Cepal Theory
-
Upload
maria-papadopoulou -
Category
Documents
-
view
247 -
download
0
Transcript of Cepal Theory
-
8/15/2019 Cepal Theory
1/18
Ε π ι μ έ λ ε ι α
Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
-
8/15/2019 Cepal Theory
2/18
Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η
1. Τι ονομάζεται πληθυσμός μιας στατιστικς !"ευνας#
Ονομάζεται το σύνολο των αντικειμένων (έμψυχων ή άψυχων) γιατα οποία συλλέγονται στοιχεία.
$. Τι ονομάζεται άτομο ενός πληθυσμο% ενός &ε'(ματος#
Ονομάζεται κάθε στοιχείο του πληθυσμού ή του δείγματο.
). Τι ονομάζεται &ε'(μα ενός πληθυσμο%#
Ονομάζεται ένα μέ!ο (υποσύνολο) του πληθυσμού" που είναιαντιπ!οσωπευτικ# του πληθυσμού και απ# την ε$έταση του οποίου
%γάζουμε συμπε!άσματα για ολ#κλη!ο τον πληθυσμ#.
*. Τι ονομάζεται μ!(εθος ενός πληθυσμο% ενός &ε'(ματοςκαι π+ς συμ,ολ'ζεται#
Ονομάζεται το πλήθο των ατ#μων του και συμ%ολίζεται με το γ!άμμα ν.
-. Τι ονομάζεται μετα,λητ μιας στατιστικς !"ευνας#
Ονομάζεται το χα!ακτη!ιστικ# εν# πληθυσμού" ω π!ο το οποίοαυτ# ε$ετάζεται.
. Σε πόσα ε'&η &ιακ"'νονται οι μετα,λητ!ς μιας !"ευνας#
&ιακ!ίνονται σε δύο είδη' τι ποιοτικέ και τι ποσοτικέμετα%λητέ.
/. 0οιες μετα,λητ!ς ονομάζονται ποιοτικ!ς#
Ονομάζονται οι μετα%λητέ εκείνε που δεν επιδέχονται μέτ!ηση"
πχ. χ!μα ματιν" μ#!ωση" θ!ήσκευμα" κλπ.
. 0οιες μετα,λητ!ς ονομάζονται ποσοτικ!ς#
Ονομάζονται οι μετα%λητέ εκείνε που μπο!ούν να μετ!ηθούν"πχ. ύψο" μισθ#" !ε ε!γασία" τιμή" κλπ.
Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 2
-
8/15/2019 Cepal Theory
3/18
4. Σε πόσα ε'&η &ιακ"'νονται οι ποσοτικ!ς μετα,λητ!ς και τι σημα'νει κάθε ε'&ος#
Οι ποσοτικέ μετα%λητέ χω!ίζονται στι διακ!ιτέ και τισυνεχεί μετα%λητέ.
5ιακ"ιτ!ς είναι εκείνε" στι οποίε κάθε άτομο του πληθυσμούμπο!εί να πά!ει μ#νο διακεκ!ιμένε τιμέ" πχ. α!ιθμ# παιδιν"μέ!ε διακοπν" κλπ.
Συνε6ε'ς είναι εκείνε" στι οποίε κάθε άτομο του πληθυσμούμπο!εί να πά!ει οποιαδήποτε π!αγματική τιμή" που ανήκει σεδιάστημα (ή ένωση διαστημάτων) π!αγματικν α!ιθμν" πχ.ύψο" %ά!ο" κλπ.
17. Τι ονομάζεται συ6νότητα της τιμς 89 μιας μετα,λητς :και π+ς συμ,ολ'ζεται#
Ονομάζεται το πλήθο των ατ#μων του πληθυσμού (ή τουδείγματο) για τα οποία η μετα%λητή παί!νει την τιμή *+ καισυμ%ολίζεται με ν9 .
Απλούστερα: ονομάζεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές συναντάμε την τιμή x i μέσα στον πληθυσμό ή το δείγμα
11. Τι (ν2"'ζετε (ια το άθ"οισμα τ2ν συ6νοττ2ν τ2ν τιμ+ν 8
μιας μετα,λητς :#,νω!ίζουμε #τι είναι ίσο με το μέγεθο του δείγματο" δηλαδή '
ν1 ; ν$ ; ... ; νκ < ν
1$. Τι ονομάζεται σ6ετικ συ6νότητα = 9 της τιμς 89 μιαςμετα,λητς :#
Ονομάζεται ο λ#γο τη συχν#τητα π!ο το μέγεθο τουδείγματο και συμ%ολίζεται με = 9 . Είναι δηλαδή'
= 9 < ν > 9
1). Τι (ν2"'ζετε (ια το άθ"οισμα τ2ν σ6ετικ+ν συ6νοττ2ν#
= 1 ; = $ ; ... ; = κ < 1
= 1? ; = $? ; ... ; = κ? < 177
@A ΤΑBΗ C0Α.Λ. D Eαθηματικά FΑG 3
-
8/15/2019 Cepal Theory
4/18
1*. Τι ονομάζεται αθ"οιστικ συ6νότητα της τιμς 89 μιαςμετα,λητς : και π+ς συμ,ολ'ζεται#
Ονομάζεται το άθ!οισμα των συχνοτήτων ν + των τιμν που είναιμικ!#τε!ε ή ίσε με την τιμή αυτή και συμ%ολίζεται με Ν9 .
1-. Τι ονομάζεται σ6ετικ αθ"οιστικ συ6νότητα της τιμς 89μιας μετα,λητς : και π+ς συμ,ολ'ζεται#
Ονομάζεται το άθ!οισμα των σχετικν συχνοτήτων = 9 των τιμνπου είναι μικ!#τε!ε ή ίσε με την τιμή αυτή και συμ%ολίζεται μεH9 .
1. Τι ονομάζεται επικ"ατο%σα τιμ μιας μετα,λητς : και π+ς συμ,ολ'ζεται#
Ονομάζεται η τιμή με τη μεγαλύτε!η συχν#τητα και συμ%ολίζεταιEο. Είναι δυνατ#ν να υπά!χουν πε!ισσ#τε!ε απ# μίαεπικ!ατούσε τιμέ" στην πε!ίπτωση που δύο ή πε!ισσ#τε!ε τιμέέχουν τη μέγιστη συχν#τητα.
1/. Τι ονομάζεται &ιάμεσος ενός &ε'(ματος ν πα"ατη"σε2νκαι π+ς συμ,ολ'ζεται#
&ιάμεσο εν# δείγματο ν πα!ατη!ήσεων που έχουν διαταχθεί σεαύ$ουσα σει!ά ονομάζεται'
- μεσα'α πα!ατή!ηση αν το πλήθο των πα!ατη!ήσεων είναιπε!ιττ#.
ο ημιάθ"οισμα των μεσαίων πα!ατη!ήσεων αν το πλήθο τωνπα!ατη!ήσεων είναι ά!τιο.
/υμ%ολίζεται συνήθω με το γ!άμμα &.
1. Τι ονομάζεται μ!ση τιμ ενός &ε'(ματος ν πα"ατη"σε2νκαι π+ς συμ,ολ'ζεται#
Ονομάζεται το πηλίκο του αθ!οίσματο των πα!ατη!ήσεων π!οτο πλήθο του και συμ%ολίζεται I . &ηλαδή'
ν
8...88
ν
8
I ν$1
ν
199 +++==
∑=
Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 4
-
8/15/2019 Cepal Theory
5/18
0ν οι μετα%λητέ είναι τα$ινομημένε σε πίνακα συχνοτήτων με κ διαο!ετικέ τιμέ" τ#τε'
ν
8 > ...8 > 8 >
ν
ν8
I
κκ$$11
κ
1999 +++=
⋅
=∑=
14. Τι ονομάζεται ε%"ος τ2ν τιμ+ν μιας μετα,λητς και π+ςσυμ,ολ'ζεται#
Ονομάζεται η διαο!ά τη μικ!#τε!η τιμή απ# τη μεγαλύτε!ηκαι συμ%ολίζεται συνήθω με το γ!άμμα J .
J < 8KL8 D 8K9M
$7. Τι ονομάζεται &ιακ%μανση μιας μετα,λητς : που πα'"νει ν το πλθος τιμ!ς 89 N 9 < 1N $N ON ν με μ!ση τιμ I και π+ςσυμ,ολ'ζεται#
/υμ%ολίζεται με P$ και είναι το πηλίκο'
ν
G8QIF...G8QIFG8QIF
ν
G8IF
P$
ν
$
$
$
1
$
9
ν
19$ +++=
−
=∑=
0ν οι μετα%λητέ είναι τα$ινομημένε σε πίνακα συχνοτήτων με κ διαο!ετικέ τιμέ" τ#τε'
ν
G8QIF ν...G8QIF νG8QIF ν
ν
G8IF ν
P$
κκ
$
$$
$
11
$
9
ν
199
$ +++=
−
=∑=
$1. Τι ονομάζεται τυπικ απόκλιση μιας μετα,λητς : πουπα'"νει ν το πλθος τιμ!ς 89 N 9 < 1N $N ON ν με μ!ση τιμ Iκαι π+ς συμ,ολ'ζεται#
/υμ%ολίζεται με P και είναι το πηλίκο'
ν
G8QIF...G8QIFG8QIFP
$
>
$
$
$
1 +++=
ή
ν
G8QIF ν...G8QIF νG8QIF νP
$
κκ
$
$$
$
11 +++=
1ιο απλά" η τυπική απ#κλιση είναι η τετ!αγωνική !ίζα τηδιακύμανση'
@A ΤΑBΗ C0Α.Λ. D Eαθηματικά FΑG 5
-
8/15/2019 Cepal Theory
6/18
P < $P
$$. Τι ονομάζεται συντελεστς μετα,ολς μετα,λητότηταςμιας ποσοτικς μετα,λητς : που πα"ουσιάζει μ!ση τιμ
I και τυπικ απόκλιση P#Ονομάζεται το πηλίκο'
RS < 177?I
P⋅
$). 0ότε !νας πληθυσμός F &ε'(μαG θα ονομάζεται ομοιο(ενς F ομο(ενςG και πότε ό6ι#
2α ονομάζεται ομοιογενή αν 34 5 678 και ανομοιογενή στην
αντίθετη πε!ίπτωση" αν δηλαδή 34 ≥ 678.
Απ! το αντίστοιχο "ι"λίο του #νιαίου $υ%είου συνάγεται ότι:
&α ονομάζεται ομοιογενής αν '( ≤ )*+ %αι ανομοιογενής στην αντίθετη περίπτ,ση- αν δηλαδή '( . )*+
Ο T Ι Α Q Σ U Ν C : C Ι Α
Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 6
-
8/15/2019 Cepal Theory
7/18
1. 0ότε θα λ!με ότι υπά"6ει το ό"ιο μιας συνά"τησης =F8G σεκάποιο 8V#
ο #!ιο μια συνά!τηση θα υπά!χει μ#νο αν τα δύο πλευ!ικά#!ια υπά!χουν και είναι ίσα μετα$ύ του. &ηλαδή" αν'
=F8GW9KV88 −→
9 =F8GW9KV88 +→
9 =F8GW9KV88→
/ιαφορετι%ά- δηλαδή αν 01x23i45 x x −→
≠ 01x23i45 x x +→
τότε θα λέμε ότι το
όριο της συνάρτησης δεν υπάρχει
$ 0οιες ε'ναι οι ,ασικ!ς ι&ιότητες τ2ν ο"'2ν#
0ν:**
;+<→ =(*) 9 6 και :**
;+<→ >(*) 9 ? τ#τε'
α.:**
;+<→ @ =(*) ± >(*) A 9 6 ± ?
,.:**
;+<→ @ =(*) B >(*) A 9 6 B ?
(.:**
;+<→ >(*)
=(*) <
?
6
" ε#σον ? ≠ 7
&.:**
;+<→
=(*) < 6
ε. :**;+
-
8/15/2019 Cepal Theory
8/18
-. 0οιες ε'ναι οι ,ασικ!ς ι&ιότητες τ2ν συνε6+νσυνα"τσε2ν#
0ν οι συνα!τήσει =" >' D → είναι συνεχεί στο *:∈ D" τ#τε'
α. - συνά!τηση E(*) 9 =(*)±
>(*) είναι συνεχή στο *:.,. - συνά!τηση E(*) 9 κB=(*) είναι συνεχή στο *: (με κ ∈).
(. - συνά!τηση E(*) 9 =(*) B >(*) είναι συνεχή στο *:.
&. - συνά!τηση E(*) 9>(*)
=(*) είναι συνεχή στο *: (με >(*) ≠ 7).
ε. - συνά!τηση E(*) 9 =(*) είναι συνεχή στο *:.
στ. - συνά!τηση E(*) 9 κ =(*) είναι συνεχή στο *: (με =(*) ≥ 7).
5 Ι Α X Ο T Ι Κ Ο Σ Λ Ο @ Ι Σ E Ο Σ
1. 0ότε μια συνά"τηση =F8G θα ονομάζεται πα"α(2('σιμη σε
κάποιο 8V του πε&'ου ο"ισμο% της#
Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 8
-
8/15/2019 Cepal Theory
9/18
Fια συνά!τηση = λέγεται πα"α(2('σιμη (ή #τι έχει πα!άγωγο)σε ένα σημείο 8V του πεδίου ο!ισμού τη" αν υπά!χει το #!ιο'
Y
G=F8YG=F8W9K VV
ZY
−+→
και είναι π!αγματικ# α!ιθμ#. #τε συμ%ολίζουμε το #!ιο αυτ#= ΄F8VG και το ονομάζουμε πα"ά(2(ο τη = στο *:.
Εναλλακτικά'
Fια συνά!τηση = είναι πα"α(2('σιμη σε ένα σημείο 8V τουπεδίου ο!ισμού τη" αν και μ#νο αν υπά!χουν τα δύο πλευ!ικά#!ια'
Y
G=F8YG=F8W9K VV
QZY
−+
→ και Y
G=F8YG=F8W9K VV
ZY
−+
+→
και είναι ο ίδιο π!αγματικ# α!ιθμ#. &ηλαδή" αν συμ%αίνει'
Y
G=F8YG=F8W9K VV
QZY
−+
→
<Y
G=F8YG=F8W9K VV
ZY
−+
+→
$. 0ότε μια συνά"τηση =F8G θα ονομάζεται πα"α(2('σιμη σε!να &ιάστημα FαN ,G του πε&'ου ο"ισμο% της#
0ν και μ#νο αν είναι πα!αγωγίσιμη σε κάθε σημείο *: που ανήκει
στο στο (α" %).
). Τι ονομάζουμε πα"ά(2(ο συνά"τηση μιας συνά"τησης
=[ FαN ,G και πότε αυτ ο"'ζεται#
1α!άγωγο συνά!τηση ονομάζεται η συνά!τηση = ΄[ FαN ,G και ο!ίζεται μ#νο στην πε!ίπτωση που η =(*) είναι πα!αγωγίσιμησε κάθε *: του (α" %).
*. Τι σ6!ση υπά"6ει μετα\% πα"α(+(ισης και συν!6ειας#
0ν μια συνά!τηση = είναι πα!αγωγίσιμη σε ένα σημείο *: τουπεδίου ο!ισμού τη" τ#τε θα είναι και συνεχή στο σημείο αυτ#.
@A ΤΑBΗ C0Α.Λ. D Eαθηματικά FΑG 9
-
8/15/2019 Cepal Theory
10/18
6ο αντίστροφο δεν ισχύει- δηλαδή αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x 5 δε θα είναι απαραίτητα %αι παραγ,γίσιμη σεαυτό
-. 0οιες ε'ναι οι πα"ά(2(οι τ2ν ,ασικ+ν συνα"τσε2ν#
Συνά"τηση =F8G 0α"ά(2(ος = ́F8G
] 7
8 1
8α
α ∈N α ≠ 7N 8 ^ 7
α_8 αD1
8
* G 7 8$
1
8
1
$8
1−
ημ8 συν8
συν8 D ημ8
ε`88συν
1$
σ`88ημ
1$
−
a8 a8
WM8* G 7 8
1
. 0οιοι ε'ναι οι ,ασικο' κανόνες πα"α(+(ισης#
α. ( = H > )΄(*) 9 = ΄(*) H >΄(*)
,. ( = I > )΄(*) 9 = ΄(*) I >΄(*)
Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 10
-
8/15/2019 Cepal Theory
11/18
(. ( J B = )΄(*) 9 J B = ΄(*)
&. ( = B > )΄(*) 9 = ΄(*) B >(*) H =(*) B >΄(*)
ε.′
>
= (*) 9(*)>
(*)>=(*)>(*)(*)= ?
′⋅−⋅′
/. 0οιος ε'ναι ο κανόνας πα"α(+(ισης μια σ%νθετηςσυνά"τησης bF=F8GG#
[ ]′bF=F8GG < b΄F=F8GG _ = ΄F8G
#ναλλα%τι%ά- επειδή η σύνθεση δύο συναρτήσε,ν συμ"ολίζεται%αι με διαφορετι%ό τρόπο- μπορούμε να γρά7ουμε:
FbV=G΄F8G < b΄F=F8GG _ = ΄F8G
. 0ότε μια συνά"τηση θα ονομάζεται (νησ'2ς α%\ουσα σε!να &ιάστημα FαN ,G και π+ς συμ,ολ'ζεται#
Fια συνά!τηση θα λέγεται (νησ'2ς α%\ουσα σε ένα διάστημα(α" %)" αν για οποιουσδήποτε δύο α!ιθμού *6" *? που ανήκουν στο(α" %) ισχύει'
81 c 8$ ⇔ =F81G c =F8$G,!άουμε' =
4. 0ότε μια συνά"τηση θα ονομάζεται (νησ'2ς `θ'νουσα σε!να &ιάστημα FαN ,G και π+ς συμ,ολ'ζεται#
Fια συνά!τηση θα λέγεται (νησ'2ς `θ'νουσα σε ένα διάστημα(α" %)" αν για οποιουσδήποτε δύο α!ιθμού *6" *? που ανήκουν στο(α" %) ισχύει'
81 c 8$ ⇔ =F81G ^ =F8$G,!άουμε' =
17. 0ότε μια συνά"τηση θα ονομάζεται (νησ'2ς μονότονη σε!να &ιάστημα FαN ,G#
Cταν είναι γνησίω αύ$ουσα ή γνησίω θίνουσα στο (α" %).
11. Αν =[ μια συνά"τηση πα"α(2('σιμηN τότε ποια ε'ναι η σ6!ση της πα"α(+(ου της =F8G με τη μονοτον'α της#
α. 0ν = ΄F8G ^ 7 για κάθε *∈(α" %)" τ#τε η = είναι (νησ'2ςα%\ουσα στο (α" %).
@A ΤΑBΗ C0Α.Λ. D Eαθηματικά FΑG 11
-
8/15/2019 Cepal Theory
12/18
,. 0ν = ΄F8G c 7 για κάθε *∈(α" %)" τ#τε η = είναι (νησ'2ς`θ'νουσα στο (α" %).
(. 0ν = ΄F8G < 7 για κάθε *∈(α" %)" τ#τε η = είναι σταθε" στο(α" %).
1$. 0ότε θα λ!με ότι μια συνά"τηση πα"ουσιάζει τοπικόμ!(ιστο σε !να σημε'ο 8V#
Fια συνά!τηση = θα λέμε #τι πα!ουσιάζει τοπικό μ!(ιστο στοσημείο * 9 *: αν υπά!χει ανοιχτ# διάστημα (α" %) που πε!ιέχει το
*:" τέτοιο στε =F8G =F8VG" για κάθε *∈(α" %).
1). 0ότε θα λ!με ότι μια συνά"τηση πα"ουσιάζει τοπικό
ελά6ιστο σε !να σημε'ο 8V#Fια συνά!τηση = θα λέμε #τι πα!ουσιάζει τοπικό ελά6ιστο στοσημείο * 9 *: αν υπά!χει ανοιχτ# διάστημα (α" %) που πε!ιέχει το
*:" τέτοιο στε =F8G ≥ =F8VG" για κάθε *∈(α" %).
1*. 0ότε θα λ!με ότι μια συνά"τηση πα"ουσιάζει τοπικόακ"ότατο σε !να σημε'ο 8V#
Fια συνά!τηση = θα λέμε #τι πα!ουσιάζει τοπικό ακ"ότατο στο*: αν πα!ουσιάζει τοπικ# μέγιστο ή τοπικ# ελάχιστο σε αυτ#.
1-. Σε ποια σημε'α αναζητο%με τα τοπικά ακ"ότατα μιαςσυνά"τησης#
α. /τα άκ!α του πεδίου ο!ισμού τη συνά!τηση =.
,. /τα εσωτε!ικά σημεία του πεδίου ο!ισμού τη = στα οποία δενυπά!χει η πα!άγωγο τη =. α σημεία αυτά καλούνται
(2νιακά .
(. /τα σημεία του πεδίου ο!ισμού τη =" #που η πα!άγωγ# τη
υπά!χει και είναι ίση με μηδέν" δηλαδή λύνουμε την ε$ίσωση= ΄F8G < 7. α σημεία αυτά καλούνται στάσιμα .
1. 0οια σημε'α ονομάζονται κ"'σιμα σημε'α της =#
K!ίσιμα ονομάζονται τα γωνιακά και τα στάσιμα σημεία μαζί.
1/. 5ιατυπ+στε το θε+"ημα του HadKLe.
Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 12
-
8/15/2019 Cepal Theory
13/18
0ν η = πα!ουσιάζει τοπικ# ακ!#τατο σε ένα εσωτε!ικ# σημείο *:του πεδίου ο!ισμού τη και είναι πα!αγωγίσιμη στο σημείο αυτ#"τ#τε = ΄F8VG < 7.
1. 5ιατυπ+στε το κ"ιτ"ιο της 1ης
πα"α(+(ου.Lστω συνεχή συνά!τηση =' (α" %) → και *: κ"'σιμο σημείοτη.
α. 0ν = ΄F8G ^ 7 στο FαN 8VG και = ΄F8G c 7 στο F8VN ,G" τ#τε το=(*:) είναι τοπικό μ!(ιστο τη =.
,. 0ν = ΄F8G c 7 στο FαN 8VG και = ΄F8G ^ 7 στο F8VN ,G" τ#τε το=(*:) είναι τοπικό ελά6ιστο τη =.
(. 0ν η = ΄F8G διατη!εί το ίδιο π!#σημο στα διαστήματα (α" *:)
και (*:" %)" τ#τε το =(*:) δεν είναι ούτε τοπικ# μέγιστο" ούτεελάχιστο και η = είναι γνησίω μον#τονη στο (α" %).
14. 5ιατυπ+στε το κ"ιτ"ιο της $ης πα"α(+(ου.
Lστω συνεχή συνά!τηση =' 0 → και *: ένα στάσιμο σημείο τη. 0ν η = είναι δύο ο!έ πα!αγωγίσιμη στο *:" τ#τε'
α. αν = ΄΄F8VG c 7 η συνά!τηση = πα!ουσιάζει τοπικό μ!(ιστοστο *:.
,. αν = ΄΄F8VG ^ 7 η συνά!τηση = πα!ουσιάζει τοπικό ελά6ιστοστο *:.
$7. Τι ονομάζουμε πα"ά(ουσα συνά"τηση μιας συνά"τησης = σε !να &ιάστημα 5#
Ονομάζουμε" αν υπά!χει" μια πα!αγωγίσιμη συνά!τηση M' & → "
τέτοια στε H ΄F8G < =F8G" για κάθε *∈&.
$1. 0όσες πα"ά(ουσες !6ει μια συνά"τηση#
0ν H είναι μία πα!άγουσα τη =' & → " με & διάστημα του"τ#τε οποιαδήποτε άλλη πα!άγουσα τη = θα είναι τη μο!ή H ;]" #που J κάποιο σταθε!# α!ιθμ#.
8ρα- έχει άπειρες παράγουσες που όλες διαφέρουν απλά %ατά ένασταθερό πραγματι%ό αριθμό
$$. 0οιες ε'ναι οι πα"ά(ουσες τ2ν ,ασικ+ν συνα"τσε2ν#
Συνά"τηση =F8G 0α"ά(ουσα HF8G
@A ΤΑBΗ C0Α.Λ. D Eαθηματικά FΑG 13
-
8/15/2019 Cepal Theory
14/18
7 ]
1 8 ; ]
8 α
α∈" α ≠ I6" * G 7 1α
8 1α
+
+
; ]
8
1" * ≠ 7 WM 8 ; ]
$8
1− " * ≠ 7
8
1; ]
8$
1" * G 7
8
1
" * G 7
8 ; ]
$ 8 ; ]
συν8 ημ8 ; ]
ημ8 D συν8 ; ]
8συν
1$ " * ≠ κπ H
?
π
ε`8 ; ]
8ημ
1$ " * ≠ κπ D σ`8 ; ]
a8 a 8 ; ]
Ο Λ Ο Κ Λ Η T Ω Τ Ι Κ Ο Σ Λ Ο @ Ι Σ E Ο Σ
Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 14
-
8/15/2019 Cepal Theory
15/18
1. Τι ονομάζεται ο"ισμ!νο ολοκλ"2μα μιας συνε6ο%ς
συνά"τησης =[ fαN ,g από το α !2ς και το , και π+ςσυμ,ολ'ζεται#
0ν M είναι πα!άγουσα συνά!τηση τη =" τ#τε ο!ισμένο
ολοκλή!ωμα τη συνά!τηση = απ# το α έω το % ονομάζεται ησταθε!ή διαο!ά'
HF,G D HFαG
και το συμ%ολίζουμε ω'
∫ ,
α
=F8Gh8
Επειδή η διαο!ά M(%) I M(α) συμ%ολίζεται και ω [ ],
α HF8G έχουμε
τελικά'
∫ ,
α
=F8Gh8 9 [ ],
α HF8G 9 HF,G D HFαG
$. 0οιες ε'ναι οι σημαντικότε"ες ι&ιότητες του ο"ισμ!νουολοκλη"+ματος#
α. )α%(JN*J%
α
−⋅=∫ " #που J∈.
,. ∫ ∫ −=α
%
%
α
N*)*(= N*)*(=
(. ∫ ∫ ∫ +=%
γ
γ
α
%
α
N*)*(= N*)*(= N*)*(= " #που α 5 γ 5 %.
&. ∫ ∫ ⋅=⋅%
α
%
α
N*)*(= λ N*)*(= λ
ε. ∫ ∫ ∫ +=+%
α
%
α
%
α
N*)*(>N*)*(= N*)A*(>)*(= @
στ. ∫ ∫ ∫ ⋅+⋅=⋅+⋅
%
α
%
α
%
αN*)*(>μN*)*(= λ N*)A*(>μ)*(= λ @
ζ. [ ]%
α
%
α
)*(= N*)*(= =′∫
η. 0ν =(*) ≥ 7" για κάθε *∈@α" %A" τ#τε' ∫ %
α
N*)*(= ≥ 7 .
θ. 0ν =(*) ≥ >(*)" για κάθε *∈@α" %A" τ#τε' ∫ %
α
N*)*(= ≥ ∫ %
α
N*)*(> .
). Να εκ`"άσετε τον κανόνα της πα"α(οντικς κατά πα"ά(οντες ολοκλ"2σης.
@A ΤΑBΗ C0Α.Λ. D Eαθηματικά FΑG 15
-
8/15/2019 Cepal Theory
16/18
[ ] ∫ ∫ ⋅′−⋅=′⋅,
α
,
α
,
α
h8bF8GF8G= bF8G=F8Gh8F8Gb=F8G
*. 0οια ε'ναι τα ολοκλη"+ματα τ2ν ,ασικ+ν συνα"τσε2ν#
Ολοκλ"2μα Αποτ!λεσμα
∫ ,
α h87 7
∫ ,
α h81 ,α f8g
∫ ,
α ν h88
,
α
1 ν
1 ν8
+
+
∫ ,
α h8
8
1 ,α fWM8g
∫ ,
α
8 h8a ,α 8 gfa
∫ ,
α h8ημ8 ,α συν8gf−
∫
,
α h8συν8
,
α fηημ8
-. 0οια ε'ναι τα ολοκλη"+ματα τ2ν σ%νθετ2ν συνα"τσε2ν#
Ολοκλ"2μα Αποτ!λεσμα
∫ ′,
α h8
=F8G
F8G= [ ],
α =F8GWM
Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 16
-
8/15/2019 Cepal Theory
17/18
∫ ′,
α h8
=F8G
F8G= [ ],α =F8G$
∫ ′⋅,
α
=F8G h8F8G= a [ ],α =F8Ga
∫ ′⋅,
α
ν h8F8G= F8G= ,
α
1 ν
1 ν
F8G=
+
+
∫ ′,
α $ h8
F8G=
F8G= ,
α =F8G
1Q
. 0+ς υπολο('ζεται το εμ,α&όν ενός 62"'ου Ω που ο"'ζεται
από τη ("α`ικ πα"άσταση R= μιας συνά"τησης =N τονά\ονα 8A8 και τις κατακό"υ`ες ευθε'ες 8 < αN 8 < ,#
0ν η συνά!τηση είναι ολοκλη!σιμη στο @α" %A τ#τε'
CFΩG < ∫ ,
α
h8=F8G
/. 0+ς υπολο('ζεται το εμ,α&όν ενός 62"'ου Ω που ο"'ζεται από τη ("α`ικ πα"άσταση R= μιας συνά"τησης = και τον
ά\ονα 8A8# 0ν η συνά!τηση είναι ολοκλη!σιμη στο @α" %A και 81" 8$ οι !ίζετη ε$ίσωση =F8G < 7 (δηλαδή" τα σημεία τομή τη 3= και τουά$ονα *O*) τ#τε'
CFΩG < ∫ 8$
81
h8=F8G
. 0+ς υπολο('ζεται το εμ,α&όν ενός 62"'ου Ω που ο"'ζεται από τις ("α`ικ!ς πα"αστάσεις R= και Rb τ2ν συνα"τσε2ν=N b και τις κατακό"υ`ες ευθε'ες 8 < αN 8 < ,#
0ν η συνά!τηση είναι ολοκλη!σιμη στο @α" %A τ#τε'
CFΩG < ∫ ,
α
h8bF8GQ=F8G
@A ΤΑBΗ C0Α.Λ. D Eαθηματικά FΑG 17
-
8/15/2019 Cepal Theory
18/18
4. 0+ς υπολο('ζεται το εμ,α&όν ενός 62"'ου Ω που ο"'ζεται από τις ("α`ικ!ς πα"αστάσεις R= και Rb τ2ν συνα"τσε2ν=N b#
0ν η συνά!τηση είναι ολοκλη!σιμη στο @α" %A και 81" 8$ οι !ίζε
τη ε$ίσωση =F8G D bF8G < 7 (δηλαδή" τα σημεία τομή των 3= και3>) τ#τε'
CFΩG < ∫ 8$
81
h8bF8GQ=F8G
Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 18