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Chapter 03 정전계

- 시간에 따라 변하지 않는 전하의 주위에 분포하는 정전계를 구하는 방법

<Bohr 원자모델> 적용 - 거시적 관점 : 원자의 총 전하는 0인 것처럼 보임

- 외부에서 에너지를 부가하여 최외각 전자를 원자에서 떼어낸다면 +1가 양이온, 원자로 떨어져 나간 전자는 음전하가 됨

- 하나의 원자가 전하가 없는 것처럼 보이다가, 외부에너지에 의해 원자로부터 자유전자가 떨어져 나가면 마치 양전하와 음전하가 분포한 것처럼 보이는 것 ⇒ 대전

<전하분포들의 변화에 수반되는 에너지 변환관계> - 두 점전하인 +q와 -q가 겹쳐있어서 아무런 전하를 띄지 않는 상태에서 외부로부터

에너지 J가 부가되어 거리가 d만큼 떨어졌을 경우, 두 경우 모두 에너지 총량은 같아야한다는 열역학 제1법칙인 ⇒ 에너지보존법칙 성립

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- J는 무엇으로 바뀌어서 보관되어 있을까? - 두 전하는 그대로 존재하고 다만 두 전하의 양은 같고 극성만 반대여서 서로 상쇄된

것이며, 거리만 벌어졌을 뿐 에너지는 변함이 없음 - 그렇다면 J는 두 점전하 주변의 공간에 존재하고 있을 것 ⇒ 전계(물리량)

<전계와 외부에너지 관계> - 전계는 양전하에서 나와서 음전하로 들어가는 벡터량

- 한 지점에서 전계의 크기를 자승한 값은 그 지점의 단위체적당 에너지 밀도에 비례 - 이러한 단위체적당 에너지 밀도를 적분으로 전부 합한 총에너지 ⇒ 정전에너지 혹

은 전기에너지 ⇒ 전계분포로부터 정전에너지를 구하면 바로 외부에서 인가된 에너지 J와 동일한 값

<외부에너지가 없는 경우 특성> - 외부에너지가 인가하지 않을 경우, 두 점전하의 위치변화는 주변의 전계분포를 변화

되며, 상대적으로 그 크기가 줄어들었다는 느낌이 발생

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- 전계분포의 변화는 결국 공간에 저장해둔 정전에너지 가운데 ∆ 만큼 두 점전하가 거리 ∆ 만큼 가까워지는 전기력으로 발휘되어 결국 운동에너지로 사용

- 왜 외부에서 에너지를 가하지 않아도 전하분포가 변화할까? ⇒ Coulomb 법칙(인력)

- 전하분포가 바뀌면 주변 공간의 전계분포가 변하고, 이에 따라 주변 공간에 저장된 정전에너의 양이 변화

- 정전에너지는 불안정하여 외부에서 에너지 공급이 없으면 스스로 정전에너지를 줄이는 방향으로 전기력이 발생(위치에너지)

⇒ 정전에너지가 줄어든 경우 : 운동에너지를 정전에너지의 감소분으로 충당(인력, 척력) ⇒ 정전에너지가 늘어난 경우 : 운동에너지가 외부로부터 공급되었음을 의미

※ 정전에너지는 공간상의 전계분포로부터 구할 수 있다. !!!

3-1. Coulomb 법칙

- 두 전하 사이에 작용하는 힘을 정확히 측정하였으며, 전하량이 증가할수록 이에 비례하여 작용하는 힘이 증가함을 관찰

x y

z

Q

qr¢r

'F

0=+ FF'

F

O

rrR ¢-=

x y

z qF

'F

0=+ FF'

rO

Q

r¢

- 4 -

- 균일한 매질로 채워진 무한공간에서 원점으로부터 r′만큼 떨어진 한 점에 있는 전하량 Q인 점전하에 의해 원점 r에서 떨어진 다른 점에 있는 전하량 q인 점전하에 가해지는 힘 ⇒ F

, ÷

÷ø

öççè

æ

--

==-===r'rr'rRRr'rRRF

RR

RQq

RQq ˆ,

4ˆ

4 32 pepe

- F 단위 : N(뉴턴, C2/m), Q와 q의 단위 : C(쿨롱), ε의 단위 : F/m - 전하량이 -1C 이라는 것은 약 6×108 개의 전자가 가진 전하량에 해당 - Q와 q의 부호가 같을 경우 척력, 다를 경우 인력 발생

mF / 1036

1 90

-´=p

e

- 전하 Q에 작용하는 힘 F′는 F의 크기와 같고 방향은 반대 F′=-F

※ 외부에서 힘을 가하지 않아도 전하들 간에 전기적인 힘이 걸리는데, 이들의 총합은 0 ⇒ F + F′=0

3-2. 전계

- 전계라는 새로운 물리량을 도입하여 전하에 걸리는 힘을 구해보자EF q=

- E는 점전하 q는 없고 다만 점전하 Q만이 존재할 경우 점전하 q가 있던 곳인 위치 r인 점에서의 물리량

x y

z

Q

qr¢r

'F

0=+ FF'

F

O

rrR ¢-=

332 44ˆ

4)(

r'rr'rRRrE

-

-===

pepepeQ

RQ

RQ

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- E는 힘은 아니고, 만약 전하가 그 지점에 놓인다면 그 전하에 얼마나 큰 힘이 가해질 것인가를 나타내는 일종의 힘을 발생시킬 잠재능력

- 양의 점전하 주변에 분포한 전계의 크기와 방향 - 화살표 길이 = 전계 크기 = 단위전하당 힘 (단위 : N/C=V/m)

Q+

E

<쿨롱의 힘과 전계의 차이> - N개의 전하들이 복잡하게 분포된 경우 임의의 위치에 새로운 점전하 q를 가져다 둘

때 가장 강한 힘을 찾는 경우

- 원래의 전하분포로부터 주위의 전계를 구하고, 다음에는 구한 전계값이 가장 큰 지점을 찾아 그 곳에 새로운 점전하를 가져다 놓으면 가장 큰 힘이 그 전하에 가해짐

⇒ 중첩의 원리(여러 개의 전하에 의한 전계 = 각각의 전하에 의한 전계들의 합)

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å= -

-=

N

n n

nnQ

134

1)(rrrrrE

pe

3-3. 전위

- 임의의 전하분포에 의한 주변의 전기적인 특성을 표시하는 새로운 방법 제시 (이유 : 전계는 벡터여서 다루기 어렵지만 스칼라를 이용하면 간편하게 구할 수 있음) - +x방향의 전계 E가 걸린 자유공간

- 전하를 -x방향으로 미소거리 dx만큼 이동

- ∙ ∙ 만큼의 에너지를 소비, 이때 소비된 에너지는 전기적인 에너지로 변하여 공간상에 축적 ⇒ 소비된 에너지는 물체의 위치에너지가 증가하는 것과 유사

※ 전하를 전계의 반대방향으로 이동시키려면 외부에서 에너지가 공급되어야 하고, 그 대신 움직여진 전하는 전기적인 위치에너지 ⇒ 전위 증가

- 만약 전하를 +y 방향으로 미소거리 dy만큼 움직이면 전혀 에너지 소비가 필요하지 않음 ( ∙ ∙ )

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- 따라서, 전계 E가 걸린 곳에 전하 +q를 임의의 길이 L만큼 이동시킬 경우 공간상에 축적되는 전기적인 에너지의 증가량 W는 전계와 나란한 이동방향의 미소길이에 대해 적분한 후, 반대 부호를 취함

∙

- 전기적인 위치에너지 W는 전하 +q에 따라 달라짐으로 전계 E내에서 단위전하당 전기적인 위치에너지 W를 전위 V라고 가정하면

⇒ ∙

- 전위의 단위 : V - 전계가 존재하는 공간상의 임의의 한 점에서 단위 양전하의 전기적인 위치에너지를

그 점에서의 ⇒ 전위 (임의의 전하분포가 존재할 경우 주변 공간의 전기적인 상태를 전계로 표시하는 대신 각 지점에서의 전위로 나타낼 수 있음)

<좌표계별 전위 구하는 식> - 점전하 Q가 원점에 있다면 주변의 전계 E ⇒ 구좌표계에서 r만의 함수

rE ˆ24 r

Qpe

=

- 전위의 공식에 대입

rQdr

rQdV

rr

pepe 41

4 2 =×-=×-= òò ¥¥rrlE ˆˆ

- 전위는 거리에 반비례

ïïï

î

ïïï

í

ì

¢¢-¢

¢¢-¢

¢¢-¢

=

ò

ò

ò

Vv

S

Ll

vd

sd

ld

V

rrrrrrrrr

r

)(4

1

)(4

1

)(4

1

)( s

rpe

rpe

rpe

- 회로이론에서 배우는 전압이라고 부를 것은 바로 전위차를 나타내는 것

òòò ×-=×+×-=-=¥¥

B

A

AB

ABAB dddVVV lElElE ⇒ 항상 일정

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- 정전계에서 임의이 폐경로 L에 대한 선적분, 즉 이 경우의 전위차는 항상 0

0=×-= ò lE dVL

※ 폐곡선을 따라 전하를 움직이면 전체적인 에너지 변화는 없다

- Stokes 정리 적용

( ) 0

ß

=×´Ñ-=× òò sElE ddSL

- 결국, 정전계의 회전은 0× (Maxwell 방정식 첫 번째 식)

- 전계 E는 전위 V의 기울기에 음의 부호를 붙인것과 동일 ∇

※ 전계의 방향은 전위가 높은 지점에서 낮은 지점으로 취하게 되며, 전위가 같은 등전위면과 전계는 서로 수직

3-4. 전속밀도와 Gauss 법칙

- 3-2절과 3-3절에서는 자유공간에 있을 경우 전계를 구하였으나, 균일한 매질공간에 전하분포가 있다면 전계는 어떻게 될까?

- 매질의 전기적인 관점 도체 : 원자구조에서 자유전자가 존재하는 매질 유전체 : 자유전자가 없는 매질

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- 자유전자가 하나도 없는 이상적인 유전체 내에 전하분포가 있을 경우 외부로부터 전계가 가해지지 않으면 유전체는 전기적으로 중성이어서 내부에는 어떠한 전하분포도 존재하지 않음

- E0인 전계를 유전체에 가하면 유전체내에서 분극이 일어나 가해진 전계와 같은 방향으로 전기쌍극자 발생

- 유전체 내의 전기쌍극자들에 의해 발생하는 전계는 -Ed로 외부로부터 인가된 전계와는 반대방향을 가짐 ⇒ 유전체 내부의 총 전계는 로 공기 중에 비해 줄어듬

- 유전체에 따라 내부의 실제 전계가 달라지는 어려움이 있어, 매질이 변하여도 변하지 않는 새로운 물리량이 요구 ⇒ 전속밀도(전하분포만 같으면 공기중에서나 어떠한 유전체에서도 항상 동일한 값을 갖도록 정의)

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,

×

- 전속밀도는 공기 중의 전속밀도와 동일한 값을 가지며, 전속밀도는 매질과는 무관하고 단지 전하분포와 측정 위치에 의해서만 정해지는 물리량

- 단위 관점(C/m2)에서 보면 전속밀도에 대해 면적적분을 행하면 전하량이 된다는 사실을 알 수 있으며, 실제 폐곡면을 통과하는 전속밀도의 총량인 전속을 구해보면

- 폐곡선을 통과하는 전속밀도의 총량인 전속이 바로 폐곡선 내부에 존재하는 전하량과 같음 ⇒ Gauss 법칙(임의의 폐곡면 S를 통해 나가는 전속은 그 폐곡면 안의 체적 V내에 있는 전체전하량과 같음)

) (

) (

식번째두방정식의정전계구성된두식으로

정리발산의

Maxwellv

V vVS

V vS

dvdvd

dvQd

r

r

r

=×Ñß

=×Ñ=×ß

==×

òòò

òò

D

DsD

sD

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3-5. 도전전류와 저항

- 도체에 전계가 걸리는 현상을 살펴보면, 전류는 전하의 운동에 의해 발생하는 크게 대류전류와 도전전류로 구분

(대류전류 : 도체가 아닌 유전체나 진공에서 전자들의 움직임에 의해 발생되는 전류 도체전류 : 전계에 의해 도체 내의 자유전자가 움직여 발생하는 전류) - 전류 I는 미소시간 dt동안 단면을 통과하는 전하량 dQ로 정의

∙

- 전하보존의 원리에 의하면 주어진 체적 V 내에서 줄어드는 전하의 시간 비율은 이 체적을 감싸는 폐곡면을 통해 밖으로 흘러나가는 전류의 총합과 같아야 한다.

òòòò ×ÑÞ-=-=-==×VV

vV voutS

dvdvdtddv

dtd

dtdQId JsJ rr

- 전하분포가 변하지 않는 직류전류는 0이고, 도체에 전계가 가해지면 도체내에서 제적전하밀도 를 갖는 자유전자들이 가해진 전계와 반대방향으로 평균속도 v로 이동

- 자유전자의 흐름과 반대방향으로 흐르게 되는 전류 ⇒ 도전전류

( : 매질의 도전율) ※ 도전율이 높은 매질에서는 자유전자의 흐름을 방해하는 정도가 낮아 속도가 빨

라져서 도전전류는 커지게 된다.

- 도선의 저항 Sl

Sl

IVR cr

s===

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3-6. 경계치 문제 1 : 경계조건

- 3-5절까지 진공, 유전체, 도체 중 어느 것이든 균일한 매질 내에 전하가 분포할 경우 전계를 구하는 방법을 습득

- 만약 균일하지 않는 매질로 이루어진 공간에 전하가 존재할 경우 전계를 구하는 방법 ⇒ 어떠한 상황에서라도 정전계가 만족해야 하는 가장 기본적인 두 식을 정전계

Maxwell 방정식

- 균일한 물질들이 불연속적으로 분포한 공간에 놓여진 전하로부터 전계를 구하는 방법 ⇒ 경계치 문제(boundary condition) - 세 종류의 영역으로 구분 (영역 1 - 경계면을 제외한 균일한 유전체 영역으로 내부 전하가 존재 영역 2 - 경계면을 제외한 균일한 유전체 영역으로 내부에 전하가 없는 경우 영역 3 - 서로 다른 두 균일한 매질의 경계영역)

- 서로 다른 매질이 맞붙어 있는 경계면을 가리키는 영역 3에서 경계면을 라고 할 때, 각각의 유전체 쪽으로 ∆∆ 만큼의 폭을 갖는다고 하면, 각각의 매질 내에서의 전계는

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∆

∆

∆ ∆

∆

∆

∆ 으로 취하면

※ 즉, 전계의 접선성분은 유전체 경계면 양쪽에서 같은 값을 가지면, 유전체 경계면에서는 전계의 접선성분이 연속이다.

- 전속밀도도 위와 같이 미소개념을 대입하여 경계조건을 해석하면

∆ ∆ ∆∆ ,

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3-7. 경계치 문제 2 : Poisson 방정식과 Laplace 방정식

- 서로 다른 두 매질의 경계면에서 정전계의 해가 바로 경계조건이라면, 균일한 매질로 되어 있는 내부영역에서 정전계를 구하는 방법은?

※ 정전계 문제를 풀 경우 미지함수가 오로지 스칼라인 전위 하나 뿐이어서 전위를 구하고 E를 구하면 된다.

- 영역 1(경계면을 제외한 균일한 유전체 영역으로 내부에 전하가 존재하는 경우)을 풀 때 사용하는 방정식 ⇒ Poisson 방정식

[ ] )(2 in ,)()( 방정식Poisson dN

N

v AV Î-=Ñ rrr e

r

- 영역 2(경계면을 제외한 균일한 유전체 영역으로 내부에 전하가 존재하지 않는 경우)을 풀 때 사용하는 방정식 ⇒ Laplace 방정식

[ ] )(2 ,0)( 방정식Laplace dNAinV Î=Ñ rr

3-8. 전기 영상법

- 경계조건을 이용하여 정전계 문제를 풀 경우 경계면의 형태에 따라 Poisson방정식이나 Laplace 방정식의 해가 달라짐

- 예를 들어, 완전도체 무한평면 위에 점전하가 존재할 경우 전계를 구하는 문제가 있다면, 경계조건에 해당하는 복잡한 과정으로 풀이를 실행

- 첫째, Poisson 방정식으로 미지수인 적분상수를 포함하는 전위를 구한다. 둘째, 구해진 전위로부터 미지수가 포함된 전계를 구한다. 셋째, 구해진 전계의 접선성분이 완전도체인 경계면상에서 0이 되도록 미지수를 결

정하면 최종 전계값을 구할 수 있다.

- 경계면인 z=0에서 전계의 접선성분이 0이 되거나 또는 등전위면으로 전위가 0이 되는 경우 점(0,0,h)에 있는 전하 +Q이외에 추가로 이에 대응하는 점 (0,0,-h)에 전하 -Q가 있다면 두 전하에 의한 만들어지는 전위는 당연히 z=0에서 0이 됨

⇒ 점(0,0,-h)에 있는 전하 -Q를 영상전하(영역 z<0은 원래 존재하던 도체를 제거하고 대신에 z>0영역의 매질로 채워져 있는 것으로 설정)

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[ ] [ ] ïþ

ïýü

ïî

ïíì

+++

+++-

-++

-++= 2/32222/3222

0 )(ˆ)(ˆˆ

)(ˆ)(ˆˆ

4),,(

hzyxhzyx

hzyxhzyxQzyx zyxzyxE

pe

3-9. 정전 에너지

- 전하들이 모여있는 곳에서의 에너지를 구하기 위해서는 무엇보다도 전하를 모으기 위해 사용되는 에너지를 구해야한다.

- 에너지보존법칙에 의하여 전하를 모으는데 소모한 에너지는 다른 에너지로 바뀌어져 있어야 하는데 전체 전하량 자체는 변하지 않으므로 결국 주위 공간에 에너지가 축적 ⇒ 정전에너지

- 균일한 유전체로 채워진 무한 공간 중의 특정한 영역에 세 개의 점전하를 가져다 놓으려면 얼마나 많은 에너지를 투입?

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- Q1을 무한점에서 P1까지 이동시키는 데에는 아무런 일도 필요하지 않음 - Q1이 P1에 있을 때 주위에는 전계가 걸리며, 전계 내에서 Q2를 무한점으로부터 P2

까지 이동시키는 데에는 Q2V21만큼의 일이 해야하는데 V21은 점전하 Q1에 의한 점 P2의 전위를 의미

- Q1을 무한점에서 점 P1까지 이동시 : We1=0, Q2를 무한점에서 점 P2까지 이동시 : We2=Q2V21

Q3을 무한점에서 점 P3까지 이동시 : We2=Q3(V31+V32)We = We1+We2+We3 = 0+Q2V21+Q3(V31+V32)

,

∙ ,

※ 유전율 인 균일한 유전체로 채워진 무한공간 내의 각 지점에서 축적되는 정전에너지 밀도는 해당 지점에서의 전계 크기의 자승에 유전율을 곱한 값의 절반과 같음을 의미 ⇒ 단위 J (joul) ⇒ 정전에너지를 많이 저장하기 위해서는 유전율이 높아야 한다.

3-10. 정전 용량

- 전자회로에서 쓰이는 기본요소는 R, L, C - 어떤 구조가 얼마나 큰 정전 에너지를 보유할 수 있는가를 나타내는 물리량 ⇒ 정

전용량(콘덴서)

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òò

×-

×==

2

1

M

M

S

d

d

VQC

lE

sEe

<정전용량을 구하는 방법-1> - 도체 경계면을 가장 쉽게 나타낼 수 있는 좌표계를 선정한다. - 두 도체에 각각 +Q와 -Q인 총전하를 가졌다고 둔다.

(Q 의 크기는 아무렇게나 취해도 됨) - Gauss법칙을 써서 두 도체 주변영역에서의 전계 E를 구한다

- 두 도체간의 전위차 ò ×-= 1

221

r

rdV lE 를 구한다.

- 정전용량 C를 구한다.

<정전용량을 구하는 방법-2> - 도체 경계면을 가장 쉽게 나타낼 수 있는 좌표계를 선정한다. - 두 도체표면은 각각 V21+V0와 V0인 등전위면이라고 둔다

(V0는 어떤 값이라도 가능하나, 통상 0 으로 취하면 편함) - Laplace 방정식을 풀어서 두 도체 주변영역에서의 전위 V를 구한다. - E= - V로부터 두 도체 주변영역에서의 전계를 구한다. - 정전용량 C를 구한다.