Chapter 6 Applications
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Chapter 6Applications
Taiki Todo
March 29, 2012
Repeated Games and ReputationsLong-Run Relationships
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Introduction
• 本章では完全観測繰り返しゲームの適用例を3つ紹介
• 現実問題の解析・説明に繰り返しゲームを用いる際の定式化の例
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Outline
• 6.1 Price Wars– n 企業間の価格競争–プレイヤ間の協調 (collusion) の達成可能性
• 6.2 Time Consistency–企業 - 政府間の資本課税競争–無限回繰り返しゲームによる効率的結果の実
現• 6.3 Risk Sharing–消費と保険加入–現実問題の,均衡結果による説明
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6.1 Price Wars6. Applications
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Price Wars
• 同一の商品を生産する n 個の企業• 最安値を設定した企業のみが勝者(消費
者に販売可能)• 勝者の利益は,消費者の需要量 × 価格–複数の企業が最安値を設定した場合,その企
業間で需要を等分割• この競争が繰り返し行われる場合に,企
業間の協調(全員が同一価格を設定)は達成できるだろうか
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Repeated Game Representation(1/3)
• n: 企業(プレイヤ)数• s: 状態.全プレイヤが正確に状態を把握
(perfect monitoring)• S: 状態の集合• q: S 上の分布関数. q(s) は状態 s が生起する確
率• p1,…, pn: 分布 q から選ばれる現在の状態を観
測後,プレイヤが設定する価格.プレイヤの戦略.
• s-min{p1,…,pn}: 最安値に対応する需要.この形式で与えられると仮定.
• min{p} * (s – min{p}): 勝者が等分割する利益
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Repeated Game Representation(2/3)
• 各期のゲームにおけるナッシュ均衡では,最安値は $0 となり,全員利得 0– 他の誰か一人でも $0 を付けた場合,自分はどのよ
うな価格を付けても利得は 0– 一方,自分以外の最安値が $100 のとき, $99 を付
ければ全ての需要を独占– この繰り返しにより最安値は $0 まで低下
• 一方,最も利得を増加させる価格は,需要 s に対して s/2. そのときの利得 (s/2)^2
• 自分以外の全員が s/2 を付けているとき,少し下げれば需要を独占
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Repeated Game Representation(3/3)
• The most collusive equilibrium (MCE)– Strongly symmetric– Maximizes the firms’ expected payoff
• 以降,この MCE p(s) を考慮– p(s) <= s/2: min{p}(s-min{p}) の式より一般性を失わな
い– 均衡からの逸脱は,以降永久に処罰
• 分布 q の構造と均衡戦略との関係を議論– 6.1.1 independent and identically distributed– 6.1.2 with persistence
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6.1.1 Independent Price Shocks
• 各期独立に,同一の分布 q に従って状態 s が生起
• MCE p(s) は,全ての s において以下の式の解:
協調した場合の今期の利得と今後の期待利得
均衡戦略 p から逸脱した場合の今期の利得
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For Large δ
• δ が十分大きいとき, v* の式のみが有効• すなわち, p(s) = s/2 が均衡戦略–現在の状態 s に対する価格設定による利得
が小さくなる
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For Small δ (1/3)
• 一方, δ が十分小さいとき, p(s) は次の式を解く:
• 右図より, s = max{S} の場合
であるから,必ず bar(s) が存在
p(s)
u
bar(s)
p(s)(s-p(s))
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For Small δ (2/3)
• この bar(s) を用いて,MCE p(s) は次のように書ける:– s > bar(s) のとき
– s <= bar(s) のとき
p(s)
u
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For Small δ (3/3):discussions
• Bar(s) が与えられたとき, MCE p(s) は,– s > bar(s) に対して単調減少 (counter-cyclical)• 状態 s の値が大きいほど,逸脱した場合の利益は
大きい– s < bar(s) に対して単調増加 (pro-cyclical)
• 問題(特に需要 s )が与えられたとき,需要が小さいうちは協調戦略の価格は増加傾向
• しかし,需要が大きくなると,協調戦略の価格が減少
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6.1.2 Correlated Price Shocks
• 6.1.1 では,各期の状態は独立に同一の分布から選ばれると仮定
• 現実の問題,次の状態は現在の状態と何らかの関係を持つことが多い
• 特に,次の状態が現在の状態から変わりにくい(粘度, persistence )というのはよく見られる傾向–景気の変動:好景気と不景気が急激に入れ替
わることは稀,多くの場合緩やかに変動
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Simple Example
• n=2• S = {1 (low demand) , 2 (high demand)}• q: 次状態の分布.以下のマルコフ過程で定義:– 初期状態はランダム(互いに確率 1/2 )で生起– 確率 1-φ で,現在の状態と同一の状態が生起– 確率 φ で,現在の状態と異なる状態が生起– φ を小さく選べば, persistent な状況を表現可能
• δ = 11/20 ( 1/2 より微妙に大きい点がポイント)
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Cf. MCE
• 先に, 6.6.1 のケースと同様の i.i.d. の分布を仮定し, MCE を考えてみる–需要が小さいとき (s=1), 1/2 を設定–需要が大きいとき (s=2), 次の式で与えられる
p を設定:
–この式を解くと, p~ = 0.22 が得られる–即ち, countercyclical• High-demand の場合の方が均衡価格が低くなる
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Persistent States (1/2)
• 次に,定義したマルコフ過程を考える• 各期 s/2 を定める戦略 p を考える– s に関して単調増加– この戦略が MCE であれば,このモデルは pro-
cyclical
• φ がほぼ 0 のとき(= persistence が強いとき),– 初期状態 s=1 -> v* = 1/8– 初期状態 s=2 -> v* = ½
• よって,上記の戦略が MCE となるための必要十分条件は
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Persistent States (2/2)
• これらを解くと, δ >= ½• よって,現在の discount factor 11/20 であ
れば,各期 s/2 を定める戦略が MCE–この MCE p(s) は明らかに単調増加–すなわち,このモデルは pro-cyclical: 需要 s
が増加すれば,協調 (MCE) による利益も増加
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6.2 Time Consistency6. Applications
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Time Consistency
• 企業と政府の資本課税競争• 企業は各期,1単位の分割財を,消費と資本に
分割– 消費はそのまま自分の利益– 資本は,ある一定の割合の収益を生み出すが,その収益は政府によって課税される
– 徴収された税によって,公共財が生産され,企業はその公共財からも(微量の)利益を得る
• 企業が毎期同一の分割を行うような税率は?– 政府は benevolent/慈善的
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6.2.1 Stage Game
• Player 1: 政府• Player 2: 企業.毎期同一性能の異なる企
業が参加– c: 消費 (consumption)– 1-c: 資本 (capital)– R: 資本からの収益 (return). R>1– t: 政府による課税率 (tax rate)– γ(>1): 税収からの公共財の生産率. R-1<γ<R
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Consumer’s Utility
• 但し, G は公共財の量• 企業の立場では, G は微少量と考えられ
る?ため,固定して計算
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Government’s Response
• 企業が分割 c を選択したときの政府の最適な課税率 t–ただし,政府は慈善的であり,目的関数は企
業の利益の最大化
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Best Response
• 互いの最適反応を図示すると右図のようになる
• ところで,政府は慈善的であるから,政府 - 企業の利害は一致
• R は資本からの収益であるから明らかに R>1
• よって,企業は全て資本とする (c=0) のが効率的
• そのときの最適な課税はt = γ/R (点 B )
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6.2.2 Equilibrium, Commitment, and Time Consistency
• しかし,点 B は効率的ではあるが,均衡でない– 課税率 t=γ/R に対す
る最適な分割は c=1– 実際,均衡は点 A
• 企業が最適反応を取ると仮定すると,企業の利得を最大化する課税率は t=(R-1)/R となり,結果は点 C– 企業が全て資本とす
るような最大の課税率
![Page 26: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/26.jpg)
Commitment Problem
• 先に政府が t=(R-1)/R を選び,それを企業が観測できるのであれば,点 C の結果を保証可能
• しかし,現実には不可能• このとき,政府の立場から見るとコミットメント問題が生じる– 相手の戦略決定前に自分の戦略を相手に伝えること
ができれば,自分の効用(この場合は政府の効用であり,問題の定義より企業の効用と等価)を増加可能
– Time consistency problem とも呼ばれる.このとき,政府は optimal だが time inconsistent な課税率を持つ,という
![Page 27: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/27.jpg)
6.2.3 The Infinitely Repeated Game
• 無限回の繰り返しゲームを考えることで,政府が企業に情報を伝えられるのではないか
• 仮定として,政府は割引率 δ を持つものとする
• ここでは, grim-trigger 戦略を考え,毎期点 C を達成可能なサブゲーム完全均衡となることを示す
![Page 28: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/28.jpg)
Grim Trigger Strategy
• 状態 : wL and wH– wL: 低税率( t=t*=(R-1)/R )かつ c=0– wH: 高税率( t=1 )かつ c=1
• 初期状態 wL• 行動– 政府 : wL のとき t*, otherwise t=1– 企業 : wL のとき c=0, otherwise c=1
• 遷移– wL かつ t=t* のとき wL, otherwise wH
![Page 29: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/29.jpg)
6.3 Risk Sharing6. Application
![Page 30: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/30.jpg)
Risk Sharing
• 消費者の消費と保険契約• 高所得者は低所得者よりも消費が多い?• 現実のデータを見ると,必ずしもそのようには
なっておらず,現在や過去の収入状況に依存している,らしい.
• ここでは,プレイヤ2人のシンプルなモデルを用いて,そのデータに一つの説明をつける– モラル・ハザードとの関係?
![Page 31: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/31.jpg)
6.3.1 The Economy (1/2)
• n=2: プレイヤは二人• State: e(1) = (y-, y_) & e(2) = (y_, y-)– 初期保有量を規定– y- + y_ = 1, y- \in (1/2, 1)– 等確率 (random state RG)
• Stage game strategy:相手に譲渡する量(=保険料?)– 譲渡後の保有量を c1, c2 で表記
• Utility u(c): 保有量に関する関数– 単調増加かつ凹 → リスク回避
– Ex. 限界効用逓減
c
u(c)
![Page 32: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/32.jpg)
6.3.1 The Economy (2/2)
• Strategy: 前期までの履歴と今期の初期保有量から,今期相手へ譲渡する額を出力– Ex. No-transfer: 効用関数が単調増加なので,
各期相手に譲渡しないことが均衡.但し, concave であるから結果は非効率的( risk-neutral であれば効率的)
• 各期で効率的な結果を導くサブゲーム完全均衡は存在する?それはどのような場合?
![Page 33: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/33.jpg)
6.3.2 Full Insurance Allocations
• Full-insurance strategy profile: ある定数 c が存在し,任意の履歴に対してプレイヤ 1 が c を保有し,プレイヤ 2 が 1-c を保有するような戦略の組–即ち,任意の履歴に対して,両エージェント
が毎期同じ額を消費する戦略の組– No-transfer は full insurance?– Player1-all-transfer は full insurance?– Equal-payoff-transfer は full insurance?– Full insurance 自体は均衡とは別の概念
→ NO→ YES
→ YES
![Page 34: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/34.jpg)
SPE and Full Insurance
• Full Insurance (FI) strategy profile がサブゲーム完全均衡となるのはいつ?– Minmax payoff 及び feasibility より,扇型の領域が IR かつ feasible なpayoff の集合
– サブゲーム完全均衡戦略は,次の式を解く:
• 例えば,多くの δ について,equal-payoff transfer はこの式を解く,即ちFI かつ SPE
![Page 35: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/35.jpg)
Equal-Payoff Strategy
• 相手が逸脱しない限り,互いの保有量が 1/2 となるように譲渡
• 相手が逸脱したあとは,一切の譲渡を行わない
• 性質:– Full insurance: 常に同じ消費を行う– Sub-game perfect: 逸脱の誘因が生じない
![Page 36: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/36.jpg)
6.3.3 Partial Insurance
• δ* を, equal-payoff equilibrium のみが full insurance SPE となる最小の割引率とする
• δ* より小さい割引率の場合, full insurance equilibrium は存在しない
• このとき,代わりの概念として, stationary-outcome equilibrium (SOE) を導入– e(1) においてはプレイヤ 1 が ε だけ保険料
を支払い, e(2) においてはプレイヤ 2 が εだけ支払う
– FI profile → SO profile. Equal-payoff も stationary-outcome.
![Page 37: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/37.jpg)
Discussions on Risk Sharing
• ここまで, δ が十分大きい場合 (full insurance),及び δ が δ* よりも少しだけ小さい場合 (partial insurance) を議論してきた–即ち,割引率が大きい範囲においては,収入
(endowment) のレベルが異なっていても,消費 (consumption) が一定となる均衡が存在
![Page 38: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/38.jpg)
Remainings
• 以降の内容は十分理解できていない• 6.3.4 Consumption Dynamics– 6.3.3 の一般化–履歴に e(1) のみが現れる場合 (y-, y_), それ
以外では stationary-outcome をとるような戦略
• 6.3.5 Intertemporal Consumption Sensitivity–状態数が 3 ( middle state を追加)の場合の
議論
![Page 39: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/39.jpg)
Summary
![Page 40: Chapter 6 Applications](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062517/5681309c550346895d968300/html5/thumbnails/40.jpg)
Summary
• 完全観測繰り返しゲームによる定式化と解析