Chaîne infinie doscillateurs couplés ; Équation de DAlembert I) Chaîne infinie doscillateurs...
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Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert
I) Chaîne infinie d’oscillateurs couplés
1) Le modèle
Le modèle
An-1
chaîne à l’équilibre
, a, a, a
An An+1 An+2
m m mm
MO
, 0
ressort à vide
mm
Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert
I) Chaîne infinie d’oscillateurs couplés
1) Le modèle
2) Étude du mouvement
a) Rappels
M0O0
ressort à vide
, 0
F = – (OM – O0M0)
MO
ressort à un instant quelconque
F = – (OM – O0M0)
Si OM < 0, la force est répulsive,elle tend à éloigner M de O ;
Si OM > 0, la force est attractive,elle tend à rapprocher M de O.
MO
xO xM
M0O0
ressort à vide
, 0
F = – (OM – O0M0) = – (M0M – O0O)= – (xM – xO)ux.
Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert
I) Chaîne infinie d’oscillateurs couplés
1) Le modèle
2) Étude du mouvement
a) Rappels
b) Mise en équation
Mouvement du point An
An-1
An An+1 An+2
m m mm
Système : l’atome An de masse m et de rang n
Référentiel : Terrestre supposé galiléen
Forces : le poids Pn,la réaction Rn,la tension du ressort de gauche Tn-1,la tension du ressort de droite Tn+1.
RFD : m.an = Pn + Rn + Tn-1 + Tn+1
Choix de la base : (O, ux) car le mouvement est rectiligne
Tn+1 = – [A(n+1)An – A0(n+1) A0n]
Tn-1 = – [An-1An – A0(n-1)A0n] = – [A0nAn – A0(n-1)An-1]
Tn+1 = – [A0nAn – A0(n+1)A(n+1)].
RFD :m.an
=Pn + Rn – [A0nAn – A0(n-1)An-1] – [A0nAn – A0(n+1)An+1]
RFD à l’équilibre :0=
Pn + Rn
– [A0nAen – A0(n-1)Ae(n-1)] – [A0nAen – A0(n+1)Ae(n+1)]
RFD par différence :
m.an = – [AenAn – Ae(n-1)An-1] – [AenAn – Ae(n+1)An+1]
On pose : AenAn = n.ux,Ae(n-1)An-1 = (n-1).ux,Ae(n+1)An+1 = (n+1).ux.
n, (n-1) et (n+1) sont les déplacements des atomes An, An-1 et An+1 par rapport à leur position d’équilibre.
Equation différentielle finale :
Cette équation constitue l’équation de propagation de la déformation le long de la chaîne d’oscillateurs et traduit le couplage du nième atome avec ses deux plus proches voisins.
= – [n – (n-1)] – [n – (n+1)]ψnm
= – 2.n + .(n-1) + .(n+1)ψnm
Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert
II) Approximation des milieux continus
1) Définitions
n
n
Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert
II) Approximation des milieux continus
1) Définitions
2) Équation de D’Alembert
n
n
Dans l’approximation des milieux continus, on définit la fonction continue de classe C2 des variables x et t, (x,t), qui coïncide à chaque instant t avec tous les n(t) : (x = n.a, t) = n(t)
Dans ces conditions, si (x = n.a, t) = n(t) = (x,t) alors : (n-1)(t) = (x – a, t) et (n+1)(t) = (x + a, t)
ψα ψ ψ ψ
2
2m 2 (x,t) (x a,t) (x a,t)t
Donc l’équation de propagation,ψnm = – 2.n + .(n-1) + .(n+1)
devient :
ψ ψψ ψ
2 2
2a
(x a,t) (x,t) a (x,t) (x,t)x 2 x
ψ ψψ ψ
2 2
2a
(x a,t) (x,t) a (x,t) (x,t)x 2 x
En remplaçant dans la relation initiale, on obtient :
ψ ψα
2 22
2 2m .at x
Cette équation peut se mettre sous la forme canonique :
ψ ψ2 2
2 2 21
0x c t
α 22 .a
avec c m
Une telle équation aux dérivées partielles est appelée équation de D’Alembert (1717 – 1783) à une dimension.La grandeur c, homogène à une vitesse, est appelée célérité de l’onde.
Chaîne infinie d’oscillateurs couplés ;Équation de D’Alembert
II) Approximation des milieux continus
1) Définitions
2) Équation de D’Alembert
3) Cas des solides : Module d’Young
S
L
S
L L
F
Définition :
Le module d’Young est un coefficient positif, homogène à une pression, qui caractérise l’allongement relatif du solide sous l’action d’une force de traction extérieure.
L 1 F
L E S
Cas des solides : Module d’Young
a + a
L + L
F
– F a
a
Le Module d’Young
Par égalité des variations relatives de deux grandeurs proportionnelles, nous avons :
A l’équilibre L = N.a où N est le nombre d’atomes sur la droite Ox, N >> 1.
Δ ΔL a
L a
Le Module d’Young
La force subie par un atome à la surface droite ou gauche du cube vaut en norme : f = .a.
Or, comme chaque maille ne comporte qu’un atome, la surface S renferme n atomes :
2S
n a
Le Module d’Young
Ainsi, nous pouvons en déduire que la force F subie par la surface S vaut :
αΔ2 2S S
F n.f f aa a
Le Module d’Young
Finalement, en regroupant ces relations, on obtient :
Δ α α
Δ
Δα
α
Δ2
F a a L
L
S a a
a F
L
L S
aa
Le Module d’Young
Par identification avec la relation définissant le module d’Young, on en déduit son expression :
αΔ
F LE
S L a
Le Module d’Young
On peut ainsi exprimer la célérité des ondes dans un solide en fonction du module d’Young :
α α 3 3.a E.ac a
m m.a m ρ 3 3
m m8 8a a
ρE
c
Ordres de grandeur :
Diamant :
Acier :
Or :
Béton :
Polystyrène :
E 1 TPa = 103 GPa ;E 0,21
TPa;E 78 GPa;E 27 GPa;E 3 GPa;E 0,7 à 4 GPa;
Caoutchouc :