Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

18

Transcript of Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

Page 1: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

������� �

����� ����������

Page 2: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

�� ������� �� �� ��������������

�� ���� ��� ��� ���� � ����� ����������� ���� ����� ��������� �� ��� �� �� �����

����������� �� ���������� ��� ��������� �� ������ � ���� ������ ���� ������� ��

��������� �� ������������ ��� ��� �������� �� ���� ���������� ����� �� ����� ��

���������� ��� ��� � ������� ��� � �� �� �� ���� ������� ��� �������� � ����������

��� ������

�� �� �������������� �� � ������ � ����� �� �������� !���� � "���� ��� �� ��� �� ��

�������������� �� ��� ������� ��� ���� � ��� ������� ��� ������ �������� �� �����

�� �� ���� #�� � �� � ��$���� ���� ���������%& �� ��� ���� ���� ����� ��� ��� �����

���������� ��� �� �� �������������� �� ��������� �� ��� ���������� ��������� �� ���

�� �� �������������� ������ �������� ���� ������ �� ��� ����� ���� ������ ��

���� ��������� �� �������� ��������� ���������� �����

�� "���& �������� ��� ������� �'��� ��� ��� �������� �� �� ����

���� ��� ������ ��� ����� �� ��������� ���������� (���

���� ���� ������ ������� � ���� � ��� � �� ������ �� " ��

���� � ��� � �� ��� "���� ���� � )��� ��� � ������ �� ��� ����

���� �� �������� ��������� ���������� ������ ���������� ����

)��� � �� �������� ���� �� ���� ��������� �� �������� ����

������� �������� ��� ������������ ��"������ �� �� �� �������

�������� !���� � ����� � ��� � ��������� ������� ���� � "����

������ �� ���� �� � � � ����� ����� ���� ���� �� �� ������������ �� ��� ���

����� ����������� �� � �� ��"��� ��

���� ��∑�

����dim �� � #*%

���� +������� �� �� ���"��� ��� � �������� � ���� � ��� �� ������ #��� ,-% ��� ��

����������� �� ��� ������������� �� � ���� �� �. � �� � ������������� ��������� /�

�� ��� � �������� ��������� ��� ����������� �� ���� �'��� ��� ����� �� �������������

����� ��� � �� ���� ����� �� � � 0���� ������� "���� �� ���� �'��� � �� �

�������� ���������� �� �� �� ����� �� ������� -

�� �� �������������� ��� ��������� ��� �������� ����

�� � ������� ��������� �����& ����� ���� �� � ���� #� ����

������� � �����% �� ��� �� � �� � � � �� �� �������������� ��

� �� ����� ��������� ����� ��������� ������� �������� �

)������� ��. � � � �� ����� � �+�� � ��� ����� 0��

������� �����' ������ �� �� ��� � � � 1������� � ����

����� �����' ���� ���� ���� ���� � �����' �������� ���� ��

�� � ������� ����� ���� �� �� �������������� �� ������

��� ��� ��� ����������� ������ �� ������� �

1��� ���� �'��� � )** ���� ��� �������� ���"�������� ����� D����� �� ��� ������

�� � ���� ��� ��������� ����� �� "�� �������� �� � ������ )������� � 2���� ��� �

���� "���� � ���� �� �� �� �� � ��� � ������� /� �� � �� �������� � ��� ����������

�� ��� ������ ��� ����� �� ��������� ��� ����� �� ���� ���"�������� ������ ���

����� �� ��������� ���� ��� ����������� �������� �� ���� �� ����� ����������

Page 3: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

���� ������� ��

����� � ���� ���� ���� � ��� � �� D����� �������� � ����� ����� ��

����� ��� � �� ��� �� ��� � �� �� ������ � ��� ���� �������� � �����

�� �� ���� �� ��� �� ������� ���� �� �� ��������� � �� � � �� ��

� � �������� � ����� ����� �� �����!������� ��� �� ��� �� ��� � �� ��

������ � �� "���� ��D������ � ��� � � � � ��� ��� ��� ����� ��� ����

� � �� �

�� � � �

"� ������� �� ��� ���� ������� � ������� ��������� �� �

��� ����� � �#���� ��� ����#� � ��� ���$�$����� ���� ����

��� �������

% $��� �� ���� ���� ���� ��� �������� �� ������ �� ����#� "� ����� ��

���� �� ������ � ��$� �� � ���������� ��� �� & � $ � �����

����� �$��� �� ��� "� ����� ��� �� � ��� � � � � �� �� ���� ���

� � � ���� �� � � ��� ��� �� � ��� � �� ������ � � �� ��� "� �����

�� ��� � � det���� �� � ������� �� � ������� �� � '���� ���� (��� � ������ �� � ����� )����#� ����� ���������� ��� ������� ��� �

��������� $� �� ���� ��� ��������� �� � ���� �� "��� ���� �� �� ��� $�

�� ���$��� ���*� � � ����� ���

��� � ��� ����������� ��� ��� ��� � � ����

��� ���� ��� � � ����� �� ��� � �� ���� �� ���

������� ��� � � � � �� � �� � ����∫�

� � � ������ +���,

"�� ��� �� � $������� �� � �� � ����� ���# �� ��!

�� � $# � ��������� ���� ������-����� & � $ � ���� ����� ����� ��

��� �� ��� ����� ��� � �� ��� ��� ������ ��� �� ���!����� $������#

���+�,� %����� ����� )���� � ������ �� � ���� ������ ��� �� $� ���

������ ������ ��* �� �� ����.��

/� 0� �! ��� �� �� �� ���� � �� '���� ������ ��� � ��� ���1

�� 0� /! ��� �� �� �� ���� �� � � ����� ������ ��� � ���� ���1

�� 0� 2! ��� �� �� �� ���� � ���� �� �

3�� ��� ���������� � '����!4��� ������� �� $ ���� ��∫�

�� �

∫����

���

∫����

���

∫����

�� � ������ +���,

�� �� � ������ ��� � �! ��� �� '���� ������ ���� � ������ ��� /! ��� ��

����� ������� ���� � ��� ��� 2! ��� �� ���� �� )���� ������ "��

�� ����� ��������� �� ��� ���� ����� � ��� � ��� ��5����� ����#�

Page 4: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

�� ������ � � �� ������������

�� � ������� ������ � ���� ��� ����� ����������� �� �� � ��� � ��������� ��

����� ��� ��� � ���� �� ��������

� !� � �������� �������� �� �������� ����� ��� �������� ����� ��� ��� � � ��

��� ������ �� ��� ������� �" ��� � �� � ��� ������� �� �� �� � ��� � ���

��� ������� ����� #��� ������ ��������� ������� �� �����$� �� �� �������� ��

������ ��� ���� � ��� � ������

� !� � ��� %� ���& �� � ������� �����' ���&����� �� ��� ��� ����� ��� �����

�� (��� ���� � ����� � �� ��� ��� � � �� ��� ����' ����� ������� ��� ����

����� �� ��� � ��� � � �� ��� ���� ������� �" ��� ���

#�� ���� ��& �����& � ����� ������ �� ��%������

�� �� �� �" ���� )������ ������ ��� �'����� ���� ���

� %���� $�������� % ��� ��� ������� ��' �" ��� �� ��

���� �� �� �������� *������ � (�� � ������� ����� �� ����

�" �� &����� � ����� ���� �� �������� ������&� ������& (��

�'���� �� ��� �������� +���� ���� ����' ��� ����� ������

��� ���� ��� �� ��$,����� ������� ���� ��� � ���� ���

� �� ������������ � � ��������� � ���- ��� �'�����

���

��� ���������� �� ��� ����

� �� ������������ ��� ���& ���� ��� �� ����� �� �� �� ���������� �� ��� �'�������

�� ������ ����� .����� )����� ��� /��� ���� � ����� .��� �� � ������ � � ����������

�� � ������� ����� �� ���� ����� �� � ��������� ��� ���� � ����� .��� �������� �� ���

0����

����� ��� ������ ���� ����� �� � �������� ���

� �� ����� � ������� ���� �� ��������� ���� �����

��� ������ ��� �� � ���� �� ���� � ��

#��� �� ��� ���%�& ��� � �� ���������� � ��� � �����

�� ������� ��������� �� ����� ���������� ���� � �� ���$

��������� 0��� 1������ ����� ����� � �� ���� �� ��

.'��$�����$��� ����� .���� �� � $������

������ �������� #�� ���������� �������� ����& ��� ������

��� �%�� ����� ��� � �� �� #�� ������� ���� ����� � ��$

��2��� �������� ����� �������� �������� � ����� ���� �� ���� ��� ��2��� ����$%&$�����

��� ���� ���������� ���� ������� ��� �� ���� � �� � ������� ������ �$��������

���� ������ � ������ ������������ ����� .��� � � *���� � ������ ���� �� �� � ���

���� ��� ����� ��������� �� ����� �� �����' ���&����� �� � 3������& ����� ��������

4���2��� �����������& ��� �.���� �� ������� ��� % ��� ���� �� �� � �� ���� ���

����� .��� � �� �������� �� ��� ������ �� ��� ����� �� � 3������& ����� ��� ��� �����

.��� � �� ������������� � �� ����'������& ����� �� � �����%����� �� ���� ����� 5�

Page 5: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

���� ����� ��� ����� �

���� ������������ ���� �� ������� ��� ��������� ����� � �� ����� � � � �����

� ���� � ��� ������� � ��

�� ��������������� ���� �� ������ �� ���� ���� � ���

������� ��� ��� ������� ���� � � ��������� � ��

�� ������� ���� ���� ��� � ����� ������ ��� ��� �

����� ��� ��������� � � ��� �������� � ��� �������� ����

��� �� ��� �� �������� � ��� �� ���� ����� !� ��

������� � ����� � ������� � � ���� ����� ��� ���� ����

������� ��� ����� � �� ���� �∑

� ������� � �� �

!���� ��������� � �������������� ��� �������� ���

���������� ����� "��� ������ ��� ���� #������ ��$�� ��

���� �� ������ � �� ��� ��� ����� �� � ���������

�������� ��� ���� ��� �� ���% ��� !����� $�&'� (��� ������� �� ��� ��

����� ���� � ��� � ���� ������ ����� ��� � ��� � ����� ��������� �� ����� � �

��� � ����������� !���� ������ ��� ��� ����� �� �����

��� ����� ��� �����

) ��� �������������� �� ��� ����� �� � ��� � ������� �������� ��� ������� � �����

����� � ����� *����� #������ � ����� *��� � � �� ������� ��������� �� +��

� � Fix�� � �� �� ������� *��� ��� � � � +�� � ����� � � ,������� ����� ����

�� � � ���� � ����� � ��� !�� ����� � � �� �� I� ���� �� ��*��� � �� ���

������� ���� ��������%

I� ��� ��

��

∮�

�� � �����

����� �� �� ��� ����� ���� �� � �� ���� ���������� -��

����*������ �� �� ��� �� ��������� ����� �� �� ��� �����

*��� �� � ��� ��� � � ��� � �� �� ���� ��� ��������� �� ��

�� ��� � � �� �

� �� � � �

� ���� I� ��� ��������� ��� ������� �������� � ���� � � ��� ��� ����� ��.�� �� �

����� � ��� �� � �� !��� ����� �� �������*��� ��� ���������� � �� � ,������� ������

�� ����.� � /����0� !������ 1��� ��� ������������ *��� ����� � ���� ���

���.� ���� ����� ��2 ������ ���� ���� ����� ��� 3� �� ����� ���� )4 ���� �����

������� � ��*�� �� ����� I� �� � ��� ����� � ��� ����� ����� Fix�� �� 5��

��� �� ��� � ������ �� ���.� ���� ��� �� /����0� !����� � �� ��� � �����������

���� ����� �� ��������� +�� � �� � ���� ���� � ����� � �� ����� Fix�� �� !����

I� �� �∑

����Fix�� �

I� ���� ���$�

!��� ������� ��� �� ���� �� ��������� ��� ������������ �� 6$�&7 ��� 6 � �

Page 6: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

�� ������ � � �� ������������

������� � �� ������ � ��������� �

������� ��� ��������� ���������� �� ����� ����� �� ��������� ������� ���� �������

����� ��� ������ ����� ����� ���� �� � ������� �� ����

��

��� �� � ��

� ��� ���

��� �� � �� � � �� ��!�

"�� �� ���#� � ��� ����� ������� �� ��� �� $� �

� �� �����%� ��� �� $������� � � &�&��%� ��� �� $�������

� � &�&��%� ��� ��� �� $���'�������%� (����������� ��

&���� ���� ��� ���'������� ��� ���� �� � ������ �����)

�� �� I��� �� � ��� *� �� ���� ���� ��� �� ������ ���

��� ��� ������������� ���� ��� � ��� � �'�� �� ���

&����� ����� ��� ���� #� � ������� �#��+ ��� "��

����' �� � ������� �#�� � � �� #, �� ����� ���� �� ��

I� ��� � �� ����� � �� �&�,���� ������� �� ��� &���

�� -���� .���&�� #, �� ����� ��/�� � � �� � � �� � ���������� �� -'�� ������

����� ������� � � �� �� *� ���� �� � �����&��� ������� ��� ����� ���� �� ������

�������� ��� -'�� ����� ��� � ��� ���&������ � � � �'��� ��� ��� ���, ��������

�������#�� -'�� ����� ��� ������&� ����'� �

"�� ������&��, ������ �� �� ����� ��/� �� ���������� �� ��� � �� �������������

"�� �������� �� ���� �� ����� ���� ��� ���� ��-������ �� ��� ����' �� � &���� -���

�� ��� ����������� ���� #����� ����� �� ������� ��0 ��� �'����� ��1� 2/�34� ���

20�0� "�� ��������� ��������� ������ �� � ���� �� ����� ����� �����������

��� ��� �� �� �������� �� ��� ���� ��� � �����

��� ����� ���� � �� ����� ���� ��� �� � ������

������� � ∑Fix�� �

I� �� � ���� ��0�

"�� ����� �� "������ � ��� �/ ���� �� � ���

����, ��� ����� ��� -'�� ������ �������&��,�� ���� ��� �

���� ����� ���� �� �� � ��� ���#�� �� "��� ������� �����

��� � ����&���� �� �'������� �� � �� ������������ ���

���� �� ������ � ������� �&� ���� �� ���������� ����,� *�� ��-������ �� ��� ��

�'� ���� ���� �'����, ����� ���� ��&� � �������-��� � �� �������������

��� ���� ���

� �� ������������ �� �������-��� �� ������ ���� � ������������� ���� � -���� � �#�

�� ������ "�� �� �� �'������ ���� �� �� � �� ����� ������ ��� ��,� ��� ���������� ��������

��� ��� �������� ������ ���� ���� � ��� �� ���� ������������� ����� ���-� �����

����� �� ������ �� � ������� ��&�� ���� �� � ������ � ������� � ��� �� ��� 5������

Page 7: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

���� ���� ��� ��

��� ���� � �� ������� ���� ���������� ���� ������ ��� ����� �� ���� ��� ���� �

�������� �� � � � � �� ����� ���� �� �������� � �� ��������� �� �� � ����

� � � ������������ �� ��� ������ � ���� ��� �� �� �� ��� �������� � � �����

��������� �� ���������� �� ����� � ���� ���� ������� ��� ���� � ����� ���

������! ���� ��� �� ��� ������� ��� ����� �����

"�#����� ������������ ���������� ���� �� ����$

�������� ������ %&! ������ ������'�'�� �� ����� � �(��

���� ��� ������ ������������) ����������� ����� ������*

�'�� �� ����� � � +���� ��� � � ����� ������������) �

������� �� ����� ��+��� �� ����� � ������ � ���� ���

������ ,-../� &������� ���� ������� �� �������� ��*

������ � ���� ������� � ���� �� ��� ��� � �� ���������

��������

0� *������� ��������� O � �O�� ��� �! �� � ��*

������ � 1���� ����'��� O� � ��'���� � �� �������� � ���� ����� ����� ���

������� � ����������� ��� ��������! ����� �����+�� ������� �����$

2� O �� ����� ����� ��������� ������)

-� O �� ����� ����� ����*������� �3������ �� � ����)

�� O� ������� �������� ������� �� � ��� �� ���� � �� � )

�� O� ������� ��� ��'������� ��� � ���) ���

�� O� ������� � ��� +���� ����� � ���� ��� �� ����������

4������� � O ��� ������ ���� �� ��� ���� � �������� ����� 5�������

������� � *������� ���������� ��� ��������'���� ���� ��� ��'���� ��� ����� ���

+�������� � ��� +��� ���� �� ��� ������� ���� ���� ������ ��� ���� �

6���� � +��� *������� ���������� �� ��� ��� ���� ���� ���� ���� �������� �����

���� ������ ��� �������� ����� ��+���$ � �� ���������� ��������! �������

'������ ���� ����� �� ���� � ������! �� ��� ���� �� ��� ����� � ����� ���

�����! �� � ���� ���� 0 �������� ������������ �� � ���� '�3����� '������ ����

����� � �����$ ������ �������� ���� ��� ��� ����������� ����������� 7��� �

�������� ����� ��� ������� ������ ������$

������ ��� ������������� �������� ���

������ ��� �� ������ �������� �� �� � �

���� ������� ����� �� ���� ������ ����������

� � ������������ �� � � �������� �� ��� ��� �� � �

��������� �� � �� ������ ������������� �� ��� ��

������ �� � � ������� �� ���� �� ���� ������� ��

� � ��������������

���� ������ ������ ���� ���� ���� ���� � ���� � ����*��+��� 4���� ��������������

��� � ����*��+��� �������� ��� ��� � ��� ��������� � ��� �������� �� � �����*

�������!� ��� ������� �� ���� ����� �� ���������� ��� �� �� ������� ����������

���� ������ � ��+��'�� ���������� ��� ��� �������� �����������

���� ���� ����� ���� ����� ������ �� ���� ������ ���� ����� ������� ��� ���� �� ��� ���

���� ����� � � ����������� ����� ����������

Page 8: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

�� ������ � � �� ������������

������� �� �� ���� ��� ������ ���� � �� ��� � �� ��������� ��� ������

���������� � � ��� ��� � ���� ���� ��� ���� � ���� �� ��� ���� ��������� �� ��

���� �� �� �������� ��� ���� �� � �������� ������������ �� � �������� ������

������� ��� �� �������� �� � � ��� ������ � ����� ���� �������� ��������� ���

������ �� � �� ���������� �� ���� ���� ���� �� ����� ����! ��� ���� ���� ��� ��

� ����� �� ���� �� � ���� ����������� ������� ���� ����! ��� � �� ������������!

��� �����������

��� ����� �����

"� �� �������� �� � ��� � ����������� ���� � � ����� �� � �� ������������� ��� �������

�� ���� ���� � � ������� �� ��� ��������� ����������#

����� ���� ��� � ��� � ������ �����

��� � �� � ���� � ���� � ��� � ��� $�%&

���� ������'��� ��� ���� ����������� �� ��� ������

�� � �� �� ����� �� (�)! �� ��� *� ���+����� ������

�� (�,! �� ��� ���� �� ������ �! ��� �� ��� ������'���

�� ��� �-�� ����� ����- �� (�.� ��� ���� ��� ��'�

$�%& '�� ����� ������! ��� �����! ��� ����! ���� ��� ���

� ������� ����������� ����� �� ������� .�� �� �'�������� ��� ��������� �������

�/ ����� $�%& ��� ��� ��������� �� � ���� � �� �� ������������ 0�������� ����� ����

���� ��� �� +����� � $�� �����&! ��� ����� ��� � ���� �� �� �'� �������� ����

� � � '��# ∫�

�� �� �� ����� $�1&

2��� ���� � ������� �� ���� ���������� ����� �� �������'�� �� ��� �������������!

������� ���� �� � � � � �! ��� ��'�� ���� ������ � � �� ����� 3����� �� CF���

��� ��� �� �� ���� ��������� � ������ ����� ������ � ������� �� �� ��� ����

����!��� �� ������ �� �� ��� �����������∫�� CF���� ���'�� ��#∫

� �� �

�∑����

���� � �� �

�∑���

���� ��� ���� � ���� $�)�&

���� ��� ���� �/ ����� �� � ������������� �� � ������� � ��������� ������ �� �������

���� � ��� 4���������! ���� ��� ��������� �� ���� ����! ��� ��� ���� � � CF��� ��

� �∑

� ���� ! ���� � � ���� ���� �� � ������������� �� � ���� � ���5���� ����

�� ���� �����! ���� ∫�

� �� �∑�

������ �∑�

�����dim �� $�))&

���� ������ ���� � ���������� �� � ������� ��� ���� �� ���� ����� �� ������ ��� ������

�� �� � �������� ���� �� ������� ������������ � � ������� � ���

Page 9: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

���� ����� ������ � ��

��� � � ��� � ��� � ���� �� �������� � � ������� ����� � � ���������

�� ����� ��� �� ������� ����

��� ����� ������ �

� � ���� ���� �� � �� ����� ���� � � ��� ������� � ��������� �� � �

�� � � ��������� !�� ��� � � � ������ � �� �������" ��������� �� � ����� �� �

� ������ � ������ � ���� �� ������" ���� �� #� �� �������� ���� ����� ��� ��

���� �� ����� �� ����� ���� � ��� ������ # �� �� ������� � �� � �� ����

���� � ��� � �� ����� �� � �� �����$ ���� � � ������ ��� ����� ��

����� ��� �� ����� �� ��� �% &

������" ����� �" �� ���" �������� �" ��

���� ��� ������ �� ��� ������ �� ���

�� ��� � �#� ���� �� �� ��� � ��� ��"

�� �����# � ������ ��� �������� � ����� '

� ��� ����� � ��� �� ������ � �� �����

� " �� �� ������� ������ �� �� ���� �

S � � � � #���� ��� �� � S ( � ����� �

� � � ����� � ���� � � � � � ��� ���&

)��� �� ��� ��� ����� * ����� ����� ��

�� ���+�� �� �� S � � �� � ������ ��� ,

���� � ���� ������ ��� ��� ��� ��� ����� - ������ � ����� - ��� ���� ��� ��

������ #� �� ���� � � �� ���� � � ��� ��� )��� ����� - ����� � ����� -

��� ���� ���� ���� �� ���������� � � � �� ����� ��

������ �� �� ������ ��� ��� �� �� �� � )&

�% ���� ����� � � � � ������ ��� ���� �� � ����� ��

� ������ �� �� ������� ��� � ����� ����� �� ��� �����

������ �� ��� ������ � ����� �� �������� ���� ��������

�������� � � � � � ��� ����� ��� ��� � � ����� �����

������ ������������� � � ��� � ����� �� ���� ������� �� ��

����� �� ��� ������ �� ������� � ���� ������� �����

� �� ��� ��� � ����� ���� ��� ��� ������� ��� ����

S� �������� ��� ��� � ���� �� � ����� �� � � ���� �� ���

� � �� � �� ������� �� �� �� ���� ���� � �� ���� � �� ���

�������� �� ��� �� � ���� ��������� ���� �������� �� ��

��������� �� �� �� �� � ������ ��������� � �������� ������� ����������� �� �������

������������ �� ��� �������� �������� ��

����������� � � ���� �� � � � � � �� � ����� ����� ��� ��� ������� ���� ������ ��� � ������ ����� ����� � � �� � ��� ��� �� �

�� ��

∫�

� �

Page 10: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

�� ������ � � �� ������������

������ ∫�

� �� �

∫�

(∑�

���

)�� �

∑�

∫�

��� �� �∑�

����� � ����

�� ����������� � ����� �� �� �� �� ��� ������� �� ������� ������� �� ����������

��������� ��� ����� �� �� ��� ����� � ��� � �� ������� �� ��� � �������

!��� ������ � ������ �� ��� ���������� �� �� ����� �����

����� ��� ���� ������ "��� ��� ���� ������ �� ���

������� ��� ���� ������# �� ��� ������� �� ����� ������$�

������ ��� ��������� ������ ��������� ���%�� �� �� ���������

�� �������� ��� �� ����� � &����� ���� ��� ���������

� �� � �� ���������� '� � � CF���� �� � $���� � � �� ������

������� � ������� ��� ��� ��� �� �� ��� ���� ������������

����∫�� � �� � �� �� �� � � ��������� ���� ����� �� ����

����� ����� ����� (���� ����� �� �� ��� ��� ��� ���%����

���� ���� "��� � �� � ��� �� �� ������ ����� � )����

��� ��� ���� �� �� ���� �� �� �������� ����� ��� ������ ���

���� ������� �� �� ��� �� ��������

��� � ����� �� ���

� �� ������������ �� ��%� � ��� �� �� ������ ������* �� �� � ������������ ��� �����

���� ��� ����

���� ���� ��� � ��� ������� ��� � � � ������ ��

������ !�� ��� �� � � ��� � ��$����� ���� �� �� � ���� ��� ��� �� ����� ���

� ��� � �� ����� � � ��� � � � ��� ����� ����� ��� ��� �������� �� �����

dim� � �� � dim � dim � � +�������� �� ��� ������� ��������� ��� ����� �

!�� �������� ���� �� ��� �� �� ������ �� �� ����

��� ����������� ���� � �� � ������ � ���� ���� ��� ���

������ * ��� � �� ���������� ���� ������ � � ���� !���

���� ���� � � �� ����� %��" ����*�� � � ��� �� �

�� � � ���� � �

,�������� ��� �� ����� ���� �� �� ��������� �� $�� ���

� ������� �� ���� ������ � �� �������� ��� ���������

!��� ������� �� �� �� ��� ����� �� � ����� � �� ��� �

����������� ��� ��-�������� (���� � � � � � ��� ���

�������� ��� ��� ����� � ����� ����� �� � $��� ���� �������� ��� �� ����� � ������

��� ��� ��-����� ��� �

Page 11: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

���� � ����� �� ��� ��

������� �� �� ��� ��������� ��� � � � � � �� � ������� ����� � ����

��� � � � �� ����

∫�

� �� �

∫�

(∫������

���� �����

)���� ������

������ �� � � � � � �� � �� �� ����� � ��� ��� � ���� �� ��� ������ � �� �

�� � !���� ���"� �� #������ $���� �� ��� %�&�' ��(� ���� � ��� � ��)����

������� �� ���� ���� �� ���� ���� ������� �� ��)���( � �� � ����� � �� � ��

� � �� ��)����� �� ���� � � �� � �� � �� ���� *�� �� ����� � ������*��( � ���

���+��� � ������� ��� �� �� �

������� ��� ����������� ��������� �

�� � �� �+ �,����� ��� ������� � ��������� � ��� ����� �� ��� � ����#

������� ���+���� - ����� � � ������ � *�������� ���� � ���� � *�� �� + �

�� �� ���*� �� � �� � � � �� � � ���� )���� ��� ��� �� ���� � �� ��� �����+�

� � *������ �� ������� � ������ � ����� .����)����(� ������ ���� ���� *������

� ������� � ��������� / � ���� �� �� ��� � �� ���� �� � � ����� � ��������� ��+�#

� �� � � ����� � � ���� � � *��(�+ �����( � �� �� ��� � ��� �� � ��� � � � ��

������� �� � *������ � ��� ���� �� ,����( ��+� / �� � �� ���� �� �� ��� /

���� ��� � �������� ��� ������ � ����� 0*�� ��� ���� ����*�� �� � �� ��� ��� �

)��� ��� ��� � � ���+ ����� � � CF����� ���� ���� �� ��� ����� � ����� �

��� ������ � ���� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� � � ������( *�������1 �� � ����

����� � ���( ��� �� ������ ������� � � ���� ���� � �( �������( �����

����������� ��� ��� �� ��� ����� �� ������� �� ����

��∫�� � ���

������ 2��� ���+�� ������ �� � � ����� ���� ������ � �

+�*� �( ��� �� � ������ ��� ��� �� � � � � �� � �� 2���

���� ���� ��� � � �� �� ���+��� *�� �� � �� � � �

��� ��� � ��� �������������� ����� � *�� ��� � ����� ���

�( 3� � ���� ��&� �� ��� ����� � ���+���� - �����

��� �� ����� ��� � � �� � �� � � � ��� .��� ������ ��

��� � �� � �� ��� ���+��� *�� ������ ��� ��� ��� �����

� ����������( � ������ � ����� ����*��� � ��� ����#

����� � ������ ��� ��� ����� � ��� �� � �� ��� ����� �� ��������( ��� ��� �

� �� ���� ���� ����� � ����� � ��� � ������� � *������ � ��+ �� ��+��� 4(

��� ����� �� ����∫�� � �� ���� �5��� ��� ���+��� *�� ��� ���� ��� �� � �� ����

�� �� ��

Page 12: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

�� ������ � � �� ������������

��� ����� ���� � �� ������

� �� ���������� ������ � ������ �� ��������� ����� ����� ��� �������� ����� ��

��� � �� ������ ���������� �������� ��� ������ ��������

������� �� � ���������� ��� ��������� ���� �

�� � ��� ����� ����� � � � ����������� �������� ���� ������ �� � �� ������������

�� ������������� ����� � � � � CF�� �� ��� ������

�� � ����� ��

∫�

� ������ � �� ����� �!"

#��� �� � ����� ����������� ������� ������ ����

��� ��� ��������� ���$ �� ��� � �����%�

�� � �� � ����� ���� � � �� ��� ��� ��

��� ������ �%�������� �� � � � �� � ����� ��

��� � ����� �� � &'()� '*(+� #���� �� � ��

�� ��� � �� ������������ ������ ��� ���� ��

������� �� ������,�������� �� ����� �� �� ��������� &!*-+� .� ���,�����% �������

������ ���� �� �������� � ������� ��� ��/� �� ��� �� ���� ���� � �� ������ ����

��� ������������ �� ����������� �� ���� � �� ������������� 0���/� ���,�����%

1��/���/� � �� � ��,������ ���� �� ������ ��������� &')� '*(+� �

��� �� ��� ���� ������ ������� ����,

���� �� ��� ����� ��������� �� 2������ &�-�

*)� ')3+� ������� � ������� ������ ��������

������� S � � � ���� ��� � ��� ���

���� ��� �������"� ��� ��� �� ��� �� ��,

���� ��� ��4������ ���� �� � � �� ����

������� #�� 5���� ������� ���� /���� S ��

��� ��� RS � CF�� � � CF� � ����� �� ����,

��� � � CF�� � ��� � �� � � � �������

���� ��� /���� �S� ���� ���������� ����� ���

��4������ �� �� �������$

�RS����� ��

∫�

�����S��� �� ����� �!�"

������� �� ���� �� ������������ �

������� ��� ����� ������� S � � � � ��� � ����� ��� �� ������ � � � �� �������

�� �������� � ������ �� � CF�� �� ������ ���� ��� �� ����� � ������ ����� ���

����� ���� �� �� �� �� �������� ��� 5���� ������� RS�� � 6� ���� ���� ����

7��������� �( �� �8 ������� �� ��� ���������$ ��� �� ���� S � � � ��� �������

���� �������� S ���� �������� � �� ������������ �� #���� RS � CF�� �� CF� �

������ ���������� �� � ����� �� �$∫�ÆRS � �

∫�� �

Page 13: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

���� ����� ���� � �� ������ ��

� ��� � ����� ��� ��� ����� �� � �������� �� ����� ����� ���� � �����

������ ��� ��� � �� �� ����� ��� !� "� ���� ������ #�����$ ��� �� S� �

� �� �

����������� �� �������� ��������� �������� ������ ���� S � � � � �

S� � � �� ���� � ��� S� � S�� ��������� ��� ��S� � S�� � � � ��� ��� � � � � �

��� ��S� � S�� �� � � ��� ��� � � �� � � � � ��� ��� ��� � � CF�� ��

�RS� ÆRS�� � ��� ��� � �

(∫�

)�� � %��&�'

����� (�� ������ � ��� ����� �� S � S� �)�� �� �∫�S�� �S�� � ���� �

�� � ��Æ��� � � � ��� �� �� � � � * ����� Æ � ��� +� � ���� ������ (���* ���

� � � � � *

�RS� ÆRS������ �

∫�

[∫�

�����S�� � ��

]�S�� � �� ��

∫�

����

[∫�

�S�� ��S�� � ����

]��

∫�

���� ��������� � � ������ ��

� ��� ����� �� � �

∫�

� ��

����� ��� ,�� (������ � ���� ��� ����� �-� ���� �

��� �� �� � ��� ����� ����� ���� � � � � � �

�-� � �� R��� * ����� � � � � ��� ��� �� � ������ .� ���

������ �� /��)���� ��&0 �� ��� � � � �� �* ���

��� ����� � �� �� ����� R��� � R��R��� � �-� � ��

%�1���' ����)�� �� �� )��� ����)�� �� �� � (���* ��

� ��� �1� ��� � ����� �� )������� ��� ����� �� �2

����� .� � ��� �3 ��� �� � ����� ��� � � ��� �

���� �� ��� � ���� ����� ��� � ���� )����� � �����

4� �� �� � ���� ������� ��� �� �������� �� %� �*

���� �����' ���) �� ����* �� ���� �� � � �� �����

� � ��� )���� � �� �� ������ ��� �1� ��� ������� �� )��

(�� ����������� ���������� � ��� ���� �� ��� 5�� )� $� ���� ) )�� ��� !�

������� �� ����������� ����������� �

������ �� � � � �� � �� � �� �� � ���) �� ������ � � � �� ���� ��

��� �� 6 � ��)��)� ��* ������� ��)�� ��� ����� �� � �������� �� ��� ����� �� � �

5�� ���) �� ������ �� )� � � � ����� �� � ������� ��� ����� �� �������

���)���� ��� ��� ����� �� ����� %����* ���* �-� �� ��� ����� �� ������

������� ���)���� �� ��� ���)����� 7 ��� 80��'* � � �� ���� �� ���)���

���� �� ����� �� � �������* ��� ��� ����9� �� ��� �� ����

Page 14: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

�� ������ � � �� ������������

���� ������ � ����� ������ � ������ �� ��� ����� ����� � � ���

� ���� ����

����������� �� ��� ������ �� ��� �� �� �� ��� ����� ������� �� �� � ���! ���

���� ����� ������� �� ��"�� ��� ��#��� ������� �� �$����#�� %���� S� �� �� ���

S� � S� ��� ��& ��� ��� � � ����� � �& � � ����� � �& ��� ��� ��#��� �����

�������& �� ��'��& ������ �� �(�����) ��� ��� ���#� ��� ����� �� � ����� ������

�� ��������#��� ���� �� ����* ��� +���� �!���� �� ������� �

������� �� � ������ ���������� ��� ���������� �

,�� ����������� ���+��� � �� ��� -����! � ���� �� �� ������� �� ��� �� ��.

/����� ������ �� 0�1� ����& ���& ��� �� ������ ��� ��������� �� ��"����� ���� ���

���� �� CF����� ��� ��������� �� ��� ����������� ���������� ��#�� � � CF����&

� ����� � � ��& ��� � ��� ��������� #���� � � ����& ��� 2� ��.%��� ������� ��

��"��� #��)

�FS ������ �� ������

∫�����

���������� � ���� ��'��

+��� �� ������� ��� �� ���� �� ��� � � -�*� ��� ��������� 2� �� �������& FS

��*�� � ��������� #���� � ��� ����!���� �#� ����� ��� �� � ��"��� �� � ��� ��� ���

2� � � ������� ���� ���& FS� ��� �� ��� ����� ������ � ������ �� � ����& +���

�#��!�� �#� �& ������ � � #�� � ���� � � �� � ���������� �� ��� �� ��./�����

������ ��� ���+� �� /3�*� ��� 4 ��� 5678�� 2� ��� � � �� ����& ��"�� ���

��� � #�� � �� � �� � �� ��)

� ���

Vol ����

∫����

�FS� ����� � ��

���� � #�� � ���� � ��� � ���� �� � ���& � �� �

��������& �!��� +��� ��� ���� ������� �� � #�� � ���.

������ �� 0�1� ��� � ��.���� � � ������������ �� ���

�� ��./����� ������ ���� ���� ���� ������� ��� � .

#�� � �� � �� �������� ��� � �� �������������∫

� � ��� �� �

���� ������ � ����

��� � ���� ������������ ��"������ �� � ��� ��� �� �� ���� ������ �� ���� ��� ���

�� � ���� �� ���� ��� �������� �� ��� � �9��� �� �������� ��������� ���� �� �

������ �� ���������� �� � ������� �� ���� ������� � �� ��� -����! � +���� ���+��.

��! ������!���� ��� !������� ����� ��� � �� ��������� ������� �� �� ��������:��

��� ��� �� ��� �����+��!) �� ��� � ��� � ���� � ����� �� ��&

'� ����������� ���� � �� � ����� ������ ���� ���;

���������� ��� � �� �� ���� �� �������� ������ ������ �������� �������������� � ����

������� �� ����� �� ���� ��� ���� �� �� � � � �� ��� � ������ � �� ������

Page 15: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

����� ������ � ���� ��

�� �������� �������� �� ������� ����� ��� � � � � ���

�� ��������� ���� ������� ���� � �� � ����� � � ��� � � �� ���

�� ������������� �� � � �� �� ��� ���� � �� ����� ��

���� ������ �� �� � ���!" ���������# �������$� %������� �&���� ��� � �&

��� ��� � dvol�# ��� %���� ����������� ��� � ��#� ����� ��� ������ ���������

��'�� �" ��� ��� ���� �� �� ��� � � � � �� ������� %���� ������������ (�� )�!

� ��'�� ��� ����� � ���� ����� � ���� � ��� %���� ����������� � ��� ���

� � �� �� �*�� � ���� �&� ����+

����� �

∫���

���

��� � � � ��� � �

∫���

���

∫�

�� �� ��� � �����#

)���� � �� � � ���� ������� � �� �

���" ��� ��� � �*�� ��� ��& ���� �

��� ��� ����� � �� � ������ � ��� � � ���������! ,���-+ ��� �� ���� �����

���� ��� ��� ����� � ���� ��� ������ .������&�������� %���� ��������

���� ����� � ���� ��� � �� ���� ����� �/��&

��� ��� ������ ��� ��� � 0��)��� ,���- ���������$�

�� � %�������&������� ������ � )��� ��� � ���� �

)�� �� ��� � ��� 0��� �1 ����� � � � ��� � ���/

�� ���� ����� �������� ������ �#+

������� ���� � ������� ��������� ��� ��� �� ���

����� �������� �������� ��������� ��������� �� ��

� � ����� ��� �� �������� � � � ���� ��� �����

����

���� ��������� � � %���� ��� .������ ������

��� ��� 2�! � ������ �������� � ���� ��

���� �� ��!" �#������������� ��������� �

3�! �� )� �� ������ � �� � � ���� ��� 2� ) ���� ��� ��� ���� � � ��

�� ��� ��� ��� ���� �� ���� �� )" )��� ���� ���2 ��� �� �������

���������� #� ��� ��� � ��� ��� ����� � � ��� ��� �������� � ������

� �� ��" �����" ��� �� ������� �� �� � �� ���� 2� )� � ) ����$�� ���� �� ���

��� � ���� � ��� �&���� ��� ������ ��� � ����� $ #����� %������ ����

���� ��� ���� ���� � � ���� � �� ���� �!���� �&� ��� �������� �� ��� �+

��

��� ��� �

(��

����

) ����4#

)���� � � ���! � �����" � � ������ ��� � � �����" ��� ���� ����� ���

������ � � ���� �������# � ��� ����� ���" ���� )�� ��)�� ���� / � ���� ���2+

�� � )�� � �� �� )� ��� � �� �/��� � � �� � ����� � �����&���� ��� ����

�������� )� �������! �� ����� �! 5��6��� � ��� 7� � ��$ ,���-� ��� 2�! � ���

����� ������ �� ���� � � ��� ��� ������ � ��� ����������� ��

����� �������� ������

� ��� �� � ��� ���

Page 16: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

�� ������ � � �� ������������

��������� ��� �� ���� ���� ��� ��� �� �� ����� ����� �� �� ���� ��� � �� ������������

�� ��� ������������� �������� ����� � ���� ��� !"# �� "# �� ��� ������$ ��� ���%���

������ %�� ��� ��� �� �� �� �� ��� �� &��'�����"(���%��) ��� �� �� ���

%�� �� � ��� �� � ���� �� � "# ������ �� � ��*

��

��� �����

(�� �

���

) ���+�

���� �� �� ��� �������� �"%�� �� �� ��� ���� ��# ��� �� ��� ����� ���$�� �� ��� ���

�#$�� ��"#���������� �� �#�, � %��� �� ��� ����� -��� �����������# �� ��� ��$��

�� �������� %�� ���� �� �� ���� ���� �� ����� ��+ �� �� ���� �� ���$��� �����������

������� �� ��# ��� �

���� ������� ��� �����

&��� ��#�� ���� �� ���������� ���� ��� �����, ��� ��� ��� #������� �� ����������

��������� . ���"%�� �# ���������� ����� ��� �� ����� � ���������� ����� � � � �

�� ��#�� %������� ���� ��������)�# �, ������ �� � ����� � . ���� ��� �� �

���������� ������ ����� �$ ����� %�, ������ � ��, �%� ��� ������� ����� �

/� �������� � ��#�� 0��# ��, �� ��# �� ��#�� ��� ���$�� �� ���� �� � ����,

��� � ��� ��$��� #� �� ����� �� � ��� �� ����"����� ������ ���� �������� ��%��$ ��

������� ����� � $������� #����� �� #�������� ��� �� ����� ���� ��� �##����� ��

������ .� ��� �������� ��#�� %������� �� �������� ���%��$ ����"#�0��# 0���� ����

��# %������ ���� ����� #����� ������ �� �� ��� �������� ��#�� 0��#�� . ��������

���� ��� ���� ������� ����� � �� �� � ��#�� 0��# � �%� � �� ����� ��

���� � � � ��# ���� �"� ��� �����

�� � ��� ���������� �������

��� ��#�� %�������

��� � � ���%����� 1� ����� #����� ����� /� ���������,� ��������� ���� �� �������# ��

1� ����� #����� ����� ���� ��� ��������$ ���� ��*

�� ����� ��� ���� ��%� )�� ����� ������� � �2

!� �� �� ������� ��� ���� ��%� 0��# %������ �� � �2

� ������������������� ��� ��%������ ����������� �� � � ������ �� #�������

�� � � ��

���� ���� ��� ��� ������� ����, � ����"#�0��# �������� �� ��� ����� ������

� ��� ������ � $��,� ���� �� ��� %������ �� #��������� #��%���%�� �� � ����

Page 17: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

����� ������� ��� ����� ��

������ �� � �

���� ���� ����� ���� ������ ����� ����� �� ����� �� � ��� � ��� �!������� �"

������� ��� ����� "� � #�� ���� �������� �� ���� �� � ������ � ���� $�% �

� ��� � ��� �" ������#�� $��� &��� ������������ "�����# �� ������ '�� �����

� � � � ��� (� � �������� ��� ������� ����� )�$�# �� ��� �� �����(��

�(��� ��� �� �#���� �" ��� ���� � �� � ����� � ������ � �#�#� ����� �� �� �

���� �" ���� ������������ *� �!� ���� �� �#�� $��� �� %�$ ��� �!������ � (�

�" ���%� � � ����� � �� � ���� +�������� � �������� ���������� �� ��� ,����-

�������� ��� �� � ��� .� �" ��� ������� ������ � ���� ��� �� ����� ������#�

��� �� ������� �" ��� �!������ ���� �!����� ���� ���� (� �� ������ ��� �!������

&��� ������������� �� �� ���� �� ����(��� (�� �� ����� �� �� ������

$��� �!��� ���� �����

��� "����$�# ��������� ����� �" /��� "�

��� ��0�� ��01� ������ ������� ��� ��(2���3 "�

����� � � ��� � �� � ���������� ��� ����� ��

������� ������� ���� ����� �������� �� ��� ����

��� �������� ������ �� ��� �������� ������

�� ������������ �� � � � ���������� ����� � ���

������� ���� �� �� ����� �

���� � �� � ��

�� �

���

��

���� ��� !�

"�� ����������� ���� ��� �� � ������� ���������� ��������� ��� ��� ������

�� ������������� �� �� ���� ��� #���� �������������� ��� � �� �� ��� ����� ��������� ���

�������� ��� ������ ���$ �� %�& ��� ����� ���� ������������������ �������� '� �������

��� ��(���� �� ���������� ��� �������� ����� �� ���� ����������� ��� �� �����

��������� ����) �������� ��� ������������� ���� � ���������� ��� ��� ���������������

���� �������� ������*��� ����� �� ������������� �+���� "�� ��������� ������ �� � �����

������������ �������,

������� �� ��� ���� ������ ���� ���� � � �� � � ����� �� ������� ����� ���

������� ����� ���� ��� ������ �� ���� �� ������ ����� �� ������ � ���

������� ����� ���� ��� �������� ���� ��� ���� ��� �� ��� ���� ���� ��� ���

�� � �� ��� � ������� �������� ������ � �� �

����� � ��� � ��

�� �

���dim �∑���

�����

������

(��

)�

He���

( ��

)��� �� ��� -�

��� � He� � ��� ��� �� � � ��� ��������� � ��� �� ���� ��� ��� � � ��� � �

�� ��� ������ �� �

#*������ ��� -� �� � �����$���� ������� �� ���� �� ���� �������� �� ��� �����

���� �������� �������� �������� ��� ����������� �� � ���$��� ���� ������� ������ ���

���������� �� ����� "�� ������ �� ������� �������� #���� �������������� ���� ����������

����� �������� � �������� ��� ����������� �� ��� ����� ��� �������� � ��� � �� �� �����

� �������� � � �� ����� ��� ����������� �� ��� ���� ����� �������� � ��� ����� � ���������

Page 18: Chapter 3 Euler Characteristic - Penn Math

�� ������ � � �� ������������

���� ��� ��� ����� � ������ �� �������� �� ��������� ��� ������� ���� �� ���

������� ���������� ��� � ! ������ ��� �� ���" ��� ��� ������� �� ��� #��� $����

���������� ��������� ��� %� ������ &� ��������� �"���������� �� �������� ��� ��� ��

�� �"� ���� ���� �� �������� �����$���

�����

�� ��� ������ ���� ������ �������� �� ����� ��� �� ��� ���� � ����� ��������� ����

������������ ��� ��������� � CF �� �� ��������� ���� � ������� ����������

� ���� ����� ������� �� �������� ������� ��� ����� � �������� ������ ���

��� !"#� $%& ������ ���� ���'���( ��� �)������ � *���� !��+& �� � �� �������

���� � ���� �����

%� ,���� ��� ���� ������ �� ��� �������� ����� ������ � �������� ������� ���

��� ������-�� ����� ���- ����� ������ � ��.����� �������� ������ ����

���� ����� �� /�� '�� ���� ���� ��������� ����� �� � �)���� � � � ��������-

����� ������ � ��������� � ������� ��� '� � 0�� !���& ������ ��� ����

������������� � UC���� �� ��1������ � � ����� �� � ���� ������ �� 2 �

����� ��� �������� ����� �� ��� ���� ����� � � ������ �������� ,����� ��������

������������ � ���� ������������� � ��������� � ������ ������ �� '� � �-

�������� �� �������� ������ !��%&� 3� �� � �� ��������� ���� � ���� ���� �

��������� '��� ������ � ����� � 4���5 .����� ������ �'���� �� ��������

�� ���� ��������� �� ���� �� �� !%"%� %"#&� �������� �� � ���������� ����� *����

�������� �� �� �� ������������� ������ + '��� ����� ��� �������� � �����(

������ � � 6�� ����( ��� ������ $ � ����� ����� ��� �������� � �����

� ���� !��7� %�7& ���'�� ������ ������� � ������ � 8����'�� !�$�&� �� ������

�� ���� � ������� � ���� ��� ������ ������� ������ ����9 ��� :"����

7� ��� ����� � �������� ���� ��������� ; �' � ���)����� �� ������� '��� �-

����� � �� ����� � ������� ���� ; �� �)������ ����������� ���������� ��� ��� ���

� ������������ 3� ������ � �� � ���� �� ������ �������� �� ��� 6����������

��������� ,�� :"�+ � � .�� �����

+� 3� �� ������� ��� �.����� � ���� <��� ������� 4��� �� ���� �����5 '���

'������� ������ !%�&�

"� 3������� ����� ��� �� '���-��.��� � ��� � CF���� ; �� ����� ������ ��.�����

���� ; ������ � ��� ���� ���������� '���∫��� ��������� � ����� ������� ��

�������� ��� ������ � �� �������� ������� ����� ������ ������ � ������ 4���

:"��� ��� !%#&5�

�� <������ �� ������� ���� .���� ��� ����� ������ ������ ����� �� ��������� 3�

��� ���� ������ � ����� 4�5 ��� �������� � ���� ���������� �� �� �� �� ����

� ��� ������ �� � ��� ������ ��������� � � �� ���� '�� ��� 4%5 ��� -�������

����'�� �� �� '��� ������ ������� ���� � ��� ����������� ����������� ���

���� ��� ����� ��� ������ � �� ���� ��.����� ���� �� ��� ��������� � �����

��%�9 ���� �� �� ����� '��� =��� � ��� *������� �� �� � ��� ����������