Échantillonnage et Estimation - TANGER
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Échantillonnage et Estimation
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Concepts fondamentaux de l’échantillonnage
• L’échantillonnage consiste à tirer des informations d’une fraction d’une population, de façon à tirer des conclusions au sujet de l’ensemble de la population.
• Son objectif est de fournir un échantillon représentatif de la population et générer des principales caractéristiques de la population étudiée
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Méthodes d'échantillonnage oAléatoire • Chaque personne ou objet de la population a la
même probabilité de faire partie de l’échantillon puisqu'ils sont tous prélevé au hasard.
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Méthodes d'échantillonnage oSystématique • Chaque élément qui compose l'échantillon est
choisi de façon régulière, selon un intervalle régulier, à l'intérieur de la population ciblée.
• Taille population=17
• Taille échantillon =4
• On calcule le rapport
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Régulière uniforme
Taille population 17 4,25 Taille échantillon 4
= =
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Méthodes d'échantillonnage o Stratifié • En se basant sur une caractéristique de la population ciblée,
on la divise d'abord en strates (sous-groupes) pour ensuite sélectionner de façon aléatoire des membres de chacune des strates en respectant leur proportionnalité dans la population.
• Le choix selon le rapport: Taille échantillon Taille population
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Taille échantillon 8 1 Taille population 16 2
= =
Couches
Théorème
• La variable aléatoire X qui suit une loi normale sur la population :
• la variable aléatoire d’un échantillon de taille n suit également une loi normale.
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nXV
2
)(
nXVX
)()(mXE i )(
• Soit un échantillon aléatoire de taille n prélevé d’une population infinie ou d’une population finie avec remise. Si cette population possède une variable aléatoire X qui suit une loi de probabilité de moyenne E(X) = μ et de variance σ2, alors la moyenne de l’échantillon suit une loi de probabilité ayant les caractéristiques suivantes :
la population échantillon
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L’espérance de la V.A moyenne d’échantillonnage
• Propriété 1
• Soit X1,X2,…, Xn un échantillon de taille n, relatif à la V.A. parente X.
• L’espérance de la V.A moyenne d’échantillonnage est égale à la moyenne de la population μ
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mXEXEXE ii )()()(
x3 x2
X4 .................
x1
xn
• La moyenne des n valeurs de l'échantillon est :
D'après la propriété de linéarité de l'espérance :
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n
XXXXX nn
121 .............
n
XXXXEXE nn 121 .............
nn XXXXEn
XE 121 .............1
nn XEXEXEXEn
XE 121 .............1
mmmmn
XE ....................................1
mnmn
XE 1
mnmn
XEn
XEnn
XEXE
n
i
n
i
ni
111
111
n fois
m
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Variance de la V.A
• Propriété 2
• Soit X1,X2,…,Xn un échantillon aléatoire simple de taille n éléments prélevés au hasard dans la population. La variance de la la variable aléatoire de l’échantillon est égale à la variance de X divisée par la taille n de l’échantillon:
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nXV
2
)(
n
XVX
• D'après les propriétés de la variance :
Avec
on a:
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nn XVXVXVXVn
XV 1212.............
1
2
2
1n
nXV
n
XV2
n
XVX
2)( iXV
2222
2...........................
1
nXV
n fois
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Théorème 1 • Soit X La variable aléatoire qui suit une loi
quelconque sur la population avec E(X) = m et (X) =
• Pour un échantillon (tirages avec remise ou
population infinie ) de taille n, la variable aléatoire X suit une loi normale :
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Exemple : La Moyenne des notes obtenues en mathématiques à la faculté
pour l'année 2016 est : m =10,25 Écart-type : = 1,5 Un groupe GA est composé de 100 étudiants prélevés par tirages avec remise. 1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X ? 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire de l’échantillon ? 3. Calculer la probabilité pour que la moyenne du groupe GA soit
Supérieure ou égale à 10 ?
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10XP
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• (Théorème 1)
• la moyenne de l’échantillon de m=µ =10,25 Écart-type de l’échantillon est:
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nNX
;~
100
5,1;25,10~ NX 15,0;25,10~ NX
n
;~ NX
1. la variable aléatoire X est distribué normalement avec une moyenne et un écart type : 2. la loi de la variable aléatoire
25,10 5,1
5,1 ; 25,10~ NX
X
X
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n
XT
100
5,1
25,10
XT
1;0~ NTPassage de La loi normale vers La loi normale centrée réduite
100
5,1
25,1010
100
5,1
25,1010
XPXP
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67,1
100
5,1
25,101010
TPTPXP
254,9595254,067,167,110 TPTPXP
la probabilité pour que la moyenne de Le groupe GA soit >=10 est de 95,254 %
Théorème 2 • Soit X La variable aléatoire qui suit une loi
quelconque sur la population de taille N avec E(X) = m et (X) = .
• Pour un échantillon (TIRAGE SANS REMISE OU EXHAUSTIF ) de taille n:
• si le Taux de sondage n/N < 0,1=10% la variable aléatoire X suit une loi normale :
• si n/N >= 0,1=10%, la variable aléatoire X suit une loi normale :
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 16 Facteur d’exhaustivité
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Exemple : La Moyenne des notes obtenues en probabilité à la faculté pour l'année
2015 est : m =10,25 Écart-type : = 1,5 Un groupe GB de 100 étudiants est tiré sans remise d’une classe de 500
étudiants. 1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X ? 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire de l’échantillon ? 3. Calculer la probabilité pour que la moyenne du groupe GB soit
inférieure ou égale à 10,5?
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5,10XP
• Taux de sondage n/N=100/500=0,2>0,1
• Donc on fait la correction avec le facteur d’exhaustivité
• (Théorème 2)
• la moyenne de l’échantillon de m=µ =10,25
• Écart-type de l’échantillon est:
•
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1;~
N
nN
nNX
1500
100500
100
5,1;25,10~ NX 12,0;25,10NX
1
N
nN
n
XT
1;0NT Passage de La loi normale vers La loi normale centrée réduite
1
N
nN
n
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08,212,0
25,105,105,10
TPTPXP
la probabilité pour que la moyenne de Le groupe A soit <=10,5 est de 98,124 %
98124,008,208,25,10 TPTPXP
Exercice 3
• Les masses des paquets des pièces envoyées à un client sont distribuées avec une moyenne de 300 kg et un écart-type de 50 kg.
• Un échantillon de 25 paquets est envoyé au hasard.
1. Soit X la variable aléatoire associe la masse des paquets. 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire X 3. Déterminer la loi de la variable aléatoire qui est à chaque échantillon
de 25 paquets associe la masse moyenne des paquets sachant que le tirage de l'échantillon soit réalisé par le tirage avec remise.
4. La probabilité pour que la masse de paquet reçu au hasard dépasse la limite de 328 kg
5. Déterminer la loi de la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 25 paquets associe la masse moyenne des paquets sachant que le tirage de l'échantillon soit réalisé avec un tirage sans remise d’une population de 200 paquets.
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La proportion dans un échantillon • Théorème
• une population sur laquelle on étudie un caractère A répandu avec une proportion p.
• On prélève, au hasard, un échantillon. • On note F la fréquence du caractère A dans
l'échantillon. • Alors la variable aléatoire F suit approximativement
une loi normale :
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à condition que la taille de l’échantillon n soit supérieure ou égale à 30 (n >= 30) et le produit n p >= 5.
n
pqpNF ;
1;
N
nN
n
pqpNF
Tirage sans remise Tirage avec remise
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• La loi de X est B(n, p).
• La variable aléatoire correspond ainsi à la fréquence de l'attribut A dans l'échantillon
• D'après les propriétés de l'espérance et de l'écart-type :
• les Xi suivent des lois de Bernoulli B(p)
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n
XF
Exemple : • Dans Une élection, un candidat a eu 30 % des voix.
• On prélève un échantillon de 100 bulletins de vote. • Quelle est la probabilité , dans l'échantillon pour
que, le candidat ait entre 25 % et 35 % des voix ? • n = 100 et p = 0,3. La variable aléatoire F
correspondant à la fréquence des votes pour le candidat dans l'échantillon vérifie donc :
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n
pq
nF
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• T N(0 ; 1). Nous obtenons alors par centrage et réduction :
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n
pqpNF ;~
100
7,03,0;3,0~ NF 046,0;3,0NF
n
pFT
2135,025,0 tTtPFP
09,1046,0
3,025,01
t 09,1
046,0
3,035,02
t
à condition que la taille de l’échantillon n soit supérieure ou égale à 30 (n >= 30) et le produit n p >= 5.
n=100 bulletins > 30 ET nxp=100x0.3=30 > 5
• Et par lecture directe de la table de la loi normale centrée-réduite
• P(1,09) = 0,8621.
• Il y a entour 72,42% de chance que, dans un échantillon de taille n = 100, le candidat ait entre 25 % et 35 % des voix.
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09,109,135,025,0 TPFP
109,1235,025,0 PFP
7242,018621,0235,025,0 FP
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L'estimation • L'objectif de L'estimation est de répondre à la
problématique suivante : comment, à partir de la moyenne, l’écart-type ou la proportion) calculées sur un échantillon, on estime celles d'une population entière?
• Nous distinguerons deux cas : • on cherche à estimer la moyenne µ (ou m) d'une
variable aléatoire définie sur une population • on cherche à estimer la proportion d'individus p ayant
tel caractère dans la population.
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Xe
e
Estimation échantillon population
Estimation d'une moyenne 1. Estimation ponctuelle
• On considère une variable aléatoire X sur une population de moyenne µ (ou m) inconnue et d'écart-type inconnu ou connu.
• On prélève un échantillon de taille n sur lequel on a calculé la moyenne µe et l'écart-type e.
• (ou µe) est une estimation ponctuelle « de la moyenne µ (ou m) de la population est :
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mnmn
XEn
XEnn
XEXE
n
i
n
i
ni
111
111
X
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L’estimation ponctuelle (S) de l'écart-type de la population
• Une estimation ponctuelle de l'écart-type de la population est:
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en
nVS
1'ˆ
Cas d’une population de distribution inconnue (écart type inconnu)
Pour une population de distribution de probabilité inconnue (écart type inconnu), on utilise la quasi-variance V’ = S² comme estimation de la variance de la population.
S
écart-type estimé :écart-type plus près de l’écart de la population
Le coefficient de correction de biais
n
XxV
i
e
2
2
11
'
2
22
n
Xx
n
nVS
i
e
S
Passage de La loi normale vers La loi normale centrée réduite
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variance σ2 est connue
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Exemple d’application
• Concernent l’automatisation des grandes entreprises, on a trouvé que un écart-type de 3,2 ans.
• On prélève un échantillon de 64 entreprises de l’ensemble. La moyenne de l’échantillon est de 12,4 ans
1) Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de l’écart-type
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ans 12,4)( XE
ans 2,3
ans 2,3 σ de la population est connue
L’estimation ponctuelle de la moyenne
2) Probabilité que l’âge moyen soit inférieur à 11,8 années ?
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ans 0,464
3,2
nX
σ de la population est connue implique que
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3) Probabilité que l’âge moyen se trouve entre 11,4 et 13,4 années ?
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variance σ2 est inconnue (σ de la population est inconnu)
• Si la variance σ2 est inconnue, alors un grand échantillon (n ≥ 30) permet de déduire une valeur fiable de variance de l’ échantillon
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n
XxV
i
e
2
2
2
2
2
2
22
1'
11'
n
XxSV
n
Xx
n
n
n
nSV
i
i
e
2
e
Variance plus près de la Variance de la population
Quasi Variance
Ecart type estimé plus près de la Variance de la population
1
2
n
XxS
i
een
n
n
nS
11
2
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en
nS
1
(Utilisation de l’Ecart type estimé)
Exemple d’application • Concernent l’automatisation des grandes
entreprises, on a prélève un échantillon de 64 de l’ensemble d’entreprises.
• La moyenne de l’échantillon est 12,4 ans
• L’écart-type de l’échantillon est 3 ans
1) Donner une estimation ponctuelle de ?
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ans 12,4)( XE
et
024,3363
64
1
e
n
nS
024,3 SEstimation des vraies caractéristiques la moyenne et de l’écart-type de la population.
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• Exemple :
• un section comprend 500 individus. On mesure le poids de n=36 d'entre eux. La moyenne et l'écart-type e calculés à partir de cet échantillon sont :
• e = 65 Kg et e = 3 Kg
• Nous pouvons donc estimer les paramètres de la population :
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KgX 65
Kgn
nS e 043,33
35
36
1ˆ
Estimation des vraies caractéristiques la moyenne et de l’écart-type de la population.
e
043,3 S
• Exemple :
• un section comprend 500 individus. On mesure le poids de n=36 d'entre eux. La moyenne et l'écart-type e calculés à partir de cet échantillon sont :
• e = 65 Kg et e = 3 Kg
• Probabilité que le poids moyen soit supérieur à 66.5 Kg ? :
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KgX 65
e
043,3 S
0015,0
9985,0196,21
96,2
36
043,3
655,665,65
TP
TP
n
S
XPXP
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Estimation par intervalle de confiance • On considère une population de moyenne m
inconnue et l'écart type est connu ( ). On veut estimer la moyenne m de la population à partir d'un échantillon de taille n de moyenne
• On sait que suit approximativement une loi
Donc la variable aléatoire T définie par :
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eX
X
nXN
,~
n
mXT
• intervalle de confiance à 1-α % : • La probabilité que la moyenne m appartienne à cet intervalle soit
égale à α où αϵ [0 ; 1].
• 1-α est le coefficient de confiance et α est le seuil • On fixe La probabilité à 1-α et on cherche les extrémités (– t) et (t)
10:20 42
2
12
11
112
tP
tPtTtP
1tTtP
1
21
21
tTtP
96.1
975,02
05,01
21
05,0%5 %951
975,0
21
tt
tP
Lecture inverse
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La probabilité
12
12
1
t
n
mXtP
On borne le m
1
21
21
tTtP
1
21
21 n
tmXn
tP
n
1
21
21 n
tXmn
tXP
1
21
21 n
tXmn
tP
1; 2
12
1 ntX
ntXmP
X
L'intervalle de confiance de la moyenne m avec un coefficient de confiance de α
1
1
21
21 n
tXmn
tP
• Utilisation des valeurs estimées ponctuellement
• L'intervalle de confiance de la moyenne m obtenu est:
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 44
nt
ntIC
ee
2
12
1
;
Xe
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l'écart-type de la population est connu
• l'écart-type de la population est connu, il n'y a rien à faire .
• L'intervalle de confiance de la moyenne m
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 45
nt
ntIC
ee
21
21
;
• l'écart-type de la population n'est pas connu • Si l'écart-type S de la population n'est pas connu, on le
remplace par son estimation ponctuelle :
• Nous pouvons donc estimer avec une confiance de 95
% (ou 99 % selon le cas) que la moyenne m de la population appartient à l'intervalle :
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 46
n
St
n
StIC
ee
21
21
;
1;
1 21
21 n
tn
tIC e
e
e
e
l'écart-type de la population est inconnu
Cas d’un échantillon d’effectif supérieur ou égal à 30 (n >= 30) :
en
nS
1ˆ
normale loi laivement approximatsuit X
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• Exemple :
• Une établissement de 1500 étudiants on a mesuré le poids de 40 étudiants. La moyenne e et l’écart-type calculé à partir de cet échantillon est : e = 65 Kg et σe =3Kg .
• Donner L’estimation ponctuelle des paramètres de la population?
• Déterminer L'intervalle de confiance de la moyenne à 95% de confiance?
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 47
Exemple
• L’estimation ponctuelle des paramètres de la population :
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 48
Kge 65ˆ
Kgn
ne 038,33
39
40
1ˆ
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• intervalle de confiance de la moyenne à 1-α=95 %
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 49
Kge 65ˆ
96.1
975,02
05,01
21
112
975,0
21
tt
tP
tPtTP
nt
ntIC
ee
ˆ;
ˆ
21
21
normale loi uneivement approximatsuit X 3040 n
• intervalle de confiance de m à 95 %
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 50
Kge 65ˆ
nt
ntIC ee
ˆ;
ˆ975,0975,0
047,66;953,63IC
40
038,396,165;
40
038,396,165IC
Kgn
ne 038,33
39
40
1ˆ
325,6
038,396,165;
325,6
038,396,165IC
047,165;047,165 IC
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• l'écart-type de la population est inconnu et n<30 donc X suit un loi de student de degré n-1 ( est calculé depuis la table de loi de student)
• on le remplace par son estimation ponctuelle :
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 51
nt
ntIC nene
ˆ;
ˆ1,1,
l'écart-type de la population est inconnu Cas d’un échantillon d’effectif inférieur à 30 (n <30) :
en
nS
1ˆ
1, nt
Intervalle de confiance à 1-α %
• Exemple :
• Une université comporte 1500 étudiants.
• On mesure le poids de 20 étudiants. La moyenne e et l'écart-type e calculés à partir de cet échantillon sont :
• e = 65 Kg et e = 3 Kg
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 52
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https://www.facebook.com/ecours/ 27
• intervalle de confiance à 95 %
• l'écart-type inconnu et n=20<30 donc X suit la loi de student de degré n-1 (t est calculé depuis la table de la loi de student)
•
• 1-α=95 % α=0,05
• et n=20
• degré n-1=20-1=19
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 53
nt
ntIC nene
ˆ;
ˆ1,1,
093.219,05.01, tt n
• intervalle de confiance à 95 %
• l'écart-type inconnu et n=20<30 donc X suit la loi de student de degré n-1 (t est calculé depuis la table de la loi de student )
•
• 1-α=95 % α=0,05
• et n=20
• degré n-1=20-1=19
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 54
nt
ntIC
ne
ne
ˆ;
ˆ
1,2
11,2
1
093.219,975.01,
21
ttn
2
1
21
112
ttP
tPtTP
27/11/2020
https://www.facebook.com/ecours/ 28
• intervalle de confiance à 95 % avec n<30
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 55
Kge 65ˆ
44.66;56.63IC
20
078,3093.265;
20
078,3093.265IC
Kgn
ne 078,33
19
20
1ˆ
nt
ntIC nene
ˆ;
ˆ1,1,
• Estimation de p.
• F est une variable aléatoire de proportion des individus ayant une certaine caractéristique, dans l’échantillon.
• L’estimateur sans biais de p est
•
• Avec E(F)=f=pe la proportion de l’échantillon. • Une estimation ponctuelle de l'écart-type est :
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 56
Estimation d'une proportion
)1( ff
)1( ee pp
n
pp
n
eeX
)1(
27/11/2020
https://www.facebook.com/ecours/ 29
• Estimation par intervalle de confiance
Si n est grand, n >= 30, np>=5 et n(1-p) >=5
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 57
L’intervalle de confiance de la proportion
n
pptp
n
pptpIC ee
eee
e
)1(;
)1(
2
1
2
1
l’intervalle de confiance de niveau α sur p
Exemple :
• À quelques jours d'une élection, un candidat a effectué un sondage. Sur les 150 personnes interrogées, 50 a voté pour lui aux prochaines élections.
1. Déterminer l'intervalle de confiance de la proportion à 95% de confiance?
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 58
3,0150
50epOn estime la proportion
27/11/2020
https://www.facebook.com/ecours/ 30
• Estimation par intervalle de confiance l'intervalle de confiance de la proportion à 1-α=95% de confiance:
n >= 30, np>=5 et n(1-p) >=5
150>= 30, 0,3X150>=5 et 0,7X150 >=5
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 59
n
pptp
n
pptpIC ee
e
ee
e
)1(;
)1(
21
21
037,096,13,0;037,096,13,0%95
IC
96,1 ou 05,0 95,01975,0
2
05,01
tt
373,0;227,0IC
037.0150
)3.01(3.0)1(
n
ppee
150
)3.01(3.096,13,0;
150
)3.01(3.096,13,0IC
Estimation par intervalle d’une variance • dans le cas d’une population qui suit une loi
normale
• Cas ou m est connu
10:20
La probabilité α est trouvée entre les deux bornes a et b
60
(1- α)/2 α+(1- α)/2= (α+1)/2
27/11/2020
https://www.facebook.com/ecours/ 31
Estimation par intervalle d’une variance
10:20
La probabilité α est trouvée entre les deux bornes a et b
61 a et b sont lus dans la table de La loi du Khi-Deux
L’intervalle de confiance de La variance au niveau α est:
nn
a
nS
b
nS
,2
1
2
,2
1
2
;
2
1
2
1
nna
nS
b
nS
,2
1
2
2
,2
1
2
nna
n
b
n
,2
1 ,
2
1
S S
Estimation par intervalle d’une variance • dans le cas d’une population qui suit une loi
normale
• Cas ou m est inconnu
10:20 62
L’intervalle de confiance de La variance au niveau α est:
1 ,2
1
2
1 ,2
1
2 1 ;
1
nna
Sn
b
Sn
27/11/2020
https://www.facebook.com/ecours/ 32
Estimation par intervalle d’une variance
m est inconnu
10:20 63
L’intervalle de confiance de La variance au niveau α=95% est:
α=95% :Les deux valeurs de probabilité des deux bornes b et a avec degré de liberté n-1 dans la table sont:
15 0,975;1,
2
1
15 ; 0,0251,
2
-1
aa
bb
n
n
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 64
α=95% :Les deux valeurs de probabilité des deux bornes b et a avec degré de liberté n-1 dans la table sont:
6,262
27,488
15 0,975;1,
2
1
15 ; 0,0251,
2
-1
aa
bb
n
n
15 0,975;a 15 ; 0,025b
ICv95%=
27/11/2020
https://www.facebook.com/ecours/ 33
• Dans un grand lot des disques, on a prélevé au hasard 19 pièces dont on vérifie le diamètre.
• la moyenne de population µ=4.9 mm (diamètre)
• On trouve l’estimations ponctuelle de l'écart type S=0.21 mm
1. Estimer par un intervalle de confiance de la variance à 90%?
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 65
Estimation par intervalle d’une variance
m est connu
10:20 66
L’intervalle de confiance de La variance au niveau α=90% est:
α=90% :Les deux valeurs de probabilité des deux bornes b et a avec degré de liberté n-1 dans la table sont:
,14403
,11701
0,05;19
0,95;19
19,2
,90 1,
2
-1
19,2
,90 1,
2
1
bab
aaa
n
n
19 ~ 19
~ 2
2
2
2
2
2
Sn
nS
nn
a
nS
b
nS
,2
1
2
,2
1
2
;
27/11/2020
https://www.facebook.com/ecours/ 34
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 67
117,10
0,20219 ;
144,30
0,211922
%90IC
91 ,95,0
2
91 ,05,0
2
%90
0,2119 ;
0,2119
abIC
,14403
,11701
0,05;19
0,95;19
19,2
,90 11,
2
-1
19,2
,90 119,
2
1
bab
aaa
n
nn
a
nS
b
nS
,2
1
2
,2
1
2
;
,0830 ; ,0280%90
ICv
,290 ; ,170%90
IC
L’intervalle de confiance de La variance au niveau α=90% est
L’intervalle de confiance de l’écart type au niveau α=90% est
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 68
• Exercice 4 • Une entreprise produit en grande quantité des pièces
destinées à l'industrie. Elle assure que les lots ont une proportion de 2 % pièces défectueuses.
• Le lot est accepté par le contrôle de production, si l'échantillon contient plus de 12 pièces défectueuses sur 400 :
• 1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire F 3. Déterminer la probabilité que le lot testé, soit accepté. • ID: π (1.34) = 0.9099; π (1.43) = 0.9236; π (1.95)=0.9744
27/11/2020
https://www.facebook.com/ecours/ 35
Estimation par intervalle d’une variance
m est inconnu
10:20 69
L’intervalle de confiance de La variance au niveau α=95% est:
α=95% :Les deux valeurs de probabilité des deux bornes b et a avec degré de liberté n-1 dans la table sont:
27,488
6,262
0,975
2
1
0,025
2
-1
bb
aa
• intervalle de confiance à 95 %
• l'écart-type inconnu et n=20<30 donc X suit la loi de student de degré n-1 (t est calculé depuis la table de la loi de student )
•
• 1-α=95 % α=0,05
• et n=20
• degré n-1=20-1=19
10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 70
nt
ntIC
ne
ne
ˆ;
ˆ
1,2
11,2
1
093.219,975.01,
21
ttn
2
1
21
112
ttP
tPtTP