Chapter 5 Sets, Relations, and Functions

Fuculty of Informatics, BUU 1

Chapter 5Chapter 5Sets, Relations, and FunctionsSets, Relations, and Functions


ทฤษฎี�เซต• เซตเซต((setset)) ใช้�แทนกลุ่��มของวั�ตถุ�หรื�อสิ่��งของท��แตกต�างก�น ใช้�แทนกลุ่��มของวั�ตถุ�หรื�อสิ่��งของท��แตกต�างก�น

โดยสิ่มาช้�กของเซตอาจม�ศู&นย'หรื�อมากกวั�าศู&นย'ช้�(นก)ได� แลุ่ะโดยสิ่มาช้�กของเซตอาจม�ศู&นย'หรื�อมากกวั�าศู&นย'ช้�(นก)ได� แลุ่ะลุ่,าด�บการืเข�ยนสิ่มาช้�กของเซตน�(นไม�ม�ควัามสิ่,าค�ญ น�ยมใช้�ลุ่,าด�บการืเข�ยนสิ่มาช้�กของเซตน�(นไม�ม�ควัามสิ่,าค�ญ น�ยมใช้�อ�กษรือ�งกฤษพิ�มพิ'ใหญ�แทนเซตใดๆ เช้�น อ�กษรือ�งกฤษพิ�มพิ'ใหญ�แทนเซตใดๆ เช้�น A, B A, B เป็3นต�นเป็3นต�น

• aaAA “a “a เป็3นสิ่มาช้�กของเป็3นสิ่มาช้�กของ A”A”aaAA “a “a ไม�เป็3นสิ่มาช้�กของไม�เป็3นสิ่มาช้�กของ A”A”

• ก,าหนดให�ก,าหนดให� A = {aA = {a11, a, a22, …, a, …, ann} } “A “A ม�สิ่มาช้�กม�สิ่มาช้�ก aa11, …, a, …, ann””

• ลุ่,าด�บของสิ่มาช้�กไม�ม�ควัามแตกต�าง เช้�นลุ่,าด�บของสิ่มาช้�กไม�ม�ควัามแตกต�าง เช้�น {a, b, c} = {a, c, b} {a, b, c} = {a, c, b}

• สิ่มาช้�กท��เหม�อนก�น ถุ�อวั�าเป็3นสิ่มาช้�กต�วัเด�ยวัก�น เช้�นสิ่มาช้�กท��เหม�อนก�น ถุ�อวั�าเป็3นสิ่มาช้�กต�วัเด�ยวัก�น เช้�น {a, a, b, a, b, c, c, c, c} = {a, b, c} {a, a, b, a, b, c, c, c, c} = {a, b, c}


ต�วัอย�างของเซต

• A = A = = {} = {} ““เซตวั�างเซตวั�าง” ” หมายถุ4ง เซตท��ไม�ม�หมายถุ4ง เซตท��ไม�ม�สิ่มาช้�กสิ่มาช้�ก

• A = {z}A = {z} zzAA

• A = {{b, c}, {c, x, d}}A = {{b, c}, {c, x, d}} เซตของเซตเซตของเซต• A = {x | P(x)} A = {x | P(x)} ““เซตของเซตของ x x ท�กต�วัท��ท,าให�ท�กต�วัท��ท,าให� P(x)P(x) เป็3นจรื�งเป็3นจรื�ง””

P(x) P(x) เป็3นฟั6งก'ช้��นสิ่มาช้�กเป็3นฟั6งก'ช้��นสิ่มาช้�ก((membership function)membership function) ของเซตของเซต AAx (P(x) x (P(x) x xA)A)

• A = {x | xA = {x | x NN x > 7} = {8, 9, 10, …}x > 7} = {8, 9, 10, …}““เป็3นการืน�ยามเซตแบบบอกเง��อนไขของสิ่มาช้�กภายในเป็3นการืน�ยามเซตแบบบอกเง��อนไขของสิ่มาช้�กภายในเซตเซต((set builder notation)”set builder notation)”


เซตอน�นต'(Infinite Sets)

• เซตอาจม�จ,านวันสิ่มาช้�กไม�จ,าก�ดเรื�ยกวั�า เซตอน�นต'เซตอาจม�จ,านวันสิ่มาช้�กไม�จ,าก�ดเรื�ยกวั�า เซตอน�นต'((infiniteinfinite))• สิ่�ญลุ่�กษณ์'ของเซตอน�นต' เช้�นสิ่�ญลุ่�กษณ์'ของเซตอน�นต' เช้�น::• Q = {a/b | aQ = {a/b | aZ Z b bZ+} Z+} เซตของจ,านวันตรืรืกยะ เซตของจ,านวันตรืรืกยะ

NN = {0, 1, 2, …} = {0, 1, 2, …} เซตของจ,านวันน�บเซตของจ,านวันน�บZZ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} เซตของจ,านวันเต)มเซตของจ,านวันเต)มRR = = เซตของจ,านวันจรื�ง เช้�นเซตของจ,านวันจรื�ง เช้�น{-0.15, 3.67,{-0.15, 3.67, 30, 30, 74.18284719818125…}74.18284719818125…}

• น�ยมเข�ยนเป็3นต�วัพิ�มพิ'ใหญ�แลุ่ะเข�มน�ยมเข�ยนเป็3นต�วัพิ�มพิ'ใหญ�แลุ่ะเข�ม หรื�อหรื�อ เข�ยนด�วัยเสิ่�นค&�เข�ยนด�วัยเสิ่�นค&� เช้�น เช้�น ℕℕ, , ℤℤ, , ℝℝ

• เซตอน�นต'แต�ลุ่ะเซตอาจม�จ,านวันสิ่มาช้�กท��แตกต�างก�นเซตอน�นต'แต�ลุ่ะเซตอาจม�จ,านวันสิ่มาช้�กท��แตกต�างก�น!!


ต�วัอย�างของเซต

เซต เซต ““มาตรืฐานมาตรืฐาน””::

• จ,านวันน�บจ,านวันน�บ((Natural numbersNatural numbers)) NN = {0, 1, 2, 3, …} = {0, 1, 2, 3, …}

• จ,านวันเต)มจ,านวันเต)ม((IntegersIntegers)) ZZ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

• จ,านวันเต)มบวักจ,านวันเต)มบวัก((Positive IntegersPositive Integers)) ZZ++ = {1, 2, 3, 4, = {1, 2, 3, 4, …}…}

• จ,านวันจรื�งจ,านวันจรื�ง((Real NumbersReal Numbers)) RR = {47.3, -12, = {47.3, -12, , …}, …}

• จ,านวันตรืรืกยะจ,านวันตรืรืกยะ((Rational NumbersRational Numbers)) QQ = {1.5, 2.6, -3.8, = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …}15, …}


การืเท�าก�นของเซต

•เซตเซต A A แลุ่ะแลุ่ะ B B เท�าก�น ก)ต�อเม��อ เซตท�(งสิ่องม�สิ่มาช้�กท��เหม�อนก�นท�กต�วั เช้�นเท�าก�น ก)ต�อเม��อ เซตท�(งสิ่องม�สิ่มาช้�กท��เหม�อนก�นท�กต�วั เช้�น::

• A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} :A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} : A = BA = B

• A = {A = {หมาหมา, , แมวัแมวั, , ม�าม�า}, }, B = { B = {แมวัแมวั, , ม�าม�า, , กรืะรือกกรืะรือก, , หมาหมา} :} : A A B B

• A = {A = {หมาหมา, , แมวัแมวั, , ม�าม�า}, }, B = { B = {แมวัแมวั, , ม�าม�า, , หมาหมา, , หมาหมา} :} :

A = BA = B

• A = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2, 3, 4}, B = { B = {xx | | xx เป็3นจ,านวันเต)ม โดยท��เป็3นจ,านวันเต)ม โดยท�� xx>0 >0 แลุ่ะแลุ่ะ xx<5 }:<5 }:

A = BA = B


เซตย�อย(Subset)แลุ่ะซ�ป็เป็อรื'เซต(Superset)

• SSTT (“ (“SS เป็3นเซตย�อยของเป็3นเซตย�อยของ TT”) ”) หมายถุ4ง สิ่มาช้�กหมายถุ4ง สิ่มาช้�กท�กต�วัของ ท�กต�วัของ SS เป็3นสิ่มาช้�กของเป็3นสิ่มาช้�กของ T T ด�วัยด�วัย

• SST T x x ((xxSS xxTT))S S ((เซตวั�างจะเป็3นเซตย�อยของเซตใดๆเสิ่มอเซตวั�างจะเป็3นเซตย�อยของเซตใดๆเสิ่มอ))• SSS S ((เซตใดๆจะเป็3นเซตย�อยของต�วัเองเสิ่มอเซตใดๆจะเป็3นเซตย�อยของต�วัเองเสิ่มอ))• SSTT (“ (“SS เป็3นซ�ป็เป็อรื'เซตของเป็3นซ�ป็เป็อรื'เซตของ TT”) ”) หมายถุ4งหมายถุ4ง TTSS• ข�อสิ่�งเกต ข�อสิ่�งเกต :: S=TS=T SSTT SSTT• หมายถุ4งหมายถุ4ง ((SSTT), ), น��นค�อน��นค�อ xx((xxSS xxTT))TS /


เซตย�อยแท�แลุ่ะซ�ป็เป็อรื'เซต(Proper Subsets & Supersets)

• SST T (“(“SS เป็3นเซตย�อยแท�ของเป็3นเซตย�อยแท�ของ TT”) ”) หมายถุ4งหมายถุ4ง SST T แต�แต�

• ตั�วอย่�าง: ถุ�า A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 1},

C = {3}– ด�งน�(น B = A, C A, C B

• ตั�วอย่�าง: ถุ�า U = 1, 2, 3, , 11, 12 แลุ่ะ T = 1, 2, 3, 6

– ด�งน�(น T U แลุ่ะ T U

ST /


ขนาดของเซต(Cardinality)

• ||SS| (| (อ�านวั�าอ�านวั�า “ “ขนาดของขนาดของ SS”) ”) แสิ่ดงจ,านวันแสิ่ดงจ,านวันสิ่มาช้�กท��แตกต�างก�นในเซตสิ่มาช้�กท��แตกต�างก�นในเซต SS

• เช้�นเช้�น, |, ||=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2,|=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2, |{{1,2,3},{4,5}}| = ____ |{{1,2,3},{4,5}}| = ____

• ถุ�าถุ�า ||SS||NN, , แลุ่�วั กลุ่�าวัได�วั�าแลุ่�วั กลุ่�าวัได�วั�า SS เป็3นเซตเป็3นเซตจ,าก�ดจ,าก�ด((finitefinite))กรืณ์�อ��น เรืากลุ่�าวัได�วั�ากรืณ์�อ��น เรืากลุ่�าวัได�วั�า SS เป็3นเซตเป็3นเซตอน�นต'อน�นต'((infiniteinfinite))

D = { xD = { xN N | x | x 7000 } 7000 } |D| = 7001|D| = 7001

E = { xE = { xN N | x | x 7000 } 7000 } E E เป็3นเซตอน�นต'เป็3นเซตอน�นต'


เซตก,าลุ่�ง(Power Set)

• เซตก,าลุ่�งเซตก,าลุ่�ง P(P(SS) ) ของเซตของเซต SS ค�อเซตของเซตย�อยค�อเซตของเซตย�อยท�(งหมดของเซตท�(งหมดของเซต SS P(P(SS) :) :≡ ≡ {{x x | | xxSS}}

• เช้�นเช้�น P({a,b}) = {P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}, {a}, {b}, {a,b}}• A = A = , P(A) = {, P(A) = {},}, ด�งน�(นด�งน�(น: |A| = 0, |P(A)| = : |A| = 0, |P(A)| =

11• ถุ�าถุ�า SS เป็3นเซตจ,าก�ดเป็3นเซตจ,าก�ด, , |P(|P(SS)| = 2)| = 2||SS||

• ด�งน�(นด�งน�(น SS:|P(:|P(SS)|>|)|>|SS||, , เช้�นเช้�น |P(|P(NN)| > |)| > |NN||


ผลุ่ค&ณ์คารื'ท�เซ�ยนของเซต• สิ่,าหรื�บเซตสิ่,าหรื�บเซต AA, , BB, , ผลุ่ค&ณ์คารื'ท�เซ�ยนผลุ่ค&ณ์คารื'ท�เซ�ยน((Cartesian Cartesian

productproduct)) AAB B :: {( {(aa, , bb) | ) | aaAA bbB B }}..

• AA = = , , A = A = • ต�วัอย�าง เช้�นต�วัอย�าง เช้�น: A = {x, y}, B = {a, b, c}: A = {x, y}, B = {a, b, c}

AAB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}B = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}• สิ่�งเกต�วั�าสิ่�งเกต�วั�า (x, a) (x, a) (a, x) (a, x) (a, x, x) (a, x, x)• กรืณ์�ท��เซตกรืณ์�ท��เซต A A แลุ่ะแลุ่ะ BB ไม�ใช้�เซตวั�างไม�ใช้�เซตวั�าง: :

AAB B A AB B B BAA• สิ่,าหรื�บเซตจ,าก�ดสิ่,าหรื�บเซตจ,าก�ด AA, , B B จะได�วั�าจะได�วั�า, , ||AABB|=||=|AA||||BB||


ต�วัด,าเน�นการืผลุ่รืวัม(Union Operator)

• ก,าหนดเซตก,าหนดเซต AA, , BB, , ผลุ่รืวัมผลุ่รืวัม((nion)nion) AABB ค�อ เซตค�อ เซตของสิ่มาช้�กท�(งหมดท��อย&�ในของสิ่มาช้�กท�(งหมดท��อย&�ใน AA, , หรื�อหรื�อ อย&�ใน อย&�ใน BB ( (หรื�หรื�ออย&�ในท�(งสิ่องเซตออย&�ในท�(งสิ่องเซต))

• เข�ยนได�วั�าเข�ยนได�วั�า, , AA,,BB: : AABB = { = {x x | | xxAA xxBB}}

• สิ่�งเกตวั�าสิ่�งเกตวั�า AAB B เป็3นเป็3น ซ�ป็เป็อรื'เซต ของท�(งเซตซ�ป็เป็อรื'เซต ของท�(งเซต AA แลุ่ะเซตแลุ่ะเซต B B

AA, , BB: (: (AAB B AA) ) ( (AAB B BB))•{a,b,c}{a,b,c}{2,3} =__________{2,3} =__________•{2,3,5}{2,3,5}{3,5,7}{3,5,7} =___________ =___________

{a,b,c,2,3}{a,b,c,2,3}{{2,3,52,3,5,,3,5,73,5,7}}

= = {2,3,5,7}{2,3,5,7}


ต�วัด,าเน�นการืสิ่�วันต�ด(Intersection Operator)

• ก,าหนดเซตก,าหนดเซต AA, , BB, , สิ่�วันต�ดสิ่�วันต�ด((intersectionintersection)) AABB ค�อ เซตของสิ่มาช้�กท�(งหมดท��อย&�ในเซตค�อ เซตของสิ่มาช้�กท�(งหมดท��อย&�ในเซต A A และและ (“(“”) ”) ในเซตในเซต BB

• เข�ยนได�วั�าเข�ยนได�วั�า, , AA,,BB: : AABB={={x x | | xxAA xxBB}}

• สิ่�งเกตวั�าสิ่�งเกตวั�า AAB B เป็3นเป็3นเซตัย่�อย่ เซตัย่�อย่ ของท�(งเซตของท�(งเซต A A แลุ่ะแลุ่ะ B:B:

AA, , BB: (: (AAB B AA) ) ( (AAB B BB))•{a,b,c}{a,b,c}{2,3} = ___{2,3} = ___•{2,4,6}{2,4,6}{3,4,5}{3,4,5} = ______ = ______

{4}


Inclusion-Exclusion Principle

• จ,านวันสิ่มาช้�กของจ,านวันสิ่มาช้�กของ AAB B เท�าก�บเท�าไรืเท�าก�บเท�าไรื?? ||AABB|| = |A| = |A| |B| |B| | |AABB||

• ต�วัอย�างต�วัอย�าง: : จ,านวันน�สิ่�ตในห�องน�(ท��อย&�ในรืายการืจ,านวันน�สิ่�ตในห�องน�(ท��อย&�ในรืายการืเมลุ่'เมลุ่'((Mailing List)Mailing List)ม�ก��คนม�ก��คน? ? พิ�จารืณ์า เซตพิ�จารืณ์า เซต E E I I MM, , II = { = {ss | | ss สิ่�งข�อม&ลุ่ผ�านแบบฟัอรื'มกรืะดาษสิ่�งข�อม&ลุ่ผ�านแบบฟัอรื'มกรืะดาษ}}MM = { = {ss | | s s สิ่�งข�อม&ลุ่ผ�านอ�เมลุ่'สิ่�งข�อม&ลุ่ผ�านอ�เมลุ่'}}

• น�สิ่�ตบางคนท,าท�(งสิ่องอย�างน�สิ่�ตบางคนท,าท�(งสิ่องอย�าง!! ||EE| = || = |IIMM|| = |I| = |I| |M| |M| | |IIMM||


สิ่�วันต�างของเซต(Set Difference)

• ก,าหนดเซตก,าหนดเซต AA, , BB, , สิ่�วันต�างของสิ่�วันต�างของ A A แลุ่ะแลุ่ะ BB, , เข�ยนเข�ยนแทนด�วัยแทนด�วัย AABB, , ค�อเซตของสิ่มาช้�กท�(งหมดในค�อเซตของสิ่มาช้�กท�(งหมดในเซตเซต AA แต�ไม�อย&�ในแต�ไม�อย&�ใน BB เข�ยนได�วั�าเข�ยนได�วั�า:: A A B B :: x x x xA A x xBB : : xx xxAA xxBB

• จ,านวันสิ่มาช้�กของเซตจ,านวันสิ่มาช้�กของเซต: |: |A-BA-B| = || = |AA| - || - |AABB||

Set A Set B

SetAB

A−B ค�อ เซตของ สิ่มาช้�กของ A

ท��เหลุ่�อจากการืต�ดสิ่มาช้�กของ B ออกไป็แลุ่�วั


Set Difference Examples

• {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} {2,3,5,7,9,11} = {2,3,5,7,9,11} = ___________ ___________

• Z Z N N {… , {… , −−1, 0, 1, 2, … } 1, 0, 1, 2, … } {0, 1, … } {0, 1, … } = { = {x x | | xx เป็3นจ,านวันเต)มท��ไม�ใช้�เป็3นจ,านวันเต)มท��ไม�ใช้�จ,านวันน�บจ,านวันน�บ}} = { = {xx | | x x เป็3นจ,านวันเต)มลุ่บเป็3นจ,านวันเต)มลุ่บ}} = {… , = {… , −−3, 3, −−2, 2, −−1}1}

{1,4,6}


• เซตของเอกภพิสิ่�มพิ�ทธ์'เซตของเอกภพิสิ่�มพิ�ทธ์'((universe of universe of discoursediscourse)) แทนด�วัยแทนด�วัย U U ค�อเซตท��แสิ่ดงค�อเซตท��แสิ่ดงขอบเขตของเซตท��ก,าลุ่�งศู4กษาขอบเขตของเซตท��ก,าลุ่�งศู4กษา

• เซตเซต AA ใดๆท��ใดๆท�� AAUU, , สิ่�วันเต�มเต)มของ สิ่�วันเต�มเต)มของ AA((complementcomplement)) แทนด�วัยแทนด�วัย , , เรืากลุ่�าวัวั�า เรืากลุ่�าวัวั�า แลุ่ะ เป็3นสิ่�วันเต�มเต)มของ แลุ่ะ เป็3นสิ่�วันเต�มเต)มของ AA เม��อเท�ยบก�บเม��อเท�ยบก�บ UU, , น��นค�อน��นค�อ = U= UA A

• เช้�นเช้�น, , ถุ�าถุ�า UU==NN, ,

สิ่�วันเต�มเต)มของเซต(Set Complements)

A

A

,...}7,6,4,2,1,0{}5,3{

}|{ AxxA AA


Set Identities

• เอกลุ่�กษณ์'เอกลุ่�กษณ์'((IdentityIdentity)) : : AA = = AA = = AAUU

• ครือบคลุ่�มครือบคลุ่�ม((Domination): Domination): AAU U = = U U ,, A A = = • สิ่ะท�อนสิ่ะท�อน((Idempotent): Idempotent): AAAA = = A A = = AAAA

• สิ่�วันเต�มเต)มซ�อนสิ่�วันเต�มเต)มซ�อน((Double complement): Double complement):

• สิ่ลุ่�บท��สิ่ลุ่�บท��((Commutative): Commutative): AAB B = = BBA A , , A AB B = = BBAA

• กรืะจายกรืะจาย((Distributive):Distributive): AA(B(BC) = (AC) = (AB)B)(A(AC)C)

• เป็ลุ่��ยนกลุ่��มเป็ลุ่��ยนกลุ่��ม((Associative): Associative): AA((BBCC)=()=(AABB))C C ,, AA((BBCC)=()=(AABB))CC

• ซ4มซ�บซ4มซ�บ((Absorption):Absorption): AA(A(AB) = A, AB) = A, A(A(AB) = AB) = A

• สิ่�วันเต�มเต)มสิ่�วันเต�มเต)ม((Complement):Complement): AA = = UU, A, A = = A

AA )(

A


ใช้�น�ยามของเซต แลุ่ะต�วัด,าเน�นการืต�างๆ ช้�วัยในการืพิ�สิ่&จน' ใช้�น�ยามของเซต แลุ่ะต�วัด,าเน�นการืต�างๆ ช้�วัยในการืพิ�สิ่&จน' ต�วัอย�าง เช้�นต�วัอย�าง เช้�น::

ทฤษฎี�ย่�อย่ทฤษฎี�ย่�อย่:: จงพิ�สิ่&จน'กฎีการืเป็ลุ่��ยนกลุ่��มของการืรืวัมจงพิ�สิ่&จน'กฎีการืเป็ลุ่��ยนกลุ่��มของการืรืวัม((Unions)Unions) ((AAB B ))C C = = AA((B B C C ) )

พิ�สิ่&จน'พิ�สิ่&จน' : (: (AAB B ))C C = {= {x x || x x A A B B x x C C }} ((จากน�ยามจากน�ยาม))

= {= {x x || ((x x A A x x B B ) ) x x C C } } ((จากน�ยามจากน�ยาม))

= {= {x x || x x A A ( ( x x B B x x C C ) } ) } ((กฎีการืเป็ลุ่��ยนกลุ่��มกฎีการืเป็ลุ่��ยนกลุ่��ม))

= {= {x x || x x A A ( (x x B B C C ) } ) } ((จากน�ยามจากน�ยาม))

= {= {x x || x x AA((B B C C ) }) } ((จากน�ยามจากน�ยาม)) = = AA((B B C C ) ) ((จากน�ยามจากน�ยาม)) ��

การืพิ�สิ่&จน'การืเท�าก�นของเซต


ต�วัอย�าง 2• จงพิ�สิ่&จน'การืเท�าก�นของเซตท��ก,าหนดโดยใช้�จงพิ�สิ่&จน'การืเท�าก�นของเซตท��ก,าหนดโดยใช้� set set

builder notation builder notation แลุ่ะแลุ่ะ logical equivalencelogical equivalence– Proof: Proof: BABA

union of Def.)

complement of Def.)

laws sMorgan' De)

onintersecti of Def.)(

of Def.))((

complement of Def.

BAxx

BxAxx

BxAxx

BxAxx

BAxx

BAxxBA


แบบฝึ=กห�ด• จงพิ�สิ่&จน'วั�า จงพิ�สิ่&จน'วั�า ((AABB))B B == A ABB• น�กเรื�ยนห�องหน4�งม� น�กเรื�ยนห�องหน4�งม� 180 180 คน ท�กคนช้อบเลุ่�นก�ฬา จากคน ท�กคนช้อบเลุ่�นก�ฬา จาก

การืสิ่,ารืวัจพิบวั�า ม�น�กเรื�ยนท��ช้อบเลุ่�นป็?งป็อง การืสิ่,ารืวัจพิบวั�า ม�น�กเรื�ยนท��ช้อบเลุ่�นป็?งป็อง 100 100 คน คน น�กเรื�ยนท��ช้อบวั�ายน,(า น�กเรื�ยนท��ช้อบวั�ายน,(า 92 92 คน น�กเรื�ยนท��ช้อบเลุ่�นตะกรื�อ คน น�กเรื�ยนท��ช้อบเลุ่�นตะกรื�อ 115 115 คน น�กเรื�ยนท��ช้อบท�(งเลุ่�นป็?งป็องแลุ่ะวั�ายน,(าม� คน น�กเรื�ยนท��ช้อบท�(งเลุ่�นป็?งป็องแลุ่ะวั�ายน,(าม� 52 52 คน น�กเรื�ยนท��ช้อบท�(งวั�ายน,(าแลุ่ะเลุ่�นตะกรื�อม� คน น�กเรื�ยนท��ช้อบท�(งวั�ายน,(าแลุ่ะเลุ่�นตะกรื�อม� 57 57 คน คน น�กเรื�ยนท��ช้อบเลุ่�นท�(งป็?งป็องแลุ่ะตะกรื�อม� น�กเรื�ยนท��ช้อบเลุ่�นท�(งป็?งป็องแลุ่ะตะกรื�อม� 43 43 คนคน– ม�น�กเรื�ยนก��คนท��ช้อบเลุ่�นก�ฬาท�(งสิ่ามป็รืะเภทม�น�กเรื�ยนก��คนท��ช้อบเลุ่�นก�ฬาท�(งสิ่ามป็รืะเภท– ม�น�กเรื�ยนก��คนท��ช้อบวั�ายน,(าอย�างเด�ยวัม�น�กเรื�ยนก��คนท��ช้อบวั�ายน,(าอย�างเด�ยวั– ม�น�กเรื�ยนก��คนท��ช้อบเลุ่�นป็?งป็องอย�างเด�ยวัม�น�กเรื�ยนก��คนท��ช้อบเลุ่�นป็?งป็องอย�างเด�ยวั


RelationsRelations


ควัามสิ่�มพิ�นธ์'(Relations)

•หากเรืาต�องการืเข�ยนควัามสิ่�มพิ�นธ์'รืะหวั�างสิ่มาช้�กของเซต หากเรืาต�องการืเข�ยนควัามสิ่�มพิ�นธ์'รืะหวั�างสิ่มาช้�กของเซต 2 2 เซต เซต ค�อเซตค�อเซต A A แลุ่ะแลุ่ะ B, B, สิ่ามารืถุใช้�ค&�อ�นด�บสิ่ามารืถุใช้�ค&�อ�นด�บ((ordered pairsordered pairs)) โดยสิ่มาช้�กต�วัโดยสิ่มาช้�กต�วัแรืกมาจากเซตแรืกมาจากเซต A A แลุ่ะสิ่มาช้�กต�วัท��สิ่องมาจากเซตแลุ่ะสิ่มาช้�กต�วัท��สิ่องมาจากเซต B B โดยควัามโดยควัามสิ่�มพิ�นธ์'รืะหวั�างเซตสิ่องเซต จะเรื�ยกวั�าสิ่�มพิ�นธ์'รืะหวั�างเซตสิ่องเซต จะเรื�ยกวั�า ความสั�มพั�นธ์� ความสั�มพั�นธ์�ทว�ภาคทว�ภาค((binary relationbinary relation))

•น�ย่ามน�ย่าม:: ให�ให� A A แลุ่ะแลุ่ะ B B เป็3นเซตเป็3นเซต binary relation binary relation จากจาก A A ไป็ไป็ B B ค�อเซตค�อเซตย�อยของย�อยของ AABB

•หรื�อกลุ่�าวัได�วั�าหรื�อกลุ่�าวัได�วั�า binary relation R binary relation R ใดๆใดๆ, , R R A AB B เรืาใช้�เรืาใช้�สิ่�ญลุ่�กษณ์'สิ่�ญลุ่�กษณ์' aRb aRb เพิ��อแทนเพิ��อแทน (a, b)(a, b)R R แลุ่ะเข�ยนแลุ่ะเข�ยน a a R b b เพิ��อแทนเพิ��อแทน (a, (a, b)b)RR

ตั�วอย่�าง ให� A = {0, 1, 2} แลุ่ะ B = {a, b} ด�งน�(น R = {( 0, a) , ( 0, b) , ( 1, a) , ( 0, b) }เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'จาก A ไป็ B


ควัามสิ่�มพิ�นธ์'(Relations)

•เม��อเม��อ (a, b) (a, b) อย&�ในควัามสิ่�มพิ�นธ์'อย&�ในควัามสิ่�มพิ�นธ์' R R กลุ่�าวัได�วั�ากลุ่�าวัได�วั�า a a สิ่�มพิ�นธ์'ก�บสิ่�มพิ�นธ์'ก�บ b b ด�วัยด�วัย RR•ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง:: ให�ให� P P เป็3นเซตของคนเป็3นเซตของคน, C , C เป็3นเซตของย��ห�อรืถุเป็3นเซตของย��ห�อรืถุ, , แลุ่ะแลุ่ะ D D เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'ท��ใช้�อธ์�บายวั�าคนข�บรืถุย��ห�อใดเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'ท��ใช้�อธ์�บายวั�าคนข�บรืถุย��ห�อใด•P = {P = {สิ่มรืสิ่มรื, , สิ่�รื�ย'สิ่�รื�ย', , พิ�รืะพิ�รืะ, , อาภาอาภา}, }, •C = {C = {ฮอนด�าฮอนด�า, , บ�เอ)มด�บบลุ่�วับ�เอ)มด�บบลุ่�วั, , โตโยต�าโตโยต�า}}•D = {(D = {(สิ่มรืสิ่มรื, , ฮอนด�าฮอนด�า), (), (สิ่�รื�ย'สิ่�รื�ย', , ฮอนด�าฮอนด�า),), ( (สิ่�รื�ย'สิ่�รื�ย', , บ�เอ)มด�บบลุ่�วับ�เอ)มด�บบลุ่�วั), (), (พิ�รืะพิ�รืะ, , โตโยต�าโตโยต�า)})}•จากควัามสิ่�มพิ�นธ์'ท��ก,าหนดแสิ่ดงวั�า สิ่มรืข�บรืถุฮอนด�า สิ่�รื�ย'จากควัามสิ่�มพิ�นธ์'ท��ก,าหนดแสิ่ดงวั�า สิ่มรืข�บรืถุฮอนด�า สิ่�รื�ย'ข�บรืถุฮอนด�าแลุ่ะบ�เอ)มด�บบลุ่�วั พิ�รืะข�บรืถุโตโยต�า สิ่�วันอาภาข�บรืถุฮอนด�าแลุ่ะบ�เอ)มด�บบลุ่�วั พิ�รืะข�บรืถุโตโยต�า สิ่�วันอาภาไม�ได�ข�บรืถุย��ห�อใดเลุ่ยไม�ได�ข�บรืถุย��ห�อใดเลุ่ย


ควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซต• ควัามสิ่�มพิ�นธ์'จากเซตควัามสิ่�มพิ�นธ์'จากเซต AA ไป็ย�งต�วัม�นเองเรื�ยกวั�า ควัามไป็ย�งต�วัม�นเองเรื�ยกวั�า ควัาม

สิ่�มพิ�นธ์'บนเซตสิ่�มพิ�นธ์'บนเซต AA• เช้�น ควัามสิ่�มพิ�นธ์'เช้�น ควัามสิ่�มพิ�นธ์' “ “<<” ” เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตของเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตของ

จ,านวันน�บจ,านวันน�บ NN

• ควัามสิ่�มพิ�นธ์'เอกลุ่�กษณ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์'เอกลุ่�กษณ์'((identity relationidentity relation)) IIAA บนเซตบนเซต AA

ค�อเซตค�อเซต {({(aa,,aa)|)|aaAA}}• ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง:: ก,าหนดให�ก,าหนดให� A = {1, 2, 3, 4} A = {1, 2, 3, 4} จงหาค&�อ�นด�บในจงหาค&�อ�นด�บใน

ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' RR = {(a, b) | a < b} ? = {(a, b) | a < b} ?•Solution:Solution: RR = = {(1, 2),{(1, 2),(1, 3),(1, 3),(1, 4),(1, 4),(2, 3),(2, 3),

(2, 4),(2, 4),(3, 4)}(3, 4)}

11 11

22

33

44

22

33

44


ค�ณ์สิ่มบ�ต�ของควัามสิ่�มพิ�นธ์'•น�ย่ามน�ย่าม:: ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' R R บนเซตบนเซต A A เป็3นเป็3นความสั�มพั�นธ์�ความสั�มพั�นธ์�สัะท อนสัะท อน((reflexivereflexive)) ถุ�าถุ�า (a, a)(a, a)R R สิ่,าหรื�บ สิ่,าหรื�บ สัมาชิ�กท#กตั�วสัมาชิ�กท#กตั�ว aaA A

•หมายเหต� ถุ�า U = แลุ่�วัป็รืะโยคข�างต�นเป็3นจรื�ง•ต�วัอย�าง เช้�นต�วัอย�าง เช้�น:

– ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' << ไม�เป็3นไม�เป็3น reflexive reflexive เน��องจาก x < x ไม�จรื�ง, ด�งน�(น (x, x) R

– ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' ≥≥ :≡ {(:≡ {(aa,,bb) | ) | aa≥≥bb}} เป็3นเป็3น reflexive reflexive เน��องจาก (x, x) R

•ควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซต {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ต�อไป็น�(เป็3น ต�อไป็น�(เป็3น reflexive reflexive หรื�อหรื�อไม�ไม�??

•R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)}R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} YesYes

•R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} NoNo

•น�ย่ามน�ย่าม :: ควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซต A A เป็3นเป็3นความสั�มพั�นธ์�ไม�สัะท อนความสั�มพั�นธ์�ไม�สัะท อน((irreflexiveirreflexive))

ถุ�าถุ�า (a, a)(a, a)R R สิ่,าหรื�บสิ่มาช้�กท�กต�วัสิ่,าหรื�บสิ่มาช้�กท�กต�วั aaA A ต�วัอย�าง เช้�นต�วัอย�าง เช้�น: : << เป็3นเป็3น irreflexiveirreflexive


Symmetry & Antisymmetry

• ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' RR บนเซตบนเซต AA เป็3นเป็3นความสั�มพั�นธ์�ความสั�มพั�นธ์�สัมมาตัรืสัมมาตัรื((symmetricsymmetric)) ก)ต�อเม��อก)ต�อเม��อ RR = = RR−1−1,, น��นค�อ ถุ�าน��นค�อ ถุ�า ((aa,,bb))RR ↔ (↔ (bb,,aa))RR– เช้�นเช้�น, , == ( (เท�าก�บเท�าก�บ) ) เป็3นเป็3น symmetric symmetric เพิรืาะถุ�า x = y แลุ่�วั y =

x สิ่,าหรื�บท�กๆ x แลุ่ะ y แตั�ควัามสิ่�มพิ�นธ์' << ไม�ไม�เป็3น เป็3น symmetricsymmetric

– ““แต�งงานก�บแต�งงานก�บ” ” เป็3นเป็3น symmetric, “symmetric, “ช้อบช้อบ” ” ไม�เป็3นไม�เป็3น• ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' RR เป็3นเป็3นความสั�มพั�นธ์�ปฏิ�ความสั�มพั�นธ์�ปฏิ�

สัมมาตัรืสัมมาตัรื((antisymmetricantisymmetric)) ถุ�าถุ�า aa≠≠bb, (, (aa,,bb))RR → → ((bb,,aa))RR– ตั�วอย่�าง เชิ�น ตั�วอย่�าง เชิ�น : <: < เป็3นเป็3น antisymmetric, “antisymmetric, “ช้อบช้อบ” ” ไม�เป็3นไม�เป็3น

• ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' RR บนเซตบนเซต AA เป็3นเป็3นความสั�มพั�นธ์�ไม�ความสั�มพั�นธ์�ไม�สัมมาตัรืสัมมาตัรื((asymmetricasymmetric)) ถุ�าถุ�า a,ba,bA, (a,b)A, (a,b)R R →→(b,a)(b,a)RR


ค�ณ์สิ่มบ�ต�ของควัามสิ่�มพิ�นธ์'•ควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซต {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ต�อไป็น�(เป็3น ต�อไป็น�(เป็3น symmetric, antisymmetric, symmetric, antisymmetric, หรื�อหรื�อ asymmetric?asymmetric?

•R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)} symmetricsymmetric

•R = {(1, 1)}R = {(1, 1)} sym. and sym. and antisym.antisym.

•R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} antisym. and antisym. and asym.asym.

•R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)}R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)} antisym.antisym.


ค�ณ์สิ่มบ�ต�ของควัามสิ่�มพิ�นธ์'น�ย่ามน�ย่าม:: ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' RR เป็3นเป็3นความสั�มพั�นธ์�ถ่�าย่ทอดความสั�มพั�นธ์�ถ่�าย่ทอด((transitivetransitive)) ก)ต�อก)ต�อเม��อเม��อ((aa,,bb,,cc)) ((aa,,bb))RR ( (bb,,cc))RR → (→ (aa,,cc))RR•ควัามสิ่�มพิ�นธ์'จะเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'จะเป็3นความสั�มพั�นธ์�ไม�ถ่�าย่ทอดความสั�มพั�นธ์�ไม�ถ่�าย่ทอด intransitiveintransitive ก)ต�อเม��อก)ต�อเม��อไม�เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'ถุ�ายทอดไม�เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'ถุ�ายทอด ต�วัอย�าง เช้�นต�วัอย�าง เช้�น: :

– ““เป็3นบรืรืพิบ�รื�ษเป็3นบรืรืพิบ�รื�ษ” ” เป็3นเป็3น transitivetransitive– ““ช้อบช้อบ” ” รืะหวั�างคนเป็3นรืะหวั�างคนเป็3น intransitiveintransitive

– ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' = = < >< > เป็3นเป็3น transitivetransitive

•ควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซต {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ต�อไป็น�(เป็3น ต�อไป็น�(เป็3น transitive transitive หรื�อไม�หรื�อไม�??

•R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)}R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)} YesYes

•R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} NoNo

•R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)}R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)} NoNo


Exercise

• ให�ให� A={1,2,3,4} A={1,2,3,4} แลุ่ะแลุ่ะ R,S,T,U R,S,T,U เป็3นควัามเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตสิ่�มพิ�นธ์'บนเซต AA

• R={(1,3), (3,4)}R={(1,3), (3,4)}

• S={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4)}S={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4)}

• T={(1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4)}T={(1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4)}

• U={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4), U={(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,4), (4,2), (1,2),(1,3)}(4,2), (1,2),(1,3)}


Answer

• R R ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต�ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต� Irreflexive, Antisymmetric Irreflexive, Antisymmetric

แลุ่ะแลุ่ะ AsymmetricAsymmetric

• S S ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต�ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต� TransitiveTransitive

• T T ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต�ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต� Reflexive, SymmetricReflexive, Symmetric, , แลุ่ะแลุ่ะ TransitiveTransitive

• U U ไม�ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต�ใดเลุ่ยไม�ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต�ใดเลุ่ย


ควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่(Equivalence Relations)

•ควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่ใช้�เช้��อมโยงสิ่��งท��ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต�บางควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่ใช้�เช้��อมโยงสิ่��งท��ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต�บางอย�างเหม�อนก�นไวั�ด�วัยก�นอย�างเหม�อนก�นไวั�ด�วัยก�น

•น�ย่ามน�ย่าม:: ควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซต A A เรื�ยกวั�าควัามสิ่�มพิ�นธ์'เรื�ยกวั�าควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่ ถุ�าควัามสิ่�มพิ�นธ์'น�(นเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่ ถุ�าควัามสิ่�มพิ�นธ์'น�(นเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่ะท�อนสิ่ะท�อน(Reflexive)(Reflexive) สิ่มมาตรืสิ่มมาตรื(Symmetric)(Symmetric) แลุ่ะแลุ่ะถุ�ายทอดถุ�ายทอด(Transitive)(Transitive)

•สิ่มาช้�กสิ่องต�วัใดๆท��ถุ&กเช้��อมโยงก�นด�วัยควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มาช้�กสิ่องต�วัใดๆท��ถุ&กเช้��อมโยงก�นด�วัยควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่สิ่มม&ลุ่ R R จะกลุ่�าวัได�วั�าสิ่มาช้�กท�(งสิ่องต�วัน�(นสิ่มม&ลุ่ก�นจะกลุ่�าวัได�วั�าสิ่มาช้�กท�(งสิ่องต�วัน�(นสิ่มม&ลุ่ก�น


ควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่(Equivalence Relations)

•ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง:: สิ่มมต�สิ่มมต� R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตของข�อควัามเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'บนเซตของข�อควัามภาษาอ�งกฤษโดยภาษาอ�งกฤษโดย aRb aRb ก)ต�อเม��อก)ต�อเม��อ l(a) = l(b), l(a) = l(b), ซ4�งซ4�ง l(x) l(x) แทนแทนควัามยาวัของข�อควัามควัามยาวัของข�อควัาม x x จงพิ�จารืณ์าวั�าจงพิ�จารืณ์าวั�า R R เป็3นควัามเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่หรื�อไม�สิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่หรื�อไม�??•ตัอบตัอบ:: • R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สัะท อนสัะท อน เพิรืาะ เพิรืาะ l(a) = l(a) l(a) = l(a) ด�งน�(นด�งน�(น aRa aRa สิ่,าหรื�บข�อควัามสิ่,าหรื�บข�อควัาม a a ใดๆใดๆ• R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สัมมาตัรืสัมมาตัรื เพิรืาะ เพิรืาะ ถุ�าถุ�า l(a) = l(b) l(a) = l(b) แลุ่�วัแลุ่�วั l(b) = l(a) l(b) = l(a) ด�งน�(นถุ�าด�งน�(นถุ�า aRb aRb แลุ่�วัแลุ่�วั bRabRa• R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'ถ่�าย่ทอดถ่�าย่ทอด เพิรืาะเพิรืาะ ถุ�าถุ�า l(a) = l(b) l(a) = l(b) แลุ่ะแลุ่ะ l(b) = l(b) = l(c), l(c), แลุ่�วัแลุ่�วั l(a) = l(c), l(a) = l(c), ด�งน�(นด�งน�(น ถุ�าถุ�า aRb aRb แลุ่ะแลุ่ะ bRc bRc แลุ่�วัแลุ่�วั aRcaRc•ด�งน�*น ด�งน�*น R R เป+นความสั�มพั�นธ์�สัมม,ลเป+นความสั�มพั�นธ์�สัมม,ล


ช้�(นสิ่มม&ลุ่(Equivalence Classes)

•น�ย่ามน�ย่าม:: ให�ให� R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่บนเซตเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่บนเซต A A เซตของเซตของสิ่มาช้�กท�กต�วัท��สิ่�มพิ�นธ์'ก�บสิ่มาช้�กสิ่มาช้�กท�กต�วัท��สิ่�มพิ�นธ์'ก�บสิ่มาช้�ก aa ของเซตของเซต A A จะเรื�ยกวั�าจะเรื�ยกวั�าช้�(นสิ่มม&ลุ่ของช้�(นสิ่มม&ลุ่ของ aa•ช้�(นสิ่มม&ลุ่ของช้�(นสิ่มม&ลุ่ของ aa ภายใต�ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ภายใต�ควัามสิ่�มพิ�นธ์' R R แทนด�วัยแทนด�วัยสิ่�ญลุ่�กษณ์'สิ่�ญลุ่�กษณ์' [a][a]RR โดยโดย [[aa]]RR : :≡ { ≡ { bb | | aRbaRb } }

•ในกรืณ์�ท��พิ�จารืณ์าช้�(นสิ่มม&ลุ่ภายใต�ควัามสิ่�มพิ�นธ์'เพิ�ยงในกรืณ์�ท��พิ�จารืณ์าช้�(นสิ่มม&ลุ่ภายใต�ควัามสิ่�มพิ�นธ์'เพิ�ยงควัามสิ่�มพิ�นธ์'เด�ยวั อาจแทนช้�(นสิ่มม&ลุ่ของ ควัามสิ่�มพิ�นธ์'เด�ยวั อาจแทนช้�(นสิ่มม&ลุ่ของ aa สิ่�(นๆด�วัยสิ่�(นๆด�วัย [[aa] ] ก)ได�ก)ได�•ถุ�าถุ�า bb[[aa]]RR, , bb เรื�ยกวั�า เรื�ยกวั�า ตั�วแทนตั�วแทน((representativerepresentative)) ของช้�(นของช้�(นสิ่มม&ลุ่น�(สิ่มม&ลุ่น�(



ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง:: จากต�วัอย�างของข�อควัามท��ม�ควัามยาวัเท�าก�น จากต�วัอย�างของข�อควัามท��ม�ควัามยาวัเท�าก�น จงหาช้�(นสิ่มม&ลุ่ของค,าวั�าจงหาช้�(นสิ่มม&ลุ่ของค,าวั�า mouse, mouse, โดยแทนด�วัยโดยแทนด�วัยสิ่�ญลุ่�กษณ์'สิ่�ญลุ่�กษณ์' [mouse] ?[mouse] ?

ตัอบตัอบ:: [mouse] [mouse] ค�อเซตของค,าท��ม�ควัามยาวัเท�าก�บ ค�อเซตของค,าท��ม�ควัามยาวัเท�าก�บ 5 5 ต�วัต�วัอ�กษรือ�กษรื[mouse][mouse] ={horse, table, white,…}={horse, table, white,…}

จะเห)นวั�าจะเห)นวั�า ‘‘horse’horse’ จ�ดเป็3นต�วัแทนต�วัหน4�งของช้�(นสิ่มม&ลุ่น�(จ�ดเป็3นต�วัแทนต�วัหน4�งของช้�(นสิ่มม&ลุ่น�(



ทฤษฎี�บททฤษฎี�บท:: ให�ให� R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่บนเซตเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่บนเซต A A ป็รืะโยคต�อป็รืะโยคต�อไป็น�(สิ่มม&ลุ่ก�นไป็น�(สิ่มม&ลุ่ก�น::• aRbaRb• [a] = [b][a] = [b]• [a] [a] [b] [b]

น�ย่ามน�ย่าม:: ผลุ่แบ�งก�(นผลุ่แบ�งก�(น((partitionpartition)) ของเซตของเซต S S ค�อกลุ่��มของเซตย�อยค�อกลุ่��มของเซตย�อยของ ของ S S ท��ไม�ใช้�เซตวั�าง แลุ่ะไม�ม�สิ่มาช้�กรื�วัมก�นท��ไม�ใช้�เซตวั�าง แลุ่ะไม�ม�สิ่มาช้�กรื�วัมก�น โดยเม��อน,าเซตโดยเม��อน,าเซตย�อยท�(งหมดมารืวัมย�อยท�(งหมดมารืวัม((unionunion) ) ก�นจะเท�าก�บเซตก�นจะเท�าก�บเซต S S หรื�อกลุ่�าวัได�วั�า หรื�อกลุ่�าวัได�วั�า กลุ่��มของเซตย�อยกลุ่��มของเซตย�อย AAi i โดย โดย iiI I ท,าให�เก�ดการืแบ�งสิ่�วันของท,าให�เก�ดการืแบ�งสิ่�วันของ S S ก)ต�อก)ต�อเม��อเม��อ (i) A(i) Aii โดยโดย iiII

(ii) A(ii) Aii A Ajj = = , , ถุ�าถุ�า i i j j

(iii) (iii) iiII A Aii = S = S


ผลุ่แบ�งก�(น(Partition)

•ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง:: ก,าหนดให�ก,าหนดให� SS เป็3นเซตเป็3นเซต {u, m, b, r, o, c, k, s}{u, m, b, r, o, c, k, s}

เซตต�อไป็น�(เป็3นผลุ่แบ�งก�(นเซตต�อไป็น�(เป็3นผลุ่แบ�งก�(น((partitionpartition))ของเซตของเซต SS หรื�อไม�หรื�อไม�??{{m, o, c, k}, {r, u, b, s}}{{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} yesyes

{{c, o, m, b}, {u, s}, {r}}{{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} no (no (ไม�ม� ไม�ม� k)k)

{{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}}{{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} no (t no (t ไม�เป็3นสิ่มาช้�กของไม�เป็3นสิ่มาช้�กของ S)S)

{{u, m, b, r, o, c, k, s}}{{u, m, b, r, o, c, k, s}} yesyes

{{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}}{{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} yes ({b,o,o,k} = {b,o,k})yes ({b,o,o,k} = {b,o,k})

{{u, m, b}, {r, o, c, k, s}, {{u, m, b}, {r, o, c, k, s}, }} no (no (เป็3น เป็3น ไม�ได�ไม�ได�))



•ทฤษฎี�บททฤษฎี�บท:: ให R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่บนเซตเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่บนเซต S S ด�งด�งน�(นช้�(นสิ่มม&ลุ่ของควัามสิ่�มพิ�นธ์'น�(นช้�(นสิ่มม&ลุ่ของควัามสิ่�มพิ�นธ์' RR จะท,าให�เก�ดผลุ่แบ�งจะท,าให�เก�ดผลุ่แบ�งก�(นก�(น((partitionpartition)) ของเซตของเซต S S แลุ่ะ หากก,าหนดผลุ่แบ�งก�(นแลุ่ะ หากก,าหนดผลุ่แบ�งก�(น {A{Aii | |

iiI} I} ของเซตของเซต S S มาให� จะม�ควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่มาให� จะม�ควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่ R R ซ4�งม�ซ4�งม�เซตเซต AAii, i, iI, I, เป็3นช้�(นสิ่มม&ลุ่ของควัามสิ่�มพิ�นธ์'น�(นเป็3นช้�(นสิ่มม&ลุ่ของควัามสิ่�มพิ�นธ์'น�(น•ช้�(นสิ่มม&ลุ่ของควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่ช้�(นสิ่มม&ลุ่ของควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่ R R ใดๆท��น�ยามบนเซตใดๆท��น�ยามบนเซต S S จะท,าให�เก�ดผลุ่แบ�งก�(นของเซตจะท,าให�เก�ดผลุ่แบ�งก�(นของเซต S S เพิรืาะสิ่มาช้�กท�กต�วัในเพิรืาะสิ่มาช้�กท�กต�วัในเซตเซต S S ถุ&กก,าหนดให�อย&�ในช้�(นสิ่มม&ลุ่ได�เพิ�ยงช้�(นเด�ยวัเท�าน�(นถุ&กก,าหนดให�อย&�ในช้�(นสิ่มม&ลุ่ได�เพิ�ยงช้�(นเด�ยวัเท�าน�(น



•ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง:: สิ่มมต� แฟัรืงก'แฟัรืงก', , ซ&ซานซ&ซาน แลุ่ะแลุ่ะ จอรื'จจอรื'จ อาศู�ยในเม�องบอสิ่ต�นอาศู�ยในเม�องบอสิ่ต�น, , สิ่เตสิ่เตฟัาน�แลุ่ะแมค อาศู�ยอย&�ในเม�องเบอลุ่�น เจนน�เฟัอรื'อาศู�ยอย&�ในเม�องซ�ดน�ย'ฟัาน�แลุ่ะแมค อาศู�ยอย&�ในเม�องเบอลุ่�น เจนน�เฟัอรื'อาศู�ยอย&�ในเม�องซ�ดน�ย'•ให�ให� R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่ {(a, b) | a {(a, b) | a แลุ่ะแลุ่ะ b b อาศู�ยอย&�ในเม�องอาศู�ยอย&�ในเม�องเด�ยวัก�นเด�ยวัก�น} } บนเซตบนเซต P = {P = {แฟัรืงก'แฟัรืงก', , ซ&ซานซ&ซาน, , จอรื'จจอรื'จ, , สิ่เตฟัาน�สิ่เตฟัาน�, , แมคแมค, , เจนน�เฟัอรื'เจนน�เฟัอรื'} } ด�งน�(นด�งน�(น

R = {(R = {(แฟัรืงก'แฟัรืงก', , แฟัรืงก'แฟัรืงก'), (), (แฟัรืงก'แฟัรืงก', , ซ&ซานซ&ซาน), (), (แฟัรืงก'แฟัรืงก', , จอรื'จจอรื'จ), (), (ซ&ซานซ&ซาน, , แฟัแฟัรืงก'รืงก'), (), (ซ&ซานซ&ซาน, , ซ&ซานซ&ซาน), (), (ซ&ซานซ&ซาน, , จอรื'จจอรื'จ), (), (จอรื'จจอรื'จ, , แฟัรืงก'แฟัรืงก'), (), (จอรื'จจอรื'จ, , ซ&ซ&ซานซาน), (), (จอรื'จจอรื'จ, , จอรื'จจอรื'จ), (), (สิ่เตฟัาน�สิ่เตฟัาน�,,สิ่เตฟัาน�สิ่เตฟัาน�), (), (สิ่เตฟัาน�สิ่เตฟัาน�, , แมคแมค), (), (แมคแมค, , สิ่เตสิ่เตฟัาน�ฟัาน�), (), (แมคแมค, , แมคแมค), (), (เจนน�เฟัอรื'เจนน�เฟัอรื', , เจนน�เฟัอรื'เจนน�เฟัอรื')})}•ด�งน�(นช้�(นสิ่มม&ลุ่ ของด�งน�(นช้�(นสิ่มม&ลุ่ ของ R R ค�อค�อ: : {{{{แฟรืงก�แฟรืงก�, , ซ,ซานซ,ซาน , , จอรื�จจอรื�จ}, {}, {สัเตัฟาน�สัเตัฟาน�, , แมคแมค}, {}, {เจนน�เฟอรื�เจนน�เฟอรื�}}}}

ซ4�งเป็3นผลุ่แบ�งก�(นซ4�งเป็3นผลุ่แบ�งก�(น((partitionpartition) ) ของของ PP



•ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง:: ก,าหนดให�ก,าหนดให� R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'{(a, b) | a {(a, b) | a b (mod 3)} b (mod 3)} บนเซตของจ,านวันเต)ม หรื�อกลุ่�าวัได�บนเซตของจ,านวันเต)ม หรื�อกลุ่�าวัได�วั�า วั�า R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์' เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์' { { (a, b) | a-b (a, b) | a-b แลุ่�วัหารืด�วัย แลุ่�วัหารืด�วัย 3 3 ลุ่งต�วัลุ่งต�วั }}

•ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ควัามสิ่�มพิ�นธ์' R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่หรื�อไม�เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่มม&ลุ่หรื�อไม�??•เป+น เป+น เพิรืาะเพิรืาะ R R เป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่ะท�อน สิ่มมาตรื แลุ่ะเป็3นควัามสิ่�มพิ�นธ์'สิ่ะท�อน สิ่มมาตรื แลุ่ะถุ�ายทอด ถุ�ายทอด ((ให�เหต�ผลุ่ เป็3นแบบฝึ=กห�ดให�เหต�ผลุ่ เป็3นแบบฝึ=กห�ด))

•จงหาช้�(นสิ่มม&ลุ่ของควัามสิ่�มพิ�นธ์'จงหาช้�(นสิ่มม&ลุ่ของควัามสิ่�มพิ�นธ์' R ?R ?

AnsAns {{…, -6, -3, 0, 3, 6, …},{{…, -6, -3, 0, 3, 6, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …},{…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}}{…, -4, -1, 2, 5, 8, …}}


FunctionsFunctions


น�ยามของฟั6งก'ช้��นน�ย่าม ให� A แลุ่ะB เป็3นเซตใด ๆ แลุ่ะ f เป็3นสิ่�บเซต

ของ AB f เป็3นฟั6งก'ช้�นจาก A ไป็ B(ff: A: ABB ) ก)ต�อเม��อ f ม�ค�ณ์สิ่มบ�ต�ด�งน�( แต�ลุ่ะสิ่มาช้�ก “ x ใน A จะม�สิ่มาช้�ก y ใน B มาจ�บค&�เพิ�ยงต�วัเด�ยวัเท�าน�(น”

หรื�อ 1. ท�ก ๆ x A ม� y B ซ4�ง (x, y) f 2. ท�ก ๆ x A แลุ่ะ y, z B ถุ�า (x, y) f แลุ่ะ (x, z) f แลุ่�วั y = z


ต�วัอย�าง• A={1, 2, 3, 4} A={1, 2, 3, 4} แลุ่ะแลุ่ะ B={0, 1, 2, 3, 4}B={0, 1, 2, 3, 4}

• ควัามสิ่�มพิ�นธ์'ท��ก,าหนดต�อไป็น�( ข�อใดเป็3นฟั6งควัามสิ่�มพิ�นธ์'ท��ก,าหนดต�อไป็น�( ข�อใดเป็3นฟั6งก'ช้� �นจากก'ช้��นจาก A A ไป็ไป็ B?B?

• ff = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}

• gg = {(1,1), = {(1,1), (2,0)(2,0), (3,2), (4,1), , (3,2), (4,1), (2,4)(2,4)}}

• hh = {(1,4), (2,2), (3,0)} = {(1,4), (2,2), (3,0)}

• f f เป็3นฟั6งก'ช้� �นเป็3นฟั6งก'ช้� �น, , แต�แต� g g แลุ่ะแลุ่ะ hh ไม�ไม�เป็3นฟั6งก'ช้� �นเป็3นฟั6งก'ช้� �น


Function Terminology

• ถุ�าก,าหนดฟั6งก'ช้� �นถุ�าก,าหนดฟั6งก'ช้� �น ff::AABB, , แลุ่ะแลุ่ะ ff((aa)=)=b b ((โดยท��โดยท�� aaAA แลุ่ะแลุ่ะ bbBB), ), ด�งน�(น กลุ่�าวัได�วั�าด�งน�(น กลุ่�าวัได�วั�า::– AA ค�อ โดเมนค�อ โดเมน (domain)(domain) ของของ ff – BB ค�อ โคโดเมนค�อ โคโดเมน (codomain)(codomain) ของของ ff– bb ค�อ อ�มเมจค�อ อ�มเมจ (image)(image) ของของ a a ภายใต�ภายใต� ff– aa ค�อ พิรื�อ�มเมจค�อ พิรื�อ�มเมจ (pre-image)(pre-image) ของของ bb ภายใต�ภายใต� ff

• สิ่�งเกตวั�าสิ่�งเกตวั�า bb หน4�งค�า อาจม�พิรื�อ�มเมจได�มากกวั�า หน4�งค�า อาจม�พิรื�อ�มเมจได�มากกวั�า 1 1 ต�วัต�วั– พิ�สิ่�ยพิ�สิ่�ย((range)range) RRBB ของของ f f ค�อค�อ RR={={bb | | aa ff((aa)=)=bb } }


Domain and Codomain• ถุ�า f เป็3นฟั6งก'ช้�นจากเซต A ไป็ย�ง B, เรืากลุ่�าวัวั�า A ค�อ

โดเมน(domain) ของ f แลุ่ะ B เป็3นโคโดเมน(codomain) ของ f

• โคโดเมนโคโดเมน((codomaincodomain)) ค�อเซต ท��ฟั6งก'ช้� �นน�(นถุ&กป็รืะกาค�อเซต ท��ฟั6งก'ช้� �นน�(นถุ&กป็รืะกาศูวั�าแมป็ค�าในโดเมนไป็ย�งค�าในเซตน�(น ต�วัอย�างน�( โคโดเมนศูวั�าแมป็ค�าในโดเมนไป็ย�งค�าในเซตน�(น ต�วัอย�างน�( โคโดเมนค�อ ค�อ {a,b,c,d}{a,b,c,d}

• พิ�สิ่�ยพิ�สิ่�ย((rangerange) ) ค�อเซตของค�าในโคโดเมน ท��ฟั6งก'ช้� �นแมป็ค�อเซตของค�าในโคโดเมน ท��ฟั6งก'ช้� �นแมป็สิ่มาช้�กของโดเมนไป็ย�งค�าน�(นจรื�ง โคโดเมนค�อ สิ่มาช้�กของโดเมนไป็ย�งค�าน�(นจรื�ง โคโดเมนค�อ {a,b,c}{a,b,c}

1 2345

a

b

c

d

f

=f(2)2 เป+น pre-image ของ b

b เป+น image ของ 2


Functions Example

ให�ให� f f : : Z Z RR ท��ก,าหนดโดยท��ก,าหนดโดย f f ((x x ) = ) = x x 22

Q1: Q1: จงหาโดเมน แลุ่ะโคโดเมนของฟั6งก'ช้� �นจงหาโดเมน แลุ่ะโคโดเมนของฟั6งก'ช้� �น??

Q2: Q2: จงหาอ�มเมจของจงหาอ�มเมจของ -3 ?-3 ?

Q3: Q3: จงหาพิรื�อ�มเมจของจงหาพิรื�อ�มเมจของ 3, 4?3, 4?

Q4: Q4: จงหาพิ�สิ่�ยของจงหาพิ�สิ่�ยของ f f ((ZZ)) ??


Functions Example. Basic-Terms.

f f : : Z Z RR ท��ก,าหนดโดยท��ก,าหนดโดย f f ((x x ) = ) = x x 22

A1: A1: โดเมน ค�อโดเมน ค�อ ZZ, , โคโดเมน ค�อโคโดเมน ค�อ RRA2: A2: อ�มเมจของอ�มเมจของ -3 = -3 = f f (-3) = 9(-3) = 9A3: A3: พิรื�อ�มเมจของพิรื�อ�มเมจของ 3: 3: ไม�ม� เพิรืาะไม�ม� เพิรืาะ 3 3 ไม�เป็3นไม�เป็3น

จ,านวันเต)มจ,านวันเต)ม พิรื�อ�มเมจของพิรื�อ�มเมจของ 4: -2 4: -2 แลุ่ะแลุ่ะ 22

A4: A4: พิ�สิ่�ยค�อ เซตของเลุ่ขจ,านวันเต)มยกก,าลุ่�งสิ่องพิ�สิ่�ยค�อ เซตของเลุ่ขจ,านวันเต)มยกก,าลุ่�งสิ่อง f f ((ZZ)) = {0,1,4,9,16,25,…}= {0,1,4,9,16,25,…}


Function Composition Operator

• การืป็รืะกอบก�นของสิ่องฟั6งก'ช้��นการืป็รืะกอบก�นของสิ่องฟั6งก'ช้��น gg:A:AB B แลุ่ะแลุ่ะ ff:B:BC, C, แทนด�วัยแทนด�วัย ff ○○ gg, , น�ยามโดย น�ยามโดย ((ff ○○ g g)(a) = )(a) = ff((gg(a))(a))

หมายควัามวั�าหมายควัามวั�า • หาค�าฟั6งก'ช้��นหาค�าฟั6งก'ช้��น gg โดยใช้�ค�าสิ่มาช้�กโดยใช้�ค�าสิ่มาช้�ก aaA A แมป็ค�า แมป็ค�า aa ผ�านฟั6งผ�านฟั6ง

ก'ช้��น ก'ช้� �น gg ไป็ย�งสิ่มาช้�กของไป็ย�งสิ่มาช้�กของ BB• จากน�(นหาค�าฟั6งก'ช้��นจากน�(นหาค�าฟั6งก'ช้��น ff โดยใช้�ค�าสิ่มาช้�กของโดยใช้�ค�าสิ่มาช้�กของ B, B, แลุ่�วัแมป็แลุ่�วัแมป็

ค�าน�(นผ�านฟั6งก'ช้��น ค�าน�(นผ�านฟั6งก'ช้��น ff ไป็ย�งสิ่มาช้�กของไป็ย�งสิ่มาช้�กของ CC• ด�งน�(น ฟั6งก'ช้��นป็รืะกอบ แมป็จากด�งน�(น ฟั6งก'ช้��นป็รืะกอบ แมป็จาก A A ไป็ย�งไป็ย�ง CC


Composition

ตั�วอย่�าง ให� g เป็3นฟั6งก'ช้�นจาก A = { a, b, c} ไป็ย�งเซต A ซ4�ง g(a) = b, g(b) = c, แลุ่ะ g(c) = a แลุ่ะ f เป็3น ฟั6งก'ช้�นจาก A = { a, b, c} ไป็ย�ง B = {1, 2, 3 } ซ4�ง f(a) = 3, f(b) = 2, แลุ่ะ f(c) = 1ด�งน�(นสิ่ามารืถุหา fog ได�

fog(a) = f(g(a)) = f(b) = 2 แลุ่ะfog(b) = f(g(b)) = f(c) = 1fog(c) = f(g(c)) = f(a) = 3แต� gof หาไม�ได�เน��องจาก พิ�สิ่�ยของ f ไม�เป็3นสิ่�บเซตของโดเมนของ g


Composition

• ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง ให� ให� f f แลุ่ะ แลุ่ะ g g เป็3นฟั6งก'ช้�นจากเซต เป็3นฟั6งก'ช้�นจากเซต Z Z ไป็ ไป็ Z Z ซ4�งซ4�งก,าหนด ก,าหนด

f(x) = 2x + 3 f(x) = 2x + 3 แลุ่ะ แลุ่ะ g(x) = 3x + 2 g(x) = 3x + 2 จงหา จงหา fog fogแลุ่ะ แลุ่ะ gofgofเรืาสิ่ามารืถุหา เรืาสิ่ามารืถุหา fog fog แลุ่ะ แลุ่ะ gof gof ได�ด�งน�(ได�ด�งน�(

(fog)(x) = f(g(x)) = f (3x + 2) (fog)(x) = f(g(x)) = f (3x + 2) 2 3 2 3 6 7= ( x + ) + = x + 2 3 2 3 6 7= ( x + ) + = x +

()() = (()) = (2 + 3) ()() = (()) = (2 + 3) 6 6 6 6 632 32611 6 6 6 6 632 32611


Composition

Q: Q: จงหาจงหา gg○○f f โดยท��โดยท�� 1.1. f f : : Z Z RR, , f f ((x x ) = ) = x x 22

แลุ่ะแลุ่ะ g g : : R R RR, , g g ((x x ) = ) = x x 33

2. 2. ff : :RRRR, , ff((xx) = 7) = 7xx – 4, – 4,

แลุ่ะแลุ่ะ g g : : RRR, R, gg((xx) = 3) = 3xx

3. 3. f f : {: {ป็รืะช้ากรืโลุ่กป็รืะช้ากรืโลุ่ก}} { {ป็รืะช้ากรืโลุ่กป็รืะช้ากรืโลุ่ก},},

f f ((x x ) = ) = พิ�อของพิ�อของ x, x, แลุ่ะแลุ่ะ g g = = ff


Composition

1.1. f f : : Z Z RR, , f f ((x x ) = ) = x x 22 แลุ่ะแลุ่ะ g g : : R R RR, , g g ((x x ) = ) = x x 33

gg○○ff : : Z Z RR , g , g○○ff ((x x ) = ) = x x 66

2. 2. ff : :RRRR, , ff((xx) = 7) = 7xx – 4, – 4, แลุ่ะแลุ่ะ g g : : RRR, R, gg((xx) = 3) = 3xx((gg ○ ○ ff)()(xx) = ) = gg((ff((xx)) = )) = gg(7(7xx – 4) = 3(7 – 4) = 3(7xx – 4) = 21 – 4) = 21x-x-1212((f f ○○ g g)()(xx) = ) = ff((gg((xx)) = )) = ff(3(3xx) = 21) = 21xx - 4 - 4

3. 3. f f : {: {ป็รืะช้ากรืโลุ่กป็รืะช้ากรืโลุ่ก}} { {ป็รืะช้ากรืโลุ่กป็รืะช้ากรืโลุ่ก},},f f ((x x ) = ) = gg((x x ) = ) = พิ�อของพิ�อของ xx

gg○○f f ((x x ) = ) = ป็&Bของป็&Bของ xx


Repeated Composition

• เม��อเซตของโดเมน แลุ่ะโคโดเมนเท�าก�น ฟั6งก'ช้� �นน�(นเม��อเซตของโดเมน แลุ่ะโคโดเมนเท�าก�น ฟั6งก'ช้� �นน�(นอาจป็รืะกอบเข�าก�บต�วัเองได�อาจป็รืะกอบเข�าก�บต�วัเองได� การืป็รืะกอบก�นของฟั6งการืป็รืะกอบก�นของฟั6งก'ช้� �นต�วัเด�ยวัก�นซ,(าๆ จะเข�ยนอย&�ในรื&ป็ของการืยกก'ช้� �นต�วัเด�ยวัก�นซ,(าๆ จะเข�ยนอย&�ในรื&ป็ของการืยกก,าลุ่�งของฟั6งก'ช้� �นก,าลุ่�งของฟั6งก'ช้� �น((functional exponentiationfunctional exponentiation)) แทนแทนด�วัยสิ่�ญลุ่�กษณ์' ด�งน�(ด�วัยสิ่�ญลุ่�กษณ์' ด�งน�(

f f n n ((x x ) = ) = f f ○○f f ○○f f ○○f f ○○ … … ○○f f ((x x ) )

โดย โดย f f ป็รืะกอบก�นป็รืะกอบก�น n n ครื�(ง เรื��มจากด�านขวัาม�อครื�(ง เรื��มจากด�านขวัาม�อQ1: Q1: ก,าหนดก,าหนด f f : : Z Z ZZ, , f f ((x x ) = ) = x x 22 จงหาจงหา f f 44

Q2: Q2: ก,าหนดก,าหนด g g : : Z Z ZZ, , g g ((x x ) = ) = x x + 1 + 1 จงหาจงหา g g nn

Q3: Q3: ก,าหนดก,าหนด hh((x x ) = ) = พิ�อของพิ�อของ xx, , จงหาจงหา hhnn

n


Repeated Composition

A1: A1: f f : : Z Z ZZ, , f f ((x x ) = ) = x x 22

f f 44((x x ) = ) = x x (2*2*2*2)(2*2*2*2) = = x x 1616

A2: A2: g g : : Z Z ZZ, , g g ((x x ) = ) = x x + 1 + 1

ggn n ((x x ) = ) = x x ++ n n

A3: A3: h h ((x x ) = ) = พิ�อของพิ�อของ xx, ,

hhn n ((x x ) = ) = บรืรืพิบ�รื�ษลุ่,าด�บท�� บรืรืพิบ�รื�ษลุ่,าด�บท�� nn ของ ของ xx


ฟั6งก'ช้��น One-to-One

• ฟั6งก'ช้� �นฟั6งก'ช้� �น ff::AABB เป็3นเป็3น one-to-oneone-to-one (1-1) (1-1), , หรื�อหรื�อ injectioninjection, , ก)ต�อเม��อ สิ่มาช้�กท�กต�วัในพิ�สิ่�ยม�พิรื�ก)ต�อเม��อ สิ่มาช้�กท�กต�วัในพิ�สิ่�ยม�พิรื�อ�มเมจเพิ�ยงต�วัเด�ยวัอ�มเมจเพิ�ยงต�วัเด�ยวัxx, , yyAA ( (ff((xx) = ) = ff((yy) ) xx = = yy))

• หรื�อกลุ่�าวัได�วั�าหรื�อกลุ่�าวัได�วั�า ff เป็3นเป็3น one-to-one one-to-one ก)ต�อเม��อ ฟั6งก)ต�อเม��อ ฟั6งก'ช้� �นน�(นไม�ม�การืแมป็สิ่มาช้�กท��แตกต�างก�นในก'ช้� �นน�(นไม�ม�การืแมป็สิ่มาช้�กท��แตกต�างก�นในเซตเซต AA ไป็บนสิ่มาช้�กต�วัเด�ยวัก�นในเซตไป็บนสิ่มาช้�กต�วัเด�ยวัก�นในเซต BB– สิ่�งเกตวั�า โดเมนแลุ่ะพิ�สิ่�ยจะม�ขนาดสิ่�งเกตวั�า โดเมนแลุ่ะพิ�สิ่�ยจะม�ขนาด((จ,านวันสิ่มาช้�กจ,านวันสิ่มาช้�ก))เท�าเท�า

ก�น สิ่�วันโคโดเมนอาจม�ขนาดใหญ�กวั�าก�น สิ่�วันโคโดเมนอาจม�ขนาดใหญ�กวั�า


กรืาฟัแสิ่ดง One-to-One

• กรืาฟัสิ่องสิ่�วันกรืาฟัสิ่องสิ่�วัน((Bipartite graph) Bipartite graph) สิ่ามารืถุใช้�สิ่ามารืถุใช้�พิ�จารืณ์าวั�าฟั6งก'ช้� �นเป็3น พิ�จารืณ์าวั�าฟั6งก'ช้� �นเป็3น 1-1 1-1 หรื�อไม�เป็3นได�หรื�อไม�เป็3นได�::

••••

•

•

••

•

เป็3น One-to-one

••••

••

••

•ไม�เป็3น one-to-one

••••

••

••

•ไม�เป็3นฟั6งก'ช้��น!


Properties of Functions

•ก,าหนด ก,าหนด ff ด�งน�(ด�งน�(ff(Linda) = Moscow(Linda) = Moscow

ff(Max) = Boston(Max) = Boston

ff(Kathy) = Hong Kong(Kathy) = Hong Kong

ff(Peter) = Boston(Peter) = Boston

• ff เป็3น เป็3น one-to-one one-to-one หรื�อไม�หรื�อไม�??

•ไม�เป็3น ไม�เป็3น 1-1 1-1 เพิรืาะเพิรืาะ Max Max แลุ่ะแลุ่ะ Peter Peter ถุ&กแมป็ไป็บนสิ่มาช้�กต�วัถุ&กแมป็ไป็บนสิ่มาช้�กต�วัเด�ยวัก�นเด�ยวัก�น((ม�อ�มเมจต�วัเด�ยวัก�นม�อ�มเมจต�วัเด�ยวัก�น))

•ก,าหนด ก,าหนด gg ด�งน�(ด�งน�(g(Linda) = Moscowg(Linda) = Moscow

g(Max) = Bostong(Max) = Boston

g(Kathy) = Hong Kongg(Kathy) = Hong Kong

g(Peter) = New Yorkg(Peter) = New York

•g g เป็3นเป็3น one-to-oneone-to-one หรื�อหรื�อไม�ไม�??

เป็3น เพิรืาะสิ่มาช้�กแต�ลุ่ะต�วัเป็3น เพิรืาะสิ่มาช้�กแต�ลุ่ะต�วัถุ&กก,าหนดให�ม�อ�มเมจถุ&กก,าหนดให�ม�อ�มเมจคนลุ่ะต�วัก�นคนลุ่ะต�วัก�น


การืพิ�สิ่&จน'วั�าฟั6งก'ช้� �นเป็3น 1-1 หรื�อไม�ต�วัอย�าง: f:RR ก,าหนดโดย f(x) = x2

•จากน�ยามของ One-to-one: x, yA (f(x) = f(y) x = y)•พิ�สิ่&จน'วั�าข�อควัามเป็3นเท)จ โดยยกต�วัอย�างค�าน(Disproof by counterexample):f(3) = f(-3), แต� 3 -3, ด�งน�(น f ไม�เป็3น one-to-one

ต�วัอย�าง: f:RR ก,าหนดโดย f(x) = 3x•จากน�ยามของ One-to-one: x, yA (f(x) = f(y) x = y)•ใช้� Indirect proof พิ�สิ่&จน'วั�าข�อควัามเป็3นจรื�ง ค�อต�องแสิ่ดงวั�า: ถุ�า x y ด�งน�(น f(x) f(y) •สัมมตั�ให x y จะได�วั�า 3x 3y ด�งน�*น f(x) f(y), จ4งสิ่รื�ป็ได�วั�า ถุ�า x y, แลุ่�วั f(x) f(y), ด�งน�(น f เป็3น one-to-one


Onto (Surjection) Functions

• ฟั6งก'ช้� �นฟั6งก'ช้� �น ff::AABB เป็3นเป็3น ontoonto หรื�อหรื�อ surjectionsurjection ก)ต�อเม��อ ก)ต�อเม��อ พิ�สิ่�ยเท�าก�บโคโดเมนพิ�สิ่�ยเท�าก�บโคโดเมน ((bbBB, , aaAA: : ff((aa)=)=bb))

• ฟั6งก'ช้� �นฟั6งก'ช้� �น ontoonto แมป็เซตแมป็เซต AA ไป็บนสิ่มาช้�กไป็บนสิ่มาช้�กท�กต�วัท�กต�วัของเซตของเซต BB

• ถุ�าฟั6งก'ช้� �นเป็3น ถุ�าฟั6งก'ช้� �นเป็3น onto onto สิ่�งเกตวั�าพิ�สิ่�ยจะเท�าก�บโคโดเมนสิ่�งเกตวั�าพิ�สิ่�ยจะเท�าก�บโคโดเมน::

••••

•

•

••

• ••••

•

•

••

• ••••

•••

• ••••

•••

•

•

Onto(แต�ไม� 1-1)

ไม� Onto(ไม� 1-1)

เป็3น 1-1แลุ่ะ onto

เป็3น1-1 แต�ไม� onto


Bijections

• ฟั6งก'ช้� �นฟั6งก'ช้��น ff เรื�ยกวั�าเป็3นเรื�ยกวั�าเป็3น สัมน�ย่หน12งตั�อหน12งสัมน�ย่หน12งตั�อหน12ง (one-to-one (one-to-one correspondence)correspondence), , หรื�อหรื�อ bijectionbijection, , หรื�อกลุ่�าวัวั�าเป็3นฟั6งก'ช้� �นหาหรื�อกลุ่�าวัวั�าเป็3นฟั6งก'ช้��นหาผกผ�นได�ผกผ�นได�((invertibleinvertible)), , ก)ต�อเม��อ ฟั6งก'ช้� �นน�(นเป็3นท�(ง ก)ต�อเม��อ ฟั6งก'ช้��นน�(นเป็3นท�(ง one-to-one one-to-one แลุ่ะ แลุ่ะ ontoonto

• สิ่,าหรื�บสิ่,าหรื�บ bijections bijections f:Af:ABB, , เป็3นฟั6งก'ช้� �นท��ม�ผกผ�นเป็3นฟั6งก'ช้��นท��ม�ผกผ�นของของ ff, , เข�ยนเข�ยนแทนด�วัยแทนด�วัย f f 11::BBAA, , ซ4�งเป็3นฟั6งก'ช้� �นท��เม��อน,ามาป็รืะกอบก�บ ซ4�งเป็3นฟั6งก'ช้��นท��เม��อน,ามาป็รืะกอบก�บ ff แลุ่�วัเท�าก�บฟั6งก'ช้��นเอกลุ่�กษณ์'แลุ่�วัเท�าก�บฟั6งก'ช้��นเอกลุ่�กษณ์' (ซ4�ง IA เป็3นฟั6งก'ช้� �นเอกลุ่�กษณ์'บนเซต A)

ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง : f : f : : Z Z ZZ, , f f ((x x ) = ) = x x + 1 + 1 แลุ่ะแลุ่ะ g g == f f -1 -1

ด�งน�(นด�งน�(น g g ((x x ) = ) = x x – 1 – 1 จะได�วั�าจะได�วั�า gg○○ff ((x x ) = ) = xx

• เห)นได�วั�า ถุ�าเห)นได�วั�า ถุ�า ff เป็3นเป็3น bijection bijection แลุ่ะเซตแลุ่ะเซต AA แลุ่ะแลุ่ะ BB เป็3นเซตเป็3นเซตจ,าก�ด แลุ่�วัจ,าก�ด แลุ่�วั ||AA| = || = |BB||

AIff 1


ค�ณ์สิ่มบ�ต�ของฟั6งก'ช้��น

•ff เป็3น เป็3น 1-11-1??

•YesYes

•ff เป็3น เป็3น ontoonto??

•YesYes

•ff เป็3น เป็3น bijection?bijection?

•YesYes

LindaLinda

MaxMax

KathyKathy

PeterPeter

BostonBoston

New New YorkYorkHong Hong KongKong

MoscowMoscow

SidneySidneyHelenaHelena


One-to-One, Onto, Bijection Examples

Q: Q: ข�อใดต�อไป็น�(เป็3นข�อใดต�อไป็น�(เป็3น 1-1, onto, bijection? 1-1, onto, bijection? ถุ�าถุ�า ff เป็3นเป็3น ฟั6งฟั6งก'ช้� �นท��หาผกผ�นได�ก'ช้� �นท��หาผกผ�นได� จงหาฟั6งก'ช้� �นผกผ�นจงหาฟั6งก'ช้� �นผกผ�น??

f f : : Z Z RR ก,าหนดโดยก,าหนดโดย f f ((x x ) = ) = x x 22

f f : : Z Z ZZ ก,าหนดโดยก,าหนดโดย f f ((x x ) = 2) = 2xx f f : : R R RR ก,าหนดโดยก,าหนดโดย f f ((x x ) = ) = x x 33

f f : : Z Z NN ก,าหนดโดยก,าหนดโดย f f ((x x ) = |) = |x x || f f : {: {ป็รืะช้ากรืโลุ่กป็รืะช้ากรืโลุ่ก}} { {ป็รืะช้ากรืโลุ่กป็รืะช้ากรืโลุ่ก} } ก,าหนดโดยก,าหนดโดย

f f ((x x ) = ) = พิ�อของพิ�อของ xx


One-to-One, Onto, Bijection Examples

1.1. f f : : Z Z RR, , f f ((x x ) = ) = x x 22: : ไม�เป็3นท�(ง ไม�เป็3นท�(ง 1-1 1-1 แลุ่ะแลุ่ะ ontoonto

2.2. f f : : Z Z ZZ, , f f ((x x ) = 2) = 2x x : : เป็3น เป็3น 1-11-1

3.3. f f : : R R RR, , f f ((x x ) = ) = x x 33: : เป็3นท�(ง เป็3นท�(ง 1-1, onto, 1-1, onto, bijection, inverse bijection, inverse ค�อค�อ f f -1-1((x x ) = ) = x x (1/3)(1/3)

4.4. f f : : Z Z NN, , f f ((x x ) = | ) = | x x |: |: เป็3นเป็3น ontoonto

5.5. f f ((x x ) = ) = พิ�อของพิ�อของ xx : : ไม�เป็3นท�(ง ไม�เป็3นท�(ง 1-1 1-1 แลุ่ะแลุ่ะ ontoonto


ฟั6งก'ช้� �นผกผ�น(Inverse Function)

• ให�ให� f:Af:AB B เป็3นเป็3น one-to-one correspondenceone-to-one correspondence, , หรื�อหรื�อ bijection bijection ด�งน�(นด�งน�(น ฟั6งก'ช้��นผกผ�น ฟั6งก'ช้��นผกผ�นของ ของ ff ค�อค�อฟั6งก'ช้� �นท��ก,าหนดค�าสิ่มาช้�กฟั6งก'ช้� �นท��ก,าหนดค�าสิ่มาช้�ก bb ในใน B B ด�วัยด�วัยสิ่มาช้�กเพิ�ยงต�วัเด�ยวัสิ่มาช้�กเพิ�ยงต�วัเด�ยวั aa ในใน A A โดยท��โดยท�� f(a) = bf(a) = b

• ฟั6งก'ช้� �นผกผ�นของฟั6งก'ช้� �นผกผ�นของ ff เข�ยนแทนด�วัยเข�ยนแทนด�วัย f f -1-1 ด�งน�(นด�งน�(น f f -1-1(b) = a(b) = a เม��อเม��อ f(a) = bf(a) = b

• •

A B

a=f -1(b) b=f(a)

f

f-1


ฟั6งก'ช้��นผกผ�น(Inverse Function)

ตั�วอย่�างตั�วอย่�าง::

f(Linda) = Moscowf(Linda) = Moscow

f(Max) = Bostonf(Max) = Boston

f(Kathy) = Hong f(Kathy) = Hong KongKong

f(Peter) = f(Peter) = SidneySidney

f(Helena) = New f(Helena) = New YorkYork

ด�งน�(นด�งน�(น f f เป็3นเป็3น bijectionbijection

ฟั6งก'ช้� �นผกผ�นฟั6งก'ช้� �นผกผ�น ff-1-1 ก,าหนดก,าหนดโดยโดย::

ff-1-1(Moscow) = Linda(Moscow) = Linda

ff-1-1(Boston) = Max(Boston) = Max

ff-1-1(Hong Kong) = (Hong Kong) = KathyKathy

ff-1-1(Sidney) = Peter(Sidney) = Peter

ff-1-1(New York) = (New York) = HelenaHelena

ผกผ�นจะหาได�เฉพิาะก�บฟั6งผกผ�นจะหาได�เฉพิาะก�บฟั6งก'ช้� �นท��เป็3นก'ช้� �นท��เป็3นbijections bijections เท�าน�(นเท�าน�(น(= invertible (= invertible functions)functions)


Inverse Function Example

ให� f : Z Z, f(x) = x+1 จงแสิ่ดงวั�า f หาผกผ�นได�หรื�อไม� ถุ�าหาได�จงหา f -1 ?• f เป็3นฟั6งก'ช้��นท��หาผกผ�นได� เพิรืาะเป็3น bijection (จงให�

เหต�ผลุ่) ด�งน�(น x = y-1 น��นค�อ f -1(y)= y-1 หรื�อเข�ยนในรื&ป็ของต�วัแป็รื x ได�วั�า f -1(x)= x - 1

• ก,าหนดให� f : Z Z, f(x) = x2 จงแสิ่ดงวั�า f หาผกผ�นได�หรื�อไม� ถุ�าหาได�จงหา f -1 ?

• เพิรืาะ f(-1) = f(1) = 1, f จ4งไม�เป็3น one-to-one ด�งน�(น f ไม�สิ่ามารืถุหาผกผ�นได�

Chapter 5 Sets, Relations, and Functions

Documents

Transcript of Chapter 5 Sets, Relations, and Functions