CENTRO DE ESTUDO SUPLETIVO Prof. PAULO MELO -

CESPPM MACAPÁ / AP

PESQUISA DE MATEMÁTICA

MACAPÁ2015

DIRETOR(A) : MARILEIDE GUERREIRO

PROFESSORA: JACILÉIA

TURMA: 213 - Nº 21 -TURNO: 3º

ALUNO (AS): JOSINETE DIAS LOBATO

PESQUISA DE MATEMÁTICA

“PROPORCÃO AUREA

E

ESCALA MATEMÁTICA

MACAPÁ2015

Trabalho solicitado pela Professora JACILÉIA disciplina de MATEMÁTICA para composição de nota do 3º Bimestre – 3º ano do Ensino Médio – Centro de Estudo Supletivo Prof. Paulo Melo.- CESPPM.

Você já ouviu falar em proporção áurea?

A Razão ou Proporção Áurea representa a mais agradável proporção

entre dois segmentos ou duas medidas. É uma procura constante da

harmonia e da beleza. Mondrian descobriu o famoso número de ouro e com

ele chegou ao “retângulo de ouro”. Esta proporção existe em quase todas as

grandes obras da humanidade, no coliseu, na Mona Lisa, na Capela Sistina.

Também existe no nosso corpo: nos batimentos cardíacos,nos membros,

rosto, sorriso, dentes, etc.

    A Proporção Áurea ou Divina é uma fórmula que pode ser utilizada também

pelo Cirurgião-Dentista para criar o semelhante do semelhante. A fórmula

clássica da Proporção Áurea é a constante que se origina da soma ou da

divisão das partes (1,618) e foi denominada número de ouro (0,618).

    Há muito tempo, a humanidade cultua e valoriza a beleza e a Odontologia

Estética tem se responsabilizado em reestabelecer a harmonia facial, ao

mesmo tempo em que trabalha a função mastigatória. Um dos principais

componentes da estética facial e do sorriso é a Proporção Áurea com

assimetria entre os dentes anteriores.

Uma progressão divina ocorre quando uma distância é perfeita em

relação à outra. O incisivo central superior tem uma proporção perfeita de

1,618; bem como o incisivo inferior e a largura total de ambos os incisivos

inferiores é perfeita em relação à dos incisivos superiores,

Sendo assim podemos utilizar o incisivo central inferior (já que é o

menor dente da boca) como referência. A largura dos caninos superior

estende a ser perfeita em relação à largura dos primeiro molares superiores,

desde o planomesial até o sulco vestibular. As proporções perfeitas parecem

serunidas do nariz à boca, parecendo haver uma união também do dente com

o sorriso.

    

O tratamento com a reabilitação protética após a perda de dentes,

através da recolocação de dentes substitutos, como: coroas, facetas, pontes

fixas, pontes móveis, dentaduras, próteses sobre implante, restaurações

estéticas diretas ou indiretas podem ser confeccionadas com maior perfeição

e exatidão (proporções perfeitas) por meio de um calibrador (espécie de

compasso específico para aplicação da Proporção Áurea), conforme a foto.

    

O formato da arcada e a

estrutura facial

    A fotografia de uma bela mulher

(ou homem) serve como modelo

para uma discussão dos achados

faciais. Começando pelas narinas, uma proporção perfeita é observada na

comparação da largura de uma narina e das bordas alares com a narina do

lado oposto. Esta progressão continua para a largura da boca, com a largura

dos olhos no canto lateral e, finalmente com a largura da cabeça na altura das

sobrancelhas. São quatro progressões divinas.

    Ao comparar o rosto de deusas gregas construídas pelos grandes artistas

da Antigüidade dentro da Proporção Áurea e o rosto da nossa modelo

brasileira Gisele Bündchen está evidente que o conceito de beleza perdura

por muitos séculos. Em virtude disto, encontramos relações e afirmações

sobre a beleza da Gisele Bündchen e o seu sucesso ímpar, graças as suas

características físicas perfeitas dentro da Proporção Áurea.

 

Análise Histórica – Matemática - Proporção Áurea e

Sequência de Fibonacci.

Uma serie de números que tem uma característica especial de regressão, foi

exposta no ano de 1202, no livro denominado Líber Abacci (o livro do ábaco),

que nele consta também grande quantidade de assuntos relacionados com a

Aritmética e Álgebra da época, postos por Leonardo de Pisa (1175 – 1250),

que foi posteriormente identificado como Leonardo Fibonacci (filho de

Guiliermo Bonacci) e mais recentemente identificado em suas obras apenas

pela palavra Fibonacci. Com este seu  trabalho e com os outros, Practica

Geometriae (1220), Líber Quadratorum (1225) e Flos (1225), ele cooperou de

maneira importante para o desenvolvimento matemático na Europa nos séculos

seguintes. Posteriormente estes números em série ficaram conhecidos como

Sequência de Fibonacci e deles foram extraídos conclusões até então não

imagináveis.

Em todo o Universo está presente “a marca” ou a presença de Deus

responsável pelo fenômeno simétrico da natureza. Ela é constatada através da

Proporção Áurea proveniente da Sequência de Fibonacci, que se mostra

presente como “o sinal divino” em toda a natureza. Portanto, nas flores,

árvores, ondas, conchas, furacões, no do rosto simétrico do ser humano, em

suas articulações, seus batimentos cardíacos e em seu DNA. Também na

refração da luz proporcionada pelos elétrons dos átomos, nas vibrações e em

outras mais manifestações da Criação como nas galáxias do Universo

imensurável. A relação da Série de Fibonacci e o Numero de Ouro em

sequência numérica e geométrica parece de modo significativo ser “a marca”

de um “Designer” – a “impressão digital” de sua Criação.

O Número de Ouro ou Proporção Áurea é uma constante real algébrica

conhecida pela letra grega   (PHI) extraída da Sequência de Fibonacci. Ele que

possui o valor aproximado de 1,618, que está envolvida em toda a natureza ao

buscar o crescimento e que é  utilizada nas artes de um modo geral como uma

proporção buscando o harmônico, não deve ser confundida com o número Pi π

com o valor numérico aproximado de 3,14, que pertence aos números

irracionais.

A Proporção Áurea é também chamada de Secção Áurea, Razão Áurea, Razão

de Ouro, Divina Proporção, Proporção em Extrema Razão e Divisão de

Extrema Razão.

Justamente por estar envolvido em toda a natureza relacionando-se à dinâmica

do crescimento, que faz o Número de Ouro tão frequente e, justamente por

causa desta frequência como “a marca” de Deus que ele ganhou o status de

muito especial, sendo alvo de pesquisadores, de cientistas e também, de

artistas e de escritores.

O Número de ouro que é devido aos contextos em que está inserido, está

envolvido em crescimentos biológicos e ainda observado nas pinturas, nas

partituras e na arquitetura, etc.  Como “o selo” de Deus, ele está sempre

presente “no construir” a Harmonia Universal. E o fato de ser encontrado

através de desenvolvimento matemático, o torna neste sentido ainda mais

fascinante.

Esta “marca” vista na proporção áurea é proveniente da Serie ou Freqüência

de Fibonacci. Nesta sucessão matemática cada numero é obtido somando os

dois últimos dígitos, ou seja, 1, 1 (1+1) 2, (2+1) 3, (3+2) 5, (5+3) 8, (8+5) 13,

(13+8) 21 … continuando em uma sequência infinita.

Utilizando-se deste sistema numérico para construir um retângulo com dois

números interligados desta sequência, forma-se o chamado Retângulo de

Ouro, que é considerado o formato retangular mais belo e apropriado de todos.

E o Retângulo de Ouro quando é divido por quadrados proporcionais à

Sequência de Fibonacci, ele alarga o seu conjunto consoante a sucessão de

Fibonacci.

Construindo este quadrado e desenhando

um arco, este padrão começa construir formas, que são denominadas como a Espiral de

Fibonacci.

 

Espiral de Finobacci

Esta simetria em um primeiro momento parece

não ter muito significado, mas na verdade ela

está presente como que construindo a beleza

harmônica da natureza.

Flores

 

Em todo o Universo a Proporção

Áurea encontra-se presente, tanto

na propagação dos átomos em

forma de Espiral de Fibonacci, na refração da luz, nas correntes magnéticas geradas pelos

buracos negros e nas formas de muitas Galáxias.

Galáxias em espiral

 

Como já foi ante mencionado, através das medidas da Serie de

Fibonacci, ao se analisar o coeficiente de duas medidas

sucessivas, obtém-se o numero irracional denominado de   (PHI),

com o valor aproximado de 1,618. E esta conjuntura de medidas

baseada neste numero é chamada de Proporção Dourada, que é

encontrada nas articulações ósseas e nas feições dos seres

humanos.

Definição algébricaA razão áurea é definida algebricamente como:

A equação da direita mostra que   o que pode ser substituído na parte esquerda,

resultando em:

Cancelando b em ambos os lados, temos:

Multiplicando ambos os lados por  resulta:

Finalmente, subtraindo   de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas

por    encontramos

 que é uma equação quadrática da forma    em

que 

Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:

A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

 que é o número 

Um dos primeiros registros que se tem conhecimento sobre a Razão Áurea data aproximadamente1650

a.C, no papiro de Rhind, um documento no qual constam 85 problemas copiados por um escriba

chamado Ahmes de um trabalho ainda mais antigo. Neste texto é citada uma “razão sagrada”, que

acredita tratar-se da Razão Áurea.

Os antigos babilônios sabiam como criar o Retângulo Áureo. Numa escavação feita em Sippar, no sul do

Iraque, o arqueólogo Hormuzd Rassam (1826 – 1910) encontrou uma tabua com comprimento de 29,21

cm e com a largura de 17,78 cm, que ficou conhecida como a “Tábua de Shamash, com suas dimensões

muito próximas da Razão Áurea.

O Retângulo de Ouro proveniente da montagem sucessiva das medidas da Serie de Fibonacci estava

presente em grandes construções já em remotas eras, como também nas de hoje.

Na Pirâmide de Quéops, no Egito, cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível logo acima e

também, as câmaras em seu interior seguem esta proporção, de forma que os comprimentos das salas

são 1,618 vezes maiores que as larguras. Ainda, nas ruínas do Parthenom, na Grécia, são notadas

inúmeras presenças da Razão Áurea.

Pirâmide de Quéops e Pathenom

O numero de ouro está presente nas varias criações artísticas do ser humano, como nas

famosas sinfonias nº 5 e nº 9 de Ludwig van Beethoven, em varias pinturas renascentistas e

em varias outras obras de arte desta época.  Também as escalas musicais são baseadas em

números de Fibonacci.

 Mona Lisa e Auto-retrato de Da Vinci

O homem vitruviano com proporções do corpo humano que foram estabelecidas pelo arquiteto

romano Marcus Vitruvius, nele estão presentes de forma simétrica (no desenho) a Serie de

Fibonacci e o Numero de Ouro. O desenho é considerado frequentemente como um símbolo da

simetria básica do corpo humano e extensível para o Universo como um todo.

Também nos pouco conhecidos Crop Circles estão quase presentes Geometrias Áureas.  Estas

enigmáticas figuras que já eram mencionadas em escritos do XVI, elas eram associadas às

criações de entidades espirituais. Hoje, o desconhecimento de sua origem continua praticamente

o mesmo, ao serem associados à ação com alta tecnologia de seres extraterrestres.

Em Gênesis YHWH comanda Noé para construir uma arca marítima como 300 cúbitos de

comprimento, 50 cúbitos de largura e 30 cúbitos de altura. Nota-se que 300 cúbitos é igual a 150

metros, 50 cúbitos é igual 25 metros e 30 cúbitos igual a  15 metros. E na analise destes números

encontra-se a Proporção Áurea, como se vê a seguir:

50/300 ou 25/150 = 0,1666

50/30 ou 25/15 = 1,666

Homem

vitruviano e

Crop Circles

Olhando para o interior do corpo humano (de sua composição orgânica), percebe-se

que ali também existem “regras divinas”. Por exemplo, nos pulmões os vasos sanguíneos

seguem o mesmo procedimento dos ramos ou das raízes das árvores, que se divide em

números da Serie de Fibonacci.

Pulmão humano e os galhos

de uma árvore

ESCALA MATEMÁTICA

Bibliografia

http://www.matematicamuitofacil.com/escalas.html

Texto de Antônio Carlos Tanure

  Fontes de consulta:

Livro “Série de Fibonacci e o Numero de Ouro”, de Diogo Fernandes

Livro “Sequencia de Fibonacci e o Numero de Ouro, de Maurício Zahn

Wikipédia, a enciclopédia livre.