S.E. P. S. E.I. T. D. G.I. T

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

c e n i. d e t I “Estimación del flujo magnético del rotor de un motor de inducción por medio de observadores”

1

PARAOBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA ELECTRONICA

i--- P R E S E N T A - .cy;yE- : I

d

ING. JULIO CESAR DEHESA VALENCIA

DIRECTOR:

DR. ENRIQUE QUINTERO-MARMOL MARQUEZ

JURADO CALIFICADOR:

PRESIDENTE: DR. MARCO ANTONIO OLIVER ZALAZAR SECRETARIO: M.C. GUADALUPE MADRIGAL ESPINOSA

2”. VOCAL: le‘‘ VOCAL: DR. ENRIQUE QUINTERO-MARMOL MARQUEZ

M.C. RAFAEL PARRA HERNANDEZ

CUERNAVACA, MOR. MAYO DE 1998.

S.E.1'.

u

S.E.1 .I'.

&L L lb

CENTRO NACIONAL DE IVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO cenidet

ACADEMIA DE LA MAESTIUA ISN E L E C T R ~ N I C A

FORMA R11 ACEPTACION DEL TIUBAJO DE TESIS

Cueriiavaca, Mor. a 14 de niayo de 1998

Dr. Juan Manuel liicaño Castillo Director del cerzidef Presente

At'n. Dr. Jaime Arau Roífiel Jefc del Depto. de Elixtrónica

Después de Iiaber revisado el trabajo de tesis titulado: "Estimscián del flujo inagnético del rotor de 1111 iiiotor de iiiduccií~ri por iiiedio de (~I~scrv:idores", claborado por cI i i l u ~ i i i i o .Ji i l io

César Dcliesa Valencia, bajo la dirección del Dr. Enrique Quintero-Mármol Mirquez, cl trabajo se ACEPTA para proccder a su impresión.

C.C.P.: M.C. Javier FAeneses RuíAPdte. de la Academia de Electrónica Ing. Jaime Rosas Áivarez I Jefe del Depto. de Servicios Escolares Expediente.

.-

4 - Institutos Tecnológicos O anos de educación superior tecnológica en Mexico

/Y"iYOISXfib

APARTAW POSTAL 5-1 64. CP 62c51, CUERNAVACA, MOR. M~XICO - TELS. (73)12 2314.12 7613 , FM 1731 1 2 2434 - EMAIL:cenideli@inforel.nel.mx

SISTEMA NACIONAL DE INSTITUTOS TECNOLÓGICOS s(#’ Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Cuernavaca, Mor., a 14 de mayo de 1998.

.Julio César Dehesa Valencia Candidato al grado de Maestro en Ciencias En Ingeniería Electrónica Presente

Después de haber sometido a revisión su trabajo final de tesis titulado “ESTIMACIIÓN DEL FLUJO MAGNÉTICO DEL ROTOR DE UN MOTOR DE INDUCCIÓN 1’011 MEDIO DE OBSERVADORES”, y habiendo cumplido con todas las indicacioiies que el jurado revisor de tesis le Iiizo, le coinunico que se le concede autorización para que proceda a la impresión de la iiiisiiia. como requisito para la obtención dcl grado.

Reciba un cordial saludo.

/-.y

A

c.c.p. Jefe de Servicios Escolares Expediente

* - Institutos Tecnológicos O anos de educación superior tecnológica en Mexico

AMimsania

APARTADO POSTAL 5-164. CP 62021, CUERNAVACA. MOR. MÉXICO - lELS. (73112 2314.12 7613, FAX (731 12 2434 - EMAlL:cenidell@inforel.nel.mx

CONTENIDO

RESUMEN

NOMENCLATURA

Pág .

LISTA DE TABLAS Y FIGURAS

CAPITULO 1 . INTRODUCCION ........................................................................................................ i

CAPITULO 2 . MODELO MATEMATICO DEL MOTOR DE INDUCCION ................................... 3 2.1 Modelo dinámico ..................................................................................................................... 3

3 .. 2.1 . 1 Ejes de transformacion ............................................................................................ 2.2 Modelo matemático del motor de inducción en el sistema de

referencia estacionario ............................................................................................................. 7

2.3 Ecuaciones de transformación del sistema de referencia estacionario al sistema de referencia en rotación ...................................................................... 13

CAPITULO 3 . ESTRUCTURA DE OBSERVADORES ........................................................................ 15 .. 3.1 Introduccion .............................................................................................. 15

3.2 Observadores .................................................................................................... 15

3.2.1 De orden completo ................................................................................ ; .................... 15 3.2.2 De Luenberger extendido ........................................................................................... 17

observadores .............................................................................................. 19 3.4 Algoritmo de estimación ................................................................................ 20

3.3 Expresiones de ganancias en sistemas realimentados y en sistemas con

3.5 Estimación de los componentes del flujo magnético del rotor del modelo no lineal ......................................................................................................................................... 21

3.6 Análisis de las propiedades dinámicas del observador de flujo magnético en lazo abierto ....................................................................................................................................... 26

CAPITULO 4. CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCION ............................................................... 43

4.1 Introducción ......................................................................................................................... 43

4.2 Control del motor de inducción realimentando las variables de estado ................................ 45

CAPITULO 5 . CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .............................................................. 57

REFERENCIAS ............................................................................................. 1 ............................ 58

APENDICE A. LMEALIZACION DEL MODELO MATEMATICO DEL MOTOR

DE INDUCCION .............................................................................................. 59

APENDICE B. PROGRAMA QUE IMPLANTA EL ALGORITMO DE

DE ESTIMACION DE LOS COMPONENTES DEL FLUJO MAGNÉTICO

DEL ROTOR DEL MODELO NO LINEAL .................................................. 62

APENDICE c. ESTIMACION DE LOS COMPONENTES DEL FLUJO MAGNÉTICO DEL ROTOR DEL MODELO LINEAL ........................................................ 76

APENDICE D. PROGRAMA QUE IMPLANTA EL ALGORITMO DE ESTIMACION DE

LOS COMPONENTES DEL FLUJO MAGNÉTICO DEL ROTOR DEL MODELO LINEAL .......................................................................................... 81

D E D I C A T O R I A S

A mis padres Victor Dehesa Toledo y Cecilia Valencia Toledo, a quienes agradezco infinitamente su apoyo para obtener todas las metas que me he propuesto en la vida y en mi carrera profesional.

A mi esposa Elba del Carmen Cabrera Sibaja, mi fiel compañera por su apoyo permanente y motivación para alcanzar el más preciado de mis objetivos.

A mi hija Lesley Dehesa Cabrera por brindarme parte de su tiempo en el transcurso del desarrollo de la tésis.

A mis hermanos Pedro, Virgen, Gastón, Omar, Rosario y Gladys por formar parte de mi objetivo desde el inicio de la maestría.

A mi tío Ing. José Manuel Dehesa Toledo por ser uno de los motivadores principales en la realización de la maestría y por sus amplios conocimientos y aportaciones durante el desarrollo del trabajo de investigación.

A todos ellos, muchas gracias.

. ~ .. : ~. . . . . . >'. . I .~ .

A G R A D E C I M I E N T O S

Agradezco al Dr. Enrique Quintero-Marmol Márquez por haberme asesorado y otorgado la oportunidad de colaborar con él para la realización de este trabajo de investigación. Para él, mi más sincero reconocimiento por su valioso apoyo, entrega y dedicación para la culminación del proyecto.

A mis revisores MC. Guadalupe Madrigal Espinoza, Dr. Marco A. Oliver Salazar y al M.C. Rafael Parra Hernández por aportar sus valiosos comentarios en la revisión de la tesis.

A todos mis maestros y asesores que han contribuido con lo mejor de sí para la realización de este trabajo.

A mis compañeros docentes de la academia de informática y al C. Ing. Leandro Marcos Ramos, Director del Instituto Tecnológico de Comitancillo por haberme brindado la oportunidad de concluir con el proyecto.

A todos mis compañeros de la Delegación Sindical D-11-120 del Instituto Tecnológico de Comitancillo por sus atenciones durante el desarrollo del proyecto.

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico por haberme abierto sus puertas para adquirir los conocimientos que sustentan mi formación profesional.

AI Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por su apoyo económico brindado.

R E S U M E N

Se llevó a cabo un proyecto de investigación en el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico, que tuvo como objetivo estimar los componentes del flujo magnético del rotor de un motor de inducción, mediante la aplicación de la teoría lineal de observadores a procesos no lineales (observador de Luenberger extendido). El producto es un programa a nivel de cómputo que implanta el algoritmo para la estimación de los componentes del flujo magnético del rotor de un motor de inducción.

Los beneficios obtenidos del presente desarrollo de tesis son:

a) Contribución en la investigación y el diseño de controladores no lineales que empleen observadores. b) Estimación de variables de estado en forma determinística a diferencia de la estimación estocástica que

es 10 que en general se encuentra en la literatura.

Los problemas presentados son:

a) Cálculo de la matriz de ganancia del observador. b) Implantación del algoritmo de estimación. c) Diseño del sistema de control de motores de inducción utilizando observadores.

NOMENCLATURA

PARAMETROS DESCRIPCION

A Matriz del proceso linealizado 0,

,(ab) u,a2

a, ,aZ ,a3,a4,a,, u 6 3 a 7 > a 8 ~ u 9 ~ u 1 0

Elementos de la matriz A Ejes (a,b). En el sistema de referencia estacionario. Angulo de fase entre los voltajes del estator (120 , 240 grados) Coeficientes del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales del motor de inducción.

UNIDADES TERMINO EN EL

PROGRAMA A A(id

Rad afl ,ai2

a l ,a2,a3 ,a4,a5, a6,a7,aS,a9, nin

I I

Ird I Componente d de la corriente del rotor I Amo

i , IW

I I

1, 1 Componente q de la corriente del rotor I Amv 1 Componente d de la corriente del estator Amp. id Componente q de la corriente del estator Amp iq

J K k, 2 k, > k , L, L.

Inercia del rotor kgmZ J Matriz de ganancias K

Inductancia del estator Henry Ls Coeficientes del par del carga kO,kl,k2

lnductancia del rotor Henrv 1 .r

m M nP

n R.,

TL R,

I

-. ......

Número total de mediciones I

! I

lnductancia mutua Henry Lm nP Número de pares de polos

Orden del sistema Resistencia del estator Ohms. Rs

Par de carga Nm TI I Resistencia del rotor Ohms. Rr

Par eléctrico del motor kw Componente a del voltaje del estator Componente b del voltaje del estator

Volts. T u,,

Volts. - Espacio fasorial trifásico del voltaje del estator Volts u, U I Vector de entradas I I 11 . I1 I Comoonentes (dl,) de los voltajes de entrada I Volts

Te ua ub uab

X

I

P I Angulo de rotación I Rad I anguio I Angulo de desfasamiento entre los voltajes del estator I Rad I teta

, - -- ....

( 1% grados) Numero de iteraciones Tiempo de simulación Parn AP integración Variables auxiliares para los coeficientes de las ecuaciones del motor

I , uiiurivn de la resistencia aleatoria del rotor I

max, N tiempo,t paso,h ctl ,ct2

Ac Ohms VRr

LISTA DE TABLAS Y FIGURAS

~

4 4 4 4

I CAPITULO 1 FIGURASY 1 DESCRIPCION 1

Fig. 4.1.1 Fig. 4.1.2 Fig. 4.2.4 Fig. 4.2.5

Modelo del motor y convertidor Diagrama de bloque de control de un motor de inducción. Componente a de la corriente del estator (i,) Componente b de la corriente del estator (i-&)

3 I Fig. 3.6.1 I Componentes del flujo del rotor(y,a,p,a) 3 1 Fig. 3.6.2 1 Componentes del flujo del rotor((v,,Prh)

4 4

4 4 4 4

3 I Fig. 3.6.7 I Señal de perturbación pf 3 1 Fig. 3.6.19 I Velocidad del motor íx3 ) con uerturbac¡Ón(Dfl

~

Fig. 4.2.8 Fig.4.2.9

Fig. 4.2.10 Fig. 4.2.1 1 Fig 4.2.12 Fig.4.2.13

Componente d de la corriente del estator ( i d ) Componente q de la corriente del estator(i,) Componente d del flujo del rotor ( y,d) Par electromagnético ( E ) Componente a del voltaje del estator (u, ) Componente b del voltaje del estator (u.A)

4

4 4

1 Fig. 4.2.6 I Fig.4.2.7

I Componente a del flujo del rotor (y,) 1 Componente b del flujo del rotor ( (v.&)

Fig.4.2.16 Error entre la velocidad de referencia y la velocidad de realimentación ( w ' - w . ) 1 . , ,,

1 4

- 4 4

Fig. 42.17 Fig.4.2.18 Fig.4.2.21

Error entre el flujo de referencia y el flujo de realimentación (v; - ty,) Diagrama de bloque del sistema de control y observador en lazo abierto Diagrama de bloque del sistema de control y observador en lazo cerrado

4 1 Fig. 4.2.14 1 Componente d del voltaje del estator (u,rd)

1 4 I Fig. 4.2.15 I Componente q del voltaje del estator (ux,,) 1

CAPITULO 1. INTRODUCCION

La aplicación de la teoría de observadores ha hecho posible el diseño de sistemas dinámicos mucho más rápidos para la estimación de los componentes del flujo magnético del rotor en motores de inducción[l.l].

Hoy en día los motores de inducción están sustituyendo a los motores de CD(Corriente Directa) en aplicaciones de regulación de velocidad tales como en máquinas herramientas, montacargas, etc. donde predominaban principalmente este tipo de motores. Un motor de CD es utilizado aún en la industria por su facilidad de control y por sus características de funcionamiento ante variaciones de carga pero presenta la desventaja de tener más pérdidas de voltaje y ser más costoso debido a su constitución física. En cambio, un motor de inducción, es más económico, simple, robusto y factible. La desventaja que presenta es que se requieren estructuras más complejas para su control y circuitos electrónicos más potentes. Pero con el avance de la Electrónica de potencia se ha hecho fácil el uso y control de motores de inducción en lugar de motores de CD.

En un motor de CD convencional, los dos devanados independientes en el estator y rotor producen flujos magnéticos respectivos. Un conmutador mantiene una separación de 90" constante entre estos flujos. Este arreglo da un par alto para un valor de corriente dado. El arreglo electromecánico de una máquina de CD permite el desacoplamiento de los efectos magnéticos entre los devanados del estator y rotor. Este desacoplamiento se refleja en las expresiones para el par. El motor de CD se puede operar como un dispositivo lineal simplemente manteniendo constante la corriente del estator. En cambio, en un motor de inducción polifásico, el devanado del estator produce un flujo asociado. Indirectamente también se crea un flujo en el rotor. La separación angular del flujo resulta por el retardo de tiempo inherente en el circuito del rotor. Debido a que la corriente del estator es solamente el mecanismo para la producción del par, los efectos de estator y rotor son acoplados. La máquina no se puede operar como un dispositivo lineal a menos que se aplique una realimentación no lineal.

Para poder controlar la velocidad de un motor de inducción es necesario conocer el flujo magnético del rotor. Este flujo se puede medir por medio de sensores con la desventaja de ser costosos y presentar problemas tales como sensitividad a las variaciones de temperatura, introducción de ruido y efectos adversos en la medición del flijo magnético. Por ende el uso de sensores, afecta al sistema de control y evita un control aceptable de la velocidad del motor. En el presente trabajo se propone utilizar un observador para estimar los componentes del flujo magnético del rotor ( y,,y,) y usar estas estimaciones en el sistema de control para lograr un control mas adecuado de la velocidad y a la vez reducir los efectos de la variación de parámetros del motor (resistencia del rotor) en el flujo magnético estimado. La base utilizada para el diseño es la teoría de observadores para sistemas dinámicos lineales. Se utiliza el modelo linealizado del sistema dinámico para obtener las ganancias del observador ubicando convenientemente los polos de lazo cerrado del observador. El alcance de este trabajo se relaciona solo con la implantación del algoritmo de estimación a nivel de programa de cómputo para estimar los componentes del flujo magnético del rotor. Las estimaciones generadas son aplicadas al sistema de control vectorial de motores de inducción[l.2]

Cuando se usa la realimentación de todos los estados en motores de inducción(contro1 por campo orientado directo), las dinámicas del flujo magnético constante son similares a la de una máquina de CD. En la práctica, la realimentación de todos los estados en ocasiones no es posible dado que se requiere información para incluir el flujo del rotor. El uso de sensores para medir el flujo del rotor tiene inconvenientes ya que estos resultan costosos y sensibles a la temperatura. En general, ello requiere

,

adecuaciones del motor, y en consecuencia un costo substancial al sistema. Para cubrir estas dificultades, se utiliza en el sistema de control un observador para calcular los componentes del flujo del rotor en base a las variables de estado medible$ .3].

La organización del presente documento es como sigue:

En el CAPITULO 2 se detalla el modelo matemático del motor de inducción. Este modelo es utilizado en las ecuaciones del observador para estimar los componentes del flujo del rotor, se describen las ecuaciones de transformación utilizadas para transformar un sistema de referencia estacionario a un sistema de referencia en rotación.

En el CAPITULO 3 se presentan las ecuaciones que definen las estructuras de observadores para sistemas lineales así como para sistemas no lineales. Se incluye en forma comparativa las matrices que intervienen en el cálculo de las ganancias en sistemas realimentados y observadores. Se presenta el algoritmo de estimación utilizada como basa para el desarrollo del presente trabajo así como los resultados y la evaluación de las propiedades dinámicas del estimador.

En el CAPITULO 4 se incluye el esquema detallado del control utilizado para evaluar el comportamiento dinámico del observador. Se analizan tres aspectos que son: El Análisis del sistema de control sin observador; análisis del sistema de control con observador en lazo abierto, y el análisis del sistema de control realimentando las variables estimadas. Cuando las variables estimadas son realimentadas al sistema de control, el observador presenta desempeños aceptables.

En el CAPITULO 5 se describen las conc1usiones.y recomendaciones del presente trabajo.

Se anexa una sección de REFERENCIAS que detalla la bibliografía consultada.

En el APÉNDICE A se describe el proceso de linealización aplicando expansión por series de Taylor.

En el APENDICE B se muestra el código que implanta el algoritmo de estimación considerando la estructura de control, el modelo no lineal del motor de inducción y la estructura del observador no lineal.

En el APENDICE C se describen los pasos realizados para estimar los componentes del flujo del rotor considerando el modelo lineal del motor de inducción y aplicando la teoría lineal de observadores.

En el APENDICE D se anexa el código que genera los resultados de la estimación de los componentes del flujo del rotor del modelo lineal del motor de inducción.

2

CAPITULO 2.

2.1 MODELO DINAMICO

MODELO M4TEMATICO DEL MOTOR DE INDUCCION

El funcionamiento dinámico de una máquina de CA(Corriente Alterna) es complejo por los efecto, de acoplamientos entre las fases del rotor y estator, donde los coeficientes de acoplamiento varían con li posición del rotor, el modelo dinámico se puede describir por un conjunto de ecuaciones diferenciales con coeficientes variantes en el tiempo.

Cuando el suministro de energía es trifásico y balanceado, la teoría de los dos ejes (d,q) es normalmente utilizado para el modelado dinámico. En esta teoría, los parámetros variantes en el tiempo son eliminados y las variables y parámetros se expresan en ejes ortogonales o mutuamente desacoplados: eje (d) y eje (q). El modelo dinámico de una máquina se puede expresar en un sistema de referencia estacionario o en un sistema de referencia en rotación. En el sistema de referencia estacionario, los ejes de referencia (a,b) están fijos en el estator, mientras que en un sistema de referencia en rotación, los ejes (d,q) están en rotación. El sistema de referencia en rotación puede estar fijo en el rotor o moverse a una velocidad síncrona. La ventaja de tener un modelo dinámico en un sistema de referencia en rotación síncrona es que con suministro senoidal las variables se obtendrán como cantidades de CD en condiciones de estado estable.

2.1.1 EJES DE TRANSFORWiCION

Considérense solamente los voltajes de suministro al estator y derivando de ello las relaciones de transformación entre los ejes (a,,b,,c,) y los ejes (a$ ) , donde ambos están en el modelo de referencia estacionario como se muestra en la Fig. 2.1 . I .1. .

bs

b - eje

as

.c a - eje

Fig2.1.1.1. Transfomación de ejes estacionarios ((q,b,,,c,,) a ejes (ab))

Las corrientes y flujos se pueden transformar de forma similar. El ángulo 0 entre los dos conjuntos de ejes es arbitrario. Los voltajes de fase en términos de los voltajes (a,b) se pueden escribir en forma matricial :omo:

3

V ,

v,, v,,

y la relación inversa correspondiente se representa por la ecuación:

sin @ * ' b cose =cos(@- 120) sin(@- 120) 1 u,

cos(B+ 120) sin(@+ 120) 1 u.

U,

u, u,

donde u. es un componente de secuencia cero[ I .4]. La relación de transformación se puede simplificai si se fija a 6' = O de tal forma que coincida el eje b con el eje a,. Ignorando el componente de secuencia- cero, se tienen las siguientes ecuaciones:

cose C O S ( O - I ~ O ) cos(e+120) vos 2 . 3 =-sin 8 sin(8- 120) sin(@+ 120) vb,

0.5 '0.5

1 4 7 Y =- - u +- u

2 2 " .......... 2.1.1.3

0.5

y los voltajes en el modelo estacionario a,b son.

2.1.1.2 ........

los voltajes en el sistema estacionario a,b se pueden convertir al sistema de rotación síncrono d,q con la iyuda de la figura 2.1.1.2

4

I i.

eje a

Fig 2.1.1.2 Transformación de ejes estacionarios (a,b) a los ejes de rotacion sincrona (d,q)

Los términos en el sistema en rotación síncrona son:

uq = u, cosw .t -u, s ino et

Las ecuaciones (2.1.1.5) se pueden invertir para obtener las relaciones de las variables del sistema estacionario en términos de las variables del sistema en rotación tal como:

u, = u, c o s o .t + ud s ino .t

u, = -uq s ino .t + ud c o s o et ......... 2.1.1.6

considerando que los voltajes de fases son balanceados y senoidal, es entonces:

c

Pustituyendo las ecuaciones (2.1.1.7) en las ecuaciones (2.1 .I .4), se tiene:

u, = v, COS# J

2.1.1.8 u, = -Y7, s ino et

Nuevamente, sustituyendo estas ecuaciones en las ecuaciones (2.1.1.5) se tiene: ..

uq = v, = v, u, = o .. . .. . .. ... 2.1.1.9

Estas relaciones demuestran que la variable senoidal aparece como cantidades de CD en sistemas de referencia en rotación síncrona. Estas ecuaciones son utilizadas en los sistemas de control de motores de inducción.

6

?.2 MODELO MATEMATICO DEL MOTOR DE INDUCCION EN EL SISTEMA DE PEFERENCU ESTACIONARIO

El modelo matemático detallado de un motor de inducción se ha tratado con profundidad en[l.l, !.l]. Las referencias [2.2 ,2.3] muestran un tratado general sobre la teoría de máquinas eléctricas y notores de inducción. Una representación del motor de inducción se muestra en la fig. 2.2.1

Im

'\ t

Fig. 2.2.1 Sección transversal de una máquina trifásica

Un motor de inducción trifásico, está formado por tres devanados en el estator y tres devanados en el rotor :om0 se muestra en la Fig. 2.2.1. Krause y Thomas [2.4] establecieron una representación equivalente de a máquina en dos fases en el sistema de referencia estacionario en el estator. Con dos devanados en el 'otor y dos devanados en el estator. Sus dinámicas se describen por:

dv., - 0 .................... 2.2.1 dr R , i , , +

londe R, i , v ,u ,q denotan resistencia, corriente, flujo y voltaje de entrada al estator de la máquina. El ubíndice s y r son para los términos de estator y rotor respectivamente; (a,b) denota los componentes de in vector con respecto a un sistema de referencia estacionario fijo en el estator, (d,q)denota los

componentes de un vector con respecto a un sistema de referencia en rotación con velocidad npw; y np denota el numero de pares de polos de la máquina de inducción y w la velocidad del rotor. El ángulo de la rotación p se define como:

-= dP n p , p(O)=O. dt .............. 2..2.2

La transformación de los vectores (id,iq),(yd,t,vq) definidos en el sistema de referencia en rotación

(d,q) , a los vectores (i,,irb),(y,o,yv,)definidos en el sistema de referencia estacionario (a,b) se describen por: .

I , - cosp -sin ird

li,bl-lsinp c U s j i q l ..................... .2.2.3

Aplicando la transformación (2.2.3),(2.2.4) y usando la ecuación (2.2.1), y (2.2.2), las ecuaciones en el sistema de referencia estacionario fijo en el estator quedan definidas como:

Considerando la linealidad de los circuitos magnéticos , inductancias mutuas iguales y despreciando las pérdidas en el hierro, las ecuaciones magnéticas son (ver 2.3 p.[127]).

8

londe L,,L, son autoinductancias y M es la inductancia mutua; Eliminando i,a,i,b y y, ,ySb en (2.2.5) y itilizando (2.2.6), se tiene:

-v, R, --Mi,>o R, +- dy,* + n,wy,b = O L, L, dt

-I,u,~ R, --Misb R, +-- d y r b n,wy, = O L, 4 dt ..2.2.? ............

El par electromagnético producido por la máquina es expresado en términos del flujo del rotor y corriente jel estator como:

La ecuación de la velocidad del rotor es definida por:

Donde J es el momento de inercia del rotor y es el par de carga.

4rreglando las ecuaciones anteriores en forma de espacio de estado. La dinámica de un motor de nducción bajo consideraciones de inductancias mutuas iguales y circuito magnético lineal es dado por el Giguiente modelo de quinto orden:

9

Los parámetros anteriores son:

M2 M 2 R , + L2rRs o=L,?-- , y = L, oL1 I

................. 2.2.10

En las simulaciones se considera que el par de carga es una función conocida de la velocidad del rotor y tiene la forma:

2.2.1 1 T'(W) = k, + k , o + k2W2 .................... Esta consideración es más realista que considerar un par de carga constante.

Arreglando las ecuaciones (2.2.9,2.2.10 y 2.2.1 I ) se tiene:

XI =u,(x,x4 -x2xs)-u2 -U3X1 -U4X1 2

X2 = uSx4 + u6x1xS - u7x2 +bu, XI= -u6xIx4 +u,x, -u,x, x4 = -u,x4 - U9X,X5 +Ul0X2 x, = U9XIX4 -usx5 + Ul0X,

donde:

...... 2.2.12

x1 =Velocidad del motor en rad/s x2 =Componente a de la corriente del estator en amp. x,=Componente b de la corriente del estator en amp. x, =Componente a del flujo del rotor en weber x,=Componente b del flujo del rotor en weber,

10

a , =- I' , a 2 = T 2 JL,

k2 a4 =- J

kl u3 =-, J

Las entradas al sistema son los componentes del voltaje del estator (a,b), (u,,uSb). Y las salidas del sistema son velocidad del rotor, los componentes de la corriente del estator y los componentes del flujo del rotor (~,i,~,,i~,,~,~,~/,~)respectivamente.

Las ecuaciones de voltaje de entrada al estator (2.1.1.4) se pueden obtener en representación de espacio fasorial[2.5]. El espacio fasorial del voltaje del estator en el sistema de referencia estacionario es:

donde:

v,(t) = v, cos(w,t) vsb(t) = V , cos(w,r - e,) ' 5 , ('1 = '.- cOs(wlr - 'i , . , , . , , . . , , . ,2,2,16

2.3 ECUACIONES DE TRANSFORMACION DEL SISTEMA DE REFERENCL4 ESTACIONARIO AL SISTEMA DE REFERENCLP EN ROTACION

El “control por campo orientado” es una técnica de control clásico para motores de inducción. Fue introducido por Blaschke[l.2] en 1971, involucra la transformación de los vectores (isa,iyb) ,(y,,vrh) en el sistema de referencia (a,b)fijo en el estator al sistema de referencia (d ,q) , el cual rota con el vector de flujo ( ya,vh). Con la ayuda de la fig. 2.3.1 se obtienen las relaciones entre los vectores (a$) y (d ,q ) .

Fig. 2.3.1 Relaciones entre los componentes de flujo y el Angulo de rotaci6n

rh p=arctan- cv 10 ............... 2.3.1

Las transformaciones entre los componentes de corrientes y flujos de los vectores (d,q) a los vectores (a ,b ) son definidas por las relaciones:

......... .2.3.2

......... 2.3.3

Dado que c o s p = &, sinp = %, con /y ] = Jm, de las ecuaciones (2.3.2 y 2.3.3) se obtiene: Ivrl lVrl

13

Las ecuaciones (2.3.4) son utilizadas en la simulación para obtener las transformaciones del sistema de referencia estacionario (a,b) al sistema de referencia en rotación (d ,q ) donde las variables senoidales aparecen como cantidades de CD y son necesarios para la implantación de controladores en motores de inducción.

14

CAPTULO 3. ESTRUCTURA DE OBSERVADORES

3.1 INTRODUCCION

El término de observador fue introducido por Luenberger[3.1,3.2,3.3]. El demostró como el vector de estado de un sistema lineal se puede reconstruir a partir de las observaciones de las entradas y salidas del sistema (si el sistema es observable). La técnica de diseño es similar al cálculo de las ganancias en control realimentado. Las ganancias son obtenidas ubicando los polos del observador de lazo cerrado en el semiplano izquierdo del plano complejo, con el objetivo de lograr que el error(la diferencia entre la salida medida del proceso y la salida del modelo usado en el observador) caiga exponencialmente a cerobara sistemas lineales). Una referencia detallada sobre observadores se incluye en [3.4]. Los observadores pueden ser de orden completo o de orden reducido. En los observadores de orden completo, el modelo del observador es el mismo que el orden del sistema o proceso. En los observadores de orden reducido, el orden del sistema es igual al numero de estados que se estima u observa.

Hay diversas ventajas en el tratamiento matemático de observadores no lineales, una teoría comprensiva no existe aún. La base utilizada en el presente trabajo es la teoría de observadores para sistemas dinámicos lineales. Se utiliza el modelo linealizado del sistema para obtener las ganancias del observador ubicando los polos del observador de lazo cerrado. Estas ganancias son utilizadas con el modelo no lineal del sistema, para predecir las variables de estados(componentes de flujo del rotor).

En el motor de inducción las variables que se miden son velocidad del rotor, el componente a de la corriente del estator, el componente b de la corriente del estator ( x,,x2 ,x3) respectivamente y las variables que se estimarán son el componente a del flujo del rotor y componente b del flujo del rotor (xq ,xs).

3.2 OBSERVADORES

3.2.1 DE ORDEN COMPLETO

Los observadores son usados para estimar los estados de un sistema teniendo una entrada externa conocida. Su principal uso es en la estimación de variables de estado que no se pueden medir pero que son necesarias para la implementación de controles realimentados. La representación en espacio de estado de un sistema dinámico lineal es:

,t = Ax+Bu ............ 3.2.1 y = cx .......... 3.2.2

dondexes el vector de variable de estado, u el vector de entrada conocida, y el vector medición, A,B y C son matrices. Generalmente hay más estados que salidas (el vector y es más pequeño que el vector x) . La matriz A es siempre una matriz cuadrada.

Un procedimiento para obtener la estimación T(t) de ~ ( f ) es hacer la estimación a la salida del sistema dinámico[3.1].

= 2 + Bu + Ky ........ ..3.2.3

^ ^ excitado por la medición de y = Cx y la entrada u , seleccionando las matrices A,B y K para hacer el error considerablemente pequeño.

15

e = x - X ........ ..3..2.4

K

Este es el método de Luenberger. La ecuación diferencial para el error se puede obtener usando las ecuaciones (3.2.1,3.2.3)

e = X - i = Ax + Bu- Á(x - e ) -Bu -KCx ........ .3.2.5

factorizando

= Ae + (A-KC - Á)x + (B- B)u ........... 3.2.6

Si se demanda que el error tienda exponencialmente a cero, independientemente de x y u , entonces los coeficientes de x y u en la ecuación (3.2.6) deben ser cero y A debe ser la matriz dinámica de un sistema estable. Esto significa que se puede obtener las expresiones:

..

.. A = A - KC .............. 3..2.7

b

.. B = B .............. 3..2.8

Una vez que la matriz K es seleccionada se puede determinar la matriz Á . Sustituyendo las ecuaciones (3.2.8) y (3.2.7) en la ecuación (3.2.3) se tiene.

i = (A-KC)X+BU+KY .............. 3.2.9 i = AX + BU + K(Y - CX) ........... ..3.2. io

donde 2 es el vector de variable de estado estimado y K es una matriz de ganancia del observador. La cantidad

r = y - CX = C(x - X) = Ce ........... ..3.2.11

es la diferencia entre la medición actual y , y la medición estimada. Es también conocido como residuo. La representación en diagrama a bloque del observador se muestra en la figura 3.2.1

I/ + ? + Y = cx w

C

Fig 3.2.1 Diagrama a bloque de un observador lineal

16

En la Fig. 3.2.1 se muestra que el observador tiene la representación de un sistema realimentado. .̂

La matriz dinámica de lazo cerrado es A = A - KC, la ecuación diferencial del error es:

e = A e ................... 3.2.12 para que el error tienda exponencialmente a cero es necesario que A sea una matriz estable de tal forma que las raíces de A = A - KC estén en el semiplano izquierdo del plano complejo.La determinación de la matriz de realimentación K e n la ecuación (3.2.12) es similar al diseño de sistemas realimentados. Se establece que n es el orden del sistema y rn es el numero de mediciones, A es una matriz de n x n , K una matriz de n x m, y C una matriz de m x n.

..

Los polos del sistema realimentado pueden ser ubicados en localizaciones arbitrarias si la matriz de evaluación de controlabilidad es de rango n . Así también los polos de A = A - KC pueden ser ubicados en localizaciones arbitrarias del semiplano izquierdo del plano complejo si la matriz de evaluación de observabilidad

N = [C' A' C'...(A')"-'C'] ........... 3.2.13 es de rango de n . Cuando el sistema tiene una sola salida, la matriz de ganancia del observador K es un vector columna y es Únicamente determinado por los polos deseados de A.

3.2.2 DE LUENBERGER EXTENDIDO

Cuando se utiliza el modelo no lineal del sistema en el modelo del observador para estimar las observador Luenberger extendido[3.5]. Las variables de estados, el observador es conocido como

ecuaciones de un sistema no lineal se pueden representar como:

X = f ( x , u ) ........ 3.2.14 y = h(x) ....... 3.2.15

donde f y h son funciones no lineales. Las ecuaciones que definen el modelo del observador son:

$ = f (X,u) +K[y - h(X)] ........ .3.2.16

, 5 = h(X) ............ , .3.2.17

A y C son matrices cuyos elementos ijh son dados por

a, = d f l d x , ......... 3.2.18

cjI = dh , /dx , ......... 3.2.19

las ecuaciones anteriores son evaluadas en los puntos x = X

17

En la fig.3.2.2 se muestra el diagrama de bloque de un observador no lineal para un motor de inducción.

Fig. 3.2.2 Diagrama de bloque del observador no lineal para el motor de inducción.

La matriz K se determina linealizando el modelo no lineal del sistema y ubicando los polos de lazo cerrado del observador en el semiplano izquierdo complejo.

18

3.3 EXPRESIONES DE GANANCUS EN SISTEMAS REALIMENTADOS Y EN SISTEMAS CON OBSERVADORES

En la tabla 3.3 se muestran las matrices que se involucran y la expresión utilizada en MATLAB para obtener las ganancias de lazo cerrado en sistemas realimentados y en sistemas con observadores.

La ubicación de polos se realiza con software comercial "MATLAB", usando el algoritmo de Kautsky[3.6], el cual optimiza la selección de las ganancias para una solución robusta.

REALIMENTACION DE ESTADOS A B

Tabla 3.3 Matrices que intervienen en el cálculo de ganancias de sistemas de control

OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO A' r ' -

G' (matriz de ganancia) 1 K' (matriz de ganancia) 4 (polos de 1820 cerrado) I 8 (polosde la70 cerrado)

G = piuce(A,B,&) I K = pluce(A',C',P,)

19

-- .

3.4 -ALGORITMO DE ESTIMACZON

Después de numerosas pruebas evaluadas, el mejor algoritmo encontrado para el diseño de un observador para el motor de inducción se resume como sigue:

I . Elegir el numero de mediciones m( m&&) 2. Linealizar el modelo del sistema 3. Usar los valores de las matrices A, C. Evaluadas con las condiciones iniciales de reposo 4. Obtener los polos de A (polos de lazo abierto), 5 . Seleccionar los polos de lazo cerrado cambiando los polos de lazo abierto más pequeños (más lentos)

por otros más grandes (más rápidos). Por ejemplo en el motor de inducción con 3 mediciones, el último polo se puede hacer más rápido.

6 . Obtener las ganancias K que ubican los polos de A-KC en los lugares deseados(po1os de lazo cerrado) 7. Usar las ganancias del paso 6 con las ecuaciones no lineales de 2.2.12 del motor de inducción y el

8. Si la convergencia es obtenida y la respuesta del observador es adecuada, el diseño se completa Si la convergencia no se obtiene lo suficientemente rápido, incrementar el número de polos que son cambiados. Ir al paso 6 .

modelo del observador de la ecuación 3.2.16 para estimar los componentes del flujo.

20

3.5.ESTIMACIONDE LOS COMPONENTES DEL FLUJO DEL ROTOR DEL MODELO NO LINEAL.

En los pasos siguientes, se aplica el algoritmo de la sección 3.4 utilizando el modelo no lineal del sistema de ecuaciones. Se estiman los componentes del flujo del rotor en lazo abierto, aplicando el modelo del observador no lineal descrito por las ecuaciones (3.2.16). Se considera una variación de +_ 50% del valor de la resistencia del rotor. El programa se detalla en el APENDICE B.

a) ELEGIR EL NUMERO DE MEDICIONES

Los estados medibles son la velocidad del motor y los componentes (a-b) de la corriente del estator u,, i,, ish (x, , x,, x,) respectivamente.

b) LINEALIZACION DEL SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES

Para obtener el modelo lineal del motor de inducción, se linealiza el modelo no lineal del motor definido por las ecuaciones (2.2.12), aplicando expansión por series de taylort3.71. Ver el apéndice A.

El sistema de ecuaciones diferenciales lineales variantes en el tiempo resultante se definen en la siguiente ecuación:

Donde: A, ( t ) : Son coeficientes variantes en el tiempo e i ( t ) : Son los términos adicionales generados en el proceso de linealización.

e) UTILIZAR LOS VALORES DE LAS MTIUCES A Y C EVALUADAS CON LAS CONDICIONES INICIALES

Se consideran condiciones iniciales iguales a cero para cada una de las variables de estado del motor. Con estas condiciones iniciales se evalúa la matriz % y el vector de las ecuaciones de la sección anterior. Las condiciones iniciales para las variables de estado del observador se consideran arriba de f20% del valor nominal de las variables de estado del sistema (~r~i~>i . tb~Vmlm>Vi6) .

ESTADOS OBSERVADOR w(0) = o ia(0) = O f0(0)=4 ib(0) = O fb(0) = 4 vl,(0) = 0 &,(O) = 0.7 Vh(') = o @,(O) = -0.4

;(O) = 50

21

Los parámetros considerados de los coeficientes del sistema de ecuaciones no lineales son:

wl=376.9920; h=paso; vs=200; teta=0.3490; afl=2*pi/3; at2=4*pi/3; J=O.Ol; Rs=2.61; F3=2.0351; VRr=Rr+O.S *randn(max, 1 ); Ls=O. I908 1 ; Lr=O. 1908 1 ; Lm=O. 18394;

k0=0.001; kl=0.001; k2=0.001; np=2; Rw=0.002;

al =(3*np*Lm)/(2*J*Lr); a2=kO/J; a3=kl/J; a4=k2/J; ct 1 =Ls-((Lm*Lm)/Lr); aS=(Lm*Rr)/(ct 1 *Lr*Lr); a6=(np*Lm)/(ct 1 *Lr); ct2=((Lm*Lm*Rr)+(Lr*Lr*Rs))/(ctl *Lr*Lr); a7=ct2; a8=Rr/Lr; a9=np; ai O=(Rr*Lm)/Lr; b= Uctl ;

Algunos parámetros del motor de inducción que varían por el calentamiento son la resistencia del rotor (R,)[Ver 2.1 pág. 2101. Este parámetro puede tener un rango de variación de f 50% alrededor de su valor nominal.

Esta variación se calcula con la función de generación de números aleatorios de MATLAB (randn). La expresión utilizada es: VRr=Rr+O.S*randn(rnax, 1); donde R ~ 2 . 0 3 5 1 .(ver programa APENDICE B). En la Fig. 3.5.1 se muestra la variación de la resistencia del rotor VRr

22

O O 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Tiempo(t)

Las variables de entrada son los componentes del voltaje del estator ( U , ~ ~ , U , ~ ~ ) . Se calculan con las ecuaciones (2.2.14) y (2.2.15). El comportamiento se muestran en la Fig. 3.5.2

Fig. 3.5.2 Voltajes de entrada al estator (u,,,urb) en lazo abierto

200

100 - ; o -100

-200 t v u v v v v v u v v v v y.

l 0.02 0.04 0.06 0.08 o. 1 Tiempo(t)

O

La matriz A y C evaluadas con las condiciones iniciales de las variables de estado del motor tienen los siguientes valores:

A=[ -0.1000 O O O 0 O -333.6033 O 762.0131 O O 0-333.6033 O 762.0131 O 1.9618 O -10,6656 O O O 1.9618 O -10.6656 ]

C=[l o o O O

O 0 1 O o1 O 1 0 O O

23

OBTENER LOS POLOS DEL SISTEMA (POLOS DE LAZO ABIERTO)

Los polos de lazo abierto del sistema fueron calculados con la función (eig) de MATLAB. )bteniendo los siguientes resultados.

2=eig(A);

12 =[ -6.1009 -338.1680 -338.1680 -6.1009 -0.1 0001

) SELECCIÓN DE LOS POLOS DE LAZO CERRADO DEL OBSERVADOR

Para ubicar los polos de lazo cerrado, aplicando las evaluaciones realizadas en [3.5], la mejor forma de ibicar los polos de lazo cerrado del observador es mover solamente los polos de lazo abierto con linámicas más lentas a dinámicas más rápidas. Esto asegura que el sistema no se saldrá del límite y onvergerá lo suficientemente rápido al estado verdadero durante un tiempo corto.

Cn este caso, el polo de lazo abierto más lento es (-O.l), moviendo este polo se obtienen los polos de lazo errado como se indica:

1 2 5 -6.1009; -338.1680; -338.1680;

-6.1009; -51

Se intentó mover más a la izquierda del semiplano complejo el polo con dinámica más lenta en iferentes ubicaciones y se consideró un valor que permitiera obtener una matriz de ganancia pequeña

) OBTENER LA MATRIZ DE GANANCU DEL OBSERVADOR

La matriz de ganancia fue calculada con la función r>lace de MATLAB, indicado en la tabla 3.3 K = place(A',C',P,)) K = K '

:=[ 4.9001e+000 -3.6985e-003 -3.6988e-003 -4.2270e-002 -8.8262e-005 -6.5269e-005 -4.2273e-002 -6.5269e-005 -8.8273e-005 -8.1 783e-003 -3.6766e-005 -2.7941e-005 -8.1790e-003 -2.7941e-005 -3.6770e-0051

Ino de los problemas encontrados al tratar de hacer los polos más rápidos fue obtener ganancias muy randes, haciendo el observador inestable numéricamente ya que con estas ganancias los estados stimados crecen exponencialmente.

24

g) ESTIMR LOS COMPONENTES DEL FLUJO DEL ROTOR UTILIZANDO LAS GANANCLAS OBTENIDAS, EL MODELO NO LINEAL DEL MOTOR YLAS ECUACIONES QUE DEFINEN LA ESTRUCTURA DEL OBSERVADOR NO LINEAL.

Utilizando el método de integración de Euler [ 3.81, con un paso de integración de h =0.001 y con tiempo de simulación de 1.5 s; Los resultados se muestran en las Figs. 3.5.3,3.5.4

Fig. 3.5.3 Componentes del flujo del rotor actual y estimado ( vo, Y,)

Fig. 3.5.4 Componentes del flujo del rotor actual y estimado ( vb, qb )

1 - actual ~:

-Estimado : > . . . . . ..

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tiernuo(0

1 - Actual --Estimado

-1 1 I I O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Tiernpo(t)

En el programa se especifican las líneas de código que se modifican para obtener estas simulaciones en lazo abierto.

Se observa en las figuras que considerando una variación de I50% de la resistencia del rotor, se obtienen convergencias a los estados actuales.

25

3.6 ANALISIS DE LAS PROPIEDADES DINAMICAS DEL OBSERVADOR DE FLUJO EN LAZO ABIERTO

w En cada una de las pruebas, se indican las consideraciones que se toman en cuenta para analizar

las propiedades del estimador de flujo. Los estados que se miden son q,isn,zsb(x, ,x2,x3) respectivamente

y los que se estiman son los componentes del flujo magnético del rotor ~ m ~ ~ r b ( ( x 4 7 x s ) . Los resultados se generan con el programa que se muestra en el APENDICE B.

PRUEBA I. componentes del flujo del rotor.

En esta prueba se toma en cuenta las mismas consideraciones de la sección 3.5 (condiciones iniciales, polos de lazo abierto, etc). Se evalúa el comportamiento del observador para diferentes polos de lazo cerrado.

a) POLOS DE LAZO CERRADO EVALUADOS

La matriz A se evalúa con las condiciones iniciales de los estados iguales a cero.

Influencia del movimiento de los polos de lazo cerrado en la estimación de los

ESTADOS OBSERVADOR W,(O) = o &,(O) = 50 iso'(0) = O i^,(0)=4 j sb (0) = o iJb (O) = 4 Y J O ) = 0 Y,*@) = 0

@,o(0) = 0.7 @,(O) = -0.4

Las matrices A y C tienen los siguientes valores:

A=[ -0.1000 O O O 0 O -333.6033 O 762.0131 O O 0-333.6033 O 762,0131 O 1.9618 O -10.6656 O O O 1.9618 O -10.6656 ]

C=[i o o O O O 1 0 O O O 0 1 O O1

Los polos de lazo abierto se calculan con la expresión p2=eig(A), teniendo los siguientes valores:

p2=[ -6.1009; -338.1680; -338.1680;

-6.1009; -O.iOOO];

26

Los polos de lazo cerrado evaluados son:

pi=[ -6.1009; -338.1680;

p2=[ -6.1009; p3=[ -6.1009; -338.1680; -338.1680;

-338.1680; -338.1680; -338.1680; -6.1009; -6.1009; -6.1009;

- -51; -151; -2471;

b) MATRIZ DE GANACL4 DEL OBSERVADOR PARA DIFERENTES UBICACIONES DE LOS POLOS DE LAZO CERRADO DEL OBSERVADOR.

K = place(&, C', 4) K = [4.900Ie+OOO -3.6985-003 -3.6988e-003 -4.2270e-002 -8.8262e-005 -6.5269e-005 -4.2273e-002 -6.5269e-005 -8.8273e-005 -8. I783e-003 -3.6766e-005 -2.7941e-005 -8.1790e-003 -2.794ie-005 -3.677Oe405j

La matriz de ganancia encontrada con los diferentes polos de lazo cerrado evaluados son:

K = place(A',C',P,) K= K =

[ I .4900e+001 -1.6434e-002 -1.6440e-002 [ 3.4334et002 1.2012e+OOO 1.2990etooO - I .9944e-001 i.4010e-004 1.63 15e-004 I .3201e+001 i.641OetoOO 1.7747e+oOO -1.9952e-001 1.631Se-O04 1.4021e-004 1.4388e+OOl 1.775ietOOO 1.9197etOOO -3.8588e-002 6.3665e-005 7.2518e-005 2.5769&0 -3.8190e-004 -4.0346e-W4 -3.8602e-002 7.2518e-005 6.3718e-0051 2.835Oe+oOO -2.3183e-004 -2.5954e-0041

K = pluce(A',C',P,)

I

-1 O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 (t) -

Para cada polo se calcula una matriz de ganancia cuyos valores dependen de las ubicaciones de los polos de lazo cerrado del observador. Para los polos ubicados más a la izquierda del semiplano complejo se obtiene una matriz de ganancia mayor.

c) ESTlMAClON DE LOS COMPONENTES DE FLUJO DEL ROTOR

En las figuras 3.6.1 a 3.6.6 se muestran los resultados de la estimación de los componentes de flujo para cada polo y ganancia correspondiente.

Fig. 3.6.1 Componentes del flujo del rotor(v,,p,) Fig. 3.6.2 Componentes del flujo del rotorv,b,$P,b

~~

- 0

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 (t)

27

rig. ,.u., L"IqJ", ,G,lLG> "GI I,"," "GI L " L " L \ y l , < l , y r , , 1 L 6 . J.V.7 U""'y".11s.L1Y "1. "U," Y11 I".". y r b 7 Y ' r b

Utilizando p2. Utilizando p2

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 (t)

Fig. 3.6.5 Componentes del flujo del rotor( v,~,@,) Fig. 3.6.6 Componentes del flujo del rotory,b,@,b Jtilizando p3 utilizando p3

1

0.5

$ 0 3 -0.5

-1

0.05 0.15 0.2 0.25 0.05 O$ 0.15 0.2 0.25 Tiemp(t) Tiempo@)

Como se observa en las figuras 3.6.1 a la 3.6.4, se logran estimar los componentes del flujo del otor usando diferentes ubicaciones adecuadas para los polos de lazo cerrado del observador(p1 ,p2). hando se utiliza p3 como los polos de lazo cerrado, en las Figs. 3.6.5 y 3.6.6 se observa que el tbservador no converge debido a que el polo más lento se mueve muy lejos del semiplano izquierdo :omplejo haciendo al observador inestable numéricamente.

28

PRUEBA 11. Efectos de las señales de perturbación en la estimación de los componentes del flujo del rotor.

De la misma forma como en el ejemplo anterior, se toman en cuenta las mismas condiciones iniciales, la variación de la resistencia del rotor y el polo de lazo cerrado(p1). En este caso se presenta una señal de perturbación aleatoria normal afectando a la velocidad (por disturbios que se presentan durante la medición de la variable de estado).

O o. 1 0.2 0.3 0.4 - 1

Tiempo(1)

Se considera una señal de perturbación normal de k 20% afectando a la velocidad(x,). Esta señal se calcula con la expresión sax1=12*randn(100,1), se aplica en el instante de 0.2 con una duración de 0.1s . La señal de perturbación de muestra en la Fig. 3.6.7

- 1 O o. 1 0.2 0.3 0.4

Tiempo(1)

.3.6.7 Señal de perturbación pf

401 I

-4U 0.1 0.2 0.3 0.4

Tiempo@)

Con estas consideraciones, los componentes de flujo estimados se muestran en la Figs. 3.6.8 y 3.6.9.

29

RUEBA 111. Influencia de las condiciones iniciales de los estados en la estimación del flujo del ntor.

En esta prueba se analiza el comportamiento del observador cuando las condiciones iniciales de los stados son diferentes de cero. Se considera la misma variación de la resistencia del rotor como en la iucba II.

) UTILIZAR LOS VALORES DE LAS MTRICES A Y C EKALUDAS CON LAS CONDICIONES VICIA LES

Las condiciones iniciales consideradas para los estados son los puntos de operación de estado stable,

Estados Observador O, (O) = 156.9984 rho(0) = 20.1837 iSb (O) = -7.0.568

w, (O) = 50

(O) = 4 is, (O) = 4

y,(O) = -0.4862 @,(O) = 0.7 y,,,(O) =-O2360 @,,(O) = -0.4

La matriz A evaluada con las condiciones iniciales tiene los siguientes valores:

L =[ -3.1 500e+001 6.8251e+001 -1.4061e+002 -2.0408e+003 -5.8371e+003 -3.3723e+00 I -3.3360e+002 O 7.6201e+002 2.2434e+004 6.9474e+001 O -3.33 60e+002 -2.2434e+004 7.620 1 e+002 4.7200e-001 1.961 8e+000 O -1.0666e+001 -3.1400e+002

-9.7240e-00 I O 1.9618e+000 3.1400e+002 -1.0666e+001]

a matriz C es definida como:

:=[I o o O O

0 0 1 O o1 O 1 0 O O

i) OBTENER LOS POLOS DEL SISTEMA (POLOS DE LAZO ABIERTO)

Los polos de lazo abierto del sistema fueron calculados con la función & de MATLAB. >bteiiieiido los siguientes resultados.

2=eig(A);

2 =[-1.1850e+002+ 2.1270e+002i -1.1850e+002- 2.1270e+002¡ -5.3665e+001 -2.1469e+002+ 8.5963e+001 i -2.1469e+002- 8.5963e+001i ]

30

e) SELECCIÓN DE LOS POLOS DE LAZO CERRADO DEL OBSERVADOR

En este caso, el polo de lazo abierto más lento es (-0.5367), moviendo este polo se obtienen los polos de lazo cerrado evaluados:

[-I . ISjOc+OO2+ 2.1270e+OO2i -I. 18jOc+002- 2.1270e+002¡ -7c+001 -2.1469e+00?+ 8.5963e+OOIi -2.1469~+002- 8.5963e+OOIi ]

1 p l = I p2 = I p3 = [ - I ; 185Oe+002+ 2.1270e+002i [- 1.185Oe+002+ 2. I270e+002i

-I.l85Oe+002- 2.1270et002i -1.1850et002- 2.1270e+002¡ -l le+001 -I Set-001 -2.1469et002+ 8.5963~+001 i -2.1469e+002+ 8.5963e+00 I i -2.1469e+002- 8.5963e+001i ] -2.1469e+002- 8.5963e+OOIi ]

[ -7.6479e+002 -2.0104e+002 j,7238c+OOl 6.0162~+003 I .6365e+003 .g.3302~+002 9.8875e+003 2.874jet003 -8.j j3jc+oo2

_ l . j 19Oe+002 .4.3704e+001 1.6 i92c+ooi .I.O452e+002 -2.9064e+00] 6.0304e+000]

d) OBTENER LA MATRIZDE GANANCIA DEL OBSERVADOR

La matriz de ganancia fue calculada con la función de MATLAB, indicado en la tabla 3.3 ( K = place(A’,C’, P2)) K = K ’

[2.3570e+003 6.6404e+002 -.22402e+002 [ 3.9932c+OOl 5.4370e+001 -3.5379e+OOl -8.4169ei-003 -2.3083ec003 3.8956et-O02 3.8552e+002 5.41 18e+000 -3.2699e+002 9.9194e+002 5.7680e+002 7.6687e+000 4.5557e+002 4.3718e+002 5.0998e+OOl l.l078e+002 2.7793e+001-7.2577e+000 -8.0149e+000 -3.356Oet-O0 2.4062e+000

-5.91 16e+001 -1.7581e+OOl 9.3801e-001] -4.0002e+000 -2.8595etOO -3.5670e+000]

Las Ganancias con diversos polos de lazo cerrado (pi ,p2,p3) son las siguientes: 7 K = I K=

e) ESTIh4AR LOS COMPONENTES DEL FLUJO DEL ROTOR UTILIZANDO LAS GANANCIAS OIITENIDAS, EL MODELO NO LINEAL DEL MOTOR Y LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LA ESTRUCTURA DEL OBSERVADOR ‘NO LINEAL

Realizando las simulaciones anteriores, se llega a las siguientes conclusiones:

Utilizando en la simulación la matriz de ganancia (K) evaluado con los polos de lazo cerrado p l y p2, el observador no converge, Como se muestran en las Figs. 3.6.10 y 3.6.1 1

Cuando se utiliza la matriz de ganancia (K) evaluado con el polo de lazo cerrado p3, el observador converge y la estimación de los componentes del flujo magnético del rotor se muestran en las Figs. 3.6.1 2 y 3.6.13

El observador tainbién logra estimar los componentes del flujo magnético del rotor si la matriz de ganancia se calcula con las condiciones iniciales de los estados iguales a cero.

De acuerdo con las conclusiones anteriores, al mover los polos más lentos por otros más rápidos para encontrar los polos de lazo cerrado del observador, no se encontró en la literatura que tan cerca o que

31

tan lejos se deben de mover los polos de lazo cerrado para asegurar la estimación de los componentes del flujo magnético del rotor.

Fig. 36.10 Componentes del flujo del rotor (I,K,~,I,D,) Fig.3.6.11 Componentes del flujo del rotor I,K,~,I,D~~

I

20 I I 1 -Acliiai --EstirnJ

3 ........................ ............................................. """""""'~........... ".'"'\ 2

. . . .

. . i ; : : . . . . . . . . . . . . . . . : : , . . . .

-20 ' O 0.01 0.02 0.03 0.04 I 0.05

.fieiiipo(t)

mI" Actual --EStim&

. . ....................................... :

: : ~

.:! ~

. . , . . . . . . . .

.. ...,.. .. .. ........... 0 ...... ... .. ... . . .. . : : 4

-20 I

-wxt) o 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Fig. 3.6.12 Componentes del flujo del rotor ( I , K ~ ~ , ~ ~ " ) Fig.3.6.13 Componentes del flujo del rotor I,K?~,I,D,~ evaluado con p3 evaluado con p3

I , , , ,

,,: is :, : , :

-1.5 O 0.05 0.1 0.15 0.2

' I I

Para el caso cuando la matriz de ganancia se calcula con las condiciones iniciales de los estados iguales a cero se procede como sigue:

Las condiciones iniciales consideradas son:

ESTADOS OBSERVADOR W,(O) = o &,(O) = 50 i,, (0) = 0 irh(0) = O

[o(o) = 4 ish ( O ) = 4

V,(O) = 0 W r h ( O ) = o

@,(O) = 0.7 @,(O) = -0.4

32

Los valores obtenidos de la matriz A y C son:

A=[ -0,1000 O O O O O -333.6033 O 762,0131 O O O -333.6033 0 762.0131 O 1.9618 O -10.6656 O O O 1.9618 O -10.6656 ]

C=[i o o O O 0 1 0 O O O 0 1 O o1

Polos de lazo abierto obtenidos: p2=[ -6.1009;

-338.1680; -338.1680;

-0.1000]; -6.1009;

Polos de lazo cerrado evaluados:

K = plnce(A',C',P,) K = plüce(A',C',P,) K = K=

-4.2270e-002 -8.8262e-005 -6.5269e-005 -1.9944e-001 1.4010~-004 1.6315~-004 -4.2273e-002 -6.5269e-005 -8.8273~-005 -1.9952~-001 1.63 1%-004 1.4021~-004 -8.1783e-003 -3.6766e-005 -2.7941e-005 -3.8588~-002 6.3665e-005 7.2518e-005 -8.1 J90e-003 -2.7941e-O05 -3.6770e-0051 -3.8602~-002 7.2518e-005 6.3718e-0051

14.9001e+000 -3.6985~-003 -3.6988e-003 [1.4900~+001 -1.6434~-002 -1.6440e-002

-338.1680; -338.1680; -338.1 680; -338.1680;

-6.1009; -6.1009;

K = place(A',C',P,) k = [ 1.9898et001 -4.6846e-002 -4.6905e-002 -5.8581e-001 8.3413e-004 8.5820e-004 -5.8654e-001 8.5820e-004 8.3627e-004 -1.1334e-001 3.7994e-004 3.8925~-004 -1.1349e-001 3.8925~-004 3.8091e-004J

Ganancias obtenidas:

p3=[ -6.1009; T Z z - 7 -338.1680;

-6.1009;

Los resultados de la estimación de los componentes del flujo del rotor bajo estas condiciones se muestran en las Figs. 3.6.14, 3.6.15

33

Fig. 3.6.14 Componentes del flujo del rotor ( V ~ ~ , I , D ~ ~ ) conpl

1

0.5

8 0

-0.5 $

-1 ' O 0.05 0.1 Tiernpo(tj 0.15 0.2

Fig. 3.6.15 Componentes del flujo del rotor (y,,@,) con pl

I I I -1 ' I

0.05 0.1 0.15 0.2 Tienipo(t)

O

Como se observa en las figuras 3.6.14 y 3.6.15, el observador logra la convergencia bajo las condiciones iniciales de estado estable de los estados cuando la matriz de ganancia se calcula con las condiciones iniciales iguales a cero. Se obtiene los mismos resultados si se utiliza p2 6 p3 como los polos de lazo cerrado.

34

PRUEBA IV. Efectos de las señales de perturbación en la estimación de los componentes del flujo magnético del rotor cuando las condiciones iniciales son los puntos de operación de estado estable.

En este análisis se considera la variación de la resistencia del rotor, las condiciones iniciales de estado estable para los estados y la matriz de ganancia se obtiene con las condiciones iniciales de los estados iguales a cero, se aplica una señal de perturbación aleatoria normal al estado xi (velocidad).

Condiciones iniciales de estado estable:

Estados Observador w(0) = 156.9984 &(O) = 50 i,(O) = 20.1837 i, (O) = -7.0.568

(O) = 4 f, (O) = 4

~ ~ ( 0 ) = -0.4862 pi.,(O) = 0.7 ~ ~ ( 0 ) = -0.2360 @,(O) -0.4

Condiciones iniciales de los estados para el cálculo de la ganancia:

ESTADOS OBSERVADOR w(0) = o $0) = 50

i ,(O) = O fo (O) = 4 ib (0) = O V , (0) = 0 Vb(O) = o

Fb(0) = 4 @, (O) = 0.7 @,(O) = -0.4

Valores de la matriz A y C:

A = [ -0.1000 O O O O O -333.6033 O 762.0131 O O O -333.6033 O 762.0131 O 1.9618 O -10.6656 O O O 1.9618 O -10.6656 ]

C=[l o o O O O 1 0 O O O 0 1 O o1

Polos de lazo abierto: p2=[ -6.1 009;

-338.1680; -338.1680;

-6.1009; -0.1 0001;

35

Polos de lazo cerrado evaluados:

pi=[ -6.1009; -338.1680;

p2=[ -6.1009; p3=[ -6.1009; -338.1 680; -338.1680;

-338.1680; -6.1009; -51;

K = ulace(A',C',R:)

-338.1680; -338.1680; -6.1009; -6.1 009; -151; -201;

. . . 1 _ K = place(A',C',P,) K= [1.49OOe+OO1 -1.6434e-002 -1.6440e-002 -1.9944e-001 1.4010e-004 1.6315e-004 -1.9952e-001 1.6315e-004 1.4021e-004 -3.8588e-002 6.3665e-005 7.2518e-005 -3.8602e-002 7.2518e-005 6.3718e-005]

<= [4.9001e+000 -3.6985e-003 -3.6988e-003 -4.2270e-002 -8.8262e-005 -6.5269e-005 -4.2273.~-002 -6.5269e-005 -8.8273e-005 -8.1783e-003 -3.6766e-005 -2.794 I e-005 -8.1790e-003 -2.7941e-005 -3.6770.~-0051

K = place(A',C',P,) k = [ 1.989Xe+001 -4.6846e-002 -4.6905~-002 -5.8581e-001 8.3413e-004 8.5820e-004 -5.8654e-001 8.5820e-004 8.3627~-O04 -1.1334e-001 3.7994e-004 3.8925-004 -1.1349.~-001 3.8925e-004 3.8091e-004]

La señal de perturbación aplicada a xi se muestra en la Fig. 3.6.16

Fig. 3.6.16 Señal de perturbación pf

-40' I

0.1 0.2 0.3 0.4 Ticmpo(s)

Los resultados de la estiinación se muestran en las Figs. 3.6.17, 3.6.18

36

Fig. 3.6.17 Componentes del flujo del rotor(y/ro,pro)

--Estimador - Estimador . .

200

150

100

5 0 - vi

2

I 0.5 i al

= o 3 -0.5

y

-

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Tiempo(t)

Fig. 3.6.18 Componentes del flujo del rotor ( ~ , ~ , p , )

Tiempo(t) I Si la perturbación afecta a la velocidad del motor como se muestra en la Fig. 3.6.19, el observador

estima adecuadamente los componentes del flujo del rotor para alcanzar nuevamente el estado estable.

Fig. 3.6.19 Velocidad del motor (xi) con perturbación@f)

01 I O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Tiempo(s)

31

PRUEBA V. Influencia de la variación de la resistencia del rotor en forma de rampa en la estimación de los componentes del flujo del rotor.

En este análisis se considera la variación de la resistencia del rotor en forma de rampa, se consideran las condiciones iniciales de estado estable para los estados y la matriz de ganancia se obtiene con las condiciones iniciales iguales a cero.

Condiciones iniciales de estado estable:

Estados Observador @(O) = 156.9984 i , (O) = 20.1837

&(O) = 50

La(0) = 4 ib (0) = -7.0.568 ;,<o, = 4 vo (O) = -0.4862 @, (O) = 0.7 ~ ~ ( 0 ) -0.2360 @,(O) = -0.4

Condiciones iniciales de los estados para el cálculo de la ganancia:

ESTADOS OBSERVADOR w(0) = o i,(O) = O io(0) = 4

i, (O ) = O ;,(O) = 4 v, (0) = 0 @,(O) = 0.7

&(O) = 50

= o @,(O) = -0.4

Valores de la matriz A y C:

A = [ -0.1000 O O O O O -333.6033 O 762.0131 O O O -333.6033 O 762.0131 O 1.9618 O -10.6656 O O O 1.9618 O -10.6656 ]

C=[l o o O O O 1 0 O O O 0 1 O o1

Polos de lazo abierto: p2=[ -6.1009;

-338.1680; -338.1 680;

-6.1009; -0.1000];

38

Polos de lazo cerrado evaluados:

K = place(A', C', 4 ) K =

[4.9001e+000 -3.6985e-003 -3.6988e-003 -4.2270e-002 -8.8262e-005 -6.5269e-005 -4.2273e-002 -6.5269e-005 -8.8273e-005 -8.1783e-003 -3.6766e-005 -2.7941e-005 -8.1 790e-003 -2.7941e-005 -3.6770e-0051

pi=[ -6.1009; p2=[ -6.1009; -338.1680; -338.1680; -338.1680; -338.1680;

-6.1009; -6.1009; i -51; -15 ;

K = place(A',C',P,) K = place(A',C',P,) K= k =

[1.4900e+001 -1.6434e-002 -1.6440e-002 -1.9944e-001 1.4010e-004 1.6315e-004 -5.8581e-001 8.3413e-004 8.5820e-004 -1.9952e-001 1.6315e-004 1.4021e-004 -5.8654e-001 8.5820e-004 8.3627e-004 -3.8588e-002 6.3665e~005 7.2518e-005 -1.1334e-001 3.7994e-004 3.8925e-004 -3.8602e-002 7.251 Se-005 6.371%-0051 -1.1349e-001 3.8925e-004 3.8091e-004]

[ 1.9898e+001 -4.6846e-002 -4.6905e-002

Matriz de ganancias obtenidas:

p3=[ -6.1009; -338.1680; -338.1680;

-6.1009; -201;

Fig. 3.6.20 Variación de la resistencia del rotor(VRr). 4, I

O' I o U 6 u1 u15 02 a25 Thld l )

Los resultados de las estimaciones se muestran en las Figs. 3.6.21 y 3.6.22. Fig.3.6.21 Componentes del flujo del rotor ( v,,,,@,~) Fig.3.6.22 Componentes del flujo del rotor ( V"b, i;, )

o. 5

2 0

-0.5

L

2

I I - I ' o 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Tiernpo(t)

1 / / :. ~ Actual --Estimado

0.5

I.

9 0 s -0.5

I I -1 1 I

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tiempo(t)

39

En los resultados anteriores se comprueba que el observador logra estimar los componentes del flujo del rotor cuando se tiene una variación de 50% de la resistencia del rotor en forma de rampa. Cambiando la frecuencia de la variación de la resistencia del rotor en el intervalo de tiempo de 0.1s a 0.2s, el observador logra estimar adecuadamente los componentes del flujo magnético del rotor.

PRUEBA VI. Influencia de la variación de la resistencia del rotor en forma de onda cuadrada en la estimación de los componentes del flujo del rotor.

En este análisis se considera la variación de la resistencia del rotor en forma de onda cuadrada, se consideran las condiciones iniciales de estado estable para los estados y la matriz de ganancia se obtiene con las condiciones iniciales iguales a cero.

Condiciones iniciales de estado estable:

Observador & ( O ) = 50 f0(0)=4 ib(0) = 4 @,(O) = 0.7

I F

~ ( 0 ) = 156.99 4 i , (O) = 20.183 ib(0) = -7.0.56 y , (0) = -0.48 2 ~ ~ ( 0 ) = -0.23 O @,(O) = -0.4

Condiciones iniciales de los estados para el c’lculo de la ganancia:

OBSERVADOR &(O) = 50 fo(0)=4

ESTADOS 1 w ( 0 ) = 0 ~

i,(0) = 0 i, (O ) = 0 vo (0) = 0

;,(O) = 4 @,(O) = 0.7

Vb(0) = 0 @ , ( O ) = -0.4

Valores de la matriz A y C:

A=[ -0.1000 0 0 O 0 0 -333.6033 O 762.0131 O 0 0-333.6033 0 762.0131 0 1.9618 0 -10.6656 0 0 O 1.9618 O -10.6656 ]

C=[i o 0 O 0 o 1 0 O O 0 0 1 O o1

40

polos de lazo abierto: p2=[ -6.1009;

-338.1680; -338.1680;

-6.1009; -0.1000];

Polos de lazo cerrado evaluados:

pi=[ -6.1009; p2=[ -6.1009; -338.1680; -33 8.1680;

p3=[ -6.1009; -338.1680;

-338.1 680; -338.1680; -338.1680; -6.1009; -6.1009; -6.1009; -151, -51; -201;

K = pluce(A',C',&) K =

-4.2270~-O02 -8.8262~-O05 -6.5269e-005 -4.2273e-002 -6.5269~-005 -8.8273e-005 -8. 1783~-O03 -3.6766e-005 -2.7941e-005 -8. I 79Oe-O03 -2.794 I c-O05 -3.6770e-0051

[4.9001e+000 -3.6985e-003 -3.6988~-003

La variación de la resistencia del r

K = pluce(A',C',P,) K= [l.49OOe+OO1 -1.6434e-002 -1.6440e-002

- I .9944e-001 1.4010e-004 1.63 15e-004 -1.9952e-001 1.6315e-004 1.4021e-004 -3.8588e-002 6.3665e-005 7.2518e-005 -3.8602e-002.7.2518e-005 6.3718e-005]

K = place(A',C',P,) k = [ 1.9898e+001 -4.6846e-002 -4.6905e-002 -5.8581e-001 8.3413e-004 8.5820e-004 -5.8654e-001 8.5820e-004 8.3627e-004 - I . 1334e-001 3.7994e-004 3.8925e-004 - I . I 349e-001 3.8925e-004 3.8091e-O04]

:or (VRr) se muestra en la Fig. 3.6.23.

Fig. 3.6.23 Variación de la resistencia del rotor (VRr)

O O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Tiempo(1)

En las Figs. 3.6.24 y 3.6.25 se muestran los componentes del flujo del rotor estimados, considerando la variación de la resistencia del rotor.

41

Fig. 3.6.24 Componentes del flujo del rotor actual y estimado(

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 T ¡em po( t)

Fig. 3.6.25 Componentes del flujo del rotor actual y estimado(

Tiempo(t)

Coino se muestra en las figuras anteriores, el estimador converge a los estados actuales y estima adecuadamente los componentes del flujo del rotor con una variación de k50% en forma de onda cuadrada de la resistencia del rotor.

42

CAPITULO 4. CONTROL DEZ MOTOR DE ZNDuccIoN

4.1 INTRODUCCION

El sistema de control del motor de inducción es básicamente un sistema de control multivariable, y en principio es aplicable la teoría de control de variables de estado. Las entradas al sistema en lazo abierto son los voltajes de control u,,uSb (componentes a,b del voltaje del estator en el modelo de referencia

estacionario) y las salidas son w r , i ~ ~ , i ~ b ,Y',* 3 Y ' r b (velocidad, componentes a,b de la corriente del estator, componentes a,b del flujo del rotor respectivamente). El modelo de una máquina de inducción es no lineal, también los parámetros de la máquina pueden variar con la saturación y la temperatura, adicionando efectos no lineales al sistema.

La Fig. 4. I , 1 se muestran tres bloques que representan el modelo del motor y el convertidor, en el primer bloque se realizan las transformaciones del sistema de referencia (d,q) a (a,b) usando las ecuaciones (2.3.2), el segundo bloque corresponde al modelo del motor de inducción y se representa con las ecuaciones (2.2.11 y 2.2.12) las salidas de este bloque se transforman en el tercer bloque del sistema de referencia (a,b) al sistema de referencia en rotación (d,q) utilizando las ecuaciones (2.3.2, 2.3.3) descritas anteriormente.

U S O ; w, i Transformación + T r a n s f o r m a c i o n - m

Ec.2.3.2, 2.3.3 -a Ud

(d,q)-(a,b) (a,b)-(d,q)

uq : , ; T

Fig. 4.1.1 Modelo del motor y convertidor

En la Fig. 4.1.2 se muestra el diagrama de bloque general del sistema de control de un motor de inducción que incluye el bloque de la Fig. 4.1.1

~~ __

Fig. 4.1.2 Diagrama de bloque de control de un motor de inducción.

43

En el sistema de control de la Fig. 4.1.2, la velocidad ( w r ) , la corriente del estator( i d > i * ) , el flujo del rotor ( Y d ) , y el par electromagnético desarrollado ( K ) son considerados como salidas y las señales de

control primarias son la velocidad y el flujo del rotor Y / , = v d . En lazo abierto los voltajes de entrada u,o,uAb se calculan con las ecuaciones (2.2.14 y 2.2.15). Todas las salidas y señales del lazo de control son voltajes de CD proporcionales a las variables respectivas. Dado que el sistema es multivariable y no lineal, el análisis de estabilidad es muy difícil de evaluar pero se puede aplicar el método de Liapunov. En el presente trabajo se utiliza la simulación por computadora para determinar los parámetros de los controladores.

44

4.2 CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCIONREALIMENTANDO LAS VARIABLES DE ESTADO

Se analiza la estructura de control de la Fig. 4.1.2 bajo las siguientes consideraciones:

a). Análisis del sistema de control en lazo cerrado sin observador: Se analiza los comportamientos de las variables del esquema de control ante cambios en el punto de ajuste de la variación de la velocidad y la variación de la resistencia del rotor. b). Análisis del sistema de control en lazo cerrado utilizando el observador en lazo abierto para estimar las variables de estado: Se comprueba que el observador en lazo abierto es capaz de estimar los coinponentes del flujo del rotor ante la variación de los parámetros del sistema de control en lazo cerrado (velocidad, resistencia del rotor) c). Análisis del sistema de control en lazo cerrado con observador: Se realimenta las variables estimadas al sistema de control para regular la velocidad del motor.

J Aiiálisis del sistema de control en lazo cerrado sin observador.

Como se puede ver en la Fig. 4.1.2, se utilizan dos esquemas de control tipo cascada que emplean un total de 5 controladores PI. Estos controladores actúan entre si y la modificación de un parámetro de un controlador afecta a todas las variables de salida debido al acoplamiento que presenta el modelo no lineal del motor de inducción haciendo complejo la aplicación de los métodos tradicionales para determinar los parámetros de los controladores.

Estos parámetros se determinaron en la simulación tomando en cuenta la siguiente consideración:

Que la salida del proceso(ve1ocidad) siga a la señal de referencia(esca1ón de entrada) y presente una respuesta transitoria aceptable. De acuerdo con la respuesta transitoria de un sistema se eligieron los siguientes parámetros:

Tiempo de retardo =0.025s. Tiempo de crecimiento=O.O68s. Tiempo de pico=O.O9s. Porcentaje de sobreimpulso máximo=7.5% Tiempo de establecimiento=0.45~. Porcentaje de error de estado estable=2.2 %

Para satisfacer esta condición se asignó un valor de 1 a los parámetros(ganancia proporcional, ganancia integral) de cada uno de los controladores. Con estos valores se observó a la salida que la velocidad y el flujo magnético presentaron un valor de cero. AL no cumplir con las especificaciones deseadas fue necesario aumentar el valor de los parámetros del controlador del flujo magnético para tener una respuesta de la velocidad. Con los valores de kpflujo=lO y kiflujo=20 se obtuvo la respuesta de la velocidad pero sin satisfacer las características transitorias deseadas. Después de probar con diferentes valores de la ganancia proporcional e integral del controlador de flujo fue necesario modificar la ganancia proporcional (kpcd) del controlador de corriente y la ganancia integral del controlador de par (kipar) para obtener los resultados deseados .

En la Fig 4.2.1 se muestra el comportamiento de la velocidad del sistema de control en lazo

= 16O rad/s. Las condiciones cerrado, la entrada como escalón al sistema es la velocidad de referencia iniciales de los estados son consideradas como cero.

45

Fig. 4.2.1 Velocidad del motor

200 I 1

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tiempo(t)

Bajo esta consideración, los valores obtenidos de la ganancia proporcional e integral para cada controlador son:

%controlador ..___.._._ del .flujo (fd) kpflujo=iOO; kiflujo=5000;

%controlador ........... de corriente componente (id) kpcd=5; kicd=l ;

%controlador ..______... de velocidad (wr) kpw=l ; kiw=l:

%controlador ........... del par electromagnético (Te) kppar=l ; Itipar=60;

%coritrolador ._____..... de corriente componente (iq) kpcq=l ; kicq=l;

En el análisis se toman en cuenta las condiciones iniciales de estado estable para los estados.

Estados Observador ~ ( 0 ) = 156.9984 i, (O) = 20.1 837 ib (0) = -7.0.568 ~ ~ ( 0 ) = -0.4862

&(O) = 50 i^,(0)=4 ib (0) = 4 @.(O) = 0.7

~ ~ ( 0 ) = -0.2360 kb(0) = -0.4

46

Se utiliza las condiciones iniciales de cero para los estados para el cálculo de las ganancias. Las condiciones son:

ESTADOS OBSERVADOR w(0) = o i,(O) = O i^,(0)=4

i, (O ) = O ;,(O) = 4 vl,(O) = 0 @,(O) = 0.7 V h ( O ) = O @,(O) = -0.4

&(O) = 50

P I = [ -6.1009; -338.1680; -338.1680;

-6.1009; -51;

p2=[ -6.1009; p3=[ -6.1009; -338.1680; -338.1680; -338.1680; -338.1 680;

-6.1 009; -6.1009; -151; -201;

K = phce(A',C',4) K =

(4.900 le+OOO -3.6985e-O03 -3.6988e-003 -4.2270e-002 -8.8262e-005 -6.5269e-005 -4.2273402 -6.5269e-005 -8.8273e-005 -8.1783e-003 -3.6766~-005 -2.7941e-005 -8. i790e-003 -2.7941~-005 -3.6770e-0051

47

K = place(A',C',P,) K = place(A',C',P,) K= k =

[1.4900e+001 - I .6434e-002 -1.6440e-002 -1.9944~-001 1.4010~-O04 1.6315e-004 -5.8581e-001 8.3413e-004 8.5820e-004 -1.9952~-001 1.6315~-O04 i ,402Ie-004 -5.8654e-001 8.5820e-004 8.3627e-004 -3.8588e-002 6.366%-005 7.2518.~-005 -1.1334e-001 3.7994e-004 3.8925e-004 -3.8602e-002 7.2518e-005 6.3718e-0051 -1.1349e-001 3.8925e-004 3.8091e-0041

[ 1.9898e+001 -4.6846e-002 -4.690%-002

Se considera la variación de f 50% de la resistencia del rotor, en el instante de 0.1s. Teniendo la variación como se indica en la Fig.4.2.2

5. 4.2.2 Variación de la resistencia del rotor VRr

47

O ' I O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Tiempa(t)

Se considera la modificación de la velocidad del motor de 157 rads a 50 rad/s iniciando la variación en el instante de 0.15 s. Como se muestra en la Fig.4.2.3.

Fig. 4.2.3 Variación de la velocidad del motor w, r 3001 I

I O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Tiempo(t)

Bajo estas condiciones, se obtienen los diferentes comportamientos de las variables de estado como se representan en las Figs.4.2.4 a la 4.2.17

Fig. 4.2.4 Componente de corriente i,, Fig. 4.2.5 Componente de corriente iAb

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tiempo(t)

48

y

Fig. 4.2.6 Componente del flujo del rotor (y,") Fig.4.2.7 Componente del flujo del rotor (y,)

I I

0.5

$ 0 3 -0.5

I I I -1' I

0.5 L

4 0 3 -0.5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tiernpo(t)

O I I 0.1 0.2 0.3 0.4 Tiempo(t)

O

Fig. 4.2.8 Componente de la corriente del estator ( i S d ) Fig.4.2.9Componente de la corriente del estator(i,)

-10 g'L!!A -20 -30 O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

liempa(t)

Fig. 4.2.10 flujo del rotor

" ~

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tiewit)

I I

I O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Tiempo(t)

Fig. 4.2.1 1 Par electromagnético( T , )

:

49

Fig 4.2.12.Componente del voltaje del estator ( u,) Fig.4.2.13 Componente del voltaje del estator ( u , ~ ) I

200

1 O0 y> I - $ 0 -100

-200

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tiernpo(t)

200

1 O0

= o -1 O0

-200

v1

::

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tiernpo(t)

O

Fig. 4.2. I4Componente del voltaje del estator ( usd) Fig. 4.2.15 Componente del voltaje del estator ( usy)

-200' I O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

TIemdt) !

2 0 3 l E l -'O0o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

~ p m p o ( t )

Fig.4.2.16 Error entre la velocidad de referencia y la Fig. 4.2.17 Error entre el flujo de referencia y el flujo de

velocidad de realiinentación (u: -u.) reaiimentación ( y: - y,) I

I Se observa en las figuras anteriores que al variar la velocidad del motor de 157 rad/s a 50 rad/s en el

instante de 0.15 s, todas las variables $. estado del esquema de control modifican su comportamiento a partir de este instante. Se verifica que la variación de la resistencia del rotor de f 5 0 % de su valor nominal en el instante de 0.1 s, afecta ligeramente a los estados en el sistema de control de lazo cerrado.

50

J Análisis del sistema de control en lazo cerrado utilizando el observador en lazo abierto para estimar las variables de estado.

C

En la Fig. 4.2.18 se ilustra como se integra el observador en lazo abierto al sistema de control en lazo cerrado.

m

Transformación - (d-q)-(a-b)

Ec.2.3.2

observador & Ec. 3.2.16

4 i , & I ......................................................................... I

. ush Ec.2.2.11,2.2.12

TL I

Fig.4.2.lS Diagrama de bloque del sistema de control y observador en lazo abierto

En este análisis se toman en cuenta todas las consideraciones como en el sistema de control sin observador (condiciones iniciales de estado estable, variación de la resistencia del rotor en forma de rampa, etc). Se utiliza las variables medibles ( or,ixa,isb) del sistema de control en lazo cerrado como entradas al

observador y los voltajes de entrada u ~ ~ ~ u s b . para estimar los componentes del flujo del rotor en lazo abierto.

Los resultados de las estimaciones, se muestran en las Figs. 4.2.19,4.2.20

Fig. 4.2.19 Componentes del flujo del rotor (y,,ij?,)

T i e m p o ( t )

51

I

Fig 4.2.20. Componentes del flujo del rotor (ylrb,prb). I 1

O .5

a 0 3 -0 .5

L(

a D

-1 I O 0 . 1 O .2 O . 3 O .4 O .5 I T i e m p o ( t )

En las Figs. del flujo del rotor resistencia del rotor 4.2.18.

4.2.19 y 4.2.20 se Comprueba que el observador es capaz de estimar los componentes en lazo abierto teniendo la variación de velocidad y la variación de +50% de la

. en forma de rampa en el sistema de control en lazo cerrado como se muestra en la Fig. I

52

i 4 Análisis del sistema de control en lazo cerrado con observador

c Transformación .-* Modelo a-b - i y Transformacion ' d

(W-ía-b) del motor de inducción (a-b)-(d-q) Ec.2.3.2 ' s b Ec. 2.2.11,2.2.12 Ec. 2.3.2J3.3

En este caso se realimentan las variables estimadas( ( Y r a > Y i b ) ver la Fig. 4.2.21) al sistema de control del motor de inducción tomando,en cuenta las mismas condiciones aplicadas al sistema de control sin observador. El comportamiento de los componentes del flujo del rotor se muestran en las Figs. 4.2.22 y 4.2.23. ".

i, 2

~ u, ~

Fig.4.2.21 Diadama de bloque del sistema de control y observador

Fig. 4.2.22 Componentes del flujo del rotor (y/,,t,D,)

I

Fig. 4.2.23 Componentes del flujo dellrotor (vrb,t,DTb)

O 0 . 1 o'. 2 O . 3 O . 4 0.5 T i e m p o ( t )

I 53

VI 200 - .

Fig 4.2.25. Variación de la resistencia del rotor (VRr)

Actual I --Estimado -

El comportamiento de los componentes de flujo del rotor se muestra en las Figs. 4.2.26,4.2.27

54

Fig. 4.2.26 Componentes del flujo del rotor (Yf,o,pro)

1 O o. 1 0.2 ! 0.3 0.4 0.5

Tiempo(t)

Fig. 4.2.27 Componentes del flujo del rotor (vrb,prb)

I O o. 1 0.2 0.3 0.4 0.5

Tiempo(t)

Si la resistencia del rotor sigue disminuyendo su valor en el tiempo de acuerdo con la variación mostrada en la Fig.4.2.25, el observador converge. De las simulaciones realizadas, se encontró que el observador no converge solamente si! la resistencia del rotor inicia con un valor b 1 . 5 ohms (73% del valor nominal de la resistencia del rotor) en el instante de F O . En otros casos el observador converge si la resistencia del rotor inicia en t=O s. ayiba del 73% del valor nominal de la resistencia del rotor. Cuando la resistencia del rotor inicia con un valor de -1.5 Ohms, el comportamiento de los estados actuales del sistema (x,,x2,x3,x4,x5 ) crecen exponencialmente en el tiempo haciendo inestable el modelo del sistema y el observador no logra estimar los dmponentes del flujo del rotor.

55

CAPITULO 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES:

se desarrolló una metodologia general para el diseño de un observador Luenberger extendido Para predecir 10s componentes del flujo del rotor de un motor de inducción.

se logró estimar los componentes del flujo magnético del rotor de un motor de inducción como objetivo principal del trabajo de investigación. Se diseño e implantó a nivel de Programa de cómputo el algoritmo de estimación para predecir ,los componentes del flujo magnético del rotor. Las estimaciones obtenidas se utilizaron en un esquema de control de motores de inducción (control por campo orientado) para controlar la velocidad de un motor de inducción.

Se determinó que la variación de parámetros inherente en el motor (resistencia del rotor) en un esquema de control sin observador, tiene efectos sobre el flujo magnético del rotor provocando distorsión en la velocidad del motor.

El observador diseñado es capaz de estimar los componentes del flujo magnético del rotor sin presentar divergencias a los cambios de velocidad y a la variación de parámetros del motor (resistencia del rotor).

No se encontró la forma Óptima de cómo mover los polos con dinámicas más lentas en el semiplano izquierdo complejo para ubicar los polos de lazo cerrado del observador pero se realizó verificando que se obtuvieran ganancias pequeñas para resolver problemas de divergencias en la integración numérica de las ecuaciones diferenciales del observador.

Si en el sistema de control de un motor de inducción no se cuenta con el flujo magnético del rotor (por problemas de medición, etc) en el lazo de realimentación, no se puede controlar la velocidad del motor y el sistema se hace inestable. Con el observador de estado implantado se obtiene la información del flujo magnético del rotor requerido en el lazo de realimentación obteniendo como beneficio el control adecuado de la velocidad y eliminando los efectos producidos por la variación de parámetros en el flujo magnético del rotor.

El observador de estado implantado que estima los componentes del flujo del rotor del motor de inducción es lo suficientemente rápido para reconstruir los componentes del flujo del rotor en un sistema de control de motores de inducción. Esto se caracteriza por la posibilidad de ubicar arbitrariamente los polos de lazo cerrado del observador y el error en la convergencia depende solamente de los polos de lazo cerrado ubicados del observador, sin depender de la variación de velocidad del motor.

En un sistema de control sin un esquema de observación la variación de parámetros(resistencia del rotor) afecta el desempeño del sistema distorsionando la velocidad del motor. En cambio en un sistema de control con un esquema de observación con las variaciones de los parámetros del motor (resistencia del rotor I 5 0 % de su valor nominal en forma aleatoria, rampa, cuadrada, etc.) no se afecta el desempeño del sistema y se logra obtener un control aceptable de la velocidad del motor.

56

RECOMENDACIONES:

Antes de construir fisicamente un sistema de control con observadores es necesario implantar 10s algoritmos de estimación en la computadora conjuntamente con los esquemas de control para obtener los parámetros de los controladores, ajustar y evaluar los resultados obtenidos.

Se recomienda utilizar las bases desarrolladas en el presente trabajo para implantar un sistema real de control de velocidad de un motor de inducción(contro1 por campo orientado) utilizando el flujo magnético estimado en el lazo de realirnentación. Un problema interesante a resolver en trabajos posteriores sería la elaboración de un algoritmo que permita ubicar óptimamente los polos de lazo cerrado del observador, realizar un estudio de estabilidad del sistema de control en lazo cerrado y aplicar métodos analíticos para determinar los parámetros de los controladores.

AI obtener las ganancias del observador aplicando el método de Luenberger es necesario linealizar el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, para verificar en forma rápida los resultados de la linealización, se recomienda en primer lugar integrar numéricamente el modelo no lineal para obtener los cornportamientos reales del sistema y posteriormente linealizar e integrar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales y comparar los resultados de la linealización con los resultados del modelo no lineal. En esta comparación(ver apéndice C), los comportamientos de las variables de estado del modelo lineal se aproximan a los comportamientos de las variables de estado del modelo no lineal.

REFERENCIAS

[I . i ] 1 Kanellakopoulos, P.T. Krein F. Disilvestro, Nonlinear Flux-Observer-Base Control of Induction Motors., 1992 ACCT/TAl2 pag.1700

[1.2] F. Blaschke, “The principle of field orientation applied to the new transvector closed-loop control system for rotating field machines,” Siemens Review, ~01.39, pp. 217-220

[i .3] Joetten R., Meader G., Control Methods for good dynamic performance induction motor drives based on current and voltage as measurement quantities, IEEE Trans. Ind. Appl., IA-1993, (1983), 356-363

[ I .4] B. K. Bose., Power Electronics and ac drivers, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey C7632

12.11 Riccardo Marino, Sergei Peresada, and Paolo Valigi., Adaptive Input-Output Linearizing Control of Induction Motors, IEEE Transactions On Automatic Control, Vol. 38, No. 2, February 1993

12.21 A. E. Fitzgerald, C. Kingsley, Jr., and S. D. Umans, Electric Machinery. New York: McGraw-Hill, 1983.

[2.3] P. C. Krause, Analysis ofElectric Machinery: New York: McGraw-Hill, 1986

[2.4] P. C. Krause and C. H. Thomas, “Simulation of symetrical induction machinery,” IEEE trans. Power Apparatus Syst., vol PAS-84, no. 11, pp. 1038-1053, 1965

[2.5] Peter Vas., Vector Control of Ac machines., Monographs in Electrical and Electronic Engineering., Published in the United States by Oxford University Press, New York 1990

[3.1] Luenberger, D. G. Observing the State of a Linear System. IEEE Trans. Mil. Electron. 1964, MIL- 8,74-80.

[3.2] Luenberger, D. G. Observers for Multivariable Systems. IEEE Transactions Autom. Control 1966, AC-11 NO.^), 190-197

[3.3] Luenberger, D. G. An Introduction to Observers. IEEE Trans. Autom. Control 1971, AC-I6(No.6), 596-602

[3.4] Friedland, B. Control System Design. An Introduction to State Space Methods; McGraw-Hill; New York, 1986

[3.5] Enrique Quintero-Marmol, William L. Luyben, and Christos Georgakis., Application of an Extended Luenberger Observer to the Control of Multicomponent Bath Distillation . I&EC Research, 1991, 30.

[3.6] Kautsky, J.; Nichols, N. K.; Van Dooren, P. Robust Pole Assignment in Linear State Feedback. Int. J. COliti.01 1985,41 (NO. S), 1129-1 155

[3.7] Donald E. Kirk.; Optimal Control Theory An Introduction,; Prentice Hall Electrical Engineering Series 1970.

[3.8] Richard L. Burden J. Douglas Faires, Análisis numérico: Grupo Editorial iberoamérica, 1985

58

APENDICE A. LINEAJJZACION DEL MODELO MATEMATICO DEL MOTOR DE INDUCCION.

Del sistema de ecuaciones no lineales (R. 2.2.12) del motor de inducción se tiene;

2 XI =u,(x,x, - x z x s ) - u 2 -u,xl-uqx1 X, = U,X, + u6x1x5 - u1x2 +bu, X,= - u ~ x , x , +u,x, - u ? x ~ +bu,, x, = -ugx, - U 9 X l X S + U10X2

x, = U 9 X l X 4 - u*x, + a,,x,

Si se define:

2 f] =a,(x,x, - x 2 x 5 ) - u 2 - u , x , - U , X ,

f, = U,X, + U ~ X ~ X ~ - u1x2 +bu, f -u6x1x4 +u,x, -u7x3 +bu,, f, = -u,x, -u9xIx5 + U l 0 X 2

f 5 = '9'Ix4 - +

Formando la expansión de series de Taylor de la ecuación diferencial(2.2.12), alrededar de los puntos X~D1(I)~X~O1(t) ,X~l(t)~x~)(t)~x~o)(t) , y reteniendo solamente los primeros términos, el sistema linealizado queda definido como:

donde:

59

i=1,2,3,4,5 , j=1,2,3,4,5

Los otros términos, son definidos como:

e , (1) = - A , , ( t ) x j ; ) ( t ) - A,, ( t )x :O)( t ) - A, , ( t ) xP) ( r ) - ~ , ~ ( t ) x ~ ) ( t ) - ~ , , ( t ) x j o ) ( t ) + f i ( ~ ) ( t ) e , ( t ) = - A 2 , ( t ) $ ) ( t ) - A22(t)x/O)(t) - A 2 3 ( t ) x y ) ( f ) - A 2 4 ( t ) x F ) ( r ) - A25(t)xio)(r)+ fT)(t) e,( t ) = - A , , ( t ) x p ’ ( t ) - & ( t ) x ? ) ( t ) - A , ( f ) x ? ) ( t ) - A 3 4 ( t ) ~ Y ) ( t ) - A 3 S ( t ) x y ) ( t ) + f$”(t) e4(t) = -A41(f)x/o)(t)- A42(f)x/O)( t ) - A 4 3 ( t ) x Y ) ( t ) - A44( t )x~ ) ( t ) -A45( t )x~ ) ( t )+ f4(0)(t)

es@) = -A51(t)x,(o)(f)- A S 2 ( f ) x ? ) ( t ) - As3( t )x? ) ( t ) - A S 4 ( t ) x f ‘ ) ( t ) - A S 5 ( t ) $ ) ( t ) + fJ’”(t)

Estas funciones son evaluadas en las condiciones iniciales xjo)(t),x/O)(f),xY)(f),x10)(f),xy)(t), y se comprobó que no es necesario modificarlas posteriormente. Aplicando las ecuaciones anteriores al sistema de ecuaciones diferenciales no lineales del motor de inducción , se tienen los siguientes resultados:

A , , ( t ) = -u3 -2a,x]O)(t)

A I 2 ( f ) = -u ,xy)( t ) /Il3@) = a , X p ( t )

A,4(r ) = u ,x f ) ( t )

= -a,x?)(t)

A, , (t) = a , x y ’ ( t )

A,, (4 = -07

í t ) = a, (‘) = o

A 2 S ( f ) = a,xl(o)(i)

60

Los términos adicionales son:

Donde:

61

APENDICE B. PROGRAMA QUE IMPLANTA EL ALGOTIMO DE ESTIMACION DE LOS COMPONENTES DEL FLUJO MAGNETIC0 DEL ROTOR DE UN MOTOR DE INDUCCION DEL MODELO NO LINEAL. PROGRAMA “NMOT0R.M”

o % * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yovariables utilizadas

max= 150 1 ; tiempo=1.5; N=1500; paso=tiempo/N;

t=[O:paso:tiempo]’; xl=zeros(max, 1); x2=zeros(max, 1); x3=zeros(max, 1 ); x4=zeros(max,l); x5=zeros(max, 1);

xll =zeros(max, 1); xl2=zeros(max,l); xl3=zeros(max, 1); xl4=zeros(max, 1); xl5=zeros(max, 1);

el xl=zeros(max,l); e l x2=zeros(max, 1); e l x3=zeros(max,l); e l x4=zeros(max, 1); e 1 x5=zeros(max, 1 ); xo 1 =zeros(max, 1 ); xo2=zeros(max, 1); xo3=zeros(max, 1); xo4=zeros(max, 1); xo5=zeros(max, I);

AI I=zeros(max,l); A I2=zeros(max, 1); Al 3=zeros(max,l); A14=zeros(max,l); A l 5=zeros(max, 1);

A2 1 =zeros(max, I); A22=zeros(max, 1); A23=zeros(max, 1);

62

A24=zeros(max, 1); A25=zeros(max,l);

A31=zeros(max,l); A32=zeros(max,l); A33=zeros(max,l); A34=zeros(max, I ) ; A35=zeros(max,l);

A41=zeros(max, I ) ; A42=zeros(max, I); A43=zeros(max,I); A44=zeros(max, I) ; A45=zeros(max, 1 );

A5 1 =zeros(max,l); A52=zeros(max, 1 ); A53=zeros(max, I); A54=zeros(max,l); A55=zeros(max,l);

usa=zeros(max, 1); usb=zeros(max, 1 ); vsa=zeros(max, I ) ; vsb=zeros(max, 1); vsc=zeros(max, I); vsab=zeros(max, I);

Ac=zeros(5,5); As=zeros(5,5); A=zeros(5,5); c=zeros(3,5);

id=zeros(max,l); iq=zeros(max,l); fd=zeros(max, I ) ; fq=zeros(max, 1); ud=zeros(max, I) ; uq=zeros(max, I) ; ua=zeros(max, I) ; ub=zeros(max, I) ; Te=zeros(max,l ); VRr=zeros(max, 1 );

%variables para el controlador de corriente d-q ecd=zeros(max, I); ecq=zeros(max, I ) ; eicd=zeros(max, I); eicq=zeros(max, 1);

63

ed=O; eq=O;

%variables para el control de par epar=zeros(max,l); eipar=zeros(max, I); cpar=zeros(max,l); iqref=zeros(max, 1); ep=O;

%variables del controlador de flujo eflujo=zeros(max,l ); eiflujo=zeros(max, I); cflujo=zeros(max,I); idref=zeros(inax, 1); ef=O;

%variables para el control de velocidad ew=zeros(max,l); eiw=zeros(max, 1 ); cw=zeros(max,l); Tref=zeros(max, I); evel=O:

%variables auxiliares bandera1 =I ; flag2=0; fcl=l; bc2=0; cont=O;

%valores asignados a los parametros del motor de inducción

w1=376.9920; h=paso; vs=200; teta=0.3490; afl=2*pi/3; af2=4*pi/3; J=O.OI; R ~ 2 . 6 1 :

%Rr=2.0351; %valor nominal de la resistencia del rotor

%VRr=Rrt-OS*randn(max,l); %Rr=1.5; %con este valor el observador no converge

%si se mantienen constante desde el inicio %en lazo cerrado

64

% ~ = l ; %con este valor el observador no logra %estimar los componentes del flujo del rotor %en lazo abierto

Rr=2.035 I ; Ls=O. 19081 ; LFO. 19081 ; Lm=O.l8394;

k0=0.001; kl=0.001; k2=0.001; np=2; Rw=0.002;

al=(3*np*Lm)/(2*J*Lr); a2=kO/J; a3=kl/J; a4=k2/J; ct 1 =Ls-((Lm*Lm)/Lr); aS=(Lm*Rr)/(ctl *Lr*Lr); a6=(np*Lm)/(ctl *Lr); ct2=((Lm*Lm*Rr)+(Lr*Lr*Rs))/(ctl *Lr*Lr); a7=ct2; a8=Rr/Lr; a9=np; a l O=(Rr*Lm)/Lr; b=l /ct 1 ;

%voltajes de entrada en lazo abierto vsa=vs*cos(wl *t); vsb=vs*cos(wl *t-afi); vsc=vs*cos(wl *t-af2); vsab=(2/3)*(vsa+exp((i*2*pi)/3)*vsb+exp((i*4*pi)/3)*vsc); usa=real(vsab); usb=imag(vsab);

%parametros para los controladores

%controlador .......... .flujo kpflujo=100; kiflujo=5000;

%controlador ........... id kpcd=5; kicd=l;

%controlador .......... .wr

65

kpw=l; kiwi ;

%controlador ........... Te kppar=l ; k i p a ~ 6 0 ;

%controlador ........... iq kpcq=l; kicq=l;

%entradas de referencia al controlador Wref;l59.9984; Fref=0.55;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %condiciones iniciales de los estados y el estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

%condiciones iniciales de los estados iguales a cero %XI (l,l)=O; %x2( 1,l )=O; %x3( 1 , I )=O; %x4(1,1)=0; %x5(1,1)=0;

%condiciones iniciales de los estados de estado estable xl(l ,1)=156.9984; x2(1,1)=20.1837; x3(1,1)=-7.0568; x4( I ,I)=-0.4862; ~5(1,1)=-0.2360;

%condiciones iniciales de los estados de estado estable

xll( 1 , l)=xl( 1,l); xl2(l,l)=x2(l,l); x13(1,1)=x3(1 ,I); x14( 1,1)=~4(1, I ) ; x15( 1,1)=x5( 1, I ) ;

xo 1 ( I , 1)=50; x02( 1,1)=4; xo3( 1 , I )=4; xo4(1,1)=0.7; X05(1,1)=-0.4;

%parametros de la variacion de la resistencia

66

. .

banderal=l; flag2=0;

%PASO 2.-Linealización del sistema de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

for i=l :max-1,

Al l(i,l)=(-a3-2*a4*~11(i,l)); Al 2(i,l)=(-ai *xi5(¡,1)); A13(i,l)=al *xi4(i,i); A14(i,l)=al*x13(i,l); Al 5(i, l)=(-al *xI2(¡,1));

A21 (i,l)=a6*x15(i, 1); A22(i, 1)=-a7; A23(i, 1)=0; A24(i,l)=a5; A25(i,l)=a6*xIl (¡,l);

A31(i,l)=-a6*~14(i,l); A32(i,l)=0; A33(i,l)=-a7; A34(i,l)=(-a6*xIl(i,l)); A35(i,l)=a5;

A41 (i,l)=-a9*x15(¡,l); A42(i, I)=a10; A43(i, 1)=0; A44(i,l)=-a8; A45(i,l)=-a9*xI 1 (i,l);

A5 I (i,l)=a9*x14(i,l); A52(i,l)=0; A53(i,l)=a10; A54(¡,l)=(a9*xll(i,l)); ASS(i,l)=-aS;

%termino adicional elxi(i,i)=(al *(x3(i,l)*x4(i,l)-x2(i,l)*x5(i,l))-a2-(a3*xl(i,l))-(a4*xl(i,l)*xl(i,l)))-

elx2(i, l)=((a5*x4(i, l))+(a6*x1 (i,l)*x5(i,l))-(a7*~2(i, l))+b*usa(i,l))-

elx3(i, 1)=((-a6*xi (i, l)*x4(i, l))+(a5*~5(i,l))-(a7*~3(i,i))+b*usb(i,l))-

elx4(i,l)=((-a8*x4(i,l))-(a9*xl(i,l)*x5(i,l))+(al O*x2(i,l)))-

(Al 1 (i,l)*xl(~,l)+Al2(i,l)*x2(i,l)+A13(i,l)*x3(i,l)+A14(i,l)*x4(i,l)+A15(i,l)*x5(i,l));

(A21 (i,l)*xl (i,l)+A22(i,l)*x2(i,l)+A23(i,l)*x3(i,l)+A24(i,l)*x4(i,l)+A25(i,l)*x5(i,l));

(A31 (i,l)*xl(i,l)+A32(i,l)*x2(i,l)+A33(i,l)*x3(i,l)+A34(i,l)*x4(i,l)+A35(i,l)*x5(i,l));

(A4l(i,l)*xl(i,l)+A42(i,l)*x2(i,1)+A43(i,l)*x3(i,l)+A44(i,l)*x4(i,l)+A45(i,l)*x5(i,1));

67

%matriz auxiliar

A21(i,l) A22(i,l) A23(i,l) A24(i,l) A25(i,l);

A41(i,l) A42(i,l) A43(i,l) A44(i,l) A45(i,l); A51(i,l) A52(i,I) A53(i,l) A54(i,l) A55(i,l)];

%integración del sistema de ecuaciones diferenciales lineales

Ac=[AI ](¡,I) A12(i,l) A13(i,l) A14(i,l) A15(i,1);

A3l(i,l) A32(i,l) A33(i,l) A34(i,l) A35(i,l);

XI 1 (i+l ,l)=xll (i,l)+h*(Ac( 1 ,l)*xll(i,l)+Ac( 1,2)*x12(i,l)+Ac(l,3)*x13(i,l)+Ac(l,4)*x14(i,l)+Ac(l,5)*~l5 (i,i)+elxl(i,l));

x12(i+l ,l)=xl2(i,l)+h*(Ac(2,1)*xll (i,l)+Ac(2,2)*x12(i,l)+Ac(2,3)*x13(i,l)+Ac(2,4)*x14(i,l)+Ac(2,5)*x15 (i,l j+elx2(i,l));

x13(i+l,1)=x13(i,1)+h*(Ac(3,I)*xll(i,l)+Ac(3,2)*x12(i,l)+Ac(3,3)*x13(i,l)+Ac(3,4)*x14(i,l)+Ac(3,5)*x15 ( i , 1 j+e 1 x3(i, I));

x14(i+l ,l)=x14(i,l)+h*(Ac(4,I)*xl I (i,l)+A~(4,2)*x12(i,l)+Ac(4,3)*x13(i,l)+Ac(4,4)*x14(i,l)+Ac(4,5)*x15 (i,l)+elx4(i,l));

x15(i+1,1)=x15(i,l)+h*(Ac(5,1)*xll(i,1)+Ac(5,2)*x12(i,1)+Ac(5,3)*x13(i,l)+Ac(5,4)*x14(i,l)+Ac(5,5)*x15 (i,l)+elx5(i,l));

end:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %PASO 3.-Usar los valores de las matrices A,C evaluadas % con las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

%selection de la matriz A cuando las condiciones %iniciales de los estados son ceros

A=[All(I,I) Ai2(l,l)Ai3(1,1)A14(1,1)A15(1,1); A21 (1,l) A22(1 , I ) A23(l ,I) A24(1,1) A25(1 ,I); A3 I (I, I ) A32( I , I ) A33(1,1) A34(1,1) A35(1 ,I); A4 I (1,i) A42( 1,l) A43( 1,l) A44( 1,l) A45(1,1); A51(1,1) A52(1,1) A53(1 ,I j A54(1,1) A55(1,1)];

c=[i o o o o; o 1000; o o 1 o O ] ;

68

o/o***********************************************************

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %PASO 4.-Obtener los polos de lazo abierto

p2=eig(A);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %PASO 5.-Seleccionar los polos de lazo cerrado del observador

%polo de lazo cerrado evaluados para condiciones iniciales %de los estados iguales a cero

% p2=[-6.1009; % -338.1680; % -338.1680; % -6.1009; % -51;

% p2=[-6.1009; % -338.1680; % -338.1680; % -6.1009; % -151;

% p2=[-6.1009; 'Yo -338.1680; % -338.1680; % -6.1009; % -201;

% p2=[-6.1009; % -338.1680; % -338.1680; % -6.1009; % -3471;

%p2=1 .Oe+002*[-1.1850+2.1270i; % -1.1850-2.127Oi; % -1.5; % -2.1469+0.8596i; % -2.1469-0.859613;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %PASO 6.-Obtener la matriz de ganancias K del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

% calculo de k cuando las condiciones iniciales

69

%son cero %k=place(A',c',p2); %k=k';

%k utilizada para condiciones iniciales %de estado estable obtenidos con p2

k=[ 4.9001 -0.0037 -0.0037; -0.0423 -0.0001 -0.0001; -0.0423 -0.0001 -0.0001; -0.0082 0.0000 0.0000; -0.0082 0.0000 0.0000];

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %PASO 7.-Usar las ganancias obtenidas con el modelo no lineal % y el modelo del observador para obtener las estimaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %SISTEMA DE CONTROL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . for i=l max-l.

% I a. variacion de la resistencia del rotor en %forma de rampa

% if i<i YO con el YO se incluye el codigo hasta el end final inicio=100; fiii=150; porc=50; delta=(Rnom*porc)/lOO; decR=(Rnom-delta)/(fin-inicio);

if i > inicio & i<=250 if bandera1 = 1

if Rr < Rtop

else Rt=RrtdecR;

banderal=O; flag2=l; Rr=Rr-decR; end;

else if flag2 == 1 if Rr > delta

else Rr=Rr-decR;

flag2=0; banderal=l; Rr=Rr+decR;

70

end; end;

end; end;

% end;

%2a. variation de la resistencia del rotor en %forma de onda cuadrada

if ¡<I %anula el codigo de la onda cuadrada inicio=lOO; interv=lO; %especifica el ancho de la onda if ¡>inicio & i<=200

b 3 . 0 5 2 6 5 ; cont=cont+l; if cont > interv

fcl=O; bc2=1; cont=O;

if fcl==l

end; else

if bc2=1 Rr=l .O1 175; cont=cont+l; if cont > interv

bc2=0; fcl=l; cont=O;

end; end;

end; end; end;

VRr(i,l)=Rr; pRr=VRr(i,l); vaS=(Lm*pRr)/(ctl *Lr*Lr); vct2=((Lm*Lm*pRr)+(Lr*Lr*Rs))/(ct 1 *Lr*Lr); va7=vct2; vaS=pRr/Lr; val O=(pRr*Lm)/Lr;

%Cálculo del angulo para las transformaciones de los ejes %sin observador

%angulo=atan2(~5(i,i),x4(i,i)); %fl =cos(angulo); %fi=sin(angulo);

71

%Cálculo del angulo para las transformaciones de los ejes %con observador

angulo=atan2(xo5(i, l),x04(¡,1)); fl=cos(angulo); f2=sin(angulo);

y0p es la matriz de transformacion de ejes (a-b)-(d-q) P=[fl f2; -f2 fl];

Tl=P; Ti=inv(Tl); %i

%matriz de trnasformación sin observador %id(i,I)=P(l,I)*x2(i,l)+P(1,2)*~3(~,1); %iq(i,l)=P(2,1)*~2(i,l)+P(2,2)*~3(i,l); %fd(i,l)=P( 1, l)*x4(i,l)+P(1,2)*xS(i,l);

%Te(i,l)=(a9*Lm/Lr)*fd(i,l)*iq(i,l);

%matriz de transformación con observador

id(i,l)=P( 1 ,l)*L?(i, 1 )+P( 1,2)*~3(i,i); iq(i,l)=P(2,1)*x2(i, l)+P(2,2)*~3(i,l); fd(i,l)=P(1,1)*~04(i,l)+P(1,2)*~05(i,l);

Te(¡, l)=(a9*LmLr)*fd(i,l)*iq(i,l);

%fq(i,l)=P(2,1 )*x4(i,l)+P(2,2)*x5(i,l);

fq(i, i)=P(2,l)*xo4(i,l)+P(2,2)*xo5(i,l);

%seccion de variacion de velocidad if ¡>I50

end

%Seccion del controladores de corriente, par, velocidad, flujo

%velocidad ......p ara generar Te ew(i, l)=Wref-xl (i. I ) ; evel=evel+h*ew(i, 1); eiw(i, l)=evel; cw(i, l)=kpw*ew(i, I)+kiw*eiw(i,l); Tref(i,l)=cw(i, I ) ;

%par ....... para generar corriente iq epar(i,l)=Tref(i,l)-Te(i,l); ep=ep+h*epar(i, 1); eipar(i, 1 )=ep;

Wref=50;

12

cpar(i,l)=kppar*epar(i,l)+kipar*eipar(i,l); iqref(i, l)=cpar(i,l);

%iq ........ para generar uq ecq(i,l)=iqref(i,l)-iq(i,l); ea=ea+h*ecq(i,l); .. , . eicq(i, l)=eq; uq(i, l)=kpcq*ecq(i,l)+kicq*eicq(i,l);

%flujo ...... p ara generar id eflujo(i,l)=Fref-fd(i,l); ef=ef+h*eflujo(i,l); eiflujo(i,l)=ef; cflujo(i, l)=kpflujo*eflujo(i,l)+kiflujo*eiflujo(i,l); idref(i,l)=cflujo(i,l);

%corriente id ...... p ara generar ud ecd(i,l)=idref(i,l)-id(i,l); ed=ed+h*ecd(i,l); eicd(i,l)=ed; ud(i,l)=kpcd*ecd(i, I)+kicd*eicd(i,l);

%uso de las matrices de transformacion para el calculo de los voltajes en %el modelo de referencia de estacionario

ua(i,l)=(Tl ( I , l)*ud(i, I)+T1(1,2)*uq(i, 1)); ub(i,l)=(TI (2,1)*ud(i,l)+T1(2,2)*uq(i,l));

%para el caso de lazo abierto sin control %ua(i,l)=usa(i, 1); %ub(i, 1 )=usb(i, 1);

%seccion de llamada a la funcion del observador po=[i;ua(i,l);ub(i,l);xl (i,l);x2(i,l);x3(i,l)]; eo=[xol (i,l);xo2(i,l);xo3(i,l);xo4(i,l);xo5(i,l)]; cob=[al ;a2;a3;a4;a5;a6;a7;a8;ag;al O;b;h];

[reo]=obs(po,eo,cob,k);

xol(i+l ,l)=reo( 1 , I ) ; xo2(i+l ,l)=reo(2,1); xo3(i+l ,l)=reo(3,1); xo4(i+l, I)=reo(4, I) ; xo5(i+l,l)=reo(5,1);

%Observador integrada en una función (0bs.m)

%codigo que se implanta en 0bs.m

13

%xo 1 (i+ 1,l )=xo 1 (i, 1 )+h *(a I *(x03(i, I)*xo4(i, I)-xo2(i. l)*x05(i,l))-a2-(a3*xo 1 (i, 1))-

%x02(i+l ,I)=xo2(i,l)+h*(a5*~04(i, l)+(a6*xol(i, I )*xo5(i,l))-

%xo3(i+l ,I)=x03(i,l)+h*(-a6*xol (i,l)*xo4(i,l)+(a5*~05(i,l))-

%xo4(i+l ,l)=xo4(i,l)+h*(-a8*xo4(i,l)-(a9*xol(i,l)*xo5(i,l))+(al0*xo2(i,l))+k(4,1)*(xI(i,l)-

%0xo5(i+l,l)=xo5(¡,l)+h*(a9*xol (¡,l)*xo4(i,l)-(a8*xo5(i,l))+(al O*xo3(i,l))+k(5,1)*(xl(i,l)-

(a4*xol(i,l)*xoI(i,l))+k(l,l)*(xl(i,l)-xol(i,l))+k(1,2)*(x2(i,l)-x02(i,l))+k(l,3)*(~3(i,l)-xo3(i,1)));

(a7*xo2(i,l))+(b*ua(¡,l))+k(2,I)*(xl(i,l)-xol(i,l))+k(2,2)*(x2(i,l)-xo2(¡,l))+k(2,3)*(x3(i,l)-xo3(~,l)));

(a7*xo3(i, l))+(b*ub(i,l))+k(3, ])*(xi (¡,I)-xol (i,l))+k(3,2)*(x2(i,1)-xo2(i,l))+k(3,3)*(x3(i,l)-xo3(¡,1)));

xol (i,l))+k(4,2)*(~2(i,l)-x02(¡, l))+k(4,3)*(x3(i, I)-x03(¡, I)));

XOI (¡,l))+k(5,2)*(~2(¡,1)-~02(i,l))+k(5,3)*(~3(i,l)-~03(i,1)));

%SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON VARIACION DE PARAMETROS xl (¡+I ,l)=xl(i,l)+h*(al*(x3(i,l)*x4(i,l)-x2(i,l)*x5(i,l))-a2-(a3*xl(i,l))-

x2(i+lj l)=x2(i, I)+h*(va5*~4(¡, 1)+(a6*x1 (i, 1)*~5(i,l))-(va7*~2(i,l))+(b*ua(i,l))); ~3(i+l,1)=x3(i,l)+h*(-a6*xl(i,l)*x4(i,l)+(va5*x5(i,l))-(va7*x3(i,l))+(b*ub(i,l))); x4(i+l ,I)=x4(i,l)+h*(-va8*~4(i,l)-(a9*xl(i,l)*x5(i,l))+(val0*x2(i,l j)); x5(i+l, l)=x5(i, l)+h*(a9*xl(i, l)*x4(i,l)-(va8*~5(i,l))+(va1 O*x3(i,l)));

plot(t,x4,t,xo4j;

(a4*xl(i,i)*xl (i,l)));%+VW(i,l)%+pf(i,l);

end;

axis([O 0.5 -1 11); pause; piot(t,x5,t,xo5); axis([O 0.5 - 1 I]);

74

CODIGO DEL PROGRAMA 0BS.M

% po=[i;ua(i,l);ub(i,l);xl(~,l);x2(~,l);x3(~,~)~; % eo=[xo~(i,l);xo~(i,~);xo3(i,l);~04(i,l);x05(i,l)]; % cob=[al;a2;a3;a4;aS;a6;a7;aS;a9;al O;b;h];

function [reo]=obs(po,eo,cob,k)

i=po(l ,l); ua(i, 1)=po(2, I); ub(i,l)=po(3,1); XI (i, I)=po(4,1); x2(i,l)=po(5,1); x3(i,l)=po(6,1);

xol (i,i)=eo( 1 ,I); xo2(i,l)=eo(2,1); xo3(i,l)=eo(3,1); xo4(i, I)=eo(4, I); xo5(i,l)=eo(5,1);

al=cob( 1 ,I); a2=cob(2,1); a3=cob(3,1); a4=cob(4,1); a5=cob(5,1); a6=cob(6,1); a7=cob(7,1); a8=cob(8,1); a9=cob(9, I); al O=cob(l O, I); b=cob(ll,l); h=cob( 12,l);

xol (¡+I ,l)=xol(i,l)+h*(al *(xo3(i,l)*xo4(i,l)-xo2(i,l)*xo5(i,l))-a2-(a3*xoI(i,l))-

~02(i+l,1)=xo2(i,l)+h*(a5*xo4(i,l)+(a6*xoI(i,l)*xo5(i,l))-(a7*xo2(i,l))+(b*ua(i,l))+k(2,l)*(xl(i,l)-

xo3(i+l, l)=xo3(i, l)+h*(-a6*xo 1 (i,l)*xo4(i,l)+(a5*xo5(i,l))-(a7*xo3(i,l))+@*ub(i,l))+k(3,1)*(x1 (i,l)-

xo4(i+l ,l)=xo4(i,l)+h*(-a8*xo4(i,l)-(a9*xol(i,l)*xo5(i,l))+(al0*xo2(i,l))+k(4,1)*(xl(i,l)-

xo5(i+l ,l)=xo5(i,l)+h*(a9*xoi (i,l)*x04(i,l)-(a8*~05(i,l))+(al O*xo3(i,l))+k(5,1)*(xl(i,I)-

reo=[xo 1 (i+l ,I);x02(i+l ,I);xo3(i+l ,I);xo4(i+l ,l);xo5(i+l,l)];

(a4*xoI(i,l)*xol(i,l))+k(I,l)*(xl(i,l)-xol(i,I))+k(l,2)*(~2(i, 1)-~02(i,l))+k(1,3)*(~3(i,l)-x03(i,l)));

xol (i,l))+k(2,2)*(x2(i,l)-xo2(i,l))+k(2,3)*(x3(i,l)-xo3(i,l)));

xo 1 (i, l))+k(3,2)*(~2(i, 1)-~02(i,I))+k(3,3)*(~3(i, I)-x03(i, I)));

xol (i, i))+k(4,2)*(~2(i,l)-x02(i, l))+k(4,3)*(x3(i, l)-xo3(i, I)));

xo 1 (i, l))+k(5,2)*(~2(i,l)-~02(i,l))+k(5,3)*(~3(i, I)-x03(i, I)));

IS

APENDICE MODELO LINEAL

C. ESTIMACION DE LOS COMPONENTES DEL FLUJO DEL ROTOR DEL

Descripción de los pasos realizados para estimar los componentes del flujo del rotor utilizando el la ecuación del observador lineal modelo linealizado del motor de inducción (ver APENDICE A) y

(3.2.10). (el programa se muestra en el APENDICE D).

a). LINEALIZACION DEL SISTEM DE ECUACIONES NO LINEALES

Para obtener el modelo lineal del motor de inducción, se linealiza el sistema no lineal definido por las ecuaciones (2.2.12) aplicando expansión por series de taylor[3.7]. (ver APENDICE A).

El sistema de ecuaciones diferenciales lineales variantes en el tiempo resultante se definen en la ecuación:

Xp")(t) = A,,(t)x,'"')(t)+ A , , ( t ) x y ) ( t ) + A,,(t)x?')(t)+ A,,(t)xq'."(t) + A, , ( t )x i""( t )+e , ( t ) x2 ' (¡+I) ( t ) = A,, ( t )~? ' ) (1 ) + A,, ( t ) x j " ) ( t ) + A,, ( t ) + A,, ( t )x t+ ' ) ( t ) + A,, (t)xji+l) ( t ) + e, ( t )

ij") ( t ) = A,, (t)xf+')(t) + A,, ( t ) + A 3 3 ( t ) x y ) ( t ) + A,, (t)xY) ( t ) + A3,(t)x?) ( t ) + e, ( t ) ( t ) = A,, (t)x,(") ( t ) + A,, ( t ) ~ ? ' ) ( t ) + A,, (t)xjil') (1) + A, (t)xp) ( t ) + A,, (t)xji+l) ( t ) + e, ( t )

Xy')(t) = A,,(t)x,(")(t) + A,,(t)xf+')(t) + A,, ( t )xf+') ( t ) + A 5 , ( f ) x ~ ) ( t ) + As5(t)x?)(f) +e, ( t )

Donde: Ag( t ) : Son coeficientes variantes en el tiempo e , ( t ) : Son los términos adicionales generados en el proceso de linealización.

b).- CALCULO DE LOS VOLTAJES DE ENTRADA AL SISTEM LINEAL Las entradas al sistema lineal son los componentes a,b del voltaje del estator('.Ta,usb). En lazo abierto, estos voltajes se obtienen con las expresiones (2.2.14, 2.2.15). El comportamiento se muestran en la Fig C.1

Fig. C.1 Componentes de los voltajes del estator (u,,u,) I

J O 0.02 o.~l,o&j 0.08 0.1

16

c).- INTEGRACION DEL SISTEMA DE ECUACIONES LINEALIZADAS

Se integra el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Euler[3.8]. Los parámetros utilizados para motor de inducción se toman de la referencia[l.l]. Estos parámetros son:

J = 0.01 R,? = 2.61 R, = 2.0351 Ls = 0.19081 L, = 0.19081 Ln, = 0.18394 k, = 0.001 k, = 0.001 k, = 0.001 n = 2

R, = 0.002 P

Las condiciones iniciales consideradas son:

x,(O) = o X,(O) = o X,(O) = o .,(O) = o X , ( O ) = o

El comportamiento de los estados, se muestran en las Figs. (2.2 a la C.6

Fig.C.2 Velocidad del motor

I

77

Fig. C.3 Componente de la corriente del estator (i,) Fig.C.4 Componente de la corriente del estator (ish)

20

4 0 E

-20

O 0.05 n i 0.15 0.2 Tiempo@)

Fig. C.5 Componente (a) del flujo del rotor yra

I- C. 5 4 & O

-0.5

O 0.05 0.1 0.15 0.2 Tiempo@)

'20

3 4 0

-20 I 1

O 0.05 0.1 '0.15 0.2 Tiempo(t)

Fig. C.6 Componente (b) del flujo del rotor ylb

0.5 3 3 0 3 -0.5

-1 ' I O 0.05 o. 1 0.15 0.2

TiemDo(t)

Las gráficas de los componentes del flujo del rotor del sistema linealizado permite identificar la forma de la señal que se obtendrá de la estimación.

4.- CALCULO DE LAS GANANCUS DEL OBSERVADOR

De la tabla 3.3, se aplica el algoritmo de Kautsky[3.6] para hallar la matriz de ganancia de realimentación. La dinámica del sistema en lazo abierto está formada por la matriz A. Esta matriz se obtiene de la linealización , sus valores se evalúan con las condiciones iniciales:

A = [ -1.0000e-O01 O O O O

O -3.3360e+002 O 7.6201e+O02 O O O -3.3360e+002 O 7.620 1 e+002 O 1.96 18e+000 O -1.0666e+001 O O O 1.9618e+000 O -1.0666e+001]

c=[i o o o o o 1 0 0 0 o O l O O ]

L~~

p=[-6.1009

de lazo abierto son se obtienen usando la función p=eig(A) de MATLAB.

-338.1680 -338.1680 -6.1009 -0.1000];

Para ubicar los polos de lazo cerrado, aplicando las evaluaciones realizadas en [3.5], la mejor forma de ubicar los polos de lazo cerrado del observador es mover solamente los polos de lazo abierto con dinámicas más lentas a dinámicas más rápidas. Esto asegura que el sistema no se saldrá del limite y convergerá lo suficientemente rápido al estado verdadero durante un tiempo corto.

En este caso, el polo de lazo abierto más lento es (-O.]), moviendo este polo se obtienen los polos de lazo cerrado como se indica:

p2=[ -6.1009; -338.1680; -338.1680;

-6.1009; - 5.10001;

Cálculando la ganancia con la expresión de la tabla 3.3

k = [ 5.0001e+000 -3.2923e-003 -3.2926e-003 -3.7650e-002 -7.9896e-005 -5.6901e-005 -3.7653e-002 -5.6901e-005 -7.9904e-005 -7.2846e-003 -3.31 93e-005 -2.4367e-005 -7.2851 e-O03 -2.4367e-005 -3.3196e-005 ]

Uno de los problemas encontrados al tratar de hacer los polos más rápidos fue obtener ganancias muy grandes, haciendo el observador inestable numéricamente.

e).- IMPONTACION DEL OBSERVADOR

Aplicando la ecuación 3.2.10, se implantó por computadora la estructura del observador, utilizando las entradas y las ganancias obtenidas en el paso d.

19

Las condiciones iniciales consideradas en el observador son:

&(O) = o *,(O) = o &(O) = o i, (O) = 0.7 2, ( O ) = -0.4

Los resultados se muestran en la Figs. C.7 y C.8

Fig. C.7 Componentes (a) del flujo del rotor actual Fig. C.8 Componentes (b) del flujo del rotor actual y y estimado (i~.,,@,) estimado( y,, Gb )

I. - Actual

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 X W t )

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Con estos resultados se comprueba que la teoría de observadores lineales es aplicable a sistemas lineales. El programa se detalla en el APENDICE D.

80

APENDICE D. PROGRAMA QUE IMPLANTA EL ALGORITMO DE ESTIMACION DE LOS COMPONENTES DEL FLUJO MAGNETIC0 DEL ROTOR CONSIDERANDO EL MODELO LINEAL DEL MOTOR DE INDUCCION

% programa m1ina.m %variables utilizadas max=l501; tiempo=1.5; N=1500; paso=tiempo/N; vsa=zeros(max, 1); vsb=zeros(max, I); vsc=zeros(max,l); u 1 =zeros(max, 1); u2=zeros(max, 1);

xl=zeros(max, I); x2=zeros(max, 1); x3=zeros(max, 1); x4=zeros(max, I); x5=zeros(max, I);

Al I=zeros(max,l); A12=zeros(max, I); Al 3=zeros(max,l); A 14=zeros(max, I ); AI 5=zeros(max,l);

A2 l=zeros(max, 1); A22=zeros(max,l); A23=zeros(max, I ); A24=zeros(max,l); A25=zeros(max,l);

A3 l=zeros(max,l); A32=zeros(max, I); A33=zeros(max,l); A34=zeros(max, 1); A35=zeros(max, I);

A4 1 =zeros(max, 1); A42=zeros(max, 1); A43=zeros(max,l); A44=zeros(max,l); A4S=zeros(max, I);

AS l=zeros(max, 1); A52=zeros(max, 1);

81

A53=zeros(max,l); A54=zeros(max, 1); A55=zeros(max, 1);

eixl =zeros(max,l); e lx2=zeros(max, 1); e l x3=zeros(max, 1); elx4=zeros(max,l); elx5=zeros(max,l);

xll =zeros(max, 1); xl2=zeros(max,l); xl3=zeros(max, 1); xl4=zeros(max, 1); xl5=zeros(max, 1); Ac=zeros(5,5); ec=zeros(5,1); xo 1 =zeros(max, 1); xo2=zeros(max, 1); xo3=zeros(max, 1); xo4=zeros(max, 1); xo5=zeros(max, 1); e=zeros(max, 1);

% parámetros utilizados w1=376.9920; h=paso; Is=16.5; vs=l50; teta=0.3490; afl=Z*pi/3; afL=4*pi/3; J=O.O 1 ; Rs=2.61; Rr=2.035 1 ; Ls=O. 1908 1; Lr=O. 19081; Lm=O.l8394;

k0=0.001; kl=0.001; k2=0.001; np=2; Rw=0.002; t=[O:paso:tiempo]';

al =(3*np*Lm)/(2*J*Lr); a2=kO/J; a3=kl/J;

82

a4=E/J; cti =Ls-((Lm*Lm)/Lr); a5=(Lm*Rr)/(ctl *Lr*Lr); a6=(np*Lm)/(ctl *Lr); ct2=((Lm*Lm*Rr)+(Lr*Lr*Rs))/(ctl *Lr*Lr); a7=ct2; aS=Rr/Lr; a9=np; a l O=(Rr*Lrn)/Lr; b=l/ctl:

XI 1 (l,l)=O; x12(1,1)=0;

XIS( 1 , I )=O;

xol( 1,1)=0; x02(1,1)=0;

x13(1,1)=0; xl4(1,1)=0;

xo3(1,1)=0; xo4(1,1)=0.7; xo5(1,1)=-0.4; vsa=vs*cos(wl *t); vsb=vs*cos(w 1 *t-afl); vsc=vs*cos(wl *t-aQ); vsab=(2/3)*(vsa+exp((i *2*pi)/3)*vsb+exp((i *4*pi)/3)*vsc); %vsab=sqrt(2/3)*vsa+( l/sqrt(6))*vsb+j *( 1 /sqri(2))*vsb; u l=real(vsab); u2=imag(vsab); %linealizacion del sistema de ecuaciones no lineales for i=l max,

xl (i,l )=O; x2(i,l)=O; x3(i,l)=O; %las condiciones iniciales x4(i,l)=O; x5(i,l)=O;

Al 1 (i,l)=(-a3-(2*a4*xl (i, I))); A12(i,l)=(-al *xS(i,l)); A13(i,l)=al *x4(i,l); A14(i,l)=al *x3(i, 1); A15(i,l)=(-al*x2(i,I)); %linealización del sistema

A2 1 (i, 1)=a6*x5(i, 1); A22(i,l)=-a7; A23(i,l)=O; A24(i,l)=a5; A25(i,l)=a6*xl (i, I);

83

A3 l(i,l)=-a6*x4(i,l); A32(i,l)=0; A33(i,l)=-a7; A34(i, 1)=(-a6*x1 (i, 1)); A35(i,l)=a5;

A41(i,i)=-a9*~5(i,l); A42(i,l)=al O; A43(i,i)=O; A44(i, 1 )=-as; A45(i,l)=-a9*xl(i,l);

A51(i,l)=a9*~4(i,l); A52(i,l)=0; A53(i,l)=a10; A54(i, 1)=(a9*x 1 (i, 1)); A55(i, l)=-a8;

%termino adicional

elxl(i,l)=(al *(x3(i,l)*x4(i,l)-x2(i,l)*x5(i,l))-a2-(a3*xl(i,l))-(a4*xl(i,l)*xl(i,l)))- (Al l(i,l)*xl(i,l)+Al2(i,l)*x2(i,l)+A13(i,l)*x3(i,l)+A14(i,l)*x4(i,l)+A15(i,l)*x5(i,l)); elx2(i,l)=((a5*~4(i, l))+(a6*x1 (i,l)*x5(¡, l))-(a7*~2(i,l))+b*ul (i,l))-

(A21 (i,l)*xl(i,l)+A22(i,l)*x2(i,l)+A23(i,l)*x3(i,l)+A24(i,l)*x4(i,l)+A25(i,l)*x5(i,l)); e lx3(i,l)=((-a6*xl (i, l)*x4(i, l))+(a5*~5(i,l))-(a7*~3(i,I))+b*u2(i,l))-

(A31(i,1)*x1(i,l)+A32(i,l)*x2(i,l)+A33(i,l)*x3(i,l)+A34(i,1)*x4(i,l)+A35(i,l)*x5(i,l)); e1x4(i,l)=((-aS*x4(i,l))-(a9*xl(i,l)*x5(i,l))+(al0*x2(i,l)))-

(A4l(i,l)*xl(i,l)+A42(i,l)*x2(i,l)+A43(i,l)*x3(i,l)+A44(i,l)*x4(i,l)+A45(i,l)*x5(i,l)); eix5(i,l)=((a9*xl(i,l)*x4(i,l))-(aS*x5(i,l))+(al0*x3(i,l)))-

(A5 1 (i,1)*xl(i,l)+A52(i,1)*x2(i,1)+A53(i,l)*x3(i,l)+A54(i,l)*x4(i,l)+A55(i,1)*x5(i,l));

end;

%integración del sistema lineal for i=l:max-1,

A 1 1 (i,l)=(-a3-2*a4*xI 1 (¡.I)); A12(i,l)=(-al*x15(i,l)); Al 3(i,l)=al *x14(i,l); A14(i,l)=al*x13(i,l); AlS(i,l)=(-al*xI2(i,l));

A2 1 (i, I)=a6*x15(i, I); A22(i, 1)=-a7; A23(i,l)=@ A24(i, 1)=a5; A25(i,l)=a6*xI 1 (i,l);

84 '

A3 l(i,I)=-a6*~14(i,l); A32(i,l)=0; A33(i, l)=-a7; A34(i,l)=(-a6*xIl (i,l)); A35(i,l)=a5;

A4 1 (i,l)=-a9*x15(i,l); A42(i, l)=al O; A43(i,l)=0; A44(i, I)=-a8; A45(i,l)=-a9*x11 (¡,l);

A5 l(i,l)=a9*~14(¡,1); A52(i,I)=O; A53(i, I)=al O; A54(i,l)=(a9*xll (i,l)); A55(i,l)=-a8;

Ac=[Al l(i,l) A12(i,l) A13(i,l) A14(i,l) A15(¡,1); A21(i,l) A22(i,l) A23(i,l) A24(i,l) A25(i,l); A31(i,l) A32(i,l) A33(i,l) A34(i,l) A35(i,l); A41(i,l) A42(i,l) A43(i,l) A44(i,l) A45(i,l); A51(i,l) A52(i,l) A53(i,l) A54(i,l) A55(i,l)];

XI 1 (¡+I ,l)=xl l(i, l)+h*(Ac(l,l)*xll(i, 1)+Ac(l,2)*x12(i,l)+Ac(l,3)*x13(i,l)+Ac(l,4)*x14(i,l)+Ac(l,5)*x15 (i,l)+elxl (i, I));

~12(i+l,1)=x12(i,l)+h*(Ac(2,1)*xll(i,l)+Ac(2,2)*xlZ(i,l)+Ac(2,3)*x13(i,l)+Ac(2,4)*x14(i,l)+Ac(2,5)*x15 (i, I)+elx2(¡,1)); 1

x13(i+l ,l)=x13(i,l)+h*(Ac(3,l)*xll (i,l)+Ac(3,2)*x12(i,l)+Ac(3,3)*x13(i,l)+Ac(3,4)*x14(i,l)+Ac(3,5)*x15 (¡,l)+elx3(¡,1));

x14(i+l,l)=x14(i, l)+h*(Ac(4,l)*xl l(i,l)+Ac(4,2)*~12(i,l)+Ac(4,3)*~13(i, l)+Ac(4,4)*~14(i,l)+Ac(4,5)*~15 (i,l)+elx4(i,l));

xl5(i+l,l)=x15(i, l)+h*(Ac(5,l)*xll (i, 1)+Ac(5,2)*x12(i,l)+Ac(5,3)*x13(i,l)+Ac(5,4)*x14(i, l)+Ac(5,5)*x15 (i,l)+elx5(i,l));

end; %determinación de la matriz de ganancia

Ac=[Al l ( l , l )A l2 ( l , l )A l3 ( l , l )A l4 ( l , l ) Al5(l,l); A21(1,1) A22(1,1) A23(1,1) A24(1,1) A25(1,1); A31( 1,l) A32( 1 , I ) A33( i , l ) A34( 1 , I ) A35(1,1); A41 (1,l) A42( 1 , I ) A43(1,1) A44( 1,l) A45( 1,l); A51(1,1) A52(1,1) A53(1,1) A54(1,1) A55(1,1)]; 1

%polos de lazo abierto pl =eig(Ac); pl=[-6.1009; -338.1680; -338.1680;

-6.1009; -O.iOOO];

pl=[-6.1009; -338.1680; -338.1680;

-6.1009; -5.10001;

c=[l o o o o; 0 1 0 0 0 ; O0 1001;

k=place(Ac',c',pl); % matriz k k=k':

%implantación del observador for i=l :max-1,

Ai l(i,l)=(-a3-2*a4*xol(i,l)); A12(i,l)=(-al*xo5(i,l)); Al 3(i, ])=al *xo4(i,l); A14(i,l)=al *xo3(i,l); A15(i,l)=(-al *xo2(i,l));

A21(i,l)=a6*xo5(i,l); A22(i,l)=-a7; A23(¡,1)=0; A24(i, 1)=a5; A25(i,l)=a6*xoI(i,l);

A3 l(i,l)=-a6*xo4(i,l); A32(¡,1)=0; A33(i, i)=-a7; A34(i, I)=(-a6*xo 1 (i, I)); A35(i,l)=a5;

A4 I (i,l)=-a9*xo5(i,l); A42(i, ])=al O; A43(i, 1)=0; A44(i, ])=-as; A45(i,l)=-a9*xol(i,l);

86

A5 1 (i, l)=a9*xo4(i,l); A52(i,l)=O; A53(i,l)=a10; A54(i, l)=(a9*xol (¡,I)); A55(i, l)=-aS;

%las A's se evaluan en los puntos de observación. Ac=[Al l(i,l) A12(i,l) A13(i,l) A14(i,l) A15(¡,1); A21(i,l) A22(i,l) A23(i,l) A24(i,l) A25(i,l); A31(i,l) A32(i,l) A33(i,l) A34(i,l) A35(i,l); A41(i,l) A42(i,l) A43(i,l) A44(i,l) A45(i,l); A51(i,l) A52(i,l) A53(i,l) A54(i,l) A55(i,l)];

xol (i+l ,I )=xol(i, 1 )+h*(Ac( 1 ,l)*xol(i, l)+Ac( 1,2)*~02(i,l)+Ac( 1,3)*xo3(i,l)+Ac( 1,4)*xo4(i,l)+Ac( 1,5)* xo5(i,l)+elxl(i,l)+k(l ,l)*(xll(i,l)-xol (i,l))+k(l,2)*(x12(i,l)-xo2(i,l))+k(l,3)*(x13(i,l)-xo3(i,l)));

x02(i+l ,l)=xo2(i, I)+h*(Ac(2,l)*xol(i, 1)+Ac(2,2)*xo2(i,l)+Ac(2,3)*xo3(i,l)+Ac(2,4)*xo4(i,l)+Ac(2,5)* xo5(i,l)+e1x2(i,l)+k(2,1)*(x~1(i,l)-xol(i,l))+k(2,2)*(x12(i,l)-xo2(i,l))+k(2,3)*(x13(i,l)-xo3(i,l)));

xo3(i+l ,I)=xo3(i,l)+h*(Ac(3,1)*xol(i,l)+Ac(3,2)*x02(i,l)+A~(3,3)*x03(i,l)+A~(3,4)*xo4(i,l)+Ac(3,5)* xo5(i,l)+elx3(i,l)+k(3,1)*(xll(i,l)-xol(i,l))+k(3,2)*(x12(i,l)-xo2(i, l))+k(3,3)*(~13(i,l)-xo3(i,l)));

xo4(i+i, I)=x04(i, l)+h*(Ac(4,1)*xol(i,l)+Ac(4,2)*xo2(i,l)+Ac(4,3)*xo3(i,l)+Ac(4,4)*xo4(i,l)+Ac(4,5)* xo5(i, l)+elx4(i, l)+k(4,1)*(xil (i,l)-xol (i,l))+k(4,2)*(x12(i,l)-xo2(i,l))+k(4,3)*(x13(i,l)-xo3(i,l)));

xo5(i+i, l)=xo5(i, l)+h*(Ac(S, l)*xol (i,l)+Ac(5,2)*xo2(i,l)+Ac(5,3)*xo3(i,l)+Ac(5,4)*xo4(i,l)+Ac(5,5)* xo5(i,l)+elx5(i,l)+k(5,1)*(xll(i,l)-xol(i,l))+k(5,2)*(x12(i,l)-xo2(i,l))+k(5,3)*(x13(i,l)-xo3(i,1))); end;

%instrucciones para generar las graficas plot(t,xl4,t,xo4); piot(t,xi5 ,t,xo5);

87 9 8 - 8 9 2 3 .