Chapitre 4 :

LE CALCUL LiTTERAL

Chapitre 4 : LE CALCUL LiTTERAL

Pourquoi utiliser des lettres ? Comment travailler des expressions avec des lettres ? Comment développer une expression ? Les 3 développements particuliers.

?...1x … -13y …( )…+…-…?...1x … -13y …( )…+…-………-3(2x+5) …-(5x-7) …- -3(2x+5) …-(5x-7) …-

2+6x-3 …?2+6x-3 …?

POURQUOI UTILISER DES LETTRES ?

une porte

une fenêtre

70 cm 90 cm

on veut la même mesure mais on ne connaît pas la valeur : on nomme cette valeur inconnue x

x xx

Quelle est la longueur totale de la façade ?

L = x + 70 + x + 90 + x

Si on assemble ce qui se ressemble :

L = 3 x + 160 expression littérale donnant la longueur de la façade

COMMENT TRAVAILLER DES EXPRESSIONS AVEC DES LETTRES ?

QUELQUES PRINCIPES.

2 + 3 = 5 - 2 – 3 = - 5 pas de problème : calcul numérique

2 x veut dire 2 x

"deux x" "2 multiplié par x"

2 x + 4 x =

deux x + quatre x =

comme 2 cacahuètes + 4 cacahuètes = 6 cacahuètes

2 x + 3 on ne peut plus rien faire car on ne peut assembler que ce qui seressemble

6 x

six x

2 ( 3 x – 3 ) veut dire 2 x ( 3x – 3 )

deux facteurs de ( 3x – 3 )

« 2 multiplié par le paquet ( 3 x - 3 ) »

x

c'est aussi: "un x"

ou 1 x

ou x 1

ou x1

x × x =

2 x × 3 x =

x 2

= 6 x 22 × 3 × x × x

UN PEU DE VOCABULAIRE.

2x + 5 une somme de 2 termes

2 ( x + 5 ) un produit de 2 facteurs

Ll

périmètre du rectangle:

P = 2 L + 2 l

forme développée = somme de termes

ou

P = 2 ( L + l )

forme factorisée = produit de facteurs

COMMENT DÉVELOPPER UNE EXPRESSION ?

2 ( x + 3 ) c'est un produit de 2 facteursProblème: mettre sous forme d'une somme de termes

1er exemple :

2 ( x + 3 ) c’est-à-dire 2 x ( x + 3 )

distribuer la multiplication sur les 2 termes de la somme entre parenthèses:ou appliquer la multiplication sur ………en fait: 2 fois le paquet ( x + 3 ) c'est la même chose que: 2 fois chaque élément du paquet

= 2 x ( x + 3 )

= 2 x

= 2 x + 6

+ 2 3

avant chaque multiplication régler les problèmes de signes:Rappels : (+) (+) + et (-) (-) + (+) (-) - et (-) (+) -

2ème exemple :

- 2 ( 2 x – 5 ) c’est-à-dire - 2 ( 2 x – 5 )

= - 2 ( 2 x – 5 )

= - 2 ( + 2 x – 5 )

= -2 2 x + 2 5

= - 4 x + 10

3ème exemple :

( 3 x – 2 ) ( 2 x – 5 )

distribuer la multiplication sur les 2 termes de la somme entre parenthèses:2 fois de suiteen fait: 3 x fois le paquet ( 2 x – 5 ) puis - 2 fois le paquet ( 2 x – 5 )

= ( 3 x – 2 ) ( 2 x – 5 )

= += 6

= 6 x 2

= + 3 x ( + 2 x – 5 ) – 2 ( + 2 x – 5 )

15 x 4 x 10

– 19 x + 10

3 x 2 x-3 x 5 - 2 2 x+2 5– – +x 2

réduire l’expression et ordonner l’expression:en fait : assembler tout ce qui se ressembleles x² entre eux, les x entre eux et les non x entre euxet les ranger dans cet ordre

Aire du même carré

LES 3 DEVELOPPEMENTS PARTiCULiERSle premier :

a + ba b

a + b

a

b

Aire du carré

( a + b ) ( a + b )

= ( a + b ) 2(3 + 2) 2 = 5 2 =

25

a b

a

b

a a = a 2 a b = a

b

a b = a b

b b = b 2

3 2 = 93 2 = 6

3 2 = 6

2 2 = 4

Total: 9 + 2 6 + 4 = 25

( a + b ) 2 = a 2

principe:

( + ) 2 = 2 + 2 + 2… … … … … …

+ 2 a b 2 b+

1ère identité remarquable

Applications: identité n° 1

( x + 4 ) ² =

( 5 x + 3 ) ² =

= 25 x ²

x ² + 2 x 4+ 4 ²

(5 x ) ²+ 2 5 x 3+ 3 ²

+ 30 x + 9

= x ² + 8 x + 16

a

a - b b

a a - b

b

le deuxième :

Aire du carré

(5 - 2) 2 = 3 2 = 9

( a - b ) ( a - b )

= ( a - b ) 2

b

5 2 = 25

5 2 = 10a

a

bAire du même carré

a a = a 2

extérieur a b = a b à retrancher

a b = a b à retrancher5 2 = 10

b b = b 2

trop retranché2 2 = 4

Total: 25 - 2 10 + 4 = 9

( a - b ) 2 = a 2

principe:

( - ) 2 = 2 - 2 + 2… … … … … …

- 2 a b 2 b+

2ème identité remarquable

Applications: identité n° 2

( x - 7 ) ² =

( 4 x – 6 ) ² =

= 16 x ²

x ² - 2 x 7 + 7 ²

(4 x ) ²- 2 4 x 6 + 6 ²

- 48 x + 36

= x ² - 14 x+ 49

le troisième :

( a + b ) ( a- b ) a × a = - a × b + a × b – b × b

= a 2 - b 2

)( a + b ) ( a – b = a 2 - b 2

principe:

-( + ) ( ) = 2 - 2 … … …… … …

3ème identité remarquable

Applications: identité n° 3

( x + 2 ) ( x - 2 ) =

= x 2 - 4

( 3 x + 5 ) ( 3 x - 5 ) =

= 9 x ² - 25

(3 x ) ² - 5 ²

x ² - 2 ²

Roland OPPE