Certamen 1 Algebra
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Facultad de Ingeniera y Tecnologa. Plan Comn de Ingeniera Sede Concepcin.
Pauta Prueba solemne N1 Curso lgebra I
Docentes: Patricia Aste-Nicole Carrasco-Patricia DAmico-Jorge Garfias-Carolina Nuez Pregunta 1(10 puntos): Demuestre, justificando sus pasos, la siguiente igualdad:
( )A B B A Vamos a probar por reduccin al absurdo
Si ( ) ( )x A B B A x A B x B A def de interseccin 2 puntos
x A x B x B x A def de diferencia 2 puntos
x A x A x B x B Contradiccin 3 puntos
Por lo tanto ( ) ( )x A B B A A B B A 3 puntos Pregunta 2(20 puntos) Consideremos U ( conjunto de los reales) y sea los conjuntos:
: 1 ; , 2 ; :5 0 0A x U x B C x U x Sea la funcin proposicional ( )p x tal que su conjunto de validez es 2, Determine, justificando, el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes:
. i) : ( )x A p x es falsa porque , 1 1, 2,A ; es decir existen elementos de A
que no estn en el conjunto validez de ( )p x ejemplo 3 , pero 3 2,A
ii) : ( )x B p x es falsa porque ningn elemento de B pertenece a 2, .
iii) ! : ( )x C p x es verdadera porque 0 es el nico 0 0 2,C
iv) : ( ) : ( ) x A p x x B p x es falsa porque antecedente es verdadero y consecuente es Falso Observemos que
: 1 , 1 1, ; , 2 ; :5 0 0 , 5 0A x U x B C x U x
4 puntos identificacin de cada conjunto 2 puntos por cada valor de verdad y 2 puntos por la justificacin en cada una
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Pregunta 3(20 puntos): Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitacin correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero: Puerta 1: en esta habitacin hay una dama y en la otra un tigre. Puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre. Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, demostrar que la dama est en la segunda puerta. Solucin
Se tienen las siguientes afirmaciones:
P: Puerta 1 hay una dama
Q: Puerta 2 hay un tigre
R: Puerta 1 hay un tigre
S: Puerta 2 hay una dama
Segn nuestro problema se tiene lo siguiente:
R P
S Q
Definir las proposiciones (5 pts.)
En smbolos lgicos tenemos los siguientes mensajes en las puertas
Puerta 1: P Q
Puerta 2: ( ) ( )P Q P Q
Escribir en smbolos lgicos los mensajes de las puertas (5 pts.)
Si suponemos que la puerta 1 dice la verdad, se tiene que la Puerta 2 miente, es decir
( ) ( )P Q P Q es Falso o bien ( ) ( )P Q P Q es Verdadero, es decir
( ) ( ) ( ) ( )P Q P Q P Q P Q
( )P Q P Q
P Q P P Q Q
( ) ( ) ( )P P Q P Q P Q Q
Realizarlo por contradiccin (5 pts.) o utilizacin correcta de algn mtodo para resolver.
Una de estas opciones debe ser la correcta! Analizando lo que dice cada Disyuncin se tiene:
P P Puerta 1 no hay una dama y Puerta 1 hay una dama Contradiccin!
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( )Q P Puerta 2 hay una dama y Puerta 1 hay una dama.Contradiccin!
( )Q P Puerta 2 hay un tigre y Puerta 1 hay un tigre.Contradiccin!
( )Q Q Puerta 2 hay un tigre y Puerta 2 no hay un tigre..Contradiccin!
Luego se tiene que suponiendo el cartel de la puerta 1 verdadero, llegamos a una contradiccin, por lo que se concluye que el cartel de la puerta 1 es falso. Por lo tanto ( )P Q es verdadero.
Es decir: ( )P Q es verdadero.
Para que sea verdadero basta que P sea verdadera o bien Q sea verdadera.
A qu conclusin llegamos?
Si P es verdadera entonces es verdadera, luego tras la puerta 1 hay un tigre, y por lo tanto tras la puerta 2 hay una dama.
Si Q es verdadera, entonces es verdad, por lo que tras la puerta 2 hay una dama y por lo tanto tras
la puerta 1 hay un tigre.
Luego en ambos casos: la dama se encuentra tras la Puerta 2
La conclusin (5 pts.)
Pregunta 4(10 puntos):
Saber que: p p q r s p es falso, es suficiente para saber el valor de verdad de: p q r s p Justifique su respuesta. Solucin: Si es suficiente pues:
: V :1) 2)
: F :
p p Fp p q r s p Falsa
p q r s p p q r s p V
5 puntos
Caso 1) nos lleva a que :p q r s p V (basta que una sea verdadera y lo es : Vp ) 3 puntos
Caso 2) nos lleva a que no se puede dar nunca porque :p q r s p F cuando :p F por lo tanto la proposicin inicial seria verdadera. Contradice la hiptesis. 2 puntos