CENTRO PREUNIVERSITARIO - ELITE CLASS VIRTUAL

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Jaén – Perú, Noviembre 2020

GUÍA DE APRENDIZAJE

SEMANA N° 03

CURSO : Razonamiento Matemático

DOCENTE: Patty Lourdes Navarro Suárez

SEMANA N° 03 – RAZONAMIENTO MATEMÁTICO


2

ÍNDICE

Pág.

1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 3

2. CONTENIDO TEMÁTICO ............................................................................................................. 4

3. DESARROLLO.................................................................................................................................. 4

3.1.Tema 1: PORCENTAJES .............................................................................................................. 5

3.2.Tema 2: TEORÍA DE CONJUNTOS .............................................................................................17

4. ACTIVIDADES PROPUESTAS…………………………………………………………………. 27

4.1. Guía Práctica: TEMA N° 01 ...................................................................................................27

4.1. Guía Práctica: TEMA N° 02 ....................................................................................................30

5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................33



3

1. INTRODUCCIÓN

El siguiente módulo tiene como objetivo proporcionar a los estudiantes del Centro Pre

Universitario de la Universidad Nacional de Jaén un adecuado conocimiento sobre el

Razonamiento Lógico para conseguir un buen aprendizaje.

El Razonamiento Matemático permitirá desarrollar en nuestros estudiantes capacidades

y actitudes positivas, potenciando el pensamiento formal como instrumento para el ejercicio

intelectual, así como las habilidades y destrezas cognitivas que le permitan entender su mundo,

desenvolverse en él, comunicarse con los demás y resolver problemas de su contexto real o

simulado.

Los contenidos de la asignatura servirán como apoyo para el desarrollo de las

capacidades que permitan ampliar sus conocimientos de manera articulada para que los

estudiantes afronten con éxito los retos que implicara la continuación de sus estudios en la

educación superior.

En cada sesión de aprendizaje se explicará los aspectos teóricos, con el propósito de

que las definiciones sean captadas fácilmente, seguido del desarrollo de ejercicios o problemas

de aplicación propuestos en las guías de aprendizaje semanalmente.

La siguiente guía de aprendizaje sobre PORCENTAJES Y TEORÍA DE

CONJUNTOS constituye un aporte académico al proceso de aprendizaje de la Matemática para

que nuestros estudiantes del Centro Pre Universitario de la Universidad Nacional de Jaén

obtengan una educación de calidad en la modalidad EDUCACIÓN VIRTUAL.



4

2. CONTENIDO TEMÁTICO

2.1. PORCENTAJES:

Definición de tanto por ciento y tanto por cuánto.

Variaciones porcentuales.

Aumentos y descuentos sucesivos.

Aplicaciones mercantiles.

Interés simple y compuesto

2.2. TEORÍA DE CONJUNTOS:

3. DESARROLLO

3.1. PORCENTAJES

3.2. TEORÍA DE CONJUNTOS

Noción de conjunto, elemento y relación de pertenencia.

Representación algebraica de un conjunto: por extensión y por comprensión.

Representación geométrica de un conjunto: Venn- Euler, Lineales y de bandera (Carrol).

Clases de conjunto: Conjunto Finito, Conjuntos Numéricos: N, Z, Q, I, R y Conjuntos

especiales: Vacío, Unitario, Universal.

Relación entre conjuntos: Conjuntos iguales, conjuntos diferentes, Conjuntos equivalentes,

subconjuntos, conjuntos disjuntos, Conjuntos comparables y Conjunto Potencia.

Operaciones entre conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia, Diferencia simétr ica,

Complemento. Propiedades. Leyes de Morgan.

Cardinalidad: Axiomas. Número de elementos de un conjunto, del conjunto potencia, de una

reunión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento de un conjunto.



5

Los porcentajes constituyen uno de los cálculos más utilizados en la vida real, ya que se asocia

a operaciones comerciales, estadísticas, variaciones, etc.

%

Si dividimos a una cantidad en 100 partes iguales y tomamos cierto número “m” de esas partes, nos estamos refiriendo al tanto por ciento.

Entonces: El “m” por ciento es igual a %m

1 parte es: 1 por ciento < > 1%

20 partes es: 20 por ciento < > 20%

75 partes es: 75 por ciento < > 75%

Un porcentaje se puede expresar como una proporción o fracción de la siguiente manera:

%100

mm

El porcentaje “m” se ha expresado a manera de fracción.

En el colegio de Luis se ha realizado una encuesta para averiguar cuál es el deporte preferido de los alumnos y estos fueron los resultados obtenidos:

En fútbol es el 43 % lo expresamos en fracción: 43

100

En baloncesto es el 37 % lo expresamos en fracción: 37

100

En atletismo es el 15 % lo expresamos en fracción: 15

100

En tenis es el 5 % lo expresamos en fracción: 5

100



6

Cuando expresamos un porcentaje como fracción, la fracción que se utiliza suele ser irreductible.

50% < > 50

100

1 < >

2

1

20% < > 20

100

1 < >

5

1

40% < > 40

100

1 < >

5

2

75% < > 75

100

1 < >

4

3

100% < >100

100

1 < > 1

Para expresar fracciones como porcentajes podemos actuar de dos formas diferentes:

a) Encontrar una fracción equivalente con denominador 100.

b) Hallar la expresión decimal de la fracción y multiplicar por 100

1 1 50 50

50%2 2 50 100

1 1 20 20

20%5 5 20 100

1 1 4 4

4%25 25 4 100



7

En general si tenemos N objetos. ¿Cuál será el “a” por “b” de N? Gráficamente:

“b” partes iguales

Se toman “a” partes

Matemáticamente se representa de la siguiente manera: a

Nb

Calcular el 15 por ciento de 400.

Luego se representa como: 15

400 60100

A) Por convención las palabras “de”, “del”, “de los” indican una multiplicación.

20% del 25% de 80 20% 25% 80

20 2580

100 100

1 180

5 4

80

20

4

B) Por convención las palabra “es” indica una igualdad.

12 es el 25% ¿de qué número?

Sea “x” el número pedido.

Luego:

25% 12

2512

100

112

4

48

x

x

x

x



8

1. Se puede sumar porcentajes de una misma cantidad

12%N + 34% N = 46% N

2. Se puede restar porcentajes de una misma cantidad

74%N – 24%N = 50%N

3. También se puede multiplicar una cierta cantidad por un porcentaje dado

3 (50%N) = 150% N

Para expresar que tanto por ciento representa una cantidad (PARTE) respecto a otra (TODO), hacemos lo siguiente:

100%

la que hace de parteTanto por ciento

la que hace de todo

¿Qué tanto por ciento es 3 respecto de 12 ? Así tenemos:

3100%

12

1100%

4

25%

Tanto por ciento

Son aquellos descuentos que se van efectuando uno a continuación del otro considerado

como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando.

Si una tienda nos ofrece el descuento del 20% más el 20% de sus precios, el cliente piensa

que les están haciendo el descuento del 40% y no es así: Sea:

i. El precio inicial = N

ii. Descuentos 20% y 20%

queda = 80% (80% N)



9

Entonces:

8 0precio final

100

8 0 100

64

100

64%

N

N

N

El descuento único es: N – 64%N = 36%N.

Son aquellos aumentos que se van efectuando uno a continuación del otro considerado

como el nuevo 100% a la cantidad que se va formando.

¿A qué aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 50%, 20% y 10%?

Sea P= cantidad inicial.

Aumento Resulta

50% 150%

20% 120%

10% 110%

Luego: La cantidad final = (150%) (120%) (110%) P

150 120 110

100 100 100

198%

P

P

El aumento único es: 198%P – P = 98% P

El porcentaje de variación entre dos números se calcula restando el primer número del segundo número, dividiendo entre el primer número, y multiplicando por 100. Si el resultado es un número positivo, entonces hay un INCREMENTO PORCENTUAL y si el resultado es un número negativo, hay un decremento o DISMINUCIÓN PORCENTUAL.

Esta es la fórmula para calcular el porcentaje de variación:

Variación =

Número 2 - Número 1

x 100%

Número 1



10

a) para calcular la variación entre 80 y 120:

2 1100%

1

120 80100%

80

40100%

80

1100%

2

50%

Número NúmeroVariación

Número

Variación

Variación

Variación

Variación

b) Sea:

población 2020: 5 325 habitantes

población 2010: 4 630 habitantes.

Entonces:

2 1100%

1

5 325 4630100%

4630

695100%

4630

0.1501 100%

15.01

Número NúmeroVariación

Número

Variación

Variación

Variación

Variación



11

El tanto por ciento se utiliza en las operaciones comerciales, los bancos lo utilizan para las

tasas de interés, para los préstamos o cuando reciben dinero en depósito. También se utiliza el tanto por ciento cuando se realiza la compra y venta de artículos, en

esta operación nos debe arrojar bien una ganancia o bien una pérdida. Es decir:

Precio de venta = Precio de Costo + Ganancia Precio de venta = Precio de Costo - Pérdida

Nataly vende un pantalón ganando el 20% del precio de costo, más el 10 % del precio de venta, si le costó 60 soles, ¿Cuál es el precio de venta?

Sabemos que:

20% 10%

90% 120%

3 4

3 4( / .60)

4( / .60)

3

/ .80

V

V

V C

V C C V

V C

V C

V

P P G

P P P P

P P

P P

P S

SP

P S



12

El interés es el dinero que se paga por el uso de un dinero llamado capital. El interés por lo

general es establecido en términos de un porcentaje del capital para un periodo dado de

tiempo. El interés es calculado de dos maneras:

El interés simple es la cantidad de dinero ganado solamente sobre el capital original.

Este se calcula usando la siguiente fórmula:

. .

100

C r tI

Donde:

I= interés C= capital r= tasa porcentual anual t= tiempo (360 días)

Sabemos además que cuando el tiempo es expresado en:

Años el denominador entonces en la fórmula es:

. .

100

C r tI

Meses el denominador entonces en la fórmula es:

. .

1200

C r tI

Días el denominador entonces en la fórmula es:

. .

36 000

C r tI



13

a) Calcule el interés ganado si seis mil soles son invertidos a 2 años, a una tasa de 7 %.

En este caso el capital es C = 6000, la tasa es r = 7% y el tiempo es t = 2 años.

Entonces el interés ganado es

. .

100

6000 7 2

100

60 7 2

840

C r tI

I

I

I

Por lo tanto, el interés simple ganado es 840 soles.

Si queremos saber cuánto se tendrá en total luego de estos dos años, calculamos:

Total = Capital original + interés= 6000 + 840 = 6840 soles

b) Juan pide prestado 920 soles al 3% por 9 meses. Encuentre el interés simple

que debe pagar por dicho préstamo.

Como en este caso el tiempo es dado en meses, usamos:

10

23

30

. .

1200

920 . 3 . 9

1200

207

10

20.7

C r tI

I

I

I

Por lo tanto, el estudiante debe pagar un interés simple de 20,7 soles.



14

c) Para iniciar un negocio, un comerciante solicita un préstamo de 5500 soles por un periodo

de 90 días, a fin de comprar la mercancía necesaria. Si el préstamo tiene un interés simple

de 14%, encuentre la cantidad total que debe devolver al finalizar dicho periodo.

En este caso, como el tiempo es dado en días (90 días), dicho periodo se escribe:

5

10711

. .

36000

5500 . 14 . 90

360 00

C r tI

I

8

4

2

72

385

2

192.5

I

I

Por lo tanto, al final de los 90 días, el comerciante debe devolver el capital que pidió prestado

más el interés. Es decir, debe devolver

M = 5500 + 192,5 = 5692,5 soles.

El Interés compuesto es calculado no solamente sobre el capital principal (o inicial) sino

también sobre el interés ya ganado previamente.

Para ilustrar esta noción, suponga que 2000 soles son depositados en una cuenta de ahorro

a una tasa de 5% para 1 año. Usamos la fórmula I = C · r · t para calcular el interés ganado

al finalizar el año.

. .

100

20 00

C r tI

I

. 5 . 1

100

20 5

100

I

I



15

Se observa que el interés ganado ha sido 100 soles. Esto significa que al final del primer

año el capital total de ahorro será de

M = capital inicial + interés ganado= 2000 + 100 = 2100

Ahora suponga que este dinero es ahorrado por otro año más, y a la misma tasa de

interés.

Para el segundo año el interés se calculará teniendo como capital principal a los 2100 soles.

Nuevamente, usando la fórmula: I = C · r · t se encuentra que:

. .

100

2100

C r tI

I

. 5 . 1

100

21 5

105

I

I

Por lo tanto, al finalizar el segundo año el dinero total que habrá en la cuenta de ahorro

será:

M = 2100 + 105 = 2205

La Figura 6 ilustra que el interés simple ha sido calculado dos veces para poder hallar el

interés compuesto.

Después de 1 año, Después de otro año, El interés El interés simple simple

100 soles 105 soles

2000 2100 2205

Capital inicial Nuevo Capital inicial Nuevo Capital inicial

Figura 6

En este ejemplo, el interés ha sido calculado al final de cada año, o anualmente. Sin

embargo, en el interés compuesto pueden presentarse otros intervalos de tiempo como por

ejemplo semianualmente (cada 6 meses), trimestralmente (cada 3 meses), e incluso en

forma diaria.

Para hacer más sencillo el cálculo del interés compuesto se tiene la siguiente fórmula:

.

1 %n t

f IC C r



16

Donde:

:fC Capital final :IC Capital inicial r: tasa porcentual anual

t: tiempo (365 días) n: número de veces que se calculará en un año

En el ejemplo anterior vemos que:

:IC 2000 r: 5% t: 2 años n: 1 veces

Entonces:

5

.

1. 2

2

2

2

1 %

2000 1 5%

52000 1

100

12000 1

20

212000

20

2000

n t

f I

f

f

f

f

f

C C r

C

C

C

C

C

441

400

5(441)

2205

f

f

C

C



17

Entendemos por conjunto a la reunión, colección, agrupación de objetos bien definidos reales o abstractos

llamados elementos.

Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas (A; B; C;….) y sus elementos, separados por comas (o punto y

coma en el caso de números) encerrados entre llaves.

Definimos al conjunto enunciando una propiedad común que caracterizan a los elementos de dicho conjunto.

A = {x /x es una estación del año}

B = {x /x es una vocal}

C = {x /x es un número natural impar}

Cuando nombramos uno a uno los elementos de dicho conjunto.

A = {verano, invierno, otoño, primavera}

B = {a, e, i, o , u}

C = {1; 3; 5; 7;….}



18

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de dicho conjunto

Sea el conjunto: A = {4; 6; 7; 9}

Vemos que:

2

4

9

5

8

6

49

A

A

A

A

A

A

A

Son los siguientes:

Estos son:

Es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto y se simboliza por Ø o { }.

= { x / x x }

A = {conjunto de perros que hablan} A = Ø

B = {x / x2 = 4, x es un número impar} B = { }

C = {números pares terminados en 1} C = Ø

D = {cuadrado de 5 lados} D = { }



19

Reciben el nombre de conjunto unitario aquellos conjuntos compuestos por un sólo elemento.

A = {x/ x N 6 < x < 8} A ={7}

B={mes del año que empiece con f } B = { febrero }

Es aquel que consta de un número determinado de elementos, es decir podemos nombrar su último elemento.

A = Meses del año es finito

B = Estaciones del año es finito

C = {x / xN, x < 5} C = {1; 2; 3; 4} es finito

D = Gatos que viven en el Perú Aunque es difícil contar con exactitud todos los gatos que viven en Perú, se dice que D es finito.

E = {x / x son los ríos de la Tierra} Aunque sea difícil contar el

número de ríos en la Tierra, E es un conjunto finito.

Cuando el conjunto tiene un número indeterminado o ilimitado de elementos, cuyo último elemento no se puede señalar.

A = {2; 4; 6; 8; ....} A = { x I x es un número par es infinito.

B = {1; 3; 5; 7; ...} B = x I x es un número impar es infinito.



20

Es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de sí mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del conjunto Universal. Se le simboliza por la letra “U” y gráficamente se le representa mediante un rectángulo.

a) Sean los conjuntos A = {1,3,5} y B = {2,4,6,8} Según el gráfico tenemos que el conjunto universal es: U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9 }

b) Sean los conjuntos A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } D = {tigres} . Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C , D y es el conjunto de todos los animales U = { animales }

U A B

. 0

. 7

. 9

. 1

. 3

. 5

. 2

. 4

. 6

. 8



21

Estos son:

enteros

0;1;2;3;

; 3; 2; 1;0;1;2;3;

/ , racionales

; 0

; ; ; 5; ; 3; ; ; ; ;

N

Z

aQ a b Z b

b

Conjunto de los números naturales

Conjunto de los números

Conjunto de los números

Conjunto de los númeI rose

irracionales

/ 1 ,

Conjunto de los números reales

Conjunto de

R Q I

C a bi i a los números complejob sR



22

Estos son:

A B x A x B

Sean los conjuntos: A={1; 9; 11} y B={1; 4; 8; 9; 11} Vemos que: A B porque: los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B

A B A y B tienen los mismos elementos

Sean los conjuntos: A={1; 2; 3; 4; 5} y B={2; 5; 1; 4; 3} Vemos que el conjunto A es igual al conjunto B, entonces A = B.



23

A es comparable con B, si A B o B A

Sean los conjuntos: A={1; 2; 3; 4; 5} y B={2; 4} Vemos que el conjunto A es comparable al conjunto B, porque: B A

A y B son disjuntos cuando no tienen elementos en común.

Sean los conjuntos: A={1; 2; 3} y B={4; 5; 6} Vemos que el conjunto A es disjunto al conjunto B, porque: A B

Sea el conjunto A, entonces el conjunto potencia de A estará denotado por:

( ) /P A x x A

Si “n” es el número de elementos del conjunto A entonces el número de elementos del conjunto

potencia de A esta dado por: 2nn P A .

Además, se cumple que:

( )

( )

P A puesto que A

A P A puesto que A A

Sea el conjunto: A={a; b; c} entonces: ( ) 3( ) 3 ( ) 2 2 8n An A n P A

Luego:

P(A)={ {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A , }



24

Un subconjunto propio es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado no es igual a este.

Sea el conjunto: A={2; 6; 8} entonces:

( ) 3( ) 3 ( ) 2 2 8n An A n P A , es decir: P(A)={ {2}, {6}, {8}, {2,6}, {2,8}, {6,8}, {2,6,8}, }

Luego los subconjuntos propios son: {2}, {6}, {8}, {2,6}, {2,8}, {6,8},

Es decir: # de subconjuntos propios de A =

( )2 1 8 1 7n A

Como también podemos hallar: # de subconjuntos propios no vacíos de A =

( )2 2 8 2 6n A

Estos elementos son: {2}, {6}, {8}, {2,6}, {2,8}, {6,8}

Son las siguientes:

/A B x x A x B

A B A

/A B x x A x B

A B A B B



25

/A B x x A x B

A B A

/ ( ) ( )A B x x A B x B A

' /A x x U x A U A



26



27

4. ACTIVIDADES PROPUESTAS

Las actividades propuestas tienen por finalidad afianzar sus saberes adquiridos en base al entendimiento proporcionado en las sesiones de aprendizaje, estos son los

siguientes:

ACTIVIDAD 1: Resolver los siguientes ejercicios en clase sobre PORCENTAJES

con ayuda del docente del curso:

1. Si “x” disminuye en 19% e “y” aumenta

en 10% ¿En qué porcentaje varía la

expresión?

𝐸 =4

3𝜋ℝ3𝑦2√𝑥

a) Aumenta 8% b) Aumenta 6,2% c) Aumento 8,9% d) Disminuye 8%

e) Disminuye 8,9%

2. Si el 74% de N-1 es igual al 95% de

(N-1 – 126); ¿qué porcentaje de N

representa 0,01?

a) 252% b) 148% c) 444% d) 570% e) 504%

3. La empresa constructora SICAN

vende dos residencias en $60 000

cada uno, en una de ellas gana el 20%

del costo y en la otra pierde el 20% del

costo. ¿Cuánto gana o pierde?

a) Pierde $1200 b) Pierde $3300 c) no gana ni pierde d) Gana $5000 e) pierde $5000

4. Un litro de mezcla formado por 75%

de alcohol y 25% de agua pesa 961

gramos; sabiendo que un litro de agua

pesa 1 Kg, se pide calcular el peso de

un litro de mezcla que contenga 45%

de alcohol y 55% de agua. (No

considerar la contracción).

a) 982.2 gr. b) 976.6 gr

c) 971.3 gr. d) 989.1 gr.

e) 985.5 gr.

5. En una reunión se encuentran 16 varones y 24 damas. ¿cuántas mujeres deberán retirarse para que el

porcentaje de hombres sea un 24% más que al inicio?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

6. Un boxeador ha peleado 34 veces de las cuales en 18 ha ganado. Él dice

que se retirará cuando el 60% de sus peleas sean ganadas, pero en su intento pierde 2 peleas; por lo que

ahora decide retirarse cuando el 80% de sus peleas sean victorias.

¿cuántas peleas debe realizar como mínimo para retirarse?

a) 36 b) 54 c) 56

d) 52 e) 32

7. Una persona entra a un juego de 3 apuestas consecutivas perdiendo y ganando alternadamente, 80%, 10% y

70% siempre en relación a lo que tenían o quedaba. Si se retiró con S/.

66, ¿cuánto dinero perdió? a) S/.934 b) S/.1020 c) S/.852 d) S/.658 e) S/.920



28

8. Una señora lleva 3000 manzanas al

mercado, de las cuales el 30 por 1000 estaban malogradas y sólo pudo

vender el 20 por 30 de las buenas. ¿Cuántas manzanas se quedaron sin vender?

a) 960 b) 970 c) 281 d) 282 e) 1060

9. Halle la cantidad de gramos de aguas

que se necesita para rebajar al n% el contenido de alcohol de un frasco de

loción de afeitar de 9 gramos que contiene m% de alcohol.

a) 9 (m n)

n

b)

9m

n c)

9m n

n

d) 9 (m n) e) m n

n

10. Un bidón está lleno de 100 litros de

vino. Se consume el 10% de vino y se sustituye por agua; luego se consume

el 20% de la mezcla y también se reemplaza por agua. Finalmente se consume el 25% de la última mezcla y

también se sustituye por agua. ¿cuántos litros de vino puro quedan

en el bidón, luego de la última operación?

a) 54 b) 28 c) 72

d) 36 e) 40

11. Si 30 litros de una solución alcohólica

contienen 12 litros de alcohol.

¿cuántos litros de agua debemos agregar para obtener una solución al

25%? a) 10 b) 12 c) 28 d) 18 e) 20

12. ¿En qué tanto por ciento aumenta el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 25% y la longitud

del radio de la base aumenta en 20%? a) 8% b)4% c) 12%

d) 10% e) 14%

13. El 40% del valor numérico del área de

un círculo es el 60% del valor numérico de la longitud de dicha

circunferencia. Halle el diámetro de la circunferencia.

a) 6u b) 4u c) 5u

d) 10u e) 7u

14. ¿Qué porcentaje del 20% del 60% de 8000 es el 0,2% de los 3/4 de 16000?

a) 2% b) 20% c) 2,5%

d) 25% e) 4%

15. A un número se le hacen 3

descuentos sucesivos del 20%, 25% y

20%, al número que resulta se le hace 3 incrementos sucesivos del 20%,

25% y 20% resultando un número que se diferencia del original en 204 unidades. Hallar el número.

a) 1 200 b) 1 400 c)1 500 d)1800 e) 2 000

16. En una reunión el 20% de los hombres

y el 25% de las mujeres son peruanos. Si el número de mujeres representa el 40 % del total de personas, ¿Qué

tanto por ciento de las personas presentes en dicha reunión no son

peruanos? a) 78% b) 88% c) 22% d) 68% e) 12%

17. Si el sueldo de Jesús fuese aumentado en 10% le alcanzaría para 20 camisas. ¿Cuántas camisas puede

comprar si el aumente fuese del 21%? a) 18 b) 20 c) 24

d) 22 e) 21

18. La altura de un cilindro disminuye en su cuarta parte y el radio de su base

aumenta en un quinto valor inicial. ¿En qué porcentaje ha aumentado el volumen?

a) 5 % b) 4 % c) 8% d) 2 % e) 9 %



29

19. El precio de costo de un Artículo es de 3600 nuevos soles. Qué precio debe

fijarse para su venta al público sabiendo que si al venderlo se hacen dos descuentos sucesivos del 10% y

20% aún se obtiene una ganancia del 10% del 20% del precio de costo?

a) 2 800 b) 4 700 c) 5 720 d) 5 700 e) 5 100

20. El precio de costo de dos artículos

iguales es de S/. 360. Al momento de venderlos en uno se ganó el n% de su precio de costo y en el otro el n% de

su precio de venta. Si la ganancia total fue de S/. 76. Calcular el valor de n.

a) 10 b) 20 c) 40 d) 25 e) 30

21. Un capital colocado a interés simple

por 9 meses produjo un monto de S/.9

500. Si el mismo capital se hubiera

impuesto a la misma tasa de interés

simple por un año, el monto hubiera

sido S/.10 000. La tasa de interés

simple fue:

a) 24% b) 30% c) 25%

d) 36% e) 40%

22. Suponiendo que el año tiene 10

meses de 20 días cada uno; ¿qué

interés simple ganara un capital de

1 000 000 soles, colocados al 5%

mensual durante 3 meses 15 días?

a) S/. 327 500 b) S/. 187 500

c) S/. 564 790 d) S/. 375 000

e) S/. 175 000

23. Halle la tasa al cual fue impuesto S/.

3750, para que en un año genere un

interés de S/. 2730 y capitalizándose

cuatrimestralmente.

a) 21% b) 18% c) 16%

d) 22% e) 20%

24. Se coloca un capital de 𝑆/. 𝑎𝑏00̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅a una

tasa de interés simple del 2%

trimestral recibiendo un monto en seis

meses de S/. 3800; calcule el capital.

a) 3700 b) 2790 c) 2800

d) 3500 d) 3600

25. El 30% de un capital se presta al 20%

anual y el 45% del capital al 30%

anual. ¿A qué porcentaje anual debe

imponerse el resto para obtener en un

año una ganancia igual a la que se

obtendría si todo el capital se

impusiera al 37%?

a) 60% b) 50% c) 70%

d) 75% e) 65%

26. Un capital de 2500 soles se ha

aplicado a la tasa mensual de 2% en

un esquema de capitalización

compuesta. Después de un período

de 2 meses, el interés resultante de

esa aplicación es:

a) S/. 98 b) S/. 101 c) S/. 114

d) S/. 121 e) S/. 110



30

ACTIVIDAD 2: Resolver los siguientes ejercicios en clase sobre TEORÍA DE CONJUNTOS

con ayuda del docente del curso:

1. Dado el conjunto: A = {, {}, {{}}}

¿Cuántas de las afirmaciones son

falsas? I) ∉ A

II) ⊄ A

III) {} A

IV) {} A

V) {{}} A

VI) {{}} A

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2. De las siguientes notaciones

determinar ¿cuál de ellas es falsa?

a) {2,5,3} = {3,5,2}

b) {4} ∈ {{4}, 5}

c) {3} ⊂ {2,3,4}

d) ⊄ {3, {4}, 2} e) ´ ⊄ {3, {4}, 2}

3. Si A y B son dos conjuntos ¿Cuál de

las siguientes afirmaciones son

falsas?

I) (A B)' = A' B'

II) (A B)' = U – (A B)

III) (A - B) = A B'

IV)(A - B)´ (B - A)´ = (A B)´

V) n(A B) = n(A) + n(B)

VI) si 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐴´ ⊂ 𝐵 ́

a)Sólo III b)Sólo IV, V y VI c)Sólo II d)I y IV e)solo V y VI

4. Hallar n (A Bc), dado que n(A) = a

n(B) = b, n(A B) = c. A y B son dos

conjuntos cualesquiera.

a) b + c b) c – a c) a – b d) b - c e) c –b

5. Hallar la operación que corresponde a

la parte sombreada del gráfico.

A

B

C

D

U

a) (A - B) C

b) (C - D) (A - B)

c) (A - C) (B - D)

d) (A - D) (B - C)

e) (A - B) (C D)

6. Si (A B) = U. Simplificar:

[[(A B) (AB)]´ [A´ B) (A B´)]]´

a) b) A c) A – B

d) Ac e) A B

7. De las siguientes afirmaciones indicar

cuál es cierta:

I. Todo conjunto está incluido en el conjunto Universal, y a su vez incluye al conjunto vacío.

II. Todo conjunto singlentón, es aquel que tiene dos elementos

diferentes. III. Los elementos del conjunto potencia de A, son a su vez

subconjuntos de A IV. Ningún elemento de B esta en

A-B a) Sólo I y II b) Sólo I, III y IV c) Sólo II y IV d) Sólo I y III

e) Sólo II y III



31

8. Si A y B son dos conjuntos tales que 16)(,15)(,35)( ABnBAnBAn

El número de elementos de:

2 ( ) ( ) 4 ( )n A n B n A B es:

a) 1 b) 4 c) 21

d) 9 e) 2

9. Para un conjunto X, el número de

elementos de X denotamos por n(X).

Si n(A)=4, n(B)=3 y n(A∩ B)=2.

Hallar la suma:

n [p(A) U P(B)]+ n[P(AUB)].

a) 32 b) 52 c) 58

d) 36 e) 24

10. En un centro de idiomas se sabe que

el número de alumnos que estudian

inglés, francés y alemán es la tercera

parte de los que estudian solo dos de

estos idiomas.

El número de los que estudian francés

e inglés es el doble de los estudian los

tres idiomas y la mitad de los que no

estudian Ingles. Además, los que

estudian francés o alemán, pero no

inglés son 38 y son 10 los que no

estudian ninguno de estos idiomas.

Determine el número total de

estudiantes que estudian al menos

dos idiomas.

a) 21 b) 86 c) 167

d) 48 e) 210 11. Se tienen 3 juegos de video: llamados

A, B y C. Un niño juega los tres, 3

niños juegan A y B, 3 niños juegan A

y C, 4 niños juegan B y C. Si sabemos

que 8 niños juegan el juego A, 12 el

juego B y 10 el C, entonces;

a)¿Cuántos niños usan los juegos B o C?

b) ¿Cuántos niños usan los juegos A o B? c)¿Cuántos niños juegan solo el juego C?

De cómo resultado la suma de las 3 cantidades

a) 36 b) 46 c) 32 d) 39 e) 21

12. Dado el conjunto A = 1; 2, 2 ; 1;2 ,

determine el valor de verdad o

falsedad de las siguientes

proposiciones:

I. 1; 2 A

II. 1; 2 P P(A)

III. ; 2 P(A)

a) VVV b) VFV c) VFF d) FVV e) VVF

13. Si: A = a; a ; ; . ¿Cuál de los

siguientes enunciados son

verdaderos?

I. a A a A

II. A A

III. a; A a , A

a) Sólo II y III b) Sólo I y III

c) Sólo I d) Sólo II

e) Sólo III

14. Dados los conjuntos:

x +1

A= Z/2 x 143

;

B = x + 1 Z/3 < x < 9 y

x -1

C = Z/4 x <102

.

Calcula: n(AU B) + n(A C) + n(B U C)

a) 12 b) 20 c) 18 d) 26 e) 14



32

15. Si se sabe que: A = 3m + n -11;4m - 4

B = 5m + 2n - 3;4 son conjuntos unitarios.

Determina el cardinal de R, si:

R = m +n;2m +n + 1;mn + 11;2n - 7;4 - m

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. Calcula el número de subconjuntos

propios que posee un conjunto que cumple que el número de subconjuntos quinarios es igual al número de subconjuntos binarios.

a) 15 b) 39 c) 63 d) 127 e) 255 17. Halla el cardinal de un conjunto A

sabiendo que tiene 508 subconjuntos más que un conjunto binario.

a) 8 b) 9 c) 7 d) 10 e) 6 18. Si el conjunto “A” tiene (n+1) elementos y

(2n+3) subconjuntos propios. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A”?

a) 2 b) 32 c) 16 d) 4 e) 8 19. De un grupo de personas: el 14% no

conocen Huancayo, el 16% no conocen Lima; el 81% conocen ambas ciudades. Determina, ¿qué porcentaje no conocen Huancayo ni Lima?

a) 21% b) 17% c) 13% d) 11% e) 9% 20. Durante todo el mes de octubre del año

pasado un alumno estuvo preparándose en Aritmética y Algebra. 20 días estudió Aritmética y 16 días Algebra. Si el 1° de Octubre fue domingo y todos los domingos descansó. ¿En cuántos días estudió ambos cursos?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8

21. De un grupo de turistas que visitaron las ciudades de Cusco, Huaraz y Cajamarca, se sabe que: todos los que visitaron Cajamarca también visitaron Cusco, 22 visitaron Cajamarca; 34 visitaron Huaraz, pero no Cusco, 110 visitaron Cusco o Huaraz, 12 visitaron Cusco y Huaraz, pero no Cajamarca. El número de turistas que visito sólo Cusco es el triple de los

que visitó Cajamarca y Huaraz. ¿Cuántos visitaron Cajamarca y Cusco, pero no Huaraz?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

22. De 192 pobladores de una asociación se determinó lo siguiente: 70 eran Iqueños, 80 huanuqueños y 90 eran músicos; de estos últimos 39 eran iqueños y 31 eran huanuqueños. ¿Cuántos de los que no son huanuqueños no eran iqueños ni músicos?

a) 28 b) 25 c) 24 d) 22 e) 23 23. En una ciudad de 10000 habitantes

adultos, el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% lee periódicos y el 10% ve televisión. Entre los que escuchan radio, el 30% lee periódicos y el 4% ve televisión. El 90% de los que ven televisión lee los periódicos, y sólo el 2% de la población total adulta lee periódicos, ve televisión y escucha radio, se pide:

a) ¿Cuántos habitantes no escuchan radio, no leen periódicos ni ven

televisión?

b) ¿Cuántos habitantes leen periódicos solamente?

a) 1080;1200 b) 10000;18

c) 8920;15 d) 5000;40

e) 1000;100

24. En una fiesta social hay 1000 asistentes,

322 son hombres, 470 son casados, hay

42 varones de color, 147 personas de

color son casados, 86 varones son

casados. ¿Cuántas mujeres son

solteras?

a) 288 b) 290 c) 292 d) 294 e) 289

25.Entre 100 estudiantes de idiomas se

determinó que 28 estudian ruso, 40 inglés

y 32 francés; 8 ruso e inglés; 10 ruso y

francés y 5 inglés y francés y 20 ninguno

de estos 3 idiomas. ¿Cuántos son

estudiantes en los tres idiomas?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5



33

5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] CASTELNUOVO, Emma (2009), Didáctica de la Matemática Moderna. Editorial Trillas. Madrid.

[2] INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES (2010). Aritmética, Análisis del número y sus

aplicaciones. Lumbreras Editores. Lima – Perú.

[3] ADUNI (2009). Compendio Académico de Matemática. Lumbreras Editores. Lima – Perú

[4] LUMBRERAS (2009). Compendio de Actitud Académica. Lumbreras Editores. Lima – Perú.

[5] ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES (2012). Razonamiento

Matemático, propedeutica para las ciencias. Lumbreras Editores. Lima – Perú.

[6] POVIS VEGA, Adolfo (2012). Razonamiento Matemático. Editorial Moshera. Lima – Perú.

[7] COLECCIÓN SIGLO XXI (2009). Razonamiento Matemático. Editorial San Marcos. Peru

[8]CHÁVEZ VENTOCILLA, Alfredo (2009). Compendio de Razonamiento Matemático. Fondo

editorial Rodo. Perú.

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