算数・数学を活用する力をはぐくむ問題例...単元別構成表（中学校）...

算数・数学を活用する力をはぐくむ問題例

中学校編

単元別構成表（中学校）

【第１学年】

単元平成22年度平成21年度（問題・趣旨は平成21年度版参照）

正の数・負の数魔方陣の規則を考えよう問題・趣旨～授業アイディア例

文字を用いた式

一元一次方程式追いつくまでの時間を求めよう授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

比例，反比例速さの違いとかかる時間を考えよう問題・趣旨～授業アイディア例

ランドルト環の中にある規則を見つけよう問題・趣旨～授業アイディア例

平面図形どんな模様ができるだろう授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

空間図形溶けたアイスがあふれないか考えよう移動した後の図形について考えよう問題・趣旨～授業アイディア例授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

資料の散らばり読書調べの結果について考えよう授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

【第２学年】


文字を用いた式カードに書かれた自然数の規則性を考えようの四則計算授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

連立二元一次方回転寿司を何皿食べたのか考えよう程式問題・趣旨～授業アイディア例

一次関数水そうの水について考えよう電話料金をくらべよう問題・趣旨～授業アイディア例授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

基本的な平面図形と平行線の性質

図形の合同球のはね返りを考えよう平行四辺形を作図しよう問題・趣旨～授業アイディア例授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

角の和を求めよう授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

確率すごろくのあがりを考えよう問題・趣旨～授業アイディア例

【第３学年】


平方根

式の展開と因数碁石は何個ずつ増えるいくのか考えよう並んだカードの条件から，わからない数を求めよう分解問題・趣旨～授業アイディア例授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

二次方程式

関数標準体重を求めようピザのサイズから価格を考えよう問題・趣旨～授業アイディア例授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

図形の相似街灯の電球までの高さと影の面積を求めよう授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

円周角と中心角円の半径を求めよう授業アイディア例 (問題・趣旨は平成年度版参照)

三平方の定理水がたくさん入るのはどちらか考えよう問題・趣旨～授業アイディア例

標本調査人出を調べてみよう問題・趣旨～授業アイディア例

― 73 ―

ア

イ

ウ

エ

魔方陣の規則を考えよう

問太郎さんは，次のような問題を考えています。

正方形のマスの中に異なる数をつずつ入れて，縦，横，斜めに

並んだ数の和をどれも同じにする遊びを魔方陣といいます。まほうじん

右の図のような，縦，横がそれぞれつの正方形のマスの中に，

からまでの個の整数をつずつ入れて，魔方陣を完成させな

さい。

この魔方陣を完成させるために，太郎さんは次のような手順で考えました。

(１) 太郎さんは，右の図のようにからまでの個の整数

を左上から小さい順に並べてア～エの行に注目してみました。

ア～エのそれぞれの行について，整数の和を求めなさい。

アイウエ

(２) 太郎さんは，（１）の結果からアの行とエの行に注目しなが

ら，縦に並んだ数の和のことを考えて，と，とを

入れかえてみました。アの行，エのそれぞれの行について，整

数の和を求めなさい。

アエ

ア 8 5

エ -4 -7

― 74 ―

(３) 太郎さんは，（２）のように，すみの整数を対角線方向で

入れかえた後に，Ａの列とＤの列に注目して，それぞれの列に

ついて整数の和がになっていることに気づきました。また，

斜めに並んだつの整数の和もになっていることに気づきま

した。

そこで，中央のつの整数を入れかえることによって魔方陣

が完成すると予想しました。

太郎さんが予想したことをふまえて，魔方陣を完成させなさ

い。

(４) 太郎さんは，友達から「数を変えてもできそうな気がする」と言われました。そこで，整数

をつ置きにしたの中の個の整数で魔方陣を完成することにしました。

，，，，，，，，，，，，，，，

① の中の個の整数で魔方陣を完成させなさい。

② 差が一定で変化する個の他の数の場合でも活用できるように，（１）～（３）で考えた

ことをもとにして，魔方陣を完成させる方法を説明しなさい。

【説明】

ＡＢＣＤ

ア

イ -2 -1

ウ 2 3

エ

― 75 ―

中学校第１学年Ａ数と式「魔方陣の規則を考えよう」

１出題の趣旨

小学校では，第学年までに整数についての四則計算の意味や四則計算に関して成り立つ性質な

どを取り扱い，その定着と活用を図っている。また，第学年までに小数，分数についてその意味

と四則計算，四則計算に関して成り立つ性質を学習し，数についての感覚や見方を広げ，第学年

においてその定着と活用を図っている。

その上で，中学校第学年では，数の範囲を正の数と負の数まで拡張し，その四則計算ができる

ようにするとともに，具体的な場面で正の数と負の数を用いて表したり処理したりできるようにす

ることがねらいである。

この問題では，負の数を含んだ個の整数での魔方陣を完成させることを通して，身に付

けた正の数と負の数の加法，加法に関する交換法則，結合法則を活用するとともに，魔方陣を完成

させる方法を読み取ることをねらいとしている。また，読み取った魔方陣を完成させる方法につい

て，自分なりに説明することをねらいとしている。

さらに，この問題は，魔方陣が自然数だけではなく，負の数を含んでも成り立つことを考察する

ことを通して，小学校第学年から漸次指導してきた数の範囲を拡張することの理解にもつながる

ものである。また，第学年における「文字を用いた式」や第学年における「平方根」の学習へ

と直接つながるものであり，特に「平方根」の学習では，数の拡張についても対象となる。

［四つの観点との対応］

物事を数・量・図形などに着与えられた情報を分類整理し筋道を立てて考えたり振り返事象を数学的に解釈したり自

目して観察し的確にとらえるたり必要なものを適切に選択って考えたりすること分の考えを数学的に表現した

ことしたりすることりすること

○ ○ ○

２各問題の趣旨

評価の観点

学習指導要領における問題番号出題のねらい

領域・内容

(１) 第学年Ａ数と式同符号の数について加法の計算

（）具体的な場面を通して正の数ができる。○

と負の数について理解し，その

(２) 四則計算ができるようにすると異符号の数について加法の計算

ともに，正の数と負の数を用いができる。○

て表現し考察することができる

(３) ようにする。正の数と負の数の加法を利用し

ウ正の数と負の数の四則計算て，さまざまな場合について調べ， ○ ○

をすること。適するものを見つけることができ

エ具体的な場面で正の数と負る。

の数を用いて表したり処理し

(４)① たりすること。魔方陣を完成させる方法を理解

し，別の数字で確かめることがで ○

きる。

(４)② 魔方陣を完成させる方法を自分

なりに説明することができる。○

数学的な見方や考え

方数学的な技能

数量や図形などにつ

いての知識・理解

― 76 ―

３正答と解説

問題番号正答（例）解説

(１) ア（考え方）

イア ()()()()

ウイ ()()()

エウ

エ

(２) ア（考え方）

エア ()()

エ ()()

(３) （考え方）

・斜めのつの整数の和がで合っている

ので，中央のつの数を対角線方向で入

れかえて縦，横の和が合うか確かめてみ

る。

イ ()

ウ ()()

Ｂ ()()

Ｃ ()()

（４）① （補足）

・差が一定で変化する個の数であれば，

整数でなくても成立する。文字の式の学

習の後であれば，文字で確かめることも

できる。

（４）② ) 左上から小さい順に数を入れる。・表現が違っても内容が正しければ正答と

) すみの数を対角線方向で入れかえる。する。

) 中央のつの数を対角線方向で入れか

える。

- -

- -

- -

- -

- -

― 77 ―

溶けたアイスがあふれないか考えよう

問太郎さんと花子さんはアイスクリームを買いに行き，半球のアイスをつのせた「ダブル」を注文しました。

太郎さん：もしこのアイスがすべて溶けたとしたら，溶け

たアイスはコーンからあふれてしまうのかな。

花子さん：うーん，そうね。わたしはあふれると思うわ。

太郎さん：体積を求めるしか，方法はないのかな。

花子さん：そんなことはないわよ。

(１) 太郎さんは，体積を求めるために店のパンフレットを見なが

らアイスクリームのサイズを確認しました。アイスの部分を半

球がつとみなしてその半径は，コーンの部分を円錐とすい

みなしてその底面の半径はで高さはでした。

太郎さんが確認したサイズをもとに，どちらの体積がどれだ

け大きいか，その差を，円周率を用いて表しなさい。ただ

し，アイスは溶けても体積は変わらない，コーンにしみこまな

いものとします。

― 78 ―

(２) 花子さんは，店のパンフレットを見ながらアイスクリームのサイズを確認すると，コーンの

高さはアイスの半径の倍でした。体積が何倍になるかを考えるために，花子さんは，半径と

高さが同じ長さの円柱を基準に，次のような図をかきました。花子さんのかいた図を利用して，

アイスの部分の球とコーンの部分の円錐の体積はどちらが大きいといえるか説明しなさい。

花子さんのかいた図

【説明】

(３) コーンの底面の半径を変えないで溶けたアイスがあふれないようにするためには，コーンの

高さを何以上にすればよいか求めなさい。

？倍？倍？倍アイスの部分

コーンの部分 ④

① ② ③

？倍

― 79 ―

中学校第１学年Ｂ図形「溶けたアイスがあふれないか考えよう」

１出題の趣旨

小学校では，第学年までに立方体や直方体及び角柱や円柱の体積を求めることを学習している。

特に柱体の体積は底面積と高さの積として求められることを押さえてきている。

中学校第学年では，小学校で学習したことに加え，錐体の体積は底面積と高さが等しい柱体の

体積の球の体積はそれがぴったりと入る円柱の体積のであることなど，既習の立体と関連

付けながら学習する。

この問題では，アイスクリームをモデル化し，アイスの部分を半球二つ，コーンの部分を円錐と

みなして，異なる二つの立体の体積を，具体的な数値や文字で比較したり体積を差の関係や比の関

係で比較したりして，同じものをいろいろな観点から考察することをねらいとしている。また，学

校で学んだことを日常生活の中で積極的に使い，直観的に結果を見通したり，既習の立体について

体積の比を根拠に演繹的に考察したりしていく態度を培うことをねらいとしている。

さらに，この問題は立体の底面の半径や高さに着目し考察することを通して，第学年における

「相似比と体積比」，また「三平方の定理」を利用して錐体の高さを求める学習へとつながるもの

である。





○ ○


評価の観点


領域・内容

(１) 第学年Ｂ図形アイスクリームのアイスの部分

（）観察，操作や実験などの活動を半球が二つ，コーンの部分を円

を通して，空間図形についての錐としてみなし，具体的数値で二 ○

理解を深めるとともに，図形のつの部分の体積を求めることによ

計量についての能力を伸ばす。って，差で比較することができる。

ウ扇形の弧の長さと面積並び

(２) に基本的な柱体，錐体及び球コーンの高さがアイスの半径の

の表面積と体積を求めること。倍であることを確認し，半径と

高さが等しい円柱を基準として，○ ○

アイスの部分とコーンの部分の体

積を比で比較し，説明することが

できる。

(３) 溶けたアイスがあふれないよう

にするため，コーンの高さに着目○

して，どのようにすればいいのか

を求めることができる。





― 80 ―

３正答と解説


(１) アイスの部分の体積は

( )

コーンの部分の体積は

()

したがって，

よって，アイスの部分が大きい。

(２) 倍倍倍

④

① ② ③

倍

上の図から，アイスの部分の体積はコーンの部分の体積の倍となる。

だから，アイスの部分の体積のほうが大きい。

（別解）

半径をとすると，それぞれの立体の体積を求める公式から

（コーンの部分の体積）

（アイスの部分の体積）

上のつの結果から，アイスの部分の体積はコーンの部分の体積の倍となる。

だから，アイスの部分の体積のほうが大きい。

(３) (以上) （考え方）

・アイスの部分の体積がコーンの体積の

倍であることから，高さも倍になれば

よい。

― 81 ―

速さの違いとかかる時間を考えよう

問太郎さんの家族は，お父さんの車で，盛岡を通って仙台まで旅行することにしました。旅行の計画を立てるために，車の速さとかかる時間について考えています。自宅から仙台まで一般道

と高速道路が両方通じているものとし，自宅から盛岡までの道のりを，盛岡から仙台ま

での道のりをとして考えました。

(１) 時速の速さで進んだとき，自宅から仙台に着くまでにかかる時間を時間として，

をの式で表しなさい。

(２) 太郎さんは，自宅から仙台まで，車の速さを変えることによってかかる時間がどれだけ違う

か考えています。

① 高速道路だけを利用して時速で進む場合と時速で進む場合で，速さを時速

変えることによってかかる時間がどれだけ違うのか求めなさい。

② 一般道だけを利用して時速で進む場合と時速で進む場合で，速さを時速

変えることによってかかる時間がどれだけ違うのか求めなさい。

(３) 太郎さんは，速度規制があり遅くなった分を，車の速さを変えることによって取り戻せるか

考えています。

高速道路だけを利用して，自宅から仙台まで予定どおり時速で進むのに対し，速度

規制があり自宅から盛岡までを時速で，遅れを取り戻すために盛岡から仙台までを，

速さを時速変えて時速で進む場合，遅れを取り戻せるか書きなさい。また，そ

の理由を書きなさい。

【理由】

― 82 ―

(４) 太郎さんは，（１）～（３）で考えたことをふまえ，速さの違いが同じであっても，速いと

きと遅いときで時間のかかり方が違うことを，グラフを用いて説明しようと考えています。

① 時速の速さで進んだとき，自宅から仙台に着くまでにかかる時間を時間として，

との関係をグラフに表しなさい。

② 太郎さんは（２）で考えたことをもとに，①のグラフを使って次のような説明をしました。

太郎さんの説明の空欄部分に，途中の説明を書いて完成させなさい。必要であれば，グラフ

に記号や線をかき入れ，それを用いて説明してもかまいません。

自宅から仙台までを，時速と時速で進む場合にかかる時間の違いは，

だから，遅いときには時間の差は大きいが，

速いときには時間の差は小さいといえる。

時

間

(時間)

速さ(時)

― 83 ―

中学校第１学年Ｃ関数「速さの違いとかかる時間を考えよう」

１出題の趣旨

小学校では，第，学年で比例の関係について学習し，簡単な場合について表やグラフなどを

用いてその特徴を調べている。また，第学年で比例の理解をより深めるため，反比例についても

ふれている。

これらの学習の上に立って，中学校第学年では，比例，反比例を，変域を負の数にまで拡張し，

文字を用いたやという式で表し，座標を用いてグラフに表す。また，具体的な事象

を比例，反比例とみなすことによって，問題を解決することがねらいである。

この問題では，速さ，時間，道のりの関係を用いて，身近な事象の中に反比例の関係を見いだし，

反比例の式や変化の様子をもとにして考察していくことをねらいとしている。また，比例定数が正

のとき，第象限では，の絶対値が小さい区間ではの値の変化が大きく，の絶対値が大きい

区間では，の値の変化が小さいという反比例特有の性質を実感を伴って理解することをねらいと

している。

さらに，この問題は，反比例において，の増加量に対するの増加量を考察することを通して，

第学年における「一次関数」で学習する変化の割合につながっていくものであり，逆に，変化の

割合の学習をする際，学び直しの対象となるものである。





○ ○


評価の観点


領域・内容

(１) 第学年Ｃ関数との関係を式で表すことが○

（）具体的な事象の中から二つのできる。

数量を取り出し，それらの変化

(２)① や対応を調べることを通して，二つの違う速さでかかる時間を

② 比例，反比例の関係についての求め，かかる時間の差を求めるこ ○

理解を深めるとともに，関数関とができる。

係を見いだし表現し考察する能

(３) 力を培う。状況を判断し，その理由を自分

エ比例，反比例を表，式，グなりにまとめることができる。○

ラフなどで表し，それらの特

(４)① 徴を理解すること。速さと時間の関係をグラフに表○

オ比例，反比例を用いて具体すことができる。

的な事象をとらえ説明するこ

(４)② と。計算結果やグラフ，反比例の性

質などを根拠にして状況を判断○

し，考えたことを自分なりに説明

することができる。





― 84 ―

３正答と解説


(１)

(２)① 時間（考え方）

時速時間

時速時間

(２)② 時間（時間分）

（考え方）

時速時間

時速

時間（時間分）

(３) ・遅れは取り戻せない

【理由】

自宅から盛岡までかかる時間は，

＝

（時間）

盛岡から仙台までは，

＝（時間）

合計

＋＝

（時間）

予定では，

＝（時間）

予定より

時間(分)多くかかる。

(４)①

・表現が違っても内容が正しければ正答と

する。

（別解）

・グラフを利用して，速さが同じ時速

の違いであるウとエに対して，時間はア

とイのように違うことを説明してもよい。

(４)②

時間である。

時速と時速で進む場合

にかかる時間の違いは，

時間である。

速さが同じ時速の違いであっ

てもかかる時間が違う。

― 85 ―

ランドルト環の中にある規則を見つけよう

問ランドルト環は，視力を判定するためにつくられた図形です。

たとえば，離れた所から切れ目

の幅のランドルト環の開いて

いる方向を見分けることができると視

力はと判定されます。

太郎さんは視力検査の後，ランドル

ト環に興味をもち，サイズを調べてそ

の結果を表にまとめ，数量の関係を調

べたいと思いました。

視力 …

全体の直径（） …

太さ（）？ …

切れ目の幅（）？ …

(１) 太郎さんは，ランドルト環の「全体の直径」

は，「切れ目の幅」にともなって変わること

に気づき，どんな関係といえるかグラフに表

そうと思いました。

① 右の図に「切れ目の幅」と「全体の直径」

の関係を表す点をかき入れなさい。

② 「切れ目の幅」と「全体の直径」はどん

な関係といえるか書きなさい。また，なぜ

そういえるか説明しなさい。

の関係

【説明】

全体の直径

太さ

切れ目の幅

全体の直径

()

切れ目の幅()

― 86 ―

(２) 次に太郎さんは，「視力」は，ランドルト

環の開いている方向を見分けることができる

「切れ目の幅」にともなって変わることに気

づき，どんな関係といえるかグラフに表そう

と思いました。

① 右の図に「切れ目の幅」と「視力」の関

係を表す点をかき入れなさい。

② 「切れ目の幅」と「視力」はどんな関係

といえるか書きなさい。また，なぜそうい

えるか説明しなさい。

の関係

【説明】

(３) 太郎さんは視力検査の結果，両眼ともでした。太郎

さんは視力がのランドルト環を，コンパスを使って実

際にかいてみることにしました。切れ目の方向を下にして，

右の方眼にかきなさい。

(４) 太郎さんは，（３）でかいたランドルト環つで視力検査ができないか調べたところ，ラン

ドルト環との距離で視力を判定することができることがわかりました。そこで，距離と視力の

関係を調べてその結果を表にまとめました。

距離() …

視力 …

① 距離を，視力をとするとき，をの

式で表しなさい。

② 大草原で生活している人の中には，視力が以上の人もいると言われています。視力が

の人は，太郎さんがかいたランドルト環の開いている方向をどれくらい離れた所から見

分けることができることになるのか求めなさい。

視

力

切れ目の幅()

― 87 ―

中学校第１学年Ｃ関数「ランドルト環の中にある規則を見つけよう」

１出題の趣旨



ふれている。

これらの学習の上に立って，中学校第学年では，比例，反比例を，変域を負の数にまで拡張し，

文字を用いたやという式で表し，座標を用いてグラフに表す。また，具体的な事象

を比例，反比例とみなすことによって，問題を解決することがねらいである。

この問題では，学校の視力検査で扱われるランドルト環を素材とし，その中から二つの数量を取

り出して，その関係をグラフに表すことにより比例や反比例の関係にあると判断し，自分なりに説

明することをねらいとしている。また，同じ素材の中に比例するものと反比例するものが混在して

いること，一つのランドルト環を使って距離で視力を判定できることを理解し，そのことを利用し

て視力がの人のすごさに気付かせることをねらいとしている。

さらに，二つの数量の関係を比例，反比例とみなし，変化や対応する様子について考察すること

は，第学年における「一次関数」，第学年における「関数」の学習へとつながるもので

ある。





○ ○ ○


評価の観点


領域・内容

(１)① 第学年Ｃ関数ランドルト環の「切れ目の幅」

（）具体的な事象の中から二つのと「全体の直径」の関係をグラフ ○

数量を取り出し，それらの変化に表すことができる。

(１)② や対応を調べることを通して，表やグラフから，二つの数量が

比例，反比例の関係についての比例の関係であると判断し，その ○ ○

理解を深めるとともに，関数関ことを説明できる。

(２)① 係を見いだし表現し考察する能ランドルト環の「切れ目の幅」

力を培う。と「視力」の関係をグラフに表す ○

ア関数関係の意味を理解することができる。

(２)② こと。表やグラフから，二つの数量が

イ比例，反比例の意味を理解反比例の関係であると判断し，そ ○ ○

すること。のことを説明できる。

(３) ウ座標の意味を理解すること。視力がのランドルト環の大

エ比例，反比例を表，式，グきさを表，グラフ，式から求め，コ ○

ラフなどで表し，それらの特ンパスを使ってかくことができる。

(４)① 徴を理解すること。距離と視力の関係を式で表すこ○

オ比例，反比例を用いて具体とができる。

(４)② 的な事象をとらえ説明するこ式を利用して，視力がの人

と。がの切れ目をどれくらい○

離れた所から見分けることができ

るかを求めることができる。





― 88 ―

（）

（）

３正答と解説


（１）① （１）①のグラフ（２）①のグラフ

（２）①

(１)② 比例（の関係）

【説明】・【説明】については，表，式，グラフか

・グラフが原点を通る直線上にあるから比例であることを説明できていれば正

ら。答とする。

・「切れ目の幅」を，「全体の直径」（補足）

をとするとで表されるか視力のときは，およそ倍ととらえ

ら。ることができる。

・「全体の直径」はどこも「切れ目の幅」

の倍となるから。

(２)② 反比例（の関係）

【説明】・【説明】については，表，式，グラフか

・「切れ目の幅」を，「視力」をとら反比例であることを説明できていれば

するとで表されるから。正答とする。

・「視力」と「切れ目の幅」の積がどこも（補足）

となるから。視力のときは，積がおよそととら

・「切れ目の幅」を，「視力」をとえることができる。

すると，グラフがの双曲

線上にあるから。

(３) ・切れ目の部分が多少ずれていても正答と

する。

(４)①

(４)② （考え方）

①で求めた式を利用すると

全体の直径

()

切れ目の幅()

視

力

切れ目の幅()

― 89 ―

回転寿司を何皿食べたのか考えよう

問太郎さんは，家族で回転寿司を食べに行きました。本日のおすすめメニューは，次のとおりです。

本日のおすすめメニュー

(１) 太郎さんが，「いくら」皿と「うに」皿と，「まぐろ」と「サーモン」をそれぞれ何皿か

を食べたところ，合計皿で，合計金額は円になりました。「まぐろ」と「サーモン」

をそれぞれ何皿食べたか求めなさい。

まぐろ皿，サーモン皿

まぐろ

円

えび

円

サーモン

円

いくら

円

うに

円

中とろ

円

あわび

円

― 90 ―

(２) お父さんが，「まぐろ」皿と「あわび」皿と，「えび」と「中とろ」をそれぞれ皿以上

食べたところ，全摂取カロリーはになりました。「えび」と「中とろ」をそれぞれ

何皿食べたか，考えられる組み合わせをすべて求めなさい。

えび皿，中とろ皿

(３) （２）の問題で，お父さんが食べた寿司の合計金額がいちばん安い場合，「えび」と「中と

ろ」をそれぞれ何皿ずつ食べたか求めなさい。また，そのときの合計金額を，途中計算を書い

て求めなさい。

【途中計算】

えび皿，中とろ皿，合計金額円

― 91 ―

中学校第２学年Ａ数と式「回転寿司を何皿食べたのか考えよう」

１出題の趣旨

小学校では，第学年で数量を表す言葉や□，△などの代わりに，，などの文字を用いて式

に表したり，文字に数を当てはめて調べたりすることを学習している。

中学校では，第学年で一元一次方程式について，その中の文字や解の意味を理解し，その解き

方の学習をしている。

第学年では，これらの学習の上に立って，二元一次方程式とその解の意味や二元一次方程式を

連立させることの必要性と意味及び連立二元一次方程式の解の意味を理解し，解を求めることがで

きるようにする。さらに，具体的な場面で連立二元一次方程式を活用する能力を育てることをねら

いとしている。

この問題では，回転寿司を食べるという日常の場面で，メニューにある寿司の値段とカロリーと

いう情報を分類整理し，必要なものを適切に選択し，その関係を二元一次方程式に表して問題を解

決することをねらいとしている。また，条件に合った解を求めるために，目的に応じて二元一次方

程式を連立させたり，式を変形することをねらいとしている。

さらに，この問題は，数量の関係や法則などを文字を用いた式や方程式に表して処理し，問題を

能率よく解決していく学習を進めることによって，代数的な処理に関する能力が次第に高められ，

それが他の領域の学習にも活用される。直接的には，発展的な内容として「連立三元一次方程式」，

第学年における「二次方程式」の学習へとつながっていくものである。





○ ○ ○


評価の観点


領域・内容

(１) 第学年Ａ数と式与えられた情報の中から必要な

（）具体的な事象の中に数量の関ものを適切に取り出し，連立二元

係を見いだし，それを文字を用一次方程式に表して解を求めるこ ○

いて式に表現したり式の意味をとができる。

読み取ったりする能力を養うと

ともに，文字を用いた式の四則

(２) 計算ができるようにする。二元一次方程式に表し，目的に

ウ目的に応じて，簡単な式を応じて変形したり，等式を成り立

変形すること。たせる値の組を表に表したりし ○

（）連立二元一次方程式についてて，与えられた条件に合う解を求

理解し，それを用いて考察するめることができる。

ことができるようにする。

(３) ア二元一次方程式とその解の条件に合う解を求めることに，

意味を理解すること。二元一次方程式を活用することが

ウ簡単な連立二元一次方程式できる。 ○ ○

を解くこと及びそれを具体的

な場面で活用すること。





― 92 ―

３正答と解説


(１) まぐろ皿，サーモン皿（考え方）

「まぐろ」の皿の数を皿，

「サーモン」の皿の数を皿とすると

(２) えび皿，中とろ皿（考え方）

えび皿，中とろ皿「えび」の皿の数を皿，

えび皿，中とろ皿「中とろ」の皿の数を皿とすると

，ともに自然数でなければならないので，

がの倍数となる，の組み合わ

せを考えて，

(，)(，)

(，)(，)

(，)(，)

（別解）

上の式を利用して，これを成

り立たせる，の組み合わせを表にする。

(３) 【途中計算】・表現が違っても，意味があっていれば正

「えび」は皿円，答とする。

「中とろ」は皿円だから，

①「えび」皿，「中とろ」皿の場合

②「えび」皿，「中とろ」皿の場合

③「えび」皿，「中とろ」皿の場合

という結果から，

「えび」皿，「中とろ」皿のとき，合計

金額がいちばん安い。

そのときの合計金額は，

えび皿，中とろ皿，合計金額円

― 93 ―

球のはね返りを考えよう

問花子さんは初めてビリヤードをするので，太郎さんから球の打ち方を聞いています。

太郎さん：ビリヤードの球は台の壁にあ花子さん：それじゃ，もし白球を打って壁

たってはね返るとき，あたる前にあててから，黒球にあてたいときは

の角とあたった後の角がほぼ一どこをねらって打てばいいの？

致しているんだよ。

太郎さん：白球と壁について対称となる位置

に球があると考えるんだよ。その対称と

なる位置の球と黒球を直線で結び，直線

と壁と交わっている点に向かって

打てば黒球にあたるよ。

(１) 白球を点に向かって打つと，なぜ黒球にあたるのかを花子さんは考えて太郎さんに説明

しました。花子さんの説明を完成させなさい。ただし，白球の位置を点，と線分につ

いて線対称の点を，線分との交点を，黒球の位置を点とします。

花子さんの説明

∠ と∠ が等しくなることを示せばいいから，

△ と△ において

だから，白球を点に向かって打つと黒球にあたる。

あたるあたった前の角後の角

― 94 ―

(２) 太郎さんは，白球を打つと長方形の台のつの壁にあたって元の位置に戻ってくることがあ

ることを花子さんに話しました。

太郎さん：対角線上でないところに白球を

おいて，対角線に平行に球を打つ

と，，，とあたって元の場所に

戻ってくるよ。球の動いた後は平行四

辺形になるんだよ。

① 四角形がなぜ平行四辺形になるかを花子さんは考えて，太郎さんに説明しました。

ア～カにはあてはまる式を，キには平行四辺形になるための条件を書き

なさい。

∠＝∠とする。

∠ ，∠ を，∠ を使ってそれぞれ表

すと，

∠＝ア，∠＝イ

これを利用して，∠ と∠ を，∠ を

使ってそれぞれ表すと，

∠＝ウ，∠＝エ … ①

同様にして，∠＝∠＝ア

∠＝∠＝イ

これより，∠ ，∠ を∠ を使って表

すと，

∠＝オ，∠＝カ … ②

①，②より∠＝∠，∠＝∠

よって，キから

四角形は平行四辺形となる。

アイウ

エオカ

キ

② ＝，＝，＝であるとき，平行四辺形の周の長さを求めな

さい。

― 95 ―

中学校第２学年Ｂ図形「球のはね返りを考えよう」

１出題の趣旨

小学校では，第学年で図形の対称性について学習している。

中学校では，第学年で図形の作図や移動を取り扱うとともに，空間図形を直線や平面図形の運

動によって構成されているものととらえたり，平面上に表現したり読み取ったりしている。これら

の学習を通して，図形についての豊かな感覚をはぐくみ，図形についての理解を深めるとともに，

論理的に考察し表現する能力を培ってきている。

第学年では，平面図形の角に関する性質を，平行線の性質を使って導き確かな根拠を基にして

筋道立てて考え説明することとともに，三角形の合同条件を使って，図形の性質を演繹的に確かめ，

論理的に考察し表現する能力を養うことがねらいである。また，操作や実験などの活動を通して，

その推論の過程を他者に伝わるように，分かりやすく表現することがねらいである。

この問題では，ビリヤードの球のはね返りについて，根拠を明らかにして筋道を立てて考えるこ

とをねらいとしている。最短距離の考え方を利用する部分は，第学年で学習した内容を第学年

の三角形の合同を利用して論理的に説明することを，また，球の軌跡である平行四辺形の周の長さ

は，二等辺三角形の性質や平行四辺形の性質を利用して解決することをねらいとしている。

さらに，この問題は，図形の性質に関する考察を通して，数学的な推論の必要性や意味及び方法

についての理解を深め，論理的に考察し表現する力を伸ばすとともに，第学年における「図形の

相似」，「円の性質」や「三平方の定理」の学習へとつながるものである。





○ ○ ○


評価の観点


領域・内容

(１) 第学年Ｂ図形最短距離の問題のときに利用し

（）図形の合同について理解し図た対称移動の考え方を，二つの角

形についての見方を深めるととが等しくなることに利用して証明 ○

もに，図形の性質を三角形の合することができる。

同条件などを基にして確かめ，

論理的に考察し表現する能力を

(２)① 養う｡四角形が，平行四辺形になるこ

ア平面図形の合同の意味及びとを文字を使って説明することが ○ ○

三角形の合同条件について理できる。

解すること。

イ証明の必要性と意味及びそ

(２)② の方法について理解すること。平行四辺形の周の長さを求める

ウ三角形の合同条件などを基ために，二等辺三角形の性質や平

にして三角形や平行四辺形の行四辺形の性質を利用することが

基本的な性質を論理的に確かできる。

めたり，図形の性質の証明を○ ○

読んで新たな性質を見いだし

たりすること。





― 96 ―

３正答と解説


（１） (△ と△ において) ・表現が違っても内容が正しければ正答と

する。点，は線分について対称なので

… ①

共通な辺だから（参考）

… ② 「ゆえに」，「または」，「かつ」，「したが

線分が線対称の軸だからって」，「一方」，「よって」などの言葉を

∠∠゜… ③ 使うことに慣れるようにし，漸次，推論

①，②，③よりの過程を正確に，分かりやすく表現する

辺とその間の角がそれぞれ等しいので能力を高めていく。

△ △

対応する角は等しいから

∠ ∠ … ④

また，対頂角は等しいから

∠ ∠ … ⑤

よって，④，⑤より

∠ ∠

（だから，白球を点に向かって打つと

黒球にあたる。）

（２）① ア ∠ ・表現が違っても内容が正しければ正答と

イ゚－∠ する。

ウ゚－ ∠

エ ∠

オ゚－ ∠

カ ∠ ・キは，「組の向かい合う角がそれぞれ等

キ組の対角がそれぞれ等しいしい」も正答とする。

（２）② （考え方）

（２）より四角形は平行四辺形であ

り，それぞれの辺が対角線と平行であるこ

とから，内側のつの四角形はすべて平行

四辺形である。

よって，

△ ，△ は，底角がそれぞれ等し

いので，二等辺三角形である。

よって，，

これらのことから，

同様にして

つまり，長方形の対角線の長さの倍にな

る。

― 97 ―

()

(分)

時間

図２

高さ

水そうの水について考えよう

問図１のように，内側の高さがの直方体の水そうに，高さがの仕切りを垂直に入れます。その仕切りによってできる，左側の部分を，右側の部分をとし，の部分の底面積

はの部分の底面積の倍です。また，この水そうの底面は棚の上の面からだけ下にあ

ります。この水そうのの部分の上には給水管，の部分の上には給水管があり，どちら

も分間あたり同じ量で給水することができます。

ただし，仕切りの厚さは考えないものとします。

(１) 給水管だけを使い，水そうが空の状態から満水になるまで給水しました。図２は，の

部分について，給水を始めてから分後の，棚の上の面を基準としたときの水面までの高さ

をとし，その関係を途中までグラフに表したものです。

棚の上の面

図１

― 98 ―

① 給水を始めてから分後の，棚の上の面を基準としたときの水面までの高さを求めなさい。

② 分後から分後のグラフは軸に平行になっています。グラフのこの部分は水そうの

水がどういう状態を表しているのか書きなさい。

③ 分後から，この水そうが満水になるまでのグラフを図２にかき入れなさい。

(２) 給水管，のつを同時に使い，水そうが空の状態から給水を始めます。このとき，

の部分で，棚の上の面を基準としたときの水面までの高さがになるのは，給水を始めて

から何分何秒後か求めなさい。

分秒後

― 99 ―

中学校第２学年Ｃ関数「水そうの水について考えよう」

１出題の趣旨



ふれている。

中学校では，第学年で具体的な事象における二つの数量の変化や対応を調べ，関数関係につい

て理解し，比例，反比例を関数としてとらえ直した。そこでは，変数と変域や座標について理解す

るとともに，比例，反比例の関係を表，式，グラフなどで表し，それらの特徴を理解し，比例，反

比例を用いて具体的な事象をとらえ説明することを学習している。

第学年では，第学年と同様に具体的な事象における二つの数量の変化や対応を調べることを

通して，一次関数について考察する。これらの学習を通して，関数関係を見いだし表現し考察する

能力を養うことがねらいである。

この問題では，中にしきりがある直方体の水そうに，分間あたり同じ量で給水することを素材

とし，時間と水面までの高さの関係をとらえ，表現し考察することをねらいとしている。時間と水

面までの高さの関係をグラフから読み取り，数学的に解釈し説明したりグラフに表したり，また，

変化の割合など関数的な見方や考え方を用いて解決を図ることをねらいとしている。

さらに，この問題は，具体的な事象における二つの数量の変化や対応をグラフに表すことだけで

はなく，グラフから具体的な事象の変化の様子をとらえ説明する能力を養うともに，第学年にお

ける「関数」の学習へとつながるものである。





○ ○ ○


評価の観点


領域・内容

(１)① 第学年Ｃ関数グラフが直線で傾き一定である

（）具体的な事象の中から二つのことから，基準面から水面までの ○

数量を取り出し，それらの変化高さを求めることができる。

や対応を調べることを通して，

(１)② 一次関数について理解するとと変化の様子をグラフから読み取

もに，関数関係を見いだし表現り，水そうの水の状態を説明する ○

し考察する能力を養う。ことができる。

ア事象の中には一次関数とし

(１)③ てとらえられるものがあるこ変化の様子を的確にとらえ，グ

とを知ること。ラフをかくことができる。 ○

イ一次関数について，表，式，

グラフを相互に関連付けて理

（２）解すること。水面までの高さについて，変化

エ一次関数を用いて具体的なの様子を変化の割合に着目して立 ○ ○

事象をとらえ説明すること。式し，解を求めることができる。





― 100 ―

()

(分)

３正答と解説


（１）① （考え方）

グラフから，分間で高くなってい

るから，分間での割合で高くなる。

よって，

の高さから高くなって

（１）② の部分に水が流れている状態・表現が違っても，意味があっていれば正

答とする。

（１）③ （考え方）

の部分が分間での高

さになったので，底面積が半分

であるの部分は分間で

の高さとなる。だから，

分後から水面はまた上昇する。

上昇する割合は，，の両方

の部分だから分間で，

つまり，分間でである。

この割合で，満水となる

までグラフをかく。

（他の考え方）

分後からは，仕切りがなかっ

たときと増え方が同じになるの

で，原点と（，）を結ぶ直

線を，高さのところまで

延長する。

（２）分秒（考え方）

の部分の底面積は，の部分の底面積の

半分だから，給水管によって，の部分

の高さがになるのに要する時間は，

の部分の半分，つまり分である。

分後からは，の部分からあふれた水が

の部分に入るので，給水管との分で水

面が上昇する。これは，分間での

倍だから，分間でである。

したがって，の高さから分後の高さ

であるをひいて分間当たりの上

昇する量であるで割り，給水管だ

けから入っていた時間分をたして求める。

{()}＝（分）

― 101 ―

すごろくのあがりを考えよう

問太郎さんと次郎さんが，すごろくで遊んでいます。すごろくのルールは次のとおりです。

(１) ゴールまであとマスのところに太郎さんのコマがあるとき，太郎さんが巡目であがる確

率を求めなさい。

(２) さいころを回ずつ投げて，太郎さんは巡目であがり巡目でボーナス点をもらい，次郎

さんは巡目であがるとき，太郎さんが勝つためには巡目で何以上の目が出るといいか求め

なさい。

以上

ゴール

順位点（あがった順）

番目……… 点

番目……… 点

番目以降… 点

ボーナス点

出た目の数× 点

すごろくのルール

① さいころは個使い，交代で投げます。

② さいころの目の数がちょうどのときだけあがることができ，あがった順に順位点を

もらいます。

③ ゴールまでのマスの数より，さいころの目の数が大きい場合は，余った目の数の分

だけ後戻りします。

④ 先にあがった人は，全員があがるまで自分の順番でさいころを投げ，出た目の数に

応じてボーナス点をもらいます。

⑤ 順位点とボーナス点の合計で点数の多い順に勝ちとします。

― 102 ―

(３) さいころの目が，，の順に出るとあがるところに次郎さんのコマがあるとき，そのコマ

はゴールから何マス目の所にあるか，すべて求めなさい。

ゴールからマス目

(４) 花子さんが，途中からすごろくに参加することになり，太郎さんに「好きな場所に自分のコ

マを置いていいよ」と言われました。

巡目であがりたいと考えるとき，花子さんはゴールから何マス目の所に置くと，あがる確

率がもっとも高いですか。どのように考えて求めたのか説明も書きなさい。

ゴールからマス目

【説明】

― 103 ―

中学校第２学年Ｄ資料の活用「すごろくのあがりを考えよう」

１出題の趣旨

小学校では，第学年で具体的な事柄について起こり得る場合を順序よく整理して調べることを

学習している。

中学校では，第学年で相対度数は，全体（総度数）に対する部分（各階級の度数）の割合を示

す値で，各階級の頻度とみなされることを学習している。

第学年では，これらの学習を受けて，不確定な事象についての観察や実験などの活動を通して，

統計的確率と数学的確率の関係について理解する。また，確定した事象を表すのに用いられてきた

数が，さいころの目の出方など不確定な事象の起こりやすさの程度を表すためにも用いられること

を知り，確率を用いて不確定な事象をとらえ説明できるようにする。

この問題では，与えられた情報を分類整理し，その意味を理解した上で事象を数学的に考察する

ことをねらいの一つとしている。また，さいころを回投げるときに起こり得る場合について，数

学的な表現を用いて順序よく整理し正しく数え上げることで確率を求めることなど，不確定な事象

に関する問題の解決に確率を根拠として説明し，数を用いて考えたり判断したりできることを理解

することをねらいとしている。

さらに，この問題は，第学年における「標本調査」の学習へとつながるものである。また，高

等学校における「場合の数」や「確率」の学習へとつながるものであり，高等学校数学とのなだら

かな接続という観点から，その見方や考え方を育てる意味を含んでいる。





○ ○ ○


評価の観点


領域・内容

(１) 第学年Ｄ資料の活用さいころを回投げたとき，

（）不確定な事象についての観察巡目であがる場合の数を正しく見○

や実験などの活動を通して，確つけ，その確率を求めることがで

率について理解し，それを用いきる。

て考察し表現することができる

(２) ようにする。勝敗のつけ方を理解し，勝つた

ア確率の必要性と意味を理解めには，何以上の目を出せばいい ○

し，簡単な場合について確率のかを求めることができる。

を求めること。

(３) イ確率を用いて不確定な事象さいころを回投げたとき，コ

をとらえ説明すること。マの動く位置を正しく求めること ○

ができる。

(４) さいころを回投げたとき，ど

の場所にコマを置くとあがる確率

がもっとも高いのか，数学的な表 ○

現を工夫して説明することができ

る。





― 104 ―

回目の目の数

回 ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

目 ①③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

の ②④ ①⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨

目 ③⑤ ②⑥ ①⑦ ⑧ ⑨ ⑩

の ④⑥ ③⑦ ②⑧ ①⑨ ⑩ ⑪

数 ⑤⑦ ④⑧ ③⑨ ②⑩ ①⑪ ⑫

３正答と解説


（１）（考え方）巡目であがるときのさいころの目の出方

を，（回目の目の数，回目の目の数）で

表すと

（，），（，），（，），（，），（，）

（２）（考え方）

太郎さんの回目に出るさいころの目の数

をとすると

太郎さんの得点は，（点）

次郎さんの得点は，（点）

≧ で，太郎さんの得点が次郎さんの得

点より多くなる。

（３），，（考え方）

回目にさいころを投げるときの位置を❶，

回目を②，回目を③と表すと

残り

ゴール○○③○○○○○②○○○○❶

ゴール○○③

○○○○❶②

ゴール○❶③②

（４）ゴールからマス目（参考）

【説明】・マス目・・・通り

さいころを回投げたとき，あがれる所を，（），（），（），（），（）

ゴールからのコマ数がの場合①のように・マス目・・・通り

表すと（），（），（），（），（）

・マス目・・・通り

（），（），（），（），（）


（），（），（），（），（）


（），（），（），（），（）


（），（），（），（），（）


（），（），（），（），（），（）


（），（），（），（），（）


（），（），（），（）

・～マス目通り・マス目・・・通り

・マス目通り（），（），（）

・マス目通り・マス目・・・通り

・マス目通り（），（）

・マス目通り・マス目・・・通り

・マス目通り（）

・マス目通り

よって，ゴールからマス目の所に置くと

あがる確率がもっとも高い。

― 105 ―

碁石は何個ずつ増えていくのか考えよう

問花子さんたちは，数学の時間に碁石を規則的に並べて，その増え方について考えました。

(１) 花子さんと太郎さんは，下の図のように，個の碁石からスタートして，まわりを囲むよう

に碁石を並べ，何個ずつ増えていくのか考えました。

花子さん：番目から番目では個，番目から番目では個，番目から番目

では個増えているわ。たぶん番目から番目ではア個増えそう。

太郎さん：うん。増える碁石の個数はイの倍数になりそうだね。

花子さん：どうしてイの倍数になるのかな。

太郎さん：一緒に考えてみようよ。並べた碁石の形を正方形と考えると番から番目

まで，辺に並べた碁石の個数は，全部奇数になっているよね。

花子さん：増える碁石の個数は，

番目から番目だったら

番目から番目だったらというように求められそう。

太郎さん：うん。()() とか，

()() というようにも考えられそうだね。

① ア，イにあてはまる数を答えなさい。

ア個イの倍数

② 太郎さんは，辺に並べた碁石の個数が奇数となることから，増える碁石の個数を次のよ

うに表しました。ウに，あてはまる式を答えなさい。

を自然数として，番目に並べた碁石の辺の個数を個と表すと，番

目に並べた碁石の辺の個数はウ個と表すことができる。

このとき，増える碁石の個数は，( ウ )() と表すことができる。

ウ

番目番目番目番目番目

― 106 ―

③ 「増える碁石の個数はイの倍数になりそうだね。」という太郎さんの予想が正しい

ことを，花子さんか太郎さんの考えを参考に，②の式を利用して説明しなさい。

【説明】

(２) 次郎さんは，下の図のように，個の碁石からスタートして，まわりを囲むように碁石を並

べてみました。増える碁石の個数はどんな数になるか説明しなさい。

【説明】

番目番目番目番目

― 107 ―

中学校第３学年Ａ数と式「碁石は何個ずつ増えていくのか考えよう」

１出題の趣旨

中学校では，第学年で事象の中に数量の関係を見いだし，それを文字を用いて式に表現したり

式の意味を読み取ったりする能力を養うとともに，簡単な数式の加法・減法，単項式の乗法・除法

の計算を学習している。また，数量や数量の関係をとらえ説明するのに文字を用いた式が活用でき

ることや，目的に応じて簡単な式を変形することを学習している。

第学年では，これらの学習の上に立って，単項式と多項式の乗法，多項式を単項式で割る除法

及び簡単な一次式の乗法の計算ができるようにする。また，公式を用いる簡単な式の展開と因数分

解を取り扱い，これによって，目的に応じて式を変形したり，その意味を読み取ったりする能力を

伸ばすことがねらいである。

この問題では，数の性質が成り立つことを文字式を用いて表現する能力と，乗法公式や因数分解

の公式を利用して変形し，その意味を読み取る能力を身に付けることをねらいとしている。また，

条件に応じた形に式を変形し数学的な表現を用いることで，数量の意味をとらえ，根拠を明らかに

し筋道立てて相手に分かりやすく説明できるようにすることをねらいとしている。

さらに，この問題は，高等学校における「式の展開と因数分解」，「式と証明」や「高次方程式」

へとつながるものであり，高等学校数学とのなだらかな接続という観点から，その見方や考え方を

育てる意味を含んでいる。





○ ○ ○


評価の観点


領域・内容

(１)① 第学年Ａ数と式規則的に増える碁石の個数や，

（）文字を用いた簡単な多項式にその数が何の倍数になるかを予想 ○

ついて，式の展開や因数分解がすることができる。

できるようにするとともに，目

(１)② 的に応じて式を変形したりその碁石の個数が奇数であるとき，

意味を読み取ったりする能力をそれを文字を用いて表すことがで ○

伸ばす。きる。

イ簡単な一次式の乗法の計算

(１)③ 及び次の公式を用いる簡単な問題の内容を文字を用いた式で

式の展開や因数分解をするこ表し，展開や因数分解を使って計○ ○

と。（公式省略）算し，その意味を読み取ることが

ウ文字を用いた式で数量及びできる。

数量の関係をとらえ説明する

(２) こと。辺に並べた碁石の個数が偶数

の場合について考察することがで ○ ○

きる。





― 108 ―

３正答と解説


(１)① ア

イ

(１)② ウ

(１)③ ()() （別解）

()() ()()

｛()()｝｛()()｝

よっての倍数になる。

よっての倍数になる。

(２) を整数として，小さいほうの偶数を・の倍数にをたした数，つの偶数の間

と表す。にある奇数の倍，つの偶数の和を倍

()() した数など，式変形と表現があっていれ

() ば正答とする。

（別解）

() ()()

よっての倍数になる。 …

よっての倍数にをたした数になる。

（別解）

()()

…

()

よってつの偶数の間にある奇数の倍に

なる。

（別解）

()()

｛()｝｛()｝

｛()｝

よって，つの偶数の和を倍した数にな

る。

― 109 ―

水がたくさん入るのはどちらか考えよう

問花子さんと太郎さんは，次の問題を考えています。

下の図のようなつの容器があります。容器は底面の直径が，母線がの円錐すい

で，容器は底面の辺が，母線がの正四角錐です。容器と容器では，ど

ちらに水がたくさん入るでしょうか。

容器容器

※母線とは，側面を構成する線のこと（上のつの図であればの長さの部分）

この問題を解くために，花子さんと太郎さんは次のように考えました。

花子さんの考え

つの容器の体積をくらべるために，容器の底面に着目しました。

容器の円錐の底面は直径がの円で，容器の正四角錐

の底面は辺がの正方形です。だから，底面だけをくらべる

と，の円との正方形は右の図のようになります。

つの立体の母線の長さは同じなので，高さも同じになります。

だから，底面積が大きい容器のほうが体積は大きくなります。

太郎さんの考え

考えやすいように，まず容器を逆さにして，見取図をかきま

した。

容器の円錐は，底面の円の半径がア，

母線がなので，高さはイになります。

次に，容器の正四角錐について，同じように見取図をかいて，

高さを求めてみればいいと思います。

(１) 太郎さんの考えの，ア，イの長さを答えなさい。

アイ

― 110 ―

(２) 太郎さんは，容器の正四角錐について，同じように見取図をかいて，高さを求めてみれ

ばいいと考えています。

① 容器の正四角錐の見取図をかきなさい。また，その正四角錐の見取図に高さを実線で

かき入れなさい。

見取図と高さ

② 容器の正四角錐の高さを求めなさい。

(３) 容器と容器では，どちらがどれだけ大きいのか答えなさい。

がだけ大きい

(４) 花子さんは，太郎さんの考えをきいて自分の考えがまちがっていたと思いました。何がまち

がっていたのか説明しなさい。

【説明】

― 111 ―

中学校第３学年Ｂ図形「水がたくさん入るのはどちらか考えよう」

１出題の趣旨

中学校では，第学年で「空間図形」，「立体の体積と表面積」，「見取図」を学んでいる。

第学年では，「三平方の定理」について学び，代数的処理も施すため「平方根」とも関連する。

また，その利用において，第学年で習った図形の性質に加え，平面図形や空間図形の求積など，

中学校で学習してきたさまざまな内容と関連している。

この問題では，これらの知識を総合的に利用して，母線の長さが等しく，円の直径と底面の正方

形の辺が等しい円錐と正四角錐の体積を比較する。見取図をかき，三平方の定理を利用して立体

の高さを出し，体積を求めることをねらいとしている。また，三平方の定理を用いて長さや体積を

求めるだけではなく，二つの立体の体積の大きさを比較する際に，πや根号を含んだ数の大きさに

ついて考察するなど，数学的な見方や考え方をはぐくむことをねらいとしている。

さらに，この問題は，高等学校における「三角比」，「図形の計量」の学習へとつながるもので

あり，高等学校数学とのなだらかな接続という観点から，その見方や考え方を育てる意味を含んで

いる。





○ ○ ○


評価の観点


領域・内容

(１) 第学年Ｂ図形三平方の定理を利用して，円錐○

（）観察，操作や実験などの活動の高さを求めることができる。○

を通して，三平方の定理を見い

(２)① だして理解し，それを用いて考正四角錐の見取図をかき，その

察することができるようにする。図に高さをかき入れることができ ○ ○

イ三平方の定理を具体的な場る。

面で活用すること。

(２)② 三平方の定理を利用して，正四

角錐の高さを求めることができ ○ ○

る。

(３) 三平方の定理を利用して求めた

高さを使って，立体の体積を求め

ることができる。 ○ ○

πや根号を含んだ数の大きさを

見積もることができる。

(４) 円錐と正四角錐の母線の長さが

同じでも，高さが同じになるとは ○ ○

限らないことを指摘できる。





― 112 ―

３正答と解説


(１) ア（考え方）

イ・底面の半径が，母線が。

高さをとすると

＞だから

(２)① 見取図と高さ・高さの図示は，垂直の記号を記入してい

るか，対角線の交点と結んでいるかどち

らかがあれば正答とする。

(２)② （考え方）

高さをとすると

( )

＞だから

(３) 容器（が）（考え方）

（だけ大きい）容器の体積は

容器の体積は

(４) ・容器と容器の母線の長さが同じで・同様の内容が書かれてあれば正答とする。

あれば，高さが同じということ。

・母線の長さが同じとき，底面積が大きい

ほうが，体積が大きいということ。

― 113 ―

標準体重を求めよう（計算機使用可）

問花子さんは保健体育の授業で，標準体重の求め方を習いました。標準体重の求め方は次のとおりです。

○標準体重の求め方

標準体重（）＝身長（）×身長（）×

※ とは体格指数（）のことである

・の判定基準

普通体重：が以上未満

・の標準

がのとき

※統計的にもっとも病気にかかりにくいとされている

(１) 身長の花子さんが「普通体重」と判定されるのは，体重が何以上何未満の

ときですか。小数第位を四捨五入して答えなさい。

以上未満

(２) この求め方を習ったことで，花子さんはお父さんの最近の体重が気になり始め，友達の陽子

さんのお父さんの例も出して次のように話し，ダイエットするようにお願いしました。 ①

と ② に入る適切な数字をア～ウの中からそれぞれつずつ選びなさい。

＜花子さんのお父さん＞＜陽子さんのお父さん＞

身長身長

体重体重

花子さん：お父さんの最近の体重なら，を標準のとすると，身長が約 ①

なければならないんだよ。このままだと，お父さんの体が心配だから，

せめてを陽子さんのお父さんぐらいにしてよ。

お父さん：そうだな，最近気になっていたんだ。じゃあ，何減らせばいいんだ？

花子さん：約 ② だよ。

お父さん：よし，じゃあ，がんばってみるか。

① アイウ

② アイウ

① ②

― 114 ―

(３) 身長の花子さんは，現在が標準のです。が標準ののままで，花子

さんの将来の理想身長であるまで伸びたらいいなと考えています。

① 身長あたりの体重の増加量が約何になるかを次のように計算してみました。

ア～カにあてはまる整数を書きなさい。

現在の体重を，身長，を使って計算し直すとア。

将来の理想体重を，身長，を使って計算するとイ。

よって，体重の増加量はウ。

また，身長の増加量はエ。

だから，身長あたりの体重の増加量はオ。

つまり，身長あたりの体重の増加量は約カである。

アイウ

エオカ

② 花子さんは試しに，が標準ののままで身長がまで伸びるとしたら，身長

あたりの体重の増加量は約何になるかも計算してみました。すると，まで伸

びるときの身長あたりの体重の増加量と違う値が出てきて，とても不思議に感じまし

た。

種類の身長の増加量に対して，身長あたりの体重の増加量に違いが見られた理由

を，身長を，体重をとして，関数の性質をもとに説明しなさい。

【説明】

― 115 ―

中学校第３学年Ｃ関数「標準体重を求めよう」

１出題の趣旨

中学校では，第学年で比例，反比例を取り扱い，第学年で一次関数を取り扱っている。

第学年では，第，学年と同様に，具体的な事象における二つの数量の変化や対応を調べる

ことを通して，関数について考察する。その際，表，式，グラフを相互に関連付けながら，

変化の割合やグラフの特徴など関数の理解を一層深め，これらの学習を通して，関数関係を見いだ

し表現し考察する能力を伸ばすことがねらいである。

この問題では，身近な素材である身長()と標準体重()の二つの数量に対して，標準体重()

が身長()の乗に比例する関数であることに気付き，その考え方を活用することをねらいとして

いる。また，身長の伸びの区間の違いにより，身長あたりの体重の増加量に違いが出ること

を，変化の割合の違いによることからと，関数的に判断し，根拠を明らかにし説明できることをね

らいとしている。

さらに，この問題は，高等学校における「二次関数」の学習へつながるものであり，関数

を一般的な二次関数へと理解をつなげ，高等学校で学習する関数概念の基礎となる

ものである。





○ ○ ○


評価の観点


領域・内容

(１) 第学年Ｃ関数与えられた式に，身長の値を代

（）具体的な事象の中から二つの入して，普通体重の範囲を求める ○

数量を取り出し，それらの変化ことができる。

や対応を調べることを通して，

(２) 関数について理解すると与えられた式にある身長と標準

ともに，関数関係を見いだし表体重の二つの数量が「がの

現し考察する能力を伸ばす。乗に比例する関数」であることに ○

ア事象の中には関数と気付き，それを利用して値を求め

してとらえられるものがあるることができる。

ことを知ること。

(３)① ウ関数を用いて具体的変化の割合の求め方を利用し○

な事象をとらえ説明すること。て，値を求めることができる。

(３)② 関数の変化の割合の特

徴を基にして説明することができ ○ ○

る。





― 116 ―

３正答と解説


(１) 以上未満 (考え方)

(２) ① ウ ① (考え方)

② ア身長をとすると，

よって ② (考え方)

陽子さんのお父さんの値を

とすると

花子さんのお父さんの目標とする体重は

よって

(３)① ア（考え方）

イア

ウイ

エウ

オエ

カオ

カ

(３)② 関数は変化の割合が一定でないた・標準体重が身長の乗に比例する関数で

め。あり，変化の割合が一定でないことに触

れていれば正答とする。

（参考）

関数＝で変化の割合を比較すると

変化の割合

変化の割合

※計算をする際には，計算機を使用してもよ�

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