Chapitre 4 Introduction à l'électrocinétique...

Chapitre 4

Introduction à l'électrocinétique

Contents

1 Charge électrique, intensité du courant 31.1 Les diérents porteurs de charges, les diérents types de conducteurs . . . . . . . . . . . 3

1.2 Conservation de la charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Le courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Mesure du courant électrique, choix d'une orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Potentiel, référence de potentiel, tension 42.1 Énergie potentielle, potentiel électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 La tension : une diérence de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 La masse : une référence de potentiel. Potentiel en un point . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Approximation des régimes quasi-stationnaires et lois de Kirchho 53.1 Régime continu, régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Approximation des régimes quasi-stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Conséquence 2 : Première loi de Kirchho, la loi des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Conséquence 3 : Deuxième loi de Kirchho, la loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Puissance absorbée par un dipôle 84.1 Dipôle électrique, un composant avec deux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Puissance eectivement consommée par un récepteur, puissance eectivement fournie parun générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Puissance reçue par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.4 Choix d'une convention d'orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.5 Puissance consommée ou fournie par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Caractéristique tension-courant des dipôles 105.1 Caractéristique d'un dipôle : la donnée de la fonction U=f(I) . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Dipôles symétriques, dipôles polarisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.3 Dipôle passif, dipôle actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4 Utilisation de la caractéristique pour déterminer un point de fonctionnement . . . . . . . 12

6 Dipôles linéaires usuels 136.1 Dipôle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2 Le conducteur ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3 Le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.4 Bobine idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.5 Les sources de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.6 Travaux dirigés : Les sources de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.7 Conséquence de la linéarité des dipôles et des lois de Kirchho : le théorème de superposition 16

6.8 Loi des noeuds en terme de potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

MPSI Chapitre 4 - Introduction à l'électrocinétique 2018-2019

7 Associations de résistance 177.1 Association en série de résistors : la somme des résistances . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.2 Association en parallèle de résistors : la somme des conductances . . . . . . . . . . . . . 18

7.3 Le diviseur de tension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7.4 Le diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.5 Résistance de sortie d'un générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.6 Résistance d'entrée et/ou de sortie d'un dipôle ou d'un quadripôle . . . . . . . . . . . . . 20

7.7 Association série et parallèle de bobines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.8 Association série et parallèle de condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Les prérequis du lycée

• Tension électrique, courant électrique

• Loi d'Ohm

• Diérence entre puissance et énergie

• Eet Joule

Les prérequis de la prépa

• Signaux sinusoïdaux

• Ondes progressives sinusoïdales

• Longueur d'onde, fréquence, pulsation

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1 Charge électrique, intensité du courant

1.1 Les diérents porteurs de charges, les diérents types de conducteurs

(Prise de note)

Résumé :Propriétés de la charge électrique :

• La charge électrique peut être positive ou négative : c'est un scalaire relatif.

• La charge électrique est quantiée : c'est un multiple de la charge élémentaire e =1, 6.10−19 C.

• La charge électrique est une quantité extensive.

• La charge est invariante par changement de référentiel.

• La charge est conservative (détail plus loin).

1.2 Conservation de la charge électrique

La charge électrique ne peut être ni créée, ni détruite : la conservation de la charge est uneloi fondamentale de la physique.

1.3 Le courant électrique

♦ Dénition : Un courant électrique est un déplacement d'ensemble de particuleschargées appelées porteurs de charges.

Le sens conventionnel du courant électrique

♦ Dénition : Le sens conventionnel du courant est celui des porteurs de charges posi-tives.

Intensité du courant électrique

(prise de notes)

♦ Dénition : L'intensité du courant électrique i à travers une surface S orientée est laquantité de charge électrique traversant cette surface par unité de temps :

i(t)=δq

dt.

L'intensité du courant s'exprime en ampère, de symbole A.

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Application 1 : Courant électrique et débit d'électrons

Si i = 10 mA dans un conducteur métallique de section S, quel est le nombre d'électrons N quitraversent cette section par seconde ?

Intensité Dispositif# 1µA Montre à quartz# 1 mA Seuil de perception ; faisceau d'électrons

# 10 mA Composants au labo' d'élec'# 100 mA Électrocution ! Lampe de poche

# 1 A Ampoule à incandescence# 10 A Radiateur électrique

# 100 A Démarreur automobile# 1 kA Motrice de locomotive

# 10 kA Génératrice EDF# 100 kA Cuve à électrolyse (industrie chimique)

1.4 Mesure du courant électrique, choix d'une orientation

Mesure du courant à l'aide d'un ampèremètre

(prise de notes)

Orientation du courant

(prise de notes)

2 Potentiel, référence de potentiel, tension

2.1 Énergie potentielle, potentiel électrique

(prise de notes)♦ Dénition : Le potentiel électrique Vp en un point P d'un circuit électrique est dénipar

Epe=qVPoù Epe est l'énergie potentielle du porteur de charge au point P , et q sa charge électrique.Le potentiel électrique s'exprime en volt, noté V.

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2.2 La tension : une diérence de potentiel

(prise de notes)♦ Dénition : On appelle tension (électrique), notée uAB, la diérence de potentielentre A et B. Elle s'exprime, comme le potentiel, en volts (V).

uAB = VA − VBPar convention, la tension UAB entre les points A et B se représente dans un schéma électriquepar une èche dirigée vers le point A.

UAB

A B

Tension Dispositif# 1 mV Montre à quartz ; calculatrice

# 100 mV Polarisation membranaire# 1 V Piles du commerce (1, 5 V, 4, 5 V, 9 V)

# 10 V Batterie d'accumulateurs (6 V, 12 V, 24 V) ; électrocution 25 V !# 100 V Tension du réseau (230 V, 380 V)# 1 kV Ligne moyenne tension

# 10 kV Alimentation du TGV ; ligne à haute tension# 100 kV ligne à très haute tension (400 kV)

# 100 MV d.d.p entre la Terre et les nuages lors d'un orage

2.3 La masse : une référence de potentiel. Potentiel en un point

(prise de notes)♦ Dénition : La masse signal, notée est une référence arbitraire des potentiels ducircuit.Par convention, son potentiel vaut 0 V.

3 Approximation des régimes quasi-stationnaires et lois de

Kirchho

3.1 Régime continu, régime variable

♦ Dénition : Si les grandeurs courants et tensions sont constantes dans le temps, nousparlerons de régime constant ou indépendant du temps.Les grandeurs sont alors généralement notées en majuscule : U , I.

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3.2 Approximation des régimes quasi-stationnaires

(prise de notes)L'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) revient à négliger tous leseets liés à la propagation des signaux électromagnétiques sous forme de tension ou decourant. Conditions de l'ARQS pour un signal sinusoïdal :

λ l ⇔ T τ ⇔ f 1

τavec τ =

l

c

• l est la dimension caractéristique du circuit (longueur d'un l de connexion).

• τest la durée caractéristique de propagation des signaux.

• T est la période du signal sinusoïdal, f = 1T

sa fréquence et λ = cT sa longueurd'onde.

Application 2 : ARQS au laboratoire

En pratique, au laboratoire, l#1 m. Jusqu'à quelle fréquence f peut-on monter tout en restant dansl'ARQS ?

Conséquence 1 : le courant est uniforme dans une branche

(prise de notes)Dans l'ARQS, l'intensité du courant électrique est la même en tout point d'un circuitsans dérivation.

3.3 Conséquence 2 : Première loi de Kirchho, la loi des noeuds

(prise de notes)Loi des noeuds

i1

i2i3

i4

i5i6

Pour un noeud donné : ∑k

εkik = 0

où εk vaut 1 pour les courants arrivant au noeud, et -1 pourceux qui en repartent.

Application 3 : Détermination d'un courant

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1 Nommer les n÷uds du circuit.

2 Préciser les éléments en parallèle et ensérie.

3 Calculer, i1, i3 et i4.

3.4 Conséquence 3 : Deuxième loi de Kirchho, la loi des mailles

Loi des mailles

Pour une maille orientée donné :∑k

εkuk = 0

où εk vaut 1 pour les tensions uk orientées dans le sens de la maille,-1 pour celles orientées dans le sens contraire.

(prise de notes)

Corollaire : loi d'additivité des tensions (ou relation de Chasles) :Si A, B et C sont trois points d'un circuit, alors : uAC = uAB + uBC .

Application 4 : Loi des mailles

1 Nommer les tensions U1, U2 et U3 et U4 en fonction des lettres A, B, C, D et E.

2 Calculer les tensions U1, U2 et U3 et U4.

3 On décide que VB = 0 pour ce circuit. Que représente alors B ?

4 Calculer les potentiels des points A, C, D et E.

.

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4 Puissance absorbée par un dipôle

4.1 Dipôle électrique, un composant avec deux bornes

♦ Dénition : Un dipôle est un composant électronique possédant deux bornes d'accès.La représentation générique d'un dipôle est un rectangle.

D

4.2 Puissance eectivement consommée par un récepteur, puissance ef-fectivement fournie par un générateur

♦ Dénition : Un dipôle capable de fournir eectivement de la puissance au circuit estun générateur.Un dipôle consommant eectivement de la puissance est un récepteur.

4.3 Puissance reçue par un dipôle

A BD

iAB

(Démonstration à comprendre)

4.4 Choix d'une convention d'orientation

(Prise de note)

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• Du point de vue du générateur, les èches courant i et tension u sont orientées dansle même sens. C'est la convention générateur. Le produit ui représente alors lapuissance fournie par le dipôle au circuit.

U

i

convention générateur

• Du point de vue du récepteur, les èches courant et tension sont orientées dans le senscontraire. C'est la convention récepteur. Le produit ui représente alors la puissancereçue par le dipôle de la part du circuit.

u

i

convention récepteur

4.5 Puissance consommée ou fournie par un dipôle

convention générateur convention récepteur(P =puissance fournie) (P =puissance reçue)

comportement générateur P = ui > 0 P = ui < 0(fournit e. de la puissance)comportement récepteur P = ui < 0 P = ui > 0

(consomme e. de la puissance)

Application 5

Soit le dipôle inconnu suivant :

D

U

I

1 Quelle convention a été choisie ?

2 Sachant que U = −0, 6 V et I = 30 mA, quelle est la puissance délivrée par ce dipôle ? En déduireson fonctionnement.

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5 Caractéristique tension-courant des dipôles

5.1 Caractéristique d'un dipôle : la donnée de la fonction U=f(I)

(Prise de note)

♦ Dénition :

Point de fonctionnement : Un point de fonctionnement est un point M de coordonnées(u,i) dans le repère où la tension et le courant sont portés sur les axes repérages.

Caractéristique statique : La caractéristique statique tension-courant d'un dipôle s'obtienten relevant l'ensemble des points (U ,I) de fonctionnement statique. Concrètement, onfait varier "très lentement" la valeur de la tension.

Caractéristique dynamique : En régime variable, la trace du spot d'un oscilloscope, dontles déplacements horizontaux et verticaux sont proportionnels à la tension et à l'intensité,donne la caractéristique dynamique du dipôle.

Caractéristique statique et dynamique d'un condensateur (I = f(U) et CR).

♦ Dénition :

Courant de court-circuit : On appelle courant de court-circuit la valeur du courant àtension u nulle, dans la caractéristique statique.

Tension de coupe-circuit : On appelle tension de coupe circuit la valeur de la tensionà courant nulle, dans la caractéristique statique.

Application 6 : Tension de coupe-circuit, courant de court-circuit

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1 Lire les tension de coupe-circuit et courant de court-circuit.Données : en abscisse 5 V/div ; en ordonnées 10 mA/div ; (I = f(U) et CR).

5.2 Dipôles symétriques, dipôles polarisés

♦ Dénition : Un dipôle est dit symétrique si son comportement ne dépend pas dusens du courant. On peut intervertir ses bornes sans conséquences. Sa caractéristique estsymétrique par rapport à l'origine. Dans le cas contraire, le dipôle est dit dissymétrique

ou polarisé.

Dipôle linéaire ; dipôle non-linéaire (I = f(U) et CR).

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5.3 Dipôle passif, dipôle actif

(Prise de note)

Dipôle passif ; dipôle actif (I = f(U) et CR).

5.4 Utilisation de la caractéristique pour déterminer un point de fonc-tionnement

(À savoir refaire)

Application 7 : Point de fonctionnement

1 Caractériser les deux dipôles.

2 Déterminer le point de fonctionnement lorsqu'on branche en série les deux dipôles dont les carac-tériques (en CR) sont donnés ci-dessous.

D

UD

ID − +

UP

IP

3 En déduire la puissance échangée entre les deux dipôles.

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6 Dipôles linéaires usuels

On se placera en convention récepteur dans tout ce paragraphe

6.1 Dipôle linéaire

♦ Dénition : Un dipôle linéaire est un dipôle décrit par une équation diérentielle linéaire àcoecients constants de la forme

a0u+ a1du

dt+ a2

d2u

dt2+ ...+ b0i+ b1

di

dt+ b2

d2i

dt2= F (t)

6.2 Le conducteur ohmique

Le conducteur ohmique ou résistor

♦ Dénition : Un résistor suit à tout instant la loi d'Ohm :

u(t) = Ri(t)

Où R est appelée la résistance du résistor. Elle s'exprime en Ohm (Ω).

Son inverse G =1

Rest appelée conductance. Elle s'exprime en Siemens (S). R et G sont

positifs.

Application 8 : Loi d'ohm, eet Joule

On branche un résistor de résistanceR = 1, 0 kΩ aux bornes d'une pile de f.e.m.E = 1, 5 V. Déterminerle courant la traversant. Calculer la puissance dissipée par eet Joule dans le résistor.

6.3 Le condensateur

(À savoir refaire)

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l'équation de fonctionnement du condensateur

i = Cdu

dt

Le coecient de proportionnalité C, positif, est appelé capacité du condensateur. Il s'exprimeen Farad, noté F.

C

i

u

+q −q

Application 9 : Courant, charge et énergie dans un condensateur

Un condensateur de capacité C = 30 nF est soumis à une tension u(t) = U√

2 cosωt, avec U = 2 Vet ω = 6, 28.103 rad.s−1.

1 Déterminer l'expression du courant traversant le condensateur.

2 Déterminer l'évolution de la charge stockée par le condensateur au cours du temps.

3 Déterminer l'énergie stockée par le condensateur au cours du temps.

4 Tracer la caractéristique dynamique du condensateur.

6.4 Bobine idéale

Le composant bobine

(Prise de note)Nous admettrons que la bobine peut-être modélisée par un composant dont la tension à sesbornes, à tout instant, est proportionnelle à la dérivée de l'intensité du courant latraversant

u(t) = Ldi

dt

Une variation du courant électrique crée donc une tension. Le coecient de proportionnalité

L, positif, est appelé inductance de la bobine. Elle s'exprime en Henry, noté H.

Li

u

Ordres de grandeurs

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Inductance Dispositif# 1µH une spire de 1 m de diamètre# 1 mH bobine de 1000 spires sans noyau de fer

# 1− 100 mH bobines usuelles en salle de TPs# 1 H bobine de 1000 spires avec noyau de fer ; micro de guitare électrique

# 100,H enroulement d'électroaimants# 1000,H secondaire de certaines bobines de Ruhmkor (100 km d'enroulement)

Application 10 : Courant et énergie dans une bobine

Une bobine est soumise à une tension u(t) = U√

2 cosωt, avec U = 2 V et ω = 6, 28.103 rad.s−1. Lecourant la traversant est nul à l'instant t = 0.

1 Déterminer l'expression du courant traversant la bobine.

2 Déterminer l'énergie emmagasinée par la bobine au cours du temps.

3 Tracer les caractéristiques statique et dynamique de la bobine.

6.5 Les sources de tension

♦ Dénition : Une source idéale de tension maintient la tension à ses bornes constantes,quel que soit le courant la traversant.

E

i

E

Application 11 : Cas d'une résistance branchée aux bornes d'une source idéale de tension

On branche un résistor de résistance R aux bornes d'une source idéale de tension de force électro-

motrice (f.e.m.) E.

Après avoir fait un schéma du montage et précisé les conventions utilisées, tracer, sur un mêmegraphique, la caractéristique des deux dipôles. En déduire le point de fonctionnement.

Application 12 : Pourquoi ne peut-on pas brancher ensemble deux sources de tension ?

On branche une une source idéale de tension de f.e.m. E aux bornes d'une autre source idéale detension de f.e.m. E ′ très proche de E.

Après avoir fait un schéma du montage et précisé les conventions utilisées, tracer, sur un mêmegraphique, la caractéristique des deux dipôles. En déduire l'existence ou non d'un point de fonctionnement.

En réalité, les sources de tension possèdent chacune une résistance interne r et r′ respectivement.Tracer les nouvelles caractéristiques. En déduire le point de fonctionnement. Conclure quant à l'idée debrancher ensemble deux sources de tension.

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6.6 Travaux dirigés : Les sources de courant

Application 13 : Modèle de Norton d'un dipôle actif linéaire

Un dipôle actif linéaire peut être modélisé par l'association en parallèle d'une source idéale de courantet d'une résistance r. Une source idéale de courant maintient constant le courant η la traversant, quel

que soit la tension U appliquée à ses bornes.η

η

u

1 Tracer l'allure de la caractéristique d'un tel dipôle actif.

2 Montrer qu'il est équivalent à un modèle de Thévenin (on établira, pour les deux modèles, la fonctionI = f(U)).

3 En déduire les relations de passage d'un modèle à l'autre.

4 Application : Déduire le modèle de Thevenin du circuit ci-dessous

A

B

e

R

R

R

η

eR

3R

6.7 Conséquence de la linéarité des dipôles et des lois de Kirchho : lethéorème de superposition

Théoèrme de superposition : Dans un circuit ne comportant que des dipôles linéaires etplusieurs sources idéales, la tension entre deux points (respectivement le courant dans unebranche) est égale à la somme algébrique des tensions (respectivement des courants) que l'onobtient en faisant agir séparément chacune des sources indépendantes du circuit. Les autressources indépendantes sont alors éteintes :

• une source de tension éteinte devient un court-circuit (l) ;

• une source de courant éteinte devient un circuit ouvert.

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Application 14 : théorème de superposition

1 À l'aide du théorème de superposition, de la loi d'Ohm et des lois de Kirchho, déterminer le couranti.

6.8 Loi des noeuds en terme de potentiels

7 Associations de résistance

On cherchera dans ce paragraphe à trouver le dipôle équivalent d'une association en série ou en parallèlede plusieurs dipôles de même nature.On se placera en convention récepteur.

7.1 Association en série de résistors : la somme des résistances

♦ Dénition : Deux dipôles sont en série lorsqu'ils possèdent une borne en commun et qu'ilssont traversés par le même courant.

Donc, pour n résistors en série, la résistance équivalente est la somme de toutes les résis-tances Rk.

Req =n∑k=1

Rk.

La résistance équivalente est plus grande que la plus grande des résistances.

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7.2 Association en parallèle de résistors : la somme des conductances

♦ Dénition : Deux dipôles sont en parallèles (ou en dérivation) lorsqu'ils possèdent deuxbornes en commun et qu'ils ont la même tension à leurs bornes.

Donc, pour n résistors en parallèle, la conductance équivalente est la somme de toutesles conductances Gk.

Geq =n∑k=1

Gk.

La résistance équivalente est plus petite que la plus petite des résistances.

Application 15 : Calcul de résistances équivalentes

Calculer la résistance équivalente du circuit entre les bornes A et B pour les montages suivants :

A B

R1

R2

R3

R4

A

B

R

R

R

R

R R R

7.3 Le diviseur de tension.

u =R2

R1 +R2

e Loi du diviseur de tension (À connaître archi par coeur !)

Ne s'applique QUE si les deux résistances sont traversées par le MÊME courant i !Application 16 : Des diviseurs partout !

1 Pour chacun des circuits ci-dessous, exprimer la tension U en fonction des données.

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7.4 Le diviseur de courant

7.5 Résistance de sortie d'un générateur

Application 17 : résistance de sortie d'un GBF

On désire brancher une résistance R aux bornes d'un GBF.

1 Faire un schéma du montage. On fera apparaître clairement la tension de sortie du GBF (celle qu'onpeut mesurer avec un voltmètre).

2 Exprimer cette tension en fonction de la f.e.m. du GBF, de sa résistance de sortie, et de la résistancede charge R.

3 Pour quelle valeur de R la tension de sortie vaut-elle la moitié de la f.e.m. ?

4 À partir de quelle résistance R peut-on négliger la chute de tension aux bornes de la résistance desortie du GBF ?

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7.6 Résistance d'entrée et/ou de sortie d'un dipôle ou d'un quadripôle

(Prise de notes)Lorsque l'on cherche à supprimer la chute de tension entre deux quadripôles, on s'assureque la résistance d'entrée est très supérieure à celle de sortie.

Re Rs

.

Lorsque l'on cherche à transmettre le maximum de puissance entre deux quadripôles, ons'assure que les résistances d'entrée et de sortie soient égales. On réalise ainsi l'adaptationd'impédance.

Re = Rs

7.7 Association série et parallèle de bobines

On montre :

Bobines en série

Leq =n∑k=1

Lk

Bobines en parallèle1

Leq=

n∑k=1

1

Lk

Application 18

1 À partir de la caractéristique courant-tension d'une bobine, démontrer ce résultat

7.8 Association série et parallèle de condensateurs

On montre :

Condensateurs en série1

Ceq=

n∑k=1

1

Ck

Condensateurs en parallèle

Ceq =n∑k=1

Ck

Application 19

1 À partir de la caractéristique courant-tension d'un condensateur, démontrer ce résultat

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Outils mathématiques Capacités exigibles5. Circuits électriques dans l'ARQSCharge électrique, intensité du courant. Savoir que la charge électrique est quantiée

(Paragraphe 1.1).Potentiel, référence de potentiel, tension. Exprimer l'intensité du courant électrique en ter-

mes de débit de charge (Paragraphe 1.3, appli-cation 2, exercice 19 ).

Puissance.Exprimer la condition d'application de l'ARQSen fonction de la taille du circuit et de lafréquence(Paragraphe 3.2 ; application 3).

Relier la loi des n÷uds au postulat de la conser-vation de la charge (Paragraphe ).

Utiliser la loi des mailles (Paragraphe ; applica-tion 5 ; exercices 1, 2, 3, 5, 10, 12, 15, 16 et17).

Algébriser les grandeurs électriques et utiliser lesconventions récepteur et générateur (Paragraphe4.4 ; application 6, 8 à 15 ; tous les exercices).

Citer les ordres de grandeur des intensités et destensions dans diérents domaines d'application(Paragraphes et 2.2).

Dipôles : résistances, condensateurs, bobines,sources décrites par un modèle linéaire.

Utiliser les relations entre l'intensité et la tension(Paragraphes 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 ; appl. 9 à 15 ;exercices 1, 2, 3, 4, 7, 12, 13 et 14 ).

Citer les ordres de grandeurs des composants R,L, C (Paragraphes 6.2, 6.3, 6.4).

Exprimer la puissance dissipée par eet Jouledans une résistance (Paragraphe 6.2 ; applica-tion 9 ; exercices 6 et 7 ).

Exprimer l'énergie stockée dans un condensateurou une bobine (Paragraphes 6.3 et 6.4 ; applica-tions 10 et 11 ; chapitres 5 et 6).

Modéliser une source non idéale en utilisant lareprésentation de Thévenin (Paragraphe 6.5 ;appl. 12, 13 et 14 ; exercices 4, 5, 7 et 14).

Association de deux résistances. Remplacer une association série ou parallèle dedeux résistances par une résistance équivalente(Paragraphes 7.1, 7.2 ; application 16 ; exercices3, 6, 8, 11 et 12).

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Établir et exploiter les relations de diviseurs detension ou de courant (Paragraphes 7.3, 7.4, ;appl. 17 et 18 ; exercices 1, 3, 4, 5, 6, 7, 12 et17 .

Résistance de sortie, résistance d'entrée. Étudier l'inuence de ces résistances surle signal délivré par un GBF, sur la mesureeectuée par un oscilloscope ou un multi-mètre . (TP 4 ; exercice 5 )

Évaluer les grandeur à l'aide d'une notice ou d'unappareil an d'appréhender les conséquences deleurs valeurs sur le fonctionnement d'un circuit(TP 4 ; exercice 5 ).

Caractéristique d'un dipôle. Point de fonction-nement.

Étudier la caractéristique d'un dipôle pou-vant être éventuellement non-linéaire etmettre en ÷uvre un capteur dans un dis-positif expérimental. (TPs 4 et 5 ; exercices1, 7, 13)

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TD n4 - Lois générales de l'électrocinétique

Consignes générales : Même lorsque ce n'est pas indiqué dans l'énoncé, vous

• ferez un schéma électrique, sur lequel vous reporterez toutes les grandeurs électriquesque vous utilisez, et ferez gurez les orientations des branches et des mailles ;

• préciserez la convention utilisée pour chaque dipôle.

Exercice 1 : Dipôle linéaires et non linéaires : point de fonctionnement

On considère le réseau ci-dessus comportant entre autres un dipôle non linéaire (DNL). On disposed'un tableau de valeurs permettant de tracer la caractéristique de ce dipôle, U représentant la tension àses bornes et I l'intensité le traversant en conventions récepteur.

U (V) 0 0, 10 0, 20 0, 30 0, 40 0, 50 0, 60 0, 66 0, 70 0, 73 0, 75I (mA) 0 16 36 64 100 160 280 400 500 630 780

1 Déterminer l'intensité traversant ce dipôle, sachant que E1 = 15 V, E3 = 4, 0 V, I0 = 2, 0 A,R0 = 3, 0 Ω, R1 = 5, 0 Ω, R2 = 3, 0 Ω et R3 = 4, 0 Ω.

Solutions :1) UDNL = 0, 71 V et IDNL = 560 mA .

Exercice 2 : Équilibrage d'un pont de Wheastone

Un pont de Weahtsone est un montage élec-trique permettant de déterminer une résistance in-connue.

La résistance à déterminer est R1. Les résis-tances R3 et R4 sont xes et connues. R2 est unerésistance variable dont on connaît la valeur.

Le pont est dit équilibré lorsque la tension umesurée entre C et D est nulle.


1 Déterminer la tension u en fonction de E et des résistances R1 , R2 , R3 et R4.

2 À quelle condition le pont est-il équilibré ? Déterminer alors R1.Données : R3 = 100 Ω ; R4 = 5, 00 kΩ ; R2 = 1, 827 kΩ ; E = 6, 00 V.

3 Le voltmètre indique la tension u = 0 si, en réalité, on a : |u| < 1 mV. Dans le cadre del'application numérique de la question 2, donner la précision sur la mesure de R1.

Solutions :

1) u =(

R3

R3+R4− R1

R1+R2

)E ; 2) R1 = 36, 5 Ω ; 3) R1 = 36, 5± 0, 3 Ω .

Exercice 3 : Détermination d'un courant

1 Déterminer l'intensité i du courant qui circule dans la branche B2MA2.

Solutions :1) i = 1

6R

(E1

2+ E2

).

Exercice 4 : Modèle de Norton d'un dipôle actif linéaire

Un dipôle actif linéaire peut être modélisé par l'association en parallèle d'une source idéale de courantet d'une résistance r.

Une source idéale de courant maintient constant le courant η la traversant, quel que soit la tensionU appliquée à ses bornes.

η

η

u

1 Tracer l'allure de la caractéristique d'un tel dipôle actif.

2 Montrer qu'il est équivalent à un modèle de Thévenin (on établira, pour les deux modèles, la fonctionI = f(U)).

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3 En déduire les relations de passage d'un modèle à l'autre.

4 Application : Déduire le modèle de Thevenin du circuit ci-dessous

A

B

e

R

R

R

η

eR

3R

Solutions :3) rNorton = rThévenin, E = rη ; 4) Req = R

2et EThévenin = +14

3Rη .

Exercice 5 : Résistances d'entrée et de sortie : mesures et conséquences

Contrariété expérimentale : du bon usage du voltmètre

Une source de tension, supposée idéale, de force électromotrice e = 24 V estbranchée aux bornes de deux résistors en série, tous deux de résistances égalesR = 1 MΩ.

1 Calculer les tensions uMN et uPM en l'absence de voltmètre.

2 Pour eectuer la mesure de ces tensions, on utilise un voltmètre de résistanced'entrée r = 1 MΩ. Indiquer la tension lue sur le voltmètre quand on lebranche successivement entre P et N , entre P et M , puis entre M et N .

3 Qu'en conclure ?

Mesures de résistances d'entrée et de sortie

Un générateur est modélisé par une source de tension e en sérieavec une résistance r. Le générateur est branché sur une résistancevariable R. Un voltmètre de très forte résistance d'entrée mesure latension u aux bornes de R.

4 Exprimer u en fonction des données du problème.

5 À vide, c'est-à-dire lorsque la sortie est ouverte, la tension estu0 = 10 V. À l'aide de la courbe ci-contre, évaluer la resistanceinterne r de ce générateur.

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6 Imaginer une méthode similaire permettant de mesurer la ré-sistance d'entrée d'un oscilloscope.

7 Peut-on utiliser pour cela le générateur étudié en question 2 ?

Solutions :1) uMN = uPM = e

2= 12 V ; 2) uPN,mesuré = e = 24 V, uPM,mesuré = e

3= 8, 0 V,

uMN,mesuré = e3

= 8, 0 V ; 4) u = RR+r

e ; 5) r ≈ 50 Ω .

Exercice 6 : Puissance absorbée par une locomotive

d'après G2E 2014

Pour transporter marchandise, on peut utiliser des camions, ou, moins polluant des trains de marchan-dises.La locomotive de tels trains fonctionne en traction électrique.La caténaire de la ligne, électriée en courant continu, a une résistance linéique λ (en Ω ·m−1).La locomotive (point A), située à la distance x de la station (origine O) alimentant la ligne sous unetension continue E, consomme la puissance électrique P sous la tension U .

1 Exprimer la puissance P0 fournie par la station en fonction de U , P , λ et x.

2 Déterminer, en fonction de U , P , λ et η0, la valeur maximale X de x pour que le rendementη = P/P0 soit supérieur à une valeur de référence η0.On donne U = 1, 5 kV, λ = 15µΩ ·m−1, P = 4, 5 MW et on souhaite un rendement minimumη0 = 0, 9.

En réalité, la ligne de résistance totale R, est alimentée par deux sous-stations situées aux points Oet B, et distantes de L

3 Déterminer, en fonction de R, L et x, les résistances ROA(x) et RAB(x) des tronçons OA et AB.

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4 En déduire les expressions des intensités électriques I1(x) et I2(x) en fonction de x, L, et du courantI qui traverse le moteur de la locomotive.

5 Exprimer la tension U(x) aux bornes de la motrice.

6 En déduire la puissance PJ(x), dissipée par eet Joule dans la caténaire.

7 Localiser la position xmin de la motrice qui correspond au minimum de U . Exprimer la tensionminimale Umin correspondante.

8 Déterminer la puissance maximale dissipée dans la caténaire.

9 Déterminer la distance maximale L entre deux stations assurant un rendement supérieur à 0, 9. Onprendra Umin = 1, 5 kV. Commenter.

Solutions :

1) P0 = P(1 + λx

U2P); 2) X ≤ U2

λP

(1η0− 1)

; 3) ROA = xLR et RAB =

(1− x

L

)R ; 4)

I1 =(1− x

L

)I et I2 = x

LI ; 5) U(x) = E−λ (L−x)x

LI ; 6) PJ =

(EU− 1)P ; 7) xmin = L

2

et Umin = E − R4I ; 8) PJ,max = R

4P2

U2min

; 9) Lmax = 14, 8 km.

Exercice 7 : Caractéristique d'une diode ; application : le circuit re-dresseur

Caractéristique réelle d'une diode

Lors de l'étude d'une diode, on a tracé la caractéristiquestatique suivante :• pour U < 0, 3 V, I = 0 ;

• pour U > 0, 7 V, la caractéristique est linéaire, passantpar les points : A(1 V, 100 mA) et B(2 V, 300 mA).

1 Comment peut-on tracer la caractéristique d'une tellediode ?

2 Dans sa partie linéaire (u > 0, 7 V), donner un modèleéquivalent à la diode.

3 On branche aux bornes de la diode un générateur detension de force électromotrice E = 1, 5 V et de résistance interne R. Le courant dans la diodevaut alors I = 100 mA. Déterminer la résistance R, la puissance reçue par la diode et la puissancefournie par le générateur.

4 On modélise la caractéristique de la diode par deux droites. Préciser les droites modélisant le mieuxla diode.

5 On utilise le modèle établi en 4 pour la diode. Elle est branchée sur un générateur de tension idéalE = 1, 5 V, placé en série avec une résistance R variable.Tracer la courbe donnant la puissance P reçue par la diode en fonction de R.

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Une application : le circuit redresseur

On idéalise la caratéritique statique de la diode présentée ci-dessus : Si u < 0, i = 0 (diode nonpassante) ; et sinon la diode est passante, u = 0 pour i quelconque positif.

6 Cette diode est mise en série avec un résistor. Quelle est la caractéristique du dipôle D formé del'ensemble des deux ?

7 Le dipôle D est alimenté par une source de tension sinusoïdale e(t) = e0 cos(ωt), où ω est lapulsation. Qu'observe-t-on sur un oscilloscope mesurant la tension aux bornes de la diode ? Onfera un schéma du montage.

Solutions :2) U = 0, 5 V + 5I ; 3) R = 5, 0 Ω, Pdiode = 0, 1 W, Pgéné = 0, 1 W ; 5) P(R) =(E−E′)(R′E+RE′)

(R+R′)2

.

Exercice 8 : Résolution de problème : Chaîne innie de résistances

On considère la chaîne innie de résistances représentée sur la gure ci-dessous. Quelle est la résistanceéquivalente entre A et B ?

Solutions :1) Req = 2R.

.

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Pour s'entraîner seul(e) - 6. Électrocinétique

Exercice 9 : Questions de cours

1 Énoncer les propriétés de la charge électrique.

2 Énoncer les lois de Kirchho.

3 Démontrer la loi du diviseur de tension.

Solutions :1) cf. cours.

.

Exercice 10 : Lois des mailles

On considère le circuit suivant, dans lequel la nature des dipôles n'estpas précisée.

1 Dénombrer les mailles qui peuvent être dénies dans ce circuit.

2 Appliquer la loi des mailles à chacune de celle-ci. Combien derelation indépendante obtient-on ?

3 Déterminer les tensions uAC , uCD et uDE.

Solutions :1) uAC = −5 V, uCD = 9 V, uDE = −12 V.

.

Exercice 11 : Resistances équivalentes

Calculer la résistance équivalente du circuit entre les bornes A et B pour les montages suivants :

A B

R1

R2

R3

R4

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

A

B

A

B

R

R

R

R

R R R

Solutions :

1) Req =R1R2R4 +R1R3R4 +R2R3R4

R1R2 +R1R3 +R2R3 +R2R4 +R3R4

; 2) Req =3

2R ; 3) Req =

11

15R.

Exercice 12 : Circuit linéaire


Dans le circuit ci-contre :

1 Calculer UEF ,

2 Calculer l'intensité I0 circulant dans la brancheprincipale ;

3 Calculer l'intensité I ′ circulant dans la branchecontenant le générateur E ′ (préciser son sens);

4 Calculer les intensités i1, i2 et i3.Données : R = 1, 0 Ω, E = 5, 0 V et E ′ =3 V.

Solutions :1) UEF = 1, 0 V ; 2) I0 = 0, 83 A ; 3) I ′ = 0, 17 A ; 4) i1 = i3 = 0, 33 A, i2 = 0, 17 A; .

Exercice 13 : Diviser pour mieux regner

1 Dans les circuits ci-dessous, déterminer la grandeur demandée :

3r

2r

E

u ? 3r

2r

E

i ?

3r 2rE

i ?

a. b. c.

3r 2r

r

Eu ?

3r 2r

r

E

i ?

r 2r 3rE

i ?

d. e. f.

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3r

2rI0

u ?3r 2r

2r 3r

65r

E

u ?3r 2r

I0 i ?

g. h. i.

r 2r 3rE u ?2r

r

r

E

r

r r u ?

j. k.

Solutions :a. u = 3

5E ; b. i = E

5r; c. i = 5E

6r; d. u = 6E

11; e. i = 3E

11r; f. i = 5E

6r;

g. u = 3rI0 ; h. u = E3

; i. i = 3I05

; j. u = E ; k. u = 5E21

.

Exercice 14 : Dipôle non linéaire et point de fonctionnement

On considère un dipôle non linéaire (DNL) dont on dispose d'un tableau de valeurs permettant detracer la caractéristique de ce dipôle, U représentant la tension à ses bornes et I l'intensité le traversanten conventions récepteur.

U (V) 0 1 2 3 4 5 6 6,6 7 7,3 7,5I (mA) 0 16 36 64 100 160 280 400 500 630 780

1 Tracer sa caractéristique.

2 Déterminer l'intensité traversant ce dipôle, sachant qu'il est branché à un générateur de f.e.m.E =5, 0 V et de résistance interne 50 Ω.

Solutions :UDNL = 0, 39 V et IDNL = 93 mA .

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Exercice 15 : Dipôle à caractéristique linéaire par morceaux

Un dipôle actif présente la caractéristique statique courant-tension expérimentale suivante, donnée enconvention récepteur.

1 Proposer un modèle équivalent de Thévenin pour chacune des portions de la caractéristique.

Solutions :1) U = 56 V + 80I, U = 10 V + 3, 3I, I = 0 A, .

Exercice 16 : Application des lois de Kirchho

1 Déterminer l'intensité i sur le schéma ci-dessous.

Solutions :1) i = − E

6R

(3− α

2

).

Exercice 17 : Théorème de Kennely

1 À quelle condition les deux montages triphasés suivant sont-ils équivalents ?

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Solutions :

1) Ri =∏

j 6=i rj∑k rk

, i ∈ 1, 2, 3.

Exercice 18 : Capteur de température

Une thermistance, c'est-à-dire un résistor dont résistance R(T ) dépend de sa température peut êtreutilisée comme capteur de température. La loi de dépendance étant donnée par la courbe suivante :

il sut de connaître R(T ) pour accéder à la température. À cette n, une thermistance est placéedans le circuit ci-contre. Les autres résistances identiques r ne dépendent pas de la température.

1 Exprimer la tension V en fonction de I0, r et R(T ).

2 En déduire l'expression de R(T ) en fonction de V , r et I0.

3 On mesure une tension V = 0, 5000 V. En déduire la résistance R(T ) puis la température T . Onprendra r = 2, 000 kΩ et I0 = 0, 5000 A.

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4 Pourquoi ne pas mesurer R(T ) directement avec un ohmmètre ?

5 La température de la thermistance est-elle identique à celle du milieu dans lequel elle est plongée ?

Solutions :1) V = r(R(T )−r)

3r+R(T )I0 ; 2) R(T ) = r(3V+rI0)

rI0−V ; 3) R(T ) = 2004 Ω, T = 12, 41C .

Exercice 19 : Résolution de problème : Vitesse des électrons dans un l

1 Estimer la vitesse d'ensemble des électrons dans un l.

On donne :

• la masse molaire du cuivre : M = 63, 5 g.mol−1 ;

• la masse volumique du cuivre : ρ = 8, 96 · 103 kg ·m−3 ;

• chaque atome de cuivre libère un électron libre ;

• un l de section 2, 5 mm2 supporte 20 A.

Solutions :1) v#0, 1 mm.s−1.

.

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Chapitre 4 Introduction à l'électrocinétique...

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