CFDCFDの基礎の基礎

九州大学 応用力学研究所

内田 孝紀

非定常・非線形風況・拡散シミュレータ非定常・非線形風況・拡散シミュレータ

RIAMRIAM--COMPACTCOMPACT

数数((十十)km)km以下の以下の局所域局所域スケールスケールに的を絞り，時々刻々に的を絞り，時々刻々とと変化する，風に対する地形や建物の効果を高精度に変化する，風に対する地形や建物の効果を高精度に

予測予測するする九州大学応用力学研究所数値モデル九州大学応用力学研究所数値モデル((CFDCFDモデルモデル))

Research Institute for Applied Mechanics, Kyushu University,COMputational Prediction of Airflow over Complex Terrain

非定常に変化する風況特性をアニメーションとして視覚化できる非定常に変化する風況特性をアニメーションとして視覚化できる

大の特徴

風洞実験◇模型製作を含めて高価である◇膨大な時間を要する

◆風洞実験を補完する数値シミュレーション(CFD)

◆風洞実験を先導する数値シミュレーション(CFD)

◆風洞実験に代わる数値シミュレーション(CFD)

◆数値シミュレーション(CFD)による実験（数値実験）

→風工学の分野：CWECWE((CComputationalomputational WWind ind EEngineering)ngineering)

CFDCFD技術（ソフト）技術（ソフト）

コンピュータ（ハード）コンピュータ（ハード）急速な進展

http://www.takenaka.co.jp/

風洞実験の様子

風洞実験の代替ツールとしての風洞実験の代替ツールとしてのCFDCFDーーCFDCFD((CComputationalomputational FFluid luid DDynamicsynamics))ーー

市街地

実地形

風洞実験から数値実験風洞実験から数値実験((数値シミュレーション数値シミュレーション))へへーー数値風洞数値風洞NWTNWT((NNumericalumerical WWind ind TTunnel)unnel)の確立の確立ーー

http://www.allamericanracers.com/http://www.compusys.co.uk/

http://www.advantage-cfd.co.uk/

http://www.risoe.dk/http://www.nrel.gov/wind/

CAECAE：：コンピュータによる設計製造支援コンピュータによる設計製造支援

オフセット衝突実験とは･･･実際の衝突事故では，ドライバーは衝突を避けようとするため，障害物に対して全面ではなく部分的に衝突することが多くなる．そうした状況を想定したのがオフセット衝突実験．

http://www.subaru.co.jp/

CAECAE（CComputer AAided EEngineering）．．．コンピューター上で仮想的にモノを作りコンピューター上で仮想的にモノを作り，，様々な条件下での仮想実験を行うシミュレーション技術のこと様々な条件下での仮想実験を行うシミュレーション技術のこと．．仮想実験を繰り返すことで仮想実験を繰り返すことで，，試作品製作や実物モデルでの実験回数を減らすことができ試作品製作や実物モデルでの実験回数を減らすことができ，，モノ作りの開モノ作りの開発期間短縮発期間短縮，，コスト削減に大きく貢献していコスト削減に大きく貢献している．る．

自動車メーカは運輸省の衝突安全基準に基づいて自動車メーカは運輸省の衝突安全基準に基づいて，，コンピュータ・システムをフル活用した衝突シミュコンピュータ・システムをフル活用した衝突シミュ

レーションや実車衝突実験を行いレーションや実車衝突実験を行い，，衝突安全性の向上を目指してい衝突安全性の向上を目指している．る．

http://www.jmf.or.jp/

オフセット衝突実験

実車試験

コンピュータシミュレーション

★ 数値流体力学（Computational Fluid Dynamics）コンピュータを用いて流れを解明しようとする方法

★ 実験流体力学（Experimental Fluid Dynamics）風洞実験や水槽実験などの室内実験において流れの速度や圧力を計測し，流れを解明しようとする方法

★ 理論流体力学（Theoretical Fluid Dynamics）数学的・解析的に流れを解明しようとする方法

流体力学流体力学(Fluid Dynamics)(Fluid Dynamics)の分類の分類

レオナルド・ダヴィンチによる渦のスケッチ 済州島の下流に形成されたカルマン渦

http://weather.is.kochi-u.ac.jp/

CFDCFDにおける計算手法の分類における計算手法の分類

◆ (有限)差分法 FDM (Finite Difference Method)対象とする領域を格子(セル，メッシュ)に分割し，支配方程式を離散化し，格子点上の値を未知数とする連立代数方程式を解くことで解を求める方法．使用できる格子は構造格子のみで，プログラミング化が容易であること，高次（4次，5次）の差分スキームが使用できること，ベクトル化が容易であるという利点がある．その反面，複雑な形状に対しては非構造格子が使用できないため，適用が困難という欠点がある．→RIAM-COMPACTで採用している計算手法

◆有限体積法 FVM (Finite Volume Method)対象とする領域を格子(セル，メッシュ)に分割し，個々の格子において支配方程式を積分して全領域において保存則を満たす離散化式を導く手法．使用できる格子は構造，非構造格子で，高次（4次，5次）の差分スキームの使用は困難であるという欠点がある．しかし，複雑形状に対して適用が可能であるという利点があり，現在の流体解析では主流となっている方法である．商用コードのFLUENTやSTAR-CDでもこの有限体積法が使用されている．

◆有限要素法 FEM (Finite Eelement Method)構造力学などの分野において，構造物の変形や応力解析にも広く用いられている．解析対象物や対象とする流体領域を，三角形や四角形，六角形などの細かい「要素」に分割して全体の挙動を求める手法．

差分法差分法(FDM)(FDM)の考え方の考え方

2

2 0d Tdx

1 12

1 1

2 0

2 0

i i i

i i i

T T Tx

T T T

1

2

3

4

5

6

1 0 0 0 0 0 1001 2 1 0 0 0 00 1 2 1 0 0 00 0 1 2 1 0 00 0 0 1 2 1 00 0 0 0 0 1 0

TTTTTT

①微分方程式(支配方程式)

②差分方程式

③連立代数方程式

④行列の解法

◆直接法 : ガウスの消去法

◆緩和法 : ヤコビ法，ガウスザイデル法SOR法 etc

→流体解析ではこちらが一般的

⑤解の取得

離散化

100℃（境界条件）

0℃(境界条件)

連続体

100℃ 0℃未知数

T1

x

T2 T3 T4 T5 T6

T2=80℃，T3=60℃，T4=40℃，T5=20℃

計算格子計算格子((グリッド，メッシュ，セルグリッド，メッシュ，セル))の種類の種類

◆構造格子(Structured grid)

整然と配置されて｢i,j,k番目｣などと指定可能

1)直交直線不等間隔スタガード格子（Orthogonal non-uniform staggered grid）2)一般曲線座標系コロケート格子（Generalized curvilinear collocagted grid）

◆非構造格子(Unstructured grid)

風の流れ風の流れ((流体流体))の支配方程式の支配方程式

我々が対象にする流れ→非圧縮・粘性流体

2i i i

jj i j j

u u up 1ut x x Re x x

i

i

u 0x

連続の式

Navier-Stokes方程式(運動方程式)

◆非圧縮とは．．．圧縮も膨張もせず，密度(質量)が変化しない．マッハ数M<0.3 ◆粘性とは．．．実在する流体(水，空気etc)は全て粘性の影響は無視できない．

時間項 対流項(非線形項)

圧力勾配項

粘性項

時間項+対流項(非線形項) 時間項+粘性項

Re:Reynolds（レイノルズ）数非常に重要な無次元パラメータ

Time

f

Time

f時間とともに波形が減衰

時間とともに波形が変化，高周波の生成

レイノルズ数とはレイノルズ数とは

レイノルズ数 (Reynolds number) とは．．．

慣性力と粘性力との比で定義される無次元数．

イギリスの物理学者・技術者オズボーン・レイノルズ (Osborne Reynolds) が定義した．

代表速度スケール

代表長さスケール

物体が大きいほど・速いほど・粘性が小さいほどReの値が大きくなる．

風力発電で対象にする複雑地形を過ぎる風の流れは，高Re数の複雑乱流場である．物

性値

乱流とは乱流とは

◆不規則性瞬時の運動度捉えるのは困難

◆散逸性粘性に伴う運動エネルギー散逸のため，エネルギーの供給がなければ，乱れは完全に減衰

◆連続性大きな渦から小さな渦まで連続的に存在

◆拡散現象運動量，物質，エネルギーの移動に大きく寄与

◆高レイノルズ数一般的にレイノルズ数の増加に伴い，流れは不安定になり層流から乱流へ遷移Navier-Stokes方程式の対流項(非線形項)が卓越する．

◆3次元的な渦運動回転を伴う3次元運動する渦の集合体

代表的な乱流場代表的な乱流場

http://www.nagare.or.jp/docs/gallery/gallery_1998_0.html

http://www.lstm.uni-erlangen.de/SFB603_C3/applications/channel/index_e.html

http://www.efluids.com/efluids/gallery/

自由せん断乱流◆空間的に拡散する乱流場．

一様等方性乱流◆乱れの大きさが空間的に一様，等方である．

◆実現象としては起こりにくい，理想的な乱流場．

壁面せん断乱流◆固体壁に接する乱流場．

複雑乱流場複雑乱流場

鈍頭物体：ブラフボディ(Bluff Body)

http://www.cfd.tu-berlin.de/start.html

Man made structure God made structure

複雑乱流場

乱流乱流CFDCFDの戦略①の戦略①風の流れ(流体)の支配方程式：Navier-Stokes(ナビエ・ストークス)方程式

DNS (Direct Numerical Simulation)

現在の計算機環境では不可能

◆一般的にDNSに必要な格子点数NはRe9/4

◆Re=104の場合にはN=109，1辺に103点が必要

http://www.beilke-cfd.de/html_home.htm http://www.lcp.nrl.navy.mil/cfd-cta/CFD3/http://www.adpltd.uk.com/

http://www.risoe.dk/

http://www.jma.go.jp/

何のモデル化も施さず，人工的な数値拡散成分などを一切付加しない手法

計算メッシュの例

乱流乱流CFDCFDの戦略②の戦略②

時間平均時間平均((アンサンブルアンサンブル平均，レイノルズ平均平均，レイノルズ平均))

RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes eq.)

流体力学モデルLAWEPS工学モデル, MASCOT

気象モデルLAWEPS気象モデル, LOCALS,MM5, RAMS, ARPS, WRF

空間平均空間平均

LES (Large Eddy Simulation)

流体力学モデルRIAM-COMPACT

何らかのモデル化が必要！時間平均を施したN-S方程式には，非線形であるため二重相関項であるレイノルズ応力が含まれる．これを知るためにはその輸送方程式を解かなければならない．ところが，そこには三重相関項が含まれ，三重相関項の輸送方程式には四重相関項が含まれる，といったように方程式が閉じることはない(クロージャー問題)．

→レイノルズ応力，あるいは，レイノルズ応力の輸送方程式中の未知項のモデル化が必要．

→高次相関項を低次の物理量(既知量)でモデル化する必要がある(渦粘性モデルなど)．

→RANSのモデル化は全ての乱流成分に対して行なわれる．

→流れ場の形状や境界条件に大きく依存する．

LESでモデル化されるSGS成分は，小スケールの等方的な変動である．

→流れ場の形状や境界条件への依存性はRANSに比べて小さい．

乱流乱流CFDCFDの戦略③の戦略③

◆DNS(Direct Numerical Simulation)★厳密な支配方程式を直接的に解く手法．物理モデルは適用しない．★計算コストが非常に高く，複雑形状への適用も困難なため，現在でも基礎研究の分野での活用

に留まっている．将来的にも実用化の可能性はかなり低い．

◆LES(Large Eddy Simulation)★空間的に平均化(フィルタリング)された支配方程式を数値的に解く手法．大きな渦は直接計算

され，フィルタ幅よりも小さな渦は物理モデル(Subgrid scaleモデル)でその影響をモデル化する．★DNSに比べて計算コストは低い．3次元非定常解析が前提条件である．

◆RANS(Reynolds Averaged Navier-Stokes eq.)★アンサンブル(集合)平均された支配方程式を解く手法．乱れ成分(乱流成分)は全てモデル化．★定常解析も可能なため，産業分野で一般的に活用されている．

【DNS研究の一例】

直接測定できない情報を得る直接測定できない情報を得る

§瞬時の3次元流れ場，渦度場，圧力場§高次の統計量など

http://www.galcit.caltech.edu/Seminars/Fluids/PastFluids/2004-2005/Kaneda_abs.html

乱流乱流CFDCFDの戦略④の戦略④

SmallSmallLargeRANS

LargeLargeSmallLES

Very Large

EssentialNegligibleDNS

ComputerDependency

GridDependency

ModelDependency

◆RANS(Reynolds Averaged Navier-Stokes eq.)ほとんどの乱れスケールをモデル化する(平均成分＋乱流成分)．

◆LES(Large Eddy Simulation)小スケールの等方的な乱れのみをモデル化する（GS成分＋SGS成分）．

◆DNS(Direct Numerical Simulation)乱れのエネルギーのほとんど全てを計算する．

実用計算

基礎研究

LESLESははDNSDNSととRANSRANSのの中間的な手法中間的な手法

急激な進展

乱流乱流CFDCFDの戦略⑤の戦略⑤

乱流解析法の分類

DNS

RANS

LES

☆モデル化の容易さから代数近似型モデルが主流

1)SGS応力：GS成分の速度勾配に比例すると仮定2)SGS渦粘性係数：解く程度に応じて分類される

・0方程式SGS渦粘性モデル（平均流れ場(GS成分)の情報だけで決定：Smagorinskyモデル）

・1方程式SGS渦粘性モデル（SGSエネルギーの輸送方程式を解き，その平方根で与える）

乱れの効果は乱流応力 ( tu rbu lence stress)という形で平均流れの支配方程式に現れる．この応力を何からかの形で近似することを乱流モデルと言う．

（レイノルズ応力輸送型モデル）（レイノルズ応力輸送型モデル）

（渦粘性型モデル）（渦粘性型モデル）

乱流乱流CFDCFDの戦略⑥の戦略⑥

◆ DNS(Direct Numerical Simulation)・スペクトル法・擬似DNS（風上差分による数値粘性の導入）

◆ LES(Large Eddy Simulation)・渦粘性モデル（Smagorinskyモデル：代数近似（0方程式モデル））・スケール相似則モデル（Bardinaモデル）・Smagorinsky/スケール相似則混合モデル・混合時間スケールモデル（渦粘性モデル）・1方程式SGS渦粘性モデル（SGSエネルギーの輸送方程式を解く）・ダイナミックプロシージャーに基づいた各種SGSモデル

◆ RANS(Reynolds Averaged Navier-Stokes eq.)・0方程式渦粘性モデル（プラントルの混合距離モデル）・1方程式渦粘性モデル（Prandtl model，Spalart-Allmaras model，

Baldwin-Barth model）・2方程式渦粘性モデル（k-εモデル，k-ωモデル，k-lモデル）・応力方程式モデル

乱流解析法の分類

乱流乱流CFDCFDの戦略⑦の戦略⑦

波数空間での乱流解析法の分類

3次元乱流のエネルギースペクトル

【エネルギー保有領域】乱流が作られて，エネルギーの大部分を保有する領域．

【慣性小領域】慣性力による波数間のエネルギー伝達が支配的で粘性の作用を含まない領域．エネルギーカスケードが主要な現象であり，乱流エネルギーの生起や消失はない． 渦の分裂・合体のみ．

【エネルギー散逸領域】粘性摩擦により運動エネルギーが熱に変換される領域．

【コルモゴロフの第一仮説】小さな渦運動の統計的性質は乱流エネルギー散逸率εと動粘性係数νのみで決定される．

【コルモゴロフの第二仮説】慣性小領域：-5/3乗スペクトル

低波数でエネルギーの供給

高波数へ輸送(非線形効果)

熱エネルギーとして散逸

DNSLES

RANS

or 普遍平衡領域

いわゆる，-5/3乗則

乱流乱流CFDCFDの戦略⑧の戦略⑧

E(k)

kke kd

慣 性 小 領 域(エネルギーの生成も散逸もない平衡領域，渦の分裂・合体のみ)

エネルギー生成領域(平均流からエネルギーの注入)

エネルギー散逸領域(渦の運動エネルギーが粘性摩擦で熱エネルギーに変換)

乱流エネルギーのスペクトル分布

E(k)∝k-5/3

渦 の 大 き さ

局所平衡領域（小さい渦は等方的）

コルモゴロフの散逸スケール： 小の渦スケール：長さスケールη=(ν3/ε)1/4

：波数kd=1/η，ε：乱流エネルギー散逸率，ν：動粘性係数

コルモゴロフの散逸スケールコルモゴロフの散逸スケール： 小の渦スケール：長さスケールη=(ν3/ε)1/4

：波数kd=1/η，ε：乱流エネルギー散逸率，ν：動粘性係数

乱流乱流CFDCFDの戦略⑨の戦略⑨

七ツ釜五段の滝（山梨県山梨市）http://www.ringwander.ne.jp/~taro/tabi/siryouko/taki100.html

Flow

Lη:コルモゴロフの 小渦スケール

エネルギーカスケード

L η=L/Re3/4

Large-scaleeddies

Dissipatingeddies

L

η

Injection of energy Dissipation of energy

Flux of energy

Resolved

DNS ΔDNS

ΔLES

Resolved Modeled

LES

Modeled

RANS

ソフトウエアソフトウエアRIAMRIAM--COMPACTCOMPACTの実行手順（フローチャート）の実行手順（フローチャート）

国土地理院の50m標高数値データなど

DXF形式のCADデータなど

前処理

ソルバー(乱流モデルLES)

後処理(共通)

実地形版実地形版(中型・大型風車用)

市街地版市街地版(小型風車用)

実地形版リアムコンパクトソフトウエア実地形版リアムコンパクトソフトウエアの操作手順の操作手順

格子生成（RCRC--ElevgenElevgen）

流れの可視化（RCRC--ScopeScope）

ソルバー（RCRC--SolverSolver）

Windows搭載のPC1台で動作可能

風車図挿入のための作業（RCRC--WindmillMakerWindmillMaker）

年間発電量の評価（RCRC--ExplorerExplorer）

ステップステップ11

ステップステップ22

ステップステップ33

ステップステップ44

ステップステップ55

前処理Pre-processing

後処理Post-processing

前処理（プリプロセッシング）前処理（プリプロセッシング）

RCRC--ElevgenElevgen 地形表面に沿った計算格子

計算対象領域を選定し，計算格子(メッシュ)を生成するソフト

◆国土地理院の50m標高データ，北海道地図(株)の10m標高データが利用可能◆紙地図やDXF形式のCADデータから作成した2～5mの高解像度標高データが利用可能◆格子節点上の公共座標(緯度・経度情報)を出力可能◆水平方向および鉛直方向のメッシュ幅の編集が可能(可変メッシュ)◆任意地形の削除が可能(地形干渉などの調査に利用)◆公共座標を十進経緯度で指定することで，風力タービン位置を表示可能

前処理（プリプロセッシング）前処理（プリプロセッシング）

RCRC--WindmillMakerWindmillMaker

計算結果に挿入する風力タービン線図を作成するソフト

◆ 大60基まで設定可能◆10進経緯度による立地点の指定◆風向，ブレード直径(ローター直径)，タワー(支柱)高さ，表示色を設定可能

風力タービン線図を実際に挿入した様子

ソルバー①ソルバー①複雑地形上の大気乱流場：複雑乱流場：大小様々な渦の流れ：大規模非定常渦が本質的

粗視化 (Coarse graining)

グリッドスケール(GS)⇒直接解く サブグリッドスケール(SGS)⇒モデル化する(SGSモデリング)

Large-Eddy Simulation：複雑乱流場に適した次世代モデル

'iuiu

iu

'ii iu u u

非線形相互作用

格子で解像される，格子に引っかかった大規模渦 ふるい落とされた細かい小規模渦(乱れの影響)

ソルバー②ソルバー②

大まかな流れの抽出

フィルター操作

SGS成分 GS成分Δ Δ フィルター幅

GS成分

SGS成分

瞬間値

ソルバー③ソルバー③

乱流モデルの必要性

カットオフ波数：計算で捉えられる 小渦の大きさ

iu 'iu

非線形相互作用

粗い格子での小規模変動(u’i)を無視したナビエ・ストークス方程式の直接計算は大まかな乱流(ui)の計算ではない．

基礎式は，計算格子捉えられない小規模変動(u’i)，すなわち，乱れの作用(非線形相互作用)を含んだものでなければならない．

コルモゴロフ相似則

Re数の増加とともに波数帯は広がる．

ソルバー④ソルバー④

LESの物理的背景

カットオフ波数：計算で捉えられる 小渦の大きさ

コルモゴロフ相似則

小さい渦は等方的であり，統計的な性質は流れ場全体の特徴に拠らず普遍的『局所等方性の仮説』

◆LESの理論的根拠コルモゴロフ相似則（コルモゴロフの第二仮説，-5/3乗則）

◆物理的考察に基づいてモデル化が可能！

◆普遍性のある慣性小領域にフィルタを置くことで普遍性の高い物理モデル構築の期待！

大きい渦は流れ場の形状，レイノルズ数に依存する．

GS成分（直接計算）

SGS成分（モデル化）

E(k)∝k-5/3

SGS s sC f S b g2【【スマゴリンスキーモデルスマゴリンスキーモデル（（LESLESと同一視される代表的モデル）と同一視される代表的モデル）】】→→局所平衡と渦粘性（分子粘性における類推）を仮定局所平衡と渦粘性（分子粘性における類推）を仮定

LES(Large-Eddy Simulation)の支配方程式：非定常解析が可能な乱流モデル

【【連続の式連続の式】】 【【Filtered Filtered NavierNavier--StokeStoke方程式方程式】】

ソルバー⑤ソルバー⑤

2iji i i

jj i j j j

u u u1 put x x x x x

i

i

u 0x

' ' ' 'ij i j i j i jj i i ju u u u u u u u u u

フィルタ操作により新たに生じた項

' ' ' 'ijij k k ij SGSi j

1u u u u 2 S3

f zs 1 25exp /e jS S Sij ij 2

1 2d i / S ux

uxij

i

j

j

i

FHG

IKJ

12 h h hx y zd i1 3/

sC ：モデル定数

Leonard項Lij Cross項Cij SGS Reynolds Stress項Rij

“R”と称する

乱流モデル(SGSモデル)

R=R(ui，p)が必要

基礎式の完結(close)

基礎式4vs

未知変数4

代表スケール

Lij+Cij=0，SGS Reynolds stress項Rijのみをモデル化

【【連続の式連続の式】】 【【Filtered Filtered NavierNavier--StokeStoke方程式方程式】】

ソルバー⑥ソルバー⑥

2i i i

ijj SGS ij SGSj i j j j

i iijj SGS SGS

j i j

i iijj SGS

j i j

u u u1 p 2u k 2 St x x x x x 3

u u p 2u k 2 St x x 3 x

u u Pu 2 St x x x

i

i

u 0x

スマゴリンスキーモデルスマゴリンスキーモデルの有次元のまとめの有次元のまとめ

【【連続の式連続の式】】 【【Filtered Filtered NavierNavier--StokeStoke方程式方程式】】：：SGSSGS渦粘性が付加された渦粘性が付加されたNSNS方程式方程式

i iijj SGS

j i j

u u P 1u 2 St x x x Re

i

i

u 0x

スマゴリンスキーモデルスマゴリンスキーモデルの有次元のまとめの有次元のまとめk u u u u u uSGS k k k k k k

12

12d i ' '

但し，

CodeⅠ CodeⅡ

Coordinate System Cartesian Coordinate System

Generalized Curvilinear Coordinate System

Variable Arrangement Staggered Grid Collocated GridDiscretization Method Finite-Difference Method (FDM)Coupling Algorithm Fractional Step MethodTime Advancement Method Euler Explicit MethodPoisson Equation for Pressure Successive Over Relaxation (SOR) Method

Convective Terms 3rd-order Upwind Biased Schemebased on an Interpolation Method (α=0.5)

Other Spatial Derivative Terms 2nd-order Central SchemeSGS Model Smagorinsky Model ＋ Wall Damping Function

ソルバー⑦ソルバー⑦ 市街地版 実地形版

ユーザーは，計算格子と数個の計算パラーメータを指定するだけで計算がスタート！

ソルバー⑧ソルバー⑧RCRC--SolverSolver

後処理（ポストプロセッシング）後処理（ポストプロセッシング）

RCRC--ScopeScope

膨大な数値データの羅列を人間が見て分かるように視覚化するソフト

◆計算格子(計算メッシュ)◆速度ベクトル◆等値線，等値面◆カラーシェーディング◆流線，流跡線，流脈線，粒子追跡◆サーフェスパスレンダリング◆ボリュームレンダリング◆グラフ表示などの種々の可視化技術が標準実装