Ceros y Valores especiales de L-funciones:Applicaciones

Nathan Ryan

Bucknell University

18 Mayo, 2011

Números coprimos

Proposicíon

Elegimos dos números al azar; son coprimos con probabilidad6π2 .

I interpretamos P =∏

p primo

(1− 1

p2

)como la probabilidad

que dos números son coprimosI calculamos 1/P en alguna manera (e.g., con métodos

elementarios)

La función ζ(s)

DefiniciónSea s ∈ C tal que Re(s) > 1. Entonces

ζ(s) =∑n≥1

1ns

I Por teorema fundamental de la aritmética, dice queζ(s) =

∏p primo(1− p−s)−1; i.e, ζ(s) tiene un producto

Euler.I Para n ∈ Z, ζ(n) es un valor especial.I Los ceros de ζ(s) nos dicen mucho sobre la distribución

de los primos.

ζ(2n), n > 1

I Notamos que la probabilidad que dos números soncoprimos es 1/ζ(2).

I En general, si elegimos n números al azar la probabilidadque son mutualmente coprimos es

|ζ(2n)| =B2n(2π)2n

2(2n)!

donde B2n es un número Bernoulli.

ζ(2n + 1), n > 1

Preguntas:I existe algún m tal que ζ(2n + 1)/πm ∈ Q? Probablemente

no, pero no sabemos.I ζ(3) es irracional.I ζ(3) es irracional? No sabemos. Sí sabemos que uno deζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) es irracional (W. Zudilin)

Por qué hay tanta diferencia entre el caso par y el caso impar?

ζ(n), n < 1

DefiniciónSea ∈ C con Re(s) > 0. La funcíon Gamma es dada por

Γ(s) =

∫ ∞0

ts−1e−s dt .

I Notamos que Γ(s) tiene una continuación meromórfica a Ccon polos simples en s = 0,−1,−2, . . . .

I Notamos que Γ(1) = 1 y Γ(n + 1) = n! para n ∈ Z>0.

ζ(−n), n > 1

DefiniciónLa función zeta completada es

Z (s) =s(s − 1)

2πs/2 Γ(s

2

)ζ(s).

I La función Z (s) satisface la ecuación funcional

Z (s) = Z (1− s).

ζ(−n), n > 1

I Si n > 1, ζ(−2n) = 0 porque tiene que cancelar el polo deΓ(−n).

I En general se puede obtener el valor de ζ(s) (Re(s) < 0)del valor de ζ(1− s) (Re(s) > 0). La región 0 ≤ Re(s) ≤ 1es la franja crítica.

I ζ(2n)↔ ζ(1− 2n) y no hay problema;ζ(2n + 1)↔ ζ(−2n) = 0 porque tenemos que cancelar unpolo.

I ζ(−1) = − 112

I En general, ζ(−n) = −Bn+1n+1 .

ζ(1), ζ(0)

I Hay un polo cuando s = 1; limε→0+ ζ(1 + ε) = +∞,limε→0− = −∞

I ζ(0) = −1/2

ζ(s)

– Jeff Stopple

L(s, χ)

DefiniciónDecimos que χ : Z→ C es un carácter de Dirichlet mod N si

1. chi(n) = χ(n + N) para todos n ∈ Z;2. χ(n) = 0 sii gcd(n,N) > 1;3. χ(1) = 1; y4. χ(mn) = χ(m)χ(n) para todos m,n ∈ Z.

I Entonces podemos definir

L(s, χ) =∑n≥1

χ(n)

ns ,

para Re(s) > 1.

Propiedades de L(s, χ)

I Producto Euler: L(s, χ) =∏

(1− χ(p)p−s)−1.I Continuación a C: esta vez es una funcíon entera.I Sea

Λ(s, χ) =(Nπ

)s+ε2Γ( s+ε

2

)L(s, χ)

donde ε ∈ 0,1 es el orden de χ(−1). Entonces

Λ(s, χ) = (−i)ε√

N

(N∑

n=1

χ(n)e2πi/N

)Λ(1− s, χ).

I En general, considero L(s, χD), donde χD(n) =(D

n

).

Valores Especiales

I s = 1, tenemos el class number formula: Sea h(D) lacantidad de clases de formas quadráticas de discriminante(fundamental) D. Entonces

h(D) =

w√|D|

2π L(1, χD), D < 0√

Dln ε L(1, χD), D > 0.

dondeI para d < 0, w = 2 si d < −4, w = 4 si d = −4, y w = 6 si

d = −3,I y para d > 0, ε = (t + u

√d)/2 donde (t ,u) es la solución

mínima de t2 − du2 = 4.I también hay fórmula para L(s, χD) cuando s ∈ Z.

Curvas Elípticas

DefiniciónUn curva elíptica definida sobre un cuerpo K es una curvadefinida por una ecuación de la forma

y2 = x3 + ax + b

donde a,b ∈ K y −16(4a3 + 27b2) 6= 0.

L(E,s)

DefiniciónSea E una curva elíptica de conductor N y ap = p + 1− E(Fp).Entonces, definimos

L(E , s) =∏

p primo

Lp(p−s),

Lp(T ) =

1− apT + pT 2 si p - N1 + T o 1− T si p || N1 si p2 | N.

I La cota de Hasse-Weil (|ap| ≤ 2√

p) nos dice que defineuna L-series

I Es definido como un Euler productI Tiene una ecuación funcional (Taylor-Wiles) y una

continuación analítica a C

Rangos

I Rango algebraíco: E(Q) es un grupo abeliano (Mordell)con una base finito de puntos; entonces se puede escribircomo:

E(Q) = Zralg ⊕ E(Q)tors.

I Rango analítico: la ecuación functionalΛ(E , s) = ±Λ(E ,2− s) tal que s = 1 es el valor central. Simiramos la expansión Taylor cerca de s = 1, tenemos algocomo

L(E , s) = a(s − 1)ran + · · ·

Conjetura

Sea E una curva elíptica sobre Q. Entonces ralg = ran.

Conjetura

Para una curva elíptica E de conductor N, tenemos

L(ran)(E ,1)

ran!=

#Sha ΩERE∏

p|N cp

E(Q)2tors

donde todos las constantes son invariantes importantes para lacurva.

La filosofía de valores especiales

I (Deligne) Sea M un “motive” y L(s,M) una L-función“motivic”. Entonces hay dos números complejos c±(M) talque para cada “punto crítico” m tenemos

L(m,M)

c±(M)∈ Q.

I Sea L(s,m) = α ·β donde α ∈ Q y β ∈ Q\Q. Una conjeturatipo Beilinson pide una descripción de β. Una conjeturatipo Bloch-Kato pide una descripción de α. Típicamentelas descripciones contienen información aritmética.

Conjeturas y teoremas

I ζ(2n + 2)/ζ(2n) ∈ Q (T), Manin (T), Beilinson (C),Bloch-Kato (C), Deligne (C) – algebraicidad de valoresespeciales

I Class number formula (T), Birch y Swinnerton-Dyer (C),Waldspurger (T), Böcherer (C) – fórmulas para valoresespeciales (valores centrales, en particular)

I la hipótesis de Riemann (C), la GRH (C), la TMA (C)–donde quedan los ceros de L-funciones y como sedistribuyen

I Hida (T), Diamond (T), Ono (T), Harder (C) – propiedadesde periodos (se relatan con valores especiales) exigen laexistencia de congruencias entre formas modularesparticulares

La filosofía de L-funciones

I no hay una definición estandardI supongamos que tenemos un objeto X , que se describe

por unos datos a1,a2,a3, . . . , podemos estudiar lasecuencia de datos (y el objeto original) por la L-series(formal)

L(s,X ) =∞∑

n=1

an

ns .

I supongamos que para algún m ∈ Z>0 particular tenemosan = O(nm); i.e., que satisfacen la cota de Ramanujan.Esta cota implique que la L-serie converge en unsemi-plano en C.

I igual que en los ejemplos de ante deseamos unacontinuación meromórfica a C, una ecuación funcional yun producto Euler.

I L(s) es dada por un product de Euler de grado r :

L(s) =∏

p primo

1(1− αp,1p−s) · · · (1− αp,r p−s)

,

donde∣∣αp,i

∣∣ = 1.I Sean

ΓR(s) := π−s/2Γ(s

2

),

γ(s) := εN12 (s−

12 )

r∏j=1

ΓR(s + µj),

Λ(s) := γ(s)L(s),

donde |ε| = 1, N ∈ Z>0 y Re(µj) ≥ −12 .

I

Λ(s) = Λ(1− s),

Sea g : C→ C una función entera que, para s fijo, satisface∣∣∣Λ(z + s)g(z + s)z−1∣∣∣→ 0 (0.1)

para |Im z| → ∞, en franjas verticales, −x0 ≤ Rez ≤ x0. Y seaL(s) =

∑ann−s.

Theorem

Λ(s)g(s) =∑k=1

rkg(sk )

s − sk+ Qs

∞∑n=1

an

ns f1(s,n,g)+

+ εQ1−s∞∑

n=1

an

n1−s f2(1− s,n,g)

donde todo puede ser definido explícitamente en términos delas partes de la ecuación funcional.

Hay dos “inputs” para este método de calcular:I precisamos la ecuación funcional: el signo, el conductor,

las funciones Γ, y la forma general del producto Euler paracada primo p.

I precisamos los datos particulares para una lista particularde primos.

I El primer “input” sale de la mecánica de Langlands: seusan las representaciones de algo que se llama el grupoWeil-Deligne, representaciones de algo que se llama elgrupo dual, etc. Tengo un paper con Farmer y Schmidtdonde lo hacemos en un caso particular.

I El segundo input viene del objeto aritmético: el carácter deDirichlet, una curva elíptica, una forma modular, etc.

En todos los casos que hemos visto, la receta para calcular lasecuencia a1,a2, . . . ha sido muy facil; en cada caso podemoscalculus miles de an. En unos casos es mas difícil.

Pregunta

Qué hacemos si solamente podemos calcular pocoscoeficientes de L(s)?

Ejemplo

Hay un tipo de objeto aritmético llamado un Siegel modularform. Consideramos uno particular de peso 20. Tiene unaL-serie de grado 5. Solamente tenemos a1, . . . ,a82 y nopodemos calcular más. Cómo calculamos L(1/2) oL(1/2 + 10i)?

Usando la función g(s) = e−3is/2 se puede calcular que

Z (12 + 10i ,Υ20, stan) = 3.0393070808076± 4.19× 10−9

donde la función Z (t) es una función real que tiene los mismosceros en la línea crítica como L(1/2 + it).

-2 -1 1 2 3

-5

0

5

10

Usando nuestro método (con Farmer), se puede calcular elvalor

Z (12 + 10i ,Υ20, stan) =

3.0393070864895284810824603284422250910

± 2.79× 10−35.

Por qué importa tener tan poco error?

I Nos puede ayudar calcular a83 – en este casoprecisaríamos un error menor que 10−76.

I Nos puede ayudar investigar la algebraicidad de valoresespeciales (y centrales).

I Nos ayuda identificar ceros.

Gracias por su atención!