Ch11 Tests Basés Sur La régression de Gauss-Newton

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Chapitre 11Tests Bases sur laRegression de Gauss-Newton11.1 IntroductionDanslaSection6.4, nousavonsmontrequelaregressiondeGauss-Newtonoraitunmoyensimpledetesterdescontraintessurlesparam`etresdunefonction de regression d`es que lon disposait des estimations convergentes autauxn1/2decesparam`etresqui satisfontlescontraintes. Danslaplupartdescas, ellescorrespondentauxestimationsparmoindrescarresdumod`elecontraint. Dans la Section 10.8, nous avons montre que lon pouvait executerles tests pour `a peu pr`es tous les genres de correlations en serie grace `a desvariantes de la GNR. Au cours de ce chapitre, nous discuterons de nombreuxtests complementaires bases sur la GNR qui peuvent se reveler dune grandeutilite dans les etudes econometriques appliquees. Ces tests sont:(i) des tests degalite de deux (ou plus) ensembles de param`etres;(ii) des tests dhypoth`eses de mod`eles non embotes, pour lesquels un mod`elederegressionest testecontreunouplusieurs mod`eles alternatifs nonembotes;(iii) des tests bases sur la comparaison de deux ensembles destimations, dontlunestgeneralementconvergentsousdesconditionsmoinsfortesquelautre;(iv) des tests dheteroscedasticite dont la forme est connue.Dans la derni`ere section du chapitre,nous aborderons un materiau tr`esimportant et qui seratraiteendetail dans leChapitre16. LaregressiondeGauss-Newtonnestvalablequesouslhypoth`esedhomoscedasticitedesaleas, une hypoth`ese qui est quelquefois tropforte. Dans cette derni`eresection, nous discuterons duneregressionarticiellequi peutetreutiliseepour calculer des statistiques de test `achaque fois que lonpeut utiliserla GNR, mais qui a la propriete avantageuse de fournir des statistiquesdetest asymptotiquement valables memelorsqueles aleas manifestent unphenom`ene dheteroscedasticite dont la forme est inconnue. Nous presentonscette regression articielle parce quil sagit dun prolongement logique de la39411.2 TestsdEgalit edeDeuxVecteursdeParam` etres 395regression de Gauss-Newton, et parce quelle peut etre tr`es utile dans la pra-tique.11.2 Tests dEgalite de Deux Vecteurs de Param`etresLundesprobl`emesclassiqueseneconometrieconsiste`asavoirsi lescoe-cientsdunmod`elederegression(leplussouventunmod`elelineaire)sontidentiques si lonprenddeux(ouquelquefois davantage) sous-echantillonsdistincts. Dans le cadre des series temporelles, les sous-echantillons cor-respondraient generalement `a des periodes dierentes, et ces tests sont souventappeles tests de changement de regime. Parfois nous desirons savoir si les co-ecientssontidentiquesaucoursdedeuxoudeplusieursperiodesdanslebut de tester la bonne specication du mod`ele. Dans de telles circonstances,les ensembles de donnees temporelles peuvent etre divises en deux periodes,la periode actuelle et la periode passee, de facon assez arbitraire pour les be-soinsdutest. Cestuneattitudelegitime, maisdetelstestssontbeaucoupplus interessants lorsquil existe une raison de croire que les sous-echantillonscorrespondent`adesconjonctures economiquesbiendistinctes, tellesquelesmodications de taux de change ou de regimes politiques.1Dans le cadre desdonneesencoupetransversale, unedivisionarbitrairenestpresquejamaispertinente; au lieu de cela, les sous-echantillons representeraient des groupespotentiellementdierentstelsquelesmultinationalesetlesPME, lespaysdeveloppes et les pays du tiers-monde,ou encore les hommes et les femmes.Danscescas, lesresultatsdutestsontsouventinteressantseneux-memes.Parexemple, uneconomistespecialisedanslemarchedutravail peutetreinteresseparlesfonctionsdeterminantlesalairepourtestersi cesontlesmemes pour les hommes et pour les femmes, ou pour deux groupes ethniquesdierents.2Untraitement traditionnel de ce probl`eme prendses sources dans lalitterature statistique consacree `a lanalyse de la variance (Schee, 1959). Eneconometrie, cest`aG. C.Chow(1960)quelondoitunarticlenovateurettr`es inuent, et par la suite le test en Fhabituel pour legalite de deux ensem-bles de coecients dans les mod`eles de regression lineaire est souvent appelele test de Chow. Fisher (1970) fournit un expose plus clair de la procedure dutest de Chow classique. Dufour (1982) fournit un expose plus geometrique et1Lorsquil nyapas deraisondecroire`aunemodicationdes param`etres `aunedatequelconque,ilpeut etrepertinentdutiliseruneprocedurequinefaitreference`aaucunedate. OnutiliseraparexemplelesproceduresCUSUMetCUSUMdescarres,deBrown,Durbin,etEvans(1975).2Une fonction determinant le salaire etablit un lien entre les salaires et une seriedevariables explicatives telles quelage, laformation, et lexperience. PourdesexemplesdutilisationdetestsenFpourlegalitededeuxensemblesdecoecientsdanscecontexte,consulterOaxaca(1973,1974).396 TestsBas essurlaR egressiondeGauss-Newtonfait une generalisation du test pour manipuler nimporte quel nombre de sous-echantillons,dont certains peuvent avoir un nombre dobservations inferieurau nombre de regresseurs.Lamani`erehabituelledeposerleprobl`emeconsiste`apartitionnerlesdonnees en deux ensembles, cest-`a-dire `a partitionner le vecteury`an com-posantes de la variable dependante en deux vecteurs y1 et y2, respectivementde dimensionsn1etn2,et `a partitionner la matriceXdes observations surlesregresseursdedimensionn kendeuxmatricesX1etX2,quisontre-spectivement de dimensions n1k et n2k. Cette partition necessitera bienevidemmentquelesdonneessoientordonnees. Ainsilhypoth`esemaintenuepeut secrire commey1y2

=X100 X212

+u1u2

, E(uu

) = 2I, (11.01)o` u1et2sont des vecteurs `ak param`etres quil faut estimer. Lhypoth`esenulle que lon teste est1=2=. Sous cette hypoth`ese nulle, lequation(11.01) se reduit `ay y1y2

=X1X2

+u1u2

X +u, E(uu

) = 2I. (11.02)Lorsqu`a la fois les tailles n1et n2sont superieures au nombre deparam`etresk, cequi estlecaslepluscourant, il estaisedetester(11.01)contre(11.02)enfaisantusageduntestenFordinairetel quecelui dontnous avons discute`alaSection3.5. Lasommedes residus aucarrenoncontrainte qui resulte de lestimation de (11.01) estUSSR = y1

M1y1 +y2

M2y2 = SSR1 + SSR2,o` uMi I Xi

Xi

Xi

1Xi

pouri = 1, 2. Ainsi USSR correspond simple-ment `a la somme de deux SSR correspondant respectivement aux regressionsdey1 surX1 et dey2 surX2. La SSR contrainte qui decoule de lestimationde (11.02) estRSSR = y

MXy,o` uMX I X(X

X)1X

. Ainsi la statistiqueFordinaire est

y

MXy y1

M1y1y2

M2y2

/k

y1

M1y1 +y2

M2y2

/(n 2k)=(RSSR SSR1SSR2)/k(SSR1 + SSR2)/(n 2k). (11.03)Cetestcomporteketn 2kdegresdeliberte. Il yakcontraintesparceque le mod`ele contraint ak param`etres alors que le mod`ele non contraint enposs`ede 2k.La statistique de test (11.03) est ce que de nombreuxpraticiens eneconometrie croient etre le test de Chow. Trois limites immediates `a ce test11.2 TestsdEgalit edeDeuxVecteursdeParam` etres 397se presentent. La premi`ere limite est que lon ne peut pas lappliquer lorsquemin(n1, n2)