s t a l s , c u t i n t h e f o r m o f a h o l l o w p i c t u r e f r a m e ,w i t h t h e f r a m e l i m b s a l i g n e d a l o n g e a s y m a g n e t i z a t i o n a x e s ( F i g . 7 . 1 0 ) .T h e n a t u r a l d o m a i n s t ru c t u r e f o r t hi s s y s t e m i s t h e o n e w h e r e t h e m a g n e t i -z a t i o n f l o w s a l o n g t h e f o u r l i m b s a n d f o u r 9 0 ~ d o m a i n w a l l s a t t h e f r a m ec o m e r s d r i v e t h e r o t a t i o n o f t h e m a g n e t i c f l u x f ro m o n e l i m b t o th e n e x t( F i g . 7 . 1 0 ( a ) ) . T h i s c o n f i g u r a t i o n i s e x t r e m e l y s t a b l e : t h e m a g n e t o s t a t i ce n e r g y i s n u l l , a s t h e m a g n e t i z a t i o n i s d i v e r g e n c e - f r e e e v e r y w h e r e , a n dt h e a n i s o t r o p y a n d e x c h a n g e e n e r g y a r e a l s o z e r o e v e r y w h e r e e x c e p ti n s i d e t h e 9 0 ~ d o m a i n w a l l s . I n s p i t e o f t h i s s t a b i li ty , i t i s p o s s i b le , b ya p p l y i n g a s u i t a b le f ie l d h i s t o r y 2, t o f or c e th e s y s t e m i n to a d e m a g n e t i z e ds t a t e , w h e r e t h e a v e r a g e f l u x t h r o u g h e a c h f r a m e l i m b i s z e r o ( F i g . 7 . 1 0( b) ). I n a d d i t i o n t o t h e f o u r 9 0 ~w a l l s , o n e 1 80 ~w a l l 3 is f o r m e d . C o m p a r i s o no f F ig . 7 .1 0 ( a ) an d F ig . 7 .1 0 ( b ) sh o ws th a t t h e s t r u c tu r e o f F ig . 7 .1 0 ( b )c e r t a i n l y e n ta i l s a h i g h e r e n e r g y . T h e r e i s n o s u b s t a n t i a l a d v a n t a g e , f r o mt h e e n e r g y p o i n t o f v i e w , i n c r e a t i n g t h e 1 80 ~ d o m a i n w a l l . N o n e t h e l e s s ,

2This po int is d iscussed in m ore de tail in Section 10.2.3Striclty speak ing, one gets fou r w all segm ents, one in e ach lim b, but the y behave as ifthey w ere just one closed wall loop.


24/33

212 CHAPTER 7 Magne t ic Dom ains and Dom ain Wal lst h e s y s t e m is t r a p p e d i n th i s m e t a s t a b l e s t a te b y v a r i o u s f o r m s o f s t r u c t u r a ld i s o r d e r t h a t a c t a s p i n n i n g c e n t e r s o n t h e w a l l . A f in i te f ie l d is n e c e s s a r yt o s w e e p a w a y t h e w a l l a n d t o re s t o r e th e s a t u r a t e d s ta t e . T h i s is a b e a u t i f u le x a m p l e w h e r e o n e h a s t h e p o s si b il it y o f i n v e s t ig a t i n g t h e p r o p e r t ie s o fa n i n d i v i d u a l d o m a i n w a l l . U n d e r t h e a c t i o n o f a n e x t e r n a l f i el d , t h e 1 80 ~w a l l b e h a v e s , t o a g o o d a p p r o x i m a t i o n , a s a u n i f o r m l y e x p a n d i n g o rs h r i n k i n g l o o p . A l o t c a n b e l e a r n e d b y s t u d y i n g t h e w a l l d y n a m i c s u n d e rt h e s e c o n d i t i o n s ( S e e S e c t i o n 9 . 1 a n d S e c t i o n 1 0 . 2 ) .

I n o r d e r o f i n c r e a s i n g c o m p l e x i t y , w e n o w c o n s i d e r b u l k c r y s t a l s .H e r e , o n e c o m e s to d i ff e re n t c o n c l u s io n s d e p e n d i n g o n w h e t h e r m a t e r i a l sw i t h cubic o r uniaxial a n i s o t r o p y a r e c o n s i d e r e d . I n a d d i t io n , t h e f o r m a t i o no f closure domains a n d t h e p r e s e n c e o f structural disorder m a y p l a y a d i st in c -t ive ro le .Cu bic anisotropy . An e x a m p l e o f p o l e -f re e d o m a i n s t r u c t u r e u n d e r c u b ica n i s o t r o p y i s t h e o n e s h o w n i n F ig . 7. 1. A d i v e r g e n c e - f r e e m a g n e t i z a t i o np a t h is o b t a i n e d b y a p r o p e r c o m b i n a t i o n o f d o m a i n s a t 1 80 ~ a n d 9 0 ~ w i t hr e s p e c t t o e a c h o t h e r . N o t e t h a t t h i s s t r u c t u r e i s e x a c t l y w h a t w o u l d b ep r e d i c t e d b y a p p l y i n g t h e V a n d e n B e rg c o n s t ru c t i o n d i s c u s s e d i n S e c ti o n7 .3 .1 . M ore gene ra l ly , in a s l ab l ike the o ne o f F ig . 7 .11 , on e ex pe c t s th ed o m a i n s t r u c t u r e s h o w n i n t h e f i g u r e , w h e r e p o l e f o r m a t i o n i s a v o i d e db y t h e i n t r o d u c t i o n o f closure domains a t t h e s a m p l e s u r f a c e . T h e a v e r a g ee n e r g y d e n s i t y is o f th e o r d e r o f ~ 0 N M 2 w h e n t h e b o d y is s a t u r a t e d ,w h e r e N i s a g e o m e t r i c a l f a c t o r r e l a t e d t o d e m a g n e t i z i n g e f f e c t s . W h e nt h e d o m a i n s t r u c tu r e i s f o r m e d , t h e a v e r a g e e n e r g y d e n s i t y is in s t e a d o ft h e o r d e r o f 7 w S w / V , w h e r e 7 w i s t h e w a l l e n e r g y , S w i s t h e t o t a l w a l ls u r f a c e a r e a , a n d V i s t h e b o d y v o l u m e . V / S w i s o f t h e o r d e r o f th e t y p i c a l

DFIGURE 7.11. Form ation of closure dom ains.


25/33

7.3 DOMAIN STRUCTURES 2 1 3

l in e a r si ze D o f m a g n e t i c d o m a i n s . T h e e n e r g y g a i n w h e n d o m a i n s a ref o r m e d is t h u s m e a s u r e d b y t h e r

Chapter 7 - Magnetic Domains and Domain Walls

Documents

Transcript of Chapter 7 - Magnetic Domains and Domain Walls