Chapitre 1 : Introduction Chapitre 2 : Processus Chapitre 3 ...
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Chapitre 3
La loi normaleUniversite de Paris Ouest
20122013
Chapitre 3 20122013
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Sommaire
1 Le modele de la loi normaleUn exempleProprietes de la loi normale
2 Calculs pratiques
Chapitre 3 20122013
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Un exemple pour commencer : Test de memoire
Etude de la capacite de memoiredadultes atteints dune maladie
neurologique.Chaque individu lit 30 mots et doit ensuite en reciter le plus possible.
PopulationP= { patients atteints de la maladie} Variable quantitative X= nombre de mots retenus
2 parametres , .
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
La courbe en cloche
En sciences humaines on observe souvent des distributions
plutot symetriques autour de
avec une forme de cloche
Chapitre 3 20122013
L d l d l l l C l l
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
La courbe en cloche
En sciences humaines on observe souvent des distributions
plutot symetriques autour de
avec une forme de cloche
Pour pouvoir faire des calculs, on va parfois supposer que Xsuit unedistribution modele, appelee Loi normale.
Chapitre 3 20122013
L d l d l l i l C l l ti
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Premieres proprietes de la loi normale
Si X suit cette distribution modele, on lui associe une courbe :
courbe symetrique par rapport a
forme de cloche
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Premieres proprietes de la loi normale
Si X suit cette distribution modele, on lui associe une courbe :
aire grisee = P(X z)
z
courbe symetrique par rapport a
forme de cloche
laire grisee represente la proportion cumulee
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque , , il existe une loi normale de moyenne etdecart-type .
On la noteN(, ).
Cas particulier= 0 et = 1 : loi normale centree/reduite.
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque , , il existe une loi normale de moyenne etdecart-type .
On la noteN(, ).
Cas particulier= 0 et = 1 : loi normale centree/reduite.
Lorsque lon suppose quune variable X suit le modele de la loi normale
N(, ), on ecritX N(, ) .
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avec moyennes differentes, meme ecart-type :
3-1
N(3,1)N(1, 1)
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
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p q
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avec moyennes differentes, meme ecart-type :
3-1
N(3,1)N(1, 1)
Exemples de lois normales avec meme moyenne, ecart-types differents :
3
N(3,
1)
N(3,2)
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Pour les plus matheux : lequation de la courbe
Pour la tracer a la calculatrice/ordinateur,
y= 1
2exp
(x )222
.
Cette formule nest pas utile pour ce cours !
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Exemple : QI
Etude sur le QIde 515 enfants du meme age, = 100, 1, = 5, 7.
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Exemple : QI
Etude sur le QIde 515 enfants du meme age, = 100, 1, = 5, 7.
En rose, courbe de la loi normaleN(= 100, 1; = 5, 7).
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Loi normaleN(, ) : a retenir
distribution modele pour des variables quantitatives continues moyenne , ecart-type
allure de la courbe :
aires = proportions cumulees
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Sommaire
1 Le modele de la loi normale
2 Calculs pratiques
Loi normale centree/reduiteLoi normale quelconqueQuantiles
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1)
ExempleOn suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on ecrit aussi F(1, 56)).
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1)
ExempleOn suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on ecrit aussi F(1, 56)).
0
aire grisee = F(1, 56)
1, 56
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1)
ExempleOn suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on ecrit aussi F(1, 56)).On cherche1,56dans la table :
. . . 0, 06 . . ....
1, 5 . . . 0.9406 . . ....
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1)
ExempleOn suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 56 ?On cherche P(X 1, 56) (rappel : on ecrit aussi F(1, 56)).On cherche1,56dans la table :
. . . 0, 06 . . ....
1, 5 . . . 0.9406 . . ....
Donc P(X 1, 56) = 0, 9406.Pour 94, 06 % des individus, la variable X est inferieure a 1, 56.
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1)
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 49 ?On cherche P(X 1, 49).
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1)
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 49 ?On cherche P(X 1, 49). On ecrit dabord
P(X
1, 49) = 1
P(X
1, 49) = 1
F(1, 49)
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1)
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 49 ?On cherche P(X 1, 49). On ecrit dabord
P(X
1, 49) = 1
P(X
1, 49) = 1
F(1, 49)
On cherche1,49dans la table.
. . . . . . 0, 09...
1, 4 . . . . . . 0.9319...
Donc P(X 1, 49) = 0, 9319.Soit P(X
1, 49) = 1
0.9319 = 0.0681.
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1) : valeurs negatives
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 1 ?
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N
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1) : valeurs negatives
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 1 ?On cherche P(X 1, 1), cest-a-dire F(1, 1).
0-1, 1
P(X 1, 1)
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/ N ( )
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1) : valeurs negatives
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 1 ?
0-1, 1 1, 1
P(X 1, 1)P(X 1, 1)
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L i l / d i N (0 1) l i
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1) : valeurs negatives
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(0, 1). Pour quelle proportiondindividus est-ce que X 1, 1 ?
0-1, 1 1, 1
P(X 1, 1)P(X 1, 1)
Mais on sait traiter les > :
P(X 1, 1) = 1 P(X 1, 1) = 1 0, 8643.Finalement, P(X
1, 1) = 0, 1357.
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L i l / d i N (0 1) l i
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Loi normale centree/reduiteN(0, 1) : valeurs negatives
A retenir :F(a) = 1 F(a)
0-1, 1 1, 1
P(X 1, 1)P(X 1, 1)
par exemple : F(1, 1) = 1 F(1, 1).
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
C l l l N (0 1) t l
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Calculs avec laN(0, 1), tous les cas
Pour nimporte quel a >0,
I P(X a)0 a
table
II P(X a)0 a
= 10 a
cas I
III P(X a)0-a
=0 a
cas II
IV P(X a)0-a
=0 a
cas I
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L i l l N ( )
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Loi normale quelconqueN(, )
Pour faire des calculs avec uneN(, ), on se ramene a la loiN(0, 1).
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Loi normale quelconque N ( )
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Loi normale quelconqueN(, )
Pour faire des calculs avec uneN(, ), on se ramene a la loiN(0, 1).
Theoreme
Si X N(, ) alors X
N(0, 1)
On dit que lon centre et reduit X
.
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Loi normale quelconque N ( )
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Loi normale quelconqueN(, )
Pour faire des calculs avec uneN(, ), on se ramene a la loiN(0, 1).
Theoreme
Si X N(, ) alors X
N(0, 1)= Z.
On dit que lon centre et reduit X
.
On utilise la lettre Z pour designer une loi normale centree/reduite.
Chapitre 3 20122013
Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Un exemple avec une N (11; 2)
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Un exemple avec uneN(11; 2)
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(11; 2). Pour quelleproportion dindividus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14).
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Un exemple avec une N (11; 2)
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Un exemple avec uneN(11; 2)
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(11; 2). Pour quelleproportion dindividus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14). On centre et on reduit X : X11
2
N(0, 1).
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Un exemple avec une N (11; 2)
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Un exemple avec uneN(11; 2)
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(11; 2). Pour quelleproportion dindividus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14). On centre et on reduit X : X11
2
N(0, 1).
P(X 14) = P
X 112 14 11
2
= P(Z
1, 5)
On cherche 1, 5 dans la table.
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Un exemple avec une N (11; 2)
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Un exemple avec uneN(11; 2)
Exemple
On suppose quune certaine variable X N(11; 2). Pour quelleproportion dindividus est-ce que X 14 ?On cherche P(X 14). On centre et on reduit X : X11
2
N(0, 1).
P(X 14) = P
X 112 14 11
2
= P(Z
1, 5)
On cherche 1, 5 dans la table.
On trouve finalement P(X 14) = 0, 9332.
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Quantile > 50% dune N (0, 1)
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Quantile >50% d uneN(0, 1)
Exemple
On cherche le quantile a 97, 5% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 975.
Chapitre 3 20122013
Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Quantile > 50% dune N (0, 1)
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Quantile >50% d uneN(0, 1)
Exemple
On cherche le quantile a 97, 5% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 975.On lit la table a lenvers :
. . . 0, 06 . . ....
1, 9 . . . 0.9750 . . ....
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Quantile >50% duneN(0, 1)
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Q > % N ( , )
Exemple
On cherche le quantile a 97, 5% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 975.On lit la table a lenvers :
. . . 0, 06 . . ....
1, 9 . . . 0.9750 . . ....
Donc P(X
1, 96) = 0, 9750.
Le quantile recherche est donc 1, 96.
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Quantile >50% duneN(0, 1)
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Q ( , )
Exemple
On cherche le quantile a 97, 5% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 975.On lit la table a lenvers :
. . . 0, 06 . . ....
1, 9 . . . 0.9750 . . ....
Donc P(X 1, 96) = 0, 9750.Le quantile recherche est donc 1, 96.
Notation
Le quantile dordre pour la loi normale centree/reduite est note z.Par exemple, z0,975= 1, 96.
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Quantile
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( , )
Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 14.
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Le mo dele de la loi normale Calculs pratiques
Quantile
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( )
Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 14.Il ny a pas de nombre
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Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 14.Il ny a pas de nombre
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Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 14.Il ny a pas de nombre
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Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0, 1).Cela revient a trouver a tel que P(Z a) = 0, 14.Il ny a pas de nombre
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A retenir :z = z1
0
0, 14
-1, 08
0, 14
z0,86 = 1, 08
par exemple : z0,14 = z0,86.
Chapitre 3 20122013
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Quantile dune loi normale quelconque
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Notons Q
le quantile dordre alpha dune loi normale quelconqueN(, ).
A retenir :Q = +
z.
On dereduit et on decentre le quantile de la loi normalecentree/reduite.
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Quantile dune loi normale quelconque
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Notons Q
le quantile dordre alpha dune loi normale quelconqueN(, ).
A retenir :Q = +
z.
On dereduit et on decentre le quantile de la loi normalecentree/reduite.
ExerciceQuel est le quantile a 90% pour une loi normaleN(11, 2) ?
Chapitre 3 20122013