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Rotational MotionRotational Motion轉動轉動 與與 圓周運動圓周運動

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簡介 及 假設

三種運動形式 : translational motion, 平移運動 ( 移動 ) rotation, 旋轉運動 ( 轉動 )vibration, 振動

假設這一章討論的轉動物体 :

是不會變形的硬体 沒有振動

其轉軸相對於轉動物体是固定的

舉例來說 :

車輪轉軸相對於車輪是固定的

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旋轉的量測 ( Measurement of Rotation )

degrees ( o )radians ( 無單位 )

在物理應用上對角度的使用單位以 radians 為主

旋轉一圈 ( 1 revolution ) = 360o = 2 π ( rad )

s = r θ ( in radians )

s

rθ

s = x 2πrθo ( in degrees )

360o

θ ( in radians ) = s / r ( 圓弧長 / 圓弧半徑 )

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旋轉運動 ( Rotational Motion )

旋轉物体上各點的平移位移量 ( s ) 不一樣但卻有相同的角度變化或角位移 ( θ )

ωav = Δθ / Δt = ( θf – θi ) / ( tf – ti ) ( rad/s )θ = s / r

ω (瞬時角速度) = lim Δθ / Δt = d θ / dtΔt 0

定義角速度為向量 , 其方向遵守右手定則

假如轉軸的方向在慣性座標中是固定的 :

Choose z as the direction of the rotation axis

counter-clockwise rotation “ + ” ωclockwise rotation “ – “ ω

ω

x

y

z

r

sθ

vT

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• freq. f ( rev / sec ) = 1/T , T : period ( sec )

• for constant ω, ω = 2π / T = 2π f

Ex. If f = 1 rev/sec ω = 2π rad/sec

• ω = d θ / dt = d ( s/r ) / dt = 1/r ( ds / dt ) = 1/r • v = 1/r • vT

⇒ vT = ω r , if ω is constant , r ↑ vT ↑

tangent to the circle of motionconstantly changing direction

• angular acceleration αav = Δω / Δt

vT = d s / dt : tangential velocity

α = d ω / dt ( rad / s2 ) , 如轉軸的方向是固定的 α = d ω / dt

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轉動方程式 ( Equations of Rotational Motion )

⇒ ω – ωo = αt

⇒ θ – θo = ωot + ½ αt2

ω2 = ωo2 + 2α ( θ – θo )

一維運動公式 ( One-Dimensional Equation of Kinematics )

Linear ( a = constant )

v = vo + atx = xo + vot + ½ at2

v2 = vo2 + 2a ( x – xo )

Rotation ( α = constant )

ω = ωo + αtθ = θo + ωot + ½ αt2

ω2 = ωo2 + 2α ( θ – θo )

x ⇔ θ

v ⇔ ωa ⇔ α

• for constant α :α = dω / dt dω = α dt ∫ dω = ∫ α dt = α ∫ dt

ω

ωo

t

0

t

0

• ∫ dθ = ∫ ω dt = ∫ ( ωo + αt ) dtθ

θo

t

0

t

0

相對於運動方程式

t = (ω – ωo) / α

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向心加速度 ( Radial Acceleration )

ar = v2 / r = r ω2 ( m /s2 ) 方向為指向旋轉軸心

Δr / r = Δv / v

( if v1 = v2 = v , at = 0 )

Δv = ( v / r ) | Δr |

as Δt 0 , Δr = v Δt

Δv / Δt = v2 / r

a = lim Δv / ΔtΔt 0

( v = r ω )

Δr

Δr

Δr

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向心加速度 ( ar )

切線加速度 ( at )

ar = - ω2 r

net linear acceleration : a = ar + at , a = ( ar2 + at2 ) 1/2

at = r α

α = 0 , 等速率圓周運動

α ≠ 0

at

arr

vt

對於非等速率的圓周運動, 還必須考慮切線加速度

arar

ar

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向心力 ( Centripetal Force ) 與 離心力 ( Centrifugal Force )

∑ FR = m ar = m ( vt2 / r ) = m r ω2 : 向心力

向心力的來源有各種可能性, 舉例來說 : 可以是 繩子的張力, 萬有引力, 或摩擦力

fs : static friction( the tires are momentarily at rest with respect to the road )

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Ex. A small coin placed at the rim of a turn table, with R = 10 cm and v = 30 rev/min. Find the minimum coefficient of static friction for the coin to stay on.

∑ F = N + W + f = m a

⇒ ∑ Fy = N – mg = 0

∑ Fx = f = mv2 / r

f = μ N = μ mg = mv2 / r

μ = v2 / rg , v = ( 30 x 2πr ) / 60 (sec/min) = πr

μ = ( π2r ) / g = 0.15

N

mg

fa

y

x

摩擦力向心力

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N

Fapp

ffs,max= μsN

f =F ap

p

(stick-slip)

smoothfk

at rest smooth sliding

vmax = 0 on flat and frictionless road

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mg

f ?

Where is the needed centripetal force ?

Not easy to figure out !

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對於非等速率的圓周運動, 還必須考慮切線方向上所受的力

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什麼是離心力 ?

離心力是在一個非慣性的旋轉座標中觀察到的一種假想力

舉例而言 :

由於旋轉中的物体是處於加速度 ( 向心加速度 ) 運動中的物体 , 因此若要以旋轉中的座標為觀察座標 , 它將是一個非慣性觀察座標 , 在此非慣性座標中觀察實際上以等速度運動的物体 , 會以為被觀察的物体受外力作用而在加速運動中 , 離心力就是因此而出現的

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The observer sees the extension of the spring and concludes there is a force applied to the block.

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究竟是什麼力讓你妳驚聲尖叫 ？

是慣性！

是什麼力讓飛行員在疾昇時昏厥 ？

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是什麼力讓它翻車的？

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是什麼力讓它翻車的？

摩擦力 !

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除了離心力之外 , 還有一個假想力產生 柯式力 Coriolis Force

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萬有引力 與 軌道運動 ( Gravitation and Orbital Motion )

最重要的圓周運動之一就是行星或衛星運行的軌道運動

軌道運動中的向心力是由萬有引力提供的

牛頓則是第一個提出萬有引力這個觀念的人

F12 = F21 = F = , G = 6.67 x 10-11 N m2 / kg2G m1 m2

r2

簡單的說萬有引力就是兩個質量 ( m1, m2 )之間的相互吸引力 , 其大小為 :

center of massCM

CM

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Ex. 一個 100 kg 的男生和一個 100 kg 的女生相距 ( 66.7 )1/2公尺

他們之間萬有引力的大小為 F = ( 6.67 x 10-11 x 100 x 100 ) / 66.7

男女異性之間的吸引力應該不是萬有引力 !

F = ma a = 10-7 / 100 = 10-9 m/s2

r

F12 F21m1

m2

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• 拋体運動 ( projectile motion ) 與 軌道運動 ( orbital motion )

牛頓也是第一個將萬有引力、 拋体運動與衛星軌道運動聯想在一起的人

只要有足夠大小的起始速度 軌道運動

假設圓心物体的質量 >> 作軌道運動的衛星物体的質量

⇒ 圓心物体靜止不動

( G M m ) / r2 = m v2 / r

vorb = ( GM / r )1/2 – 與衛星質量無關

– r ↑ ⇒ vorb ↓

( Person in the satellite feels “weightless” because the person is free falling along with the satellite and experiences no force of support from the satellite. )

r is measured from the center of the earth

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- Kepler’s 3rd Law ( 西元 1619 年發現 )

κ depends only on M

對太陽系的行星而言, κ =

若T 與 r 為已知 M 可以計算得知

例如 : 知道月亮繞行地球的 T 及 r Mearth 可知

T ( period ) = 2πr / vorb = r32 π

G M 周期

T2 = r3 = κ r34π2

GM

4π2

G Msun

r

M

Johannes Kepler, 1571 – 1630Probably the first science fiction writer

“Solemnium” ( 1618 )

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同步軌道通信衛星

T ( period ) = 2πr / vorb = r3 = 24 hours2 π

G M 周期

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地球的轉動

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地球自轉

Fc = mv2/r = m ω2 r

ω = 2π (rad) / 24 (hrs) = 2.27 x 10-5 (rad/s) rotational angular speed of the earth is very small

Fc = m x ( 3.37 x 10-2 m/s2 )

Fg = mg = m x ( 9.8 )

Fg / Fc = 9.8 / ( 3.37 x 10-2 ) = 290

Comparing the ( real ) gravitational force to the ( fictitious )centrifugal force provides some insight into how much the earth rotation affects what we observe.

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Typhoon Winnie ( 1997/8/13 )in Northern Hemisphere

Storm in Southern Hemisphere near New Zealand ( 1973/12 )

Low

VT

800 km/hr

1600 km/hr

越往北極, 地表切線運動速度越小質點在半空中, 速度大小不

變, 但對地表觀察者而言,

已向東加速 800 km/hr

200 km/hr

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Long exposure photo showing earth’s rotation in the Star Trails.

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昏了 , 昏了已經轉昏了 …..