Chapter 10 -...
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Chapter 10 무한수열과 무한급수
Chapter 10 무한수열과 무한급수
이문배
건국대학교 수학과
Chapter 10 무한수열과 무한급수
Contents
10.4 비교판정법
10.5 교대급수
10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.4 비교판정법
Theorem (비교판정법)∞∑
n=1
an과∞∑
n=1
bn의 각 항들이 모두 양인 급수일 때
▶∞∑
n=1
bn이 수렴하고 모든 n에 대하여 an ≤ bn이면,∞∑
n=1
an도 수렴한다.
▶∞∑
n=1
bn이 발산하고 모든 n에 대하여 an ≥ bn이면,∞∑
n=1
an도 발산한다.
▶ p−급수와 기하 급수의 수렴성을 이용하자.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.4 비교판정법
Example∞∑
n=1
5
2n2 + 4n+ 3의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Example∞∑
n=1
lnn
n의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.4 비교판정법
Theorem (극한비교판정법)∞∑
n=1
an과∞∑
n=1
bn의 각 항들이 모두 양인 급수일 때
limn→∞
an
bn= c (c > 0)
이면 두 급수는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
Example∞∑
n=1
1
2n − 1의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Example∞∑
n=1
2n2 + 3n√5 + n5
의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.5 교대급수
Theorem (교대급수판정법)
교대급수
∞∑n=1
(−1)n−1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + b5 − b6 + · · · , bn > 0
이 두 조건
▶ 모든 n에 대하여 bn+1 ≤ bn
▶ limn→∞
bn = 0
을 만족하면 이 급수는 수렴한다.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.5 교대급수
Example∞∑
n=1
(−1)n−1
n의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Example∞∑
n=1
(−1)n3n
4n− 1의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.5 교대급수
Example∞∑
n=1
(−1)n+1n2
n3 + 1의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법
Definition
급수∞∑
n=1
|an|이 수렴할 때, 급수∞∑
n=1
an는 절대수렴한다고 한다.
Example∞∑
n=1
(−1)n−1
n2이 절대수렴함을 보여라.
풀이.
Example
교대급수
∞∑n=1
(−1)n−1
n은 수렴한다. 그러나
∞∑n=1
∣∣∣ (−1)n−1
n
∣∣∣ = ∞∑n=1
1
n
은 발산함으로
∞∑n=1
(−1)n−1
n은 절대수렴하지 않는다.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법
Definition
급수∞∑
n=1
an은 수렴하지만 절대수렴하지 않을 대, 급수∞∑
n=1
an는 조건부
수렴한다고 한다.
Theorem
급수∞∑
n=1
an이 절대수렴하면 그 급수는 수렴한다.
Example∞∑
n=1
cosn
n2=cos 1
12+
cos 2
22+
cos 3
32+ · · ·의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법
Theorem (비판정법)
1. limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = L < 1이면,∞∑
n=1
an은 절대수렴한다. (따라서 수렴한다.)
2. limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = L > 1이거나 limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = ∞이면,∞∑
n=1
an은 발산한다.
3. limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = 1이면, 비판정법으로 결론을 이끌어 낼 수 없다.
Remark∞∑
n=1
1
n,
∞∑n=1
1
n2의 경우 비판정법을 사용할 수 없다.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법
Example∞∑
n=1
(−1)nn3
3n의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Example∞∑
n=1
nn
n!의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법
Theorem (근판정법)
1. limn→∞
n√
|an| = L < 1이면,∞∑
n=1
an은 절대수렴한다. (따라서 수렴한다.)
2. limn→∞
n√
|an| = L > 1이거나 limn→∞
n√
|an| = ∞이면,∞∑
n=1
an은 발산한다.
3. limn→∞
n√
|an| = 1이면, 근판정법으로 결론을 이끌어 낼 수 없다.
Example∞∑
n=1
(2n+ 3
3n+ 2
)n
의 수렴, 발산을 판정하여라.
풀이.
Chapter 10 무한수열과 무한급수
10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법
재배열
▶∞∑
n=1
an이 절대수렴하고 그 합이 s라 하면∞∑
n=1
an의 재배열은 같은 합 s를
갖는다.
▶ 조건부 수렴하는 급수는 재배열에 의해 서로 다른 합을 가질 수 있다.
Example
1 − 1
2+
1
3− 1
4+
1
5− 1
6+
1
7− 1
8+ · · · = s (1)
1
2− 1
4+
1
6− 1
8+
1
10− 1
12+
1
14− 1
16+ · · · = s
2
0 +1
2+ 0 − 1
4+ 0 +
1
6+ 0 − 1
8+ · · · = s
2(2)
(1) + (3) ⇒ 1 +1
3− 1
2+
1
5+
1
7− 1
4+ · · · = 3s
2