Chapitre V : Les organes du turboréacteur et leur fonction.

Chapitre V : Les organes du turboréacteur et leur fonction.

Cours de thermopropulsion II (Dr HENNI MANSOUR Zoubir) Page 48

Chapitre V : Les organes du turboréacteur et leurs fonctions

V.1 : Introduction.

Ce chapitre traite exclusivement, l’aspect thermodynamique et énergétique des

cinq stations des turboréacteurs. Le coté technologique sera traité dans le cours

technologie des turboréacteurs (S6)

Les principaux organes d'un turboréacteur sont les suivants.

L’entrée d’air : 0 ⟶ 1

Le Compresseur basse et haute pression : 1 ⟶ 2

La chambre de combustion : 2 ⟶ 3

La turbine basse et haute pression : 3 ⟶ 4

La tuyère : 4 ⟶ 5

0 1 2 3 4 5

Figure n° 15 :

Schéma d’un

turboréacteur simple

flux représentant les

différentes stations



V.2: L'entrée d'air.

V.2.1 : Définition.

L’entrée d’air est un conduit destiné à capter l'air et à 'amener dans les meilleurs

conditions possibles à l'entrée du compresseur.

Elle transforme l'énergie cinétique de l'air capté en énergie potentielle, par

ralentissement de l'écoulement. Lorsque l'avion avance, l'air pénètre par ce conduit

en fournissant l'air requis au compresseur. Sa conception doit en outre être parfaite

au niveau aérodynamique

* pour ne pas affecter les performance de l'avion c'est a dire éviter le phénomène

de trainée.

* de diriger l'air uniformément dans le compresseur, en évitant au maximum les

turbulences.

V.2.2 : Etude thermodynamique.

𝜎=

𝜎

𝜎=

Figure n° : 16

Entrée d'air et soufflante

0 1

Pi0 Pi1

P1

1

𝑉02

2𝐶𝑝

T

P0

Ti0 =Ti1

𝑉12

2𝐶𝑝

T0

S

V0

V1

1is

0

Ti1is

Figure n° 17 : évolution

de l'air dans l'entrée d'air .

T1



Le Premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert donne :

[𝑊𝑇 + 𝑄]01 = [∆𝐻 + ∆𝐸𝐶 + ∆𝐸𝑝]0

1 = (𝐻1 − 𝐻0) +

1

2(𝑉1

2 − 𝑉02) + 𝑔(𝑧1 − 𝑧0) …..(86)

𝑊𝑇 =0 (pas de travail technique dans le diffuseur).

Q=0 (évolution supposée adiabatique).

∆𝐸𝑝=0 (pas de dénivellation).

𝐻1 − 𝐻0 +1

2(𝑉1

2 − 𝑉02) = 0 …….(87)

ou :

1

2(𝑉1

2 − 𝑉02)=𝐻0 − 𝐻1 ……(88) conversion de l’énergie cinétique en pression.

On peut écrire également : (𝐻1 +1

2. 𝑉1

2) − (𝐻0 +1

2. 𝑉0

2) = 0 ….(89)

ou : 𝐻0 +1

2. 𝑉0

2 =𝐻1 +1

2. 𝑉1

2 = 𝐻 +1

2𝑉2 = cte ……(90)

Le terme 𝐻 +1

2𝑉2 = Hi = cte Enthalpie totale.

Soit 𝐻𝑖0 = 𝐻𝑖1 …..(91) Conservation de l’enthalpie totale.

Pour un gaz parfait, H= Cp.T ⟹ 𝐶𝑝𝑎(𝑇1−𝑇0) +1

2(𝑉1

2 − 𝑉02) = 0 …….(92)

Ou encore, 𝐶𝑝𝑎𝑇0 +1

2. 𝑉0

2 = 𝐶𝑝𝑎𝑇1 + 1

2. 𝑉1

2 = 𝐶𝑝. 𝑇 +1

2𝑉2 = 𝐶𝑝. (𝑇 +

𝑉2

2.𝐶𝑝) = 𝑐𝑡𝑒

Or : V = M .a et a =√𝛾. 𝑟. 𝑇

⟹ 𝑉2 = 𝑀2. 𝑎2 = M2 .γ .r.T …….(93)

Et 𝐶𝑝 =𝑟.𝛾

𝛾−1 ……(94)

D’où : 𝐶𝑝 (𝑇 +𝑀2 .𝛾 .𝑟.𝑇.(𝛾−1)

2.𝑟.𝛾) = 𝐶𝑝.T (1 +

𝛾−1

2. 𝑀2) = 𝑐𝑡𝑒 …….(95)

Or : 𝑇𝑖 = 𝑇 (1 +𝛾−1

2. 𝑀2) ⟹ 𝐶𝑝𝑎 . 𝑇𝑖 = 𝑐𝑡𝑒 Ou : 𝑇𝑖 = 𝑐𝑡𝑒 …..(96)

Ou encore :

𝑇𝑖0 = 𝑇𝑖1 = 𝑐𝑡𝑒 …….(97) Conservation de la température d’impact

Si de plus, l’évolution est réversible (sans pertes) la 2ème loi de poisson donne :



T.𝑃1−𝛾

𝛾 = cte ou 𝑇

𝑃𝛾−1𝛾

= cte…..(98)

Or : T = 𝑇𝑖

1+𝛾−1

2.𝑀2

….(99) et P = 𝑃𝑖

(1+𝛾−1

2.𝑀2)

𝛾𝛾−1

……(100)

En remplaçant (99) et (100) dans (98), on obtient :

𝑇𝑖

1+𝛾−1

2.𝑀2

.1

[𝑃𝑖

(1+𝛾−12 .𝑀2)

𝛾𝛾−1

]

𝛾−1𝛾

= 𝑇𝑖

1+𝛾−1

2.𝑀2.1

𝑃𝑖

𝛾−1𝛾

. (1 +𝛾−1

2. 𝑀2) =

𝑇𝑖

𝑃𝑖

𝛾−1𝛾

=𝑇𝑖 . 𝑃𝑖

1−𝛾

𝛾= cte

Comme Ti = cte , cela entraine si l’évolution est réversible Pi = cte …..(101)

Ou : Pio = Pi1 = cte ……….(102) Conservation de la pression totale.

Efficacité d'une entrée d'air.

Dans le cas d'un écoulement isentropique (adiabatique et réversible), la

pression totale (ou génératrice) devrait rester constante le long de l'écoulement

(c'est-à-dire le long de l'entré d'air)

Malheureusement, l'évolution dans l'entrée d'air se fait avec des frottements

(pertes) et la pression totale à la sortie du diffuseur est inferieure à ce quelle serait

dans le cas d'une évolution isentropique. La température totale s'est conservée.

On définit alors l'efficacité de l'entrée d'air comme étant :

𝜎 =𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑢𝑠𝑒𝑢𝑟

𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑢𝑠𝑒𝑢𝑟 =

𝑃𝑡 .𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒.1

𝑃𝑡.𝑡ℎ.1𝑖𝑠=𝑃𝑖1

𝑃𝑖0 ……..(103)

𝑇𝑖0

𝑇0= (1 +

(𝛾−1)

2. 𝑀0

2) …….(104)

Rappelons que : 𝑃𝑖 = 𝑃. (1 + 𝛾−1

2. 𝑀2)

𝛾

𝛾−1 et 𝑇𝑖 = 𝑇. (1 +

𝛾−1

2. 𝑀2)

→ 𝑇𝑖𝑜

𝑇𝑜= 1 +

𝛾−1

2. 𝑀0

2 …….(105)

Or : Ti0 =Ti.

⟹ 𝑇𝑖1

𝑇0= (1 +

𝛾−1

2. 𝑀0

2) ………(106)


Cours de thermopropulsion II (Dr HENNI MANSOUR Zoubir) 2

Or : 𝜂𝑖𝑠 =𝑇𝑖1𝑖𝑠− 𝑇0

𝑇𝑖1−𝑇0=𝑇0.(

𝑇𝑖1𝑖𝑠𝑇0

−1)

𝑇0.(𝑇𝑖1𝑇0−1)

=

𝑇𝑖1𝑖𝑠𝑇0

−1

𝑇𝑖1𝑇0−1

⟹𝑇𝑖1𝑖𝑠

𝑇0− 1 = 𝜂𝑖𝑠(

𝑇𝑖1

𝑇0− 1)

⟹ 𝑇𝑖1𝑖𝑠

𝑇0 =1 +𝜂𝑖𝑠(

𝑇𝑖1

𝑇0− 1) ………………(107)

Or : 𝑇𝑖

𝑇0= (1 +

𝛾−1

2. 𝑀0

2) ⟹ 𝑇𝑖1𝑖𝑠

𝑇0 =1 + 𝜂𝑖𝑠 (1 +

𝛾−1

2. 𝑀0

2 − 1)

𝑇𝑖1𝑖𝑠

𝑇0 =1 + 𝜂𝑖𝑠 (

𝛾−1

2. 𝑀0

2). ………………….(108)

Evolution isentropique : ⟹ 𝑇𝑖1𝑖𝑠

𝑇0 = (

𝑃𝑖1

𝑃0)

𝛾−1

𝛾= 1 + 𝜂𝑖𝑠 (

𝛾−1

2. 𝑀0

2) ……..(109)

⟹𝑃𝑖1

𝑃0= [1 + 𝜂𝑖𝑠 (

𝛾−1

2. 𝑀0

2)]

𝛾

𝛾−1 ⟹ 𝑃𝑖1 = 𝑃0 [1 + 𝜂𝑖𝑠 (

𝛾−1

2. 𝑀0

2)]

𝛾

𝛾−1 …..(110)

On a également 𝑃𝑖𝑜 = 𝑃0 [1 + (𝛾−1

2. 𝑀0

2)]

𝛾

𝛾−1 ………..(111)

⟹ 𝜎 =𝑃𝑖1

𝑃𝑖0 =

[1 + 𝜂𝑖𝑠 (𝛾−1

2.𝑀02)]

𝛾𝛾−1

[1 + (𝛾−1

2.𝑀02)]

𝛾𝛾−1

…………..(112)

Résumé.

Entrée d’air (ou diffuseur 0→ 1).

* Grandeurs totales Entrée d’air parfaite (isentropique)

𝑇𝑖1𝑖𝑠 = 𝑇𝑖0 = 𝑇0 (1 +𝛾−1

2. 𝑀0

2). ……….(113)

𝑃𝑖1𝑖𝑠 = 𝑃𝑖𝑜 = 𝑃0 [1 + (𝛾−1

2. 𝑀0

2)]

𝛾

𝛾−1 ………..(114)

* Grandeurs totales Entrée d’air avec pertes

𝑇𝑖1 =𝑇𝑖0 = 𝑇0 [1 + (𝛾−1

2. 𝑀0

2)] ………………(115)

𝑃𝑖1 = 𝑃0 [1 + 𝜂𝑖𝑠 (𝛾−1

2. 𝑀0

2)]

𝛾

𝛾−1 ………..(116)

Entrée d’air parfaite

𝜂𝑖𝑠 = 1 ⟹ 𝜎 = 1

Entrée d’air type Pitot

subsonique 𝜎 = 0.98



V.3 : Le compresseur..

IV.3.1 : Définition et description ( voir chapitre II)

IV.3.2 : Etude thermodynamique.

𝜎=

𝜎

𝜎=

Figure n° 18 : évolution de l'air dans un étage de compresseur.

1 ⟶ 2is : Compression mécanique théoriquement isentropique (adiabatique et réversible)

1 ⟶ 2 : Compression réelle.

a- Travail théorique de( l’u.d.m) du fluide transvasé.

Evolution isentropique → Q =0 adiabatique

→ ζf =0 réversible

1er principe de la thermodynamique pour un système ouvert.

(WT + Q)1-2is =ΔH1-2is + ΔEC1-2is +ΔEp 1-2is ……………..(117)

(WT + Q)1-2is =(H2is – H1) + ½(V2is2 –V1

2) + g (z2is – z1) ……….(118)

Compression adiabatique ⟹ Q1-2is =0

Pas de dénivellation ⟹ g (z2is – z1)=0

(WT)is = (H2is – H1) + ½(V22 –V1

2) …………………………..(119)

(WT)is = (H2is +½V22 ) - (H1 + ½V1

2) = Hi2is – Hi1…………(120)

Pi2’

P2

T

P1

Ti2’= Ti2

Ti2

T1

S

V1 V2

i1

1

Ti2’is

is==

i2’is

i2’

P2’

Ti1

T2

𝑉22

2𝑐𝑝

T1

𝑉12

2𝑐𝑝

Pi2

»

Pi1

1

I2 1

2’ 2

ROTOR STATOR



Pour un gaz parfait on a :

(WT)is= Cp (Ti2is – Ti1 = Cp 𝑇𝑖1 (𝑇𝑖2𝑖𝑠

𝑇𝑖1− 1)…………………….(121)

Or : 𝑇𝑖2𝑖𝑠

𝑇𝑖1=(

𝑃𝑖2

𝑃𝑖1)

𝛾−1

𝛾 = Π𝑖𝑐

𝛾−1

𝛾 avec Π𝑖𝑐 =𝑃𝑖2

𝑃𝑖1

(WT)is= Cp 𝑇𝑖1 ((𝑃𝑖2

𝑃𝑖1)

𝛾−1

𝛾− 1)= Cp 𝑇𝑖1 (Π𝑖𝑐

𝛾−1

𝛾 − 1)………….(122)

Gaz parfait : Cp = 𝑟.𝛾

𝛾−1 et

𝑃𝑖1

𝜌𝑖1= 𝑟. 𝑇𝑖1

⇒ (WT)is = 𝛾 𝑃𝑖1.

(𝛾−1) 𝜌𝑖1 (Π𝑖𝑐

𝛾−1

𝛾 ) − 1) …..(123) Travail théorique (isentropique)

de compression

b- Travail effectif ou indiqué de ( l’u.d.m) du fluide transvasé (réel).

Evolution réelle ⇒ Q =0 adiabatique

ζf ≠ 0 irréversible

(WT)is = (H2 +½V22 ) - (H1 + ½V1

2) = Hi2 – Hi1 ………..(124)


Wi= Cp (Ti2 – Ti1 = Cp 𝑇𝑖1 (𝑇𝑖2

𝑇𝑖1− 1)…………………….(125)

Or : 𝜂𝑖𝑠.𝑐 = 𝑊𝑡.𝑡ℎ

𝑊𝑡𝑟é𝑒𝑙=𝐻𝑖2𝑖𝑠−𝐻𝑖1

𝐻𝑖2−𝐻𝑖1=𝐶𝑝(𝑇𝑖2𝑖𝑠−𝑇𝑖1)

𝐶𝑝(𝑇𝑖2−𝑇𝑖1)= 𝑇𝑖2𝑖𝑠−𝑇𝑖1

𝑇𝑖2−𝑇𝑖1= 𝑇𝑖1(

𝑇𝑖2𝑖𝑠𝑇𝑖1

−1)

𝑇𝑖1(𝑇𝑖2𝑇𝑖1−1)

=


−1

𝑇𝑖2𝑇𝑖1−1

⟹ 𝑇𝑖2

𝑇𝑖1− 1=


−1

𝜂𝑖𝑠.𝑐……………………..(126)

Remplaçons (126) dans (125) on obtient :

(WT)i = Cp 𝑇𝑖1 (


−1

𝜂𝑖𝑠.𝑐) ……………………(127)




𝑇𝑖1=(

𝑃𝑖2

𝑃𝑖1)

𝛾−1

𝛾 = Π𝑖𝑐

𝛾−1

𝛾 avec Π𝑖𝑐 =𝑃𝑖2

𝑃𝑖1

(WT)i= Cp 𝑇𝑖1((𝑃𝑖2𝑃𝑖1)

𝛾−1𝛾−1

𝜂𝑖𝑠𝑐) = Cp 𝑇𝑖1 (

Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1

𝜂𝑖𝑠𝑐)………………(128)


𝛾−1 et

𝑃𝑖1

𝜌𝑖1= 𝑟. 𝑇𝑖1

⇒ (WT)i = 𝛾 𝑃𝑖1 .


𝛾−1𝛾 −1

𝜂𝑖𝑠𝑐) ……….(129)

Travail indiqué de compression

(Travail réel)

On peut également exprimer le travail indiqué de la manière suivante :

(WT)i = 𝛾 𝑃𝑖1.


𝑛−1

𝑛 − 1) ………..(130)

n : coefficient polytropique

n ≥ γ pou une compression

Remarque : Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1

𝜂𝑖𝑠𝑐 = Π𝑖𝑐

𝑛−1

𝑛 − 1 ⇒ ηisc = Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1

Π𝑖𝑐𝑛−1𝑛 −1

ηisc =(𝑃𝑖2𝑃𝑖1)

𝛾−1𝛾−1

(𝑃𝑖2𝑃𝑖1)

𝑛−1𝑛−1

=


−1


= 𝑇𝑖2𝑖𝑠−𝑇𝑖1

𝑇𝑖2−𝑇𝑖1 =

𝐻2𝑖𝑠−𝐻1

𝐻2−𝐻1 =𝑊𝑖𝑠

𝑊𝑖

a- Travail polytropique ( l’u.d.m) transvasé

Evolution polytropique → non adiabatique Q ≠ 0

Réversible ζf = 0


(W + Q) =ΔH + ΔEC +ΔEp …………….(131)



(Wpoly + Q)1-2poly =(H2 – H1) + ½(V22 –V1

2) + g (z2 – z1) …(132)

Wpoly = ΔHi – Q ……………..(133)

2ème principe de la thermodynamique

dS=𝛿𝑄

𝑇 +𝛿𝑖𝑆 ⇒ TdS = 𝛿𝑄 + 𝑇 𝛿𝑖𝑆

ou 𝛿𝑄 = TdS - 𝑇 𝛿𝑖𝑆 = TdS ⇒ Q =∫ 𝑑2

1S…………………(134)

La relation de GIBBS donne :

dH= TdS + 𝑑𝑃

𝜌 ⇒ ∆H = ∫ 𝑑 𝑆 + ∫

𝑑𝑃

𝜌…………….(135)

En remplaçant dans (133) on obtient :

Wpoly= ∫ 𝑑𝑖2

𝑖1𝑆 + ∫

𝑑𝑃

𝜌

𝑖2

𝑖1 - ∫ 𝑑

𝑖2

𝑖1𝑆 =∫

𝑑𝑃

𝜌

𝑖2

𝑖1……………….(136)

Evolution polytropique, la loi de laplace donne :

𝑃

𝜌𝑛=

𝑃𝑖1

𝜌𝑖1𝑛 ⇒

𝑃

𝑃𝑖1= (

𝜌

𝜌𝑖1)𝑛

ou ρ = 𝜌𝑖1 (𝑃

𝑃𝑖1)

1

𝑛…………………….(137)

d’où le travail polytropique :

Wpoly = ∫𝑑𝑃

𝜌

𝑖2

𝑖1= ∫

𝑑𝑃

𝜌𝑖1(𝑃

𝑃𝑖1)

1𝑛

𝑖2

𝑖1 =

𝑃𝑖11𝑛

𝜌𝑖1 ∫

𝑑𝑃

𝑃1𝑛

𝑖2

𝑖1……..(138)

Wpoly = 𝑃𝑖1

1𝑛

𝜌𝑖1[−

1

(1

𝑛−1)𝑃

(1𝑛−1)

]

𝑃𝑖1

𝑃𝑖2

= 𝑃𝑖1

1𝑛

𝜌𝑖1[𝑃𝑛−1𝑛

𝑛−1

𝑛

]𝑃𝑖2

𝑃𝑖2

…..(139)

Wpoly =𝑛

𝑛−1 𝑃𝑖1

1𝑛

𝜌𝑖1 [𝑃

𝑖2

𝑛−1

𝑛 − 𝑃𝑖1

𝑛−1

𝑛 ] ……………….(140)

Wpoly =𝑛

𝑛−1 𝑃𝑖1

1𝑛

𝜌𝑖1 𝑃𝑖1

𝑛−1

𝑛 [(𝑃𝑖2

𝑃𝑖1)

𝑛−1

𝑛− 1]………….(141)

Wpoly =𝑛

𝑛−1 𝑃𝑖1

𝜌𝑖1 (Π

𝑖𝑐

𝑛−1

𝑛 − 1)………………....(142)



En résumé :

Travail théorique ou isentropique.

Wis = 𝛾 𝑃𝑖1.


𝛾−1

𝛾 ) − 1)………………(143)

Travail effectif ou indiqué de compression (Travail réel).

Wi = 𝛾 𝑃𝑖1.


𝛾−1𝛾 −1

𝜂𝑖𝑠𝑐) ………………….(144)

Wi = 𝛾 𝑃𝑖1 .


𝑛−1

𝑛 − 1) ………………(145)

Travail polytropique.

Wpoly =𝑛

𝑛−1 𝑃𝑖1

𝜌𝑖1 (Π

𝑖𝑐

𝑛−1

𝑛 − 1)…………………..(146)

Rendements d’un compresseur.

Rendement isentropique de compression.

On pratique, on ne peut pas négliger les frottements internes au compresseur car

pour obtenir un même taux de compression 𝑃𝑖2

𝑃𝑖1 on retrouve en sortie une température

Ti2>Ti2is

𝜂𝑖𝑠.𝑐= 𝑊𝑡.𝑡ℎ

𝑊𝑡𝑟é𝑒𝑙=𝐻𝑖2𝑖𝑠−𝐻𝑖1

𝐻𝑖2−𝐻𝑖1=𝑚𝑎.𝐶𝑝(𝑇𝑖2𝑖𝑠−𝑇𝑖1)

𝑚𝑎.𝐶𝑝(𝑇𝑖2−𝑇𝑖1) =

𝑇𝑖2𝑖𝑠−𝑇𝑖1

𝑇𝑖2−𝑇𝑖1= 𝑇𝑖1(


−1)


=


−1



𝑇𝑖1=(

𝑃𝑖2

𝑃𝑖1)

𝛾−1

𝛾 ⟹ 𝜂𝑖𝑠.𝑐=


𝛾−1𝛾 − 1

𝑇𝑖2𝑇𝑖1 − 1

………..(147)

En posant : 𝛱𝑖𝑐 =𝑃𝑖2

𝑃𝑖1 et 𝜏𝑖𝑐 =

𝑇𝑖2

𝑇𝑖1 On obtient :

𝜂𝑖𝑠.𝑐=𝛱𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 − 1

𝜏𝑖𝑐 − 1 ……………(148)



On peut tirer le taux de compression en fonction du rendement isentropique de

compression comme suit :

𝜂𝑖𝑠𝑐 =Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1

𝜏𝑖𝑐−1 ⟹ Π𝑖𝑐

𝛾−1

𝛾 − 1 = 𝜂𝑖𝑠𝑐(𝜏𝑖𝑐 − 1) ⟹ Π𝑖𝑐𝛾−1

𝛾 = 1 + 𝜂𝑖𝑠𝑐(𝜏𝑖𝑐 − 1)

⟹ Π𝑖𝑐 =𝑃𝑖2

𝑃𝑖1= [1 + 𝜂𝑖𝑠𝑐(𝜏𝑖𝑐 − 1)]

𝛾

𝛾−1 …………(149 )

De même on peut tirer la température totale sortie Ti2

𝜏𝑖𝑐 − 1 = Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1

𝜂𝑖𝑠𝑐 ⟹ 𝜏𝑖𝑐 = 1 +

Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1

𝜂𝑖𝑠𝑐 =

𝑇𝑖2

𝑇𝑖1

⟹ 𝑇𝑖2 = 𝑇𝑖1 (1 +𝛱𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 − 1

𝜂𝑖𝑠.𝑐)……….(150)

Rendement polytropique de compression.

𝜂𝑝𝑐= 𝑊𝑝𝑜𝑙𝑦

𝑊𝑖 =

𝑛

𝑛−1 𝑃𝑖1𝜌𝑖1 (Π𝑖𝑐

𝑛−1𝑛 −1)

𝛾 𝑃𝑖1.


𝑛−1𝑛 −1)

= 𝑛

𝑛−1 .𝛾−1

𝛾 ………….(151)

Indépendant du taux de compression.

Le rendement entre ces deux rendements 𝜂𝑖𝑠𝑐 et 𝜂𝑝𝑐 donne :

𝜂𝑖𝑠𝑐

𝜂𝑝𝑐 =

𝑊𝑖𝑠

𝑊𝑖×

𝑊𝑖

𝑊𝑃𝑜𝑙𝑦=

𝑊𝑖𝑠

𝑊𝑝𝑜𝑙𝑦

𝜂𝑖𝑠𝑐

𝜂𝑝𝑐=

𝛾 𝑃𝑖1.


𝛾−1𝛾 −1)

𝑛

𝑛−1 𝑃𝑖1𝜌𝑖1 (Π𝑖𝑐

𝑛−1𝑛 −1)

=

𝛾

(𝛾−1) (Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1)

𝑛

𝑛−1 (Π𝑖𝑐

𝑛−1𝑛 −1)

⟹ 𝜂𝑖𝑠𝑐 = 𝜂𝑝𝑐

𝛾

(𝛾−1) (Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1)

𝑛

𝑛−1 (Π

𝑖𝑐

𝑛−1𝑛 −1)

……….(152)



𝜂𝑖𝑠𝑐= 𝑛

𝑛−1 .𝛾−1

𝛾.𝛾

𝛾−1.𝑛−1

𝑛.(Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1)

(Π𝑖𝑐

𝑛−1𝑛 −1)

= Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1

Π𝑖𝑐

𝑛−1𝑛 −1

………..(153)

Or : 𝜂𝑝𝑐 =𝑛

𝑛−1 .𝛾−1

𝛾 ⟹

𝑛

𝑛−1 =𝛾−1

𝛾 .

1

𝜂𝑝𝑐

⟹ 𝜂𝑖𝑠𝑐=Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 −1

Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 .

1𝜂𝑝𝑐

−1

………….(154)

Compresseurs à étages multiples.

Soient : Indice 1 : Entrée du compresseur.

Indice 2 : Sortie du compresseur.

𝜂𝑖𝑠.𝑐=𝛱𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 − 1

𝜏𝑖 − 1 avec : 𝛱𝑖 =

𝑃𝑖2

𝑃𝑖1 et 𝜏𝑖 =

𝑇𝑖2

𝑇𝑖1

Compresseur à N étages.

𝜂𝐸𝑗 : rendement isentropique de l’étage Ej.

Π𝐸𝑗 : taux de compression de l’étage Ej

𝜏𝐸𝑗 : rapport de température de l’étage Ej

Pour un étage (j)on a :

𝜂𝑖𝑠𝐸𝑗=𝛱𝑖𝐸𝑗

𝛾−1𝛾 − 1

𝜏𝑖𝐸𝑗 − 1…………………(155)

Etage n°1 : 0 →1

Etage n°2 : 1 → 2

…………………….

Etage n°j : j-1 →j

……………………

Etage n°N : N-1 →N

Pi0 = Pi1 PiN = Pi2

1 compresseur 2

+ + +………….+ +………………+ +

Etage 1 Etage 2

Etage j

Etage N

NN1

0 1 2 J-1 j N-1 N

Pi0 = Pi1 PiN = Pi2



Revenons au compresseur,

𝜂𝑖𝑠𝑐=𝛱𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 − 1

𝜏𝑖𝑐 − 1 =(𝑃𝑖2𝑃𝑖1)

𝛾−1𝛾 − 1

𝑇𝑖2𝑇𝑖1 − 1

= (𝑃𝑖𝑁𝑃𝑖0

)

𝛾−1𝛾 − 1

𝑇𝑖𝑁𝑇𝑖0 − 1

……………….…(156)

Or , pour l’étage Ej on a :

𝜂𝑖𝑠𝐸𝑗 =𝛱𝑖𝐸𝑗

𝛾−1𝛾 − 1

𝜏𝑖𝐸𝑗 − 1 ⟹ 𝜏𝑖𝐸𝑗 – 1 =

𝛱𝑖𝐸𝑗

𝛾−1𝛾 − 1

𝜂𝑖𝑠𝐸𝑗

ou : 𝜏𝐸𝑗 = 1 +𝛱𝑖𝐸𝑗

𝛾−1𝛾 − 1

𝜂𝑠𝑗… ……..….(157)

Ou encore,

𝜏𝐸𝑗 =𝑇𝑖𝑗

𝑇𝑖𝑗−1 = 1 +

1

𝜂𝑖𝑠𝐸𝑗 {(

𝑃𝑖𝑗

𝑃𝑖𝑗−1)

𝛾−1

𝛾− 1}…………..(158)

Pour le compresseur,

𝜏𝑖𝑐 =𝑇𝑖2

𝑇𝑖1 =

𝑇𝑖𝑁

𝑇𝑖0 =

𝑇𝑖𝑁

𝑇𝑖(𝑁−1) .𝑇𝑖(𝑁−1)

𝑇𝑖(𝑁−2)… .

𝑇𝑖𝑗

𝑇𝑖(𝑗−1)… .

𝑇𝑖1

𝑇𝑖0

𝜏𝑖𝑐 = ∏𝑇𝑖𝑗

𝑇𝑖𝑗−1=𝑁

𝑗=1 ∏ {1 + 1

𝜂𝑖𝑠𝐸𝑗 [(

𝑃𝑖𝑗

𝑃𝑖𝑗−1)

𝛾−1

𝛾− 1]}𝑁

𝑗=1 ………(159)

On remplace (159) dans (156)

𝜂𝑖𝑠𝑐 = (𝑃𝑖𝑁𝑃𝑖0

)

𝛾−1𝛾 − 1


= (𝑃𝑖𝑁𝑃𝑖0

)

𝛾−1𝛾 − 1

∏ {1+ 1

𝜂𝑖𝑠𝐸𝑗 [(

𝑃𝑖𝑗

𝑃𝑖𝑗−1)

𝛾−1𝛾− 1]}𝑁

𝑗=1 − 1

………………(160)

Pour simplifier, on suppose ( pour un étage Ej) :

𝑃𝑖𝑗

𝑃𝑖𝑗−1 = 𝛱𝐸𝑗 = 𝛱𝐸 et 𝜂𝑖𝑠𝐸𝑗 = 𝜂𝐸

𝜏𝑖𝑐 = ∏ {1 + 1

𝜂𝐸 [𝛱𝐸

𝛾−1

𝛾 − 1]}𝑁𝑗=1 = ∏ 𝜏𝐸

𝑁𝑗=1 = 𝜏𝐸

𝑁……………….(161)



𝜏𝑖𝑐 = 𝜏𝐸𝑁 = {1 +

1

𝜂𝐸 [𝛱𝐸

𝛾−1

𝛾 − 1]}𝑁

………………………………....(162)

On a aussi,

𝛱𝑖𝑐 = ∏ 𝛱𝐸𝑗𝑁𝑗=1 = ∏ 𝛱𝐸

𝑁𝑗=1 = Π𝐸

𝑁 …………………………………….(163)

Ou : 𝛱𝐸 = 𝛱𝑖𝑐1

𝑁 ………………………………………………………..(164)

On obtient donc le rendement isentropique de compression en fonction du

rendement isentropique et le taux de compression d’un étage.

𝜂𝑖𝑠𝑐 = (𝑃𝑖𝑁𝑃𝑖0

)

𝛾−1𝛾 − 1


= 𝛱𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 − 1

𝜏𝑖𝑐− 1 =

𝛱𝐸

𝛾−1.𝛾 .𝑁

− 1

{1+ 1

𝜂𝐸 [𝛱𝐸

𝛾−1𝛾 − 1]}

𝑁

− 1

………………(165)

IV.4: Chambre de combustion

IV.4.1 :Rôle .

Assure le mélange combustible (kérosène) et Oxygène (contenu dans l’air) et

permette la transformation la plus complète possible de l’énergie chimique du

mélange en énergie calorifique.

Description . Voir cours technologie turboréacteurs

Figure n° 20 : Chambre de combustion photo




1er principe de la thermodynamique système ouvert donne entre (2) et (3) :

(W + Q)2-3 = ∆H2-3 + ∆Ec2-3 + ∆Ep2-3

Combustion supposée adiabatique Q=0

Pas de travail technique W=0

∆Ep2-3 = 0 (fluide non pesant)

⇒ ∆H2-3 + ∆Ec2-3 = 0

Ici, ∆H représente la différence de l’enthalpie standard entre les produits et les

réactifs (voir cours de thermopropulsion 1)

∆H = H3 -H2 avec : H2=HR (réactifs)

H3=Hp (produits)

H = (∆𝐻𝑓0)𝑇=298°𝐾

+ ∆Hs =(∆𝐻𝑓0)𝑇=298°𝐾

+ ∫ 𝐶𝑝𝑑𝑇𝑇

298°𝐾 (enthalpie standard)

∆H2-3 + ∆Ec2-3 = 0 donne :

2

3is

3

Ti3is

Ti3

S

Pi3is

Pi3

Figure n° 21 : évolution des gaz dans la chambre de combustion

T



(∆𝐻𝑓0)3

298)𝑘 + 𝐻3

𝑠 + 1

2 𝑉32 - (∆𝐻𝑓

0)2

298)𝑘 + 𝐻2

𝑠 + 1

2 𝑉22 = 0

(∆𝐻𝑓0)2

298)𝑘 + 𝐻2

𝑠 + 1

2 𝑉22 = (∆𝐻𝑓

0)3

298)𝑘 + 𝐻3

𝑠 + 1

2 𝑉32

(𝐻3𝑠 +

1

2 𝑉32) ⏟

𝐻𝑖3

_ (𝐻2𝑠 +

1

2 𝑉22) ⏟

𝐻𝑖2

= (∆𝐻𝑓0)2

298)𝑘- (∆𝐻𝑓

0)3

298)𝑘= - (∆𝐻𝑅

0)298°𝐾 = Qp

⇒ Hi3 – Hi2 = Qp avec : - (∆𝐻𝑅0)298°𝐾 = Qp Enthalpie standard de réaction

Gaz parfaits ⇒ Cp( Ti3 – Ti2) = Qp

2 → 3is : Combustion isobare (sans pertes).

La puissance calorifique mise en jeu dans une chambre de combustion et la

l’élévation de température qui s’en suit sont données par l’expression suivante :

�̇�c . Pci = (�̇�a + �̇�c) Hi3is – �̇�a.Hi2 …………………………(166)

Avec 𝑃𝑐𝑖 : pouvoir calorifique inférieur en kj/kg


𝑚_𝑐̇ . 𝑃𝑐𝑖 = (�̇�𝑎 + �̇�𝑐). 𝐶𝑝𝑔 . 𝑇𝑖3𝑖𝑠 − �̇�𝑎. 𝐶𝑝.𝑎𝑇𝑖2 ………..…(167)

𝑃𝑐𝑖 = (�̇�𝑎+�̇�𝑐)

𝑚𝑐𝐶𝑝𝑔 . 𝑇𝑖3𝑖𝑠 -

𝑚𝑎

𝑚𝑐. 𝐶𝑝.𝑎𝑇𝑖2 ………………………..(168)

𝑃𝑐𝑖 = (𝑚𝑎

𝑚𝑐+ 1)𝐶𝑝𝑔 . 𝑇𝑖3𝑖𝑠 −

𝑚𝑎

𝑚𝑐. 𝐶𝑝.𝑎𝑇𝑖2………………………(169)

𝑃𝑐𝑖 = 𝑚𝑎̇

�̇�𝑐[𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3𝑖𝑠 − 𝐶𝑝𝑎𝑇𝑖2] + 𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3𝑖𝑠…………………….(170)

�̇�𝑎

�̇�𝑐[𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3𝑖𝑠 − 𝐶𝑝𝑎𝑇𝑖2]= 𝑃𝑐𝑖 − 𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3𝑖𝑠…………………….(171)

�̇�𝑎

�̇�𝑐 =

𝑃𝑐𝑖−𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3𝑖𝑠

𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3𝑖𝑠−𝐶𝑝𝑎𝑇𝑖2 ……………………………………..(172)



ou : �̇�𝑐

�̇�𝑎 =

𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3𝑖𝑠−𝐶𝑝𝑎𝑇𝑖2

𝑃𝑐𝑖−𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3𝑖𝑠 =

𝑇𝑖3𝑖𝑠−𝐶𝑃𝑎𝐶𝑝𝑔

. 𝑇𝑖2

𝑃𝑐𝑖𝐶𝑝𝑔

− 𝑇𝑖3𝑖𝑠 ……….(173)

Avec : 𝑚𝑐̇

�̇�𝑎 = f (dosage) kg fuel/kg air.

2 →3 : Combustion avec pertes.

En prenant en compte la perte de charge due aux frottements du fluide, la pression

à la sortie de la chambre sera :

Pi2 = P3iis = Pi3+ ΔP Avec : Pi3 <Pi2

Pi3 = Pi2 – ΔP = Pi2 (1 - ∆𝑃

𝑃𝑖2 ) ……………………..(174)

Rendement thermique réel de la chambre de combustion.

𝜂𝑡𝑟𝑏 = é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑é𝑔𝑎𝑔é𝑒

é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 = (�̇�𝑎+�̇�𝑐).𝐶𝑝𝑔 .𝑇𝑖3 −�̇�𝑎.𝐶𝑝.𝑎𝑇𝑖2

�̇�𝑐.𝑃𝑐𝑖 …..…(175)

𝜂𝑡𝑟𝑏 . 𝑃𝑐𝑖 = (�̇�𝑎

�̇�𝑐+ 1)𝐶𝑝𝑔 . 𝑇𝑖3 −

�̇�𝑎

�̇�𝑐. 𝐶𝑝.𝑎𝑇𝑖2 ………………………….(176)

𝜂𝑡𝑟𝑏 . 𝑃𝑐𝑖 = �̇�𝑎

�̇�𝑐[𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3 − 𝐶𝑝𝑎𝑇𝑖2] + 𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3……………………………(177)

�̇�𝑎

�̇�𝑐[𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3 − 𝐶𝑝𝑎𝑇𝑖2] = 𝜂𝑡𝑟𝑏 . 𝑃𝑐𝑖 - 𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3…………………………….(178)

�̇�𝑐

�̇�𝑎 =

(𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3−𝐶𝑝𝑎𝑇𝑖2)

𝜂𝑡𝑟𝑏.𝑃𝑐𝑖 − 𝐶𝑝𝑔𝑇𝑖3 =

𝑇𝑖3 − 𝐶𝑃𝑎 𝐶𝑝𝑔

. 𝑇𝑖2

𝜂𝑡𝑟𝑏. 𝑃𝑐𝑖

𝐶𝑝𝑔 − 𝑇𝑖3

= f …………….(179)



IV.5: La turbine.

IV.5.1 : Description et rôle ( voir chapitre II)


3 ⟶ 4is : Détente isentropique (adiabatique et réversible)

3 ⟶ 4 : Détente réelle.

Expression du travail indiqué de ( l’u.d.m)( Energie cédée par les gaz à la turbine).


(WT + Q)3-4 =ΔH3-4 + ΔEC3-4 +ΔEp 3-4 …………………...(180)

(WT + Q)3-4 =(H4 – H3) + ½(V42 –V3

2) + g (z4 – z3) ……….(181)

Compression adiabatique ⟹ Q3-4=0

Pas de dénivellation ⟹ g (z4– z3)=0

(WT)3-4 = (H4 – H3) + ½(V42 –V3

2) …………………………………..(182)

(WT)3-4 = (H4 + ½ V42) - ( H3+ ½V3

2)………………………(183))

En posant : Hi = H + ½ V2 (Enthalpie totale), On obtient :

i3’

Pi3’

i4is T3’

𝑉3′2

2. 𝐶𝑃

P3’

P4

T4

Pi4 i4

𝑉42

2. 𝐶𝑝

T

Ti3=Ti3is

Ti4

Ti4is

S

Figure n°21 : évolution du gaz dan un étage de turbine

turbine

I 3 Pi3

P 3

Pi4is

3→3’ stator

3’→4 rotor



(WT)3-4 = Hi4 – Hi3 ………………. (184)

Gaz parfait ⟹

(WT)3-4 = Cp (T4 – T3) + ½ (V42 – V3

2) …………………….(185)

(WT)3-4 = (Cp T4 +½ V42)- (Cp T3 +½ V3

2)………………….(186)

(WT)3-4 = Cp[(𝑇4 +1

2.𝐶𝑝. 𝑉4

2

⏟ Ti4

) – ( 𝑇3 +1

2.𝐶𝑝. 𝑉3

2

⏟ Ti3

) ]………………(187)

(WT)3-4 = Cp (Ti4 – Ti3) …………………………………………(188)

(WT)3-4 = Cp 𝑇𝑖3 (𝑇𝑖4

𝑇𝑖3− 1)……………………………………….(189)

Or : 𝜂𝑖𝑠.𝑡 =𝐻𝑖4−𝐻𝑖3

𝐻𝑖4𝑖𝑠−𝐻𝑖3=

𝐶𝑝(𝑇𝑖4−𝑇𝑖3)

𝐶𝑝(𝑇𝑖4𝑖𝑠−𝑇𝑖3)

𝜂𝑖𝑠.𝑡 = 𝑇𝑖4−𝑇𝑖3

𝑇𝑖4𝑖𝑠−𝑇𝑖3=


𝑇𝑖3(𝑇𝑖4𝑖𝑠𝑇𝑖3

−1) =



−1

⟹ 𝑇𝑖4

𝑇𝑖3− 1= 𝜂𝑖𝑠.𝑡 (

𝑇𝑖4𝑖𝑠

𝑇𝑖3− 1) ……………….(190)

Remplaçons (190) dans (189)

(WT)3-4 = Cp 𝑇𝑖3 [𝜂𝑖𝑠.𝑡 (𝑇𝑖4𝑖𝑠

𝑇𝑖3− 1) ]……………………………………………(191)

Or, 𝑇𝑖4𝑖𝑠

𝑇𝑖3=(

𝑃𝑖4

𝑃𝑖3)

𝛾−1

𝛾= Π𝑖𝑡

𝛾−1

𝛾 ⟹

(WT)3-4 = Cp 𝑇𝑖3 [𝜂𝑖𝑠.𝑡 (Π𝑖𝑡𝛾−1

𝛾 − 1)]………………………….(192)


𝛾−1 et

𝑃𝑖3

𝜌𝑖3= 𝑟. 𝑇𝑖3 l’équation (192) s’écrit :

(WT)3-4 =𝑃𝑖3 .𝛾

𝜌𝑖3(𝛾−1)[𝜂𝑖𝑠.𝑡 (Π𝑖𝑡

𝛾−1

𝛾 − 1)]………….……………..(193)

Variation d’Enthalpie totale entre

sortie et entrée compresseur.

i3

Pi4

T

S

i4

i4is

Pi3



Travail isentropique de détente :

(WT)3-4is = Hi4is – Hi3 ……………(194)

(WT)3-4is = Cp (Ti4is – Ti3)………………………………………….(195)

(WT)3-4is = Cp 𝑇𝑖3 [(𝑃𝑖4

𝑃𝑖3)

𝛾−1

𝛾− 1]= Cp 𝑇𝑖3 [Π𝑖𝑡

𝛾−1

𝛾 − 1]……… ..….(196)

(WT)3-4is =𝑃𝑖3 .𝛾

𝜌𝑖3(𝛾−1) ((

𝑃𝑖4

𝑃𝑖3)

𝛾−1

𝛾− 1)=

𝑃𝑖3 .𝛾

𝜌𝑖3(𝛾−1) (Π𝑖𝑡

𝛾−1

𝛾 − 1)………..(197)

Travail polytropique de détente

Raisonnement analogue à celui de la compression, on aboutit à :

(WT)3-4poly =𝑃𝑖3 .𝑛

𝜌𝑖3(𝑛−1) ((

𝑃𝑖4

𝑃𝑖3)

𝑛−1

𝑛− 1)=

𝑃𝑖3 .𝑛

𝜌𝑖3 (𝑛−1) (Π𝑖𝑡

𝑛−1

𝑛 − 1)……..(198)

Récapitulatif:

Détente réelle.

(WT)3-4 = Hi4 – Hi3

Pour un gaz parfait:

(WT)3-4 = Cp (Ti4 – Ti3)

(WT)3-4 = Cp 𝑇𝑖3 [𝜂𝑖𝑠.𝑡 (Π𝑖𝑡𝛾−1

𝛾 − 1)]

(WT)3-4 =𝑃𝑖3 .𝛾

𝜌𝑖3(𝛾−1)[𝜂𝑖𝑠.𝑡 (Π𝑖𝑡

𝛾−1

𝛾 − 1)]

Egalement on peut écrire :

(WT)3-4 =𝑃𝑖3 .𝛾

𝜌𝑖3(𝛾−1)(Π𝑖𝑡

𝑛−1

𝑛 − 1)



Avec 1 < n > γ pour une détente

Détente isentropique.

(WT)3-4is = Hi4is – Hi3


(WT)3-4is = Cp (Ti4is – Ti3)

(WT)3-4is = Cp 𝑇𝑖3 [(𝑃𝑖4

𝑃𝑖3)

𝛾−1

𝛾− 1]= Cp 𝑇𝑖3 [Π𝑖𝑡

𝛾−1

𝛾 − 1]

(WT)3-4is =𝑃𝑖3 .𝛾

𝜌𝑖3(𝛾−1) ((

𝑃𝑖4

𝑃𝑖3)

𝛾−1

𝛾− 1)=

𝑃𝑖3 .𝛾

𝜌𝑖3(𝛾−1) (Π𝑖𝑡

𝛾−1

𝛾 − 1)

Détente polytropique :

(WT)3-4poly =𝑃𝑖3 .𝑛

𝜌𝑖3(𝑛−1)(Π𝑖𝑡

𝑛−1

𝑛 − 1)

Rendement isentropique de détente.

𝜂𝑖𝑠.𝑡 = 𝑊𝑡.𝑟é𝑒𝑙

𝑊𝑡𝑡ℎ=

𝐻𝑖4−𝐻𝑖3

𝐻𝑖4𝑖𝑠−𝐻𝑖3=

𝑚𝑎.𝐶𝑝(𝑇𝑖4−𝑇𝑖3)

𝑚𝑎.𝐶𝑝(𝑇𝑖4𝑖𝑠−𝑇𝑖3) =

𝑇𝑖4−𝑇𝑖3

𝑇𝑖4𝑖𝑠−𝑇𝑖3=


𝑇𝑖3(𝑇𝑖4𝑖𝑠𝑇𝑖3

−1) =



−1

Or :

𝑇𝑖4𝑖𝑠

𝑇𝑖3=(

𝑃𝑖4

𝑃𝑖3)

𝛾−1

𝛾 ⟹ 𝜂𝑖𝑠.𝑡 =

𝑇𝑖4 𝑇𝑖3

− 1


𝛾−1𝛾 − 1

………………….(199)

En posant : 𝛱𝑖′ =𝑃𝑖4

𝑃𝑖3 et 𝜏𝑖′ =

𝑇𝑖4

𝑇𝑖3 On obtient :

𝜂𝑖𝑠.𝑡 =𝜏𝑖𝑡−1

𝛱𝑖𝑡

𝛾−1𝛾 – 1

……………….…(200)



Taux de détente d’une transformation réelle.

𝜂𝑖𝑠.𝑡 =𝜏𝑖𝑡−1

𝛱𝑖𝑡

𝛾−1𝛾 – 1

⟹ 𝛱𝑖𝑡𝛾−1

𝛾 – 1= 𝜏𝑖𝑡−1

𝜂𝑖𝑠.𝑡 ⟹ 𝛱𝑖𝑡

𝛾−1

𝛾 = 1 + 𝜏𝑖𝑡−1

𝜂𝑖𝑠.𝑡

Ce qui donne : 𝛱𝑖𝑡 = 𝑃𝑖4

𝑃𝑖3 = (1 +

𝜏𝑖′−1

𝜂𝑖𝑠.𝑡)

𝛾

𝛾−1 ……………………(201)

Rendement polytropique de détente :

ηp.t = 𝑊𝑖

𝑊𝑝𝑜𝑙 =

𝛾

𝛾−1 𝑃𝑖3𝜌𝑖3 (Π𝑖𝑡

𝑛−1𝑛 −1)

𝑛 𝑃𝑖3.

(𝑛−1) 𝜌𝑖3 (Π𝑖𝑡

𝑛−1𝑛 −1)

= 𝛾

𝛾−1 .𝑛−1

𝑛 ………….(202)

Indépendant du taux de détente

Le rapport entre les deux rendements 𝜂𝑖𝑠𝑐 et 𝜂𝑝𝑐 donne :

𝜂𝑖𝑠𝑡

𝜂𝑝𝑡 =

𝑊𝑖

𝑊𝑖𝑠.𝑡×𝑊𝑝.𝑡

𝑊𝑖=

𝑊𝑝.𝑡

𝑊𝑖𝑠.𝑡

𝜂𝑖𝑠𝑐

𝜂𝑝𝑐=

𝑛 𝑃𝑖3.

(𝑛−1) 𝜌𝑖3 (Π𝑖𝑡

𝑛−1𝑛 −1)

𝛾

𝛾−1 𝑃𝑖3𝜌𝑖3 (Π𝑖𝑡

𝑛−1𝑛 −1)

=

𝑛

𝑛−1 (Π𝑖𝑡

𝑛−1𝑛 −1)

𝛾

(𝛾−1) (Π𝑖𝑡

𝛾−1𝛾 −1)

⟹ 𝜂𝑖𝑠𝑐 = 𝜂𝑝𝑐

𝑛

𝑛−1 (Π

𝑖𝑡

𝑛−1𝑛 −1)

𝛾

𝛾−1 (Π𝑖𝑡

𝛾−1𝛾 −1)

……….(203)

𝜂𝑖𝑠𝑐= 𝑛−1

𝑛 .

𝛾

𝛾−1.𝛾−1

𝛾.𝑛

𝑛−1.(Π𝑖𝑡

𝑛−1𝑛 −1)

(Π𝑖𝑡

𝛾−1𝛾−1)

= Π𝑖𝑡

𝑛−1𝑛 −1

Π𝑖𝑡

𝛾−1𝛾−1

………..(204)

Or : 𝜂𝑝𝑐 =𝛾

𝛾−1 .𝑛−1

𝑛 ⟹

𝑛−1

𝑛 = 𝜂𝑝.𝑡

𝛾−1

𝛾 .

⟹ 𝜂𝑖𝑠𝑡=Π𝑖𝑡

𝜂𝑝.𝑡 𝛾−1

𝛾 −1

Π𝑖𝑐

𝛾−1𝛾 .−1

………….(205)



IV.6 : La tuyère.

IV.6.1 : Définition.

Le rôle de la tuyère est de poursuivre la détente de la turbine et de

transformer l'énergie potentielle en énergie cinétique. Cette transformation

procure une poussée (le reste de la poussée provenant du moteur et de la prise

d'air). L'arrière-corps est la partie externe de la tuyère.

Pour les avions subsoniques, les tuyères sont convergentes ; les flux primaire

et secondaire peuvent être séparés, confluents ou mélangés.

Pour les avions supersoniques, les tuyères sont convergentes-divergentes.

Les sections du col et de sortie sont réglables de manière à assurer un bon

fonctionnement de la tuyère dans tout le domaine de vol (subsonique,

supersonique avec et sans réchauffe).

D’après la relation d’HYGONIOT, 𝑑𝑆

𝑆=

𝑑𝑉

𝑉(𝑀2 − 1)

Avec : S : section de la tuyère.

V : vitesse des gaz.

On a :

Pour M <0 𝑉 ↗ dans un convergent.

V ↘ dans un divergent.

Pour M >0 V ↘ dans un convergent.

V ↗ dans un divergent.

Figure n° 23 : Tuyère photo



IV.6.2 Tuyères convergentes.

La plus part des aéronefs n’étaient équipés que des tuyères simplement

convergentes (avions civils et avion de transport). Nous nous contentons dans cette

étude, que des tuyères convergentes. Les tuyères convergentes- divergentes seront

traitées dans le cours de turboréacteurs (master 1).

Pour P0= cte :

Si Pi = P0 (débit massique nul).

Si Pi >P0, on faisant croitre Pi, la différence Pi – P0 augmente ⟹ la vitesse

de sortie augmente jusqu'à la valeur critique Vc = ac ( M=1) à la

Sortie de la tuyère.

Ce qui donne d’après la relation : 𝑃𝑖 = 𝑃. (1 + 𝛾−1

2. 𝑀2)

𝛾

𝛾−1……………..(206)

𝑃𝑖

𝑃0= 𝑟𝑐 = (

𝛾+1

2)

𝛾

𝛾−1= 1.893 ≈ 1.9………………………………….(207)

On appelle le rapport 𝑃𝑖

𝑃0= 𝑟𝑐 lorsque M =1, le rapport critique.

Dans ce cas, on dit que P0 est la pression critique et on la note Pc ( P0= Pc )

𝑟𝑐 = 𝑃𝑖

𝑃𝑐 ≈ 1.9

Fonctionnement pratique.

Dans la pratique, le rapport réel rr ≠rc

Espace amont Espace aval

Pi

Ti

V=0 col

tuyère

P0



3 cas se présentent:

𝒓𝒓= 𝑷𝒊𝟓

𝑷𝟓=

𝑷𝒊𝟓

𝑷𝟎 < 𝒓𝒄 =

𝑷𝒊𝟓

𝑷𝒄 → M5 <1………………………...(208)

Pour un rapport 𝑃𝑖5

𝑃0 donné, on peut calculer M5 à la sortie de la tuyère

avec la relation de SAINT VENANT.

On a dans ce cas :

- Débit masse n’est pas maximal.

- Tuyère n’est pas sonique.

- Ecoulement subsonique.

- Pression statique au col P5 égale à la pression atmosphérique P0

(P5 = P0) détente complète.

On dit que la tuyère est adaptée. Rencontré dans les faibles régimes

(ralenti sol – ralenti vol).


𝑷𝟓=

𝑷𝒊𝟓

𝑷𝟎 = 𝒓𝒄 =

𝑷𝒊𝟓

𝑷𝒄 → M5 =1…….……………….(209)

On a dans ce cas :

- Vitesse maximale.

- Débit masse maximal.

- Poussée maximale.

- Tuyère adaptée dans la plus part des cas.

- Correspond au régime maximal du moteur.

Rencontré pour des régimes proches du régime de décollage.


𝑷𝟓 > 𝒓𝒄 =

𝑷𝒊𝟓

𝑷𝒄 → M5 >1……………………………(210)

Ce n’est pas possible avec une tuyère convergente d’après la relation

d’HUGONIOT. Nous aurons forcement en section de sortie tuyère :

M5 =1 avec : 𝑃𝑖5

𝑃5 = 𝑟𝑐

Tuyère sonique à l’intérieur de laquelle la détente est incomplète.(P5>P0)

Dans ce cas, la détente n’est pas terminée en sortie tuyère et elle se

poursuivra à l’extérieur par une succession d’ondes de détente et de

chocs jusqu'à la pression atmosphérique.



En résumé :

r < rc Tuyère adaptée M5<1

r = rc Tuyère le plus souvent adaptée M5=1

r > rc Détente incomplète (P5 >P0)


Le Premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert donne :

[𝑊𝑇 + 𝑄]45 = [∆𝐻 + ∆𝐸𝐶 + ∆𝐸𝑝]4

5 = (𝐻5 − 𝐻4) +

1

2(𝑉5

2 − 𝑉42) + 𝑔(𝑧5 − 𝑧4)

𝑊𝑇 =0 (pas de travail technique dans le diffuseur).

Q=0 (évolution supposée adiabatique).

∆𝐸𝑝=0 (pas de dénivellation).

𝐻5 − 𝐻4 +1

2(𝑉5

2 − 𝑉42) = 0 ou

𝐻4 − 𝐻5 = 1

2(𝑉5

2 − 𝑉42) Conversion de l’enthalpie en énergie cinétique.

On peut écrire également : (𝐻5 +1

2. 𝑉5

2) − (𝐻4 +1

2. 𝑉4

2) = 0 ou :

𝐻4 +1

2. 𝑉4

2 =𝐻5 +1

2. 𝑉5

2 = 𝐻 +1

2𝑉2 = cte

Le terme 𝐻 +1

2𝑉2 = Hi = cte Enthalpie totale.

Soit 𝐻𝑖4 = 𝐻𝑖5 Conservation de l’enthalpie totale.

Pour un gaz parfait, H= Cp.T ⟹ 𝐶𝑝𝑔(𝑇5−𝑇4) +1

2(𝑉5

2 − 𝑉42) = 0

Ou encore, 𝐶𝑝𝑔𝑇4 +1

2. 𝑉4

2 = 𝐶𝑝𝑔𝑇5 + 1

2. 𝑉5

2 = 𝐶𝑝 . 𝑇 +1

2𝑉2 = 𝐶𝑝. (𝑇 +

𝑉2

2.𝐶𝑝) = 𝑐𝑡𝑒

Or : V = M .a et a =√𝛾. 𝑟. 𝑇 ⟹ 𝑉2 = 𝑀2. 𝑎2= M2 .γ .r.T

Et 𝐶𝑝 =𝑟.𝛾

𝛾−1

Tuyère adaptée P5 = P0



D’où : 𝐶𝑝 (𝑇 +𝑀2 .𝛾 .𝑟.𝑇.(𝛾−1)

2.𝑟.𝛾) = 𝐶𝑝.T (1 +

𝛾−1

2. 𝑀2) = 𝑐𝑡𝑒

Or : 𝑇𝑖 = 𝑇 (1 +𝛾−1

2. 𝑀2) ⟹ 𝐶𝑝𝑎 . 𝑇𝑖 = 𝑐𝑡𝑒 Ou : 𝑇𝑖 = 𝑐𝑡𝑒

Ou encore :

𝑇𝑖4 = 𝑇𝑖5 = 𝑐𝑡𝑒 Conservation de la température d’impact

Si de plus, l’évolution est réversible (sans pertes) la 2ème loi de poisson donne :

T.𝑃1−𝛾

𝛾 = cte ou 𝑇

𝑃𝛾−1𝛾

= cte

Or : T = 𝑇𝑖

1+𝛾−1

2.𝑀2

et P = 𝑃𝑖

(1+𝛾−1

2.𝑀2)

𝛾𝛾−1

En remplaçant dans la loi de poisson, on obtient :

𝑇𝑖

1+𝛾−1

2.𝑀2

.1

[𝑃𝑖

(1+𝛾−12 .𝑀2)

𝛾𝛾−1

]

𝛾−1𝛾

= 𝑇𝑖

1+𝛾−1

2.𝑀2.1

𝑃𝑖

𝛾−1𝛾

. (1 +𝛾−1

2. 𝑀2) =

𝑇𝑖

𝑃𝑖

𝛾−1𝛾

=𝑇𝑖 . 𝑃𝑖

1−𝛾

𝛾= cte

Comme Ti = cte , cela entraine si l’évolution est réversible Pi = cte

Ou : Pi4 = Pi5 = cte Conservation de la pression totale.

Conditions atmosphériques.

Entre 0 et 11000 m ( Troposphère)

Température T en fonction de l’altitude z.

𝑇(𝑧) = 𝑇𝑠𝑜𝑙 –𝑘−1

𝑘.𝑟. 𝑔. 𝑧 = 15 – 0.0065 z

Pression P en fonction de l’altitude z.

𝑃(𝑧) = 𝑃𝑠𝑜𝑙 (1 −𝜌𝑠𝑜𝑙.𝑔.𝑧

𝑃𝑠𝑜𝑙(𝑘−1

𝑘))

𝑘

𝑘−1

Masse volumique ρ en fonction de z.



ρ(z) = 𝑃(𝑧)

𝑟.𝑇(𝑧) Avec : k =1.235 r= 287 j/kg°K

Chapitre V : Les organes du turboréacteur et leur fonction.

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